अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय किन बातों का ध्यान रखना चाहिए? अपरिमेय समीकरण और उन्हें हल करने के तरीके

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समाधान के तरीके अपरिमेय समीकरण.

पाठ के लिए प्रारंभिक तैयारी: छात्रों को विभिन्न तरीकों से अपरिमेय समीकरणों को हल करने में सक्षम होना चाहिए।

इस सत्र से तीन सप्ताह पहले, छात्रों को होमवर्क # 1 प्राप्त होता है: विभिन्न तर्कहीन समीकरणों को हल करें। (छात्र स्वतंत्र रूप से 6 अलग-अलग अपरिमेय समीकरण ढूंढते हैं और उन्हें जोड़ियों में हल करते हैं।)

इस पाठ से एक सप्ताह पहले, छात्रों को गृहकार्य #2 प्राप्त होता है, जिसे वे व्यक्तिगत रूप से पूरा करते हैं।

1. समीकरण हल करेंविभिन्न तरीके।

2. प्रत्येक विधि के फायदे और नुकसान का आकलन करें।

3. एक तालिका के रूप में निष्कर्षों का रिकॉर्ड बनाएं।

№ पी/एन	मार्ग	लाभ	कमियां

पाठ मकसद:

शैक्षिक:इस विषय पर छात्रों के ज्ञान का सामान्यीकरण, तर्कहीन समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों का प्रदर्शन, शोध पदों से समीकरणों को हल करने के लिए छात्रों की क्षमता।

शैक्षिक:स्वतंत्रता की शिक्षा, दूसरों को सुनने और समूहों में संवाद करने की क्षमता, विषय में रुचि बढ़ाना।

विकसित होना:विकास तार्किक सोच, एल्गोरिथम संस्कृति, स्व-शिक्षा कौशल, स्व-संगठन, होमवर्क करते समय जोड़े में काम करना, विश्लेषण करने, तुलना करने, सामान्य करने, निष्कर्ष निकालने की क्षमता।

उपकरण: कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, स्क्रीन, टेबल "तर्कहीन समीकरणों को हल करने के नियम", एम.वी. लोमोनोसोव "गणित बाद में सिखाया जाना चाहिए कि यह दिमाग को क्रम में रखता है", कार्ड।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के नियम।

पाठ प्रकार: पाठ-संगोष्ठी (5-6 लोगों के समूहों में काम करें, प्रत्येक समूह में मजबूत छात्र होने चाहिए)।

कक्षाओं के दौरान

मैं . आयोजन का समय

(पाठ के विषय और उद्देश्यों का संदेश)

द्वितीय . प्रस्तुति अनुसंधान कार्य"तर्कहीन समीकरणों को हल करने के तरीके"

(कार्य उस छात्र द्वारा प्रस्तुत किया जाता है जिसने इसे संचालित किया था।)

तृतीय . गृहकार्य हल करने के तरीकों का विश्लेषण

(प्रत्येक समूह का एक छात्र अपने प्रस्तावित समाधान बोर्ड पर लिखता है। प्रत्येक समूह किसी एक समाधान का विश्लेषण करता है, फायदे और नुकसान का मूल्यांकन करता है, निष्कर्ष निकालता है। समूह के छात्र पूरक, यदि आवश्यक हो। समूह का विश्लेषण और निष्कर्ष हैं मूल्यांकन किया गया। उत्तर स्पष्ट और पूर्ण होने चाहिए।)

पहला तरीका: समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात तक बढ़ाना, उसके बाद सत्यापन करना।

समाधान।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को फिर से वर्गाकार करें:

यहाँ से

इंतिहान:

1. अगरएक्स =42 तब, जिसका अर्थ है संख्या42 समीकरण का मूल नहीं है।

2. अगरएक्स =2, तब, जिसका अर्थ है संख्या2 समीकरण का मूल है।

उत्तर:2.

№ पी/एन	मार्ग	लाभ	कमियां
	एक समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाना	1. मैं समझता हूँ। दो उपलब्ध हैं।	1. मौखिक प्रविष्टि। 2. जटिल जांच।

निष्कर्ष। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय समीकरण के दोनों भागों को एक ही घात में उठाकर, एक मौखिक रिकॉर्ड रखना आवश्यक है, जो समाधान को समझने योग्य और सुलभ बनाता है। हालांकि, अनिवार्य सत्यापन कभी-कभी जटिल और समय लेने वाला होता है। इस विधि का उपयोग 1-2 मूलांक वाले सरल अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

दूसरा तरीका: समकक्ष परिवर्तन।

समाधान:आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

उत्तर:2.

№ पी/एन	मार्ग	लाभ	कमियां
	समतुल्य परिवर्तन	1. मौखिक विवरण का अभाव। 2. कोई सत्यापन नहीं। 3. तार्किक संकेतन साफ़ करें। 4. समतुल्य संक्रमणों का एक क्रम।	1. बोझिल रिकॉर्ड। 2. सिस्टम और एग्रीगेट के संकेतों को मिलाते समय आप गलती कर सकते हैं।

निष्कर्ष। समतुल्य संक्रमणों की विधि द्वारा अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, आपको स्पष्ट रूप से यह जानना होगा कि सिस्टम का चिन्ह कब लगाना है, और कब - समुच्चय। बोझिल संकेतन, प्रणाली के संकेतों के विभिन्न संयोजन और समग्रता अक्सर त्रुटियों को जन्म देती है। हालांकि, समकक्ष संक्रमणों का एक क्रम, एक मौखिक विवरण के बिना एक स्पष्ट तार्किक रिकॉर्ड जिसे सत्यापन की आवश्यकता नहीं है, इस पद्धति के निर्विवाद फायदे हैं।

तीसरा तरीका: कार्यात्मक-ग्राफिक।

समाधान।

कार्यों पर विचार करेंतथा.

1. समारोहशक्ति; बढ़ रहा है, क्योंकि घातांक एक धनात्मक (पूर्णांक नहीं) संख्या है।

डी(एफ).

आइए मूल्यों की एक तालिका बनाएंएक्सतथाएफ( एक्स).

	1,5		3,5
एफ (एक्स)

2. समारोहशक्ति; गिरते हुए।

फ़ंक्शन का डोमेन खोजेंडी( जी).

आइए मूल्यों की एक तालिका बनाएंएक्सतथाजी( एक्स).

जी (एक्स)

आइए एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के इन रेखांकन का निर्माण करें।

फ़ंक्शन ग्राफ़ एक बिंदु पर एक भुज के साथ प्रतिच्छेद करते हैंइसलिये समारोहएफ( एक्स) बढ़ता है, और कार्यजी( एक्स) घटता है, तो समीकरण का केवल एक ही हल होता है।

उत्तर: 2.

№पी/एन	मार्ग	लाभ	कमियां
	कार्यात्मक-ग्राफिक	1. दृश्यता। 2. जटिल बीजीय परिवर्तन करने और ODD का पालन करने की आवश्यकता नहीं है। 3. आपको समाधानों की संख्या खोजने की अनुमति देता है।	1. मौखिक संकेतन। 2. सटीक उत्तर ढूंढना हमेशा संभव नहीं होता है, और यदि उत्तर सटीक है, तो सत्यापन की आवश्यकता है।

निष्कर्ष। कार्यात्मक-ग्राफिकल विधि उदाहरण है, आपको समाधानों की संख्या खोजने की अनुमति देती है, लेकिन इसका उपयोग करना बेहतर होता है जब आप आसानी से विचाराधीन कार्यों के ग्राफ़ बना सकते हैं और सटीक उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। यदि उत्तर अनुमानित है, तो किसी अन्य विधि का उपयोग करना बेहतर है।

चौथा तरीका: एक नए चर का परिचय।

समाधान।हम नए चर पेश करते हैं, जो दर्शाते हैंहमें सिस्टम का पहला समीकरण मिलता है

आइए सिस्टम के दूसरे समीकरण की रचना करें।

एक चर के लिए:

एक चर के लिए

इसीलिए

हमें के संबंध में दो परिमेय समीकरणों का एक निकाय प्राप्त होता हैतथा

चर पर लौट रहा है, हम पाते हैं

एक नए चर का परिचय

सरलीकरण - समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करना जिसमें मूलक नहीं होते हैं

1. नए चर के एलपीवी को ट्रैक करने की आवश्यकता

2. मूल चर पर लौटने की आवश्यकता

निष्कर्ष। रेडिकल युक्त अपरिमेय समीकरणों के लिए इस विधि का सबसे अच्छा उपयोग किया जाता है विभिन्न डिग्री, या मूल चिह्न के नीचे और मूल चिह्न के पीछे समरूप बहुपद, या मूल चिह्न के नीचे परस्पर प्रतिलोम व्यंजक।

- तो, दोस्तों, प्रत्येक अपरिमेय समीकरण के लिए, आपको इसे हल करने का सबसे सुविधाजनक तरीका चुनना होगा: समझने योग्य। सुलभ, तार्किक और अच्छी तरह से डिज़ाइन किया गया। अपना हाथ उठाएं, आप में से कौन इस समीकरण को हल करने को प्राथमिकता देगा:

1) सत्यापन के साथ समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने की विधि;

2) समकक्ष परिवर्तनों की विधि;

3) कार्यात्मक ग्राफिक विधि;

4) एक नया चर पेश करने की विधि।

चतुर्थ . व्यावहारिक भाग

(समूह कार्य। छात्रों का प्रत्येक समूह एक समीकरण के साथ एक कार्ड प्राप्त करता है और इसे नोटबुक में हल करता है। इस समय, समूह का एक प्रतिनिधि बोर्ड पर एक उदाहरण हल करता है। प्रत्येक समूह के छात्र अपने समूह के सदस्य के समान उदाहरण हल करते हैं। और बोर्ड पर सही निष्पादन कार्यों की निगरानी करें। यदि ब्लैकबोर्ड पर उत्तर देने वाला व्यक्ति गलतियाँ करता है, तो जो उन्हें नोटिस करता है वह अपना हाथ उठाता है और सही करने में मदद करता है। पाठ के दौरान, प्रत्येक छात्र, अपने समूह द्वारा हल किए गए उदाहरण के अलावा , एक नोटबुक में लिखना चाहिए और अन्य समूहों को प्रस्तावित करना चाहिए और उन्हें घर पर हल करना चाहिए।)

समूह 1।

समूह 2

समूह 3.

वी . स्वतंत्र काम

(समूहों में, पहले चर्चा होती है, और फिर छात्र कार्य को पूरा करना शुरू करते हैं। शिक्षक द्वारा तैयार किया गया सही समाधान स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है।)

छठी . पाठ को सारांशित करना

अब आप जानते हैं कि अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए आपको अच्छा सैद्धांतिक ज्ञान, व्यवहार में उन्हें लागू करने की क्षमता, ध्यान, परिश्रम, त्वरित बुद्धि की आवश्यकता होती है।

गृहकार्य

पाठ के दौरान समूहों को प्रस्तावित समीकरणों को हल करें।

इस लेख की सामग्री का पहला भाग अपरिमेय समीकरणों का एक विचार बनाता है। इसका अध्ययन करने के बाद, आप अपरिमेय समीकरणों को अन्य प्रकार के समीकरणों से आसानी से अलग कर सकते हैं। दूसरे भाग में, अपरिमेय समीकरणों को हल करने के मुख्य तरीकों का विस्तार से विश्लेषण किया गया है, बड़ी संख्या में विशिष्ट उदाहरणों के लिए विस्तृत समाधान दिए गए हैं। यदि आप इस जानकारी में महारत हासिल कर लेते हैं, तो आप लगभग निश्चित रूप से स्कूली गणित के पाठ्यक्रम से लगभग किसी भी तर्कहीन समीकरण का सामना करेंगे। ज्ञान प्राप्त करने में गुड लक!

अपरिमेय समीकरण क्या होते हैं?

आइए पहले स्पष्ट करें कि अपरिमेय समीकरण क्या हैं। ऐसा करने के लिए, हम रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय द्वारा अनुशंसित पाठ्यपुस्तकों में उपयुक्त परिभाषाएँ पाएंगे।

अपरिमेय समीकरणों और उनके समाधान के बारे में विस्तृत बातचीत बीजगणित पाठों में आयोजित की जाती है और हाई स्कूल में विश्लेषण शुरू किया जाता है। हालांकि, कुछ लेखक पहले इस तरह के समीकरण पेश करते हैं। उदाहरण के लिए, जो मोर्दकोविच ए जी की पाठ्यपुस्तकों के अनुसार अध्ययन करते हैं, वे 8 वीं कक्षा में पहले से ही तर्कहीन समीकरणों के बारे में सीखते हैं: पाठ्यपुस्तक में कहा गया है कि

अपरिमेय समीकरणों के भी उदाहरण हैं, , , आदि। जाहिर है, उपरोक्त प्रत्येक समीकरण में, चिह्न के तहत वर्गमूलचर x शामिल है, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त परिभाषा के अनुसार ये समीकरण अपरिमेय हैं। यहां, उन्हें हल करने के मुख्य तरीकों में से एक का तुरंत विश्लेषण किया जाता है -। लेकिन हम समाधान विधियों के बारे में थोड़ा नीचे बात करेंगे, अभी के लिए हम अन्य पाठ्यपुस्तकों से अपरिमेय समीकरणों की परिभाषा देंगे।

पाठ्यपुस्तकों में कोलमोगोरोव ए.एन. और कोल्यागिन यू.एम.

परिभाषा

तर्कहीनवे समीकरण कहलाते हैं जिनमें एक चर मूल के चिह्न के नीचे होता है।

आइए ध्यान दें मूलभूत अंतर यह परिभाषापिछले एक से: यह सिर्फ मूल कहता है, वर्गमूल नहीं, यानी उस मूल की डिग्री जिसके तहत चर स्थित है, निर्दिष्ट नहीं है। इसका मतलब है कि जड़ न केवल वर्गाकार हो सकती है, बल्कि तीसरी, चौथी आदि भी हो सकती है। डिग्री। इस प्रकार, अंतिम परिभाषा समीकरणों के व्यापक सेट को परिभाषित करती है।

एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है, हम हाई स्कूल में अपरिमेय समीकरणों की इस व्यापक परिभाषा का उपयोग क्यों शुरू करते हैं? सब कुछ समझाने योग्य और सरल है: जब 8 वीं कक्षा में अपरिमेय समीकरणों से परिचित होता है, तो हम केवल वर्गमूल के बारे में अच्छी तरह से जानते हैं, हम अभी भी किसी भी घनमूल, चौथी और उच्च डिग्री की जड़ों के बारे में नहीं जानते हैं। और हाई स्कूल में, रूट की अवधारणा को सामान्यीकृत किया जाता है, हम इसके बारे में सीखते हैं, और जब हम अपरिमेय समीकरणों के बारे में बात करते हैं, तो हम अब एक वर्गमूल तक सीमित नहीं रह जाते हैं, लेकिन हमारा मतलब एक मनमानी डिग्री की जड़ है।

स्पष्टता के लिए, हम अपरिमेय समीकरणों के कई उदाहरण प्रदर्शित करेंगे। - यहाँ चर x घनमूल चिह्न के नीचे स्थित है, इसलिए यह समीकरण अपरिमेय है। एक और उदाहरण: - यहाँ चर x वर्गमूल के चिह्न और चतुर्थ अंश के मूल दोनों के अंतर्गत है, अर्थात यह भी एक अपरिमेय समीकरण है। यहाँ अपरिमेय समीकरणों के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं जटिल प्रकार: तथा .

उपरोक्त परिभाषाएँ हमें यह ध्यान देने की अनुमति देती हैं कि किसी भी अपरिमेय समीकरण के रिकॉर्ड में जड़ों के संकेत होते हैं। यह भी स्पष्ट है कि यदि मूलों का कोई चिह्न नहीं है, तो समीकरण अपरिमेय नहीं है। हालांकि, मूल चिह्न वाले सभी समीकरण अपरिमेय नहीं होते हैं। दरअसल, एक अपरिमेय समीकरण में, मूल चिह्न के नीचे एक चर होना चाहिए, यदि मूल चिह्न के नीचे कोई चर नहीं है, तो समीकरण अपरिमेय नहीं है। उदाहरण के तौर पर, हम उन समीकरणों के उदाहरण देते हैं जिनमें मूल तो होते हैं लेकिन अपरिमेय नहीं होते। समीकरण तथा अपरिमेय नहीं हैं, क्योंकि उनमें मूल चिह्न के नीचे चर नहीं होते हैं - जड़ों के नीचे संख्याएँ होती हैं, और जड़ों के चिह्नों के नीचे कोई चर नहीं होते हैं, इसलिए ये समीकरण अपरिमेय नहीं हैं।

यह उन चरों की संख्या का उल्लेख करने योग्य है जो अपरिमेय समीकरण लिखने में भाग ले सकते हैं। उपरोक्त सभी अपरिमेय समीकरणों में एक एकल चर x होता है, अर्थात वे एक चर वाले समीकरण होते हैं। हालांकि, दो, तीन, आदि के साथ अपरिमेय समीकरणों पर विचार करने से हमें कुछ भी नहीं रोकता है। चर। आइए हम दो चरों वाले एक अपरिमेय समीकरण का उदाहरण दें और तीन चर के साथ।

ध्यान दें कि स्कूल में आपको ज्यादातर एक चर वाले अपरिमेय समीकरणों के साथ काम करना होता है। कई चर वाले अपरिमेय समीकरण बहुत कम आम हैं। उन्हें रचना में पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, कार्य में "समीकरणों की प्रणाली को हल करें" "या, कहते हैं, ज्यामितीय वस्तुओं के बीजगणितीय विवरण में, इसलिए मूल में एक केंद्र के साथ एक अर्धवृत्त, ऊपरी आधे तल में स्थित 3 इकाइयों का त्रिज्या, समीकरण से मेल खाता है।

"तर्कहीन समीकरण" खंड में परीक्षा की तैयारी के लिए कार्यों के कुछ संग्रह में ऐसे कार्य होते हैं जिनमें चर न केवल रूट के संकेत के तहत होता है, बल्कि किसी अन्य फ़ंक्शन के संकेत के तहत भी होता है, उदाहरण के लिए, मॉड्यूल, लॉगरिदम, आदि। . यहाँ एक उदाहरण है , पुस्तक से लिया गया, और यहाँ - संग्रह से। पहले उदाहरण में, चर x लघुगणक के चिह्न के नीचे है, और लघुगणक भी मूल के चिह्न के नीचे है, अर्थात, हमारे पास, इसलिए बोलने के लिए, एक अपरिमेय लघुगणक (या लघुगणकीय अपरिमेय) समीकरण है। दूसरे उदाहरण में, चर मॉड्यूल साइन के तहत है, और मॉड्यूल भी रूट साइन के तहत है, आपकी अनुमति से, इसे मॉड्यूल के साथ एक अपरिमेय समीकरण कहते हैं।

क्या इस प्रकार के समीकरणों को अपरिमेय माना जाता है? सवाल अच्छा है। ऐसा लगता है कि मूल चिह्न के नीचे एक चर है, लेकिन यह भ्रमित करता है कि यह अपने "शुद्ध रूप" में नहीं है, बल्कि अन्य या अधिक कार्यों के संकेत के तहत है। दूसरे शब्दों में, ऊपर दिए गए अपरिमेय समीकरणों को हमने जिस तरह से परिभाषित किया है, उसमें कोई विरोधाभास नहीं है, लेकिन अन्य कार्यों की उपस्थिति के कारण कुछ हद तक अनिश्चितता है। हमारे दृष्टिकोण से, किसी को "चीजों को उनके उचित नाम से पुकारने" के बारे में कट्टर नहीं होना चाहिए। व्यवहार में, यह निर्दिष्ट किए बिना कि यह किस प्रकार का है, केवल "समीकरण" कहना पर्याप्त है। और ये सभी जोड़ "तर्कहीन", "लघुगणक", आदि हैं। सामग्री को प्रस्तुत करने और समूहबद्ध करने की सुविधा के लिए अधिकांश भाग के लिए काम करते हैं।

अंतिम पैराग्राफ में दी गई जानकारी के आलोक में, कक्षा 11 के लिए मोर्दकोविच ए.जी. द्वारा लिखित पाठ्यपुस्तक में दी गई अपरिमेय समीकरणों की परिभाषा रुचिकर है

परिभाषा

तर्कहीनवे समीकरण कहलाते हैं जिनमें चर मूलांक के चिह्न के नीचे या भिन्नात्मक शक्ति में वृद्धि के चिह्न के नीचे समाहित होता है।

यहां, मूल के चिह्न के तहत एक चर के साथ समीकरणों के अलावा, एक भिन्नात्मक शक्ति को बढ़ाने के संकेत के तहत चर वाले समीकरणों को भी तर्कहीन माना जाता है। उदाहरण के लिए, इस परिभाषा के अनुसार, समीकरण तर्कहीन माना जाता है। अचानक क्यों? हम पहले से ही अपरिमेय समीकरणों में जड़ों के आदी हैं, लेकिन यहां यह जड़ नहीं है, बल्कि एक डिग्री है, और आप इस समीकरण को और अधिक कॉल करना चाहते हैं, उदाहरण के लिए, एक शक्ति कानून, और एक तर्कहीन नहीं? सब कुछ सरल है: इसे जड़ों के माध्यम से परिभाषित किया गया है, और दिए गए समीकरण के लिए चर x पर (x 2 +2 x≥0 मानते हुए) इसे रूट का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है , और अंतिम समानता एक अपरिमेय समीकरण है जो हमें मूल चिह्न के नीचे एक चर के साथ परिचित है। और भिन्नात्मक घातों के आधार में चरों वाले समीकरणों को हल करने की विधियाँ अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधियों के समान ही हैं (उनकी चर्चा अगले पैराग्राफ में की जाएगी)। इसलिए उन्हें तर्कहीन कहना और इस प्रकाश में उन पर विचार करना सुविधाजनक है। लेकिन आइए अपने आप से ईमानदार रहें: शुरू में हमारे पास समीकरण है , लेकिन नहीं , और भाषा मूल समीकरण को अपरिमेय कहने के लिए बहुत इच्छुक नहीं है क्योंकि अंकन में जड़ का अभाव है। वही चाल आपको शब्दावली के बारे में ऐसे विवादास्पद बिंदुओं से दूर होने की अनुमति देती है: समीकरण को बिना किसी विशिष्ट विनिर्देशों के केवल एक समीकरण कहने के लिए।

सबसे सरल अपरिमेय समीकरण

यह तथाकथित का उल्लेख करने योग्य है सरल अपरिमेय समीकरण. आइए तुरंत कहें कि यह शब्द बीजगणित की मुख्य पाठ्यपुस्तकों और विश्लेषण की शुरुआत में प्रकट नहीं होता है, लेकिन कभी-कभी समस्या पुस्तकों और मैनुअल में पाया जाता है, उदाहरण के लिए, में। इसे आम तौर पर स्वीकार नहीं किया जाना चाहिए, लेकिन यह जानने में कोई दिक्कत नहीं है कि आमतौर पर सबसे सरल तर्कहीन समीकरणों द्वारा क्या समझा जाता है। यह आमतौर पर फॉर्म के अपरिमेय समीकरणों को दिया गया नाम है , जहां f(x) और g(x) कुछ हैं। इस प्रकाश में, सरलतम अपरिमेय समीकरण कहा जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण या .

इस तरह के नाम "सरलतम अपरिमेय समीकरण" की उपस्थिति की व्याख्या कैसे की जा सकती है? उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए अक्सर उनके प्रारंभिक रूप में कमी की आवश्यकता होती है और किसी भी मानक समाधान विधियों के आगे आवेदन। यहाँ इस रूप में अपरिमेय समीकरणों को सरलतम कहा जाता है।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने की मूल विधियाँ

जड़ की परिभाषा के अनुसार

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीकों में से एक पर आधारित है। इसकी सहायता से, सरलतम रूप के अपरिमेय समीकरणों को आमतौर पर हल किया जाता है , जहां f(x) और g(x) कुछ परिमेय व्यंजक हैं (हमने में सरलतम अपरिमेय समीकरणों की परिभाषा दी है)। रूप के अपरिमेय समीकरण , लेकिन जिसमें f(x) और/या g(x) अपरिमेय व्यंजक हैं। हालाँकि, कई मामलों में ऐसे समीकरणों को अन्य तरीकों से हल करना अधिक सुविधाजनक होता है, जिसकी चर्चा निम्नलिखित पैराग्राफ में की जाएगी।

सामग्री को प्रस्तुत करने की सुविधा के लिए, हम अपरिमेय समीकरणों को सम मूल घातांकों से अलग करते हैं, अर्थात् समीकरण , 2 k=2, 4, 6,… , विषम मूल घातांक वाले समीकरणों से , 2 k+1=3, 5, 7, ... हम तुरंत उनके समाधान के तरीकों को आवाज देंगे:

उपरोक्त दृष्टिकोण सीधे से अनुसरण करते हैं तथा .

इसलिए, अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधि जड़ की परिभाषा के अनुसार इस प्रकार है:

मूल की परिभाषा के अनुसार, दायीं ओर संख्याओं के साथ सरलतम अपरिमेय समीकरणों को हल करना सबसे सुविधाजनक है, अर्थात्, रूप के समीकरण, जहाँ C कुछ संख्या है। जब समीकरण के दायीं ओर एक संख्या होती है, तब भी एक सम मूल घातांक के साथ, आपको सिस्टम में जाने की आवश्यकता नहीं है: यदि C एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, तो सम की जड़ की परिभाषा के अनुसार डिग्री, और यदि सी एक ऋणात्मक संख्या है, तो आप तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं, क्योंकि परिभाषा के अनुसार, एक सम डिग्री की जड़ एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसका अर्थ है कि समीकरण मुड़ता नहीं है चर x के किसी भी वास्तविक मान के लिए एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में।

आइए विशिष्ट उदाहरणों पर चलते हैं।

हम सरल से जटिल की ओर जाएंगे। आइए सबसे सरल अपरिमेय समीकरण को हल करके शुरू करें, जिसके बाईं ओर एक सम डिग्री की जड़ है, और दाईं ओर - एक सकारात्मक संख्या, यानी फॉर्म के समीकरण को हल करने से, जहां सी एक सकारात्मक है संख्या। मूल की परिभाषा आपको दिए गए अपरिमेय समीकरण को हल करने से लेकर बिना मूल C 2·k =f(x) के सरल समीकरण को हल करने की अनुमति देती है।

इसी तरह, मूल की परिभाषा के द्वारा, दाईं ओर शून्य के साथ सरलतम अपरिमेय समीकरण हल किए जाते हैं।

आइए हम अपरिमेय समीकरणों पर अलग से ध्यान दें, जिसके बाईं ओर एक सम अंश की जड़ होती है, जिसके चिन्ह के नीचे एक चर होता है, और दाईं ओर एक ऋणात्मक संख्या होती है। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर इस प्रकार के समीकरणों का कोई हल नहीं होता है (परिचित होने के बाद हम सम्मिश्र मूलों के बारे में बात करेंगे जटिल आंकड़े ) यह बहुत स्पष्ट है: एक सम अंश का मूल, परिभाषा के अनुसार, एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसका अर्थ है कि यह एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकती है।

पिछले उदाहरणों से अपरिमेय समीकरणों के बाएँ हाथ की भुजाएँ सम घातों की जड़ें थीं, और दाएँ हाथ की भुजाएँ संख्याएँ थीं। अब दायीं ओर चर वाले उदाहरणों पर विचार करें, अर्थात्, हम रूप के अपरिमेय समीकरणों को हल करेंगे . उन्हें हल करने के लिए, जड़ का निर्धारण करके, सिस्टम में एक संक्रमण किया जाता है , जिसका समाधान मूल समीकरण के समान ही है।

यह ध्यान में रखना चाहिए कि सिस्टम , जिसके समाधान के लिए मूल अपरिमेय समीकरण का समाधान , यंत्रवत् नहीं, बल्कि, यदि संभव हो तो, तर्कसंगत रूप से हल करना वांछनीय है। स्पष्ट है कि यह अधिक प्रश्नविषय से " सिस्टम समाधान”, लेकिन फिर भी हम तीन बार सामना की जाने वाली स्थितियों को उदाहरण के साथ सूचीबद्ध करते हैं:

1. उदाहरण के लिए, यदि इसका पहला समीकरण g 2 k (x)=f(x) का कोई हल नहीं है, तो असमानता g(x)≥0 को भी हल करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि पहले से ही समीकरण के समाधान की अनुपस्थिति से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है।

1. इसी तरह, यदि असमानता g(x)≥0 का कोई हल नहीं है, तो समीकरण g 2·k (x)=f(x) को हल करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि इसके बिना भी यह स्पष्ट है कि इस मामले में प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।

1. अक्सर, असमानता g(x)≥0 को बिल्कुल भी हल नहीं किया जाता है, लेकिन केवल यह जांचा जाता है कि समीकरण g 2·k (x)=f(x) के कौन से मूल इसे संतुष्ट करते हैं। उन सभी का समुच्चय जो असमानता को संतुष्ट करता है वह प्रणाली का समाधान है, जिसका अर्थ है कि यह इसके बराबर मूल अपरिमेय समीकरण का समाधान भी है।

मूल घातांक वाले समीकरणों के बारे में पर्याप्त है। यह रूप की विषम शक्तियों की जड़ों वाले अपरिमेय समीकरणों पर ध्यान देने का समय है . जैसा कि हमने पहले ही कहा है, उन्हें हल करने के लिए, हम समतुल्य समीकरण को पास करते हैं , जिसे किसी भी उपलब्ध तरीकों से हल किया जाता है।

इस पैराग्राफ के अंत में, हम उल्लेख करते हैं निर्णय सत्यापन. मूल का निर्धारण करके अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधि संक्रमणों की तुल्यता की गारंटी देती है। इसका मतलब है कि पाए गए समाधानों की जांच करना आवश्यक नहीं है। इस क्षण को फायदे के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है यह विधिअपरिमेय समीकरणों को हल करना, क्योंकि अधिकांश अन्य तरीकों में, सत्यापन समाधान में एक अनिवार्य कदम है, जो आपको बाहरी जड़ों को काटने की अनुमति देता है। लेकिन साथ ही, यह याद रखना चाहिए कि मूल समीकरण में पाए गए समाधानों को प्रतिस्थापित करके जाँच करना कभी भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होता है: अचानक कहीं एक कम्प्यूटेशनल त्रुटि आ गई है।

हम यह भी ध्यान देते हैं कि अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय बाहरी जड़ों की जाँच और स्क्रीनिंग का मुद्दा बहुत महत्वपूर्ण है, इसलिए हम इस लेख के अगले पैराग्राफ में से एक में इस पर वापस लौटेंगे।

एक समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाना

आगे की प्रस्तुति का तात्पर्य है कि पाठक के पास समतुल्य समीकरणों और समीकरणों-परिणामों का विचार है।

एक समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाने की विधि निम्नलिखित कथन पर आधारित है:

कथन

समीकरण के दोनों पक्षों को समान प्राकृतिक घात तक बढ़ाने से कोरोलरी समीकरण प्राप्त होता है, और समीकरण के दोनों पक्षों को समान विषम प्राकृतिक घात तक बढ़ाने से एक समान समीकरण प्राप्त होता है।

सबूत

आइए इसे एक चर वाले समीकरणों के लिए सिद्ध करें। कई चर वाले समीकरणों के लिए, सबूत के सिद्धांत समान हैं।

मान लीजिए A(x)=B(x) मूल समीकरण है और x 0 इसका मूल है। चूँकि x 0 इस समीकरण का मूल है, तो A(x 0)=B(x 0) - सही संख्यात्मक समानता. हम संख्यात्मक समानता के इस गुण को जानते हैं: वास्तविक संख्यात्मक समानता का पद-दर-वर्ष गुणन सही संख्यात्मक समानता देता है। पद को 2 k से गुणा करें, जहां k है प्राकृतिक संख्या, सही संख्यात्मक समानताएं A(x 0)=B(x 0) , इससे हमें सही संख्यात्मक समानता A 2 k (x 0)=B 2 k (x 0) प्राप्त होगी। और परिणामी समानता का अर्थ है कि x 0 समीकरण A 2 k (x)=B 2 k (x) का मूल है, जो मूल समीकरण से इसके दोनों भागों को समान प्राकृतिक शक्ति 2 k तक बढ़ाकर प्राप्त किया जाता है।

समीकरण A 2·k (x)=B 2·k (x) के मूल के अस्तित्व की संभावना को सही ठहराने के लिए, जो मूल समीकरण A(x)=B(x) का मूल नहीं है, यह पर्याप्त है एक उदाहरण देने के लिए। अपरिमेय समीकरण पर विचार करें , और समीकरण , जो मूल से इसके दोनों भागों का वर्ग करके प्राप्त किया जाता है। यह जांचना आसान है कि शून्य समीकरण का मूल है , वास्तव में, , जो वही 4=4 है - सही समानता। लेकिन साथ ही, शून्य समीकरण के लिए एक बाहरी मूल है , चूंकि शून्य को प्रतिस्थापित करने के बाद हम समानता प्राप्त करते हैं , जो 2=−2 के समान है, जो गलत है। इससे यह सिद्ध होता है कि मूल से प्राप्त समीकरण के दोनों भागों को समान घात तक बढ़ाने पर मूल समीकरण के मूल से बाहर के मूल हो सकते हैं।

तो यह सिद्ध हो जाता है कि समीकरण के दोनों भागों को समान प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने से समीकरण-परिणाम होता है।

यह साबित करना बाकी है कि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही विषम प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने से एक समान समीकरण मिलता है।

आइए हम दिखाते हैं कि समीकरण का प्रत्येक मूल मूल से प्राप्त समीकरण का मूल है, इसके दोनों भागों को एक विषम घात तक बढ़ाकर, और इसके विपरीत, कि समीकरण का प्रत्येक मूल मूल से प्राप्त होता है, इसके दोनों भागों को एक विषम घात मूल समीकरण का मूल है।

आइए हम समीकरण A(x)=B(x) लें। माना x 0 इसका मूल है। तब संख्यात्मक समानता A(x 0)=B(x 0) सत्य है। वास्तविक संख्यात्मक समानता के गुणों का अध्ययन करते हुए, हमने सीखा कि वास्तविक संख्यात्मक समानता को पद से गुणा किया जा सकता है। पद को 2 k+1 से गुणा करने पर, जहां k एक प्राकृतिक संख्या है, सही संख्यात्मक समानताएं A(x 0)=B(x 0) हम सही संख्यात्मक समानता प्राप्त करते हैं A 2 k+1 (x 0)=B 2 k +1 ( x 0) , जिसका अर्थ है कि x 0 समीकरण A 2 k+1 (x)=B 2 k+1 (x) का मूल है। अब पीछे हो। मान लीजिए x 0 समीकरण A 2 k+1 (x)=B 2 k+1 (x) का मूल है। इसका अर्थ है कि संख्यात्मक समानता A 2 k+1 (x 0)=B 2 k+1 (x 0) सही है। किसी भी वास्तविक संख्या से विषम अंश के मूल के अस्तित्व और उसकी विशिष्टता के आधार पर समानता भी सत्य होगी। यह, बदले में, पहचान के कारण , जहाँ a कोई वास्तविक संख्या है जो जड़ों और घातों के गुणों का अनुसरण करती है, को A(x 0)=B(x 0) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। और इसका अर्थ है कि x 0 समीकरण A(x)=B(x) का मूल है।

तो यह सिद्ध हो जाता है कि एक अपरिमेय समीकरण के दोनों भागों को एक विषम घात तक बढ़ाने से एक समान समीकरण प्राप्त होता है।

सिद्ध कथन हमारे लिए ज्ञात शस्त्रागार की भरपाई करता है, जिसका उपयोग समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है, समीकरणों के एक और परिवर्तन के साथ - समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ा देता है। समीकरण के दोनों भागों को एक ही विषम घात में बढ़ाना एक परिणामी समीकरण की ओर ले जाने वाला परिवर्तन है, और एक सम घात तक बढ़ाना एक समान परिवर्तन है। समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात तक बढ़ाने की विधि इस परिवर्तन पर आधारित है।

समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने का उपयोग मुख्य रूप से अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है, क्योंकि कुछ मामलों में यह परिवर्तन आपको जड़ों के संकेतों से छुटकारा पाने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को ऊपर उठाना n की शक्ति के लिए समीकरण देता है , जिसे बाद में समीकरण f(x)=g n (x) में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसमें अब बाईं ओर कोई मूल नहीं है। यह उदाहरण दिखाता है समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने की विधि का सार: एक उपयुक्त परिवर्तन का उपयोग करके, एक सरल समीकरण प्राप्त करें जिसमें इसके अंकन में मूलक न हों, और इसके समाधान के माध्यम से, मूल अपरिमेय समीकरण का हल प्राप्त करें।

अब हम समीकरण के दोनों भागों को एक ही प्राकृतिक घात तक बढ़ाने की विधि के विवरण की ओर सीधे आगे बढ़ सकते हैं। आइए मूल घातांक के साथ सरलतम अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म के साथ शुरू करते हैं, यानी फॉर्म के समीकरण जहाँ k एक प्राकृत संख्या है, f(x) और g(x) परिमेय व्यंजक हैं। विषम मूल घातांक के साथ सरलतम अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म, यानी फॉर्म के समीकरण , हम थोड़ी देर बाद देंगे। फिर हम और भी आगे बढ़ेंगे: हम समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने की विधि का विस्तार अधिक जटिल अपरिमेय समीकरणों तक करेंगे, जिसमें मूल चिह्नों के नीचे जड़ें हों, कई मूल चिह्न, और इसी तरह।

एक समीकरण के दोनों पक्षों को समान सम घात तक बढ़ाने पर:

उपरोक्त जानकारी से, यह स्पष्ट है कि एल्गोरिथम के पहले चरण के बाद, हम एक ऐसे समीकरण पर आएँगे, जिसके मूल में मूल समीकरण के सभी मूल शामिल हैं, लेकिन जिसमें मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ें भी हो सकती हैं। इसलिए, एल्गोरिथ्म में बाहरी जड़ों को बाहर निकालने के बारे में एक खंड है।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुप्रयोग का विश्लेषण करें।

आइए एक सरल और काफी विशिष्ट अपरिमेय समीकरण को हल करके शुरू करें, जिसके दोनों पक्षों को चुकता करते हुए एक द्विघात समीकरण की ओर जाता है जिसका कोई मूल नहीं है।

यहां एक उदाहरण दिया गया है जिसमें मूल अपरिमेय समीकरण से प्राप्त समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करके प्राप्त किए गए सभी मूल मूल समीकरण के असंगत हो जाते हैं। निष्कर्ष: इसकी कोई जड़ नहीं है।

अगला उदाहरण थोड़ा और जटिल है। इसका समाधान, पिछले दो के विपरीत, दोनों भागों को अब वर्ग में नहीं, बल्कि छठी शक्ति के लिए चुकता करने की आवश्यकता है, और यह अब एक रैखिक या द्विघात समीकरण नहीं, बल्कि एक घन समीकरण की ओर ले जाएगा। यहां, एक चेक हमें दिखाएगा कि इसके तीनों मूल प्रारंभ में दिए गए अपरिमेय समीकरण के मूल होंगे।

और यहाँ हम और भी आगे जाते हैं। जड़ से छुटकारा पाने के लिए, आपको अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्षों को चौथी डिग्री तक उठाना होगा, जो बदले में चौथी डिग्री के समीकरण की ओर ले जाएगा। सत्यापन से पता चलेगा कि चार संभावित जड़ों में से केवल एक अपरिमेय समीकरण का वांछित मूल होगा, और शेष बाहरी होगा।

अंतिम तीन उदाहरण निम्नलिखित कथन के उदाहरण हैं: यदि एक अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही सम घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो जड़ों के साथ एक समीकरण प्राप्त होता है, तो उनका बाद का सत्यापन यह दिखा सकता है कि

• या वे सभी मूल समीकरण के लिए बाहरी मूल हैं, और इसकी कोई जड़ें नहीं हैं,
• या उनमें से कोई भी बाहरी जड़ें नहीं हैं, और वे सभी मूल समीकरण की जड़ें हैं,
• या बाहरी लोग उनमें से कुछ ही हैं।

यह एक विषम मूल घातांक के साथ सरलतम अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ने का समय है, यानी फॉर्म के समीकरण . हम संबंधित एल्गोरिथ्म लिखते हैं।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम एक समीकरण के दोनों पक्षों को समान विषम घात तक बढ़ाने पर:

• अपरिमेय समीकरण के दोनों भागों को समान विषम घात 2·k+1 तक बढ़ा दिया जाता है।
• परिणामी समीकरण हल हो गया है। इसका हल मूल समीकरण का हल है।

कृपया ध्यान दें: उपरोक्त एल्गोरिथम, एक समान रूट एक्सपोनेंट के साथ सरलतम अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम के विपरीत, बाहरी जड़ों के उन्मूलन के संबंध में कोई खंड नहीं है। ऊपर, हमने दिखाया कि समीकरण के दोनों हिस्सों को एक विषम घात में उठाना समीकरण के परिवर्तन के बराबर है, जिसका अर्थ है कि इस तरह के परिवर्तन से बाहरी जड़ों की उपस्थिति नहीं होती है, इसलिए उन्हें फ़िल्टर करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

इस प्रकार, दोनों भागों को एक ही विषम घात में उठाकर अपरिमेय समीकरणों का समाधान बाहरी लोगों को बाहर निकाले बिना किया जा सकता है। उसी समय, यह मत भूलो कि एक समान शक्ति तक बढ़ाते समय, एक चेक की आवश्यकता होती है।

इस तथ्य का ज्ञान यह संभव बनाता है, कानूनी रूप से, अपरिमेय समीकरण को हल करते समय बाहरी जड़ों को बाहर नहीं निकालना संभव बनाता है . विशेष रूप से इस मामले में, चेक "अप्रिय" गणनाओं से जुड़ा हुआ है। वैसे भी कोई बाहरी जड़ें नहीं होंगी, क्योंकि इसे एक विषम शक्ति तक बढ़ाया जाता है, अर्थात् घन तक, जो एक समान परिवर्तन है। यह स्पष्ट है कि जांच की जा सकती है, लेकिन आत्म-नियंत्रण के लिए और अधिक, ताकि अतिरिक्त रूप से पाए गए समाधान की शुद्धता को सत्यापित किया जा सके।

आइए मध्यवर्ती परिणामों का योग करें। इस बिंदु पर, हमने, सबसे पहले, पहले से ज्ञात समाधानों के शस्त्रागार को फिर से भर दिया विभिन्न समीकरणएक और परिवर्तन, जिसमें समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ाना शामिल है। जब एक सम शक्ति तक उठाया जाता है, तो यह परिवर्तन समकक्ष नहीं हो सकता है, और इसका उपयोग करते समय, बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करने के लिए जांचना आवश्यक है। जब एक विषम शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो निर्दिष्ट परिवर्तन समतुल्य होता है, और बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करना आवश्यक नहीं होता है। और दूसरी बात, हमने सीखा कि फॉर्म के सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए इस परिवर्तन का उपयोग कैसे करें , जहाँ n मूल घातांक है, f(x) और g(x) परिमेय व्यंजक हैं।

अब समय आ गया है कि समीकरण के दोनों पक्षों को सामान्य दृष्टिकोण से एक ही घात में ऊपर उठाया जाए। यह हमें सरल अपरिमेय समीकरणों से अपरिमेय समीकरणों को अधिक जटिल रूप के अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए इस पर आधारित विधि का विस्तार करने की अनुमति देगा। चलिए इस पर चलते हैं।

वास्तव में, समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही शक्ति तक बढ़ाकर समीकरणों को हल करते समय, हमारे लिए पहले से ज्ञात सामान्य दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है: मूल समीकरण को कुछ परिवर्तनों द्वारा सरल समीकरण में बदल दिया जाता है, इसे और भी सरल में बदल दिया जाता है, और इसी तरह, समीकरणों तक जिन्हें हम हल कर सकते हैं। यह स्पष्ट है कि यदि ऐसे परिवर्तनों की एक श्रृंखला में हम समीकरण के दोनों भागों को एक ही घात में ऊपर उठाने का सहारा लेते हैं, तो हम कह सकते हैं कि हम समीकरण के दोनों भागों को एक ही घात तक बढ़ाने की एक ही नाम पद्धति के अनुसार कार्य कर रहे हैं। . यह केवल यह पता लगाने के लिए रहता है कि समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही डिग्री तक बढ़ाकर अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए किस प्रकार के परिवर्तन और किस क्रम में किए जाने चाहिए।

यहाँ समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात में उठाकर अपरिमेय समीकरणों को हल करने का एक सामान्य तरीका दिया गया है:

• सबसे पहले, हमें मूल अपरिमेय समीकरण से अधिक पर जाने की आवश्यकता है सरल समीकरण, जो आमतौर पर निम्नलिखित तीन क्रियाओं को चक्रीय रूप से निष्पादित करके प्राप्त किया जाता है:
  • रेडिकल का अलगाव (या इसी तरह की तकनीक, उदाहरण के लिए, रेडिकल के उत्पाद का अलगाव, एक अंश का अलगाव जिसका अंश और / या हर जड़ है, जो जड़ से छुटकारा पाना संभव बनाता है जब दोनों भागों समीकरण को एक शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है)।
  • समीकरण के प्रकार का सरलीकरण।
• दूसरे, आपको परिणामी समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।
• अंत में, यदि हल करने की प्रक्रिया में कोरोलरी समीकरणों के लिए संक्रमण थे (विशेष रूप से, यदि समीकरण के दोनों हिस्सों को एक समान शक्ति तक बढ़ा दिया गया था), तो बाहरी जड़ों को समाप्त किया जाना चाहिए।

आइए अर्जित ज्ञान को व्यवहार में लाएं।

आइए एक उदाहरण को हल करें जिसमें रेडिकल का अलगाव अपरिमेय समीकरण को उसके सरलतम रूप में कम कर देता है, जिसके बाद यह दोनों भागों का वर्ग करने के लिए रहता है, परिणामी समीकरण को हल करता है और एक चेक का उपयोग करके बाहरी जड़ों को बाहर निकालता है।

निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण को हर में एक मूलांक के साथ भिन्न को अलग करके हल किया जा सकता है, जिसे समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके समाप्त किया जा सकता है। और फिर सब कुछ सरल है: प्राप्त भिन्नात्मक परिमेय समीकरणऔर एक चेक किया जाता है जो उत्तर में बाहरी जड़ों के प्रवेश को बाहर करता है।

काफी विशेषता अपरिमेय समीकरण हैं, जिनके रिकॉर्ड में दो जड़ें हैं। वे आमतौर पर समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात में उठाकर सफलतापूर्वक हल किए जाते हैं। यदि जड़ों में समान डिग्री है, और उनके अलावा कोई अन्य शब्द नहीं हैं, तो रेडिकल से छुटकारा पाने के लिए, यह रेडिकल को अलग करने और एक बार घातांक प्रदर्शन करने के लिए पर्याप्त है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है।

और यहाँ एक उदाहरण है जिसमें दो जड़ें भी हैं, उनके अलावा कोई पद भी नहीं है, लेकिन जड़ों की डिग्री अलग हैं। इस मामले में, रेडिकल को अलग करने के बाद, समीकरण के दोनों पक्षों को एक ऐसी शक्ति तक बढ़ाने की सलाह दी जाती है जो एक ही बार में दोनों रेडिकल से मुक्त हो जाए। ऐसी डिग्री, उदाहरण के लिए, जड़ों के संकेतक हैं। हमारे मामले में, जड़ों की डिग्री 2 और 3 हैं, एलसीएम(2, 3)=6, इसलिए, हम दोनों भागों को छठी शक्ति तक बढ़ाएंगे। ध्यान दें कि हम मानक तरीके से भी कार्य कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में हमें दोनों भागों को दो बार एक शक्ति तक बढ़ाने का सहारा लेना होगा: पहले से दूसरे तक, फिर तीसरे तक। हम दोनों समाधान दिखाएंगे।

अधिक जटिल मामलों में, समीकरण के दोनों भागों को एक ही घात में उठाकर अपरिमेय समीकरणों को हल करते हुए, आपको दो बार, कम बार - तीन बार, यहां तक ​​कि कम बार - अधिकएक बार। जो कहा गया है उसे दर्शाने वाले पहले अपरिमेय समीकरण में दो मूलक और एक और पद शामिल हैं।

निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण के हल के लिए भी दो क्रमागत घातांकों की आवश्यकता होती है। अगर हम कट्टरपंथियों को अलग-थलग करना नहीं भूलते हैं, तो उनके संकेतन में मौजूद तीन कट्टरपंथियों से छुटकारा पाने के लिए दो घातांक पर्याप्त हैं।

एक अपरिमेय समीकरण के दोनों भागों को एक ही घात तक बढ़ाने की विधि आपको अपरिमेय समीकरणों का सामना करने की अनुमति देती है जिसमें मूल के नीचे एक और मूल होता है। यहाँ एक विशिष्ट उदाहरण का समाधान है।

अंत में, अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित विधियों के विश्लेषण के लिए आगे बढ़ने से पहले, इस तथ्य पर ध्यान देना आवश्यक है कि एक अपरिमेय समीकरण के दोनों भागों को एक ही घात में बढ़ाने से, आगे के परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, एक समीकरण दिया जा सकता है समाधान की अनंत संख्या। एक समीकरण जिसमें अपरिमित रूप से कई जड़ें होती हैं, उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्षों को चुकता करने के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है और परिणामी समीकरण के रूप का बाद का सरलीकरण। उसी समय, स्पष्ट कारणों से, हम प्रतिस्थापन जाँच करने में सक्षम नहीं हैं। ऐसे मामलों में, किसी को या तो सत्यापन के अन्य तरीकों का सहारा लेना पड़ता है, जिसके बारे में हम बात करेंगे, या समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने की विधि को किसी अन्य समाधान विधि के पक्ष में छोड़ना होगा, उदाहरण के लिए, के पक्ष में एक विधि जो मानती है।

हमने समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात तक बढ़ाकर सबसे विशिष्ट अपरिमेय समीकरणों के समाधानों पर विचार किया है। अध्ययन किया गया सामान्य दृष्टिकोण अन्य अपरिमेय समीकरणों का मुकाबला करने की अनुमति देता है, यदि समाधान की यह विधि उनके लिए बिल्कुल उपयुक्त है।

एक नया चर पेश करके अपरिमेय समीकरणों को हल करना

अस्तित्व समीकरणों को हल करने के सामान्य तरीके. वे आपको समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं अलग - अलग प्रकार. विशेष रूप से, अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य तरीके लागू होते हैं। इस अनुच्छेद में, हम सामान्य तरीकों में से एक पर विचार करेंगे - एक नया चर शुरू करने की विधि, या यों कहें, सटीक रूप से अपरिमेय समीकरणों को हल करने में इसका उपयोग। विधि का सार और विवरण स्वयं लेख में निर्धारित किया गया है, जिसका लिंक पिछले वाक्य में दिया गया है। यहां हम व्यावहारिक भाग पर ध्यान देंगे, अर्थात्, हम एक नया चर पेश करके विशिष्ट अपरिमेय समीकरणों के समाधानों का विश्लेषण करेंगे।

इस लेख के निम्नलिखित भाग अन्य सामान्य विधियों द्वारा अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित हैं।

पहले हम पेश करते हैं एक नया चर पेश करके समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम. हम इसके तुरंत बाद जरूरी स्पष्टीकरण देंगे। तो एल्गोरिथ्म:

अब वादा किए गए स्पष्टीकरण के लिए।

एल्गोरिथ्म के दूसरे, तीसरे और चौथे चरण विशुद्ध रूप से तकनीकी हैं और अक्सर मुश्किल नहीं होते हैं। और मुख्य रुचि पहला कदम है - एक नए चर की शुरूआत। यहाँ मुद्दा यह है कि यह अक्सर स्पष्ट नहीं होता है कि एक नए चर को कैसे पेश किया जाए, और कई मामलों में t g(x) के साथ बदलने के लिए एक सुविधाजनक अभिव्यक्ति दिखाने के लिए समीकरण के कुछ परिवर्तन करना आवश्यक है। दूसरे शब्दों में, एक नए चर की शुरूआत अक्सर एक रचनात्मक और जटिल प्रक्रिया होती है। इसके बाद, हम सबसे बुनियादी और विशिष्ट उदाहरणों को छूने की कोशिश करेंगे जो यह बताते हैं कि अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय एक नया चर कैसे पेश किया जाए।

हम प्रस्तुति के निम्नलिखित क्रम का पालन करेंगे:

तो, आइए अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय एक नया चर पेश करने के सबसे सरल मामलों से शुरू करें।

आइए अपरिमेय समीकरण को हल करें , जिसे हमने पहले ही एक उदाहरण के रूप में थोड़ा अधिक उद्धृत किया है। जाहिर है, इस मामले में, एक प्रतिस्थापन संभव है। यह हमें एक तर्कसंगत समीकरण की ओर ले जाएगा, जिसकी दो जड़ें हैं, जो उलटने पर, दो सरल अपरिमेय समीकरणों का एक सेट देगा, जिसका समाधान मुश्किल नहीं है। तुलना के लिए, हम परिवर्तन करके हल करने का एक वैकल्पिक तरीका दिखाएंगे जो सबसे सरल तर्कहीन समीकरण को जन्म देगा।

निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण में, एक नया चर पेश करने की संभावना भी स्पष्ट है। लेकिन यह उल्लेखनीय है कि इसे हल करते समय हमें मूल चर पर वापस नहीं लौटना पड़ता है। तथ्य यह है कि परिचय के बाद प्राप्त हुआ चर समीकरणइसका कोई हल नहीं है, जिसका अर्थ है कि मूल समीकरण का कोई हल नहीं है।

अपरिमेय समीकरण , पिछले एक की तरह, एक नया चर पेश करके आसानी से हल किया जाता है। इसके अलावा, यह, पिछले एक की तरह, कोई समाधान नहीं है। लेकिन जड़ों की अनुपस्थिति अन्य तरीकों से निर्धारित होती है: यहां चर के परिचय के बाद प्राप्त समीकरण में समाधान होते हैं, और रिवर्स प्रतिस्थापन के दौरान लिखे गए समीकरणों के सेट का कोई समाधान नहीं होता है, इसलिए मूल समीकरण का कोई समाधान नहीं होता है। आइए इस समीकरण के हल का विश्लेषण करें।

आइए उदाहरणों की श्रृंखला को पूरा करें जिसमें प्रतिस्थापन स्पष्ट है, एक तर्कहीन समीकरण के साथ जो जटिल दिखता है, जिसमें मूल के नीचे मूल है। एक नए चर का परिचय अक्सर समीकरण की संरचना को और अधिक समझने योग्य बनाता है, जो सच है, विशेष रूप से, इस उदाहरण के लिए। वास्तव में, अगर हम स्वीकार करते हैं , तो मूल अपरिमेय समीकरण एक सरल अपरिमेय समीकरण में बदल जाता है , जिसे हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके। हम एक नया चर पेश करके समाधान प्रस्तुत करते हैं, और तुलना के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करके समाधान दिखाते हैं।

पिछले सभी उदाहरणों के रिकॉर्ड में कई समान भाव थे, जिन्हें हमने एक नए चर के लिए लिया था। सब कुछ सरल और स्पष्ट था: हम उपयुक्त समान भाव देखते हैं और उनके बजाय हम एक नया चर पेश करते हैं, जो एक नए चर के साथ एक सरल समीकरण देता है। अब हम थोड़ा और आगे बढ़ेंगे - हम यह पता लगाएंगे कि अपरिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए जिसमें प्रतिस्थापन के लिए उपयुक्त अभिव्यक्ति इतनी स्पष्ट नहीं है, लेकिन सरल परिवर्तनों का उपयोग करके इसे स्पष्ट रूप से देखना और निकालना काफी आसान है।

उन बुनियादी तकनीकों पर विचार करें जो आपको एक नया चर पेश करने के लिए सुविधाजनक अभिव्यक्ति का स्पष्ट रूप से चयन करने की अनुमति देती हैं। पहला यह है। आइए बताते हैं कि क्या कहा गया है।

जाहिर है, अपरिमेय समीकरण में एक नया चर प्रस्तुत करने के लिए, x 2 +x=t लेना पर्याप्त है। क्या समीकरण में एक नया चर भी पेश करना संभव है ? यह एक संभावना है, क्योंकि यह स्पष्ट है कि . अंतिम समानता समीकरण के एक समान परिवर्तन की अनुमति देती है, जिसमें अभिव्यक्ति को समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ बदलना शामिल है जो ODZ को नहीं बदलता है, जिससे मूल समीकरण से समकक्ष समीकरण में स्थानांतरित करना संभव हो जाता है और इसे पहले से ही हल करें। आइए दिखाते हैं पूरा समाधानअपरिमेय समीकरण एक नया चर पेश करके।

एक अपरिमेय समीकरण में एक नए चर को पेश करने के लिए सामान्य कारक को ब्रैकेटिंग के अलावा और क्या संभव बनाता है? कुछ मामलों में, ये हैं , और . आइए विशिष्ट उदाहरणों पर एक नज़र डालें।

एक अपरिमेय समीकरण को हल करते समय हम एक नए चर का परिचय कैसे देंगे ? बेशक हम स्वीकार करेंगे। और यदि कार्य एक अपरिमेय समीकरण को हल करना था , क्या एक नए चर के रूप में पेश करना संभव है? स्पष्ट रूप से - दिखाई नहीं दे रहा है, लेकिन ऐसी संभावना दिखाई दे रही है, क्योंकि इस समीकरण के लिए चर x के ODZ पर, जड़ की परिभाषा और जड़ों के गुणों के आधार पर, समानता सत्य है, जो हमें जाने की अनुमति देती है समतुल्य समीकरण .

आइए पिछले उदाहरण के आधार पर एक छोटा सा सामान्यीकरण करें। ऐसे मामलों में जहां एक मूल का घातांक दूसरे (k n और k) के घातांक का गुणज होता है, एक आमतौर पर समानता का सहारा लेता है और के रूप में एक नया चर पेश करें। इसलिए हमने समीकरण को हल करते हुए कार्य किया . थोड़ा आगे हम बात करेंगे कि असमान और गैर-एकाधिक मूल घातांक वाले अपरिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

यह तर्कहीन समीकरणों में एक नए चर की शुरूआत पर संक्षेप में ध्यान देने योग्य है जिसमें एक जड़, साथ ही एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति और / या इसकी कुछ डिग्री होती है। इन मामलों में, यह स्पष्ट है कि रूट को नए चर के रूप में लिया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, समीकरण को हल करते समय हम स्वीकार करेंगे , मूल की परिभाषा के अनुसार, हम मूल समीकरण को रूप में बदल देंगे , और एक नया चर पेश करने के बाद, हम द्विघात समीकरण 2·t 2 +3·t−2=0 पर पहुंचेंगे।

थोड़े अधिक जटिल मामलों में, मूल से मेल खाने वाले व्यंजक को निकालने के लिए समीकरण के एक और अतिरिक्त परिवर्तन की आवश्यकता हो सकती है। आइए इसे समझाते हैं। हम समीकरण में एक नया चर कैसे पेश करेंगे ? जाहिर है, व्यंजक x 2 +5 मूलांक के साथ मेल खाता है, इसलिए, पिछले पैराग्राफ की जानकारी के अनुसार, हम मूल की परिभाषा के आधार पर, समतुल्य समीकरण को पास करेंगे और जैसे एक नया वैरिएबल पेश करें। और अगर हम एक समीकरण के साथ काम नहीं कर रहे थे तो हम एक नया चर कैसे पेश करेंगे , और समीकरण के साथ ? हाँ और। यह सिर्फ इतना है कि मूल अभिव्यक्ति x 2 +5 को स्पष्ट रूप से उजागर करने के लिए हमें पहले x 2 +1 को x 2 +5−4 के रूप में प्रस्तुत करना होगा। अर्थात्, हम अपरिमेय समीकरण से समतुल्य समीकरण को पारित किया गया , फिर समीकरण के लिए , जिसके बाद हम आसानी से एक नया वेरिएबल पेश करेंगे।

ऐसे मामलों में, एक नया चर पेश करने के लिए एक और अधिक सार्वभौमिक दृष्टिकोण है: जड़ को एक नए चर के रूप में लें और इस समानता के आधार पर, शेष पुराने चर को नए के माध्यम से व्यक्त करें। समीकरण के लिए हम स्वीकार करेंगे, इस समानता से हम x 2 को t के रूप में t 2 −5 (, , x 2 +5=t 2 , x 2 =t 2 −5 ), जहां से x 2 +1=t 2 −4 । यह हमें एक नए चर t 2 −4+3 t=0 के साथ समीकरण को पास करने की अनुमति देता है। कौशल विकसित करने के लिए, हम एक विशिष्ट अपरिमेय समीकरण को हल करेंगे।

ऐसे उदाहरणों में एक नए चर का परिचय अभिव्यक्ति की जड़ों के संकेतों के तहत प्रकट हो सकता है जो पूर्ण वर्ग हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम एक अपरिमेय समीकरण में स्वीकार करते हैं, तो यह समीकरण की ओर ले जाएगा, जहां पहला रेडिकल एक्सप्रेशन रैखिक द्विपद t−2 का वर्ग है, और दूसरा रेडिकल एक्सप्रेशन रैखिक द्विपद t−3 का वर्ग है। . और ऐसे समीकरणों से मॉड्यूल वाले समीकरणों की ओर बढ़ना सबसे अच्छा है: , , . यह इस तथ्य के कारण है कि इस तरह के समीकरणों में अनंत संख्या में जड़ें हो सकती हैं, जबकि समीकरण के दोनों पक्षों को चुकता करके उन्हें हल करने से प्रतिस्थापन परीक्षण की अनुमति नहीं होगी, और जड़ का निर्धारण करके हल करने से एक तर्कहीन असमानता को हल करने की आवश्यकता होगी . हम इस तरह के एक उदाहरण के समाधान को एक अपरिमेय समीकरण से एक मापांक वाले समीकरण में संक्रमण पर अनुभाग में नीचे दिखाएंगे।

एक नया चर पेश करने की संभावना को देखना अभी भी कब आसान है? जब समीकरण में "उल्टे" भिन्न होते हैं और (आपकी अनुमति से, हम उन्हें सादृश्य द्वारा परस्पर व्युत्क्रम कहते हैं)। हम ऐसी भिन्नों के साथ एक परिमेय समीकरण को कैसे हल करेंगे? हम इनमें से एक भिन्न को नए चर t के रूप में लेंगे, जबकि अन्य भिन्न को नए चर के रूप में 1/t के रूप में व्यक्त किया जाएगा। अपरिमेय समीकरणों में, इस तरह से एक नया चर पेश करना पूरी तरह से व्यावहारिक नहीं है, क्योंकि जड़ों से और छुटकारा पाने के लिए, सबसे अधिक संभावना है, एक और चर को पेश करना होगा। सर्वश्रेष्ठ नए के रूप में लिया गया परिवर्तनशील जड़अंश से। खैर, फिर किसी एक समानता का उपयोग करके मूल समीकरण को रूपांतरित करें तथा , जो आपको एक नए चर के साथ समीकरण पर जाने की अनुमति देगा। एक उदाहरण पर विचार करें।

पहले से ज्ञात प्रतिस्थापन विकल्पों के बारे में मत भूलना। उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण लिखने में, व्यंजक x+1/x और x 2 +1/x 2 प्रकट हो सकते हैं, जो एक नए चर x+1/x=t को पेश करने की संभावना के बारे में सोचता है। यह विचार संयोग से नहीं उठता, क्योंकि जब हमने फैसला किया तो हमने पहले ही ऐसा कर लिया था वापसी समीकरण. एक नए चर को पेश करने की यह विधि, हमारे लिए पहले से ज्ञात अन्य विधियों की तरह, अपरिमेय समीकरणों के साथ-साथ अन्य प्रकार के समीकरणों को हल करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए।

हम अधिक जटिल अपरिमेय समीकरणों की ओर बढ़ते हैं, जिसमें एक नए चर को पेश करने के लिए उपयुक्त व्यंजक को समझना अधिक कठिन होता है। और आइए उन समीकरणों से शुरू करते हैं जिनमें मूलक व्यंजक समान होते हैं, लेकिन, ऊपर चर्चा किए गए मामले के विपरीत, एक मूल का बड़ा घातांक दूसरे मूल के छोटे घातांक से विभाज्य नहीं होता है। आइए देखें कि ऐसे मामलों में एक नया चर पेश करने के लिए सही व्यंजक कैसे चुनें।

जब मूल व्यंजक समान होते हैं, और एक मूल k 1 का बड़ा घातांक दूसरे मूल k 2 के छोटे घातांक से समान रूप से विभाज्य नहीं होता है, तो डिग्री LCM (k 1, k 2) के मूल को एक के रूप में लिया जा सकता है। नया चर, जहां एलसीएम है। उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण में, जड़ों के घातांक 2 और 3 हैं, तीन दो का गुणज नहीं है, LCM(3, 2)=6, इसलिए नए चर को इस रूप में पेश किया जा सकता है . इसके अलावा, रूट की परिभाषा, साथ ही जड़ों के गुण, आपको मूल समीकरण को बदलने की अनुमति देते हैं ताकि अभिव्यक्ति को स्पष्ट रूप से उजागर किया जा सके और फिर इसे एक नए चर के साथ बदल दिया जा सके। यहाँ एक पूर्ण और है विस्तृत समाधानयह समीकरण।

समान सिद्धांतों के अनुसार, एक नया चर उन मामलों में पेश किया जाता है जहां जड़ों के नीचे के भाव डिग्री में भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक अपरिमेय समीकरण में चर केवल जड़ों के नीचे समाहित है, और जड़ें स्वयं की तरह दिखती हैं और, तो आपको मूल घातांक LCM(3, 4)=12 के कम से कम सामान्य गुणक की गणना करनी चाहिए और स्वीकार करना चाहिए। ऐसे में जड़ों और अंशों के गुणों के अनुसार जड़ों और को इस रूप में बदलना चाहिए तथा क्रमशः, जो एक नए चर की शुरूआत की अनुमति देगा।

इसी तरह, कोई भी अपरिमेय समीकरणों में कार्य कर सकता है जिसमें पारस्परिक रूप से पारस्परिक भिन्न होते हैं और विभिन्न घातांक के साथ जड़ों के नीचे होते हैं। अर्थात्, एक नए चर के रूप में, मूल संकेतकों के एलसीएम के बराबर एक संकेतक के साथ एक रूट लेने की सलाह दी जाती है। ठीक है, फिर एक नए चर के साथ समीकरण पर आगे बढ़ें, जो आपको समानताएं बनाने की अनुमति देता है तथा , जड़ की परिभाषा, और जड़ों और शक्तियों के गुण। एक उदाहरण पर विचार करें।

अब आइए उन समीकरणों के बारे में बात करते हैं जिनमें केवल एक नए चर को पेश करने की संभावना पर संदेह किया जा सकता है, और जो एक सफल परिदृश्य में काफी गंभीर परिवर्तनों के बाद ही खुलता है। उदाहरण के लिए, सबसे स्पष्ट परिवर्तनों की एक श्रृंखला के बाद ही एक अपरिमेय समीकरण रूप में कम हो जाता है, जो प्रतिस्थापन के लिए रास्ता खोलता है . आइए इस उदाहरण के समाधान पर एक नज़र डालें।

अंत में, आइए कुछ एक्सोटिक्स जोड़ें। कभी-कभी एक से अधिक चर का परिचय देकर एक अपरिमेय समीकरण को हल किया जा सकता है। समीकरणों को हल करने के लिए यह दृष्टिकोण पाठ्यपुस्तक में प्रस्तावित है। वहाँ अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए दो चर पेश करने का प्रस्ताव है . ट्यूटोरियल एक संक्षिप्त समाधान देता है, आइए विवरण को भी पुनर्स्थापित करें।

फैक्टरिंग द्वारा अपरिमेय समीकरणों को हल करना

एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि के अलावा, अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए अन्य सामान्य विधियों का उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से, गुणनखंडन विधि. पिछले वाक्य में बताए गए लिंक पर लेख में, इसका विस्तार से विश्लेषण किया गया है कि कारककरण विधि का उपयोग कब किया जाता है, इसका सार क्या है और यह किस पर आधारित है। यहाँ हम स्वयं विधि में नहीं, बल्कि अपरिमेय समीकरणों को हल करने में इसके उपयोग में अधिक रुचि रखते हैं। इसलिए, हम सामग्री को इस प्रकार प्रस्तुत करते हैं: हम संक्षेप में विधि के मुख्य प्रावधानों को याद करते हैं, जिसके बाद हम फैक्टरिंग द्वारा विशेषता अपरिमेय समीकरणों के समाधानों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

गुणन विधि का उपयोग समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है, जिसके बाएं हिस्से में एक निश्चित उत्पाद होता है, और दाहिने हिस्से में शून्य होते हैं, यानी फॉर्म के समीकरणों को हल करने के लिए। एफ 1 (एक्स) एफ 2 (एक्स) ... एफ एन (एक्स) = 0, जहाँ f 1 , f 2 ,…, f n कुछ फलन हैं। विधि का सार समीकरण को बदलना है एफ 1 (एक्स) एफ 2 (एक्स) ... एफ एन (एक्स) = 0मूल समीकरण के लिए चर x पर।

सेट में संक्रमण के बारे में अंतिम वाक्य का पहला भाग प्रसिद्ध से आता है प्राथमिक स्कूलतथ्य: कई संख्याओं का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि संख्याओं में से कम से कम एक संख्या शून्य के बराबर हो। ODZ के बारे में दूसरे भाग की उपस्थिति को इस तथ्य से समझाया गया है कि समीकरण से संक्रमण एफ 1 (एक्स) एफ 2 (एक्स) ... एफ एन (एक्स) = 0समीकरणों के सेट के लिए एफ 1 (एक्स) = 0, एफ 2 (एक्स) = 0, …, एफ एन (एक्स) = 0असमान हो सकता है और बाहरी जड़ों की उपस्थिति का कारण बन सकता है, जिसे इस मामले में ओडीजेड को ध्यान में रखकर समाप्त किया जा सकता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बाहरी जड़ों को बाहर निकालना, यदि यह सुविधाजनक है, न केवल ओडीजेड के माध्यम से किया जा सकता है, बल्कि अन्य तरीकों से भी किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, मूल समीकरण में मिली जड़ों को प्रतिस्थापित करके जांच कर।

तो समीकरण को हल करने के लिए एफ 1 (एक्स) एफ 2 (एक्स) ... एफ एन (एक्स) = 0अपरिमेय विधि सहित गुणनखंडन विधि, जिसकी आपको आवश्यकता है

• समीकरणों के सेट पर जाएं एफ 1 (एक्स) = 0, एफ 2 (एक्स) = 0, …, एफ एन (एक्स) = 0,
• सेट को हल करें,
• यदि हलों के समुच्चय में नहीं है, तो निष्कर्ष निकालें कि मूल समीकरण का कोई मूल नहीं है। यदि जड़ें हैं, तो बाहरी जड़ों को हटा दें।

आइए व्यावहारिक भाग पर चलते हैं।

गुणनखंडन विधि द्वारा हल किए गए विशिष्ट अपरिमेय समीकरणों के बाएं हाथ कई बीजीय अभिव्यक्तियों के उत्पाद हैं, आमतौर पर रैखिक द्विपद और वर्ग त्रिपद, और उनके नीचे बीजीय अभिव्यक्तियों के साथ कई जड़ें। दाईं ओर शून्य। ऐसे समीकरण उन्हें हल करने में प्रारंभिक कौशल हासिल करने के लिए आदर्श होते हैं। हम इसी तरह के समीकरण को हल करके शुरू करेंगे। ऐसा करने में, हम दो लक्ष्यों को प्राप्त करने का प्रयास करेंगे:

• एक अपरिमेय समीकरण को हल करते समय गुणनखंडन विधि एल्गोरिथ्म के सभी चरणों पर विचार करें,
• बाहरी जड़ों को बाहर निकालने के तीन मुख्य तरीकों को याद करें (ओडीजेड के अनुसार, ओडीजेड स्थितियों के अनुसार, और मूल समीकरण में समाधानों को सीधे प्रतिस्थापित करके)।

निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण इस अर्थ में विशिष्ट है कि जब इसे गुणन विधि द्वारा हल किया जाता है, तो ओडीजेड की शर्तों के अनुसार बाहरी जड़ों को स्क्रीन करना सुविधाजनक होता है, न कि ओडीजेड के अनुसार संख्यात्मक सेट के रूप में, क्योंकि ODZ को संख्यात्मक कारक के रूप में प्राप्त करना कठिन है। कठिनाई इस तथ्य में निहित है कि डीएचएस निर्धारित करने वाली शर्तों में से एक है तर्कहीन असमानता . बाहरी जड़ों को बाहर निकालने के लिए संकेतित दृष्टिकोण इसे हल किए बिना करना संभव बनाता है, इसके अलावा, कभी-कभी गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में वे तर्कहीन असमानताओं के समाधान से बिल्कुल भी परिचित नहीं होते हैं।

यह अच्छा है जब समीकरण में बाईं ओर एक उत्पाद होता है, और दाईं ओर शून्य होता है। इस मामले में, आप तुरंत समीकरणों के सेट पर जा सकते हैं, इसे हल कर सकते हैं, मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ों को ढूंढ सकते हैं और त्याग सकते हैं, जो वांछित समाधान देगा। लेकिन अधिक बार समीकरण एक अलग रूप लेते हैं। यदि उसी समय उन्हें गुणनखंडन विधि को लागू करने के लिए उपयुक्त रूप में बदलना संभव है, तो उपयुक्त परिवर्तनों को करने का प्रयास क्यों न करें। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण के बाईं ओर उत्पाद प्राप्त करने के लिए, यह वर्गों के अंतर का सहारा लेने के लिए पर्याप्त है।

समीकरणों का एक और वर्ग है जो आमतौर पर गुणन विधि द्वारा हल किया जाता है। इसमें समीकरण शामिल होते हैं, जिसके दोनों भाग ऐसे उत्पाद होते हैं जिनका एक चर के साथ व्यंजक के रूप में समान कारक होता है। उदाहरण के लिए, यह अपरिमेय समीकरण है . आप समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही कारक से विभाजित करके जा सकते हैं, लेकिन साथ ही, आपको उन मानों को अलग-अलग जांचना नहीं भूलना चाहिए जो इन अभिव्यक्तियों को शून्य में बदल देते हैं, अन्यथा आप समाधान खो सकते हैं, क्योंकि दोनों भागों को विभाजित करना एक ही व्यंजक द्वारा समीकरण एक गैर-समतुल्य परिवर्तन हो सकता है। गुणन विधि के अनुसार कार्य करना अधिक विश्वसनीय है, इससे जड़ों के नुकसान से बचने के लिए एक और सही समाधान संभव हो जाता है। यह स्पष्ट है कि इसके लिए आपको पहले समीकरण के बाईं ओर उत्पाद प्राप्त करना होगा, और दाईं ओर शून्य प्राप्त करना होगा। यह आसान है: यह अभिव्यक्ति को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त है, इसके संकेत को बदलकर, और सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें। आइए हम एक समान लेकिन थोड़े अधिक जटिल अपरिमेय समीकरण का पूरा हल दिखाते हैं।

किसी भी समीकरण (साथ ही कई अन्य समस्याओं के समाधान) के समाधान को ODZ ढूंढकर शुरू करना उपयोगी होता है, खासकर अगर ODZ को खोजना आसान हो। इसके पक्ष में कुछ सबसे स्पष्ट तर्क यहां दिए गए हैं।

तो, समीकरण को हल करने का कार्य प्राप्त करने के बाद, आपको बिना पीछे देखे रूपांतरण-गणना में जल्दबाजी नहीं करनी चाहिए, शायद ODZ को देखें? यह निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण द्वारा स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया गया है।

कार्यात्मक-ग्राफिकल विधि

कार्यात्मक-ग्राफिकल विधिसमीकरणों को हल करने की एक अन्य सामान्य विधि है। किसी भी सामान्य विधि की तरह, यह आपको समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है विभिन्न प्रकार, विशेष रूप से, इसका उपयोग अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है। यह कार्यात्मक-ग्राफिकल पद्धति का यह अनुप्रयोग है जो वर्तमान लेख के ढांचे में हमें सबसे अधिक रूचि देता है।

कार्यात्मक-ग्राफिकल विधि में समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में कार्य, उनके गुण और रेखांकन शामिल हैं। यह एक बहुत ही शक्तिशाली उपकरण है। और, किसी भी शक्तिशाली उपकरण की तरह, आमतौर पर इसका सहारा तब लिया जाता है जब सरल उपकरण शक्तिहीन होते हैं।

समीकरणों को हल करने के लिए कार्यात्मक-ग्राफिकल पद्धति की तीन मुख्य दिशाएँ हैं:

• पहला फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग है। इस दिशा को आलेखीय विधि कहते हैं।
• दूसरा बढ़ते और घटते कार्यों के गुणों का उपयोग करना है।
• तीसरा प्रतिबंधित कार्यों के गुणों का उपयोग करना है। शायद मूल्यांकन पद्धति के तहत, जो में हाल के समय मेंकान से, वे कार्यात्मक-ग्राफिक विधि की इस दिशा को ठीक से समझते हैं।

ये तीन दिशाएँ अपरिमेय समीकरणों के भारी बहुमत का सामना करना संभव बनाती हैं, जिसके लिए कार्यात्मक-ग्राफ़िकल विधि आम तौर पर उपयुक्त होती है। निर्दिष्ट अनुक्रम में - ग्राफ का उपयोग, वृद्धि-कमी का उपयोग, बाध्य कार्यों के गुणों का उपयोग - हम सबसे विशिष्ट उदाहरणों के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

ग्राफिक विधि

तो, आइए अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए आलेखीय विधि से प्रारंभ करें।

चित्रमय विधि के अनुसार, आपको चाहिए:

• सबसे पहले, एक समन्वय प्रणाली में, हल किए जा रहे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों के संगत फलनों f और g के आलेखों को आलेखित करें,
• दूसरे, उनके अनुसार तुलनात्मक स्थितिसमीकरण की जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालें:
  • यदि फलन के रेखांकन प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो समीकरण का कोई हल नहीं है,
  • यदि फलनों के ग्राफ़ में प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, तो समीकरण के मूल इन बिंदुओं के भुज हैं।

ODZ . के माध्यम से अपरिमेय समीकरणों को हल करना

बहुत बार, समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया का हिस्सा होता है। ODZ की तलाश के कारण भिन्न हो सकते हैं: समीकरण के परिवर्तनों को करने के लिए इसकी आवश्यकता होती है, और जैसा कि आप जानते हैं, वे ODZ पर किए जाते हैं, समाधान की चुनी हुई विधि का अर्थ है ODZ खोजना, ODZ पर जाँच करना, आदि। . और कुछ मामलों में, ODZ न केवल एक सहायक या नियंत्रण उपकरण के रूप में कार्य करता है, बल्कि आपको समीकरण का समाधान प्राप्त करने की अनुमति भी देता है। यहां हमारे दिमाग में दो स्थितियां हैं: जब ODZ एक खाली सेट होता है और जब ODZ संख्याओं का एक परिमित सेट होता है।

यह स्पष्ट है कि यदि किसी समीकरण का ODZ, विशेष रूप से, एक अपरिमेय, एक खाली सेट है, तो समीकरण का कोई हल नहीं है। तो निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण के लिए चर x का ODZ एक खाली सेट है, जिसका अर्थ है कि समीकरण का कोई हल नहीं है।

जब किसी समीकरण के चर का ODZ संख्याओं का एक परिमित सेट होता है, तो इन संख्याओं को क्रमिक रूप से जाँचने पर, आप समीकरण का हल प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण पर विचार करें, जिसके लिए ODZ में दो संख्याएँ होती हैं, और प्रतिस्थापन से पता चलता है कि उनमें से केवल एक ही समीकरण का मूल है, जिससे यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि यह मूल समीकरण का एकमात्र समाधान है।

"अंश शून्य के बराबर है" रूप के अपरिमेय समीकरणों का हल

कोई "अंश शून्य के बराबर है" रूप का समीकरण, विशेष रूप से, अपरिमेय, इस समीकरण के लिए चर x के ODZ पर समीकरण f(x)=0 के बराबर है। इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए दो दृष्टिकोण इस कथन से अनुसरण करते हैं:

यह स्पष्ट है कि समीकरण को हल करने के लिए पहले दृष्टिकोण का सहारा लेना बेहतर है जब ODZ को समीकरण f(x)=0 को हल करने की तुलना में खोजना आसान होता है। इस मामले में, ODZ एक खाली सेट हो सकता है या इसमें कई संख्याएँ हो सकती हैं, इन मामलों में समीकरण f (x) = 0 को हल किए बिना करना संभव होगा (देखें)। आइए एक विशिष्ट अपरिमेय समीकरण को हल करें।

समीकरण को हल करने के लिए दूसरा आवाज उठाई गई दृष्टिकोण समीकरण को हल करते समय बेहतर होता है f(x)=0 काफी आसान है। समीकरण f(x)=0 को हल करने के बाद, यह पाया गया जड़ों की जांच करने के लिए रहता है, जो आमतौर पर निम्नलिखित तरीकों में से एक में किया जाता है:

• मूल समीकरण के हर में प्रतिस्थापन के माध्यम से, पाए गए जड़ें जो हर को शून्य में बदल देती हैं या एक अभिव्यक्ति में जिसका कोई मतलब नहीं है, वे जड़ें नहीं हैं, और पाए गए जड़ें जो हर को गैर-शून्य संख्या में बदल देती हैं, वे जड़ें हैं मूल समीकरण के
• सीधे ODZ से (जब ODZ काफी आसानी से मिल जाता है, जबकि "अंश शून्य के बराबर" रूप के अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए पहला और दूसरा दृष्टिकोण व्यावहारिक रूप से समतुल्य हैं), ODZ से संबंधित पाए गए मूल मूल समीकरण की जड़ें हैं , और संबंधित नहीं - नहीं हैं।
• या ओडीजेड की शर्तों के माध्यम से (ओडीजेड को निर्धारित करने वाली शर्तों को लिखना अक्सर आसान होता है, लेकिन संख्यात्मक सेट के रूप में उनसे ओडीजेड को खोजना मुश्किल होता है), उन जड़ों की जो सभी को संतुष्ट करती हैं ODZ की शर्तें मूल समीकरण के मूल हैं, बाकी नहीं हैं।

संख्यात्मक समीकरणों को कम करने वाले अपरिमेय समीकरण

मॉड्यूल पर जाएं

यदि एक अपरिमेय समीकरण के अंकन में, एक सम घात के मूल के चिह्न के अंतर्गत, घातांक के साथ किसी व्यंजक की घात है, के बराबररूट, तो आप मॉड्यूल पर जा सकते हैं। ऐसा परिवर्तन इनमें से किसी एक के कारण होता है, जो सूत्र से मेल खाता है, जहां 2·m एक सम संख्या है, a कोई वास्तविक संख्या है। यह ध्यान देने योग्य है कि यह परिवर्तन समीकरण के परिवर्तन के बराबर है। दरअसल, इस तरह के परिवर्तन के साथ, रूट को समान रूप से समान मॉड्यूल से बदल दिया जाता है, जबकि ओडीजेड नहीं बदलता है।

एक विशेषता अपरिमेय समीकरण पर विचार करें, जिसे मापांक में पारित करके हल किया जा सकता है।

क्या यह हमेशा संभव होने पर मॉड्यूल पर स्विच करने के लायक है? अधिकांश मामलों में, ऐसा संक्रमण उचित है। अपवाद वे मामले हैं जब यह स्पष्ट है कि एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए वैकल्पिक तरीकों में अपेक्षाकृत कम श्रम की आवश्यकता होती है। आइए एक अपरिमेय समीकरण लें जिसे मॉड्यूल में जाकर और कुछ अन्य तरीकों से हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को चुकता करके या मूल का निर्धारण करके, और देखें कि कौन सा समाधान सबसे सरल और सबसे कॉम्पैक्ट होगा।

हल किए गए उदाहरण में, सबसे बेहतर समाधान रूट का निर्धारण करना है: यह मापांक में संक्रमण के माध्यम से समाधान से छोटा और सरल है, और समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करने की विधि द्वारा समाधान है। क्या हम तीनों विधियों से समीकरण को हल करने से पहले यह जान सकते थे? आइए इसका सामना करते हैं, यह स्पष्ट नहीं था। इसलिए जब कई समाधान विधियों को देखा जाता है और यह तुरंत स्पष्ट नहीं होता है कि किसे पसंद किया जाए, तो उनमें से किसी के साथ समाधान प्राप्त करने का प्रयास करना उचित है। अगर यह काम करता है, तो अच्छा है। यदि चुनी हुई विधि से परिणाम नहीं निकलता है या समाधान बहुत कठिन हो जाता है, तो यह दूसरी विधि का प्रयास करने के लायक है।

इस अनुच्छेद को समाप्त करने के लिए, आइए हम अपरिमेय समीकरण पर लौटते हैं। पिछले पैराग्राफ में, हमने इसे पहले ही हल कर लिया था और देखा था कि इसे रेडिकल के अलगाव और समीकरण के दोनों हिस्सों के वर्ग के माध्यम से हल करने का प्रयास संख्यात्मक समानता 0=0 और जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालने में असमर्थता का कारण बना। और जड़ का निर्धारण करने का निर्णय एक तर्कहीन असमानता के समाधान से जुड़ा था, जो अपने आप में काफी कठिन है। इस अपरिमेय समीकरण को हल करने का एक अच्छा तरीका मॉड्यूल में जाना है। आइए एक विस्तृत समाधान दें।

अपरिमेय समीकरणों का परिवर्तन

अपरिमेय समीकरणों को हल किए बिना उन्हें हल करना लगभग कभी पूरा नहीं होता है। अपरिमेय समीकरणों के अध्ययन के समय तक हम समीकरणों के तुल्य परिवर्तनों से परिचित हो चुके होते हैं। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, उनका उपयोग उसी तरह किया जाता है जैसे पहले अध्ययन किए गए समीकरणों को हल करते समय। आपने पिछले पैराग्राफ में अपरिमेय समीकरणों के ऐसे परिवर्तनों के उदाहरण देखे हैं, और, आप सहमत होंगे, वे काफी स्वाभाविक रूप से माने जाते थे, क्योंकि वे हमारे लिए अच्छी तरह से जाने जाते हैं। ऊपर, हमने अपने लिए एक नए परिवर्तन के बारे में भी सीखा - समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही डिग्री तक बढ़ाना, जो कि अपरिमेय समीकरणों के लिए विशिष्ट है, यह है सामान्य मामलासमकक्ष नहीं है। इन सभी परिवर्तनों के बारे में विस्तार से बात करना उचित है ताकि उनके कार्यान्वयन के दौरान उत्पन्न होने वाले सभी सूक्ष्म बिंदुओं को जान सकें और गलतियों से बच सकें।

हम निम्नलिखित क्रम में अपरिमेय समीकरणों के परिवर्तनों का विश्लेषण करेंगे:

1. समान रूप से समान भाव वाले व्यंजकों को बदलना जो DPV को नहीं बदलते हैं।
2. किसी समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ना या समीकरण के दोनों पक्षों से समान संख्या घटाना।
3. समान व्यंजक जोड़ना जो समीकरण के दोनों पक्षों में डीपीवी को नहीं बदलता है, या उसी व्यंजक को घटाना जो समीकरण के दोनों पक्षों से डीपीवी को नहीं बदलता है।
4. विपरीत चिन्ह के साथ समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में पदों का स्थानांतरण।
5. एक समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा और विभाजित करना।
6. समीकरण के दोनों भागों का एक ही व्यंजक से गुणा और भाग, जो चर के स्वीकार्य मानों की सीमा को नहीं बदलता है और उस पर लुप्त नहीं होता है।
7. एक समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक उठाएँ।

तो, प्रश्नों के चक्र को रेखांकित किया गया है। आइए उदाहरणों से शुरू करते हैं।

हमारे लिए रुचि का पहला परिवर्तन समीकरण में समान भावों के साथ भावों का प्रतिस्थापन है। हम जानते हैं कि यह समतुल्य है यदि परिवर्तन के परिणामस्वरूप प्राप्त समीकरण के लिए ODZ मूल समीकरण के ODZ के समान है। इससे यह स्पष्ट है कि इस परिवर्तन के दौरान त्रुटियों की घटना के दो मुख्य कारण हैं: पहला ओडीजेड में परिवर्तन है जो परिवर्तन के परिणामस्वरूप होता है, दूसरा अभिव्यक्ति के साथ अभिव्यक्ति का प्रतिस्थापन है जो कि है समान रूप से इसके बराबर नहीं। आइए हम इस प्रकार के विशिष्ट परिवर्तनों के उदाहरणों पर विचार करते हुए इन पहलुओं का विस्तार से और क्रम में विश्लेषण करें।

सबसे पहले, आइए समीकरणों के विशिष्ट परिवर्तनों पर ध्यान दें, जिसमें एक व्यंजक को एक ऐसे व्यंजक के साथ प्रतिस्थापित करना शामिल है जो समान रूप से इसके बराबर है, जो हमेशा समतुल्य होते हैं। यहाँ प्रासंगिक सूची है।

• नियमों और कारकों की पुनर्व्यवस्था। यह परिवर्तन अपरिमेय समीकरण के बाईं ओर और दाईं ओर दोनों ओर किया जा सकता है। इसका उपयोग, उदाहरण के लिए, समूह के लिए किया जा सकता है और फिर समीकरण के रूप को सरल बनाने के लिए समान शब्दों को कम किया जा सकता है। शब्दों या कारकों की अदला-बदली स्पष्ट रूप से समीकरण का एक समान परिवर्तन है। यह समझ में आता है: मूल अभिव्यक्ति और शब्दों या कारकों के साथ अभिव्यक्ति समान रूप से समान हैं (जब तक, निश्चित रूप से, क्रमपरिवर्तन सही ढंग से नहीं किया जाता है), और यह स्पष्ट है कि इस तरह के परिवर्तन से ODZ नहीं बदलता है। आइए एक उदाहरण लेते हैं। उत्पाद x 3 x में अपरिमेय समीकरण के बाईं ओर, आप पहले और दूसरे कारक x और 3 को स्वैप कर सकते हैं, जो भविष्य में आपको मानक रूप में मूल चिह्न के तहत बहुपद का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देगा। और समीकरण के दाईं ओर 4 + x + 5 के योग में, आप 4 और x पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं, जो भविष्य में आपको संख्या 4 और 5 जोड़ने की अनुमति देगा। इन क्रमपरिवर्तनों के बाद, अपरिमेय समीकरण का रूप ले लेगा, परिणामी समीकरण मूल समीकरण के बराबर होगा।
• ब्रैकेट खोलना। समीकरणों के इस परिवर्तन की तुल्यता स्पष्ट है: कोष्ठक के खुलने से पहले और बाद के भाव समान रूप से समान हैं और उनके मान्य मानों की श्रेणी समान है। उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण लें . इसके समाधान के लिए कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। समीकरण के बाईं ओर और साथ ही समीकरण के दाईं ओर कोष्ठक खोलने पर, हम एक समान समीकरण पर पहुँचते हैं।
• समूहीकरण शर्तें और/या कारक। एक समीकरण का यह रूपान्तरण, इसके सार में, किसी भी व्यंजक का प्रतिस्थापन है जो उस व्यंजक के साथ समीकरण का हिस्सा है जो समान रूप से समूहबद्ध पदों या कारकों के साथ इसके बराबर है। जाहिर है, यह ODZ नहीं बदलता है। इसलिए, समीकरण का संकेतित परिवर्तन समतुल्य है। उदाहरण के लिए, आइए एक अपरिमेय समीकरण लें। शब्दों का क्रमपरिवर्तन (हमने इसके बारे में ऊपर दो पैराग्राफ में बात की थी) और शब्दों का समूह हमें एक समान समीकरण पर जाने की अनुमति देता है। शब्दों के इस तरह के समूहीकरण का उद्देश्य स्पष्ट रूप से दिखाई देता है - निम्नलिखित समतुल्य परिवर्तन करना, जो हमें एक नया चर पेश करने की अनुमति देगा।
• सामान्य कारक को ब्रैकेट करना। यह स्पष्ट है कि उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक में डालने से पहले और उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक में डालने के बाद व्यंजक समान रूप से समान होते हैं। यह भी स्पष्ट है कि कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने से ODZ नहीं बदलता है। इसलिए, एक समीकरण का हिस्सा होने वाले व्यंजक में कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालना समीकरण का एक समान परिवर्तन है। इस तरह के परिवर्तन का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, एक उत्पाद के रूप में समीकरण के बाईं ओर का प्रतिनिधित्व करने के लिए इसे गुणन विधि द्वारा हल करने के लिए। यहाँ एक विशिष्ट उदाहरण है। एक अपरिमेय समीकरण पर विचार करें। इस समीकरण के बाईं ओर को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसके लिए आपको सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना होगा। इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक अपरिमेय समीकरण प्राप्त होगा , मूल के बराबर, जिसे गुणन विधि द्वारा हल किया जा सकता है।
• संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को उनके मूल्यों से बदलना। यह स्पष्ट है कि यदि समीकरण रिकॉर्ड में कुछ संख्यात्मक अभिव्यक्ति है, और हम इस संख्यात्मक अभिव्यक्ति को इसके मूल्य (सही ढंग से गणना) के साथ प्रतिस्थापित करते हैं, तो ऐसा प्रतिस्थापन समकक्ष होगा। वास्तव में, वास्तव में, अभिव्यक्ति को समान रूप से इसके बराबर एक अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और साथ ही समीकरण का ODZ नहीं बदलता है। अत: अपरिमेय समीकरण में प्रतिस्थापित करना दो संख्याओं -3 और 1 का योग इस योग के मान से, जो -2 के बराबर है, हमें एक तुल्य अपरिमेय समीकरण प्राप्त होता है। इसी प्रकार, हम अपरिमेय समीकरण का तुल्य परिवर्तन कर सकते हैं , मूल चिह्न (1+2=3 और . के तहत संख्याओं के साथ संचालन करना) ), यह परिवर्तन हमें तुल्य समीकरण की ओर ले जाएगा .
• एक अपरिमेय समीकरण के रिकॉर्ड में मौजूद एकपदी और बहुपद के साथ क्रिया करना। यह स्पष्ट है कि सही निष्पादनइन क्रियाओं से एक समान समीकरण बन जाएगा। वास्तव में, इस मामले में, व्यंजक को एक ऐसे व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा जो समान रूप से इसके बराबर है और DPV नहीं बदलेगा। उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण में आप मोनोमियल x 2 और 3 x 2 जोड़ सकते हैं और एक समान समीकरण पर जा सकते हैं . एक अन्य उदाहरण: एक अपरिमेय समीकरण के बाईं ओर बहुपदों का घटाव एक समान परिवर्तन है जो एक समान समीकरण की ओर जाता है .

हम समीकरणों के परिवर्तनों पर विचार करना जारी रखते हैं, जिसमें समान रूप से समान अभिव्यक्तियों के साथ व्यंजकों को बदलना शामिल है। ऐसे परिवर्तन असमान भी हो सकते हैं, क्योंकि वे ODZ को बदल सकते हैं। विशेष रूप से, ODZ का विस्तार हो सकता है। यह तब हो सकता है जब समान पदों को जोड़ते समय, अंशों को कम करते समय, कई शून्य कारकों वाले उत्पाद को शून्य करते समय या शून्य अंश के साथ एक अंश, और सबसे अधिक बार जड़ों के गुणों के अनुरूप सूत्रों का उपयोग करते समय। वैसे, जड़ों के गुणों के लापरवाह उपयोग से भी ODZ का संकुचन हो सकता है। और यदि समीकरणों को हल करते समय ODZ का विस्तार करने वाले परिवर्तन स्वीकार्य हैं (वे बाहरी जड़ों की उपस्थिति का कारण बन सकते हैं, जो एक निश्चित तरीके से समाप्त हो जाते हैं), तो ODZ को संकीर्ण करने वाले परिवर्तनों को बिना असफलता के छोड़ दिया जाना चाहिए, क्योंकि वे कारण बन सकते हैं जड़ों का नुकसान। आइए इन बिंदुओं पर ध्यान दें।

पहला अपरिमेय समीकरण है . इसका समाधान समीकरण के रूप में परिवर्तन के साथ शुरू होता है डिग्री के गुणों में से एक के आधार पर। यह परिवर्तन समतुल्य है, क्योंकि व्यंजक को समान रूप से समान व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और DPV नहीं बदलता है। लेकिन समीकरण में अगला संक्रमण, जड़ की परिभाषा के आधार पर किया गया, पहले से ही समीकरण का एक गैर-समतुल्य परिवर्तन हो सकता है, क्योंकि इस तरह के परिवर्तन के साथ ODZ का विस्तार होता है। आइए हम इस समीकरण का पूरा हल दिखाते हैं।

दूसरा अपरिमेय समीकरण, यह स्पष्ट करने के लिए उपयुक्त है कि जड़ों के गुणों का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों के परिवर्तन और जड़ की परिभाषा गैर-समतुल्य हो सकती है, है . ठीक है, अगर आप खुद को इस तरह से निर्णय शुरू करने की अनुमति नहीं देते हैं

या ऐसा

हम पहले मामले से शुरू करते हैं। पहला परिवर्तन मूल अपरिमेय समीकरण से संक्रमण है समीकरण के लिए व्यंजक x+3 को व्यंजक से प्रतिस्थापित करना शामिल है। ये भाव समान रूप से समान हैं। लेकिन इस तरह के प्रतिस्थापन के साथ, ODZ समुच्चय (−∞, −3)∪[−1, +∞) से समुच्चय [−1, +∞) तक सीमित हो जाता है। और हम उन सुधारों से दूर रहने के लिए सहमत हुए जो ODZ को संकीर्ण करते हैं, क्योंकि वे जड़ों के नुकसान का कारण बन सकते हैं।

दूसरे मामले में क्या गलत है? से अंतिम संक्रमण पर ODZ विस्तार नंबर -3 के लिए? सिर्फ यह नहीं। मूल अपरिमेय समीकरण से पहला संक्रमण बड़ी चिंता का विषय है समीकरण के लिए . इस संक्रमण का सार व्यंजक x + 3 को व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित करना है। लेकिन ये व्यंजक समान रूप से समान नहीं हैं: x + 3 . के लिए<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , जहां से यह इस प्रकार है .

तो फिर इस अपरिमेय समीकरण को कैसे हल करें ? यहां तुरंत एक नया चर पेश करना सबसे अच्छा है , जबकि (x+3) (x+1)=t 2 । आइए एक विस्तृत समाधान दें।

आइए हम समीकरणों के पहले माने गए परिवर्तनों को संक्षेप में प्रस्तुत करें - एक अभिव्यक्ति का प्रतिस्थापन जो समीकरण का हिस्सा है जो एक अभिव्यक्ति के साथ समान रूप से इसके बराबर है। हर बार जब यह किया जाता है, तो दो शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए: पहला यह है कि अभिव्यक्ति को बिल्कुल समान समान अभिव्यक्ति से बदल दिया जाता है, और दूसरा यह है कि ओडीजेड का संकुचन नहीं होता है। यदि, इस तरह के प्रतिस्थापन के साथ, ODZ नहीं बदलता है, तो परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक समान समीकरण प्राप्त किया जाएगा। यदि इस तरह के प्रतिस्थापन के साथ ओडीजेड फैलता है, तो बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, और उन्हें बाहर निकालने के लिए देखभाल की जानी चाहिए।

हम सूची के दूसरे परिवर्तन की ओर मुड़ते हैं - समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ना और समीकरण के दोनों पक्षों से समान संख्या घटाना। यह समीकरण का एक समान परिवर्तन है। आमतौर पर हम इसका सहारा लेते हैं जब समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों पर समान संख्याएँ होती हैं, इन संख्याओं को समीकरण के दोनों पक्षों से घटाकर हम भविष्य में इनसे छुटकारा पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण के बाएँ और दाएँ दोनों पक्षों पर एक टर्म 3 है। समीकरण के दोनों पक्षों से त्रिक को घटाने पर समीकरण बनता है, जो संख्याओं के साथ जोड़तोड़ करने के बाद, रूप लेता है और आगे सरल करता है। परिणाम के अनुसार, विचाराधीन परिवर्तन में समीकरण के एक भाग से दूसरे में विपरीत चिन्ह के साथ एक शब्द के स्थानांतरण के साथ कुछ समान है, लेकिन इस परिवर्तन के बारे में थोड़ी देर बाद। इस परिवर्तन को लागू करने के अन्य उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण में, समीकरण के बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग को व्यवस्थित करने के लिए दोनों पक्षों में संख्या 3 जोड़ना आवश्यक है और एक नया चर पेश करने के लिए समीकरण को रूप में परिवर्तित करना आवश्यक है।

अभी विचार किए गए परिवर्तन का एक सामान्यीकरण समीकरण के दोनों भागों का जोड़ या समान व्यंजक के समीकरण के दोनों भागों से घटाव है। जब ODZ नहीं बदलता है तो समीकरणों का यह परिवर्तन समतुल्य होता है। यह परिवर्तन मुख्य रूप से उन्हीं शब्दों से छुटकारा पाने के लिए किया जाता है जो समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों पर एक साथ होते हैं। आइए एक उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए कि हमारे पास एक अपरिमेय समीकरण है। जाहिर है, समीकरण के बाएँ और दाएँ दोनों पक्षों में एक पद है। इस व्यंजक को समीकरण के दोनों पक्षों से घटाना उचित है: . हमारे मामले में, इस तरह के संक्रमण के दौरान, ODZ नहीं बदलता है, इसलिए किया गया परिवर्तन समतुल्य है। और यह एक सरल अपरिमेय समीकरण की ओर बढ़ने के लिए किया जाता है।

समीकरणों का अगला परिवर्तन, जिसे हम इस अनुच्छेद में स्पर्श करेंगे, समीकरण के एक भाग से दूसरे में विपरीत चिह्न के साथ पदों का स्थानांतरण है। समीकरण का यह परिवर्तन सदैव तुल्य होता है। इसके आवेदन का दायरा काफी व्यापक है। इसकी सहायता से, उदाहरण के लिए, मूलांक को अलग किया जा सकता है या समीकरण के एक भाग में समान पदों को एकत्र किया जा सकता है, ताकि बाद में उन्हें कम किया जा सके और इस तरह समीकरण के रूप को सरल बनाया जा सके। आइए एक उदाहरण लेते हैं। एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए हम शर्तों को −1 और में स्थानांतरित कर सकते हैं दाईं ओर, उनका चिन्ह बदलने पर, यह तुल्य समीकरण देगा , जिसे आगे हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके।

हम समीकरणों के परिवर्तन को शून्य के अलावा एक ही संख्या से समीकरण के दोनों भागों के गुणन या विभाजन पर विचार करने के पथ पर आगे बढ़ते हैं। यह परिवर्तन समीकरण का तुल्य परिवर्तन है। एक समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा करने का उपयोग मुख्य रूप से भिन्न से पूर्णांक में जाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए, इसके दोनों भागों को 8 से गुणा करें, जो एक समान समीकरण देता है , जो आगे फॉर्म में कम हो गया है . समीकरण के दोनों भागों का विभाजन मुख्यतः संख्यात्मक गुणांकों को कम करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्ष संख्यात्मक गुणांक 18 और 12 से विभाजित करने की सलाह दी जाती है, अर्थात 6 से, ऐसा विभाजन एक समान समीकरण देता है , जिससे हम बाद में समीकरण को पारित कर सकते हैं , जिसमें छोटे, लेकिन पूर्णांक गुणांक भी हैं।

समीकरण का अगला परिवर्तन समीकरण के दोनों पक्षों का एक ही व्यंजक से गुणा और भाग करना है। यह परिवर्तन तब समतुल्य होता है जब वह व्यंजक जिसके द्वारा गुणा या भाग किया जाता है, चर के अनुमेय मानों की सीमा को नहीं बदलता है और उस पर लुप्त नहीं होता है। आमतौर पर, दोनों पक्षों को एक ही व्यंजक से गुणा करना, उद्देश्यों से होता है, जैसे किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा करना। अधिकतर, आगे के परिवर्तनों द्वारा भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए इस परिवर्तन का सहारा लिया जाता है। आइए इसे एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं।

हम अपरिमेय समीकरणों को दरकिनार नहीं करेंगे, जिसके समाधान के लिए हमें समीकरण के दोनों भागों को एक ही व्यंजक से विभाजित करने का सहारा लेना पड़ता है। थोड़ा अधिक, हमने देखा कि ऐसा विभाजन एक समान परिवर्तन है यदि यह ODZ को प्रभावित नहीं करता है और ODZ पर यह अभिव्यक्ति गायब नहीं होती है। लेकिन कभी-कभी विभाजन को ऐसे व्यंजक पर करना पड़ता है जो ODZ पर गायब हो जाता है। ऐसा करना काफी संभव है, यदि उसी समय, इस व्यंजक के शून्यों की अलग से जाँच की जाए कि क्या उनके बीच समीकरण के कोई मूल हल किए जा रहे हैं, अन्यथा ऐसे विभाजन के दौरान ये जड़ें खो सकती हैं।

अपरिमेय समीकरणों का अंतिम परिवर्तन, जिसे हम इस खंड में स्पर्श करेंगे, समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात तक उठाना है। इस परिवर्तन को अपरिमेय समीकरणों के लिए विशिष्ट कहा जा सकता है, क्योंकि यह व्यावहारिक रूप से अन्य प्रकार के समीकरणों को हल करने में उपयोग नहीं किया जाता है। हमने वर्तमान लेख में इस परिवर्तन का पहले ही उल्लेख किया है जब हमने विश्लेषण किया था। इस परिवर्तन के कई उदाहरण भी हैं। हम यहां खुद को नहीं दोहराएंगे, लेकिन केवल याद रखें कि सामान्य स्थिति में यह परिवर्तन समकक्ष नहीं है। यह बाहरी जड़ों की उपस्थिति को जन्म दे सकता है। इसलिए, यदि हल करने की प्रक्रिया में हम इस परिवर्तन की ओर मुड़ते हैं, तो उनके बीच बाहरी जड़ों की उपस्थिति के लिए मिली जड़ों की जाँच की जानी चाहिए।

जड़ें खोने के बारे में

समीकरण को हल करते समय जड़ों के नुकसान का क्या कारण हो सकता है? जड़ों के नुकसान का मुख्य कारण समीकरण का परिवर्तन है, जिसमें ODZ संकरा होता है। इस बिंदु को समझने के लिए, आइए एक उदाहरण लेते हैं।

आइए एक अपरिमेय समीकरण लें , जिसे हम वर्तमान लेख में पहले ही हल कर चुके हैं। हमने समीकरण के निम्नलिखित परिवर्तनों के विरुद्ध चेतावनी देकर इसे हल करना शुरू किया

पहला परिवर्तन समीकरण से संक्रमण है समीकरण के लिए - ODZ को संकुचित करता है। दरअसल, मूल समीकरण के लिए ODZ (−∞, −3)∪[−1, +∞) है, और परिणामी समीकरण के लिए यह [−1, +∞) है। इसमें विचार से अंतराल (−∞, −3) का नुकसान होता है और, परिणामस्वरूप, इस अंतराल से समीकरण की सभी जड़ों का नुकसान होता है। हमारे मामले में, संकेतित परिवर्तन करते समय, समीकरण की सभी जड़ें, जो दो हैं और खो जाएंगी।

इसलिए, यदि समीकरण के परिवर्तन से ODZ का संकुचन होता है, तो समीकरण के सभी मूल जो उस हिस्से में हैं, जिस पर संकुचन हुआ है, खो जाएगा। इसलिए हम डीएचएस को संकीर्ण करने वाले सुधारों का सहारा नहीं लेने का आग्रह करते हैं। हालाँकि, एक चेतावनी है।

यह आरक्षण उन परिवर्तनों पर लागू होता है जिनमें ODZ एक या अधिक संख्याओं से संकुचित होता है। सबसे विशिष्ट परिवर्तन, जिसमें ODZ से कई अलग-अलग संख्याएँ निकलती हैं, समीकरण के दोनों भागों का एक ही व्यंजक में विभाजन है। यह स्पष्ट है कि इस तरह के परिवर्तन को अंजाम देते समय, केवल वे जड़ें जो संख्याओं के इस सीमित सेट में हैं, जो ODZ को संकुचित करते समय बाहर निकल जाती हैं, खो सकती हैं। इसलिए, यदि आप इस सेट के सभी नंबरों को अलग-अलग जांचते हैं कि क्या उनके बीच समीकरण की जड़ें हल हो रही हैं, उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन द्वारा, और उत्तर में पाए गए जड़ों को शामिल करें, तो आप इच्छित को पूरा करना जारी रख सकते हैं जड़ों को खोने के डर के बिना परिवर्तन। आइए उपरोक्त को एक उदाहरण के साथ स्पष्ट करें।

अपरिमेय समीकरण पर विचार करें, जिसे पिछले पैराग्राफ में पहले ही हल किया जा चुका था। एक नए चर का परिचय देकर इस समीकरण को हल करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को 1+x से विभाजित करना उपयोगी होता है। इस तरह के विभाजन के साथ, संख्या -1 ODZ से बाहर हो जाती है। इस मान को मूल समीकरण में रखने से एक गलत संख्यात्मक समानता () प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि -1 समीकरण का मूल नहीं है। इस तरह की जांच के बाद, आप रूट खोने के डर के बिना इच्छित विभाजन को सुरक्षित रूप से कर सकते हैं।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि अक्सर, अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही अभिव्यक्ति से विभाजित करने के साथ-साथ जड़ों के गुणों के आधार पर परिवर्तन, ओडीजेड की संकीर्णता की ओर जाता है। इसलिए ऐसे परिवर्तनों को करते समय आपको बहुत सावधान रहने की जरूरत है और जड़ों को नुकसान नहीं होने देना चाहिए।

बाहरी जड़ों के बारे में और उन्हें बाहर निकालने के तरीकों के बारे में

अधिकांश समीकरणों का समाधान समीकरणों के परिवर्तन के माध्यम से किया जाता है। कुछ परिवर्तनों से परिणामी समीकरण बन सकते हैं, और उप-समीकरण के समाधानों में ऐसे मूल हो सकते हैं जो मूल समीकरण से बाहर हों। बाह्य मूल मूल समीकरण के मूल नहीं हैं, इसलिए उन्हें उत्तर में शामिल नहीं किया जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, उन्हें हटा दिया जाना चाहिए।

इसलिए, यदि हल किए जा रहे समीकरण के परिवर्तनों की श्रृंखला में कम से कम एक परिणाम समीकरण है, तो आपको बाहरी जड़ों का पता लगाने और उन्हें बाहर निकालने का ध्यान रखना होगा।

बाहरी जड़ों का पता लगाने और उन्हें निकालने के तरीके उन कारणों पर निर्भर करते हैं जो उनकी संभावित उपस्थिति का कारण बनते हैं। और अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय बाहरी जड़ों की संभावित उपस्थिति के दो कारण हैं: पहला समीकरण के परिवर्तन के परिणामस्वरूप ओडीजेड का विस्तार है, दूसरा समीकरण के दोनों हिस्सों को एक समान शक्ति तक बढ़ाना है। . आइए प्रासंगिक तरीकों पर एक नज़र डालें।

आइए बाहरी जड़ों को बाहर निकालने के तरीकों से शुरू करें, जब उनकी संभावित उपस्थिति का एकमात्र कारण ओडीजेड का विस्तार है। इस मामले में, बाहरी जड़ों की निराई निम्नलिखित तीन तरीकों में से एक में की जाती है:

• ओडीजेड के अनुसार। ऐसा करने के लिए, मूल समीकरण के लिए चर का ODZ पाया जाता है और इससे मिली जड़ों से संबंधित जाँच की जाती है। वे मूल जो ODZ से संबंधित हैं वे मूल समीकरण के मूल हैं, और जो ODZ से संबंधित नहीं हैं वे मूल समीकरण के लिए बाह्य मूल हैं।
• ODZ की शर्तों के माध्यम से। मूल समीकरण के लिए चर के ODV को निर्धारित करने वाली शर्तें लिखी जाती हैं, और पाए गए जड़ों को बदले में उनमें बदल दिया जाता है। वे मूल जो सभी शर्तों को पूरा करते हैं वे मूल हैं, और जो कम से कम एक शर्त को पूरा नहीं करते हैं वे मूल समीकरण के लिए बाहरी मूल हैं।
• मूल समीकरण में प्रतिस्थापन के माध्यम से (या इसके समतुल्य किसी भी समीकरण में)। पाए गए जड़ों को मूल समीकरण में बदल दिया जाता है, उनमें से, जब समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल दिया जाता है, तो जड़ें होती हैं, और उनमें से वे, जो प्रतिस्थापित करते समय एक अभिव्यक्ति जो समझ में नहीं आती है, बाहरी जड़ें हैं मूल समीकरण के लिए।

निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण को हल करते समय, आइए उनमें से प्रत्येक के बारे में एक सामान्य विचार प्राप्त करने के लिए प्रत्येक संकेतित तरीके से बाहरी जड़ों को हटा दें।

यह स्पष्ट है कि हम हर बार सभी ज्ञात तरीकों से बाहरी जड़ों की पहचान नहीं करेंगे और उनका निराकरण नहीं करेंगे। बाहरी जड़ों को छानने के लिए, हम प्रत्येक मामले में सबसे उपयुक्त विधि का चयन करेंगे। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित उदाहरण में, ODZ की शर्तों के माध्यम से बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करना सबसे सुविधाजनक है, क्योंकि इन शर्तों के तहत ODZ को संख्यात्मक सेट के रूप में खोजना मुश्किल है।

अब बात करते हैं बाहरी जड़ों की छानबीन करने की, जब एक अपरिमेय समीकरण का हल समीकरण के दोनों भागों को सम घात तक बढ़ाकर किया जाता है। यहां, ओडीजेड के माध्यम से या ओडीजेड की स्थितियों के माध्यम से स्क्रीनिंग अब मदद नहीं करेगी, क्योंकि यह हमें किसी अन्य कारण से उत्पन्न होने वाली बाहरी जड़ों को बाहर निकालने की अनुमति नहीं देगी - समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने के कारण . जब समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ा दिया जाता है तो बाह्य जड़ें क्यों दिखाई देती हैं? इस मामले में बाहरी जड़ों की उपस्थिति इस तथ्य से होती है कि एक गलत संख्यात्मक समानता के दोनों हिस्सों को समान शक्ति तक बढ़ाने से सही संख्यात्मक समानता मिल सकती है। उदाहरण के लिए, गलत संख्यात्मक समानता 3=−3, इसके दोनों पक्षों का वर्ग करने के बाद, सही संख्यात्मक समानता 3 2 =(−3) 2 बन जाती है, जो 9=9 के समान है।

समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही डिग्री तक बढ़ाए जाने पर बाहरी जड़ों के प्रकट होने के कारणों को सुलझा लिया गया है। यह इंगित करना बाकी है कि इस मामले में बाहरी जड़ों को कैसे समाप्त किया जाता है। स्क्रीनिंग मुख्य रूप से मूल समीकरण में या इसके समकक्ष किसी भी समीकरण में संभावित संभावित जड़ों को प्रतिस्थापित करके किया जाता है। आइए इसे एक उदाहरण के साथ प्रदर्शित करें।

लेकिन यह एक और तरीके को ध्यान में रखने योग्य है जो आपको उन मामलों में बाहरी जड़ों को बाहर निकालने की अनुमति देता है जहां एक अकेले कट्टरपंथी के साथ एक तर्कहीन समीकरण के दोनों हिस्सों को समान शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय , जहां 2·k एक सम संख्या है, समीकरणों के दोनों भागों को एक ही घात तक बढ़ाकर, बाहरी जड़ों को बाहर निकालना स्थिति g(x)≥0 के माध्यम से किया जा सकता है (अर्थात, वास्तव में निर्धारित करके एक अपरिमेय समीकरण को हल करना) जड़)। यह विधि अक्सर बचाव में आती है जब प्रतिस्थापन के माध्यम से बाहरी जड़ों को बाहर निकालना जटिल गणनाओं से जुड़ा होता है। निम्नलिखित उदाहरण जो कहा गया है उसका एक अच्छा उदाहरण है।

साहित्य

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एक अपरिमेय समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसमें मूल चिह्न के तहत एक फ़ंक्शन होता है। उदाहरण के लिए:

ऐसे समीकरण हमेशा 3 चरणों में हल होते हैं:

1. जड़ को अलग करें। दूसरे शब्दों में, यदि मूल के अलावा समान चिह्न के बाईं ओर अन्य संख्याएँ या कार्य हैं, तो यह सब चिह्न बदलकर दाईं ओर ले जाया जाना चाहिए। उसी समय, केवल रेडिकल बाईं ओर रहना चाहिए - बिना किसी गुणांक के।
2. 2. हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं। साथ ही, याद रखें कि रूट की रेंज सभी गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं। इसलिए दाईं ओर का कार्य अपरिमेय समीकरणगैर-ऋणात्मक भी होना चाहिए: जी (एक्स) 0।
3. तीसरा चरण दूसरे से तार्किक रूप से अनुसरण करता है: आपको एक जांच करने की आवश्यकता है। तथ्य यह है कि दूसरे चरण में हमारे पास अतिरिक्त जड़ें हो सकती हैं। और उन्हें काटने के लिए, परिणामी उम्मीदवार संख्याओं को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना और जांचना आवश्यक है: क्या सही संख्यात्मक समानता वास्तव में प्राप्त हुई है?

एक अपरिमेय समीकरण को हल करना

आइए पाठ की शुरुआत में दिए गए हमारे अपरिमेय समीकरण से निपटें। यहां जड़ पहले से ही एकांत में है: समान चिह्न के बाईं ओर जड़ के अलावा कुछ भी नहीं है। आइए दोनों पक्षों को चौकोर करें:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
एक्स 2 - 4x - 12 = 0

हम परिणामी द्विघात समीकरण को विभेदक के माध्यम से हल करते हैं:

डी = बी 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
एक्स 1 = 6; एक्स 2 \u003d -2

यह केवल इन संख्याओं को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है, अर्थात। एक जाँच करें। लेकिन यहां भी आप अंतिम निर्णय को आसान बनाने के लिए सही काम कर सकते हैं।

निर्णय को सरल कैसे करें

आइए सोचें: हम एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के अंत में भी जांच क्यों करते हैं? हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि जड़ों को प्रतिस्थापित करते समय, समान चिह्न के दाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या होगी। आखिरकार, हम पहले से ही निश्चित रूप से जानते हैं कि यह बाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, क्योंकि अंकगणितीय वर्गमूल (जिसके कारण हमारे समीकरण को अपरिमेय कहा जाता है) परिभाषा के अनुसार शून्य से कम नहीं हो सकता है।

इसलिए, हमें केवल यह जाँचने की आवश्यकता है कि फलन g ( x ) = 5 - x , जो समान चिह्न के दाईं ओर है, ऋणात्मक नहीं है:

जी (एक्स) 0

हम इस फ़ंक्शन में अपनी जड़ों को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

जी (एक्स 1) \u003d जी (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
जी (एक्स 2) = जी (-2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 > 0

प्राप्त मूल्यों से, यह निम्नानुसार है कि रूट x 1 = 6 हमें शोभा नहीं देता है, क्योंकि मूल समीकरण के दाईं ओर प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक ऋणात्मक संख्या मिलती है। लेकिन रूट x 2 \u003d −2 हमारे लिए काफी उपयुक्त है, क्योंकि:

1. यह जड़ है समाधान द्विघात समीकरणदोनों पक्षों के निर्माण के परिणामस्वरूप प्राप्त अपरिमेय समीकरणएक वर्ग में।
2. मूल अपरिमेय समीकरण का दाहिना भाग, जब मूल x 2 = -2 को प्रतिस्थापित किया जाता है, एक धनात्मक संख्या में बदल जाता है, अर्थात। अंकगणितीय जड़ की सीमा का उल्लंघन नहीं किया जाता है।

वह संपूर्ण एल्गोरिदम है! जैसा कि आप देख सकते हैं, रेडिकल वाले समीकरणों को हल करना इतना मुश्किल नहीं है। मुख्य बात यह है कि प्राप्त जड़ों की जांच करना न भूलें, अन्यथा अतिरिक्त उत्तर मिलने की संभावना है।