ऑनलाइन लाइनों से घिरी हुई आकृति के आयतन की गणना करें। पाठ "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करना"

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

सूत्र में, पूर्णांक से पहले एक संख्या होनी चाहिए। ऐसा ही हुआ - जीवन में जो कुछ भी घूमता है वह इस स्थिरांक से जुड़ा है।

एकीकरण "ए" और "बी" की सीमा कैसे निर्धारित करें, मुझे लगता है, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है।

फंक्शन... यह फंक्शन क्या है? आइए ड्राइंग को देखें। समतल आकृति ऊपर से परवलय ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में फ़ंक्शन चुकता है: , इस प्रकार क्रांति के पिंड का आयतन हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है।

इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। यानी हमारे रोटेशन के शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। क्यों बिल्कुल घन इकाइयों? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। घन सेंटीमीटर हो सकता है, हो सकता है घन मीटर, शायद घन किलोमीटर, आदि, कि आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी उड़न तश्तरी में फिट हो सकते हैं।

उदाहरण 2

शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए रोटेशन द्वारा गठितरेखाओं से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर,

यह स्वयं का उदाहरण है। पूरा समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

आइए दो और जटिल समस्याओं पर विचार करें, जिनका सामना अक्सर व्यवहार में भी किया जाता है।

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घूर्णन करके प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें, और

समाधान:आइए रेखाचित्र , , , , द्वारा बंधी हुई एक सपाट आकृति को आरेखण में चित्रित करें, जबकि यह न भूलें कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है:

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो चार कोनों वाला ऐसा असली डोनट प्राप्त होता है।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा का अंतर.

सबसे पहले, आइए उस आकृति को देखें जो लाल रंग में परिक्रमा करती है। जब यह धुरी के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए इस काटे गए शंकु के आयतन को इस रूप में निरूपित करें।

उस आकृति पर विचार करें जो परिक्रमा करती है हरे में. यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा सा छोटा शंकु भी प्राप्त होगा। आइए इसके आयतन को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

हम क्रांति के एक निकाय का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित शरीर का आयतन:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल के सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा किया जाता है, कुछ इस तरह:

अब चलिए एक विराम लेते हैं और ज्यामितीय भ्रम के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जो पेरेलमैन (वही नहीं) ने पुस्तक में देखा था दिलचस्प ज्यामिति. हल की गई समस्या में सपाट आकृति को देखें - यह क्षेत्र में छोटा लगता है, और क्रांति के शरीर का आयतन केवल 50 घन इकाई से अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, अपने पूरे जीवन में औसत व्यक्ति 18 के क्षेत्रफल वाले कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है वर्ग मीटर, जो, इसके विपरीत, बहुत छोटा लगता है।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सबसे अच्छी थी। पेरेलमैन की वही किताब, जो उनके द्वारा 1950 में लिखी गई थी, बहुत अच्छी तरह से विकसित होती है, जैसा कि हास्यकार ने कहा, तर्क करना और आपको समस्याओं के मूल गैर-मानक समाधानों की तलाश करना सिखाता है। हाल ही में मैंने कुछ अध्यायों को बहुत रुचि के साथ फिर से पढ़ा, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानवतावादियों के लिए भी सुलभ है। नहीं, आपको मुस्कुराने की ज़रूरत नहीं है कि मैंने सुझाव दिया कि एक शगल, विद्वता और संचार में एक व्यापक दृष्टिकोण एक अच्छी बात है।

बाद में विषयांतरनिर्णय लेने के लिए उपयुक्त रचनात्मक कार्य:

उदाहरण 4

रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति के अक्ष के परितः घूर्णन द्वारा निर्मित किसी पिण्ड के आयतन की गणना कीजिए, जहाँ ।

यह स्वयं का उदाहरण है। कृपया ध्यान दें कि बैंड में सभी चीजें होती हैं, दूसरे शब्दों में, लगभग तैयार एकीकरण सीमाएं दी जाती हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ को सही ढंग से खींचने का भी प्रयास करें, यदि तर्क को दो से विभाजित किया जाता है: तो ग्राफ़ को अक्ष के साथ दो बार खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक खोजने का प्रयास करें त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसारऔर ड्राइंग को और सटीक बनाएं। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

घूर्णन द्वारा गठित पिंड के आयतन की गणना
एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी ज्यादा दिलचस्प होगा। वाई-अक्ष के चारों ओर क्रांति के एक शरीर की मात्रा की गणना करने का कार्य भी काफी बार-बार आने वाला अतिथि है नियंत्रण कार्य. पारित करने पर विचार किया जाएगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्यादूसरा तरीका - अक्ष के साथ एकीकरण, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको यह भी सिखाएगा कि सबसे लाभदायक समाधान कैसे खोजा जाए। इसका एक व्यावहारिक अर्थ भी है! जैसा कि मेरे गणित शिक्षण विधियों के शिक्षक ने एक मुस्कान के साथ याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें इन शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमारी बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और अपने कर्मचारियों को बेहतर ढंग से प्रबंधित करते हैं।" इस अवसर का लाभ उठाते हुए, मैं उनके प्रति भी अपना बहुत आभार व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग उसके इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

उदाहरण 5

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को देखते हुए , , .

1) इन रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!भले ही आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहें, पहले आवश्यक रूप सेपहला पढ़ो!

समाधान:कार्य में दो भाग होते हैं। चलो वर्ग से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन परवलय की ऊपरी शाखा को परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन परवलय की निचली शाखा को परिभाषित करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परवलय है, जो "अपनी तरफ है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र खोजना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? यह "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिसे पाठ में माना गया था। समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें. इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है:
- खंड पर ;
- खंड पर।

इसीलिए:

इस मामले में सामान्य समाधान में क्या गलत है? सबसे पहले, दो अभिन्न अंग हैं। दूसरे, समाकल के अंतर्गत जड़ें, और समाकल में जड़ें एक उपहार नहीं हैं, इसके अलावा, एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करने में कोई भ्रमित हो सकता है। वास्तव में, अभिन्न, निश्चित रूप से घातक नहीं हैं, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत दुखद है, मैंने कार्य के लिए "बेहतर" कार्यों को उठाया।

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें उलटा कार्यों में संक्रमण और अक्ष के साथ एकीकरण शामिल है।

उलटा कार्यों को कैसे पास करें? मोटे तौर पर, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, आइए परवलय से निपटें:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि वही फ़ंक्शन निचली शाखा से प्राप्त किया जा सकता है:

एक सीधी रेखा के साथ, सब कुछ आसान है:

अब धुरी को देखें: कृपया समय-समय पर अपने सिर को 90 डिग्री के दाईं ओर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!)। हमें जिस आकृति की आवश्यकता है वह खंड पर है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इसके अलावा, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित होती है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र आपके लिए पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . सूत्र में क्या बदला है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! नोट: अक्ष के साथ एकीकरण की सीमा निर्धारित की जानी चाहिए सख्ती से नीचे से ऊपर तक!

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और असाइनमेंट के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट होगा कि क्यों।

एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करने वाले पाठकों के लिए, मुझे व्युत्पन्न मिलेंगे:

मूल एकीकरण प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) इस आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़ा अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति अक्ष के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "होवरिंग तितली" है जो अपनी धुरी के चारों ओर घूमती है।

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के साथ एकीकृत करेंगे। पहले हमें व्युत्क्रम कार्यों पर आगे बढ़ने की आवश्यकता है। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित किया गया है।

अब हम अपने सिर को फिर से दाईं ओर झुकाते हैं और अपने फिगर का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, क्रांति के शरीर की मात्रा को मात्राओं के बीच के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम अक्ष के चारों ओर लाल रंग में परिचालित आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु बनता है। आइए इस वॉल्यूम को द्वारा निरूपित करें।

हम धुरी के चारों ओर हरे रंग में परिक्रमा करते हुए, आकृति को घुमाते हैं और इसे क्रांति के परिणामी शरीर के आयतन के माध्यम से निरूपित करते हैं।

हमारे तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले अनुच्छेद के सूत्र से किस प्रकार भिन्न है? अक्षरों में ही।

और यहाँ एकीकरण का लाभ है जिसके बारे में मैं कुछ समय पहले बात कर रहा था, इसे खोजना बहुत आसान है 4 शक्ति के लिए प्रारंभिक रूप से एकीकृत और बढ़ाने की तुलना में।

उत्तर:

हालांकि, एक बीमार तितली।

ध्यान दें कि यदि एक ही सपाट आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो क्रांति का एक पूरी तरह से अलग शरीर, एक अलग, स्वाभाविक रूप से, आयतन का निकलेगा।

उदाहरण 6

रेखाओं और अक्ष से घिरी एक सपाट आकृति को देखते हुए।

1) इनवर्स फंक्शन्स पर जाएं और वेरिएबल पर इंटीग्रेट करके इन लाइनों से बंधे हुए एक फ्लैट फिगर का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें
का उपयोग करके समाकलन परिभाषित करें?

सामान्य तौर पर, अभिन्न कलन में बहुत सारे होते हैं दिलचस्प अनुप्रयोग, एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके, आप आकृति के क्षेत्र, क्रांति के शरीर की मात्रा, चाप की लंबाई, घूर्णन के सतह क्षेत्र और बहुत कुछ की गणना कर सकते हैं। तो यह मजेदार होगा, कृपया आशावादी बनें!

कुछ समतल आकृति की कल्पना करें कार्तिकये निर्देशांक. प्रतिनिधित्व किया? ... मुझे आश्चर्य है कि किसने क्या प्रस्तुत किया ... =))) हम पहले ही इसका क्षेत्र खोज चुके हैं। लेकिन, इसके अलावा, इस आंकड़े को दो तरीकों से घुमाया और घुमाया भी जा सकता है:

- एक्स-अक्ष के आसपास;
- y-अक्ष के चारों ओर।

इस लेख में, दोनों मामलों पर चर्चा की जाएगी। रोटेशन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है, यह सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वैसा ही है जैसा कि एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य रोटेशन में होता है। एक बोनस के रूप में, मैं वापस आऊंगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या, और आपको बताते हैं कि दूसरे तरीके से - अक्ष के साथ-साथ क्षेत्र को कैसे खोजा जाए। इतना बोनस भी नहीं जितना कि सामग्री विषय में अच्छी तरह फिट बैठती है।

आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरू करें।

एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी हुई आकृति को घुमाकर प्राप्त किए गए पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान: क्षेत्र की समस्या के रूप में, समाधान एक सपाट आकृति के चित्र के साथ शुरू होता है. यही है, विमान पर रेखाओं से बंधी एक आकृति का निर्माण करना आवश्यक है, जबकि यह नहीं भूलना चाहिए कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है। चित्रों को अधिक तर्कसंगत और तेज़ कैसे बनाया जाए, यह पृष्ठों पर पाया जा सकता है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुणतथा । यह एक चीनी अनुस्मारक है और मैं इस बिंदु पर नहीं रुकता।

यहाँ चित्र बहुत सरल है:

वांछित सपाट आकृति को नीले रंग में छायांकित किया जाता है, और यह वह है जो अक्ष के चारों ओर घूमता है। रोटेशन के परिणामस्वरूप, ऐसा थोड़ा अंडे के आकार का उड़न तश्तरी प्राप्त होता है, जो अक्ष के बारे में सममित है। वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, लेकिन संदर्भ पुस्तक में कुछ निर्दिष्ट करना बहुत आलसी है, इसलिए हम आगे बढ़ते हैं।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें?

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

सूत्र में, पूर्णांक से पहले एक संख्या होनी चाहिए। ऐसा हुआ - जीवन में जो कुछ भी घूमता है वह इस स्थिरांक से जुड़ा है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में समाकलन चुकता है: , इस प्रकार अभिन्न हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है।

इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। यानी हमारे रोटेशन के शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। क्यों बिल्कुल घन इकाइयों? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। क्यूबिक सेंटीमीटर हो सकते हैं, क्यूबिक मीटर हो सकते हैं, क्यूबिक किलोमीटर हो सकते हैं, आदि, आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी उड़न तश्तरी में फिट हो सकते हैं।

रेखाओं से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

समाधानरेखाएँ

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में परिक्रमा करती है। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा सा छोटा शंकु भी प्राप्त होगा। आइए इसके आयतन को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

1) लाल रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित शरीर का आयतन:

उत्तर:

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा किया जाता है, कुछ इस तरह:

अब चलिए एक विराम लेते हैं और ज्यामितीय भ्रम के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जो पेरेलमैन (एक अन्य) ने पुस्तक में देखा था दिलचस्प ज्यामिति. हल की गई समस्या में सपाट आकृति को देखें - यह क्षेत्र में छोटा लगता है, और क्रांति के शरीर का आयतन केवल 50 घन इकाई से अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, अपने पूरे जीवन में औसत व्यक्ति 18 वर्ग मीटर के कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है, जो इसके विपरीत, बहुत छोटा लगता है।

एक गेय विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

यह स्वयं का उदाहरण है। ध्यान दें कि बैंड में सभी चीजें होती हैं, दूसरे शब्दों में, रेडीमेड इंटीग्रेशन लिमिट्स वास्तव में दी गई हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन को सही ढंग से बनाएं, मैं आपको पाठ की सामग्री के बारे में याद दिलाऊंगा रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तन: यदि तर्क दो: से विभाज्य है, तो ग्राफ़ को अक्ष के अनुदिश दो बार खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक प्राप्त करना वांछनीय है त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसारड्राइंग को अधिक सटीक रूप से पूरा करने के लिए। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

घूर्णन द्वारा गठित पिंड के आयतन की गणना
एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी ज्यादा दिलचस्प होगा। वाई-अक्ष के चारों ओर क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करने का कार्य भी परीक्षणों में काफी लगातार आगंतुक है। पारित करने पर विचार किया जाएगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्यादूसरा तरीका - अक्ष के साथ एकीकृत करके, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको यह भी सिखाएगा कि सबसे लाभदायक समाधान कैसे खोजा जाए। इसका एक व्यावहारिक अर्थ भी है! जैसा कि मेरे गणित शिक्षण विधियों के शिक्षक ने एक मुस्कान के साथ याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें इन शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमारी बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और अपने कर्मचारियों को बेहतर ढंग से प्रबंधित करते हैं।" इस अवसर का लाभ उठाते हुए, मैं उनके प्रति भी अपना बहुत आभार व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग उसके इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

मैं इसे सभी को पढ़ने की सलाह देता हूं, यहां तक कि पूर्ण डमी भी। इसके अलावा, दूसरे पैराग्राफ की आत्मसात सामग्री दोहरे अभिन्नों की गणना में अमूल्य मदद होगी.

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को देखते हुए , , .

ध्यान!यहां तक कि अगर आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहते हैं, तो पहले वाले को पहले पढ़ना सुनिश्चित करें!

समाधान: कार्य में दो भाग होते हैं। चलो वर्ग से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र खोजना है, नीले रंग में छायांकित है।

इसीलिए:

एक सीधी रेखा के साथ, सब कुछ आसान है:

अब धुरी को देखें: कृपया समय-समय पर अपने सिर को 90 डिग्री के दाईं ओर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!)। हमें जिस आकृति की आवश्यकता है वह खंड पर है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इसके अलावा, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित होती है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र आपके लिए पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . सूत्र में क्या बदलाव आया है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! टिप्पणी: अक्ष के साथ एकीकरण सीमा निर्धारित की जानी चाहिए सख्ती से नीचे से ऊपर तक!

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

मूल एकीकरण प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) इस आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़ा अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

हमारे तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले अनुच्छेद के सूत्र से किस प्रकार भिन्न है? अक्षरों में ही।

उत्तर:

रेखाओं और अक्ष से घिरी एक सपाट आकृति को देखते हुए।

यह स्वयं का उदाहरण है। जो लोग चाहते हैं वे "सामान्य" तरीके से आकृति का क्षेत्र भी पा सकते हैं, जिससे बिंदु 1 का परीक्षण पूरा हो जाएगा)। लेकिन अगर, मैं दोहराता हूं, आप अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति को घुमाते हैं, तो आपको एक अलग मात्रा के साथ रोटेशन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलता है, वैसे, सही उत्तर (उन लोगों के लिए भी जो हल करना पसंद करते हैं)।

पाठ के अंत में कार्य के दो प्रस्तावित मदों का पूर्ण समाधान।

ओह, और रोटेशन निकायों और एकीकरण के भीतर समझने के लिए अपने सिर को दाईं ओर झुकाना न भूलें!

मैं चाहता था, यह पहले से ही लेख को समाप्त करने के लिए था, लेकिन आज वे लाए हैं दिलचस्प उदाहरण y-अक्ष के चारों ओर परिक्रमण पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए। ताज़ा:

वक्रों से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले शरीर के आयतन की गणना करें।

समाधान: आइए एक चित्र बनाते हैं:

साथ ही, हम कुछ अन्य कार्यों के रेखांकन से परिचित होते हैं। यह एक ऐसा दिलचस्प चार्ट है। यहां तक कि समारोह ….

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

फंक्शन... यह फंक्शन क्या है? आइए ड्राइंग को देखें। सपाट आकृति शीर्ष पर परवलयिक ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में समाकलन चुकता है:, इस प्रकार अभिन्न हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है , जो काफी तार्किक है।

इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

उत्तर:

उदाहरण 2

रेखाओं से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए,

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें, तथा

समाधान: आइए ड्राइंग में एक सपाट आकृति बनाएं, जो रेखाओं से घिरा हो,,,, यह न भूलें कि समीकरण अक्ष को सेट करता है:

सबसे पहले, आइए उस आकृति को देखें जो लाल रंग में परिक्रमा करती है। जब यह धुरी के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। इस काटे गए शंकु का आयतन किसके द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

1) लाल रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित शरीर का आयतन:

उत्तर:

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा किया जाता है, कुछ इस तरह:

अब चलिए एक विराम लेते हैं और ज्यामितीय भ्रम के बारे में बात करते हैं।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सबसे अच्छी थी। पेरेलमैन की वही पुस्तक, 1950 में वापस प्रकाशित हुई, बहुत अच्छी तरह से विकसित हुई, जैसा कि हास्यकार ने कहा, तर्क करना और आपको समस्याओं के मूल गैर-मानक समाधानों की तलाश करना सिखाता है। हाल ही में मैंने कुछ अध्यायों को बहुत रुचि के साथ फिर से पढ़ा, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानवतावादियों के लिए भी सुलभ है। नहीं, आपको मुस्कुराने की ज़रूरत नहीं है कि मैंने सुझाव दिया था कि एक अच्छा शगल, विद्वता और संचार में एक व्यापक दृष्टिकोण एक अच्छी बात है।

एक गेय विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

उदाहरण 4

रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति के अक्ष के परितः घूर्णन द्वारा निर्मित किसी पिंड के आयतन की गणना कीजिए, जहाँ।

यह स्वयं का उदाहरण है। ध्यान दें कि बैंड में सभी चीजें होती हैं, दूसरे शब्दों में, रेडीमेड इंटीग्रेशन लिमिट्स वास्तव में दी गई हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन को सही ढंग से बनाएं, मैं आपको पाठ की सामग्री के बारे में याद दिलाऊंगा रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तन : यदि तर्क दो: से विभाज्य है, तो ग्राफ़ को अक्ष के अनुदिश दो बार खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक प्राप्त करना वांछनीय है त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसार ड्राइंग को अधिक सटीक रूप से पूरा करने के लिए। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें?

के अलावा एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके एक सपाट आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना विषय का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है क्रांति के एक शरीर की मात्रा की गणना. सामग्री सरल है, लेकिन पाठक को तैयार रहना चाहिए: इसे हल करने में सक्षम होना आवश्यक है अनिश्चित समाकलन मध्यम जटिलता और न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को लागू करें समाकलन परिभाषित करें . जैसा कि क्षेत्र खोजने की समस्या के साथ है, आपको आत्मविश्वास से ड्राइंग कौशल की आवश्यकता है - यह लगभग सबसे महत्वपूर्ण बात है (क्योंकि इंटीग्रल स्वयं अक्सर आसान होंगे)। आप पद्धतिगत सामग्री की सहायता से रेखांकन आलेखित करने की सक्षम और तेज़ तकनीक में महारत हासिल कर सकते हैं . लेकिन, वास्तव में, मैंने पाठ में रेखाचित्रों के महत्व के बारे में बार-बार बात की है। .

सामान्य तौर पर, अभिन्न कलन में बहुत सारे दिलचस्प अनुप्रयोग होते हैं; एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके, आप एक आकृति के क्षेत्र, क्रांति के एक शरीर की मात्रा, एक चाप की लंबाई, सतह क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। शरीर का, और भी बहुत कुछ। तो यह मजेदार होगा, कृपया आशावादी बनें!

निर्देशांक तल पर किसी समतल आकृति की कल्पना कीजिए। प्रतिनिधित्व किया? ... मुझे आश्चर्य है कि किसने क्या प्रस्तुत किया ... =))) हम पहले ही इसका क्षेत्र खोज चुके हैं। लेकिन, इसके अलावा, इस आंकड़े को दो तरीकों से घुमाया और घुमाया भी जा सकता है:

– एक्स-अक्ष के आसपास; - y-अक्ष के चारों ओर।

इस लेख में, दोनों मामलों पर चर्चा की जाएगी। रोटेशन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है, यह सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वैसा ही है जैसा कि एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य रोटेशन में होता है। एक बोनस के रूप में, मैं वापस आऊंगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या , और आपको बताते हैं कि दूसरे तरीके से - अक्ष के साथ-साथ क्षेत्र को कैसे खोजा जाए। इतना बोनस भी नहीं जितना कि सामग्री विषय में अच्छी तरह फिट बैठती है।

आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरू करें।

उदाहरण 1

एक अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी हुई आकृति को घुमाकर प्राप्त किए गए पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान:क्षेत्र खोजने की समस्या के रूप में, समाधान एक सपाट आकृति के चित्र के साथ शुरू होता है. यही है, एक विमान पर रेखाओं से बंधी एक आकृति बनाना आवश्यक है, जबकि यह नहीं भूलना चाहिए कि समीकरण अक्ष को सेट करता है। चित्रों को अधिक तर्कसंगत और तेज़ कैसे बनाया जाए, यह पृष्ठों पर पाया जा सकता है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण तथा समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें . यह एक चीनी अनुस्मारक है और मैं इस बिंदु पर नहीं रुकता।

यहाँ चित्र बहुत सरल है:

वांछित सपाट आकृति नीले रंग में छायांकित है, यह वह है जो अक्ष के चारों ओर घूमती है। रोटेशन के परिणामस्वरूप, यह थोड़ा अंडे के आकार का उड़न तश्तरी प्राप्त होता है, जो अक्ष के बारे में सममित है। वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, लेकिन संदर्भ पुस्तक में कुछ देखने के लिए यह बहुत आलसी है, इसलिए हम आगे बढ़ते हैं।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें?

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में फ़ंक्शन चुकता है:, इस प्रकार क्रांति के पिंड का आयतन हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है।

इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

उत्तर:

उदाहरण 2

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

उदाहरण 3

समाधान:आइए ड्राइंग में एक सपाट आकृति को चित्रित करें, जो रेखाओं से घिरा है ,,,, जबकि यह न भूलें कि समीकरण अक्ष सेट करता है:

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

1) लाल रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित शरीर का आयतन:

उत्तर:

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा किया जाता है, कुछ इस तरह:

अब चलिए एक विराम लेते हैं और ज्यामितीय भ्रम के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जो पेरेलमैन (वही नहीं) ने पुस्तक में देखा था दिलचस्प ज्यामिति. हल की गई समस्या में सपाट आकृति को देखें - यह क्षेत्र में छोटा लगता है, और क्रांति के शरीर का आयतन केवल 50 घन इकाई से अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, अपने पूरे जीवन में औसत व्यक्ति 18 वर्ग मीटर के कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है, जो इसके विपरीत, बहुत छोटा लगता है।

एक गेय विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

उदाहरण 4

यह स्वयं का उदाहरण है। कृपया ध्यान दें कि बैंड में सभी चीजें होती हैं, दूसरे शब्दों में, लगभग तैयार एकीकरण सीमाएं दी जाती हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ को सही ढंग से खींचने का भी प्रयास करें, यदि तर्क को दो से विभाजित किया जाता है:, तो ग्राफ़ को अक्ष के साथ दो बार खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक खोजने का प्रयास करें त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसार और ड्राइंग को और सटीक बनाएं। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी ज्यादा दिलचस्प होगा। y-अक्ष के चारों ओर क्रांति के एक निकाय के आयतन की गणना करने का कार्य भी परीक्षण पत्रों में काफी बार-बार आने वाला अतिथि है। पारित करने पर विचार किया जाएगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या दूसरा तरीका - अक्ष के साथ एकीकरण, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको यह भी सिखाएगा कि सबसे लाभदायक समाधान कैसे खोजा जाए। इसका एक व्यावहारिक अर्थ भी है! जैसा कि मेरे गणित शिक्षण विधियों के शिक्षक ने एक मुस्कान के साथ याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें इन शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमारी बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और अपने कर्मचारियों को बेहतर ढंग से प्रबंधित करते हैं।" इस अवसर का लाभ उठाते हुए, मैं उनके प्रति भी अपना बहुत आभार व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग उसके इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

उदाहरण 5

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को देखते हुए ,,।

1) इन रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान:कार्य में दो भाग होते हैं। चलो वर्ग से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र खोजना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? यह "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिसे पाठ में माना गया था। समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें . इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है: - खंड पर ; - खंड पर।

इसीलिए:

एक सीधी रेखा के साथ, सब कुछ आसान है:

अब धुरी को देखें: कृपया समय-समय पर अपने सिर को 90 डिग्री के दाईं ओर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!)। हमें जिस आकृति की आवश्यकता है वह खंड पर है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। उसी समय, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित होती है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र आपके लिए पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . सूत्र में क्या बदलाव आया है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! नोट: अक्ष के साथ एकीकरण की सीमा निर्धारित की जानी चाहिएसख्ती से नीचे से ऊपर तक !

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

मूल एकीकरण प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) इस आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़ा अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

हम धुरी के चारों ओर हरे रंग में परिक्रमा करते हुए आकृति को घुमाते हैं और परिणामी घूर्णन पिंड की मात्रा के माध्यम से नामित करते हैं।

हमारे तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले अनुच्छेद के सूत्र से किस प्रकार भिन्न है? अक्षरों में ही।

परिभाषा 3. क्रांति का पिंड एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त किया गया पिंड है जो आकृति को प्रतिच्छेद नहीं करता है और इसके साथ एक ही तल में स्थित होता है।

रोटेशन की धुरी भी आकृति को काट सकती है यदि यह आकृति की समरूपता की धुरी है।

प्रमेय 2।
, एक्सिस
और सीधी रेखा खंड
तथा

एक अक्ष के चारों ओर घूमता है
. तब क्रांति के परिणामी निकाय के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

(2)

सबूत। ऐसी बॉडी के लिए एब्सिस्सा वाला सेक्शन त्रिज्या का एक वृत्त है
, साधन
और सूत्र (1) वांछित परिणाम देता है।

यदि आंकड़ा दो निरंतर कार्यों के रेखांकन द्वारा सीमित है
तथा
, और रेखा खंड
तथा
, इसके अतिरिक्त
तथा
, फिर भुजिका अक्ष के चारों ओर घूमने पर, हमें एक पिंड मिलता है जिसका आयतन

उदाहरण 3 एक वृत्त से घिरे वृत्त को घुमाकर प्राप्त टोरस के आयतन की गणना करें

एक्स-अक्ष के आसपास।

आर समाधान। निर्दिष्ट सर्कल फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा नीचे से घिरा हुआ है
, और ऊपर -
. इन कार्यों के वर्गों का अंतर:

वांछित मात्रा

(इंटीग्रैंड का ग्राफ ऊपरी अर्धवृत्त है, इसलिए ऊपर लिखा गया इंटीग्रल अर्धवृत्त का क्षेत्रफल है)।

उदाहरण 4 आधार के साथ परवलयिक खंड
, और ऊंचाई , आधार के चारों ओर घूमता है। परिणामी शरीर की मात्रा की गणना करें (कैवलियरी द्वारा "नींबू")।

आर समाधान। परवलय को चित्र में दिखाए अनुसार रखें। तब इसका समीकरण
, तथा
. आइए पैरामीटर का मान ज्ञात करें :
. तो, वांछित मात्रा:

प्रमेय 3. एक निरंतर गैर-ऋणात्मक फ़ंक्शन के ग्राफ से घिरा हुआ एक वक्रीय समलम्बाकार दें
, एक्सिस
और सीधी रेखा खंड
तथा
, इसके अतिरिक्त
, एक अक्ष के चारों ओर घूमता है
. तब क्रांति के परिणामी निकाय का आयतन सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है

(3)

सबूत विचार। खंड को विभाजित करना
डॉट्स

, भागों में और सीधी रेखाएँ खींचना
. संपूर्ण ट्रेपेज़ॉइड स्ट्रिप्स में विघटित हो जाएगा, जिसे आधार के साथ लगभग आयत माना जा सकता है
और ऊंचाई
.

इस तरह के एक आयत के रोटेशन से उत्पन्न सिलेंडर को जेनरेटर के साथ काटा जाता है और सामने लाया जाता है। हमें आयामों के साथ "लगभग" समानांतर चतुर्भुज मिलता है:
,
तथा
. इसकी मात्रा
. तो, क्रांति के शरीर की मात्रा के लिए हमारे पास लगभग समानता होगी

सटीक समानता प्राप्त करने के लिए, हमें की सीमा से गुजरना होगा
. ऊपर लिखा गया योग फलन का अभिन्न योग है
इसलिए, सीमा में हम सूत्र (3) से समाकलन प्राप्त करते हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

टिप्पणी 1. प्रमेय 2 और 3 में, शर्त
छोड़ा जा सकता है: सूत्र (2) आमतौर पर संकेत के प्रति असंवेदनशील होता है
, और सूत्र (3) में यह पर्याप्त है
द्वारा प्रतिस्थापित
.

उदाहरण 5 परवलयिक खंड (आधार
, कद ) ऊंचाई के चारों ओर घूमता है। परिणामी शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान। परवलय को चित्र में दिखाए अनुसार व्यवस्थित करें। और यद्यपि घूर्णन की धुरी आकृति को पार करती है, यह - अक्ष - समरूपता की धुरी है। इसलिए, खंड के केवल दाहिने आधे हिस्से पर विचार किया जाना चाहिए। परवलय समीकरण
, तथा
, साधन
. हमारे पास मात्रा के लिए है:

टिप्पणी 2. यदि एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज की वक्रीय सीमा पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दी जाती है
,
,
तथा
,
फिर सूत्र (2) और (3) प्रतिस्थापन के साथ प्रयोग किया जा सकता है पर
तथा
पर
जब यह बदलता है टीसे
इससे पहले .

उदाहरण 6 आकृति चक्रवात के पहले चाप से घिरी हुई है
,
,
, और भुज अक्ष। इस आकृति को चारों ओर घुमाकर प्राप्त किए गए पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए: 1) अक्ष
; 2) धुरी
.

समाधान। 1) सामान्य सूत्र
हमारे मामले में:

2) सामान्य सूत्र
हमारे आंकड़े के लिए:

हम छात्रों को सभी गणना स्वयं करने के लिए प्रोत्साहित करते हैं।

टिप्पणी 3. मान लीजिए एक वक्रीय त्रिज्यखंड एक सतत रेखा से घिरा है
और किरणें
,

, ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घूमता है। परिणामी निकाय की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है।

उदाहरण 7 कार्डियोइड से घिरी आकृति का भाग
, घेरे के बाहर लेटा हुआ
, ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घूमता है। परिणामी शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान। दोनों रेखाएँ, और इसलिए वे जिस आकृति को सीमित करते हैं, ध्रुवीय अक्ष के बारे में सममित हैं। इसलिए, केवल उस भाग पर विचार करना आवश्यक है जिसके लिए
. वक्र प्रतिच्छेद करते हैं
तथा

पर
. इसके अलावा, इस आंकड़े को दो क्षेत्रों के अंतर के रूप में माना जा सकता है, और इसलिए मात्रा की गणना दो इंटीग्रल के अंतर के रूप में की जा सकती है। हमारे पास है: