आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके विश्लेषण करें कि पिरामिड का एक खंड कैसे बनाया जाए। चूंकि पिरामिड में कोई समानांतर विमान नहीं हैं, इसलिए चेहरे के तल के साथ छेदक विमान के चौराहे (निशान) की रेखा के निर्माण में अक्सर इस चेहरे के तल में स्थित दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना शामिल होता है।

सबसे सरल कार्यों में, पहले से ही एक चेहरे पर पड़े दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड के एक खंड का निर्माण करना आवश्यक है।

उदाहरण।

विमान खंड का निर्माण (एमएनपी)

त्रिभुज एमएनपी - पिरामिड खंड

बिंदु M और N एक ही समतल ABS में स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक रेखा खींच सकते हैं। इस रेखा का निशान खंड MN है। यह दिखाई देता है, इसलिए हम M और N को एक ठोस रेखा से जोड़ते हैं।

बिंदु M और P एक ही ACS तल में स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं। ट्रेस खंड एमपी है। हम इसे नहीं देखते हैं, इसलिए हम खंड MP को एक स्ट्रोक से खींचते हैं। हम इसी तरह ट्रेस पीएन का निर्माण करते हैं।

त्रिभुज एमएनपी आवश्यक खंड है।

यदि वह बिंदु जिसके माध्यम से एक खंड को खींचना आवश्यक है, किनारे पर नहीं, बल्कि एक चेहरे पर है, तो यह ट्रेस-सेगमेंट का अंत नहीं होगा।

उदाहरण। बिंदु B, M और N से होकर गुजरने वाले समतल द्वारा पिरामिड के एक भाग की रचना कीजिए, जहाँ बिंदु M और N क्रमशः फलक ABS और BCS से संबंधित हैं।

यहाँ बिंदु B और M ABS के एक ही फलक पर स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक रेखा खींच सकते हैं।

इसी तरह, हम बिंदु B और P से होकर एक सीधी रेखा खींचते हैं। हमें क्रमशः BK और BL के निशान प्राप्त हुए हैं।

बिंदु K और L ACS के एक ही फलक पर स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक रेखा खींच सकते हैं। इसका निशान खंड KL है।

त्रिभुज बीकेएल आवश्यक खंड है।

हालांकि, बिंदु स्थिति में डेटा के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना हमेशा संभव नहीं होता है। इस मामले में, आपको चेहरों वाले विमानों के चौराहे की रेखा पर स्थित एक बिंदु खोजने की जरूरत है।

उदाहरण। बिंदु M, N, P से होकर जाने वाले समतल द्वारा पिरामिड के एक भाग की रचना कीजिए।

बिंदु M और N एक ही तल ABS में स्थित हैं, इसलिए उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। हमें ट्रेस MN मिलता है। इसी तरह - एन.पी. दोनों निशान दिखाई दे रहे हैं, इसलिए हम उन्हें एक ठोस रेखा से जोड़ते हैं।

बिंदु M और P अलग-अलग तल में स्थित हैं। इसलिए, हम उन्हें सीधे कनेक्ट नहीं कर सकते।

हम लाइन एनपी जारी रखते हैं।

यह बीसीएस चेहरे के तल में स्थित है। एनपी केवल उसी तल में पड़ी रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करता है। हमारे पास ऐसी तीन लाइनें हैं: बीएस, सीएस और बीसी। बीएस और सीएस लाइनों के साथ पहले से ही चौराहे बिंदु हैं - ये सिर्फ एन और पी हैं। इसलिए, हम एनपी के साथ लाइन बीसी के चौराहे की तलाश कर रहे हैं।

चौराहा बिंदु (चलो इसे एच कहते हैं) चौराहे तक एनपी और बीसी लाइनों को जारी रखते हुए प्राप्त किया जाता है।

यह बिंदु H, समतल (BCS) दोनों से संबंधित है, क्योंकि यह रेखा NP और समतल (ABC) पर स्थित है, क्योंकि यह रेखा BC पर स्थित है।

इस प्रकार, हमें समतल (ABC) में पड़े छेदक तल का एक और बिंदु प्राप्त हुआ है।

H और एक ही तल में स्थित बिंदु M से होकर हम एक सीधी रेखा खींच सकते हैं।

हमें ट्रेस एमटी मिलता है।

T, MH और AC रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

चूंकि T रेखा AC से संबंधित है, इसलिए हम इससे और बिंदु P से होकर एक रेखा खींच सकते हैं, क्योंकि वे दोनों एक ही तल (ACS) में स्थित हैं।

क्वाड एमएनपीटी दिए गए बिंदुओं एम, एन, पी से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का आवश्यक खंड है।

हमने सीधी रेखा एनपी के साथ काम किया है, इसे विमान (एबीसी) के साथ काटने वाले विमान के चौराहे के बिंदु को खोजने के लिए विस्तारित किया है। यदि हम सीधी रेखा MN के साथ कार्य करते हैं, तो हम उसी परिणाम पर पहुंचते हैं।

हम इस प्रकार तर्क देते हैं: रेखा MN समतल (ABS) में स्थित है, इसलिए यह केवल उसी तल में पड़ी रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद कर सकती है। हमारे पास ऐसी तीन लाइनें हैं: एबी, बीएस और एएस। लेकिन एबी और बीएस लाइनों के साथ पहले से ही चौराहे के बिंदु हैं: एम और एन।

इसलिए, एमएन का विस्तार करते हुए, हम इसके चौराहे के बिंदु को सीधी रेखा एएस के साथ ढूंढ रहे हैं। आइए इस बिंदु को R कहते हैं।

बिंदु R, रेखा AS पर स्थित है, इसलिए यह उस समतल (ACS) में भी स्थित है, जिससे रेखा AS संबंधित है।

चूंकि बिंदु P समतल (ACS) में स्थित है, इसलिए हम R और P से होकर एक रेखा खींच सकते हैं। हमें पीटी का निशान मिलता है।

बिंदु T समतल (ABC) में स्थित है, इसलिए हम इसके माध्यम से और बिंदु M से होकर एक रेखा खींच सकते हैं।

इस प्रकार, हमें वही एमएनपीटी क्रॉस सेक्शन मिला।

आइए इस तरह के एक और उदाहरण पर विचार करें।

बिंदु M, N, P से होकर जाने वाले समतल द्वारा पिरामिड के एक भाग की रचना कीजिए।

एक ही तल (BCS) में स्थित बिंदुओं M और N से होकर एक सीधी रेखा खींचिए। हमें ट्रेस MN (दृश्यमान) मिलता है।

एक ही तल (ACS) में स्थित बिंदुओं N और P से होकर एक सीधी रेखा खींचिए। हमें ट्रेस पीएन (अदृश्य) मिलता है।

हम बिंदु M और P से होकर एक सीधी रेखा नहीं खींच सकते।

1) रेखा MN समतल (BCS) में स्थित है, जहाँ तीन और रेखाएँ हैं: BC, SC और SB। एसबी और एससी: एम और एन के साथ चौराहे के बिंदु पहले से ही हैं। इसलिए, हम बीसी के साथ एमएन के चौराहे के बिंदु की तलाश कर रहे हैं। इन पंक्तियों को जारी रखते हुए, हम बिंदु L प्राप्त करते हैं।

बिंदु L, रेखा BC से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि यह समतल (ABC) में स्थित है। इसलिए, एल और पी के माध्यम से, जो विमान (एबीसी) में भी स्थित है, हम एक सीधी रेखा खींच सकते हैं। उसका पदचिह्न पीएफ है।

F, रेखा AB पर स्थित है, और इसलिए समतल (ABS) में है। इसलिए, F और बिंदु M से होकर, जो समतल (ABS) में भी स्थित है, हम एक सीधी रेखा खींचते हैं। उसका ट्रैक एफएम है। चतुर्भुज एमएनपीएफ आवश्यक खंड है।

2) दूसरा तरीका सीधे पीएन को जारी रखना है। यह समतल (ACS) में स्थित है और इस तल में पड़ी रेखाओं AC और CS को बिंदु P और N पर प्रतिच्छेद करता है।

तो, हम इस विमान की तीसरी सीधी रेखा के साथ पीएन के चौराहे बिंदु की तलाश कर रहे हैं - एएस के साथ। हम एएस और पीएन जारी रखते हैं, चौराहे पर हमें बिंदु ई मिलता है। चूंकि बिंदु ई रेखा एएस पर स्थित है, जो विमान (एबीएस) से संबंधित है, फिर ई और बिंदु एम के माध्यम से (एबीएस) में भी स्थित है, हम एक रेखा खींच सकते हैं। उसका ट्रैक एफएम है। बिंदु P और F जल तल (ABC) पर स्थित हैं, हम उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं और ट्रेस PF (अदृश्य) प्राप्त करते हैं।

नियमित षट्कोणीय पिरामिड एक सामने से प्रक्षेपित विमान द्वारा पार किया गया आर,अंजीर में दिखाया गया है। 180.

पिछले उदाहरणों की तरह, खंड का ललाट प्रक्षेपण ललाट के साथ मेल खाता है

मकान पीवीविमान खंड आकृति के क्षैतिज और प्रोफ़ाइल अनुमान उन बिंदुओं पर बनाए गए हैं जो विमान के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं आरपिरामिड पसलियों के साथ।

इस उदाहरण में अनुभाग आकृति का वास्तविक स्वरूप पंजीकरण की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

एक खंड आकृति और एक आधार आकृति के साथ एक काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का विकास अंजीर में दिखाया गया है। 180, बी।

सबसे पहले, एक बिना कटे-फटे पिरामिड का विकास किया जाता है, जिसके सभी फलक, एक त्रिभुज के आकार वाले, समान होते हैं। विमान पर एक बिंदु चिह्नित करें क्र(पिरामिड का शीर्ष) और उसमें से, केंद्र से, एक त्रिज्या के साथ एक वृत्त का चाप खींचते हैं आर,पिरामिड के पार्श्व किनारे की वास्तविक लंबाई के बराबर। पसली की वास्तविक लंबाई पिरामिड के प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण से निर्धारित की जा सकती है, उदाहरण के लिए, खंड एस "ई"या एस "बी",चूँकि ये किनारे समतल के समानांतर हैं वूऔर उस पर वास्तविक लंबाई के साथ चित्रित किया गया है। इसके अलावा किसी भी बिंदु से एक सर्कल के चाप के साथ, उदाहरण के लिए 1, छह समान खंड षट्भुज के किनारे की वास्तविक लंबाई के बराबर रखे जाते हैं - पिरामिड का आधार। पिरामिड के आधार के किनारे की वास्तविक लंबाई एक क्षैतिज प्रक्षेपण (खंड .) पर प्राप्त की जाती है एबी)।अंक एक 1 ...f1शीर्ष s 1 से सीधी रेखाओं से जुड़े हुए हैं। फिर ऊपर से एक 1इन सीधी रेखाओं पर, पसलियों के खंडों से लेकर छेदक तल तक की वास्तविक लंबाई अलग रखी जाती है।

एक काटे गए पिरामिड के प्रोफाइल प्रक्षेपण पर, केवल दो की वास्तविक लंबाई होती है

तीखा - एस"5तथा एस" 2.शेष खंडों की वास्तविक लंबाई उन्हें विमान के लंबवत अक्ष के चारों ओर घुमाकर निर्धारित की जाती है एचऔर शीर्ष s के माध्यम से गुजर रहा है। उदाहरण के लिए, खंड को मोड़ना एस"6"विमान के समानांतर स्थिति के अक्ष के बारे में डब्ल्यू,हमें इसकी वास्तविक लंबाई इस तल पर प्राप्त होती है। इसके लिए यह बिंदु के माध्यम से पर्याप्त है 6" एक क्षैतिज रेखा तब तक खींचे जब तक कि वह किनारे की वास्तविक लंबाई के साथ प्रतिच्छेद न कर दे सेया एस.बी.रेखा खंड एस"6 0″(अंजीर देखें। 180)।

प्राप्त अंक 1 1 2 1 , 3 1 , आदि। त्रिकोणासन विधि का उपयोग करके सीधी रेखाओं से जुड़ें और आधार और खंड के आंकड़े संलग्न करें। स्कैन पर तह रेखाएं दो बिंदुओं वाली डैश-बिंदीदार रेखा के साथ खींची जाती हैं।

एक काटे गए पिरामिड के एक आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण का निर्माण जटिल ड्राइंग के क्षैतिज प्रक्षेपण से लिए गए आयामों के अनुसार पिरामिड के आधार के एक आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण के निर्माण के साथ शुरू होता है। फिर बेस प्लेन पर बिंदुओं के निर्देशांक के साथ 1...6 अनुभाग का एक क्षैतिज प्रक्षेपण बनाएं (चित्र 180 में पतली नीली रेखाएं देखें, एसी)।परिणामी षट्भुज के शीर्षों से ऊर्ध्वाधर रेखाएँ खींची जाती हैं, जिस पर प्रिज्म के ललाट या प्रोफ़ाइल अनुमानों से लिए गए निर्देशांक प्लॉट किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, खंड के ( , के 2 , के 3आदि। प्राप्त अंक 1...6 कनेक्ट करें, हमें एक अनुभागीय आंकड़ा मिलता है। बिंदुओं को जोड़कर 1...6 पिरामिड के आधार षट्भुज के शीर्षों के साथ, हमें एक काटे गए पिरामिड का एक सममितीय प्रक्षेपण मिलता है। अदृश्य किनारों को धराशायी रेखाओं के साथ दिखाया गया है।

त्रिभुज के एक खंड का एक उदाहरण not सही पिरामिडफ्रंट-प्रोजेक्टिंग प्लेन को अंजीर में दिखाया गया है। 181.

तीन प्रक्षेपण विमानों पर सभी किनारों को विरूपण के साथ दिखाया गया है। क्षैतिज प्रक्षेपण

आधार अपने वास्तविक रूप का प्रतिनिधित्व करता है, क्योंकि पिरामिड का आधार समतल पर स्थित है एच.

मान्य दृश्य 1 0 , 2 0 , 3 प्रक्षेपण विमानों को बदलकर 0 खंड के आंकड़े प्राप्त किए। इस उदाहरण में, क्षैतिज प्रक्षेपण विमान एचएक नए विमान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जो विमान के समानांतर है आर;नई धुरी एक्स 1ट्रेस के साथ गठबंधन आर वी(चित्र। 181, एक)।

पिरामिड की सतह का विकास इस प्रकार किया गया है। रोटेशन विधि का उपयोग पिरामिड के किनारों की वास्तविक लंबाई और उनके खंडों को आधार से काटने वाले विमान तक खोजने के लिए किया जाता है आर।

उदाहरण के लिए, वास्तविक किनारे की लंबाई अनुसूचित जातिऔर उसका खंड एनडब्ल्यूललाट प्रक्षेपण की लंबाई के बराबर, क्रमशः अनुसूचित जाति"किनारे और खंड सी 1 3 1 बारी के बाद।

फिर वे एक त्रिभुजाकार अनियमित पिरामिड का विकास करते हैं (चित्र 181, ग)। ऐसा करने के लिए, एक मनमाना बिंदु से एसएक सीधी रेखा खींचना, बिल्ली पर, किनारे की वास्तविक लंबाई रखना साएक बिंदु से एसएक त्रिज्या के साथ एक पायदान बनाओ आर1,पसली की वास्तविक लंबाई के बराबर एस.बी.,और एक बिंदु से त्रिज्या के साथ एक पायदान R2,पिरामिड के आधार के किनारे के बराबर एबी,एक बिंदु के परिणामस्वरूप ख 1और किनारा एस 1 बी 1 ए 1।फिर अंक से एसतथा ख 1केंद्रों की तरह, सेरिफ़ को किनारे की वास्तविक लंबाई के बराबर त्रिज्या के साथ बनाया जाता है अनुसूचित जातिऔर साइड रविबढ़त प्राप्त करें एस 1 बी 1 एस 1पिरामिड। किनारा भी बना है एस 1 सी 1 ए 1.

अंक से ए 1 बी 1तथा 1 सेपसलियों के खंडों की वास्तविक लंबाई को हटा दें, जो ललाट प्रक्षेपण (खंड .) पर लिए गए हैं ए 1 1 1 , बी 1 ′2 1 , सी 1 ′3 1) त्रिकोणासन विधि का उपयोग करके, खंड का आधार और आकृति संलग्न की जाती है।

एक काटे गए पिरामिड (चित्र। 181, बी) के एक आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण के निर्माण के लिए, एक आइसोमेट्रिक अक्ष खींचा जाता है एक्स।निर्देशांक द्वारा टीतथा पीपिरामिड का आधार बनाएं एबीसी.आधार पक्ष एसीअक्ष के समानांतर एक्सया अक्ष के साथ मेल खाता है एक्स।जैसा कि पिछले उदाहरण में, अनुभाग आकृति के क्षैतिज प्रक्षेपण का एक आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण बनाया गया है 1 2 2 2 3 2 (अंक I, III और IV का उपयोग करके)। इन बिंदुओं से, ऊर्ध्वाधर सीधी रेखाएं खींची जाती हैं, जिन पर प्रिज्म के ललाट या प्रोफाइल प्रोजेक्शन से लिए गए खंड रखे जाते हैं। के 1, के 2तथा कश्मीर 3.प्राप्त अंक 1 , 2, 3 एक दूसरे से और आधार के शीर्ष से सीधी रेखाओं से जुड़ा हुआ है।

परिचय

जब हमने स्टीरियोमेट्रिक आंकड़ों का अध्ययन करना शुरू किया, तो हमने "पिरामिड" विषय को छुआ। हमें यह विषय पसंद आया क्योंकि पिरामिड का उपयोग अक्सर वास्तुकला में किया जाता है। और चूंकि हमारा भविष्य का पेशावास्तुकार, इस आकृति से प्रेरित होकर, हमें लगता है कि वह हमें महान परियोजनाओं में धकेलने में सक्षम होगी।

स्थापत्य संरचनाओं की ताकत, उनका सबसे महत्वपूर्ण गुण। ताकत को जोड़ना, सबसे पहले, उन सामग्रियों के साथ, जिनसे वे बनाए गए हैं, और दूसरी बात, डिजाइन समाधानों की विशेषताओं के साथ, यह पता चला है कि संरचना की ताकत सीधे ज्यामितीय आकार से संबंधित है जो इसके लिए बुनियादी है।

दूसरे शब्दों में, हम ज्यामितीय आकृति के बारे में बात कर रहे हैं जिसे संबंधित वास्तुशिल्प रूप का एक मॉडल माना जा सकता है। यह पता चला है कि ज्यामितीय आकार भी स्थापत्य संरचना की ताकत को निर्धारित करता है।

मिस्र के पिरामिडों को लंबे समय से सबसे टिकाऊ वास्तुशिल्प संरचना माना जाता है। जैसा कि आप जानते हैं, उनके पास नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आकार है।

यह ज्यामितीय आकार है जो बड़े आधार क्षेत्र के कारण सबसे बड़ी स्थिरता प्रदान करता है। दूसरी ओर, पिरामिड का आकार यह सुनिश्चित करता है कि जैसे-जैसे जमीन से ऊपर की ऊंचाई बढ़ती है, द्रव्यमान घटता जाता है। ये दो गुण हैं जो पिरामिड को स्थिर बनाते हैं, और इसलिए गुरुत्वाकर्षण की स्थिति में मजबूत होते हैं।

परियोजना का उद्देश्य: पिरामिड के बारे में कुछ नया सीखें, ज्ञान को गहरा करें और व्यावहारिक अनुप्रयोग खोजें।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित कार्यों को हल करना आवश्यक था:

पिरामिड के बारे में ऐतिहासिक जानकारी जानें

पिरामिड पर विचार करें ज्यामितीय आकृति

जीवन और वास्तुकला में आवेदन प्राप्त करें

में स्थित पिरामिडों के बीच समानताएं और अंतर खोजें विभिन्न भागस्वेता

सैद्धांतिक भाग

ऐतिहासिक जानकारी

पिरामिड की ज्यामिति की शुरुआत प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में हुई थी, लेकिन इसे सक्रिय रूप से में विकसित किया गया था प्राचीन ग्रीस. पिरामिड का आयतन किसके बराबर है, यह स्थापित करने वाले पहले डेमोक्रिटस थे, और कनिडस के यूडोक्सस ने इसे साबित किया। प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने अपने "बिगिनिंग्स" के बारहवीं मात्रा में पिरामिड के बारे में ज्ञान को व्यवस्थित किया, और पिरामिड की पहली परिभाषा भी सामने रखी: एक विमान से घिरा एक शारीरिक आकृति जो एक बिंदु पर एक विमान से अभिसरण होती है।

मिस्र के फिरौन की कब्रें। उनमें से सबसे बड़ा - प्राचीन काल में एल गीज़ा में चेप्स, खफरे और मिकेरिन के पिरामिड दुनिया के सात अजूबों में से एक माने जाते थे। पिरामिड का निर्माण, जिसमें यूनानियों और रोमनों ने पहले से ही राजाओं और क्रूरता के अभूतपूर्व गौरव के लिए एक स्मारक देखा, जिसने मिस्र के पूरे लोगों को मूर्खतापूर्ण निर्माण के लिए बर्बाद कर दिया, सबसे महत्वपूर्ण पंथ अधिनियम था और जाहिरा तौर पर व्यक्त करना चाहिए था, देश और उसके शासक की रहस्यमय पहचान। देश की आबादी ने कृषि कार्य से मुक्त वर्ष के हिस्से में मकबरे के निर्माण पर काम किया। कई ग्रंथ ध्यान और देखभाल की गवाही देते हैं कि राजाओं ने स्वयं (यद्यपि बाद के समय में) अपने मकबरे और उसके बिल्डरों के निर्माण के लिए भुगतान किया था। यह उन विशेष पंथ सम्मानों के बारे में भी जाना जाता है जो स्वयं पिरामिड बन गए।

मूल अवधारणा

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका आधार एक बहुभुज होता है, और शेष फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज होते हैं।

एपोथेम- एक नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई, इसके ऊपर से खींची गई;

साइड फेस- शीर्ष पर अभिसरण त्रिकोण;

पार्श्व पसलियां- पक्ष के आम पक्ष चेहरे;

पिरामिड के ऊपर- किनारे के किनारों को जोड़ने वाला एक बिंदु और आधार के तल में नहीं पड़ा है;

कद- पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचे गए लंबवत का एक खंड (इस खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार हैं);

पिरामिड का विकर्ण खंड- आधार के शीर्ष और विकर्ण से गुजरने वाले पिरामिड का खंड;

आधार- एक बहुभुज जो पिरामिड के शीर्ष से संबंधित नहीं है।

सही पिरामिड के मुख्य गुण

पार्श्व किनारे, पार्श्व फलक और एपोथेम क्रमशः समान हैं।

आधार पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं।

पार्श्व किनारों पर डायहेड्रल कोण बराबर होते हैं।

प्रत्येक ऊँचाई बिंदु सभी आधार शीर्षों से समान दूरी पर होता है।

प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी पक्षों के चेहरों से समान दूरी पर है।

मूल पिरामिड सूत्र

पार्श्व क्षेत्र और पूरी सतहपिरामिड।

पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल (पूर्ण और कटा हुआ) इसके सभी पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों का योग है, कुल सतह क्षेत्र इसके सभी चेहरों के क्षेत्रों का योग है।

प्रमेय: एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और पिरामिड के एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

पी- आधार की परिधि;

एच- एपोथेम।

एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व और पूर्ण सतहों का क्षेत्रफल।

p1, पी 2 - आधार परिधि;

एच- एपोथेम।

आर- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र;

एस साइड- नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल;

S1 + S2- आधार क्षेत्र

पिरामिड वॉल्यूम

प्रपत्र वॉल्यूम स्केल का इस्तेमाल किसी भी तरह के पिरामिड के लिए किया जाता है।

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

पिरामिड के कोण

पिरामिड के पार्श्व फलक और आधार से बनने वाले कोणों को पिरामिड के आधार पर द्विफलकीय कोण कहा जाता है।

एक द्विफलकीय कोण दो लंबों से बनता है।

इस कोण को निर्धारित करने के लिए, आपको अक्सर तीन लंबवत प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता होती है.

एक पार्श्व किनारे से बनने वाले कोण और आधार के तल पर इसके प्रक्षेपण को कहा जाता है पार्श्व किनारे और आधार के तल के बीच के कोण.

दो भुजाओं के फलकों द्वारा बनने वाले कोण को कहते हैं पिरामिड के पार्श्व किनारे पर डायहेड्रल कोण।

वह कोण, जो पिरामिड के एक फलक के दो किनारों से बनता है, कहलाता है पिरामिड के शीर्ष पर कोने.

पिरामिड के खंड

एक पिरामिड की सतह एक बहुफलक की सतह है। इसका प्रत्येक फलक एक समतल है, इसलिए छेदक तल द्वारा दिया गया पिरामिड का खंड अलग-अलग सीधी रेखाओं वाली एक टूटी हुई रेखा है।

विकर्ण खंड

दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले समतल द्वारा पिरामिड का वह भाग जो एक ही फलक पर नहीं होता है, कहलाता है विकर्ण खंडपिरामिड।

समानांतर खंड

प्रमेय:

यदि पिरामिड को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा पार किया जाता है, तो पिरामिड के पार्श्व किनारों और ऊँचाई को इस तल द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया जाता है;

इस तल का खंड आधार के समान बहुभुज है;

खंड और आधार के क्षेत्र ऊपर से उनकी दूरी के वर्गों के रूप में एक दूसरे से संबंधित हैं।

पिरामिड के प्रकार

सही पिरामिडएक पिरामिड जिसका आधार है नियमित बहुभुज, और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

सही पिरामिड पर:

1. पार्श्व पसलियां बराबर होती हैं

2. पार्श्व फलक बराबर होते हैं

3. एपोटेम बराबर हैं

4. आधार पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं

5. पार्श्व किनारों पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं

6. प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी आधार शीर्षों से समान दूरी पर है

7. प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी पक्षों से समान दूरी पर है

छोटा पिरामिड- पिरामिड का वह भाग जो उसके आधार और आधार के समानांतर एक काटने वाले तल के बीच घिरा होता है।

एक काटे गए पिरामिड के आधार और संबंधित खंड को कहा जाता है एक काटे गए पिरामिड के आधार.

एक आधार के किसी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर खींचा गया लंब कहलाता है काटे गए पिरामिड की ऊंचाई।

कार्य

नंबर 1। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में, बिंदु O आधार का केंद्र है, SO=8 सेमी, BD=30 सेमी। पार्श्व किनारे SA खोजें।

समस्या को सुलझाना

नंबर 1। एक नियमित पिरामिड में, सभी फलक और किनारे समान होते हैं।

आइए OSB पर विचार करें: OSB-आयताकार आयत, क्योंकि।

एसबी 2 \u003d एसओ 2 + ओबी 2

SB2=64+225=289

वास्तुकला में पिरामिड

पिरामिड - एक साधारण नियमित के रूप में एक स्मारकीय संरचना ज्यामितीय पिरामिड, जिसमें पक्ष एक बिंदु पर अभिसरण करते हैं। कार्यात्मक उद्देश्य के अनुसार, प्राचीन काल में पिरामिड दफनाने या पूजा करने का स्थान था। एक पिरामिड का आधार त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय या बहुभुज हो सकता है जिसमें एक मनमाना संख्या में शिखर होते हैं, लेकिन सबसे आम संस्करण चतुष्कोणीय आधार है।

काफी संख्या में पिरामिड ज्ञात हैं, निर्मित विभिन्न संस्कृतियां प्राचीन विश्वज्यादातर मंदिरों या स्मारकों के रूप में। सबसे बड़े पिरामिड मिस्र के पिरामिड हैं।

पूरी पृथ्वी पर आप पिरामिडों के रूप में स्थापत्य संरचनाओं को देख सकते हैं। पिरामिड की इमारतें प्राचीन काल की याद दिलाती हैं और देखने में बेहद खूबसूरत लगती हैं।

मिस्र के पिरामिडमहानतम स्थापत्य स्मारक प्राचीन मिस्र, जिनमें से "दुनिया के सात अजूबों" में से एक चेप्स का पिरामिड है। पैर से ऊपर तक, यह 137.3 मीटर तक पहुंचता है, और इससे पहले कि यह शीर्ष खो देता, इसकी ऊंचाई 146.7 मीटर थी।

स्लोवाकिया की राजधानी में रेडियो स्टेशन की इमारत, एक उल्टे पिरामिड जैसा दिखता है, 1983 में बनाया गया था। कार्यालयों और सेवा परिसर के अलावा, वॉल्यूम के अंदर काफी विशाल है समारोह का हाल, जो स्लोवाकिया में सबसे बड़े निकायों में से एक है।

लौवर, जो "पिरामिड की तरह मौन और राजसी है" बनने से पहले सदियों में कई बदलाव हुए हैं। सबसे बड़ा संग्रहालयशांति। यह एक किले के रूप में पैदा हुआ था, जिसे 1190 में फिलिप ऑगस्टस द्वारा बनवाया गया था, जो जल्द ही एक शाही निवास में बदल गया। 1793 में महल एक संग्रहालय बन गया। संग्रह वसीयत या खरीद के माध्यम से समृद्ध होते हैं।

परिचय। . . . . . ..। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. एक बहुफलक की अवधारणा। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. पिरामिड। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . चार

पिरामिड गुण। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. कटा हुआ पिरामिड। . . . . . . . . ..। . . . . . . . . ..। . . . आठ

2.3. एक पिरामिड और उसके समतल खंडों का निर्माण। . . .9

3. प्रिज्म। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ग्यारह

3.1. एक प्रिज्म की छवि और उसका निर्माण

खंड। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. समांतर चतुर्भुज। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . पंद्रह

4.1 समानांतर चतुर्भुज के कुछ गुण। . . . . . . 16

5. यूलर का बहुफलक प्रमेय। . . . . . . . . . . . . . . अठारह

6. बहुफलक की समानता। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7. नियमित पॉलीहेड्रा। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.1 पॉलीहेड्रा की सारांश तालिका। . . . . . . . . . . 22

निष्कर्ष। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

ग्रंथ सूची। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

परिचय

ब्लेज़ पास्कल ने एक बार कहा था: "गणित का विषय इतना गंभीर है कि इसे थोड़ा और मनोरंजक बनाने का अवसर न चूकना अच्छा है।" इस स्थिति से, आइए स्टीरियोमेट्री पर विचार करने का प्रयास करें, जो कि ज्यामिति के वर्गों में से एक है। स्टीरियोमेट्री अंतरिक्ष में आंकड़ों के गुणों का अध्ययन करती है। उदाहरण के लिए, भारहीनता में तरल बूँदें रूप लेती हैं ज्यामितीय शरीरएक गेंद कहा जाता है। एक ही आकार में एक छोटी टेनिस बॉल होती है, और बड़ी वस्तुएं - हमारे ग्रह और कई अन्य अंतरिक्ष वस्तुएं। एक टिन कैन एक सिलेंडर है।

हमारे चारों ओर स्टीरियोमेट्री: रोजमर्रा की जिंदगी में और में व्यावसायिक गतिविधि. बेशक, हम विज्ञान को "देख" नहीं सकते, लेकिन हम अंतरिक्ष में उन त्रि-आयामी निकायों को देख सकते हैं जिनका वह अध्ययन करता है। क्या हर तरफ से खुद को आईने में देखना दिलचस्प नहीं है? परंतु मानव आकृतियह भी एक थोक वस्तु है।

टेट्राहेड्रोन और एक समानांतर चतुर्भुज से जुड़ी कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, विभिन्न विमानों द्वारा आकृति में उनके वर्गों का निर्माण करने में सक्षम होना आवश्यक है। आइए कटिंग प्लेन को कोई भी प्लेन कहें, जिसके दोनों तरफ इस आकृति के बिंदु हों। काटने वाला विमान आकृति के फलकों को खंडों के साथ प्रतिच्छेद करता है। एक बहुभुज जिसकी भुजाएँ ये खंड हैं, आकृति का एक भाग कहलाता है। चूँकि एक चतुष्फलक के चार फलक होते हैं, केवल त्रिभुज और चतुर्भुज ही इसके खंड हो सकते हैं। समानांतर चतुर्भुज के छह चेहरे हैं। इसके खंड त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचकोण और षट्भुज हो सकते हैं।

1. एक बहुफलक की अवधारणा

बहुतल- एक ज्यामितीय स्थानिक निकाय जो सभी पक्षों पर समतल बहुभुजों की एक सीमित संख्या से घिरा होता है। पहलुओं पॉलीहेड्रॉन को बहुभुज कहा जाता है जो पॉलीहेड्रॉन (चेहरे - एबीसीडी, एमईएफएन, एबीईएम, बीईएफसी, सीडीएनएफ, एडीएमएन) को बांधता है। पसलियां पॉलीहेड्रॉन को आसन्न चेहरों (किनारों - एबी, बीसी, सीडी, एडी, बीई, सीएफ, एएम, डीएन, एमई, ईएफ, एफएन, एमएन) के सामान्य पक्ष कहा जाता है। चोटियों बहुफलक एक बिंदु पर अभिसारी फलकों द्वारा निर्मित बहुफलकीय कोणों के शीर्ष कहलाते हैं . विकर्ण एक बहुफलक एक रेखा खंड है जो दो शीर्षों को जोड़ता है जो एक ही फलक (BN) पर नहीं होते हैं। विकर्ण विमान पॉलीहेड्रॉन को पॉलीहेड्रॉन के तीन शीर्षों से गुजरने वाला एक तल कहा जाता है जो एक ही फलक (प्लेन BEN) पर नहीं होता है।

बहुफलक कहलाता है उत्तल , यदि यह इसकी सतह के प्रत्येक बहुभुज के तल के एक तरफ स्थित है। उत्तल पॉलीहेड्रॉन के चेहरे केवल उत्तल बहुभुज हो सकते हैं (उत्तल पॉलीहेड्रॉन का एक उदाहरण घन है, चित्र 1)।

यदि किसी बहुभुज के फलक आपस में प्रतिच्छेद करते हैं, तो ऐसे बहुफलक कहलाते हैं गैर उत्तल (रेखा चित्र नम्बर 2)।

एक समतल द्वारा बहुफलक का एक भाग इस तल का एक भाग है, एक रेखा से घिरा हुआइस विमान के साथ पॉलीहेड्रॉन की सतह का प्रतिच्छेदन।

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2. पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका एक फलक एक मनमाना बहुभुज होता है, और शेष फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज होते हैं।

पिरामिड के आधार को कटिंग प्लेन (एबीसीडीई) में प्राप्त पॉलीहेड्रॉन कहा जाता है। पिरामिड के पार्श्व फलकों को त्रिभुज ASB, BSC, ... एक उभयनिष्ठ शीर्ष S के साथ कहा जाता है, जिसे पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है। एक पिरामिड के किनारे किनारे वे किनारे होते हैं जिनके साथ पक्ष प्रतिच्छेद करता है। पिरामिड की ऊंचाई पिरामिड के शीर्षों से उसके आधार के तल तक खींचा गया लंबवत है। पिरामिड का एपोथेम पिरामिड के ऊपर से नीचे की ओर वाले चेहरे की ऊंचाई है।

पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है, और पिरामिड का शीर्ष इस बहुभुज के केंद्र में प्रक्षेपित है।

आइए साबित करें कि एक नियमित पिरामिड के सभी किनारे समान होते हैं, और पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं

एक नियमित पिरामिड PA 1 A 2 …A n पर विचार करें। पहले हम सिद्ध करते हैं कि इस पिरामिड के सभी किनारे बराबर हैं। कोई भी पार्श्व किनारा कर्ण है सही त्रिकोण, जिसका एक पैर पिरामिड की ऊंचाई PO है, और दूसरा आधार के पास घेरे हुए वृत्त की त्रिज्या है (उदाहरण के लिए, पार्श्व किनारा PA 1 त्रिभुज OPA 1 का कर्ण है जिसमें OP=h, OA 1 = आर)। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कोई भी पार्श्व किनारा √(h 2 +R 2) के बराबर होता है, इसलिए PA 1 =PA 2 =…= PA n ।

हमने सिद्ध किया है कि एक नियमित पिरामिड PA 1 A 2 …A n के किनारे एक दूसरे के बराबर हैं, इसलिए पार्श्व फलक हैं समद्विबाहु त्रिभुज. इन त्रिभुजों के आधार भी एक दूसरे के बराबर हैं, क्योंकि A 1 A 2 …A n एक नियमित बहुभुज है। इसलिए, त्रिभुजों की समानता के तीसरे मानदंड के अनुसार भुजा फलक बराबर हैं, जिसे सिद्ध किया जाना था।

आधार के तल के समांतर समतल वाले पिरामिड के खंड को कहा जाता है पिरामिड क्रॉस सेक्शन .

पिरामिड गुण

पिरामिड के क्रॉस सेक्शन के गुण।

1. यदि आप आधार के समानांतर एक समतल से पिरामिड को पार करते हैं, तो:

· पिरामिड के किनारे के किनारों और ऊंचाई को इस विमान द्वारा आनुपातिक खंडों में विभाजित किया जाएगा;

खंड में आपको आधार पर पड़े बहुभुज के समान बहुभुज मिलता है;

क्रॉस-अनुभागीय और आधार क्षेत्र पिरामिड के शीर्ष से उनकी दूरी के वर्गों के रूप में एक दूसरे से संबंधित होंगे:

एस 1: एस 2 = एक्स 1 2: एक्स 2 2

2. यदि समान ऊँचाई वाले दो पिरामिड शीर्ष से समान दूरी पर, आधारों के समांतर तलों द्वारा प्रतिच्छेद किए जाते हैं, तो वर्गों के क्षेत्रफल आधारों के क्षेत्रफलों के समानुपाती होंगे।

एक पिरामिड की पार्श्व सतह (या केवल पार्श्व सतह) का क्षेत्रफल उसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है।

कुल सतह क्षेत्रफल(या बस कुल सतह) एक पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल और उसके आधार के क्षेत्रफल का योग है।

पिरामिड ऊंचाई गुण

1. यदि पिरामिड का पार्श्व फलक आधार के तल के लंबवत है, तो पिरामिड की ऊंचाई इस फलक के तल में गुजरती है।

2. यदि पिरामिड के दो आसन्न किनारे समान हैं, तो पिरामिड की ऊंचाई का आधार आधार के उस पक्ष के मध्य से खींचे गए लंबवत पर होता है, जिसके सिरों से ये किनारे निकलते हैं।

3. यदि पिरामिड के दो निकटवर्ती फलक आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड की ऊँचाई का आधार आधार की उन भुजाओं से बने कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता है जिससे ये भुजाएँ गुजरती हैं।

4. यदि पिरामिड का पार्श्व किनारा आधार की दो भुजाओं से सटे समान कोण बनाता है, तो पिरामिड की ऊंचाई का आधार आधार के इन पक्षों द्वारा बनाए गए कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता है।

5. यदि पिरामिड का पार्श्व किनारा इसके साथ प्रतिच्छेद करने वाले आधार के किनारे पर लंबवत है, तो पिरामिड की ऊंचाई का आधार इस तरफ से इस तरफ से बहाल (पिरामिड के आधार के तल में) लंबवत है। इस किनारे के साथ इसके चौराहे का बिंदु।

टिप्पणी: यदि पिरामिड में इनमें से कोई दो विशेषताएं हैं, तो उस बिंदु को विशिष्ट रूप से इंगित करना संभव है जो पिरामिड की ऊंचाई का आधार है।

यह आंकड़ा एक नियमित n-कोयला पिरामिड SABCD… का एक टुकड़ा दिखाता है, जहाँ SH पिरामिड की ऊँचाई है; एसके एक एपोथेम है। आइए हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: कोण अल्फा ( ά ) पिरामिड के पार्श्व किनारे और आधार के तल के बीच का कोण है; बीटा (β) पार्श्व फलक और आधार तल के बीच का कोण है; कोण y (γ) आसन्न पार्श्व पसलियों के बीच का कोण है; कोण फी (φ) - आसन्न भुजाओं के बीच का कोण।

यदि इन कोणों में से एक को नियमित पिरामिड में जाना जाता है, तो अन्य तीन को पाया जा सकता है। तालिका में छह संबंध दिखाए गए हैं:

पिरामिड वॉल्यूमसूत्र के अनुसार पाया जाता है:

वी = 1/3 एस मुख्य एच,

जहाँ Sbase आधार क्षेत्र है, H ऊँचाई है।

पार्श्व सतह क्षेत्रसही पिरामिड इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

एस पक्ष \u003d 1/2 पीएच,

जहाँ P आधार का परिमाप है, h पार्श्व फलक की ऊँचाई है

2.2. कटा हुआ पिरामिड।

छोटा पिरामिडपिरामिड के उस हिस्से को कहा जाता है, जो इसके आधार और आधार के समानांतर एक काटने वाले विमान के बीच संलग्न होता है, उदाहरण के लिए, पिरामिड ABCDA 1 B 1 C 1 D 1।

एक काटे गए पिरामिड के आधारों को समानांतर फलक ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 कहा जाता है (ABCD निचला आधार है, और A 1 B 1 C 1 D 1 ऊपरी आधार है)।

कदकाटे गए पिरामिड - आधारों के लंबवत एक सीधी रेखा खंड और उनके विमानों के बीच संलग्न।

छोटा पिरामिड सही , यदि इसके आधार नियमित बहुभुज हैं, और आधारों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा आधारों के तल पर लंबवत है।

एक काटे गए पिरामिड का एपोथेम इसके पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है।

पार्श्व सतहछोटा पिरामिड इसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग है। एक काटे गए पिरामिड की कुल सतह पार्श्व सतह और आधारों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होती है।

आधार के समानांतर एक विमान के साथ इसके ऊपरी हिस्से को काटकर पिरामिड से एक छोटा पिरामिड प्राप्त किया जाता है। काटे गए पिरामिड के आधार समान बहुभुज हैं, पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

मात्राकटा हुआ पिरामिड सूत्र द्वारा पाया जाता है:

वी = 1/3 एच (एस + √ एसएस1+एस1),

जहां एस और एस 1 आधारों के क्षेत्र हैं, और एच ऊंचाई है।

पार्श्व सतह क्षेत्रएक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

एस साइड \u003d 1/2 (पी + पी 1) एच,

जहां P और P1 आधारों की परिधि हैं, h पार्श्व फलक की ऊंचाई है (या एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम)।

2.3. एक पिरामिड और उसके समतल खंडों का निर्माण

समानांतर प्रक्षेपण के नियमों के अनुसार, पिरामिड की छवि का निर्माण इस प्रकार किया जाता है। सबसे पहले, नींव का निर्माण किया जाता है। यह कुछ समतल बहुभुज होगा। फिर पिरामिड के शीर्ष को चिह्नित किया जाता है, जो पार्श्व पसलियों द्वारा आधार के शीर्ष से जुड़ा होता है।

पिरामिड के शीर्ष से गुजरने वाले समतलों के खंड त्रिभुज हैं (चित्र a)। विशेष रूप से, विकर्ण खंड भी त्रिभुज होते हैं। ये पिरामिड के दो गैर-आसन्न किनारों से गुजरने वाले विमानों द्वारा खंड हैं (चित्र। बी)।

आधार के तल पर दिए गए ट्रेस जी के साथ एक विमान द्वारा पिरामिड का खंड उसी तरह से बनाया गया है जैसे प्रिज्म का खंड।

एक समतल द्वारा पिरामिड के एक भाग का निर्माण करने के लिए, काटने वाले तल के साथ इसके पार्श्व फलकों के चौराहों का निर्माण करना पर्याप्त है।

यदि खंड से संबंधित कोई बिंदु A एक ऐसे फलक पर जाना जाता है जो ट्रेस g के समानांतर नहीं है, तो इस चेहरे के तल के साथ छेदक तल के ट्रेस g का प्रतिच्छेदन पहले बनाया जाता है - आकृति में बिंदु D ( में). बिंदु D एक सीधी रेखा द्वारा बिंदु A से जुड़ा है। फिर चेहरे से संबंधित इस रेखा का खंड काटने वाले विमान के साथ इस चेहरे का प्रतिच्छेदन है। यदि बिंदु A, ट्रेस g के समानांतर एक फलक पर स्थित है, तो छेदक तल इस फलक को रेखा g के समानांतर एक खंड के अनुदिश काटता है। बगल के किनारे पर जाकर, वे कटिंग प्लेन आदि के साथ इसके चौराहे का निर्माण करते हैं। परिणामस्वरूप, पिरामिड का आवश्यक खंड प्राप्त होता है।

पिरामिड। छोटा पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका एक फलक बहुभुज होता है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( साइड फेस ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। एक त्रिभुजाकार पिरामिड, जिसके सभी किनारे बराबर होते हैं, कहलाते हैं चतुर्पाश्वीय .

साइड रिबपिरामिड को पार्श्व फलक का वह भाग कहा जाता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है कद पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। शीर्ष से खींचे गए एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेमा . विकर्ण खंड पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड को सभी भुजाओं के फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। पूर्ण सतह क्षेत्र सभी भुजाओं के फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड के सभी किनारे आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि पिरामिड के सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड के शीर्ष को आधार के पास परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

3. यदि पिरामिड में सभी फलक आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाना पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र सही है:

कहाँ पे वी- मात्रा;

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

एच ए- एपोथेम;

एच- कद;

एस पूर्ण

एस साइड

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

वीएक नियमित पिरामिड का आयतन है।

छोटा पिरामिडपिरामिड के आधार के समानांतर और काटने वाले विमान के बीच संलग्न पिरामिड के हिस्से को कहा जाता है (चित्र 17)। सही काटे गए पिरामिड एक नियमित पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है, जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर एक काटने वाले विमान के बीच संलग्न होता है।

नींवकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। साइड फेस - ट्रेपोजॉइड। कद काटे गए पिरामिड को इसके आधारों के बीच की दूरी कहा जाता है। विकर्ण एक छोटा पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही चेहरे पर नहीं होता है। विकर्ण खंड काटे गए पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए, सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ पे एस 1 , एस 2 - ऊपरी और . के क्षेत्र निचला आधार;

एस पूर्णकुल सतह क्षेत्र है;

एस साइडपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एच- कद;

वीकाटे गए पिरामिड का आयतन है।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, निम्न सूत्र सत्य है:

कहाँ पे पी 1 , पी 2 - आधार परिधि;

एच ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम।

उदाहरण 1सही त्रिकोणीय पिरामिडआधार पर विकर्ण कोण 60º है। आधार के तल के किनारे के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा का पता लगाएं।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड सही है, इसका मतलब आधार पर है समभुज त्रिकोणऔर सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व चेहरे के आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण कोण होगा एकदो लंबवत के बीच: यानी। पिरामिड के शीर्ष को त्रिभुज के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है (परिचालित वृत्त का केंद्र और त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त) एबीसी) पार्श्व पसली के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए एसबी) आधार तल पर किनारे और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। रिब के लिए एसबीयह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा को खोजने के लिए आपको पैरों को जानना होगा इसलिएतथा ओबी. माना खंड की लंबाई बीडी 3 . है एक. दूरसंचार विभाग हेरेखा खंड बीडीभागों में विभाजित है: और से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2नियमित रूप से काटे गए का आयतन ज्ञात कीजिए चतुर्भुज पिरामिड, यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी हैं, और ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानकर, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी हैं। इसका मतलब है कि आधारों के क्षेत्र और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड की मात्रा की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी3.

उदाहरण 3एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु समलंब है। एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको आधारों और ऊंचाई को जानना होगा। आधार शर्त द्वारा दिए गए हैं, केवल ऊंचाई अज्ञात रहती है। इसे कहां से खोजें लेकिन 1 इएक बिंदु से लंबवत लेकिन 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी- से लंबवत लेकिन 1 पर एसी. लेकिन 1 इ\u003d 2 सेमी, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है। खोजने के लिए डेहम एक अतिरिक्त चित्र बनाएंगे, जिसमें हम एक शीर्ष दृश्य (चित्र 20) को चित्रित करेंगे। दूरसंचार विभाग हे- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक हैखुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है और ओएमउत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलम्बाकार होता है, जिसके आधार होते हैं एकतथा बी (एक> बी) प्रत्येक भुजा का फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीसमलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल और क्षेत्रफल के योग के बराबर है ए बी सी डी.

आइए हम इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। दूरसंचार विभाग हे- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर। त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का लंबकोणीय प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेबेस प्लेन को। एक सपाट आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

इसी प्रकार, इसका अर्थ है इस प्रकार, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में समस्या कम हो गई ए बी सी डी. एक ट्रेपोजॉइड ड्रा करें ए बी सी डीअलग से (चित्र 22)। दूरसंचार विभाग हेएक समलम्ब चतुर्भुज में उत्कीर्ण एक वृत्त का केंद्र है।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित किया जा सकता है, तो या From, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हमारे पास है