निश्चित अभिन्न अभिसरण विचलन कैसे हल करें। निश्चित अभिन्न ऑनलाइन

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प्रत्येक छात्र के लिए, बाधा स्वयं शिक्षक के सामने अनुचित इंटीग्रल की ऑनलाइन गणना है, क्योंकि यह या तो एक परीक्षा है, या एक बोलचाल है, या बस परीक्षणएक जोड़ी पर.. जैसे ही दिया गया अनुचित इंटीग्रल ऑनलाइन कैलकुलेटर आपके निपटान में है, तो तुरंत ड्राइव करें दिया गया कार्य, स्थानापन्न पूर्वनिर्धारित सीमाएँएकीकरण और समाधान बटन पर क्लिक करें, उसके बाद एक पूर्ण विस्तृत उत्तर आपके लिए उपलब्ध होगा। और फिर भी यह अच्छा है जब साइट के रूप में ऐसी कोई अद्भुत साइट हो, क्योंकि यह मुफ़्त और उपयोग में आसान दोनों है, इसमें बहुत सारे खंड भी हैं। जो छात्र हर दिन उपयोग करते हैं, उनमें से एक पूर्ण समाधान के साथ ऑनलाइन एक निश्चित अभिन्न अंग है। उसी खंड में, आप संस्थान और इंजीनियरिंग कार्य दोनों में उत्तर के आगे के अनुप्रयोगों के लिए एक विस्तृत समाधान के साथ अनुचित अभिन्न अंग की ऑनलाइन गणना कर सकते हैं। ऐसा लगता है कि सभी के लिए एक निश्चित अभिन्न ऑनलाइन निर्धारित करना मुश्किल नहीं है, अगर इस तरह के उदाहरण को ऊपरी और निचली सीमा के बिना अग्रिम में हल किया जाता है, जो कि लीबनिज़ अभिन्न नहीं है, लेकिन अनिश्चितकालीन अभिन्न है। लेकिन यहाँ हम स्पष्ट रूप से आपसे असहमत हैं, क्योंकि पहली नज़र में ऐसा लग सकता है, लेकिन एक महत्वपूर्ण अंतर है, चलो सब कुछ अलग कर दें। समाधान इस तरह के एक निश्चित अभिन्न को एक स्पष्ट रूप में नहीं देता है, लेकिन अभिव्यक्ति के एक सीमित मूल्य में परिवर्तन के परिणामस्वरूप होता है। दूसरे शब्दों में, किसी को पहले सीमा के प्रतीकात्मक मूल्यों के प्रतिस्थापन के साथ अभिन्न को हल करना चाहिए, और फिर सीमा की गणना अनंत या एक निश्चित बिंदु पर करनी चाहिए। यहां से, नि: शुल्क समाधान के साथ एक निश्चित अभिन्न ऑनलाइन की गणना करने का मतलब न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके सटीक समाधान का प्रतिनिधित्व करने से ज्यादा कुछ नहीं है। यदि हम अपने निश्चित समाकल पर विचार करते हैं, तो कैलकुलेटर आपकी आंखों के ठीक सामने कुछ सेकंड में इसकी गणना करने में आपकी सहायता करेगा। इस तरह की हड़बड़ी की जरूरत हर किसी को होती है जो जल्द से जल्द कार्य का सामना करना चाहता है और व्यक्तिगत मामलों के लिए मुक्त होना चाहता है। आपको इंटरनेट पर उन साइटों की तलाश नहीं करनी चाहिए जो आपसे पंजीकरण करने के लिए कहेंगी, फिर आपके बैलेंस में पैसे की भरपाई करेंगी, और यह सब कुछ स्मार्ट लोगों के लिए कुछ इंटीग्रल का समाधान तैयार करने के लिए ऑनलाइन माना जाएगा। पता याद रखें कि Math24 एक नि:शुल्क सेट समाधान सेवा है गणित की समस्याओं, सहित हम आपको एक निश्चित इंटीग्रल ऑनलाइन खोजने में मदद करेंगे, और यह सुनिश्चित करने के लिए, कृपया विशिष्ट उदाहरणों पर हमारे कथन की जाँच करें। उपयुक्त क्षेत्र में इंटीग्रैंड दर्ज करें, फिर या तो अनंत सीमा मान निर्दिष्ट करें (इस मामले में, अनुचित इंटीग्रल के समाधान की गणना की जाएगी और ऑनलाइन प्राप्त की जाएगी), या एक विस्तृत समाधान के साथ अपनी संख्यात्मक या प्रतीकात्मक सीमाएं और निश्चित ऑनलाइन इंटीग्रल सेट करें "समाधान" बटन पर क्लिक करने के बाद पृष्ठ पर प्रदर्शित किया जाएगा। क्या यह सच नहीं है - यह बहुत सरल है, आपसे किसी भी अतिरिक्त कार्रवाई की आवश्यकता नहीं है, नि: शुल्क, जो कि सबसे महत्वपूर्ण बात है, और एक ही समय में प्रभावी है। आप स्वयं सेवा का उपयोग कर सकते हैं ताकि निश्चित अभिन्न ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको अधिकतम लाभ पहुंचाए, और आपको सभी कंप्यूटिंग प्रक्रियाओं की जटिलता पर दबाव डाले बिना एक आरामदायक स्थिति मिले, आइए हम आपके लिए सब कुछ करें और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी की पूरी शक्ति का प्रदर्शन करें आधुनिक दुनिया. यदि आप सबसे जटिल फ़ार्मुलों के जंगल में गोता लगाते हैं और अपने दम पर ऑनलाइन अनुचित इंटीग्रल की गणना का अध्ययन करते हैं, तो यह सराहनीय है, और आप पीएचडी थीसिस लिखने के अवसर का दावा कर सकते हैं, लेकिन चलिए वास्तविकता पर वापस आते हैं। छात्र जीवन. और छात्र कौन है? सबसे पहले, यह एक युवा, ऊर्जावान और हंसमुख व्यक्ति है, जो आराम करने और अपना होमवर्क करने के लिए समय चाहता है! इसलिए, हमने उन छात्रों का ध्यान रखा जो विशाल वैश्विक नेटवर्क में एक अनुचित इंटीग्रल ऑनलाइन कैलकुलेटर खोजने की कोशिश कर रहे हैं, और यहाँ यह आपके ध्यान के लिए है - साइट युवा लोगों के लिए सबसे उपयोगी ऑनलाइन सॉल्वर है। वैसे, हालांकि हमारी सेवा छात्रों और स्कूली बच्चों के सहायक के रूप में प्रस्तुत की जाती है, यह किसी भी इंजीनियर के लिए पूरी तरह उपयुक्त है, क्योंकि हम किसी भी प्रकार के कार्य कर सकते हैं और उनका समाधान एक पेशेवर प्रारूप में प्रस्तुत किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम चरणों में पूर्ण रूप में समाधान के साथ एक निश्चित इंटीग्रल ऑनलाइन प्रदान करते हैं, अर्थात, प्रत्येक तार्किक ब्लॉक (उपकार्य) को प्रक्रिया के दौरान सभी गणनाओं के साथ एक अलग रिकॉर्ड सौंपा जाता है। सामान्य समाधान. यह, निश्चित रूप से, मल्टी-स्टेज अनुक्रमिक लेआउट की धारणा को सरल करता है, और इस प्रकार एक विस्तृत समाधान के साथ अनुचित इंटीग्रल ऑनलाइन खोजने के लिए समान सेवाओं पर साइट प्रोजेक्ट का लाभ है।

अभिन्न योग की सीमा के रूप में निश्चित अभिन्न

मौजूद हो सकता है (यानी एक निश्चित अंतिम मूल्य है) केवल तभी शर्तें पूरी होती हैं

यदि इनमें से कम से कम एक शर्त का उल्लंघन किया जाता है, तो परिभाषा अपना अर्थ खो देती है। दरअसल, एक अनंत खंड के मामले में, उदाहरण के लिए [ एक; ) इसे तोड़ा नहीं जा सकता पीपरिमित लंबाई के हिस्से
, जो, इसके अलावा, खंडों की संख्या में वृद्धि के साथ शून्य हो जाएगा। किसी बिंदु पर अनबाउंड के मामले में साथ[एक; बी] किसी बिंदु के मनमाना चयन की आवश्यकता का उल्लंघन होता है आंशिक खंडों पर - चयनित नहीं किया जा सकता =साथ, क्योंकि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान अपरिभाषित है। हालांकि, इन मामलों के लिए सीमा के लिए एक और मार्ग शुरू करके एक निश्चित अभिन्न की धारणा को भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। अनंत अंतरालों पर और असंतुलित (अनबाउंड) कार्यों से इंटीग्रल कहलाते हैं गैर-खुद.

परिभाषा।

समारोह होने दें
अंतराल पर परिभाषित [ एक; ) और किसी भी परिमित अंतराल पर पूर्णांक है [ एक; बी], अर्थात। मौजूद
किसी के लिए भी बी > एक. देखने की सीमा
बुलाया अभिन्न अनुचित पहली तरह (या एक अनंत अंतराल पर अनुचित अभिन्न द्वारा) और निरूपित करें
.

इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार,
=
.

यदि दाईं ओर की सीमा मौजूद है और परिमित है, तो अनुचित अभिन्न
बुलाया अभिसारी . यदि यह सीमा अपरिमित है, या बिल्कुल भी अस्तित्व में नहीं है, तो अनुचित समाकल कहा जाता है विचलन .

इसी प्रकार, हम किसी फलन के अनुचित समाकलन की अवधारणा का परिचय दे सकते हैं
अंतराल द्वारा (–; बी]:

=
.

और समारोह का अनुचित अभिन्न अंग
अंतराल पर (–; +) को ऊपर पेश किए गए इंटीग्रल के योग के रूप में परिभाषित किया गया है:

=
+
,

कहां एकमनमाना बिंदु है। यह अभिन्न अभिसरण करता है यदि दोनों शब्द अभिसरण और विचलन करते हैं यदि कम से कम एक शब्द अलग हो जाता है।

एक ज्यामितीय दृष्टिकोण से, अभिन्न
,
, फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा ऊपर से बंधे एक अनंत वक्रीय ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र का संख्यात्मक मान निर्धारित करता है
, बाएँ - सीधे
, नीचे से - OX अक्ष। इंटीग्रल के अभिसरण का मतलब है कि इस तरह के ट्रेपेज़ॉइड के एक परिमित क्षेत्र का अस्तित्व और इसकी समानता एक चलती हुई दाहिनी दीवार के साथ एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की सीमा तक
.

एक अनंत सीमा के साथ अभिन्न के मामले में, सामान्यीकरण भी किया जा सकता है न्यूटन-लीबनिज सूत्र:

=
= एफ ( + ) - एफ ( एक),

जहां एफ ( + ) =
. यदि यह सीमा मौजूद है, तो अभिन्न अभिसरण होता है, अन्यथा यह विचलन करता है।

हमने अनंत अंतराल के मामले में एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा के सामान्यीकरण पर विचार किया है।

आइए अब एक असीमित फलन के मामले के लिए एक सामान्यीकरण पर विचार करें।

परिभाषा

समारोह होने दें
अंतराल पर परिभाषित [ एक; बी), बिंदु के कुछ पड़ोस में असीमित है बी, और किसी भी खंड पर निरंतर है
, कहा पे>0 (और, इसलिए, इस खंड पर पूर्णांक है, यानी
मौजूद)। देखने की सीमा
बुलाया दूसरी तरह का अनुचित अभिन्न (या एक असीम कार्य के अनुचित अभिन्न द्वारा) और निरूपित किया जाता है
.

इस प्रकार, एक बिंदु पर अपरिबद्ध का अनुचित समाकलन बीकार्य परिभाषा के अनुसार हैं

=
.

यदि दाईं ओर की सीमा मौजूद है और परिमित है, तो समाकल कहा जाता है अभिसारी. यदि कोई परिमित सीमा नहीं है, तो अनुचित समाकल कहलाता है भिन्न।

इसी तरह, कोई भी फलन के अनुचित समाकल को परिभाषित कर सकता है
एक बिंदु पर एक अनंत विच्छिन्नता होना एक:

=
.

यदि समारोह
एक आंतरिक बिंदु पर एक अनंत विच्छिन्नता है साथ
, तो अनुचित अभिन्न को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है

=
+
=
+
.

यह समाकल अभिसरित होता है यदि दोनों पद अभिसरित होते हैं और भिन्न होते हैं यदि कम से कम एक पद अपसारी होता है।

एक ज्यामितीय दृष्टिकोण से, एक अनबाउंड फ़ंक्शन का अनुचित अभिन्न अंग भी एक अनबाउंड कर्विलीनियर ट्रैपेज़ॉइड के क्षेत्र की विशेषता है:

चूंकि अनुचित अभिन्न को निश्चित अभिन्न से सीमा तक पारित करके प्राप्त किया जाता है, तो निश्चित अभिन्न के सभी गुणों को (उचित परिशोधन के साथ) पहले और दूसरे प्रकार के अनुचित अभिन्नों में स्थानांतरित किया जा सकता है।

कई समस्याओं में जो अनुचित इंटीग्रल की ओर ले जाती हैं, यह जानना आवश्यक नहीं है कि यह इंटीग्रल किसके बराबर है, यह केवल यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि यह अभिसरण या विचलन करता है। इस प्रयोग के लिए अभिसरण के संकेत. अनुचित इंटीग्रल के अभिसरण के संकेत:

1) तुलना चिह्न.

चलो सबके लिए एक्स

. तो अगर
एकाग्र होता है, फिर एकाग्र होता है और
, और

. यदि
विचलन, फिर विचलन और
.

2) यदि अभिसरण होता है
, फिर अभिसरण करता है और
(इस मामले में अंतिम अभिन्न कहा जाता है बिल्कुल अभिसरण).

अपरिबद्ध फलनों के अनुचित समाकलों के अभिसरण और अपसरण के मानदंड ऊपर तैयार किए गए समान हैं।

समस्या समाधान के उदाहरण।

उदाहरण 1

एक)
; बी)
; में)

जी)
; इ)
.

फैसला।

ए) परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

.

बी) इसी तरह

इसलिए, यह समाकल अभिसरित होता है और इसके बराबर होता है .

ग) परिभाषा के अनुसार
=
+
, इसके अतिरिक्त, एकमनमानी संख्या है। आइए हमारे मामले में डालते हैं
, तो हमें मिलता है:

यह अभिन्न अभिसरण करता है।

तो यह अभिन्न विचलन करता है।

ई) विचार करें
. इंटीग्रैंड के प्रतिपक्षी को खोजने के लिए, भागों द्वारा एकीकरण की विधि को लागू करना आवश्यक है। तब हमें मिलता है:

चूंकि न तो
, और न
मौजूद नहीं है, तो मौजूद नहीं है और

इसलिए, यह अभिन्न विचलन करता है।

उदाहरण 2

अभिन्न के अभिसरण की जांच करें इस पर निर्भर पी.

फैसला।

पर
अपने पास:

यदि
, तब
और। इसलिए, अभिन्न विचलन करता है।

यदि
, तब
, एक
, तब

=,

इसलिए, अभिन्न अभिसरण करता है।

यदि
, तब

इसलिए अभिन्न विचलन।

इस प्रकार,

उदाहरण 3

अनुचित अभिन्न की गणना करें या इसका विचलन निर्धारित करें:

एक)
; बी)
; में)
.

फैसला।

ए) अभिन्न
दूसरी तरह का एक अनुचित अभिन्न अंग है, क्योंकि integrand
एक बिंदु पर सीमित नहीं

. फिर, परिभाषा के अनुसार,

.

समाकल अभिसरित होता है और इसके बराबर होता है .

बी) विचार करें
. यहाँ भी, समाकलन बिन्दु पर परिबद्ध नहीं है
. इसलिए, यह अभिन्न दूसरी तरह का अनुचित है और, परिभाषा के अनुसार,

इसलिए, अभिन्न विचलन करता है।

ग) विचार करें
. एकीकृत
दो बिंदुओं पर एक अनंत विच्छिन्नता का सामना करना पड़ता है:
और
, जिनमें से पहला एकीकरण के अंतराल से संबंधित है
. इसलिए, यह अभिन्न दूसरी तरह का अनुचित है। फिर, परिभाषा के अनुसार

=

=

.

इसलिए, समाकल अभिसरित होता है और इसके बराबर होता है
.

समाकलन परिभाषित करें

\[ मैं=\int_a^बीएफ(एक्स)डीएक्स \]

इस धारणा के तहत बनाया गया था कि संख्याएँ $a,\,b$ परिमित हैं और $f(x)$ एक सतत कार्य है। यदि इन धारणाओं में से एक का उल्लंघन किया जाता है, तो अनुचित अभिन्नता की बात की जाती है।

10.1 पहली तरह के अनुचित इंटीग्रल

के अनुसार, पहली तरह का एक अनुचित अभिन्न अंग उत्पन्न होता है कम से कमसंख्याओं में से एक $a,\,b$ अनंत है।

10.1.1 परिभाषा और बुनियादी गुण

आइए पहले उस स्थिति पर विचार करें जब एकीकरण की निचली सीमा परिमित है और ऊपरी सीमा $+\infty$ के बराबर है; अन्य विकल्पों पर बाद में चर्चा की जाएगी। हमारे लिए ब्याज के सभी $x$ के लिए निरंतर $f(x)$ के लिए, अभिन्न पर विचार करें

\begin(equation) I=\int _a^(+\infty)f(x)dx. \ क्वाड (19) \ लेबल (inf1) \ अंत (समीकरण)

सबसे पहले, इस अभिव्यक्ति का अर्थ स्थापित करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन का परिचय देते हैं

\[ I(N)=\int _a^(N)f(x)dx \]

और इसके व्यवहार को $N\rightarrow +\infty$ के रूप में मानें।

परिभाषा। एक सीमा हो

\[ A=\lim_(N \rightarrow +\infty)I(N)=\lim_(N \rightarrow +\infty)\int _a^(N)f(x)dx. \]

फिर पहली तरह (19) के अनुचित अभिन्न अंग को अभिसरण करने के लिए कहा जाता है और मान $A$ इसे सौंपा गया है, फ़ंक्शन को ही अंतराल पर पूर्णांक कहा जाता है $\left[ a, \, +\infty \right)$ . यदि संकेतित सीमा मौजूद नहीं है या यह $\pm \infty$ के बराबर है, तो अभिन्न (19) को विचलन कहा जाता है।

प्रथम प्रकार के अनुचित समाकलों के अभिसरण में साधारण निश्चित समाकलों के सभी मानक गुण होते हैं।

1. यदि $f(x)$, $g(x)$ अंतराल $\left[ a, \, +\infty \right)$ पर पूर्णांक हैं, तो उनका योग $f(x)+g(x) $ भी इस अंतराल पर पूर्णांक है, और \[ \int _a^(+\infty)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(+\infty)f(x )dx+\int _a^(+\infty)g(x)dx. \] 2. यदि $f(x)$ अंतराल $\left[ a, \, +\infty \right)$ पर पूर्णांक है, तो किसी भी स्थिरांक $C$ के लिए फ़ंक्शन $C\cdot f(x)$ इस अंतराल पर भी पूर्णांक है, और \[ \int _a^(+\infty)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 3. यदि $f(x)$ इस अंतराल पर $\left[ a, \, +\infty \right)$ और $f(x)>0$ पर पूर्णांक है, तो \[ \int _a ^ (+\infty) f(x)dx\,>\,0। \] 4. यदि $f(x)$ अंतराल $\बाएं[ a, \, +\infty \right)$ पर पूर्णांक है, तो किसी भी $b>a$ के लिए अभिन्न \[ \int _b^(+) \infty) f(x)dx \] अभिसरित होता है, और \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx=\int _a^(b) f(x)dx+\int _b^(+\infty) ) f( x)dx \] (अंतराल पर समाकल की योज्यता)।

चर के परिवर्तन, भागों द्वारा एकीकरण आदि के सूत्र भी मान्य हैं। (प्राकृतिक आरक्षण के साथ)।

आइए अब हम उस स्थिति पर विचार करें जब समाकलन की निचली सीमा $-\infty$ के बराबर हो और ऊपरी सीमा परिमित हो, अर्थात अभिन्न पर विचार करें

\[ मैं=\int _(-\infty)^af(x)dx. \]

हालाँकि, इस संस्करण को पिछले वाले तक कम किया जा सकता है यदि हम चर $x=-s$ में परिवर्तन करते हैं और फिर एकीकरण की सीमाओं को स्वैप करते हैं, ताकि

\[ मैं=\int _(-a)^(+\infty)g(s)ds, \]

$g(s)=f(-s)$. आइए अब उस स्थिति पर विचार करें जब दो अपरिमित सीमाएँ हों, अर्थात् अभिन्न

\begin(equation) I=\int _(-\infty)^(+\infty)f(x)dx, \quad (21) \label(intr) \end(equation)

जहां $f(x)$ सभी $x \in \mathbb(R)$ के लिए निरंतर है। आइए अंतराल को दो भागों में विभाजित करें: $c \in \mathbb(R)$ लें, और दो अभिन्न पर विचार करें,

\[ I_1=\int _(-\infty)^(c)f(x)dx, \quad I_2=\int _(c)^(+\infty)f(x)dx. \]

परिभाषा। यदि दोनों अभिन्न $I_1$, $I_2$ एकाग्र होते हैं, तो अभिन्न (21) को अभिसरण कहा जाता है, इसे $I=I_1+I_2$ मान दिया जाता है (अंतराल योगात्मकता के अनुसार)। यदि कम से कम एक इंटीग्रल $I_1$, $I_2$ डायवर्ज होता है, तो इंटीग्रल (21) को डायवर्जेंट कहा जाता है।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि समाकल (21) का अभिसरण बिंदु $c$ की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

अनुचित अभिन्नएकीकरण अंतराल $\left(-\infty, \, c \right]$ या $(-\infty, \, +\infty)$ के साथ 1 प्रकार में भी निश्चित इंटीग्रल के सभी मानक गुण होते हैं (एक संबंधित सुधार के साथ जो लेता है एकीकरण अंतराल की पसंद को ध्यान में रखते हुए)।

10.1.2 प्रथम प्रकार के अनुचित समाकलों के अभिसरण के लिए मानदंड

प्रमेय (तुलना का पहला संकेत)। चलो $f(x)$, $g(x)$ $x>a$ के लिए निरंतर रहें, और $0 a$ दें। फिर

1. यदि समाकल \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx \] अभिसरित होता है, तो समाकल \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx भी अभिसरित होता है। \] 2. यदि समाकल \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx \] अपसरित होता है, तो समाकल \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx भी अपसरित होता है। \]

प्रमेय (तुलना का दूसरा संकेत)। चलो $f(x)$, $g(x)$ $x>a$ के लिए निरंतर और सकारात्मक रहें, और एक सीमित सीमा होने दें

\[ \theta = \lim_(x \rightarrow +\infty) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

फिर अभिन्न

\[ \int _a^(+\infty)f(x)dx, \quad \int _a^(+\infty)g(x)dx \]

एक ही समय में अभिसरण या विचलन।

आप अब भी यहीं हैं? =) नहीं, मैंने किसी को डराने की कोशिश नहीं की, यह सिर्फ इतना है कि अनुचित इंटीग्रल्स का विषय इस बात का बहुत अच्छा उदाहरण है कि उच्च गणित और अन्य सटीक विज्ञानों को चलाना कितना महत्वपूर्ण नहीं है। साइट पर पाठ में महारत हासिल करने के लिए सब कुछ है - एक विस्तृत और सुलभ रूप में, एक इच्छा होगी ...।

चलिए, शुरू करते हैं। आलंकारिक रूप से बोलना, एक अनुचित अभिन्न एक "उन्नत" निश्चित अभिन्न है, और वास्तव में उनके साथ बहुत सारी कठिनाइयाँ नहीं हैं, इसके अलावा, एक अनुचित अभिन्न का एक बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ है।

अनुचित अभिन्न की गणना करने का क्या अर्थ है?

अनुचित इंटीग्रल की गणना करें - इसका मतलब एक नंबर खोजना है(निश्चित समाकल के समान ही), या साबित करें कि यह विचलन करता है(अर्थात, संख्या के बजाय अनंत पर समाप्त होता है)।

अनुचित समाकल दो प्रकार के होते हैं।

एकीकरण की अनंत सीमा(ओं) के साथ अनुचित समाकलन

कभी-कभी ऐसे अनुचित समाकलन को कहा जाता है पहली तरह का अनुचित अभिन्न. पर सामान्य रूप से देखेंएक अनंत सीमा के साथ एक अनुचित अभिन्न अंग अक्सर ऐसा दिखता है: . यह निश्चित समाकल से किस प्रकार भिन्न है? ऊपरी सीमा में। यह अंतहीन है:

कम आम एक अनंत निचली सीमा या दो अनंत सीमाओं के साथ अभिन्न अंग हैं: और हम उन पर बाद में विचार करेंगे - जब आपको स्वाद मिलेगा :)

खैर, अब सबसे लोकप्रिय मामले का विश्लेषण करते हैं। अधिकांश उदाहरणों में, इंटीग्रैंड फ़ंक्शन निरंतरबीच में और यह एक महत्वपूर्ण तथ्य पहले जांचने के लिए!यदि अंतराल हैं, तो अतिरिक्त सूक्ष्मताएं हैं। निश्चितता के लिए, हम मान लेते हैं कि फिर भी ठेठ वक्रीय चतुर्भुजइस तरह दिखेगा:

ध्यान दें कि यह अनंत है (दाईं ओर बाध्य नहीं है), और अभिन्न अनुचितसंख्यात्मक रूप से इसके क्षेत्रफल के बराबर. इस मामले में, निम्नलिखित विकल्प संभव हैं:

1) पहला विचार जो मन में आता है वह है: “चूँकि आकृति अनंत है, तब ”, दूसरे शब्दों में, क्षेत्र भी अनंत है। तो यह हो सकता है।इस मामले में, हम कहते हैं कि अनुचित अभिन्न विचलन.

2) लेकिन. जैसा कि यह विरोधाभासी लग सकता है, एक अनंत आकृति का क्षेत्रफल ... एक परिमित संख्या के बराबर हो सकता है! उदाहरण के लिए: । यह हो सकता है? आसान। दूसरे मामले में, अनुचित अभिन्न अभिसरण.

3) तीसरे विकल्प के बारे में थोड़ी देर बाद।

एक अनुचित समाकलन कब अपसरित होता है और कब अभिसरित होता है? यह इंटीग्रैंड पर निर्भर करता है, और हम जल्द ही ठोस उदाहरण देखेंगे।

लेकिन क्या होता है यदि एक अनंत वक्रीय समलंब अक्ष के नीचे स्थित हो? इस मामले में, अनुचित अभिन्न (विचलन) या परिमित ऋणात्मक संख्या के बराबर है।

इस प्रकार, अनुचित अभिन्न नकारात्मक हो सकता है.

महत्वपूर्ण!जब कोई अनुचित समाकल आपको हल करने के लिए पेश किया जाता है, तब, आम तौर पर बोलना, किसी क्षेत्र की बात नहीं है और ड्राइंग बनाने की कोई जरूरत नहीं है. ज्यामितीय भावमैंने सामग्री को समझने में आसान बनाने के लिए ही अनुचित अभिन्न के बारे में बताया।

चूँकि अनुचित समाकल निश्चित समाकल के समान है, तो हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को याद करते हैं: . वास्तव में, सूत्र अनुचित इंटीग्रल पर भी लागू होता है, केवल इसे थोड़ा संशोधित करने की आवश्यकता होती है। क्या अंतर है? एकीकरण की अनंत ऊपरी सीमा में: . शायद, बहुतों ने अनुमान लगाया है कि यह पहले से ही सीमा के सिद्धांत को लागू करने की बू आ रही है, और सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा: .

यह निश्चित समाकल से किस प्रकार भिन्न है? हाँ, कुछ खास नहीं! एक निश्चित अभिन्न के रूप में, आपको एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन (अनिश्चित अभिन्न) खोजने में सक्षम होना चाहिए, न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को लागू करने में सक्षम होना चाहिए। केवल एक चीज जो जोड़ी गई है वह सीमा की गणना है। उनके साथ कौन बुरा है, सबक सीखो कार्यों की सीमा। समाधान उदाहरणक्योंकि सेना की तुलना में देर से ही सही।

दो क्लासिक उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 1

स्पष्टता के लिए, मैं एक चित्र बनाऊंगा, हालांकि, मैं एक बार फिर जोर देता हूं, अभ्यास पर इस कार्य में चित्र बनाना आवश्यक नहीं है.

समाकलन अर्ध-अंतराल पर निरंतर है, जिसका अर्थ है कि सब कुछ ठीक है और "नियमित" विधि का उपयोग करके अनुचित समाकलन की गणना की जा सकती है।

हमारे सूत्र का अनुप्रयोग और समाधान इस तरह दिखता है:

यही है, अनुचित इंटीग्रल डायवर्ज, और छायांकित वक्रीय ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र अनंत के बराबर है।

विचार किए गए उदाहरण में, हमारे पास सबसे सरल सारणीबद्ध समाकलन है और निश्चित समाकलन के रूप में न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को लागू करने की एक ही तकनीक है। लेकिन यह सूत्र सीमा के चिह्न के अंतर्गत लागू होता है। "गतिशील" चर के सामान्य अक्षर के बजाय, "बी" अक्षर प्रकट होता है। यह भ्रमित या भ्रमित नहीं होना चाहिए, क्योंकि कोई भी पत्र मानक "एक्स" से भी बदतर नहीं है।

यदि आप यह नहीं समझते हैं कि ऐसा क्यों है, तो यह बहुत बुरा है, या तो आप सरल सीमाओं को नहीं समझते हैं (और यह भी नहीं समझते हैं कि सीमा क्या है), या आप नहीं जानते कि ग्राफ़ कैसा दिखता है लघुगणक समारोह. दूसरे मामले में, पाठ पर जाएँ प्रारंभिक कार्यों के रेखांकन और गुण.

अनुचित इंटीग्रल को हल करते समय, यह जानना बहुत महत्वपूर्ण है कि मुख्य प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़ कैसे दिखते हैं!

एक साफ-सुथरी जॉब डिजाइन कुछ इस तरह दिखनी चाहिए:

“

! एक उदाहरण तैयार करते समय, हम हमेशा समाधान को बाधित करते हैं और इंगित करते हैं कि इंटीग्रैंड का क्या होता है – समाकलन के अंतराल पर यह सतत है या नहीं. इसके द्वारा हम अनुचित अभिन्न के प्रकार की पहचान करते हैं और आगे की कार्रवाइयों की पुष्टि करते हैं।

उदाहरण 2

अनुचित अभिन्न की गणना करें या इसके विचलन को स्थापित करें।

आइए एक चित्र बनाते हैं:

सबसे पहले, हम निम्नलिखित पर ध्यान देते हैं: समाकलन अर्ध-अंतराल पर सतत होता है। अच्छा। सूत्र से हल करना :

(1) हम का सरलतम समाकल लेते हैं ऊर्जा समीकरण(यह विशेष मामला कई तालिकाओं में पाया जाता है)। माइनस को लिमिट साइन से तुरंत आगे बढ़ाना बेहतर है ताकि आगे की गणना में यह नीचे न गिरे।

(2) हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं।

(3) हम इंगित करते हैं कि कब (सज्जनों, यह लंबे समय से समझा गया है) और उत्तर को सरल करें।

यहाँ, एक अनंत घुमावदार चतुर्भुज का क्षेत्रफल एक परिमित संख्या के बराबर है! बात अविश्वसनीय जरूर है, लेकिन सही है।

उदाहरण का साफ डिजाइन कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

“

इंटीग्रैंड निरंतर चालू है

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यदि आप एक अभिन्न अंग के साथ आते हैं तो क्या करें अत्यंत तनावग्रस्त स्थितिएकीकरण के अंतराल पर? इसका मतलब है कि उदाहरण में एक टाइपो है (सबसे अधिक संभावना)या शिक्षा का उन्नत स्तर। बाद के मामले में, के कारण योगात्मक गुण, किसी को अंतरालों पर दो अनुचित समाकलों पर विचार करना चाहिए और फिर योग के साथ व्यवहार करना चाहिए।

कभी-कभी, टाइपो या अनुचित इंटीग्रल के इरादे के कारण, यह हो सकता है बिल्कुल मौजूद नहीं है, इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि "x" का वर्गमूल उपरोक्त समाकल के हर में रखा जाता है, तो समाकलन अंतराल का भाग समाकलन की परिभाषा के क्षेत्र में बिल्कुल भी प्रवेश नहीं करेगा।

इसके अलावा, सभी "स्पष्ट भलाई" के साथ भी एक अनुचित अभिन्न अंग मौजूद नहीं हो सकता है। क्लासिक उदाहरण:। कोसाइन की निश्चितता और निरंतरता के बावजूद, ऐसा अनुचित इंटीग्रल मौजूद नहीं है! क्यों? यह बहुत आसान है क्योंकि:
- मौजूद नहीं संगत सीमा.

और ऐसे उदाहरण, हालांकि दुर्लभ हैं, व्यवहार में पाए जाते हैं! इस प्रकार, अभिसरण और विचलन के अतिरिक्त, पूर्ण उत्तर के साथ समाधान का तीसरा परिणाम भी है: "कोई अनुचित समाकलन नहीं है।"

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक अनुचित अभिन्न की एक कठोर परिभाषा ठीक सीमा के संदर्भ में दी गई है, और जो लोग इसके साथ खुद को परिचित करना चाहते हैं शैक्षिक साहित्य. अच्छा, हम जारी रखते हैं व्यावहारिक सबकऔर अधिक सार्थक कार्यों के लिए आगे बढ़ें:

उदाहरण 3

अनुचित अभिन्न की गणना करें या इसके विचलन को स्थापित करें।

सबसे पहले, एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन (अनिश्चित अभिन्न) को खोजने का प्रयास करें। यदि हम ऐसा करने में विफल रहते हैं, तो स्वाभाविक रूप से हम अनुचित समाकल को भी हल नहीं करेंगे।

कौन सा टेबल इंटीग्रल इंटेग्रैंड जैसा दिखता है? यह मुझे चाप स्पर्शरेखा की याद दिलाता है: . इन विचारों से, विचार से ही पता चलता है कि भाजक में एक वर्ग प्राप्त करना अच्छा होगा। यह प्रतिस्थापन द्वारा किया जाता है।

आइए प्रतिस्थापित करें:

अनिश्चितकालीन अभिन्न पाया गया है, इस मामले में एक स्थिरांक जोड़ने का कोई मतलब नहीं है।

एक मसौदे पर, जाँच करना हमेशा उपयोगी होता है, अर्थात परिणाम को अलग करने के लिए:

मूल पूर्णांक प्राप्त किया गया था, जिसका अर्थ है कि अनिश्चितकालीन अभिन्न सही पाया गया था।

अब हम अनुचित अभिन्न पाते हैं:

(1) हम सूत्र के अनुसार हल लिखते हैं . स्थिरांक को तुरंत सीमा चिह्न से आगे ले जाना बेहतर होता है ताकि यह आगे की गणनाओं में हस्तक्षेप न करे।

(2) हम ऊपरी और निचली सीमाओं को न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र के अनुसार प्रतिस्थापित करते हैं। क्यों पर ? पहले से ही बार-बार अनुशंसित लेख में चाप स्पर्शरेखा ग्राफ देखें।

(3) हमें अंतिम उत्तर मिलता है। तथ्य यह है कि यह दिल से जानना उपयोगी है।

उन्नत छात्र अलग से अनिश्चितकालीन अभिन्न नहीं पा सकते हैं, और प्रतिस्थापन विधि का उपयोग नहीं करते हैं, लेकिन फ़ंक्शन को अंतर चिह्न के तहत योग करने की विधि का उपयोग करते हैं और अनुचित अभिन्न को "तुरंत" हल करते हैं। इस मामले में, समाधान कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

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इंटीग्रैंड निरंतर चालू है।

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उदाहरण 4

अनुचित अभिन्न की गणना करें या इसके विचलन को स्थापित करें।

! यह विशिष्ट उदाहरण, और समान समाकल बहुत सामान्य हैं। यह अच्छी तरह से काम करो! प्रतिकारक कार्ययहाँ एक पूर्ण वर्ग का चयन करने की विधि है, विधि के बारे में अधिक विवरण इस पाठ में पाया जा सकता है कुछ अंशों का एकीकरण.

उदाहरण 5

अनुचित अभिन्न की गणना करें या इसके विचलन को स्थापित करें।

इस समाकल को विस्तार से हल किया जा सकता है, अर्थात् पहले चर बदलकर अनिश्चित समाकल ज्ञात कीजिए। और आप इसे "तुरंत" हल कर सकते हैं - अंतर के संकेत के तहत फ़ंक्शन को जोड़ कर। जिसकी कुछ गणितीय पृष्ठभूमि है।

पूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

एकीकरण की अनंत निचली सीमा वाले अनुचित समाकलों के समाधान के उदाहरण पृष्ठ पर देखे जा सकते हैं अनुचित इंटीग्रल को हल करने के लिए कुशल तरीके. मामला जहां दोनों एकीकरण सीमाएं अनंत हैं वहां भी माना जाता है।

असीमित कार्यों के अनुचित अभिन्न अंग

या दूसरी तरह के अनुचित अभिन्न. दूसरी तरह के अनुचित इंटीग्रल सामान्य निश्चित इंटीग्रल के तहत चालाकी से "सिफर" होते हैं और बिल्कुल समान दिखते हैं: लेकिन, निश्चित इंटीग्रल के विपरीत, इंटीग्रैंड एक अनंत विच्छिन्नता (मौजूद नहीं है): 1) बिंदु पर, 2) या बिंदु पर, 3) या दोनों बिंदुओं पर एक साथ, 4) या एकीकरण के अंतराल पर भी। हम पहले दो मामलों पर विचार करेंगे, लेख के अंत में 3-4 मामलों के लिए एक अतिरिक्त पाठ का लिंक है।

इसे स्पष्ट करने के लिए सिर्फ एक उदाहरण:। यह एक निश्चित अभिन्न प्रतीत होता है। लेकिन वास्तव में, यह दूसरी तरह का एक अनुचित अभिन्न अंग है, अगर हम निचली सीमा के मूल्य को पूर्णांक में बदल देते हैं, तो भाजक गायब हो जाता है, अर्थात इस बिंदु पर पूर्णांक मौजूद नहीं है!

सामान्य तौर पर, अनुचित अभिन्न का विश्लेषण करते समय इंटीग्रैंड में दोनों एकीकरण सीमाओं को प्रतिस्थापित करना हमेशा आवश्यक होता है. इस संबंध में, हम ऊपरी सीमा की भी जाँच करते हैं: . यहाँ सब कुछ अच्छा है।

अनुचित इंटीग्रल की मानी गई विविधता के लिए कर्विलीनियर ट्रैपेज़ॉइड मौलिक रूप से इस तरह दिखता है:

यहां, लगभग सब कुछ वैसा ही है जैसा कि पहली तरह का अभिन्न अंग है।

हमारा अभिन्न संख्यात्मक है क्षेत्रफल के बराबरएक हैटेड कर्विलीनियर ट्रैपेज़ॉइड जो ऊपर से घिरा नहीं है। इस मामले में, दो विकल्प हो सकते हैं *: अनुचित अभिन्न विचलन (क्षेत्र अनंत है) या अनुचित अभिन्न एक परिमित संख्या के बराबर है (अर्थात, एक अनंत आकृति का क्षेत्र परिमित है!)।

* डिफ़ॉल्ट रूप से, हम आदतन यह मान लेते हैं कि अनुचित समाकल मौजूद है

यह केवल न्यूटन-लीबनिज सूत्र को संशोधित करने के लिए बनी हुई है। इसे भी सीमा की मदद से संशोधित किया जाता है, लेकिन सीमा अब अनंत तक नहीं जाती है, लेकिन दाईं ओर मान के लिए।ड्राइंग के साथ पालन करना आसान है: अक्ष के साथ, हमें ब्रेकिंग पॉइंट को असीम रूप से बंद करना चाहिए दाहिनी ओर.

आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे लागू किया जाता है।

उदाहरण 6

अनुचित अभिन्न की गणना करें या इसके विचलन को स्थापित करें।

इंटीग्रैंड एक बिंदु पर एक अनंत विराम से ग्रस्त है (यदि ऊपरी सीमा के साथ सब कुछ ठीक है तो मौखिक रूप से या ड्राफ्ट पर जांच करना न भूलें!)

सबसे पहले, हम अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना करते हैं:

प्रतिस्थापन:

जिन लोगों को प्रतिस्थापन में कठिनाई हो रही है, उनके लिए यह पाठ देखें अनिश्चितकालीन अभिन्न में प्रतिस्थापन विधि.

हम अनुचित अभिन्न की गणना करते हैं:

(1) यहाँ नया क्या है? तकनीक के मामले में व्यावहारिक रूप से कुछ भी नहीं। केवल एक चीज जो बदली है वह है सीमा चिह्न के अंतर्गत प्रविष्टि: . जोड़ का अर्थ है कि हम दाईं ओर मान के लिए लक्ष्य कर रहे हैं (जो तार्किक है - ग्राफ देखें)। सीमा के सिद्धांत में ऐसी सीमा कहलाती है एकतरफा सीमा. इस मामले में हमारे पास है दाहिने हाथ की सीमा.

(2) हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं।

(3) पर व्यवहार करना। आप कैसे निर्धारित करते हैं कि अभिव्यक्ति कहाँ जा रही है? मोटे तौर पर, आपको केवल इसमें मूल्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है, तीन तिमाहियों को स्थानापन्न करें और इंगित करें कि। उत्तर तलाशी।

इस मामले में, अनुचित अभिन्न एक ऋणात्मक संख्या के बराबर है। इसमें कोई अपराध नहीं है, बस अक्ष के नीचे संबंधित कर्वीलाइनर ट्रेपेज़ॉइड स्थित है।

और अब एक स्वतंत्र निर्णय के लिए दो उदाहरण।

उदाहरण 7

अनुचित अभिन्न की गणना करें या इसके विचलन को स्थापित करें।

उदाहरण 8

अनुचित अभिन्न की गणना करें या इसके विचलन को स्थापित करें।

यदि बिंदु पर इंटीग्रैंड मौजूद नहीं है

इस तरह के एक अनुचित अभिन्न अंग के लिए एक अनंत वक्रता समलम्बाकार मूल रूप से ऐसा दिखता है।