अपरिमेय समीकरण जटिल उदाहरण हैं। अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके

नगर शिक्षण संस्थान

"कुडिंस्काया माध्यमिक विद्यालय नंबर 2"

समाधान अपरिमेय समीकरण

द्वारा पूरा किया गया: ईगोरोवा ओल्गा,

पर्यवेक्षक:

शिक्षक

अंक शास्त्र,

उच्च योग्यता

परिचय....……………………………………………………………………………………… 3

खंड 1. अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके…………………………………6

1.1 भाग सी के अपरिमेय समीकरणों को हल करना …………………………… 21

धारा 2. व्यक्तिगत कार्य…………………………………………….....………...24

जवाब………………………………………………………………………………………….25

ग्रन्थसूची…….…………………………………………………………………….26

परिचय

सामान्य शिक्षा विद्यालय में प्राप्त गणित शिक्षा सामान्य शिक्षा का एक अनिवार्य घटक है और आम संस्कृति आधुनिक आदमी. आधुनिक व्यक्ति को घेरने वाली लगभग हर चीज किसी न किसी रूप में गणित से जुड़ी होती है। और भौतिकी, इंजीनियरिंग और सूचना प्रौद्योगिकी में नवीनतम प्रगति में कोई संदेह नहीं है कि भविष्य में स्थिति समान रहेगी। इसलिए, कई का निर्णय व्यावहारिक कार्यएक निर्णय के लिए नीचे आता है विभिन्न प्रकारहल करने के तरीके सीखने के लिए समीकरण। इन प्रकारों में से एक अपरिमेय समीकरण हैं।

अपरिमेय समीकरण

मूल चिह्न के अंतर्गत एक अज्ञात (या किसी अज्ञात से तर्कसंगत बीजीय व्यंजक) वाले समीकरण को कहा जाता है अपरिमेय समीकरण. प्रारंभिक गणित में, अपरिमेय समीकरणों के समाधान वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में मांगे जाते हैं।

किसी भी अपरिमेय समीकरण को प्रारंभिक बीजीय संक्रियाओं (गुणा, भाग, समीकरण के दोनों भागों को एक पूर्णांक घात तक बढ़ाना) की सहायता से परिमेय समीकरण में घटाया जा सकता है। बीजीय समीकरण. इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि परिणामी तर्कसंगत बीजीय समीकरण मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर नहीं हो सकता है, अर्थात् इसमें "अतिरिक्त" जड़ें हो सकती हैं जो मूल आईआर की जड़ें नहीं होंगी तर्कसंगत समीकरण. इसलिए, प्राप्त परिमेय बीजीय समीकरण की जड़ों को खोजने के बाद, यह जांचना आवश्यक है कि क्या परिमेय समीकरण के सभी मूल अपरिमेय समीकरण के मूल होंगे।

पर सामान्य मामलाकिसी को इंगित करना मुश्किल है सार्वभौमिक विधिकिसी भी अपरिमेय समीकरण का समाधान, क्योंकि यह वांछनीय है कि मूल अपरिमेय समीकरण के परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, न केवल किसी प्रकार का तर्कसंगत बीजीय समीकरण प्राप्त होता है, जिसके मूल में इस अपरिमेय समीकरण की जड़ें होंगी, लेकिन एक कम से कम संभव डिग्री के बहुपदों से बने तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण। सबसे छोटी संभव डिग्री के बहुपदों से बने उस तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण को प्राप्त करने की इच्छा काफी स्वाभाविक है, क्योंकि तर्कसंगत बीजीय समीकरण की सभी जड़ों को ढूंढना अपने आप में एक कठिन कार्य हो सकता है, जिसे हम केवल बहुत सीमित संख्या में ही हल कर सकते हैं मामलों की।

अपरिमेय समीकरणों के प्रकार

सम घात वाले अपरिमेय समीकरणों को हल करने का कारण हमेशा होता है अधिक समस्याएंविषम कोटि के अपरिमेय समीकरणों के हल से। विषम डिग्री के अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, ODZ नहीं बदलता है। इसलिए, नीचे हम अपरिमेय समीकरणों पर विचार करेंगे, जिनकी डिग्री सम है। अपरिमेय समीकरण दो प्रकार के होते हैं:

2..

आइए उनमें से पहले पर विचार करें।

ओडीज़ समीकरण: एफ (एक्स) 0. ODZ में, समीकरण का बायाँ भाग हमेशा ऋणात्मक नहीं होता है, इसलिए एक समाधान तभी मौजूद हो सकता है जब जी(एक्स) 0. इस मामले में, समीकरण के दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं, और घातांक 2 एनएक समान समीकरण देता है। हमें वह मिलता है

आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि जबकि ODZ स्वचालित रूप से किया जाता है, और आप इसे नहीं लिख सकते, लेकिन शर्तजी(x) 0 की जांच होनी चाहिए।

टिप्पणी: यह तुल्यता की एक बहुत ही महत्वपूर्ण शर्त है। सबसे पहले, यह छात्र को जांच करने की आवश्यकता से मुक्त करता है, और समाधान खोजने के बाद, मूल अभिव्यक्ति की गैर-नकारात्मकता f(x) 0 की स्थिति की जांच करता है। दूसरे, यह स्थिति की जाँच पर केंद्रित हैजी(x) 0 दाईं ओर की गैर-नकारात्मकता है। आखिर चुकता करने के बाद समीकरण हल हो जाता है यानी, दो समीकरण एक साथ हल किए जाते हैं (लेकिन संख्यात्मक अक्ष के विभिन्न अंतरालों पर!):

1. - जहां जी(एक्स) 0 और

2. - जहां जी (एक्स) 0।

इस बीच, कई, ODZ खोजने की स्कूल की आदत के अनुसार, ऐसे समीकरणों को हल करते समय ठीक इसके विपरीत करते हैं:

ए) जाँच करें, समाधान खोजने के बाद, स्थिति f(x) 0 (जो स्वचालित रूप से संतुष्ट है), अंकगणितीय त्रुटियां करें और गलत परिणाम प्राप्त करें;

बी) शर्त को अनदेखा करेंजी(x) 0 - और फिर उत्तर गलत हो सकता है।

टिप्पणी: त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय तुल्यता की स्थिति विशेष रूप से उपयोगी होती है, जिसमें ODZ खोजना त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने से जुड़ा होता है, जो त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने से कहीं अधिक कठिन होता है। चेक इन त्रिकोणमितीय समीकरणसम स्थितियां जी(एक्स) 0 करना हमेशा आसान नहीं होता है।

दूसरे प्रकार के अपरिमेय समीकरणों पर विचार करें।

. चलो समीकरण . उनका ओडीजेड:

ODZ में, दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं, और चुकता बराबर समीकरण देता है एफ(एक्स) =जी(एक्स)।इसलिए, ODZ or . में

समाधान की इस पद्धति के साथ, किसी एक फ़ंक्शन की गैर-नकारात्मकता की जांच करने के लिए पर्याप्त है - आप एक सरल चुन सकते हैं।

खंड 1. अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके

1 विधि। समीकरण के दोनों पक्षों को क्रमिक रूप से संबंधित प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाकर रेडिकल से मुक्ति

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि समीकरण के दोनों हिस्सों को क्रमिक रूप से संबंधित प्राकृतिक डिग्री तक बढ़ाकर रेडिकल से मुक्त करने की विधि है। इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि जब समीकरण के दोनों हिस्सों को एक विषम शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, तो परिणामी समीकरण मूल के बराबर होता है, और जब समीकरण के दोनों हिस्सों को एक सम घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो परिणामी समीकरण समीकरण, सामान्यतया, मूल समीकरण के समकक्ष नहीं होगा। इसे समीकरण के दोनों पक्षों को किसी सम घात तक उठाकर आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। इस ऑपरेशन का परिणाम समीकरण में होता है , जिसका समाधान समाधान के सेट का संघ है: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. हालांकि, इसके बावजूद यह दोष, यह समीकरण के दोनों भागों को कुछ (अक्सर सम) घात तक बढ़ाने की प्रक्रिया है जो एक अपरिमेय समीकरण को एक परिमेय समीकरण में कम करने की सबसे सामान्य प्रक्रिया है।

प्रश्न हल करें:

कहाँ पे कुछ बहुपद हैं। वास्तविक संख्याओं के सेट में रूट निकालने के संचालन की परिभाषा के आधार पर, अज्ञात के स्वीकार्य मान https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 ऊँचाई = 21" ऊँचाई = "21">..gif "चौड़ाई = "243" ऊँचाई = "28 src = ">।

चूंकि पहले समीकरण के दोनों भाग चुकता थे, इसलिए यह पता चल सकता है कि दूसरे समीकरण के सभी मूल मूल समीकरण के समाधान नहीं होंगे, जड़ों की जांच करना आवश्यक है।

प्रश्न हल करें:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

समीकरण के दोनों पक्षों को एक घन बनाने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह देखते हुए कि https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(अंतिम समीकरण की जड़ें हो सकती हैं, जो आम तौर पर बोलती हैं, की जड़ें नहीं हैं समीकरण ).

हम इस समीकरण के दोनों पक्षों को एक घन तक बढ़ाते हैं: . हम समीकरण को x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 के रूप में फिर से लिखते हैं। जाँच करके, हम यह स्थापित करते हैं कि x1 = 0 समीकरण (-2 ≠ 1) का एक बाहरी मूल है, और x2 = 1 संतुष्ट करता है मूल समीकरण।

उत्तर:एक्स = 1.

2 विधि। स्थितियों की आसन्न प्रणाली को बदलना

सम-क्रमिक मूलांक वाले अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, उत्तरों में बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जिन्हें पहचानना हमेशा आसान नहीं होता है। अपरिमेय समीकरणों को हल करने के दौरान, बाहरी जड़ों को पहचानना और त्यागना आसान बनाने के लिए, इसे तुरंत आसन्न स्थितियों की प्रणाली द्वारा बदल दिया जाता है। सिस्टम में अतिरिक्त असमानताएं वास्तव में हल किए जा रहे समीकरण के ODZ को ध्यान में रखती हैं। आप ओडीजेड को अलग से ढूंढ सकते हैं और बाद में इसे ध्यान में रख सकते हैं, लेकिन मिश्रित परिस्थितियों की प्रणालियों का उपयोग करना बेहतर होता है: समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में इसे ध्यान में न रखने पर कुछ भूलने का खतरा कम होता है। इसलिए, कुछ मामलों में मिश्रित प्रणालियों में संक्रमण की विधि का उपयोग करना अधिक तर्कसंगत है।

प्रश्न हल करें:

उत्तर: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

यह समीकरण प्रणाली के बराबर है

उत्तर:समीकरण का कोई हल नहीं है।

3 विधि। nवें मूल के गुणों का उपयोग करना

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, nth डिग्री के मूल के गुणों का उपयोग किया जाता है। अंकगणितीय जड़ एन-वांके बीच से डिग्री एकएक गैर-ऋणात्मक संख्या पर कॉल करें, एन-मैं जिसकी डिग्री के बराबर है एक. यदि एक एन-यहाँ तक की( 2एन), फिर a 0, अन्यथा रूट मौजूद नहीं है। यदि एक एन-अजीब( 2 एन+1), तो a कोई है और = - ..gif" चौड़ाई = "45" ऊंचाई = "19"> फिर:

इनमें से किसी भी फॉर्मूले को औपचारिक रूप से लागू करते हुए (बिना बताए गए प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए), यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि उनमें से प्रत्येक के बाएँ और दाएँ भागों का ODZ भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति के साथ परिभाषित किया गया है च 0तथा जी 0, और व्यंजक in . के रूप में है च 0तथा जी 0, साथ ही च 0तथा जी 0.

प्रत्येक सूत्र 1-5 के लिए (बिना संकेतित प्रतिबंधों को ध्यान में रखे), इसके दाहिने हिस्से का ODZ बाईं ओर के ODZ से अधिक चौड़ा हो सकता है। यह इस प्रकार है कि 1-5 "बाएं से दाएं" (जैसा कि वे लिखे गए हैं) सूत्रों के औपचारिक उपयोग के साथ समीकरण के परिवर्तन एक समीकरण की ओर ले जाते हैं जो मूल एक का परिणाम है। इस मामले में, मूल समीकरण की बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, इसलिए मूल समीकरण को हल करने में सत्यापन एक अनिवार्य कदम है।

सूत्र 1-5 "दाएं से बाएं" के औपचारिक उपयोग के साथ समीकरणों के परिवर्तन अस्वीकार्य हैं, क्योंकि मूल समीकरण के ODZ का न्याय करना संभव है, और इसलिए जड़ों का नुकसान।

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

जो मूल का परिणाम है। इस समीकरण का हल समीकरणों के समुच्चय को हल करने के लिए घटाया गया है .

इस सेट के पहले समीकरण से हम पाते हैं https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> जहां से हम पाते हैं। इस प्रकार, की जड़ें यह समीकरण केवल संख्याएं ( -1) और (-2) हो सकता है सत्यापन से पता चलता है कि दोनों जड़ें इस समीकरण को संतुष्ट करती हैं।

उत्तर: -1,-2.

प्रश्न हल करें: ।

हल: सर्वसमिकाओं के आधार पर, पहले पद को से बदलें। ध्यान दें कि बाईं ओर दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के योग के रूप में। मॉड्यूल को "निकालें" और, समान पदों को लाने के बाद, समीकरण को हल करें। चूंकि, हम समीकरण प्राप्त करते हैं। चूंकि और , फिर https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" चौड़ाई="145" ऊंचाई="21 src=">

उत्तर:एक्स = 4.25।

4 विधि। नए चर का परिचय

अपरिमेय समीकरणों को हल करने का एक और उदाहरण वह तरीका है जिसमें नए चर पेश किए जाते हैं, जिसके संबंध में या तो एक सरल अपरिमेय समीकरण या एक तर्कसंगत समीकरण प्राप्त होता है।

समीकरण को उसके परिणाम के साथ बदलकर (मूलों की बाद की जाँच के साथ) अपरिमेय समीकरणों का समाधान निम्नानुसार किया जा सकता है:

1. मूल समीकरण का ODZ ज्ञात कीजिए।

2. समीकरण से इसके उपफल पर जाएँ।

3. परिणामी समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

4. जाँच कीजिए कि प्राप्त मूल मूल समीकरण के मूल हैं या नहीं।

चेक इस प्रकार है:

ए) ओडीजेड के प्रत्येक पाए गए मूल के मूल समीकरण से संबंधित जाँच की जाती है। वे मूल जो ODZ से संबंधित नहीं हैं, मूल समीकरण के लिए बाहरी हैं।

बी) मूल समीकरण के ODZ में शामिल प्रत्येक मूल के लिए, यह जाँच की जाती है कि क्या प्रत्येक समीकरण के बाएँ और दाएँ भाग जो मूल समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में उत्पन्न होते हैं और एक सम घात तक उठाए जाते हैं, उनमें समान चिह्न होते हैं। वे जड़ें जिनके लिए किसी समीकरण के भागों को सम घात तक बढ़ा दिया गया है विभिन्न संकेत, मूल समीकरण के लिए बाहरी हैं।

सी) केवल वे मूल जो मूल समीकरण के ODZ से संबंधित हैं और जिसके लिए प्रत्येक समीकरण के दोनों भाग जो मूल समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में उत्पन्न होते हैं और एक समान घात तक समान होते हैं, को सीधे प्रतिस्थापन द्वारा जाँचा जाता है मूल समीकरण।

सत्यापन की संकेतित विधि के साथ इस तरह की एक समाधान विधि अंतिम समीकरण की प्रत्येक मिली जड़ों को मूल में सीधे प्रतिस्थापन के मामले में बोझिल गणनाओं से बचना संभव बनाती है।

अपरिमेय समीकरण को हल करें:

इस समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों का सेट:

सेटिंग , प्रतिस्थापन के बाद हम समीकरण प्राप्त करते हैं

या इसके समकक्ष समीकरण

जिसे के रूप में माना जा सकता है द्विघात समीकरणअपेक्षाकृत। इस समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

इसलिए, मूल अपरिमेय समीकरण का समाधान सेट निम्नलिखित दो समीकरणों के समाधान सेटों का मिलन है:

, .

इनमें से प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें, और हमें दो तर्कसंगत बीजीय समीकरण मिलते हैं:

, .

इन समीकरणों को हल करने पर, हम पाते हैं कि इस अपरिमेय समीकरण का एक ही मूल x = 2 है (किसी सत्यापन की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि सभी परिवर्तन समान हैं)।

उत्तर:एक्स = 2.

अपरिमेय समीकरण को हल करें:

2x2 + 5x - 2 = t को निरूपित करें। तब मूल समीकरण का रूप ले लेगा . परिणामी समीकरण के दोनों भागों का वर्ग करके और समान पदों को लाकर, हम समीकरण प्राप्त करते हैं, जो पिछले एक का परिणाम है। इससे हम पाते हैं टी = 16.

अज्ञात x पर लौटने पर, हमें समीकरण 2x2 + 5x - 2 = 16 मिलता है, जो मूल समीकरण का परिणाम है। जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि इसकी जड़ें x1 \u003d 2 और x2 \u003d - 9/2 मूल समीकरण के मूल हैं।

उत्तर: x1 = 2, x2 = -9/2।

5 विधि। पहचान समीकरण परिवर्तन

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, किसी को समीकरण के दोनों हिस्सों को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाकर एक समीकरण को हल करना शुरू नहीं करना चाहिए, एक तर्कसंगत बीजीय समीकरण को हल करने के लिए एक अपरिमेय समीकरण के समाधान को कम करने का प्रयास करना चाहिए। सबसे पहले, यह देखना आवश्यक है कि क्या समीकरण के कुछ समान परिवर्तन करना संभव है, जो इसके समाधान को काफी सरल बना सकता है।

प्रश्न हल करें:

इस समीकरण के लिए मान्य मानों का सेट: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> इस समीकरण को .

हम पाते हैं:

a = 0 के लिए, समीकरण का कोई हल नहीं होगा; के लिए, समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

इस समीकरण के लिए कोई हल नहीं है, क्योंकि किसी के लिए एक्स, समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों के सेट से संबंधित, समीकरण के बाईं ओर की अभिव्यक्ति सकारात्मक है;

जब समीकरण का हल होता है

यह ध्यान में रखते हुए कि समीकरण के स्वीकार्य समाधानों का सेट शर्त द्वारा निर्धारित किया जाता है, हम अंत में प्राप्त करते हैं:

इस अपरिमेय समीकरण को हल करते समय, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> समीकरण का हल होगा। अन्य सभी मानों के लिए एक्ससमीकरण का कोई हल नहीं है।

उदाहरण 10:

अपरिमेय समीकरण को हल करें: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

सिस्टम के द्विघात समीकरण का समाधान दो जड़ें देता है: x1 \u003d 1 और x2 \u003d 4. प्राप्त जड़ों में से पहला सिस्टम की असमानता को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए x \u003d 4.

टिप्पणियाँ।

1) समान परिवर्तन करना हमें सत्यापन के बिना करने की अनुमति देता है।

2) असमानता x - 3 0 समान परिवर्तनों को संदर्भित करती है, न कि समीकरण के क्षेत्र को।

3) समीकरण के बाईं ओर एक घटता हुआ कार्य है, और इस समीकरण के दाईं ओर एक बढ़ता हुआ कार्य है। परिभाषा के अपने डोमेन के चौराहे पर घटते और बढ़ते कार्यों के ग्राफ में एक से अधिक नहीं हो सकते हैं आम बात. जाहिर है, हमारे मामले में, x = 4 ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है।

उत्तर:एक्स = 4.

6 विधि। समीकरणों को हल करते समय कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र का उपयोग करना

समीकरणों को हल करते समय यह विधि सबसे प्रभावी है जिसमें https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> शामिल हैं और इसकी क्षेत्र परिभाषाएं खोजें (एफ)..gif" चौड़ाई = "53" ऊंचाई = "21"> .gif" width="88" height="21 src=">, तो आपको यह जांचना होगा कि अंतराल के अंत में समीकरण सही है या नहीं, इसके अलावा, यदि a< 0, а b >0, तो अंतराल पर जांचना आवश्यक है (ए; 0)तथा . E(y) में सबसे छोटा पूर्णांक 3 है।

उत्तर: एक्स = 3.

8 विधि। अपरिमेय समीकरणों को हल करने में अवकलज का अनुप्रयोग

अक्सर, व्युत्पन्न विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करते समय, अनुमान पद्धति का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 15:

समीकरण हल करें: (1)

समाधान: चूंकि https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, या (2)। फ़ंक्शन पर विचार करें ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> इसलिए बढ़ रही है। इसलिए, समीकरण एक समीकरण के बराबर है जिसका मूल मूल समीकरण का मूल है।

उत्तर:

उदाहरण 16:

अपरिमेय समीकरण को हल करें:

फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन एक खंड है। सबसे बड़ा खोजें और सबसे छोटा मानअंतराल पर इस फ़ंक्शन के मान। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं एफ(एक्स): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" चौड़ाई = "37 ऊंचाई = 19" ऊंचाई = "19">। आइए फ़ंक्शन के मान खोजें एफ(एक्स)खंड के सिरों पर और बिंदु पर: तो, लेकिन और, इसलिए, समानता केवल शर्त के तहत संभव है https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > सत्यापन से पता चलता है कि संख्या 3 इस समीकरण का मूल है।

उत्तर:एक्स = 3.

9 विधि। कार्यात्मक

परीक्षाओं में, वे कभी-कभी उन समीकरणों को हल करने की पेशकश करते हैं जिन्हें फॉर्म में लिखा जा सकता है, जहां एक निश्चित कार्य है।

उदाहरण के लिए, कुछ समीकरण: 1) 2) . दरअसल, पहले मामले में , दूसरे मामले में . इसलिए, निम्नलिखित कथन का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों को हल करें: यदि कोई फ़ंक्शन सेट पर सख्ती से बढ़ रहा है एक्सऔर किसी के लिए, तो समीकरण, आदि, सेट पर बराबर होते हैं एक्स .

अपरिमेय समीकरण को हल करें: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> सेट पर सख्ती से बढ़ रहा है आर,और https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > जिसका एक अद्वितीय मूल है इसलिए, समतुल्य समीकरण (1) का भी एक अद्वितीय मूल है

उत्तर:एक्स = 3.

उदाहरण 18:

अपरिमेय समीकरण को हल करें: (1)

परिभाषा से वर्गमूलहम पाते हैं कि यदि समीकरण (1) की जड़ें हैं, तो वे सेट https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47"> से संबंधित हैं। ( 2)

फ़ंक्शन पर विचार करें https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" चौड़ाई = "35" ऊंचाई = "21"> किसी भी ..gif" चौड़ाई = "100" के लिए इस सेट पर सख्ती से बढ़ रहा है ऊंचाई = "41"> जिसका एक ही मूल है इसलिए, और सेट पर इसके बराबर एक्ससमीकरण (1) का एक ही मूल है

उत्तर: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

हल: यह समीकरण मिश्रित प्रणाली के तुल्य है

वैकल्पिक पाठ्यक्रम के लिए पद्धतिगत विकास

"तर्कहीन समीकरणों को हल करने के तरीके"

परिचय

प्रस्तावित वैकल्पिक पाठ्यक्रम "तर्कहीन समीकरणों को हल करने के तरीके" 11 वीं कक्षा के छात्रों के लिए अभिप्रेत है माध्यमिक स्कूलऔर विषय-उन्मुख है, जिसका उद्देश्य सैद्धांतिक और का विस्तार करना है व्यावहारिक ज्ञानछात्र। ऐच्छिक पाठ्यक्रम उस ज्ञान और कौशल पर आधारित है जो छात्र हाई स्कूल में गणित का अध्ययन करते समय प्राप्त करते हैं।

इस पाठ्यक्रम की विशिष्टता इस तथ्य में निहित है कि यह मुख्य रूप से उन छात्रों के लिए है जो अपने गणितीय ज्ञान का विस्तार, गहन, व्यवस्थित, सामान्यीकरण करना चाहते हैं, तर्कहीन समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य तरीकों और तकनीकों का अध्ययन करना चाहते हैं। कार्यक्रम में ऐसे प्रश्न शामिल हैं जो आंशिक रूप से गणित और गैर-मानक तरीकों में वर्तमान कार्यक्रमों से परे हैं जो आपको विभिन्न समस्याओं को अधिक प्रभावी ढंग से हल करने की अनुमति देते हैं।

अधिकांश USE असाइनमेंट के लिए स्नातकों की आवश्यकता होती है विभिन्न तरीकेविभिन्न प्रकार के समीकरणों और उनकी प्रणालियों के समाधान।समीकरणों और समीकरणों की प्रणालियों से संबंधित सामग्री स्कूल गणित पाठ्यक्रम का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। विषय पसंद की प्रासंगिकता वैकल्पिक पाठ्यक्रमस्कूल गणित पाठ्यक्रम में "तर्कहीन समीकरण" विषय के महत्व से निर्धारित होता है और साथ ही, समूह "सी" के कार्यों में पाए जाने वाले तर्कहीन समीकरणों को हल करने के लिए गैर-मानक तरीकों और दृष्टिकोणों पर विचार करने के लिए समय की कमी से निर्धारित होता है। "एकीकृत राज्य परीक्षा के।

ततैया के साथ नया कार्यऔर गणित पढ़ाना - छात्रों द्वारा गणितीय ज्ञान और कौशल की प्रणाली की एक मजबूत और सचेत महारत सुनिश्चित करना - यह वैकल्पिक पाठ्यक्रम विषय में एक स्थायी रुचि के गठन, गणितीय क्षमताओं के विकास, गणितीय संस्कृति के स्तर में वृद्धि प्रदान करता है। छात्रों के लिए, के लिए एक आधार बनाता है सफल वितरणविश्वविद्यालयों में एकीकृत राज्य परीक्षा और सतत शिक्षा।

पाठ्यक्रम का उद्देश्य:

तर्कहीन समीकरणों को हल करने में समझ और व्यावहारिक प्रशिक्षण के स्तर में वृद्धि;

अपरिमेय समीकरणों को हल करने की तकनीकों और विधियों का अध्ययन करना;

विश्लेषण करने की क्षमता बनाने के लिए, मुख्य बात को उजागर करें, सामान्यीकरण तकनीकों के आधार पर रचनात्मक खोज के तत्व बनाएं;

इस विषय पर छात्रों के ज्ञान का विस्तार करने के लिए, परीक्षा के सफल उत्तीर्ण होने के लिए विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए कौशल और क्षमताओं में सुधार करना।

पाठ्यक्रम के उद्देश्य:

बीजीय समीकरणों को हल करने के तरीकों और तरीकों के बारे में ज्ञान का विस्तार;

कक्षा 10-11 में पढ़ाने और परीक्षा की तैयारी करते समय ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण;

स्वतंत्र रूप से ज्ञान प्राप्त करने और लागू करने की क्षमता विकसित करना;

गणितीय साहित्य के साथ काम करने के लिए छात्रों का परिचय;

छात्रों की तार्किक सोच का विकास, उनकी एल्गोरिथम संस्कृति और गणितीय अंतर्ज्ञान;

छात्र की गणितीय संस्कृति में सुधार।

वैकल्पिक पाठ्यक्रम के कार्यक्रम में तर्कहीन समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों और दृष्टिकोणों का अध्ययन, विचाराधीन मुद्दों पर व्यावहारिक कौशल का विकास शामिल है। पाठ्यक्रम 17 घंटे के लिए डिज़ाइन किया गया है।

कार्यक्रम जटिल है, अध्ययन के सामान्य पाठ्यक्रम को पार करता है, अमूर्त सोच के विकास को बढ़ावा देता है, और छात्र के ज्ञान के क्षेत्र का विस्तार करता है। हालाँकि, यह निरंतरता बनाए रखता है मौजूदा कार्यक्रम, उनका तार्किक विस्तार होने के नाते।

शैक्षिक और विषयगत योजना

№पी/पी

विषय

घंटों की संख्या

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को ध्यान में रखते हुए समीकरणों को हल करना

प्राकृतिक शक्ति को बढ़ाकर अपरिमेय समीकरणों को हल करना

सहायक चर (प्रतिस्थापन विधि) का परिचय देकर समीकरणों को हल करना

तीसरी डिग्री के रेडिकल वाले समीकरण का हल।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने में पहचान परिवर्तन

गैर-पारंपरिक कार्य. समूह "सी" उपयोग के कार्य

नियंत्रण के रूप:गृह नियंत्रण, स्वतंत्र कार्य, निबंध और शोध पत्र।

इस वैकल्पिक पाठ्यक्रम को पढ़ाने के परिणामस्वरूप, छात्रों को मानक और गैर-मानक विधियों और तकनीकों का उपयोग करके विभिन्न तर्कहीन समीकरणों को हल करने में सक्षम होना चाहिए;

मानक अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म में महारत हासिल करें;
गैर-मानक कार्यों को हल करने के लिए समीकरणों के गुणों का उपयोग करने में सक्षम हो;
समीकरणों को हल करते समय समान परिवर्तन करने में सक्षम हो;
एक एकीकृत के विषयों की स्पष्ट समझ है राज्य परीक्षा, उनके समाधान के मुख्य तरीकों के बारे में;
गैर-मानक समस्याओं को हल करने के तरीकों को चुनने में अनुभव प्राप्त करें।

मुख्य हिस्सा।

वे समीकरण जिनमें अज्ञात मात्रा मूलांक के चिह्न के अंतर्गत होती है, कहलाती है तर्कहीन।

सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों में फॉर्म के समीकरण शामिल हैं:

समाधान का मुख्य विचारअपरिमेय समीकरण में इसे एक परिमेय बीजीय समीकरण में कम करना शामिल है, जो या तो मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर है, या इसका परिणाम है। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, हम हमेशा वास्तविक मूल खोजने की बात करते हैं।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के कुछ तरीकों पर विचार करें।

1. अनुमेय मूल्यों (ODZ) की सीमा को ध्यान में रखते हुए अपरिमेय समीकरणों का समाधान।

एक अपरिमेय समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र में अज्ञात के वे मूल्य होते हैं जिनके लिए एक समान डिग्री रेडिकल के संकेत के तहत सभी अभिव्यक्तियां गैर-ऋणात्मक होती हैं।

कभी-कभी ODZ का ज्ञान हमें यह साबित करने की अनुमति देता है कि समीकरण का कोई समाधान नहीं है, और कभी-कभी यह हमें ODZ से सीधे संख्याओं को प्रतिस्थापित करके समीकरण का समाधान खोजने की अनुमति देता है।.

उदाहरण 1 . प्रश्न हल करें.

समाधान . इस समीकरण का ODZ ज्ञात करने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि मूल समीकरण का ODZ एक-तत्व समुच्चय है. स्थानापन्नएक्स = 2इस समीकरण में, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं किएक्स = 2मूल समीकरण का मूल है।

उत्तर : 2 .

उदाहरण 2।

समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि चर के प्रत्येक मान्य मान के लिए, दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं का योग ऋणात्मक नहीं हो सकता।

उदाहरण 3
+ 3 =
.

ओडीजेड:

ODZ समीकरण एक खाली सेट है।

उत्तर: समीकरण का कोई मूल नहीं है।

उदाहरण 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ओडीजेड:

ओडीजेड:
. जाँच करने पर हमें विश्वास हो जाता है कि x \u003d 1 समीकरण का मूल है।

उत्तर 1।

सिद्ध कीजिए कि समीकरण में नहीं है

जड़ें

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

प्रश्न हल करें।

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. इन एक समीकरण के दोनों पक्षों को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाना , अर्थात्, समीकरण से संक्रमण

(1)

समीकरण के लिए

. (2)

निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

1) किसी भी समीकरण के लिए (2) समीकरण (1) का परिणाम है;

2) अगर ( एनएक विषम संख्या है), तो समीकरण (1) और (2 .) ) समतुल्य हैं;

3) अगर ( एनएक सम संख्या है), तो समीकरण (2) समीकरण के बराबर है

, (3)

और समीकरण (3) समीकरणों के समुच्चय के बराबर है

. (4)

विशेष रूप से, समीकरण

(5)

समीकरणों के समुच्चय (4) के बराबर है।

उदाहरण 1. प्रश्न हल करें

.

समीकरण प्रणाली के बराबर है

जहां से यह इस प्रकार है कि x=1, और मूल दूसरी असमानता को संतुष्ट नहीं करता है। उसी समय, एक सक्षम समाधान को सत्यापन की आवश्यकता नहीं होती है।

उत्तर:एक्स = 1।

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें।

इस प्रणाली के पहले समीकरण को हल करना, जो समीकरण के बराबर है , हमें जड़ें मिलती हैं और . हालांकि, इन मूल्यों के लिए एक्सअसमानता संतुष्ट नहीं है, और इसलिए इस समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 3. प्रश्न हल करें

पहले रेडिकल को अलग करने के बाद, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

मूल के बराबर।

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, चूँकि वे दोनों धनात्मक हैं, हमें समीकरण प्राप्त होता है

,

जो मूल समीकरण का परिणाम है। इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग इस शर्त के तहत किया जाता है कि, हम समीकरण पर पहुंचते हैं

.

इस समीकरण की जड़ें हैं, . पहली जड़ प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करती है, और दूसरी नहीं।

उत्तर: एक्स = 2।

यदि समीकरण में दो या दो से अधिक मूलक हैं, तो उन्हें पहले अलग किया जाता है, और फिर चुकता किया जाता है।

उदाहरण 1

पहले रेडिकल को अलग करने के बाद, हम एक समीकरण प्राप्त करते हैं जो दिए गए के बराबर होता है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

आवश्यक परिवर्तन करने के बाद, हम परिणामी समीकरण का वर्ग बनाते हैं

जाँच करने के बाद, हम देखते हैं कि

अनुमत सीमा के भीतर नहीं है।

उत्तर: 8.

उत्तर: 2

उत्तर: 3; 1.4.

3. कई अपरिमेय समीकरणों को सहायक चरों के परिचय द्वारा हल किया जाता है।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने का एक सुविधाजनक साधन कभी-कभी एक नया चर पेश करने की विधि है, या प्रतिस्थापन विधि।विधि आमतौर पर लागू होती है यदि समीकरण में कुछ अभिव्यक्ति बार-बार होती है, अज्ञात मान पर निर्भर करता है। फिर इस अभिव्यक्ति को किसी नए अक्षर के साथ नामित करना और पहले अज्ञात के संबंध में समीकरण को हल करने का प्रयास करना, और फिर मूल अज्ञात का पता लगाना समझ में आता है।

एक नए चर का एक अच्छा विकल्प समीकरण की संरचना को और अधिक पारदर्शी बनाता है। नया चर कभी-कभी स्पष्ट होता है, कभी-कभी कुछ छिपा हुआ होता है, लेकिन "महसूस" होता है, और कभी-कभी केवल परिवर्तन की प्रक्रिया में "प्रकट होता है"।

उदाहरण 1

होने देना
टी> 0, फिर

टी =
,

टी 2 +5t-14=0,

टी 1 \u003d -7, टी 2 \u003d 2. t=-7 शर्त t>0 को संतुष्ट नहीं करता है, तो

,

एक्स 2 -2x-5 \u003d 0,

एक्स 1 \u003d 1-
, एक्स 2 \u003d 1+
.

उत्तर 1-
; 1+
.

उदाहरण 2एक अपरिमेय समीकरण हल करें

प्रतिस्थापन:

रिवर्स रिप्लेसमेंट: /

उत्तर:

उदाहरण 3प्रश्न हल करें .

आइए प्रतिस्थापन करें: , । मूल समीकरण को इस रूप में फिर से लिखा जाएगा, जहां से हम पाते हैं कि एक = 4बीतथा । इसके अलावा, समीकरण के दोनों पक्षों को ऊपर उठाना चुकता, हमें मिलता है: यहाँ से एक्स= 15. यह जांचना बाकी है:

- सही!

उत्तर: 15.

उदाहरण 4. प्रश्न हल करें

सेटिंग, हम एक बहुत सरल अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें: .

; ;

; ; , .

पाए गए मानों की जाँच करना, उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करना दर्शाता है कि यह समीकरण का मूल है, और एक बाहरी मूल है।

मूल चर पर लौट रहा है एक्स, हमें एक समीकरण मिलता है, जो कि एक द्विघात समीकरण है, जिसे हल करने पर हमें दो मूल मिलते हैं:। दोनों मूल मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

उत्तर: , .

प्रतिस्थापन विशेष रूप से उपयोगी होता है यदि परिणामस्वरूप एक नया गुण प्राप्त होता है, उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण तर्कसंगत हो जाता है।

उदाहरण 6. प्रश्न हल करें।

आइए इस तरह के समीकरण को फिर से लिखें:

यह देखा जा सकता है कि यदि हम एक नया चर पेश करते हैं , तो समीकरण रूप लेगा , जहां से एक बाहरी जड़ है और .

समीकरण से हम प्राप्त करते हैं, .

उत्तर: , .

उदाहरण 7. प्रश्न हल करें .

आइए एक नया वेरिएबल पेश करें , .

परिणामस्वरूप, मूल अपरिमेय समीकरण द्विघात का रूप ले लेता है

,

जहां से, बाधा को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं। समीकरण को हल करने पर हमें मूल प्राप्त होता है। उत्तर: 2,5.

स्वतंत्र निर्णय के लिए कार्य।

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4. दो सहायक चरों को प्रस्तुत करने की विधि।

फॉर्म के समीकरण (यहां एक , बी , सी , डी – कुछ नंबर एम , एन – प्राकृतिक संख्याएँ) और कई अन्य समीकरणों को अक्सर हल किया जा सकता है दो सहायक अज्ञात का परिचय देकर:और , कहाँ और बाद के संक्रमण के लिए परिमेय समीकरणों की समतुल्य प्रणाली.

उदाहरण 1. प्रश्न हल करें।

इस समीकरण के दोनों पक्षों को चौथी घात तक बढ़ाना शुभ संकेत नहीं है। यदि हम , डालते हैं, तो मूल समीकरण इस प्रकार फिर से लिखा जाता है: . चूंकि हमने दो नए अज्ञात का परिचय दिया है, इसलिए हमें संबंधित एक और समीकरण खोजने की आवश्यकता है आपतथा जेड. ऐसा करने के लिए, हम समानताएं बढ़ाते हैं, चौथी शक्ति तक और ध्यान दें कि। इसलिए, हमें समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

वर्ग करने से हमें प्राप्त होता है:

प्रतिस्थापन के बाद हमारे पास है: या । तब सिस्टम के दो समाधान होते हैं: , ; , , और सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

यह एक अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए बनी हुई है

और प्रणाली उनमें से पहला देता है, दूसरा देता है।

उत्तर: , .

उदाहरण 2

होने देना

उत्तर:

5. तीसरी डिग्री के एक कट्टरपंथी के साथ समीकरण।
थर्ड-डिग्री रेडिकल वाले समीकरणों को हल करते समय, अतिरिक्त पहचान का उपयोग करना उपयोगी हो सकता है:

उदाहरण 1 .
आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएं और उपरोक्त पहचान का उपयोग करें:

ध्यान दें कि कोष्ठक में व्यंजक 1 के बराबर है, जो मूल समीकरण का अनुसरण करता है। इसे ध्यान में रखते हुए और समान पदों को लाते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
आइए कोष्ठक खोलें, समान पद दें और द्विघात समीकरण को हल करें। इसकी जड़ेंतथा. यदि हम (परिभाषा के अनुसार) मान लें कि विषम अंश का मूल ऋणात्मक संख्याओं से भी निकाला जा सकता है, तो प्राप्त दोनों संख्याएँ मूल समीकरण के समाधान हैं।
उत्तर:.

6. समीकरण के दोनों भागों को उनमें से किसी एक के संयुग्मी व्यंजक से गुणा करना।

कभी-कभी एक अपरिमेय समीकरण को बहुत जल्दी हल किया जा सकता है यदि दोनों पक्षों को एक अच्छी तरह से चुने गए फ़ंक्शन से गुणा किया जाता है। बेशक, जब समीकरण के दोनों हिस्सों को किसी फ़ंक्शन से गुणा किया जाता है, तो बाहरी समाधान प्रकट हो सकते हैं, वे स्वयं इस फ़ंक्शन के शून्य हो सकते हैं। इसलिए, प्रस्तावित पद्धति के लिए परिणामी मूल्यों के अनिवार्य अध्ययन की आवश्यकता है।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें

समाधान:आइए एक फ़ंक्शन चुनें

समीकरण के दोनों पक्षों को चुने हुए फलन से गुणा करें:

हम समान पद लाते हैं और एक समान समीकरण प्राप्त करते हैं

हम मूल समीकरण और अंतिम समीकरण जोड़ते हैं, हमें मिलता है

उत्तर: .

7. अपरिमेय समीकरणों को हल करने में पहचान परिवर्तन

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, अक्सर प्रसिद्ध सूत्रों के उपयोग से जुड़े समान परिवर्तनों को लागू करना पड़ता है। दुर्भाग्य से, ये कार्रवाइयां कभी-कभी उतनी ही असुरक्षित होती हैं, जितनी कि एक समान शक्ति तक - समाधान प्राप्त या खो सकते हैं।

आइए कुछ स्थितियों को देखें जिनमें ये समस्याएं होती हैं, और सीखें कि उन्हें कैसे पहचानें और कैसे रोकें।

मैं। उदाहरण 1. प्रश्न हल करें।

समाधान।सूत्र यहां लागू होता है .

आपको बस इसके उपयोग की सुरक्षा के बारे में सोचने की जरूरत है। यह देखना आसान है कि इसके बाएँ और दाएँ भाग में हैं विभिन्न क्षेत्रोंपरिभाषाएँ और यह समानता केवल शर्त के तहत सत्य है। इसलिए, मूल समीकरण प्रणाली के बराबर है

इस प्रणाली के समीकरण को हल करने पर, हम मूल प्राप्त करते हैं और . दूसरी जड़ प्रणाली की असमानताओं के समूह को संतुष्ट नहीं करती है और इसलिए, मूल समीकरण का एक बाहरी मूल है।

उत्तर: -1 .

द्वितीयअपरिमेय समीकरणों को हल करते समय अगला खतरनाक परिवर्तन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यदि आप इस सूत्र का उपयोग बाएं से दाएं करते हैं, तो DPV का विस्तार होता है और तृतीय-पक्ष समाधान खरीदे जा सकते हैं। वास्तव में, दोनों कार्य करते हैं और बाईं ओर गैर-ऋणात्मक होना चाहिए; और उनका उत्पाद दाईं ओर गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।

एक उदाहरण पर विचार करें जहां सूत्र का उपयोग करके समस्या को लागू किया जाता है।

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें।

समाधान।आइए फैक्टरिंग द्वारा इस समीकरण को हल करने का प्रयास करें

ध्यान दें कि इस क्रिया के दौरान, समाधान खो गया, क्योंकि यह मूल समीकरण में फिट बैठता है और अब परिणामी समीकरण में फिट नहीं होता है: इसका कोई मतलब नहीं है। इसलिए, यह समीकरण सामान्य वर्ग द्वारा सबसे अच्छा हल किया जाता है

इस प्रणाली के समीकरण को हल करने पर, हम मूल प्राप्त करते हैं और . दोनों जड़ें प्रणाली की असमानता को संतुष्ट करती हैं।

उत्तर: , .

तृतीय.और भी है खतरनाक कार्रवाई- एक सामान्य कारक द्वारा कमी।

उदाहरण 3. प्रश्न हल करें .

गलत तर्क: हम समीकरण के दोनों पक्षों को कम करते हैं, हमें मिलता है .

इस कार्रवाई से ज्यादा खतरनाक और गलत कुछ भी नहीं है। सबसे पहले, मूल समीकरण का एक उपयुक्त हल खो गया था; दूसरे, दो तृतीय-पक्ष समाधान खरीदे गए। यह पता चला है कि नए समीकरण का मूल से कोई लेना-देना नहीं है! हम सही समाधान देंगे।

समाधान. हम सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और इसे कारक बनाते हैं

.

यह समीकरण प्रणाली के बराबर है

जो है केवल निर्णय.

उत्तर: 3 .

निष्कर्ष।

वैकल्पिक पाठ्यक्रम के अध्ययन के हिस्से के रूप में, जटिल समस्याओं को हल करने के लिए गैर-मानक तरीके दिखाए जाते हैं, जो सफलतापूर्वक विकसित होते हैं तार्किक सोच, छात्र के लिए सुविधाजनक और तर्कसंगत हल करने के कई तरीकों में से खोजने की क्षमता। इस पाठ्यक्रम के लिए छात्रों को बहुत सारे स्वतंत्र कार्य करने की आवश्यकता होती है, छात्रों को सतत शिक्षा के लिए तैयार करने में मदद करता है, और गणितीय संस्कृति के स्तर को बढ़ाता है।

पेपर ने तर्कहीन समीकरणों को हल करने के लिए मुख्य तरीकों पर विचार किया, उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए कुछ दृष्टिकोण, जिसका उपयोग यूएसई कार्यों को हल करते समय, साथ ही विश्वविद्यालयों में प्रवेश करते समय और गणितीय शिक्षा जारी रखते समय किया जाना चाहिए। अपरिमेय समीकरणों को हल करने के सिद्धांत से संबंधित मुख्य अवधारणाओं और बयानों की सामग्री का भी खुलासा किया गया था। समीकरणों को हल करने के लिए सबसे सामान्य विधि निर्धारित करने के बाद, हमने मानक और गैर-मानक स्थितियों में इसके आवेदन का खुलासा किया। इसके अलावा, उन्होंने माना सामान्य गलतियाँसमान परिवर्तन करते समय और उन्हें दूर करने के तरीके।

पाठ्यक्रम के दौरान, छात्रों के पास समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों और तकनीकों में महारत हासिल करने का अवसर होगा, जबकि सैद्धांतिक जानकारी को व्यवस्थित और सामान्य बनाना सीखना, स्वतंत्र रूप से कुछ समस्याओं के समाधान की खोज करना और इसके संबंध में, कई कार्यों और अभ्यासों की रचना करना। इन विषयों। जटिल सामग्री के चुनाव से छात्रों को शोध गतिविधियों में खुद को अभिव्यक्त करने में मदद मिलेगी।

साकारात्मक पक्षपाठ्यक्रम में अध्ययन की गई सामग्री के छात्रों द्वारा आगे आवेदन की संभावना है परीक्षा उत्तीर्ण करना, विश्वविद्यालयों में प्रवेश।

नकारात्मक पक्ष यह है कि अधिकांश कार्यों को हल करने की कठिनाई के कारण प्रत्येक छात्र इस पाठ्यक्रम की सभी तकनीकों में महारत हासिल करने में सक्षम नहीं है, भले ही वह चाहे।

साहित्य:

शेरगिन आई.एफ. "विश्वविद्यालयों के आवेदकों के लिए गणित।" - तीसरा संस्करण।, - एम।: ड्रोफा, 2000।
समीकरण और असमानताएँ। संदर्भ पुस्तिका./ वाविलोव वी.वी., मेलनिकोव आई.आई., ओलेहनिक एस.एन., पसिचेंको पी.आई. -एम .: परीक्षा, 1998।
चेरकासोव ओ.यू., याकुशेव ए.जी. "गणित: गहन परीक्षा तैयारी पाठ्यक्रम"। - 8 वां संस्करण।, रेव। और अतिरिक्त - एम .: आईरिस, 2003. - (होम ट्यूटर)
बालयान ई.एन. गणित में परीक्षा के लिए प्रशिक्षण कार्यों के लिए जटिल अभ्यास और विकल्प। रोस्तोव-ऑन-डॉन: फीनिक्स पब्लिशिंग हाउस, 2004।
स्कैनवी एम.आई. "विश्वविद्यालयों के आवेदकों के लिए गणित में कार्यों का संग्रह।" - एम।, "हायर स्कूल", 1998।
इगुसमैन ओ.एस. "मौखिक परीक्षा में गणित"। - एम।, आइरिस, 1999।
एकीकृत राज्य परीक्षा - 2008 - 2012 की तैयारी के लिए परीक्षा सामग्री।
वी.वी.कोचागिन, एम.एन.कोचागिना "USE - 2010. गणित। ट्यूटर "मॉस्को" ज्ञानोदय "2010।
वीए गुसेव, एजी मोर्दकोविच "गणित। संदर्भ सामग्री "मास्को" ज्ञानोदय "1988।

अपरिमेय समीकरणों का हल।

इस लेख में, हम हल करने के तरीकों के बारे में बात करेंगे सबसे सरल अपरिमेय समीकरण।

अपरिमेय समीकरणएक समीकरण कहलाता है जिसमें मूल के चिह्न के नीचे अज्ञात होता है।

आइए दो प्रकार देखें अपरिमेय समीकरण, जो पहली नज़र में बहुत समान हैं, लेकिन वास्तव में एक दूसरे से बहुत अलग हैं।

(1)

(2)

पहले समीकरण में हम देखते हैं कि अज्ञात तीसरी डिग्री की जड़ के संकेत के तहत है। हम एक ऋणात्मक संख्या से एक विषम मूल निकाल सकते हैं, इसलिए इस समीकरण में मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक या समीकरण के दाईं ओर के व्यंजक पर कोई प्रतिबंध नहीं है। हम जड़ से छुटकारा पाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को तीसरी शक्ति तक बढ़ा सकते हैं। हमें एक समान समीकरण मिलता है:

समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों को एक विषम घात में ऊपर उठाने पर, हम बाहरी जड़ों को प्राप्त करने से नहीं डर सकते।

उदाहरण 1. आइए समीकरण हल करें

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएं। हमें एक समान समीकरण मिलता है:

आइए सभी पदों को एक दिशा में ले जाएँ और कोष्ठक में से x निकालें:

हम प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करते हैं, हमें मिलता है:

उत्तर: (0;1;2)

आइए दूसरे समीकरण पर करीब से नज़र डालें: . समीकरण के बाईं ओर वर्गमूल है, जो केवल गैर-ऋणात्मक मान लेता है। इसलिए, समीकरण के हल होने के लिए, दाहिना भागगैर-नकारात्मक भी होना चाहिए। इसलिए, समीकरण के दाईं ओर निम्नलिखित शर्त लगाई गई है:

शीर्षक = "(!LANG:g(x)>=0"> - это !} जड़ों के अस्तित्व के लिए शर्त.

इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए, आपको समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करना होगा:

(3)

स्क्वायरिंग बाहरी जड़ों को पेश कर सकता है, इसलिए हमें समीकरणों की आवश्यकता है:

शीर्षक = "(!LANG:f(x)>=0"> (4)!}

हालाँकि, असमानता (4) स्थिति (3) से अनुसरण करती है: यदि समानता का दाहिना भाग किसी व्यंजक का वर्ग है, और किसी व्यंजक का वर्ग केवल गैर-ऋणात्मक मान ले सकता है, तो बाईं ओर भी गैर- नकारात्मक। इसलिए, कंडीशन (4) कंडीशन (3) से अपने आप फॉलो होती है और हमारा समीकरण प्रणाली के बराबर है:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0)))( )">!}

उदाहरण 2।आइए समीकरण को हल करें:

.

आइए एक समान प्रणाली पर चलते हैं:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0)))( )">!}

हम सिस्टम के पहले समीकरण को हल करते हैं और जांचते हैं कि कौन सी जड़ें असमानता को संतुष्ट करती हैं।

असमानता शीर्षक = "(!LANG:1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

उत्तर: एक्स = 1

ध्यान!यदि हम हल करने की प्रक्रिया में समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं, तो हमें याद रखना चाहिए कि बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। इसलिए, या तो आपको एक समतुल्य प्रणाली पर स्विच करने की आवश्यकता है, या समाधान के अंत में, एक जांच करें: जड़ों को खोजें और उन्हें मूल समीकरण में बदलें।

उदाहरण 3. आइए समीकरण को हल करें:

इस समीकरण को हल करने के लिए, हमें दोनों पक्षों का वर्ग भी करना होगा। आइए इस समीकरण में ओडीजेड और जड़ों के अस्तित्व की स्थिति से परेशान न हों, लेकिन समाधान के अंत में हम जांच करेंगे।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

मूल वाले पद को बाईं ओर और अन्य सभी पदों को दाईं ओर ले जाएँ:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को फिर से वर्गाकार करें:

विएटा टर्म के अनुसार:

चलो एक चेक करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पाए गए जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। जाहिर है, मूल समीकरण का दायां पक्ष ऋणात्मक है, जबकि बायां पक्ष सकारात्मक है।

जब हमें सही समानता मिलती है।

पाठ सारांश
"तर्कहीन समीकरणों को हल करने के तरीके"

भौतिक और गणितीय प्रोफ़ाइल की 11वीं कक्षा।

ज़ेलेनोडोल्स्की नगरपालिका जिलाआरटी"

वलीवा एस.जेड.

पाठ विषय: अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके
पाठ का उद्देश्य: 1. एक्सप्लोर करें विभिन्न तरीकेअपरिमेय समीकरणों के समाधान।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए सामान्यीकरण, सही तरीके से विधियों का चयन करने की क्षमता विकसित करना।

स्वतंत्रता का विकास करें, वाक् साक्षरता को शिक्षित करें

पाठ प्रकार:सेमिनार।
शिक्षण योजना:

आयोजन का समय

नई सामग्री सीखना

एंकरिंग

गृहकार्य

पाठ सारांश

कक्षाओं के दौरान
मैं. आयोजन का समय:पाठ के विषय का संदेश, पाठ का उद्देश्य।
पिछले पाठ में, हमने वर्गमूल वाले अपरिमेय समीकरणों को उनका वर्ग करके हल करने पर विचार किया था। इस मामले में, हम एक परिणाम समीकरण प्राप्त करते हैं, जो कभी-कभी बाहरी जड़ों की उपस्थिति की ओर जाता है। और फिर समीकरण को हल करने का एक अनिवार्य हिस्सा जड़ों की जाँच कर रहा है। हमने वर्गमूल की परिभाषा का उपयोग करके समीकरणों को हल करने पर भी विचार किया। इस मामले में, चेक छोड़ा जा सकता है। हालांकि, समीकरणों को हल करते समय, हमेशा समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम के "अंधा" अनुप्रयोग के लिए तुरंत आगे बढ़ना आवश्यक नहीं होता है। यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के कार्यों में काफी कुछ समीकरण होते हैं, जिन्हें हल करने में एक समाधान विधि चुनना आवश्यक होता है जो आपको समीकरणों को आसान और तेज़ हल करने की अनुमति देता है। अत: अपरिमेय समीकरणों को हल करने की अन्य विधियों को जानना आवश्यक है, जिनसे हम आज परिचित होंगे। पहले कक्षा को 8 . में विभाजित किया गया था रचनात्मक समूह, और उन्हें एक विशेष विधि के सार को प्रकट करने के लिए विशिष्ट उदाहरण दिए गए थे। हम उन्हें एक शब्द देते हैं।

द्वितीय. नई सामग्री सीखना।
प्रत्येक समूह से, 1 छात्र बच्चों को अपरिमेय समीकरणों को हल करना समझाता है। पूरी कक्षा सुनती है और उनकी कहानी पर नोट्स लेती है।

1 रास्ता। एक नए चर का परिचय।
समीकरण हल करें: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, टी ≥0
एक्स 2 - 2x - 6 \u003d टी 2;

4t 2 - 3t - 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

एक्स 2 - 2x - 6 \u003d 9;

उत्तर: -3; 5.

2 रास्ते। ओडीजेड अनुसंधान।
प्रश्न हल करें

ओडीजेड:

x \u003d 2. जाँच करके हम सुनिश्चित करते हैं कि x \u003d 2 समीकरण का मूल है।
3 रास्ता। समीकरण के दोनों पक्षों को संयुग्म कारक से गुणा करना।
+
(दोनों पक्षों को इससे गुणा करें -
)

एक्स + 3 - एक्स - 8 \u003d 5 (-)

2=4, इसलिए x=1. जाँच करने से हमें विश्वास हो जाता है कि x \u003d 1 इस समीकरण का मूल है।

4 तरफा। एक चर का परिचय देकर एक प्रणाली के समीकरण को कम करना।
प्रश्न हल करें

चलो = यू,
= वी।

हमें सिस्टम मिलता है:
आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करें। हमें u = 2, v = 2 प्राप्त होता है। इसलिए,
हमें एक्स = 1 मिलता है।

उत्तर: एक्स = 1।

5 रास्ता। एक पूर्ण वर्ग का चयन।
प्रश्न हल करें

आइए मॉड्यूल खोलें। इसलिये -1≤cos0.5x≤1, फिर -4≤cos0.5x-3≤-2, इसलिए . वैसे ही,
तब हमें समीकरण मिलता है

एक्स = 4πn, एनजेड।

उत्तर: 4πn, nZ।
6 रास्ता। मूल्यांकन पद्धति

प्रश्न हल करें

ओडीजेड: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 0, परिभाषा के अनुसार, दाईं ओर -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

हम पाते हैं
वे। x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. गुणनखंड द्वारा समीकरण को हल करने पर हमें x = 2, x = -2 प्राप्त होता है।
विधि 7: कार्यों की एकरसता के गुणों का उपयोग करना।

प्रश्न हल करें। कार्य सख्ती से बढ़ रहे हैं। बढ़ते फलनों का योग बढ़ रहा है और इस समीकरण का अधिकतम एक मूल है। चयन से हम x = 1 पाते हैं।

8 रास्ता। वैक्टर का उपयोग।

प्रश्न हल करें। ओडीजेड: -1≤х≤3।

चलो वेक्टर
. अदिश उत्पादवैक्टर - बाईं ओर है। आइए उनकी लंबाई का गुणनफल ज्ञात करें। यह सही पक्ष है। प्राप्त
, अर्थात। सदिश a और b संरेख हैं। यहाँ से
. आइए दोनों पक्षों को चौकोर करें। समीकरण को हल करने पर, हमें x \u003d 1 और x \u003d . मिलता है
.

समेकन।(प्रत्येक छात्र को एक वर्कशीट दी जाती है)

फ्रंट ओरल वर्क
समीकरणों को हल करने के लिए एक उपाय खोजें (1-10)

1.
(ओडीजेड - )

2.
एक्स = 2

3. एक्स 2 - 3x +
(प्रतिस्थापन)

4. (एक पूर्ण वर्ग का चयन)

5.
(एक चर का परिचय देकर एक प्रणाली के समीकरण को कम करना।)

6.
(आसन्न व्यंजक से गुणा करके)

7.
इसलिये
. इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

8. क्योंकि प्रत्येक पद गैर-ऋणात्मक है, हम उन्हें शून्य के बराबर करते हैं और प्रणाली को हल करते हैं।

9. 3

10. समीकरण का मूल (या जड़ों का गुणनफल, यदि कई हैं) ज्ञात कीजिए।

लिखा हुआ स्वतंत्र कामसत्यापन के बाद
11,13,17,19 संख्या वाले समीकरणों को हल करें

समीकरण हल करें:
12. (एक्स + 6) 2 -

14.

मूल्यांकन पद्धति

कार्यों की एकरसता के गुणों का उपयोग करना।

वैक्टर का उपयोग।

अन्य प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए इनमें से किस विधि का उपयोग किया जाता है?

आपको इनमें से कौन सा तरीका सबसे ज्यादा पसंद आया और क्यों?

गृहकार्य: शेष समीकरणों को हल करें।

ग्रंथ सूची:

बीजगणित और शुरुआत गणितीय विश्लेषण: अध्ययन करते हैं। 11 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / एस.एम. निकोल्स्की, एम.के. पोटापोव, एन.एन. रेशेतनिकोव, ए.वी. शेवकिन। एम: ज्ञानोदय, 2009

बीजगणित पर उपदेशात्मक सामग्री और ग्रेड 11 / बी.एम. के लिए विश्लेषण के सिद्धांत। इवलेव, एस.एम. सहक्यान, एस.आई. श्वार्जबर्ड। - एम .: ज्ञानोदय, 2003।

मोर्दकोविच ए जी बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। 10 - 11 सेल: सामान्य शिक्षा के लिए कार्यपुस्तिका। संस्थान। - एम .: मेनेमोसिन, 2000।

एर्शोवा ए.पी., गोलोबोरोडको वी.वी. इंडिपेंडेंट और टेस्ट पेपरबीजगणित में और ग्रेड 10-11 के लिए विश्लेषण की शुरुआत। - एम .: इलेक्सा, 2004

किम उपयोग 2002 - 2010

6. बीजीय सिम्युलेटर। ए.जी. मर्ज़लीक, वी.बी. पोलोनस्की, एम.एस. याकिर। स्कूली बच्चों और प्रवेशकों के लिए हैंडबुक। मॉस्को: "इलेक्सा" 2001।
7. समीकरण और असमानताएँ। गैर-मानक समाधान विधियां। शैक्षिक - टूलकिट. 10 - 11 कक्षाएं। एस.एन. ओलेनिक, एम.के. पोतापोव, पी.आई. पासिचेंको। मास्को। "बस्टर्ड"। 2001
बीजगणित का अध्ययन करते समय, छात्रों को कई प्रकार के समीकरणों का सामना करना पड़ता है। उनमें से जो सबसे सरल हैं, कोई एक अज्ञात वाले रैखिक नाम दे सकता है। यदि गणितीय व्यंजक में एक चर को एक निश्चित घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो समीकरण को द्विघात, घन, द्विघात, इत्यादि कहा जाता है। इन व्यंजकों में परिमेय संख्याएँ हो सकती हैं। लेकिन अपरिमेय समीकरण भी हैं। वे एक फ़ंक्शन की उपस्थिति से दूसरों से भिन्न होते हैं जहां अज्ञात रेडिकल के संकेत के तहत होता है (अर्थात, विशुद्ध रूप से बाहरी रूप से, यहां चर को वर्गमूल के नीचे लिखा जा सकता है)। अपरिमेय समीकरणों को हल करने का अपना है विशेषताएँ. सही उत्तर प्राप्त करने के लिए एक चर के मूल्य की गणना करते समय, उन्हें ध्यान में रखा जाना चाहिए।
"शब्दों में अकथनीय"
यह कोई रहस्य नहीं है कि प्राचीन गणितज्ञ मुख्य रूप से परिमेय संख्याओं के साथ काम करते थे। इनमें शामिल हैं, जैसा कि आप जानते हैं, पूर्णांक, सामान्य और दशमलव आवधिक भिन्नों के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं, इस समुदाय के प्रतिनिधि। हालांकि, मध्य और निकट पूर्व के साथ-साथ भारत के वैज्ञानिकों ने भी, त्रिकोणमिति, खगोल विज्ञान और बीजगणित विकसित करते हुए, तर्कहीन समीकरणों को हल करना सीखा। उदाहरण के लिए, यूनानी ऐसी मात्राओं को जानते थे, लेकिन, उन्हें मौखिक रूप में रखते हुए, उन्होंने "अलोगोस" की अवधारणा का उपयोग किया, जिसका अर्थ था "अव्यक्त"। कुछ समय बाद, यूरोपीय लोगों ने उनकी नकल करते हुए ऐसी संख्याओं को "बहरा" कहा। वे अन्य सभी से इस मायने में भिन्न हैं कि उन्हें केवल एक अनंत गैर-आवधिक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसकी अंतिम संख्यात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त करना असंभव है। इसलिए, अधिक बार संख्याओं के दायरे के ऐसे प्रतिनिधियों को संख्याओं और संकेतों के रूप में दूसरी या अधिक डिग्री के मूल के तहत कुछ अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाता है।
पूर्वगामी के आधार पर, हम अपरिमेय समीकरण को परिभाषित करने का प्रयास करेंगे। इस तरह के भावों में तथाकथित "अव्यक्त संख्याएँ" होती हैं, जो वर्गमूल चिह्न का उपयोग करके लिखी जाती हैं। वे सभी प्रकार के जटिल विकल्प हो सकते हैं, लेकिन अपने सरलतम रूप में वे नीचे दी गई तस्वीर की तरह दिखते हैं।
अपरिमेय समीकरणों के समाधान का उल्लंघन करते हुए, सबसे पहले चर के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा की गणना करना आवश्यक है।
क्या अभिव्यक्ति समझ में आती है?
प्राप्त मूल्यों की जांच करने की आवश्यकता गुणों से होती है जैसा कि ज्ञात है, ऐसी अभिव्यक्ति स्वीकार्य है और कुछ शर्तों के तहत ही इसका कोई अर्थ है। सम मूल के मामलों में, सभी मूल भाव धनात्मक या शून्य के बराबर होने चाहिए। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो प्रस्तुत गणितीय अंकन को सार्थक नहीं माना जा सकता है।
आइए एक विशिष्ट उदाहरण दें कि अपरिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए (नीचे चित्रित)।
इस मामले में, यह स्पष्ट है कि इन शर्तों को वांछित मूल्य द्वारा लिए गए किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह पता चला है कि 11 x 4. इसका मतलब है कि केवल ही समाधान हो सकता है।
विश्लेषण विधि
ऊपर से यह स्पष्ट हो जाता है कि कुछ प्रकार के अपरिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए। यहां कुशल तरीके सेसरल विश्लेषण हो सकता है।
हम कई उदाहरण देते हैं जो इसे फिर से स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करते हैं (नीचे दी गई तस्वीर में)।
पहले मामले में, अभिव्यक्ति पर सावधानीपूर्वक विचार करने पर, यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि यह सच नहीं हो सकता। दरअसल, समानता के बाईं ओर एक सकारात्मक संख्या प्राप्त की जानी चाहिए, जो किसी भी तरह से -1 के बराबर नहीं हो सकती है।
दूसरे मामले में, दो सकारात्मक अभिव्यक्तियों का योग शून्य के बराबर माना जा सकता है जब एक ही समय में x - 3 = 0 और x + 3 = 0 हो। फिर, यह असंभव है। और इसलिए, उत्तर में, आपको फिर से लिखना चाहिए।
तीसरा उदाहरण पिछले वाले के समान ही है। दरअसल, यहां ओडीजेड की शर्तों के लिए आवश्यक है कि निम्नलिखित बेतुका असमानता संतुष्ट हो: 5 ≤ x ≤ 2. और इसी तरह के समीकरण में ध्वनि समाधान नहीं हो सकते हैं।
असीमित ज़ूम
अपरिमेय की प्रकृति को सबसे स्पष्ट और पूरी तरह से समझाया जा सकता है और केवल संख्याओं की एक अंतहीन श्रृंखला के माध्यम से जाना जा सकता है। दशमलव अंश. और विशिष्ट एक प्रमुख उदाहरणइस परिवार के सदस्यों की संख्या पाई है। अकारण नहीं, यह माना जाता है कि यह गणितीय स्थिरांक प्राचीन काल से ज्ञात है, जिसका उपयोग किसी वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल की गणना में किया जाता है। लेकिन यूरोपीय लोगों के बीच, इसे सबसे पहले अंग्रेज विलियम जोन्स और स्विस लियोनार्ड यूलर द्वारा लागू किया गया था।
यह स्थिरांक निम्नानुसार उत्पन्न होता है। यदि हम सबसे भिन्न परिधियों की तुलना करते हैं, तो उनकी लंबाई और व्यास का अनुपात आवश्यक रूप से समान संख्या के बराबर होता है। यह पाई है। यदि के रूप में व्यक्त किया जाता है सामान्य अंश, तो लगभग हमें 22/7 मिलता है। यह सबसे पहले महान आर्किमिडीज द्वारा किया गया था, जिसका चित्र ऊपर की आकृति में दिखाया गया है। इसलिए एक समान संख्या को उनका नाम मिला। लेकिन यह एक स्पष्ट नहीं है, लेकिन शायद सबसे आश्चर्यजनक संख्याओं का अनुमानित मूल्य है। प्रतिभाशाली वैज्ञानिक ने 0.02 की सटीकता के साथ वांछित मूल्य पाया, लेकिन, वास्तव में, इस स्थिरांक का कोई वास्तविक मूल्य नहीं है, लेकिन इसे 3.1415926535 के रूप में व्यक्त किया जाता है ... यह संख्याओं की एक अंतहीन श्रृंखला है, जो अनिश्चित काल तक कुछ पौराणिक मूल्य के करीब पहुंचती है।
बराबरी
लेकिन तर्कहीन समीकरणों पर वापस। अज्ञात को खोजने के लिए, इस मामले में अक्सर सहारा लेते हैं सरल विधि: मौजूदा समानता के दोनों पक्षों का वर्ग। यह विधि आमतौर पर अच्छे परिणाम देती है। लेकिन किसी को तर्कहीन मूल्यों की कपटीता को ध्यान में रखना चाहिए। इसके परिणामस्वरूप प्राप्त सभी जड़ों की जाँच की जानी चाहिए, क्योंकि वे उपयुक्त नहीं हो सकते हैं।
लेकिन आइए उदाहरणों पर विचार करना जारी रखें और नए प्रस्तावित तरीके से चर खोजने का प्रयास करें।
विएटा प्रमेय का उपयोग करते हुए, मात्राओं के वांछित मूल्यों को खोजने के लिए, कुछ कार्यों के परिणामस्वरूप, हमने एक द्विघात समीकरण का गठन किया है, यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है। यहाँ यह पता चला है कि जड़ों के बीच 2 और -19 होंगे। हालांकि, प्राप्त मूल्यों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते समय, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि इनमें से कोई भी जड़ उपयुक्त नहीं है। यह अपरिमेय समीकरणों में एक सामान्य घटना है। इसका मतलब है कि हमारी दुविधा का फिर से कोई समाधान नहीं है, और खाली सेट को उत्तर में इंगित किया जाना चाहिए।
अधिक जटिल उदाहरण
कुछ मामलों में, व्यंजक के दोनों पक्षों को एक बार नहीं, बल्कि कई बार चौकोर करना आवश्यक होता है। उन उदाहरणों पर विचार करें जहां उपरोक्त की आवश्यकता है। उन्हें नीचे देखा जा सकता है।
जड़ें प्राप्त करने के बाद, उन्हें जांचना न भूलें, क्योंकि अतिरिक्त उत्पन्न हो सकते हैं। यह समझाया जाना चाहिए कि ऐसा क्यों संभव है। इस तरह की विधि को लागू करते समय, समीकरण का युक्तिकरण किसी तरह से होता है। लेकिन उन जड़ों से छुटकारा पाना जो हमारे लिए आपत्तिजनक हैं, जो हमें अंकगणितीय संचालन करने से रोकती हैं, हम, जैसा कि थे, मूल्यों की मौजूदा सीमा का विस्तार करते हैं, जो परिणामों से भरा है (जैसा कि आप समझ सकते हैं)। यह अनुमान लगाते हुए, हम एक जाँच करते हैं। इस मामले में, यह सुनिश्चित करने का एक मौका है कि जड़ों में से केवल एक फिट बैठता है: x = 0।
प्रणाली
ऐसे मामलों में क्या करें जब अपरिमेय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना आवश्यक हो, और हमारे पास एक नहीं, बल्कि दो पूर्ण अज्ञात हों? यहां हम सामान्य मामलों की तरह ही आगे बढ़ते हैं, लेकिन डेटा के उपरोक्त गुणों को ध्यान में रखते हुए गणितीय अभिव्यक्ति. और प्रत्येक नए कार्य में, निश्चित रूप से, आपको एक रचनात्मक दृष्टिकोण लागू करना चाहिए। लेकिन, फिर से, नीचे प्रस्तुत एक विशिष्ट उदाहरण पर सब कुछ विचार करना बेहतर है। यहां न केवल चर x और y को खोजने की आवश्यकता है, बल्कि उत्तर में उनका योग भी इंगित करना है। तो, एक प्रणाली है जिसमें अपरिमेय मात्राएँ होती हैं (नीचे फोटो देखें)।
जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसा कार्य अलौकिक रूप से कठिन नहीं है। आपको बस स्मार्ट होने और अनुमान लगाने की जरूरत है कि पहले समीकरण का बायां हिस्सा योग का वर्ग है। इसी तरह के कार्य परीक्षा में पाए जाते हैं।
गणित में तर्कहीन
हर बार, मानवता के लिए नए प्रकार की संख्याएँ बनाने की आवश्यकता तब उत्पन्न हुई जब उसके पास कुछ समीकरणों को हल करने के लिए "स्थान" की कमी थी। अपरिमेय संख्याएं कोई अपवाद नहीं हैं। जैसा कि इतिहास के तथ्य गवाही देते हैं, पहली बार महान संतों ने हमारे युग से पहले, 7वीं शताब्दी में भी इस ओर ध्यान आकर्षित किया था। यह भारत के एक गणितज्ञ द्वारा किया गया था, जिसे मानव के नाम से जाना जाता है। वह स्पष्ट रूप से समझ गया था कि कुछ प्राकृतिक संख्याजड़ निकालना असंभव है। उदाहरण के लिए, इनमें 2 शामिल हैं; 17 या 61, साथ ही कई अन्य।
पाइथागोरस में से एक, हिप्पासस नाम का एक विचारक, उसी निष्कर्ष पर आया, जिसने पेंटाग्राम के पक्षों के संख्यात्मक भावों के साथ गणना करने की कोशिश की। गणितीय तत्वों की खोज करने के बाद जिन्हें संख्यात्मक मानों के साथ व्यक्त नहीं किया जा सकता है और सामान्य संख्याओं के गुण नहीं हैं, उन्होंने अपने सहयोगियों को इतना नाराज कर दिया कि उन्हें समुद्र में फेंक दिया गया। तथ्य यह है कि अन्य पाइथागोरस ने उनके तर्क को ब्रह्मांड के नियमों के खिलाफ विद्रोह माना।
कट्टरपंथी संकेत: विकास
"बधिर" संख्याओं के संख्यात्मक मान को व्यक्त करने के लिए मूल चिह्न का उपयोग तर्कहीन असमानताओं और समीकरणों को तुरंत हल करने में किया जाने लगा। पहली बार, यूरोपीय, विशेष रूप से इतालवी, गणितज्ञों ने 13वीं शताब्दी के आसपास कट्टरपंथी के बारे में सोचना शुरू किया। उसी समय, वे पदनाम के लिए लैटिन आर का उपयोग करने के विचार के साथ आए, लेकिन जर्मन गणितज्ञों ने अपने कार्यों में अलग तरह से काम किया। उन्हें V अक्षर अधिक पसंद आया। जर्मनी में, पदनाम V (2), V (3) जल्द ही फैल गया, जिसका उद्देश्य 2, 3, और इसी तरह के वर्गमूल को व्यक्त करना था। बाद में, डचों ने हस्तक्षेप किया और कट्टरपंथी के संकेत को बदल दिया। और रेने डेसकार्टेस ने विकास को पूरा किया, जिससे वर्गमूल चिन्ह को आधुनिक पूर्णता प्राप्त हुई।
तर्कहीन से छुटकारा
अपरिमेय समीकरणों और असमानताओं में न केवल वर्गमूल चिह्न के नीचे एक चर शामिल हो सकता है। यह किसी भी डिग्री का हो सकता है। इससे छुटकारा पाने का सबसे आम तरीका है कि समीकरण के दोनों पक्षों को उचित शक्ति तक बढ़ाया जाए। यह मुख्य क्रिया है जो तर्कहीन के साथ संचालन में मदद करती है। यहां तक कि मामलों में भी कार्रवाई विशेष रूप से उन लोगों से अलग नहीं है जिनका विश्लेषण हम पहले ही कर चुके हैं। यहां, मूल अभिव्यक्ति की गैर-नकारात्मकता की शर्तों को ध्यान में रखा जाना चाहिए, और साथ ही, समाधान के अंत में, चर के बाहरी मूल्यों को उस तरह से स्क्रीन करना आवश्यक है जैसा कि दिखाया गया था उदाहरण पहले से ही माना जाता है।
अतिरिक्त परिवर्तनों में से जो सही उत्तर खोजने में मदद करते हैं, संयुग्म द्वारा अभिव्यक्ति के गुणन का अक्सर उपयोग किया जाता है, और अक्सर एक नया चर पेश करना भी आवश्यक होता है, जो समाधान को आसान बनाता है। कुछ मामलों में, अज्ञात का मान ज्ञात करने के लिए, आलेखों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है।