एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को ऑनलाइन हल करें। समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल किया जाता है? समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके
हम समीकरणों की दो प्रकार की हल करने वाली प्रणालियों का विश्लेषण करेंगे:
1. प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणाली का समाधान।
2. प्रणाली के समीकरणों के शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) द्वारा प्रणाली का समाधान।
समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधिआपको एक सरल एल्गोरिदम का पालन करने की आवश्यकता है:
1. हम व्यक्त करते हैं। किसी भी समीकरण से, हम एक चर को व्यक्त करते हैं।
2. स्थानापन्न। हम व्यक्त चर, परिणामी मान के बजाय दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करते हैं।
3. हम परिणामी समीकरण को एक चर से हल करते हैं। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।
समाधान करना शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) द्वारा प्रणालीजरुरत:
1. एक चर का चयन करें जिसके लिए हम समान गुणांक बनाएंगे।
2. हम समीकरणों को जोड़ते या घटाते हैं, परिणामस्वरूप हमें एक चर के साथ एक समीकरण मिलता है।
3. हम परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।
सिस्टम का समाधान फ़ंक्शन के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए सिस्टम के समाधान पर विस्तार से विचार करें।
उदाहरण 1:
आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करें
प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करना2x+5y=1 (1 समीकरण)
x-10y=3 (दूसरा समीकरण)
1. एक्सप्रेस
यह देखा जा सकता है कि दूसरे समीकरण में 1 के गुणांक वाला एक चर x है, इसलिए यह पता चला है कि दूसरे समीकरण से चर x को व्यक्त करना सबसे आसान है।
एक्स=3+10y
2. व्यक्त करने के बाद, हम पहले समीकरण में चर x के स्थान पर 3 + 10y को प्रतिस्थापित करते हैं।
2(3+10y)+5y=1
3. हम परिणामी समीकरण को एक चर से हल करते हैं।
2(3+10y)+5y=1 (खुले कोष्ठक)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
वाई=-5:25
वाई=-0.2
समीकरणों की प्रणाली का समाधान ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु है, इसलिए हमें x और y खोजने की आवश्यकता है, क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु में x और y होते हैं। आइए x खोजें, पहले पैराग्राफ में जहां हमने व्यक्त किया था, हम वहां y को प्रतिस्थापित करते हैं।
एक्स=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
यह पहली जगह में अंक लिखने के लिए प्रथागत है, हम चर x लिखते हैं, और दूसरे स्थान पर चर y लिखते हैं।
उत्तर: (1; -0.2)
उदाहरण #2:
आइए शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) द्वारा हल करें।
योग विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करना3x-2y=1 (1 समीकरण)
2x-3y=-10 (दूसरा समीकरण)
1. एक चर चुनें, मान लें कि हम x का चयन करते हैं। पहले समीकरण में, चर x का गुणांक 3 है, दूसरे में - 2. हमें गुणांक समान बनाने की आवश्यकता है, इसके लिए हमें समीकरणों को गुणा करने या किसी भी संख्या से विभाजित करने का अधिकार है। हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं और कुल 6 का गुणांक प्राप्त करते हैं।
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. पहले समीकरण से, चर x से छुटकारा पाने के लिए दूसरे को घटाएं। हम रैखिक समीकरण को हल करते हैं।
__6x-4y=2
5y=32 | :5
वाई = 6.4
3. एक्स खोजें। हम किसी भी समीकरण में पाए गए y को प्रतिस्थापित करते हैं, मान लें कि पहले समीकरण में।
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8 = 1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
एक्स = 4.6
प्रतिच्छेदन बिंदु x=4.6 होगा; वाई = 6.4
उत्तर: (4.6; 6.4)
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मैं कुल्हाड़ी 2 \u003d 0 – अधूरा द्विघात समीकरण (बी = 0, सी = 0 ) हल: एक्स = 0। उत्तर : 0.
समीकरण हल करें।
2x·(x+3)=6x-x 2 ।
समाधान।गुणा करके कोष्ठक का विस्तार करें 2xकोष्ठक में प्रत्येक पद के लिए:
2x2 +6x=6x-x2 ; शर्तों को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाना:
2x2 +6x-6x+x2=0; यहाँ समान शब्द हैं:
3x 2 = 0, इसलिए x = 0।
उत्तर: 0.
द्वितीय. ax2+bx=0 –अधूरा द्विघात समीकरण (एस = 0 ) हल: x (ax+b)=0 → x 1 =0 या ax+b=0 → x 2 =-b/a। उत्तर: 0; -बी ० ए।
5x2 -26x=0.
समाधान।सामान्य कारक निकालें एक्सकोष्ठक के लिए:
एक्स(5x-26)=0; प्रत्येक कारक शून्य हो सकता है:
एक्स = 0या 5x-26=0→ 5x=26, समानता के दोनों पक्षों को विभाजित करें 5 और हमें मिलता है: x \u003d 5.2।
उत्तर: 0; 5,2.
उदाहरण 3 64x+4x2=0.
समाधान।सामान्य कारक निकालें 4 एक्सकोष्ठक के लिए:
4x(16+x)=0. हमारे पास तीन गुणनखंड हैं, 4≠0, इसलिए, या एक्स = 0या 16+x= 0। अंतिम समानता से हमें x=-16 प्राप्त होता है।
उत्तर: -16; 0.
उदाहरण 4(x-3) 2 +5x=9.
समाधान।दो व्यंजकों के अंतर के वर्ग के लिए सूत्र का प्रयोग करते हुए कोष्ठकों को खोलें:
x 2 -6x+9+5x=9; रूप में बदलना: x 2 -6x+9+5x-9=0; यहाँ समान शब्द हैं:
x2-x=0; सहना एक्सकोष्ठक के बाहर, हमें मिलता है: x (x-1)=0. यहाँ से या एक्स = 0या एक्स-1 = 0→ एक्स = 1।
उत्तर: 0; 1.
III. ax2+c=0 –अधूरा द्विघात समीकरण (बी = 0 ); समाधान: कुल्हाड़ी 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a।
यदि एक (-सीए)<0 , तो कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। यदि एक (-एस/ए)>0
उदाहरण 5एक्स 2 -49 = 0।
समाधान।
x 2 \u003d 49, यहाँ से एक्स = ± 7। उत्तर:-7; 7.
उदाहरण 6 9x2-4 = 0।
समाधान।
द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों का योग (x 1 2 + x 2 2) या घनों का योग (x 1 3 + x 2 3) अक्सर खोजने की आवश्यकता होती है, कम अक्सर - के व्युत्क्रमों का योग जड़ों का वर्ग या अंकगणित का योग वर्गमूलद्विघात समीकरण की जड़ों से:
Vieta का प्रमेय इसमें मदद कर सकता है:
x 2 +px+q=0
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी; एक्स 1 एक्स 2 \u003d क्यू।
अभिव्यक्त करना के माध्यम से पीतथा क्यू:
1) समीकरण की जड़ों के वर्गों का योग x2+px+q=0;
2) समीकरण की जड़ों के घनों का योग x2+px+q=0.
समाधान।
1) अभिव्यक्ति एक्स 1 2 + एक्स 2 2समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी;
(x 1 +x 2) 2 \u003d (-पी) 2; कोष्ठक खोलें: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; हम वांछित राशि व्यक्त करते हैं: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q। हमारे पास एक उपयोगी समीकरण है: एक्स 1 2 +x 2 2 \u003d पी 2 -2q।
2) अभिव्यक्ति एक्स 1 3 + एक्स 2 3घनों के योग के सूत्र द्वारा निरूपित करें:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q )
एक और उपयोगी समीकरण: एक्स 1 3 + एक्स 2 3 \u003d-पी (पी 2 -3q)।
उदाहरण।
3) x 2 -3x-4=0.समीकरण को हल किए बिना, व्यंजक के मान की गणना करें एक्स 1 2 + एक्स 2 2.
समाधान।
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी \u003d 3,और काम एक्स 1 x 2 \u003d क्यू \u003dउदाहरण 1 . में) समानता:
एक्स 1 2 +x 2 2 \u003d पी 2 -2q।हमारे पास है -पी=x 1 +x 2 = 3 → पी 2 =3 2 =9; क्यू =एक्स 1 एक्स 2 = -4. फिर x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.
उत्तर: x 1 2 + x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0.गणना करें: x 1 3 +x 2 3।
समाधान।
विएटा के प्रमेय द्वारा, इस कम किए गए द्विघात समीकरण की जड़ों का योग एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी \u003d 2,और काम एक्स 1 x 2 \u003d क्यू \u003d-चार। हमें जो मिला है उसे लागू करें ( उदाहरण 2 . में) समानता: x 1 3 +x 2 3 \u003d-पी (पी 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.
उत्तर: एक्स 1 3 + एक्स 2 3 = 32।
प्रश्न: क्या होगा यदि हमें एक गैर-घटित द्विघात समीकरण दिया जाए? उत्तर: इसे पहले गुणांक द्वारा पद से पद को विभाजित करके हमेशा "कम" किया जा सकता है।
5) 2x2 -5x-7=0.हल किए बिना, गणना करें: एक्स 1 2 + एक्स 2 2.
समाधान।हमें एक पूर्ण द्विघात समीकरण दिया गया है। समीकरण के दोनों पक्षों को 2 (पहला गुणांक) से विभाजित करें और निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त करें: x 2 -2.5x-3.5 \u003d 0.
विएटा के प्रमेय के अनुसार, जड़ों का योग है 2,5 ; जड़ों का उत्पाद है -3,5 .
हम एक उदाहरण के रूप में उसी तरह हल करते हैं 3) समानता का उपयोग करना: एक्स 1 2 +x 2 2 \u003d पी 2 -2q।
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
उत्तर: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0.पाना:
आइए हम इस समानता को रूपांतरित करें और, वियत प्रमेय के संदर्भ में जड़ों के योग को प्रतिस्थापित करके, -पी, और जड़ों के उत्पाद के माध्यम से क्यू, हमें एक और उपयोगी सूत्र मिलता है। सूत्र प्राप्त करते समय, हमने समानता का उपयोग किया 1): एक्स 1 2 +x 2 2 \u003d पी 2 -2q।
हमारे उदाहरण में एक्स 1 + एक्स 2 \u003d -पी \u003d 5; एक्स 1 x 2 \u003d क्यू \u003d-2. इन मानों को परिणामी सूत्र में बदलें:
7) x 2 -13x+36=0.पाना:
आइए इस योग को रूपांतरित करें और एक सूत्र प्राप्त करें जिसके द्वारा द्विघात समीकरण के मूलों से अंकगणितीय वर्गमूलों का योग ज्ञात करना संभव होगा।
हमारे पास है एक्स 1 + एक्स 2 \u003d -पी \u003d 13; एक्स 1 x 2 \u003d क्यू \u003d 36. इन मानों को व्युत्पन्न सूत्र में रखें:
सलाह : हमेशा एक द्विघात समीकरण के मूल को उपयुक्त तरीके से खोजने की संभावना की जाँच करें, क्योंकि 4 की समीक्षा की उपयोगी सूत्रआपको कार्य को शीघ्रता से पूरा करने की अनुमति देता है, सबसे पहले, उन मामलों में जहां विवेचक एक "असुविधाजनक" संख्या है। सभी साधारण मामलों में, जड़ों को खोजें और उन पर कार्य करें। उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण में, हम वियत प्रमेय का उपयोग करके जड़ों का चयन करते हैं: जड़ों का योग बराबर होना चाहिए 13 , और जड़ों का उत्पाद 36 . ये संख्याएँ क्या हैं? बेशक, 4 और 9.अब इन संख्याओं के वर्गमूलों का योग ज्ञात कीजिए: 2+3=5. इतना ही!
I. वियत का प्रमेयकम द्विघात समीकरण के लिए।
घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का योग x 2 +px+q=0विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है, और जड़ों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है:
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी; एक्स 1 एक्स 2 \u003d क्यू।
विएटा के प्रमेय का उपयोग करके दिए गए द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 1) x 2 -x-30=0.यह घटा हुआ द्विघात समीकरण है ( x 2 +px+q=0), दूसरा गुणांक पी = -1, और मुक्त अवधि क्यू = -30।सबसे पहले, सुनिश्चित करें कि दिए गए समीकरण में जड़ें हैं, और जड़ों (यदि कोई हो) को पूर्णांक के रूप में व्यक्त किया जाएगा। इसके लिए, यह पर्याप्त है कि विवेचक एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग हो।
विभेदक का पता लगाना डी=बी 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
अब, विएटा प्रमेय के अनुसार, जड़ों का योग दूसरे गुणांक के बराबर होना चाहिए, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है, अर्थात। ( -पी), और उत्पाद मुक्त अवधि के बराबर है, अर्थात। ( क्यू) फिर:
एक्स 1 + एक्स 2 = 1; एक्स 1 एक्स 2 \u003d -30।हमें ऐसी दो संख्याओं को चुनने की आवश्यकता है ताकि उनका गुणनफल के बराबर हो -30 , और योग है इकाई. ये हैं नंबर -5 तथा 6 . उत्तर: -5; 6.
उदाहरण 2) x 2 +6x+8=0.हमारे पास दूसरे गुणांक के साथ कम द्विघात समीकरण है पी=6और मुक्त सदस्य क्यू = 8. सुनिश्चित करें कि पूर्णांक जड़ें हैं। आइए जानें विवेचक डी1 डी1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . विवेचक D 1 संख्या का पूर्ण वर्ग है 1 , इसलिए इस समीकरण के मूल पूर्णांक हैं। हम वियत प्रमेय के अनुसार जड़ों का चयन करते हैं: जड़ों का योग बराबर होता है -पी=-6, और जड़ों का उत्पाद है क्यू = 8. ये हैं नंबर -4 तथा -2 .
असल में: -4-2=-6=-पी; -4∙(-2)=8=q. उत्तर - 4; -2।
उदाहरण 3) x 2 +2x-4=0. इस घटे हुए द्विघात समीकरण में, दूसरा गुणांक पी=2, और मुक्त अवधि क्यू = -4. आइए जानें विवेचक डी1, क्योंकि दूसरा गुणांक एक सम संख्या है। डी1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. विवेचक किसी संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए हम करते हैं निष्कर्ष: इस समीकरण के मूल पूर्णांक नहीं हैं और इन्हें विएटा के प्रमेय का उपयोग करके नहीं पाया जा सकता है।इसलिए, हम इस समीकरण को हमेशा की तरह, सूत्रों के अनुसार (इस मामले में, सूत्रों के अनुसार) हल करते हैं। हम पाते हैं:
उदाहरण 4)।इसके मूलों का प्रयोग करते हुए एक द्विघात समीकरण लिखिए यदि x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
समाधान।वांछित समीकरण फॉर्म में लिखा जाएगा: x 2 +px+q=0, इसके अलावा, Vieta प्रमेय पर आधारित है -p=x1 +x2=-7+4=-3 →पी=3; क्यू = एक्स 1 x 2=-7∙4=-28 . तब समीकरण रूप लेगा: x2 +3x-28=0.
उदाहरण 5)।इसके मूलों का प्रयोग करते हुए एक द्विघात समीकरण लिखिए यदि :
द्वितीय. विएटा का प्रमेयपूर्ण द्विघात समीकरण के लिए ax2+bx+c=0.
जड़ों का योग शून्य है बीद्वारा विभाजित एक, जड़ों का उत्पाद है साथद्वारा विभाजित एक:
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d -बी / ए; एक्स 1 एक्स 2 \u003d सी / ए।
उदाहरण 6)।द्विघात समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए 2x2 -7x-11=0.
समाधान।
हमें विश्वास है कि इस समीकरण की जड़ें होंगी। ऐसा करने के लिए, विवेचक के लिए एक व्यंजक लिखना पर्याप्त है, और इसकी गणना किए बिना, बस यह सुनिश्चित करें कि विवेचक शून्य से बड़ा है। डी=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . और अब प्रयोग करते हैं प्रमेय वियतनामपूर्ण द्विघात समीकरणों के लिए।
एक्स 1 + एक्स 2 =-बी:ए=- (-7):2=3,5.
उदाहरण 7). द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए 3x2 +8x-21=0.
समाधान।
आइए जानें विवेचक डी1, दूसरे गुणांक के बाद से ( 8 ) एक सम संख्या है। डी1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . द्विघात समीकरण है 2 जड़, वियत प्रमेय के अनुसार, जड़ों का उत्पाद एक्स 1 एक्स 2 \u003d सी: ए=-21:3=-7.
I. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0एक सामान्य द्विघात समीकरण है
विभेदक डी = बी 2 - 4 एसी।
यदि एक डी>0, तो हमारे पास दो वास्तविक मूल हैं:
यदि एक डी = 0, तो हमारे पास एक ही मूल है (या दो बराबर जड़) एक्स=-बी/(2ए).
अगर डी<0, то действительных корней нет.
उदाहरण 1) 2x2 +5x-3=0.
समाधान। एक=2; बी=5; सी=-3.
डी = बी 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 असली जड़ें।
4x2 +21x+5=0.
समाधान। एक=4; बी=21; सी=5.
डी = बी 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 असली जड़ें।
द्वितीय. ax2+bx+c=0 – विशेष द्विघात समीकरण एक सेकंड के लिए भी
गुणक बी
उदाहरण 3) 3x2 -10x+3=0.
समाधान। एक=3; बी\u003d -10 (सम संख्या); सी=3.
उदाहरण 4) 5x2-14x-3=0.
समाधान। एक=5; बी= -14 (सम संख्या); सी=-3.
उदाहरण 5) 71x2 +144x+4=0.
समाधान। एक=71; बी= 144 (सम संख्या); सी=4.
उदाहरण 6) 9x 2 -30x+25=0.
समाधान। एक=9; बी\u003d -30 (सम संख्या); सी=25.
III. ax2+bx+c=0 – द्विघात समीकरण निजी प्रकार, प्रदान किया गया: ए-बी+सी=0.
पहली जड़ हमेशा माइनस वन होती है, और दूसरी रूट माइनस होती है साथद्वारा विभाजित एक:
एक्स 1 \u003d -1, एक्स 2 \u003d - सी / ए।
उदाहरण 7) 2x2+9x+7=0.
समाधान। एक=2; बी=9; सी=7. आइए समानता की जाँच करें: ए-बी+सी=0.हम पाते हैं: 2-9+7=0 .
फिर x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3.5।उत्तर: -1; -3,5.
चतुर्थ। ax2+bx+c=0 – शर्त के तहत एक विशेष रूप का द्विघात समीकरण : ए+बी+सी=0.
पहली जड़ हमेशा एक के बराबर होती है, और दूसरी जड़ के बराबर होती है साथद्वारा विभाजित एक:
एक्स 1 \u003d 1, एक्स 2 \u003d सी / ए.
उदाहरण 8) 2x2 -9x+7=0.
समाधान। एक=2; बी=-9; सी=7. आइए समानता की जाँच करें: ए+बी+सी=0.हम पाते हैं: 2-9+7=0 .
फिर x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3.5।उत्तर: 1; 3,5.
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उदाहरण के लिए, आप किसी भी संख्या में चर के साथ बिल्कुल कोई भी फ़ंक्शन बना सकते हैं: प्लॉट(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4)या उससे भी अधिक जटिल जो आप सोच सकते हैं। हम चर X के व्यवहार पर ध्यान देते हैं - से और तक के अंतराल को दो बिंदुओं का उपयोग करके इंगित किया जाता है।
इसका एकमात्र नकारात्मक (हालांकि इसे नकारात्मक कहना मुश्किल है) ऑनलाइन कैलकुलेटरयह है कि वह गोले और अन्य बनाने में सक्षम नहीं है त्रि-आयामी आंकड़े- केवल एक विमान।
गणित कैलकुलेटर के साथ कैसे काम करें
1. जैसा कि हम कागज पर लिखते हैं, डिस्प्ले (कैलकुलेटर स्क्रीन) सामान्य वर्णों में दर्ज अभिव्यक्ति और इसकी गणना के परिणाम को प्रदर्शित करता है। यह फ़ील्ड केवल वर्तमान संचालन को देखने के लिए है। जब आप इनपुट लाइन में गणितीय व्यंजक टाइप करते हैं तो प्रविष्टि डिस्प्ले पर प्रदर्शित होती है।
2. व्यंजक इनपुट फ़ील्ड परिकलित किए जाने वाले व्यंजक को लिखने के लिए अभिप्रेत है। यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कंप्यूटर प्रोग्राम में उपयोग किए जाने वाले गणितीय प्रतीक हमेशा उन लोगों से मेल नहीं खाते हैं जिनका उपयोग हम आमतौर पर कागज पर करते हैं। कैलकुलेटर के प्रत्येक फ़ंक्शन के अवलोकन में, आपको किसी विशेष ऑपरेशन के लिए सही पदनाम और कैलकुलेटर में गणना के उदाहरण मिलेंगे। नीचे इस पृष्ठ पर कैलकुलेटर में सभी संभावित कार्यों की एक सूची है, जो उनकी सही वर्तनी को भी दर्शाता है।
3. टूलबार - ये कैलकुलेटर बटन हैं जो संबंधित ऑपरेशन को इंगित करने वाले गणितीय प्रतीकों के मैन्युअल इनपुट को प्रतिस्थापित करते हैं। कुछ कैलकुलेटर बटन (अतिरिक्त कार्य, इकाई कनवर्टर, मैट्रिक्स और समीकरणों का समाधान, ग्राफ़) टास्कबार को नए क्षेत्रों के साथ पूरक करते हैं जहां एक विशिष्ट गणना के लिए डेटा दर्ज किया जाता है। "इतिहास" फ़ील्ड में गणितीय अभिव्यक्तियों के साथ-साथ आपकी पिछली छह प्रविष्टियाँ लिखने के उदाहरण हैं।
कृपया ध्यान दें कि जब आप अतिरिक्त कार्यों को कॉल करने के लिए बटन दबाते हैं, मूल्यों का कनवर्टर, मैट्रिक्स और समीकरणों को हल करना, ग्राफ़ प्लॉट करना, संपूर्ण कैलकुलेटर पैनल डिस्प्ले के हिस्से को कवर करता है। आवश्यक फ़ील्ड भरें और प्रदर्शन को पूर्ण आकार में देखने के लिए "I" कुंजी (आकृति में लाल रंग में हाइलाइट किया गया) दबाएं।
4. संख्यात्मक कीपैड में संख्याएं और अंकगणितीय चिह्न होते हैं। "सी" बटन अभिव्यक्ति इनपुट फ़ील्ड में संपूर्ण प्रविष्टि को हटा देता है। वर्णों को एक-एक करके हटाने के लिए, आपको इनपुट लाइन के दाईं ओर स्थित तीर का उपयोग करना होगा।
किसी व्यंजक के अंत में हमेशा कोष्ठक बंद करने का प्रयास करें। अधिकांश कार्यों के लिए, यह महत्वपूर्ण नहीं है, ऑनलाइन कैलकुलेटर सब कुछ सही ढंग से गणना करेगा। हालाँकि, कुछ मामलों में त्रुटियाँ संभव हैं। उदाहरण के लिए, जब एक भिन्नात्मक शक्ति को बढ़ाया जाता है, तो बंद कोष्ठक घातांक में भिन्न के हर को आधार के हर के पास जाने का कारण बनेगा। डिस्प्ले पर, क्लोजिंग ब्रैकेट को हल्के भूरे रंग में दर्शाया गया है, रिकॉर्डिंग पूरी होने पर इसे बंद कर देना चाहिए।
| चाभी | चिन्ह, प्रतीक | संचालन |
|---|---|---|
| अनुकरणीय | अनुकरणीय | निरंतर पीआई |
| इ | इ | यूलर संख्या |
| % | % | प्रतिशत |
| () | () | ब्रैकेट खोलें/बंद करें |
| , | , | अल्पविराम |
| पाप | पाप (?) | कोण की ज्या |
| क्योंकि | क्योंकि (?) | कोज्या |
| टैन | तन (वाई) | स्पर्शरेखा |
| सिंह | सिंह () | अतिपरवलयिक ज्या |
| नकद | कोष () | अतिपरवलयिक कोज्या |
| तन्हो | तन () | अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा |
| पाप-1 | जैसे की() | उलटा ज्या |
| क्योंकि -1 | एकोस () | उलटा कोसाइन |
| तन-1 | एक भूरा() | प्रतिलोम स्पर्शरेखा |
| सिंह-1 | असिन () | प्रतिलोम अतिपरवलयिक ज्या |
| कोष-1 | एकोश () | प्रतिलोम अतिपरवलयिक कोज्या |
| तन-1 | अतंह () | प्रतिलोम अतिपरवलयिक स्पर्शज्या |
| x2 | ^2 | बराबरी |
| एक्स 3 | ^3 | घनक्षेत्र |
| एक्स वाई | ^ | घातांक |
| 10 x | 10^() | आधार 10 . में घातांक |
| भूतपूर्व | क्स्प () | यूलर संख्या का घातांक |
| वीएक्स | वर्ग (एक्स) | वर्गमूल |
| 3वीएक्स | sqrt3 (एक्स) | तीसरी डिग्री जड़ |
| वाईवीएक्स | वर्ग (एक्स, वाई) | जड़ निष्कर्षण |
| लॉग 2 x | लॉग 2 (एक्स) | द्विआधारी लघुगणक |
| लकड़ी का लट्ठा | लॉग (एक्स) | दशमलव लघुगणक |
| एलएन | लॉग (एक्स) | प्राकृतिक |
| लॉग वाई एक्स | लॉग (एक्स, वाई) | लोगारित्म |
| मैं / द्वितीय | अतिरिक्त कार्यों को छोटा/कॉल करें | |
| इकाई | इकाई कनवर्टर | |
| आव्यूह | मैट्रिक्स | |
| हल करना | समीकरण और समीकरणों की प्रणाली | |
| अंकन | ||
| अतिरिक्त कार्य (द्वितीय कुंजी के साथ कॉल) | ||
| आधुनिक | आधुनिक | शेष के साथ विभाजन |
| ! | ! | कारख़ाने का |
| मैं/जे | मैं/जे | काल्पनिक इकाई |
| पुनः | पुनः() | संपूर्ण वास्तविक भाग का चयन |
| मैं हूँ | मैं हूँ() | वास्तविक भाग का बहिष्करण |
| |x| | पेट () | किसी संख्या का निरपेक्ष मान |
| आर्ग | तर्क () | फ़ंक्शन तर्क |
| एनसीआर | एनसीआर () | द्विपद गुणांक |
| जीसीडी | जीसीडी () | जीसीडी |
| एलसीएम | एलसीएम () | अनापत्ति प्रमाण पत्र |
| जोड़ | जोड़() | सभी समाधानों का योग मूल्य |
| एफ ए सी | कारक बनाना () | मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया |
| अंतर | अंतर () | भेदभाव |
| डिग्री | डिग्री | |
| रेड | रेडियंस | |
इस वीडियो में, हम एक ही एल्गोरिथम का उपयोग करके हल किए गए रैखिक समीकरणों के एक पूरे सेट का विश्लेषण करेंगे - इसलिए उन्हें सबसे सरल कहा जाता है।
आरंभ करने के लिए, आइए परिभाषित करें: एक रैखिक समीकरण क्या है और उनमें से किसे सबसे सरल कहा जाना चाहिए?
एक रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें केवल एक चर होता है, और केवल पहली डिग्री में होता है।
सबसे सरल समीकरण का अर्थ है निर्माण:
एल्गोरिथम का उपयोग करके अन्य सभी रैखिक समीकरणों को सरलतम में घटा दिया जाता है:
- खुले कोष्ठक, यदि कोई हों;
- एक चर वाले पदों को समान चिह्न के एक तरफ और बिना चर के पदों को दूसरी तरफ ले जाएं;
- समान चिह्न के बाएँ और दाएँ समान पदों को लाएँ;
- परिणामी समीकरण को चर $x$ के गुणांक से विभाजित करें।
बेशक, यह एल्गोरिथ्म हमेशा मदद नहीं करता है। तथ्य यह है कि कभी-कभी, इन सभी साजिशों के बाद, चर $x$ का गुणांक शून्य के बराबर हो जाता है। इस मामले में, दो विकल्प संभव हैं:
- समीकरण का कोई हल नहीं है। उदाहरण के लिए, जब आपको $0\cdot x=8$ जैसा कुछ मिलता है, यानी। बाईं ओर शून्य है, और दाईं ओर एक गैर-शून्य संख्या है। नीचे दिए गए वीडियो में, हम कई कारणों को देखेंगे कि यह स्थिति क्यों संभव है।
- समाधान सभी संख्याएं हैं। यह केवल तभी संभव है जब समीकरण को निर्माण $0\cdot x=0$ तक घटा दिया गया हो। यह काफी तार्किक है कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम $x$ को प्रतिस्थापित करते हैं, फिर भी यह "शून्य बराबर शून्य" होगा, अर्थात। सही संख्यात्मक समानता।
और अब देखते हैं कि वास्तविक समस्याओं के उदाहरण पर यह सब कैसे काम करता है।
समीकरण हल करने के उदाहरण
आज हम रैखिक समीकरणों से निपटते हैं, और केवल सबसे सरल। सामान्य तौर पर, एक रैखिक समीकरण का अर्थ है कोई भी समानता जिसमें बिल्कुल एक चर होता है, और यह केवल पहली डिग्री तक जाता है।
इस तरह के निर्माण लगभग उसी तरह हल किए जाते हैं:
- सबसे पहले, आपको कोष्ठक खोलने की जरूरत है, यदि कोई हो (जैसा कि हमारे पिछले उदाहरण में है);
- फिर समान लाओ
- अंत में, चर को अलग करें, अर्थात। सब कुछ जो चर के साथ जुड़ा हुआ है - जिन शर्तों में यह निहित है - एक तरफ स्थानांतरित कर दिया जाता है, और इसके बिना जो कुछ भी रहता है वह दूसरी तरफ स्थानांतरित हो जाता है।
फिर, एक नियम के रूप में, आपको परिणामी समानता के प्रत्येक पक्ष पर समान लाने की आवश्यकता है, और उसके बाद यह केवल "x" के गुणांक से विभाजित करने के लिए रहता है, और हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।
सिद्धांत रूप में, यह अच्छा और सरल दिखता है, लेकिन व्यवहार में, अनुभवी हाई स्कूल के छात्र भी काफी सरल में आपत्तिजनक गलतियाँ कर सकते हैं रेखीय समीकरण. आमतौर पर, गलतियाँ या तो कोष्ठक खोलते समय, या "प्लस" और "माइनस" की गणना करते समय की जाती हैं।
इसके अलावा, ऐसा होता है कि एक रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता है, या इसलिए कि समाधान पूरी संख्या रेखा है, अर्थात। कोई संख्या। हम आज के पाठ में इन सूक्ष्मताओं का विश्लेषण करेंगे। लेकिन हम शुरू करेंगे, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, सबसे अधिक सरल कार्य.
सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की योजना
आरंभ करने के लिए, मैं एक बार फिर सबसे सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की पूरी योजना लिखता हूं:
- कोष्ठक का विस्तार करें, यदि कोई हो।
- एकांत चर, यानी। सब कुछ जिसमें "x" होता है, एक तरफ स्थानांतरित हो जाता है, और "x" के बिना - दूसरी तरफ।
- हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।
- हम गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करते हैं।
बेशक, यह योजना हमेशा काम नहीं करती है, इसमें कुछ सूक्ष्मताएं और तरकीबें हैं, और अब हम उन्हें जानेंगे।
सरल रैखिक समीकरणों के वास्तविक उदाहरणों को हल करना
कार्य 1
पहले चरण में, हमें कोष्ठकों को खोलना होगा। लेकिन वे इस उदाहरण में नहीं हैं, इसलिए हम इस चरण को छोड़ देते हैं। दूसरे चरण में, हमें चरों को अलग करने की आवश्यकता है। टिप्पणी: हम बात कर रहे हेकेवल व्यक्तिगत शर्तों के बारे में। चलो लिखते है:
हम बाईं ओर और दाईं ओर समान शब्द देते हैं, लेकिन यह पहले ही यहां किया जा चुका है। इसलिए, हम चौथे चरण पर आगे बढ़ते हैं: एक कारक से विभाजित करें:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
यहां हमें जवाब मिला।
कार्य #2
इस कार्य में, हम कोष्ठकों का अवलोकन कर सकते हैं, तो आइए उनका विस्तार करें:
बाईं ओर और दाईं ओर, हम लगभग समान निर्माण देखते हैं, लेकिन आइए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करें, अर्थात। अनुक्रमक चर:
यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:
यह किन जड़ों पर काम करता है? उत्तर: किसी के लिए। इसलिए, हम लिख सकते हैं कि $x$ कोई भी संख्या है।
कार्य #3
तीसरा रैखिक समीकरण पहले से ही अधिक दिलचस्प है:
\[\बाएं(6-x \दाएं)+\बाएं(12+x \दाएं)-\बाएं(3-2x \दाएं)=15\]
यहां कई कोष्ठक हैं, लेकिन उन्हें किसी भी चीज से गुणा नहीं किया जाता है, उनके सामने बस अलग-अलग संकेत होते हैं। आइए उन्हें तोड़ दें:
हम पहले से ज्ञात दूसरा चरण करते हैं:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
आइए गणना करें:
हम निभाते हैं अंतिम चरण- गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करें:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें
यदि हम बहुत सरल कार्यों को अनदेखा करते हैं, तो मैं निम्नलिखित कहना चाहूंगा:
- जैसा कि मैंने ऊपर कहा, हर रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता - कभी-कभी कोई मूल नहीं होता है;
- जड़ें हों तो भी उनमें शून्य प्रवेश कर सकता है - इसमें कोई बुराई नहीं है।
जीरो बाकी के समान ही संख्या है, आप इसमें किसी तरह का भेदभाव न करें या यह मान लें कि यदि आपको शून्य मिलता है, तो आपने कुछ गलत किया है।
एक अन्य विशेषता कोष्ठक के विस्तार से संबंधित है। कृपया ध्यान दें: जब उनके सामने "माइनस" होता है, तो हम उसे हटा देते हैं, लेकिन कोष्ठक में हम संकेतों को बदल देते हैं विलोम. और फिर हम इसे मानक एल्गोरिदम के अनुसार खोल सकते हैं: हमें वही मिलेगा जो हमने ऊपर की गणना में देखा था।
इसे समझना साधारण तथ्यहाई स्कूल में आपको बेवकूफी भरी और हानिकारक गलतियाँ करने से रोकेगा, जब ऐसी चीजें करना हल्के में लिया जाता है।
जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना
आइए आगे बढ़ते हैं जटिल समीकरण. अब निर्माण अधिक जटिल हो जाएंगे और विभिन्न परिवर्तन करते समय एक द्विघात कार्य दिखाई देगा। हालाँकि, आपको इससे डरना नहीं चाहिए, क्योंकि यदि, लेखक की मंशा के अनुसार, हम एक रैखिक समीकरण को हल करते हैं, तो परिवर्तन की प्रक्रिया में एक द्विघात फ़ंक्शन वाले सभी मोनोमियल अनिवार्य रूप से कम हो जाएंगे।
उदाहरण 1
जाहिर है, पहला कदम कोष्ठक खोलना है। आइए इसे बहुत सावधानी से करें:
आइए अब गोपनीयता लेते हैं:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:
जाहिर है, इस समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए उत्तर में हम इस प्रकार लिखते हैं:
\[\विविधता \]
या कोई जड़ नहीं।
उदाहरण #2
हम एक ही कदम उठाते हैं। पहला कदम:
आइए एक चर के साथ सब कुछ बाईं ओर ले जाएं, और इसके बिना - दाईं ओर:
यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:
जाहिर है, इस रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए हम इसे इस तरह लिखते हैं:
\[\varnothing\],
या कोई जड़ नहीं।
समाधान की बारीकियां
दोनों समीकरण पूरी तरह से हल हो गए हैं। इन दो अभिव्यक्तियों के उदाहरण पर, हमने एक बार फिर सुनिश्चित किया कि सरलतम रैखिक समीकरणों में भी, सब कुछ इतना सरल नहीं हो सकता है: या तो एक हो सकता है, या कोई नहीं, या असीम रूप से कई हो सकते हैं। हमारे मामले में, हमने दो समीकरणों पर विचार किया, दोनों में बस कोई जड़ नहीं है।
लेकिन मैं आपका ध्यान एक और तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: कोष्ठक के साथ कैसे काम करना है और अगर उनके सामने ऋण चिह्न है तो उन्हें कैसे खोलें। इस अभिव्यक्ति पर विचार करें:
खोलने से पहले, आपको सब कुछ "x" से गुणा करना होगा। कृपया ध्यान दें: गुणा करें प्रत्येक व्यक्तिगत शब्द. अंदर दो पद हैं - क्रमशः, दो पद और गुणा किया जाता है।
और इन प्राथमिक प्रतीत होने वाले, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण और खतरनाक परिवर्तनों के पूरा होने के बाद ही, ब्रैकेट को इस दृष्टिकोण से खोला जा सकता है कि इसके बाद एक ऋण चिह्न है। हाँ, हाँ: केवल अब, जब परिवर्तन किया जाता है, तो हमें याद आता है कि कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, जिसका अर्थ है कि सब कुछ नीचे बस संकेत बदलता है। उसी समय, कोष्ठक स्वयं गायब हो जाते हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, सामने वाला "माइनस" भी गायब हो जाता है।
हम दूसरे समीकरण के साथ भी ऐसा ही करते हैं:
यह कोई संयोग नहीं है कि मैं इन छोटे, प्रतीत होने वाले महत्वहीन तथ्यों पर ध्यान देता हूं। क्योंकि समीकरणों को हल करना हमेशा प्रारंभिक परिवर्तनों का एक क्रम होता है, जहां सरल क्रियाओं को स्पष्ट और सक्षम रूप से करने में असमर्थता इस तथ्य की ओर ले जाती है कि हाई स्कूल के छात्र मेरे पास आते हैं और ऐसे सरल समीकरणों को फिर से हल करना सीखते हैं।
बेशक, वह दिन आएगा जब आप इन कौशलों को स्वचालितता में बदल देंगे। अब आपको हर बार इतने ट्रांसफॉर्मेशन नहीं करने हैं, आप सब कुछ एक लाइन में लिख देंगे। लेकिन जब आप अभी सीख रहे हैं, तो आपको प्रत्येक क्रिया को अलग से लिखना होगा।
और भी जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना
अब हम जो हल करने जा रहे हैं, उसे शायद ही सबसे सरल कार्य कहा जा सकता है, लेकिन अर्थ वही रहता है।
कार्य 1
\[\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(3x-1 \दाएं)-21((x)^(2))=3\]
आइए पहले भाग में सभी तत्वों को गुणा करें:
आइए एक रिट्रीट करें:
यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:
आइए अंतिम चरण करें:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
यहाँ हमारा अंतिम उत्तर है। और, इस तथ्य के बावजूद कि हल करने की प्रक्रिया में हमारे पास द्विघात फ़ंक्शन के साथ गुणांक थे, हालांकि, उन्होंने पारस्परिक रूप से सत्यानाश कर दिया, जो समीकरण को बिल्कुल रैखिक बनाता है, वर्ग नहीं।
कार्य #2
\[\बाएं(1-4x \दाएं)\बाएं(1-3x \दाएं)=6x\बाएं(2x-1 \दाएं)\]
आइए पहले चरण को ध्यान से करें: पहले ब्रैकेट में प्रत्येक तत्व को दूसरे में प्रत्येक तत्व से गुणा करें। परिवर्तनों के बाद कुल मिलाकर चार नई शर्तें प्राप्त की जानी चाहिए:
और अब ध्यान से प्रत्येक पद में गुणा करें:
आइए शब्दों को "x" के साथ बाईं ओर ले जाएं, और बिना - दाईं ओर:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
यहाँ समान शब्द हैं:
हमें एक निश्चित उत्तर मिला है।
समाधान की बारीकियां
इन दो समीकरणों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण टिप्पणी इस प्रकार है: जैसे ही हम उन कोष्ठकों को गुणा करना शुरू करते हैं जिनमें इससे बड़ा एक पद होता है, तो यह इस प्रकार किया जाता है अगला नियम: हम पहले पद से पहला पद लेते हैं और दूसरे से प्रत्येक तत्व से गुणा करते हैं; फिर हम पहले से दूसरा तत्व लेते हैं और इसी तरह दूसरे से प्रत्येक तत्व के साथ गुणा करते हैं। नतीजतन, हमें चार शब्द मिलते हैं।
बीजगणितीय योग पर
अंतिम उदाहरण के साथ, मैं छात्रों को याद दिलाना चाहूंगा कि बीजगणितीय योग क्या है। शास्त्रीय गणित में, $1-7$ से हमारा मतलब एक साधारण निर्माण से है: हम एक से सात घटाते हैं। बीजगणित में, हमारा मतलब निम्न से है: संख्या "एक" में हम एक और संख्या जोड़ते हैं, जिसका नाम "माइनस सात" है। यह बीजीय योग सामान्य अंकगणितीय योग से भिन्न होता है।
जैसे ही सभी परिवर्तन, प्रत्येक जोड़ और गुणा करते समय, आप ऊपर वर्णित लोगों के समान निर्माण देखना शुरू करते हैं, बहुपद और समीकरणों के साथ काम करते समय आपको बीजगणित में कोई समस्या नहीं होगी।
अंत में, आइए कुछ और उदाहरण देखें जो हमारे द्वारा देखे गए उदाहरणों की तुलना में और भी अधिक जटिल होंगे, और उन्हें हल करने के लिए, हमें अपने मानक एल्गोरिथम का थोड़ा विस्तार करना होगा।
भिन्न के साथ समीकरण हल करना
ऐसे कार्यों को हल करने के लिए, हमारे एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ना होगा। लेकिन पहले, मैं अपने एल्गोरिथ्म को याद दिलाऊंगा:
- कोष्ठक खोलें।
- अलग चर।
- समान लाओ।
- एक कारक से विभाजित करें।
काश, यह अद्भुत एल्गोरिथ्म, इसकी सभी दक्षता के लिए, पूरी तरह से उपयुक्त नहीं होता है जब हमारे सामने भिन्न होते हैं। और जो हम नीचे देखेंगे, दोनों समीकरणों में हमारे पास बाईं ओर और दाईं ओर एक भिन्न है।
इस मामले में कैसे काम करें? हाँ, यह बहुत आसान है! ऐसा करने के लिए, आपको एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ने की जरूरत है, जिसे पहली क्रिया से पहले और उसके बाद दोनों में किया जा सकता है, अर्थात्, अंशों से छुटकारा पाएं। इस प्रकार, एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:
- अंशों से छुटकारा पाएं।
- कोष्ठक खोलें।
- अलग चर।
- समान लाओ।
- एक कारक से विभाजित करें।
"अंशों से छुटकारा पाने" का क्या अर्थ है? और पहले मानक चरण के बाद और पहले दोनों में ऐसा करना क्यों संभव है? वास्तव में, हमारे मामले में, सभी भिन्न हर के संदर्भ में संख्यात्मक होते हैं, अर्थात। हर जगह भाजक सिर्फ एक संख्या है। इसलिए, यदि हम समीकरण के दोनों भागों को इस संख्या से गुणा करते हैं, तो हमें भिन्नों से छुटकारा मिलेगा।
उदाहरण 1
\[\frac(\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं))(4)=((x)^(2))-1\]
आइए इस समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाएं:
\[\frac(\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं)\cdot 4)(4)=\बाएं(((x)^(2))-1 \right)\cdot चार\]
कृपया ध्यान दें: सब कुछ एक बार "चार" से गुणा किया जाता है, अर्थात। सिर्फ इसलिए कि आपके पास दो ब्रैकेट हैं इसका मतलब यह नहीं है कि आपको उनमें से प्रत्येक को "चार" से गुणा करना होगा। चलो लिखते है:
\[\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं)=\बाएं(((x)^(2))-1 \दाएं)\cdot 4\]
अब इसे खोलते हैं:
हम एक चर का एकांतीकरण करते हैं:
हम समान शर्तों को कम करते हैं:
\[-4x=-1\बाएं| :\बाएं(-4 \दाएं) \दाएं।\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
हमें अंतिम समाधान मिल गया है, हम दूसरे समीकरण को पास करते हैं।
उदाहरण #2
\[\frac(\बाएं(1-x \दाएं)\बाएं(1+5x \दाएं))(5)+((x)^(2))=1\]
यहां हम सभी समान क्रियाएं करते हैं:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
समस्या हल हो गई।
वास्तव में, मैं आज यही बताना चाहता था।
प्रमुख बिंदु
प्रमुख निष्कर्ष इस प्रकार हैं:
- रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम को जानें।
- कोष्ठक खोलने की क्षमता।
- अगर आपके पास कहीं है तो चिंता न करें द्विघात कार्य, सबसे अधिक संभावना है, आगे के परिवर्तनों की प्रक्रिया में, वे कम हो जाएंगे।
- रैखिक समीकरणों में जड़ें, यहां तक कि सबसे सरल, तीन प्रकार की होती हैं: एक एकल जड़, पूरी संख्या रेखा एक जड़ होती है, कोई जड़ें नहीं होती हैं।
मुझे आशा है कि यह पाठ आपको सभी गणित को और अधिक समझने के लिए एक सरल, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण विषय में महारत हासिल करने में मदद करेगा। अगर कुछ स्पष्ट नहीं है, तो साइट पर जाएं, वहां प्रस्तुत उदाहरणों को हल करें। देखते रहिए, और भी कई दिलचस्प चीज़ें आपका इंतज़ार कर रही हैं!
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