एक चर के साथ समीकरण। समीकरण का मूल

व्याख्यान 26

1. एक चर वाले समीकरण की अवधारणा

2. समतुल्य समीकरण। समीकरणों के लिए तुल्यता प्रमेय

3. एक चर वाले समीकरणों का हल

आइए एक चर के साथ दो व्यंजक लें: 4 एक्सऔर 5 एक्स+ 2. इन्हें समान चिन्ह से जोड़ने पर हमें वाक्य मिलता है 4 एक्स= 5एक्स+ 2. इसमें एक वेरिएबल होता है और, वेरिएबल के मानों को प्रतिस्थापित करते समय, एक स्टेटमेंट में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, जब एक्स =-2 प्रस्ताव 4 एक्स= 5एक्स+ 2 वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल जाता है 4 (-2) = 5 (-2) + 2, और कब एक्स = 1 - असत्य 4 1 = 5 1 + 2. इसलिए, वाक्य 4x = 5x + 2एक अभिव्यंजक रूप है। वे उसे बुलाते हैं एक चर के साथ समीकरण।

पर सामान्य दृष्टि सेएक चर समीकरण को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

परिभाषा। मान लीजिए f(x) और g(x) चर x और डोमेन X के साथ दो व्यंजक हैं। तब f(x) = g(x) के रूप के प्रस्तावक रूप को एक चर वाला समीकरण कहा जाता है।

परिवर्तनीय मूल्य एक्सअनेकों से एक्स,जिस पर समीकरण वास्तविक संख्यात्मक समानता बन जाता है, कहलाता है समीकरण की जड़(या उसका निर्णय)। प्रश्न हल करें -इसका अर्थ है इसकी जड़ों का समुच्चय खोजना।

तो, समीकरण की जड़ 4x = 5x+ 2 अगर हम इसे सेट पर मानते हैं आरवास्तविक संख्या, संख्या -2 है। इस समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं हैं। अतः इसके मूलों का समुच्चय (-2) है।

चलो समीकरण ( एक्स - 1)(एक्स+ 2) = 0. इसकी दो जड़ें हैं - संख्या 1 और -2। इसलिए, इस समीकरण के मूलों का समुच्चय है: (-2,-1)।

समीकरण (3x + 1)-2 = 6एक्स+ 2, वास्तविक संख्याओं के सेट पर दिया गया, चर के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल जाता है एक्स: यदि हम बाईं ओर के कोष्ठकों को खोलते हैं, तो हमें प्राप्त होता है 6x + 2 = 6x + 2.इस स्थिति में, हम कहते हैं कि इसका मूल कोई वास्तविक संख्या है, और मूलों का समुच्चय सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

समीकरण (3x+ 1) 2 = 6 एक्स+ 1, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर दिया गया, किसी भी वास्तविक मान के लिए वास्तविक संख्यात्मक समानता में नहीं बदलता है एक्स:बाईं ओर के कोष्ठकों को खोलने के बाद, हम पाते हैं कि 6 एक्स + 2 = 6x + 1, जो किसी के अंतर्गत असंभव है एक्स।इस स्थिति में, हम कहते हैं कि दिए गए समीकरण का कोई मूल नहीं है और इसके मूलों का समुच्चय रिक्त है।

किसी भी समीकरण को हल करने के लिए, इसे पहले रूपांतरित किया जाता है, इसे दूसरे के साथ बदल दिया जाता है, सरल एक; परिणामी समीकरण को फिर से बदल दिया जाता है, इसे एक सरल के साथ बदल दिया जाता है, और इसी तरह। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि एक समीकरण प्राप्त नहीं हो जाता जिसकी जड़ें पाई जा सकती हैं ज्ञात तरीका. लेकिन इन जड़ों को किसी दिए गए समीकरण की जड़ें होने के लिए, यह आवश्यक है कि परिवर्तन की प्रक्रिया में ऐसे समीकरण प्राप्त हों जिनके मूल सेट मेल खाते हों। ऐसे समीकरण कहलाते हैं बराबर।

व्याख्यान 26

1. एक चर वाले समीकरण की अवधारणा

2. समतुल्य समीकरण। समीकरणों के लिए तुल्यता प्रमेय

3. एक चर वाले समीकरणों का हल

एक चर वाले समीकरण

सामान्य तौर पर, एक-चर समीकरण को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

किसी भी समीकरण को हल करने के लिए, इसे पहले रूपांतरित किया जाता है, इसे दूसरे के साथ बदल दिया जाता है, सरल एक; परिणामी समीकरण को फिर से बदल दिया जाता है, इसे एक सरल के साथ बदल दिया जाता है, और इसी तरह। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि एक ऐसा समीकरण प्राप्त नहीं हो जाता जिसकी जड़ों को ज्ञात तरीके से पाया जा सकता है। लेकिन इन जड़ों को किसी दिए गए समीकरण की जड़ें होने के लिए, यह आवश्यक है कि परिवर्तन की प्रक्रिया में ऐसे समीकरण प्राप्त हों जिनके मूल सेट मेल खाते हों। ऐसे समीकरण कहलाते हैं बराबर।

चर के साथ समानता एफ (एक्स) = जी (एक्स)एक चर x वाला समीकरण कहलाता है। चर का कोई भी मान जिस पर f(x) और g(x) समान संख्यात्मक मान लेते हैं, ऐसे समीकरण का मूल कहलाता है। अतः किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है समीकरण के सभी मूल ज्ञात करना या यह सिद्ध करना कि कोई नहीं है।

समीकरण x 2 + 1 \u003d 0 की वास्तविक जड़ें नहीं हैं, लेकिन इसकी काल्पनिक जड़ें हैं: इस मामले में, ये जड़ें हैं x 1 \u003d i, x 2 \u003d -i। निम्नलिखित में, हम केवल समीकरण के वास्तविक मूलों में ही रुचि लेंगे।

यदि समीकरणों के मूल समान हों, तो वे तुल्य कहलाते हैं। जिन समीकरणों की कोई जड़ नहीं होती है वे तुल्य होती हैं।

आइए निर्धारित करें कि क्या समीकरण समतुल्य हैं:

ए) एक्स + 2 = 5 और एक्स + 5 = 8

1. पहला समीकरण हल करें

2. दूसरा समीकरण हल करें

समीकरणों के मूल समान हैं, इसलिए x + 2 = 5 और x + 5 = 8 समतुल्य हैं।

बी) एक्स 2 + 1 = 0 और 2x 2 + 5 = 0

इन दोनों समीकरणों के वास्तविक मूल नहीं हैं, इसलिए वे तुल्य हैं।

सी) एक्स - 5 \u003d 1 और एक्स 2 \u003d 36

1. पहले समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

2. दूसरे समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

एक्स 1 = 6, एक्स 2 = -6

समीकरणों की जड़ें मेल नहीं खातीं, इसलिए x - 5 \u003d 1 और x 2 \u003d 36 समतुल्य नहीं हैं।

समीकरण को हल करते समय, वे इसे एक समकक्ष से बदलने की कोशिश करते हैं, लेकिन अधिक सरल समीकरण. इसलिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि किन परिवर्तनों के परिणामस्वरूप यह समीकरण इसके समतुल्य समीकरण में बदल जाता है।

प्रमेय 1. यदि किसी समीकरण के किसी पद को चिन्ह बदलते हुए एक भाग से दूसरे भाग में स्थानान्तरित किया जाता है, तो दिए गए पद के समतुल्य समीकरण प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + 2 = 3x समीकरण x 2 + 2 - 3x = 0 के बराबर है।

प्रमेय 2। यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही संख्या (शून्य के बराबर नहीं) से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो एक समीकरण प्राप्त होता है जो दिए गए के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण (x 2 - 1) / 3 \u003d 2x समीकरण x 2 - 1 \u003d 6x के बराबर है। हम पहले समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से गुणा करते हैं।

एक चर के साथ एक रैखिक समीकरण फॉर्म कुल्हाड़ी \u003d बी का एक समीकरण है, जहां ए और बी वास्तविक संख्याएं हैं, और ए को चर का गुणांक कहा जाता है, और बी मुक्त शब्द है।

रैखिक समीकरण ax = b के लिए तीन स्थितियों पर विचार करें।

1. ए 0. इस मामले में, एक्स \u003d बी / ए (क्योंकि ए गैर-शून्य है)।

2. a \u003d 0, b \u003d 0. समीकरण का रूप लेगा: 0 x \u003d 0. यह समीकरण किसी भी x के लिए सत्य है, अर्थात। समीकरण का मूल कोई वास्तविक संख्या है।

3. ए \u003d 0, बी ≠ 0. इस मामले में, समीकरण की जड़ें नहीं होंगी, क्योंकि शून्य से विभाजन निषिद्ध है (0 x = b)।

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, कई समीकरण रैखिक में कम हो जाते हैं।

समीकरण हल करना

क) (1/5) x + 2/15 = 0

1. घटक 2/15 को समीकरण के बाईं ओर से विपरीत चिह्न के साथ दाईं ओर ले जाएं। ऐसा परिवर्तन प्रमेय 1 द्वारा नियंत्रित होता है। तो, समीकरण का रूप लेगा: (1/5)x = -2/15।

2. हर से छुटकारा पाने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को 15 से गुणा करते हैं। प्रमेय 2 हमें ऐसा करने की अनुमति देता है। तो, समीकरण का रूप लेगा:

(1/5)x 15= - 2/15 ∙ 15

इस प्रकार, समीकरण का मूल -2/3 है।

बी) 2/3 + x / 4 + (1 - x) / 6 \u003d 5x / 12 - 1

1. हर से छुटकारा पाने के लिए, हम समीकरण के दोनों भागों को गुणा करते हैं 12 पर (प्रमेय 2 द्वारा)। समीकरण रूप लेगा:

12(2/3 + x/4 + (1 - x)/6) = 12(5x/12 - 1)

8 + 3x + 2 - 2x \u003d 5x - 12

10 + x = 5x - 12

2. प्रमेय 1 का उपयोग करते हुए, हम दाईं ओर की सभी संख्याओं और बाईं ओर x वाले घटकों को "एकत्रित" करते हैं। समीकरण रूप लेगा:

10 +12 \u003d 5x - x

अत: समीकरण का मूल 5.5 है।

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इस वीडियो में हम पूरे सेट पर एक नजर डालेंगे। रेखीय समीकरण, जो एक ही एल्गोरिदम द्वारा हल किए जाते हैं - इसलिए उन्हें सबसे सरल कहा जाता है।

आरंभ करने के लिए, आइए परिभाषित करें: एक रैखिक समीकरण क्या है और उनमें से किसे सबसे सरल कहा जाना चाहिए?

एक रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें केवल एक चर होता है, और केवल पहली डिग्री में होता है।

सबसे सरल समीकरण का अर्थ है निर्माण:

एल्गोरिथम का उपयोग करके अन्य सभी रैखिक समीकरणों को सरलतम में घटा दिया जाता है:

खुले कोष्ठक, यदि कोई हों;
एक चर वाले पदों को समान चिह्न के एक तरफ और बिना चर के पदों को दूसरी तरफ ले जाएं;
समान चिह्न के बाएँ और दाएँ समान पदों को लाएँ;
परिणामी समीकरण को चर $x$ के गुणांक से विभाजित करें।

बेशक, यह एल्गोरिथ्म हमेशा मदद नहीं करता है। तथ्य यह है कि कभी-कभी, इन सभी साजिशों के बाद, चर $x$ का गुणांक शून्य के बराबर हो जाता है। इस मामले में, दो विकल्प संभव हैं:

समीकरण का कोई हल नहीं है। उदाहरण के लिए, जब आपको $0\cdot x=8$ जैसा कुछ मिलता है, यानी। बाईं ओर शून्य है, और दाईं ओर एक गैर-शून्य संख्या है। नीचे दिए गए वीडियो में, हम कई कारणों को देखेंगे कि यह स्थिति क्यों संभव है।
समाधान सभी संख्याएं हैं। यह केवल तभी संभव है जब समीकरण को निर्माण $0\cdot x=0$ तक घटा दिया गया हो। यह काफी तार्किक है कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम $x$ को प्रतिस्थापित करते हैं, फिर भी यह "शून्य बराबर शून्य" होगा, अर्थात। सही संख्यात्मक समानता।

और अब देखते हैं कि वास्तविक समस्याओं के उदाहरण पर यह सब कैसे काम करता है।

समीकरण हल करने के उदाहरण

आज हम रैखिक समीकरणों से निपटते हैं, और केवल सबसे सरल। सामान्य तौर पर, एक रैखिक समीकरण का अर्थ है कोई भी समानता जिसमें बिल्कुल एक चर होता है, और यह केवल पहली डिग्री तक जाता है।

इस तरह के निर्माण लगभग उसी तरह हल किए जाते हैं:

सबसे पहले, आपको कोष्ठक खोलने की जरूरत है, यदि कोई हो (जैसा कि हमारे पिछले उदाहरण में है);
फिर समान लाओ
अंत में, चर को अलग करें, अर्थात। सब कुछ जो चर के साथ जुड़ा हुआ है - जिन शर्तों में यह निहित है - एक तरफ स्थानांतरित कर दिया जाता है, और इसके बिना जो कुछ भी रहता है वह दूसरी तरफ स्थानांतरित हो जाता है।

फिर, एक नियम के रूप में, आपको परिणामी समानता के प्रत्येक पक्ष पर समान लाने की आवश्यकता है, और उसके बाद यह केवल "x" के गुणांक से विभाजित करने के लिए रहता है, और हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

सिद्धांत रूप में, यह अच्छा और सरल दिखता है, लेकिन व्यवहार में, अनुभवी हाई स्कूल के छात्र भी काफी सरल रैखिक समीकरणों में आपत्तिजनक गलतियाँ कर सकते हैं। आमतौर पर, गलतियाँ या तो कोष्ठक खोलते समय, या "प्लस" और "माइनस" की गिनती करते समय की जाती हैं।

इसके अलावा, ऐसा होता है कि एक रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता है, या इसलिए कि समाधान पूरी संख्या रेखा है, अर्थात। कोई संख्या। हम आज के पाठ में इन सूक्ष्मताओं का विश्लेषण करेंगे। लेकिन हम शुरू करेंगे, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, सबसे अधिक सरल कार्य.

सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की योजना

आरंभ करने के लिए, मैं एक बार फिर सबसे सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की पूरी योजना लिखता हूं:

कोष्ठक का विस्तार करें, यदि कोई हो।
एकांत चर, यानी। सब कुछ जिसमें "x" होता है, एक तरफ स्थानांतरित हो जाता है, और "x" के बिना - दूसरी तरफ।
हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।
हम गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करते हैं।

बेशक, यह योजना हमेशा काम नहीं करती है, इसमें कुछ सूक्ष्मताएं और तरकीबें हैं, और अब हम उन्हें जानेंगे।

सरल रैखिक समीकरणों के वास्तविक उदाहरणों को हल करना

कार्य 1

पहले चरण में, हमें कोष्ठकों को खोलना होगा। लेकिन वे इस उदाहरण में नहीं हैं, इसलिए हम इस चरण को छोड़ देते हैं। दूसरे चरण में, हमें चरों को अलग करने की आवश्यकता है। कृपया ध्यान दें: हम केवल व्यक्तिगत शर्तों के बारे में बात कर रहे हैं। चलो लिखते है:

हम बाईं ओर और दाईं ओर समान शब्द देते हैं, लेकिन यह पहले ही यहां किया जा चुका है। इसलिए, हम चौथे चरण पर आगे बढ़ते हैं: एक कारक से विभाजित करें:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

यहां हमें जवाब मिला।

टास्क #2

इस कार्य में, हम कोष्ठकों का अवलोकन कर सकते हैं, तो आइए उनका विस्तार करें:

बाईं ओर और दाईं ओर, हम लगभग समान निर्माण देखते हैं, लेकिन आइए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करें, अर्थात। अनुक्रमक चर:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

यह किन जड़ों पर काम करता है? उत्तर: किसी के लिए। इसलिए, हम लिख सकते हैं कि $x$ कोई भी संख्या है।

कार्य #3

तीसरा रैखिक समीकरण पहले से ही अधिक दिलचस्प है:

\[\बाएं(6-x \दाएं)+\बाएं(12+x \दाएं)-\बाएं(3-2x \दाएं)=15\]

यहां कई कोष्ठक हैं, लेकिन उन्हें किसी भी चीज से गुणा नहीं किया जाता है, उनके सामने बस अलग-अलग संकेत होते हैं। आइए उन्हें तोड़ दें:

हम पहले से ज्ञात दूसरा चरण करते हैं:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

आइए गणना करें:

हम निभाते हैं अंतिम चरण- गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करें:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें

यदि हम बहुत सरल कार्यों को अनदेखा करते हैं, तो मैं निम्नलिखित कहना चाहूंगा:

जैसा कि मैंने ऊपर कहा, हर रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता - कभी-कभी कोई मूल नहीं होता है;
जड़ें हों तो भी उनमें शून्य प्रवेश कर सकता है - इसमें कोई बुराई नहीं है।

जीरो बाकी के समान ही संख्या है, आप इसमें किसी तरह का भेदभाव न करें या यह मान लें कि यदि आपको शून्य मिलता है, तो आपने कुछ गलत किया है।

एक अन्य विशेषता कोष्ठक के विस्तार से संबंधित है। कृपया ध्यान दें: जब उनके सामने "माइनस" होता है, तो हम उसे हटा देते हैं, लेकिन कोष्ठक में हम संकेतों को बदल देते हैं विलोम. और फिर हम इसे मानक एल्गोरिदम के अनुसार खोल सकते हैं: हमें वही मिलेगा जो हमने ऊपर की गणना में देखा था।

इसे समझना साधारण तथ्यहाई स्कूल में आपको बेवकूफी भरी और हानिकारक गलतियाँ करने से रोकेगा, जब ऐसी चीजें करना हल्के में लिया जाता है।

जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

आइए आगे बढ़ते हैं जटिल समीकरण. अब निर्माण अधिक जटिल हो जाएंगे और विभिन्न परिवर्तन करते समय एक द्विघात कार्य दिखाई देगा। हालाँकि, आपको इससे डरना नहीं चाहिए, क्योंकि यदि, लेखक के इरादे के अनुसार, हम एक रैखिक समीकरण को हल करते हैं, तो परिवर्तन की प्रक्रिया में एक द्विघात फ़ंक्शन वाले सभी मोनोमियल अनिवार्य रूप से कम हो जाएंगे।

उदाहरण 1

जाहिर है, पहला कदम कोष्ठक खोलना है। आइए इसे बहुत सावधानी से करें:

आइए अब गोपनीयता लेते हैं:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

जाहिर है, इस समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए उत्तर में हम इस प्रकार लिखते हैं:

\[\विविधता \]

या कोई जड़ नहीं।

उदाहरण #2

हम एक ही कदम उठाते हैं। पहला कदम:

आइए एक चर के साथ सब कुछ बाईं ओर ले जाएं, और इसके बिना - दाईं ओर:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

जाहिर है, इस रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए हम इसे इस तरह लिखते हैं:

\[\varnothing\],

या कोई जड़ नहीं।

समाधान की बारीकियां

दोनों समीकरण पूरी तरह से हल हो गए हैं। इन दो अभिव्यक्तियों के उदाहरण पर, हमने एक बार फिर सुनिश्चित किया कि सरलतम रैखिक समीकरणों में भी, सब कुछ इतना सरल नहीं हो सकता है: या तो एक हो सकता है, या कोई नहीं, या असीम रूप से कई हो सकते हैं। हमारे मामले में, हमने दो समीकरणों पर विचार किया, दोनों में बस कोई जड़ नहीं है।

लेकिन मैं आपका ध्यान एक और तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: कोष्ठक के साथ कैसे काम किया जाए और उनके सामने ऋण चिह्न होने पर उनका विस्तार कैसे किया जाए। इस अभिव्यक्ति पर विचार करें:

खोलने से पहले, आपको सब कुछ "x" से गुणा करना होगा। कृपया ध्यान दें: गुणा करें प्रत्येक व्यक्तिगत शब्द. अंदर दो पद हैं - क्रमशः, दो पद और गुणा किया जाता है।

और इन प्राथमिक प्रतीत होने वाले, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण और खतरनाक परिवर्तनों के पूरा होने के बाद ही, ब्रैकेट को इस दृष्टिकोण से खोला जा सकता है कि इसके बाद एक ऋण चिह्न है। हां, हां: केवल अब, जब परिवर्तन किए जाते हैं, तो हमें याद आता है कि कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, जिसका अर्थ है कि नीचे सब कुछ सिर्फ संकेत बदलता है। उसी समय, कोष्ठक स्वयं गायब हो जाते हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, सामने वाला "माइनस" भी गायब हो जाता है।

हम दूसरे समीकरण के साथ भी ऐसा ही करते हैं:

यह कोई संयोग नहीं है कि मैं इन छोटे, प्रतीत होने वाले महत्वहीन तथ्यों पर ध्यान देता हूं। क्योंकि समीकरणों को हल करना हमेशा एक क्रम होता है प्राथमिक परिवर्तन, जहां सरल क्रियाओं को स्पष्ट रूप से और सक्षम रूप से करने में असमर्थता इस तथ्य की ओर ले जाती है कि हाई स्कूल के छात्र मेरे पास आते हैं और फिर से सीखते हैं कि ऐसे सरल समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

बेशक, वह दिन आएगा जब आप इन कौशलों को स्वचालितता में बदल देंगे। अब आपको हर बार इतने ट्रांसफॉर्मेशन नहीं करने हैं, आप सब कुछ एक लाइन में लिख देंगे। लेकिन जब आप अभी सीख रहे हैं, तो आपको प्रत्येक क्रिया को अलग से लिखना होगा।

और भी जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

अब हम जो हल करने जा रहे हैं, उसे शायद ही सबसे सरल कार्य कहा जा सकता है, लेकिन अर्थ वही रहता है।

कार्य 1

\[\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(3x-1 \दाएं)-21((x)^(2))=3\]

आइए पहले भाग में सभी तत्वों को गुणा करें:

आइए एक रिट्रीट करें:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

आइए अंतिम चरण करें:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

यहाँ हमारा अंतिम उत्तर है। और, इस तथ्य के बावजूद कि हल करने की प्रक्रिया में हमारे पास द्विघात फ़ंक्शन के साथ गुणांक थे, हालांकि, उन्होंने पारस्परिक रूप से रद्द कर दिया, जो समीकरण को बिल्कुल रैखिक बनाता है, वर्ग नहीं।

टास्क #2

\[\बाएं(1-4x \दाएं)\बाएं(1-3x \दाएं)=6x\बाएं(2x-1 \दाएं)\]

आइए पहले चरण को ध्यान से करें: पहले ब्रैकेट में प्रत्येक तत्व को दूसरे में प्रत्येक तत्व से गुणा करें। परिवर्तनों के बाद कुल मिलाकर चार नई शर्तें प्राप्त की जानी चाहिए:

और अब ध्यान से प्रत्येक पद में गुणा करें:

आइए शब्दों को "x" के साथ बाईं ओर ले जाएं, और बिना - दाईं ओर:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

यहाँ समान शब्द हैं:

हमें एक निश्चित उत्तर मिला है।

समाधान की बारीकियां

इन दो समीकरणों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण टिप्पणी निम्नलिखित है: जैसे ही हम उन कोष्ठकों को गुणा करना शुरू करते हैं जिनमें इससे बड़ा एक पद होता है, तो यह इसके अनुसार किया जाता है अगला नियम: हम पहले पद से पहला पद लेते हैं और दूसरे से प्रत्येक तत्व से गुणा करते हैं; फिर हम पहले से दूसरा तत्व लेते हैं और इसी तरह दूसरे से प्रत्येक तत्व के साथ गुणा करते हैं। नतीजतन, हमें चार शब्द मिलते हैं।

बीजगणितीय योग पर

अंतिम उदाहरण के साथ, मैं छात्रों को याद दिलाना चाहूंगा कि बीजगणितीय योग क्या है। शास्त्रीय गणित में, $1-7$ से हमारा मतलब एक साधारण निर्माण से है: हम एक से सात घटाते हैं। बीजगणित में, हमारा मतलब निम्न से है: संख्या "एक" में हम एक और संख्या जोड़ते हैं, जिसका नाम "माइनस सात" है। यह बीजीय योग सामान्य अंकगणितीय योग से भिन्न होता है।

जैसे ही सभी परिवर्तन, प्रत्येक जोड़ और गुणा करते समय, आप ऊपर वर्णित लोगों के समान निर्माण देखना शुरू करते हैं, बहुपद और समीकरणों के साथ काम करते समय आपको बीजगणित में कोई समस्या नहीं होगी।

अंत में, आइए कुछ और उदाहरण देखें जो हमारे द्वारा देखे गए उदाहरणों की तुलना में और भी अधिक जटिल होंगे, और उन्हें हल करने के लिए, हमें अपने मानक एल्गोरिथम का थोड़ा विस्तार करना होगा।

भिन्न के साथ समीकरण हल करना

ऐसे कार्यों को हल करने के लिए, हमारे एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ना होगा। लेकिन पहले, मैं अपने एल्गोरिथ्म को याद दिलाऊंगा:

कोष्ठक खोलें।
अलग चर।
समान लाओ।
एक कारक से विभाजित करें।

काश, यह अद्भुत एल्गोरिथ्म, इसकी सभी दक्षता के लिए, पूरी तरह से उपयुक्त नहीं होता जब हमारे सामने भिन्न होते हैं। और जो हम नीचे देखेंगे, दोनों समीकरणों में हमारे पास बाईं ओर और दाईं ओर एक भिन्न है।

इस मामले में कैसे काम करें? हाँ, यह बहुत आसान है! ऐसा करने के लिए, आपको एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ने की जरूरत है, जिसे पहली क्रिया से पहले और उसके बाद, अर्थात् भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार, एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

अंशों से छुटकारा पाएं।
कोष्ठक खोलें।
अलग चर।
समान लाओ।
एक कारक से विभाजित करें।

"अंशों से छुटकारा पाने" का क्या अर्थ है? और पहले मानक चरण के बाद और पहले दोनों में ऐसा करना क्यों संभव है? वास्तव में, हमारे मामले में, सभी भिन्न हर के संदर्भ में संख्यात्मक होते हैं, अर्थात। हर जगह भाजक सिर्फ एक संख्या है। इसलिए, यदि हम समीकरण के दोनों भागों को इस संख्या से गुणा करते हैं, तो हमें भिन्नों से छुटकारा मिलेगा।

उदाहरण 1

\[\frac(\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं))(4)=((x)^(2))-1\]

आइए इस समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाएं:

\[\frac(\बाएं(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot चार\]

कृपया ध्यान दें: सब कुछ एक बार "चार" से गुणा किया जाता है, अर्थात। सिर्फ इसलिए कि आपके पास दो ब्रैकेट हैं इसका मतलब यह नहीं है कि आपको उनमें से प्रत्येक को "चार" से गुणा करना होगा। चलो लिखते है:

\[\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं)=\बाएं(((x)^(2))-1 \दाएं)\cdot 4\]

अब इसे खोलते हैं:

हम एक चर का एकांतीकरण करते हैं:

हम समान शर्तों को कम करते हैं:

\[-4x=-1\बाएं| :\बाएं(-4 \दाएं) \दाएं।\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

हमें अंतिम समाधान मिल गया है, हम दूसरे समीकरण को पास करते हैं।

उदाहरण #2

\[\frac(\बाएं(1-x \दाएं)\बाएं(1+5x \दाएं))(5)+((x)^(2))=1\]

यहां हम सभी समान क्रियाएं करते हैं:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

समस्या हल हो गई।

वास्तव में, मैं आज यही बताना चाहता था।

प्रमुख बिंदु

प्रमुख निष्कर्ष इस प्रकार हैं:

रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम को जानें।
कोष्ठक खोलने की क्षमता।
अगर आपके पास कहीं है तो चिंता न करें द्विघात कार्य, सबसे अधिक संभावना है, आगे के परिवर्तनों की प्रक्रिया में, वे कम हो जाएंगे।
रैखिक समीकरणों में जड़ें, यहां तक कि सबसे सरल, तीन प्रकार की होती हैं: एक एकल जड़, पूरी संख्या रेखा एक जड़ होती है, कोई जड़ें नहीं होती हैं।

मुझे आशा है कि यह पाठ आपको सभी गणित को और अधिक समझने के लिए एक सरल, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण विषय में महारत हासिल करने में मदद करेगा। अगर कुछ स्पष्ट नहीं है, तो साइट पर जाएं, वहां प्रस्तुत उदाहरणों को हल करें। देखते रहिए, और भी कई दिलचस्प चीज़ें आपका इंतज़ार कर रही हैं!

आइए एक चर के साथ दो भाव लेते हैं: 4x और 5x + 2. उन्हें एक समान चिह्न से जोड़कर, हमें वाक्य 4x \u003d 5x + 2 मिलता है। इसमें एक चर होता है और, चर के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते समय, बदल जाता है एक बयान।

उदाहरण के लिए, x = -2 पर, वाक्य 4x = 5x + 2 एक वास्तविक संख्यात्मक समानता 4-(-2) = 5-(-2) + 2 में बदल जाता है, और x = 1 पर - एक असत्य 4-1 = 5- में बदल जाता है। 1 + 2. इसलिए, वाक्य 4x = 5x + 2 एक प्रस्तावक रूप है। वे उसे बुलाते हैं एक चर के साथ समीकरण।

सामान्य तौर पर, एक-चर समीकरण को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

परिभाषा।मान लीजिए f(x) और q(x) चर x और डोमेन X वाले दो व्यंजक हैं। तब f(x) के रूप का प्रस्तावक रूप =q(x) को एक चर वाला समीकरण कहा जाता है।

परिवर्तनीय मूल्य एक्सअनेकों से एक्स,जिस पर समीकरण वास्तविक संख्यात्मक समानता बन जाता है, कहलाता है समीकरण की जड़ (या उसका निर्णय)। किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके मूलों का समुच्चय ज्ञात करना। .

तो, समीकरण 4x \u003d 5x + 2 की जड़, अगर हम इसे सेट पर मानते हैं आरवास्तविक संख्या, संख्या -2 है। इस समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं हैं। अतः इसके मूलों का समुच्चय (-2) है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर समीकरण (x-1)(x+2)=0 दिया जाए। इसकी दो जड़ें हैं - संख्या 1 और -2। इसलिए, इस समीकरण के मूलों का समुच्चय है: (-2,-1)।

वास्तविक संख्याओं के सेट पर दिया गया समीकरण (3x + 1) × 2 = 6x + 2, चर x के सभी वास्तविक मानों के लिए एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल जाता है: यदि हम बाईं ओर कोष्ठक खोलते हैं , हमें प्राप्त होता है 6x + 2 = 6 एक्स+ 2. इस स्थिति में, हम कहते हैं कि इसका मूल कोई वास्तविक संख्या है, और मूलों का समुच्चय सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर दिया गया समीकरण (3x + 1)-2 = 6x + 1, x के किसी भी वास्तविक मान के लिए वास्तविक संख्यात्मक समानता में परिवर्तित नहीं होता है: बाईं ओर के कोष्ठकों को खोलने पर, हम पाते हैं कि 6x + 2 = 6x + 1, जो किसी भी x के लिए असंभव है। इस स्थिति में, हम कहते हैं कि दिए गए समीकरण का कोई मूल नहीं है और इसके मूलों का समुच्चय रिक्त है।

किसी भी समीकरण को हल करने के लिए, इसे पहले रूपांतरित किया जाता है, इसे दूसरे के साथ बदल दिया जाता है, सरल एक; परिणामी समीकरण को फिर से बदल दिया जाता है, इसे एक सरल के साथ बदल दिया जाता है, और इसी तरह। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि एक ऐसा समीकरण प्राप्त नहीं हो जाता जिसकी जड़ों को ज्ञात तरीके से पाया जा सकता है। लेकिन इन जड़ों को दिए गए समीकरण की जड़ें होने के लिए, यह आवश्यक है कि परिवर्तन की प्रक्रिया में ऐसे समीकरण प्राप्त हों जिनके मूल सेट मेल खाते हों। ऐसे समीकरण कहलाते हैं बराबर।

परिभाषा।दो समीकरण f 1 (x) =क्यू 1 (एक्स) और एफ 2 (एक्स) =q 2 (х) को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके मूलों के समुच्चय मेल खाते हों।

उदाहरण के लिए,समीकरण x 2 - 9 = 0 और (2x + 6)(x - 3) = 0 बराबर हैं क्योंकि दोनों की जड़ें 3 और -3 हैं। समीकरण (3x + 1)-2 = 6x + 1 और x 2 + 1 भी समतुल्य हैं = 0, चूँकि दोनों की कोई जड़ नहीं है, अर्थात्। उनकी जड़ों के सेट समान हैं।

परिभाषा. किसी समीकरण को तुल्य समीकरण से बदलने को तुल्य परिवर्तन कहते हैं।

आइए अब हम यह पता करें कि कौन से परिवर्तन तुल्य समीकरण प्राप्त करना संभव बनाते हैं।

प्रमेय 1. मान लीजिए समीकरण f(x) = q(x) एक समुच्चय पर दिया गया है और h(x) उसी समुच्चय पर परिभाषित व्यंजक है। तब समीकरण f(x) = q(x) (1) और f(x) + h(x) = q(x) + h(x) (2) समतुल्य हैं।

सबूत।टी 1 द्वारा समीकरण (1) के समाधान के सेट, और टी 2 के माध्यम से समीकरण (2) के समाधान के सेट को निरूपित करें। तब समीकरण (1) और (2) समतुल्य होंगे यदि T 1 = T 2 । इसे सत्यापित करने के लिए, यह दिखाना आवश्यक है कि T 1 से कोई भी मूल समीकरण (2) का मूल है और, इसके विपरीत, T 2 से कोई भी मूल समीकरण (1) का मूल है।

मान लीजिए कि संख्या a समीकरण का मूल है (1)। तब a н T 1 , और समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर यह एक वास्तविक संख्यात्मक समानता f(a) = q(a) में बदल जाता है, और व्यंजक h(x) इसे एक संख्यात्मक व्यंजक h(a) में बदल देता है जो बनाता है समुच्चय X पर भाव। आइए हम वास्तविक समानता f(a) = q(a) के दोनों भागों में संख्यात्मक व्यंजक h(a) जोड़ें। हम वास्तविक संख्यात्मक समानता के गुणों के अनुसार, वास्तविक संख्यात्मक समानता f (a) + h (a) \u003d q (a) + h (a) प्राप्त करते हैं, जो इंगित करता है कि संख्या a समीकरण का मूल है (2) )

अतः, यह सिद्ध हो गया है कि समीकरण (1) का प्रत्येक मूल भी समीकरण (2) का एक मूल है, अर्थात्। टी 1 टी 2।

अब मान लीजिए a समीकरण (2) का मूल है। फिर a T 2 , और समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर यह वास्तविक संख्यात्मक समानता f(a) + h(a) = q(a) + h(a) में बदल जाता है। आइए इस समानता के दोनों भागों में एक संख्यात्मक व्यंजक - h (a) जोड़ें। हमें वास्तविक संख्यात्मक समानता f (a) \u003d q (a) प्राप्त होती है, कि संख्या a समीकरण (1) का मूल है।

अतः, यह सिद्ध हो गया है कि समीकरण (2) का प्रत्येक मूल भी समीकरण (1) का एक मूल है, अर्थात्। टी 2 टी 1।

चूंकि टी 1 Ì टी 2 और टी 2 टी 1 , तो बराबर सेट की परिभाषा से टी 1 = टी 2, और इसलिए समीकरण (1) और (2) समकक्ष हैं।

इस प्रमेय 1 को अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है: यदि हम समीकरण के दोनों भागों में डोमेन X के साथ समान व्यंजक को एक ही सेट पर परिभाषित चर के साथ जोड़ते हैं, तो हमें दिए गए समीकरण के बराबर एक नया समीकरण मिलता है।

इस प्रमेय से परिणाम निकलते हैं, जिनका उपयोग समीकरणों को हल करने में किया जाता है:

1. यदि हम समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ते हैं, तो हमें एक समीकरण मिलता है जो दिए गए समीकरण के बराबर होता है।

2. यदि किसी पद (संख्यात्मक व्यंजक या चर के साथ व्यंजक) को समीकरण के एक भाग से दूसरे में स्थानांतरित किया जाता है, तो पद के चिह्न को विपरीत में बदल दिया जाता है, तो हमें दिए गए के बराबर एक समीकरण मिलता है।

प्रमेय 2।मान लें कि समीकरण f(x) = q(x) सेट X पर दिया गया है और h(x) एक ऐसा व्यंजक है जो एक ही सेट पर परिभाषित है और सेट X से x के किसी भी मान के लिए गायब नहीं होता है। समीकरण f(x) = q(х) और f(х) × h(х) = q(х) × h(х) समतुल्य हैं।

इस प्रमेय का प्रमाण प्रमेय 1 के प्रमाण के समान है।

प्रमेय 2 को अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है: यदि डोमेन X वाले समीकरण के दोनों भागों को एक ही व्यंजक से गुणा किया जाता है, जो एक ही समुच्चय पर परिभाषित होता है और उस पर लुप्त नहीं होता है, तो हमें दिए गए समीकरण के बराबर एक नया समीकरण प्राप्त होता है।

इस प्रमेय का परिणाम इस प्रकार है: यदि समीकरण के दोनों भागों को शून्य के अलावा एक ही संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जाता है, तो हमें दिए गए समीकरण के बराबर समीकरण प्राप्त होता है।

आइए समीकरण x R को हल करें, और उन सभी परिवर्तनों को सही ठहराएं जो हम हल करने की प्रक्रिया में करेंगे।