परवलय फलन और उसका ग्राफ। द्विघात फलन प्लॉट करना

प्रपत्र का कार्य, जहां कहा जाता है द्विघात फंक्शन.

द्विघात फलन का ग्राफ − परवलय.

मामलों पर विचार करें:

केस I, शास्त्रीय परवलय

वह है , ,

बनाने के लिए, सूत्र में x मानों को प्रतिस्थापित करके तालिका भरें:

अंक अंक (0;0); (1;1); (-1;1) आदि। पर कार्तिकये निर्देशांक(छोटा कदम हम x मान लेते हैं (इस मामले में, चरण 1), और जितना अधिक x मान हम लेते हैं, वक्र उतना ही चिकना होगा), हमें एक परवलय मिलता है:

यह देखना आसान है कि यदि हम मामले को लेते हैं, अर्थात, तो हमें एक परवलय मिलता है जो (x) अक्ष के बारे में सममित होता है। एक समान तालिका भरकर इसे सत्यापित करना आसान है:

II केस, "ए" एक से अलग

क्या होगा अगर हम ले , , ? परवलय का व्यवहार कैसे बदलेगा? शीर्षक के साथ = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

पहली तस्वीर (ऊपर देखें) स्पष्ट रूप से दिखाती है कि परवलय (1;1), (-1;1) के लिए तालिका के बिंदु बिंदुओं (1;4), (1;-4) में बदल गए थे, अर्थात, समान मानों के साथ, प्रत्येक बिंदु की कोटि को 4 से गुणा किया जाता है। यह मूल तालिका के सभी प्रमुख बिंदुओं के साथ होगा। हम चित्र 2 और 3 के मामलों में भी इसी तरह तर्क देते हैं।

और जब परवलय "व्यापक हो जाता है" परवलय:

आओ पूर्वावलोकन कर लें:

1)गुणांक का चिन्ह शाखाओं की दिशा के लिए जिम्मेदार होता है। शीर्षक के साथ = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत)" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) निरपेक्ष मूल्यगुणांक (मापांक) परवलय के "विस्तार", "संपीड़न" के लिए जिम्मेदार है। परवलय जितना बड़ा होगा, परवलय उतना ही छोटा होगा |a|, परवलय उतना ही चौड़ा होगा।

केस III, "सी" प्रकट होता है

अब चलो खेलते हैं (अर्थात, हम मामले पर विचार करते हैं जब), हम रूप के परवलय पर विचार करेंगे। यह अनुमान लगाना आसान है (आप हमेशा तालिका का उल्लेख कर सकते हैं) कि परवलय चिह्न के आधार पर अक्ष के साथ ऊपर या नीचे जाएगा:

चतुर्थ मामला, "बी" प्रकट होता है

परवलय कब अक्ष से "फट जाएगा" और अंत में पूरे समन्वय विमान के साथ "चलेगा"? जब यह बराबर होना बंद हो जाता है।

यहाँ, एक परवलय बनाने के लिए, हमें चाहिए शीर्ष की गणना के लिए सूत्र: , .

तो इस बिंदु पर (जैसे बिंदु पर (0; 0) नई प्रणालीनिर्देशांक) हम एक परवलय का निर्माण करेंगे, जो पहले से ही हमारी शक्ति के भीतर है। यदि हम मामले से निपट रहे हैं, तो ऊपर से हम एक एकल खंड को दाईं ओर, एक ऊपर सेट करते हैं, - परिणामी बिंदु हमारा है (इसी तरह, बाईं ओर एक कदम, एक कदम हमारी बात है); उदाहरण के लिए, यदि हम काम कर रहे हैं, तो ऊपर से हम एक एकल खंड को दाईं ओर, दो - ऊपर, आदि में सेट करते हैं।

उदाहरण के लिए, एक परवलय का शीर्ष:

अब समझने वाली मुख्य बात यह है कि इस शीर्ष पर हम परवलय टेम्पलेट के अनुसार परवलय का निर्माण करेंगे, क्योंकि हमारे मामले में।

एक परवलय का निर्माण करते समय शीर्ष के निर्देशांक खोजने के बाद बहुत हैनिम्नलिखित बिंदुओं पर विचार करना सुविधाजनक है:

1) परवलय बिंदु से गुजरना होगा . वास्तव में, x=0 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वह प्राप्त होता है। अर्थात्, अक्ष (ओए) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि, यह है। हमारे उदाहरण (ऊपर) में, परवलय y-अक्ष को , क्योंकि , पर प्रतिच्छेद करता है।

2) समरूपता की धुरी परवलय एक सीधी रेखा है, इसलिए परवलय के सभी बिंदु इसके बारे में सममित होंगे। हमारे उदाहरण में, हम तुरंत बिंदु (0; -2) लेते हैं और समरूपता की धुरी के बारे में एक परवलय सममित बनाते हैं, हमें बिंदु (4; -2) मिलता है, जिसके माध्यम से परवलय गुजरेगा।

3) के बराबर, हम अक्ष (बैल) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं। विभेदक के आधार पर, हमें एक (,), दो (शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया) मिलेगा।" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . पिछले उदाहरण में, हमारे पास विवेचक से एक जड़ है - पूर्णांक नहीं, इसे बनाते समय, हमारे लिए जड़ों को खोजने का कोई मतलब नहीं है, लेकिन हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि हमारे पास (ओह) के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु होंगे। अक्ष (चूंकि शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

तो चलिए वर्कआउट करते हैं

एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिथम यदि इसे फॉर्म में दिया गया है

1) शाखाओं की दिशा निर्धारित करें (a>0 - up, a<0 – вниз)

2) सूत्र द्वारा परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

3) हम मुक्त पद से परवलय के अक्ष (ओए) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाते हैं, हम परवलय की समरूपता के अक्ष के संबंध में दिए गए बिंदु के सममित बिंदु का निर्माण करते हैं (यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसा होता है कि यह है इस बिंदु को चिह्नित करने के लिए लाभहीन, उदाहरण के लिए, क्योंकि मान बड़ा है ... हम इस बिंदु को छोड़ देते हैं ...)

4) पाए गए बिंदु पर - परवलय के शीर्ष पर (जैसा कि नई समन्वय प्रणाली के बिंदु (0; 0) पर), हम एक परवलय का निर्माण करते हैं। अगर शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) हम अक्ष (ओए) के साथ परवलय के चौराहे के बिंदु पाते हैं (यदि वे स्वयं अभी तक "सामने" नहीं आए हैं), समीकरण को हल करते हुए

उदाहरण 1

उदाहरण 2

टिप्पणी 1.यदि परवलय शुरू में हमें इस रूप में दिया जाता है, जहाँ कुछ संख्याएँ हैं (उदाहरण के लिए,), तो इसे बनाना और भी आसान हो जाएगा, क्योंकि हमें पहले ही शीर्ष के निर्देशांक दिए जा चुके हैं। क्यों?

आइए एक वर्ग ट्रिनोमियल लें और उसमें एक पूर्ण वर्ग चुनें: देखिए, हमें वह मिल गया है। हमने पहले परवलय के शीर्ष को बुलाया था, जो कि अब, है।

उदाहरण के लिए, । हम विमान पर परवलय के शीर्ष को चिह्नित करते हैं, हम समझते हैं कि शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, परवलय का विस्तार (अपेक्षाकृत) होता है। यही है, हम चरण 1 करते हैं; 3; चार; 5 एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिथम से (ऊपर देखें)।

टिप्पणी 2.यदि परवलय को इसी तरह के रूप में दिया जाता है (अर्थात, दो रैखिक कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है), तो हम तुरंत (x) अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु देखते हैं। इस मामले में - (0;0) और (4;0)। बाकी के लिए, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं।