बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है। एक ज्यामितीय आकृति के रूप में सिलेंडर

विज्ञान का नाम "ज्यामिति" का अनुवाद "पृथ्वी की माप" के रूप में किया गया है। यह बहुत पहले प्राचीन भूमि सर्वेक्षणकर्ताओं के प्रयासों से पैदा हुआ था। और यह इस तरह हुआ: पवित्र नील नदी की बाढ़ के दौरान, पानी की धाराएँ कभी-कभी किसानों के भूखंडों की सीमाओं को धो देती थीं, और नई सीमाएँ पुरानी सीमाओं से मेल नहीं खाती थीं। भूमि आवंटन के आकार के अनुपात में किसानों द्वारा फिरौन के खजाने में करों का भुगतान किया जाता था। स्पिल के बाद नई सीमाओं के भीतर कृषि योग्य भूमि के क्षेत्रों को मापने में विशेष लोग लगे हुए थे। उनकी गतिविधियों के परिणामस्वरूप ही एक नए विज्ञान का उदय हुआ, जिसका विकास भारत में हुआ प्राचीन ग्रीस. वहाँ उसने नाम प्राप्त किया, और व्यावहारिक रूप से हासिल कर लिया आधुनिक रूप. भविष्य में, यह शब्द फ्लैट और त्रि-आयामी आंकड़ों के विज्ञान के लिए अंतर्राष्ट्रीय नाम बन गया।

प्लानिमेट्री ज्यामिति की एक शाखा है जो समतल आकृतियों के अध्ययन से संबंधित है। विज्ञान की एक अन्य शाखा स्टीरियोमेट्री है, जो स्थानिक (वॉल्यूमेट्रिक) आंकड़ों के गुणों पर विचार करती है। इस लेख में वर्णित सिलेंडर भी ऐसे ही आंकड़ों से संबंधित है।

बेलनाकार वस्तुओं की उपस्थिति के उदाहरण रोजमर्रा की जिंदगीपर्याप्त। रोटेशन के लगभग सभी हिस्सों - शाफ्ट, झाड़ियों, गर्दन, धुरी, आदि में एक बेलनाकार (बहुत कम अक्सर - शंक्वाकार) आकार होता है। सिलेंडर का व्यापक रूप से निर्माण में उपयोग किया जाता है: टावर, सहायक, सजावटी कॉलम। और इसके अलावा, व्यंजन, कुछ प्रकार की पैकेजिंग, विभिन्न व्यास के पाइप। और अंत में - प्रसिद्ध टोपियां, जो लंबे समय से पुरुष लालित्य का प्रतीक बन गई हैं। असीमित सूची है।

एक ज्यामितीय आकृति के रूप में एक सिलेंडर की परिभाषा

एक सिलेंडर (गोलाकार सिलेंडर) को आमतौर पर दो वृत्तों से युक्त एक आकृति कहा जाता है, जो यदि वांछित है, तो समानांतर अनुवाद का उपयोग करके संयुक्त किया जाता है। ये वृत्त हैं जो बेलन के आधार हैं। लेकिन संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाएं (सीधे खंड) "जनरेटर" कहलाती हैं।

यह महत्वपूर्ण है कि सिलेंडर के आधार हमेशा बराबर हों (यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो हमारे सामने एक छोटा शंकु है, कुछ और, लेकिन सिलेंडर नहीं) और समानांतर विमानों में हैं। वृत्तों पर संगत बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड समानांतर और बराबर होते हैं।

जनरेटर के अनंत सेट की समग्रता और कुछ नहीं है पार्श्व सतहसिलेंडर - इस ज्यामितीय आकृति के तत्वों में से एक। इसका अन्य महत्वपूर्ण घटक ऊपर चर्चा की गई मंडलियां हैं। उन्हें आधार कहा जाता है।

सिलेंडर के प्रकार

सबसे सरल और सबसे सामान्य प्रकार का सिलेंडर गोलाकार होता है। यह आधारों के रूप में कार्य करने वाले दो नियमित वृत्तों से बनता है। लेकिन उनकी जगह और भी आंकड़े हो सकते हैं।

बेलनों के आधार (वृत्तों को छोड़कर) दीर्घवृत्त और अन्य बंद आकृतियाँ बना सकते हैं। लेकिन जरूरी नहीं कि सिलेंडर का आकार बंद हो। उदाहरण के लिए, एक बेलन का आधार एक परवलय, एक अतिपरवलय, दूसरा हो सकता है खुला समारोह. ऐसा सिलेंडर खुला या तैनात किया जाएगा।

जेनरेटर के आधारों के झुकाव के कोण के अनुसार, सिलेंडर सीधे या झुके हुए हो सकते हैं। एक दाहिने सिलेंडर के लिए, जनरेटर आधार के तल पर सख्ती से लंबवत होते हैं। यदि यह कोण 90° से भिन्न है, तो बेलन झुका हुआ है।

क्रांति की सतह क्या है

एक सही गोलाकार सिलेंडर बिना किसी संदेह के इंजीनियरिंग में उपयोग की जाने वाली क्रांति की सबसे आम सतह है। कभी-कभी, तकनीकी संकेतों के अनुसार, शंक्वाकार, गोलाकार और कुछ अन्य प्रकार की सतहों का उपयोग किया जाता है, लेकिन सभी घूर्णन शाफ्ट, एक्सल आदि का 99% हिस्सा होता है। सिलेंडर के रूप में बनाया गया है। क्रांति की सतह क्या है, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम विचार कर सकते हैं कि सिलेंडर स्वयं कैसे बनता है।

मान लीजिए कि एक लाइन है एकलंबवत रखा। ABCD एक आयत है, जिसकी एक भुजा (खंड AB) एक सीधी रेखा पर स्थित है एक. यदि हम एक आयत को एक सीधी रेखा के चारों ओर घुमाते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, तो घूर्णन करते समय वह जिस आयतन पर कब्जा करेगा, वह हमारा परिक्रमण पिंड होगा - ऊँचाई H = AB = DC और त्रिज्या R = AD = BC वाला एक लम्ब वृत्तीय बेलन।

इस मामले में, आकृति के घूर्णन के परिणामस्वरूप - एक आयत - एक सिलेंडर प्राप्त होता है। एक त्रिकोण को घुमाते हुए, आप एक शंकु प्राप्त कर सकते हैं, एक अर्धवृत्त को घुमाते हुए - एक गेंद, आदि।

सिलेंडर सतह क्षेत्र

एक साधारण सीधे गोलाकार सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, आधारों और पार्श्व सतह के क्षेत्रों की गणना करना आवश्यक है।

सबसे पहले, आइए देखें कि पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना कैसे की जाती है। यह बेलन की परिधि और ऊँचाई का गुणनफल है। परिधि, बदले में, सार्वभौमिक संख्या के उत्पाद के दोगुने के बराबर है पीवृत्त की त्रिज्या तक।

एक वृत्त का क्षेत्रफल गुणनफल के बराबर माना जाता है पीत्रिज्या के वर्ग के लिए। तो, आधार क्षेत्र के लिए दो बार अभिव्यक्ति के साथ पार्श्व सतह को निर्धारित करने के क्षेत्र के लिए सूत्रों को जोड़ना (उनमें से दो हैं) और सरल बीजीय परिवर्तन करते हुए, हम सतह के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं सिलेंडर।

एक आकृति का आयतन ज्ञात करना

सिलेंडर का आयतन मानक योजना द्वारा निर्धारित किया जाता है: आधार का सतह क्षेत्र ऊंचाई से गुणा किया जाता है।

इस प्रकार, अंतिम सूत्र इस तरह दिखता है: वांछित को सार्वभौमिक संख्या द्वारा शरीर की ऊंचाई के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जाता है पीऔर आधार त्रिज्या का वर्ग।

परिणामी सूत्र, यह कहा जाना चाहिए, सबसे अप्रत्याशित समस्याओं को हल करने के लिए लागू होता है। उसी तरह जैसे सिलेंडर का आयतन, उदाहरण के लिए, विद्युत तारों का आयतन निर्धारित किया जाता है। तारों के द्रव्यमान की गणना करने के लिए यह आवश्यक हो सकता है।

सूत्र में एकमात्र अंतर यह है कि एक सिलेंडर की त्रिज्या के बजाय, तारों के कोर का व्यास दो में विभाजित होता है और अभिव्यक्ति में तार में कोर की संख्या दिखाई देती है एन. साथ ही, ऊंचाई के बजाय तार की लंबाई का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार, "सिलेंडर" की मात्रा की गणना एक से नहीं, बल्कि ब्रैड में तारों की संख्या से की जाती है।

व्यवहार में अक्सर ऐसी गणनाओं की आवश्यकता होती है। आखिरकार, पानी की टंकियों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा पाइप के रूप में बनाया जाता है। और घर में भी सिलेंडर की मात्रा की गणना करना अक्सर आवश्यक होता है।

हालांकि, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सिलेंडर का आकार भिन्न हो सकता है। और कुछ मामलों में यह गणना करना आवश्यक है कि झुके हुए सिलेंडर का आयतन किसके बराबर है।

अंतर यह है कि आधार के सतह क्षेत्र को जेनरेटर की लंबाई से गुणा नहीं किया जाता है, जैसा कि सीधे सिलेंडर के मामले में होता है, लेकिन विमानों के बीच की दूरी से - उनके बीच निर्मित एक लंबवत खंड।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, ऐसा खंड जेनरेटरिक्स की लंबाई के उत्पाद के बराबर है जो जेनरेटरिक्स के विमान के झुकाव के कोण के साइन द्वारा है।

सिलेंडर स्वीप का निर्माण कैसे करें

कुछ मामलों में, सिलेंडर रीमर को काटना आवश्यक है। नीचे दिया गया चित्र उन नियमों को दर्शाता है जिनके द्वारा दी गई ऊँचाई और व्यास वाले बेलन के निर्माण के लिए रिक्त स्थान बनाया जाता है।

कृपया ध्यान दें कि यह आंकड़ा बिना सीम के दिखाया गया है।

बेवेल्ड सिलेंडर अंतर

आइए कल्पना करें कि एक सीधा सिलेंडर जनरेटर के लंबवत एक विमान द्वारा एक तरफ घिरा हुआ है। लेकिन दूसरी तरफ सिलेंडर को बांधने वाला विमान जनरेटर के लंबवत नहीं है और पहले विमान के समानांतर नहीं है।

आंकड़ा एक बेवल वाले सिलेंडर को दर्शाता है। विमान एकजनरेटर से 90° के अलावा किसी अन्य कोण पर, आकृति को प्रतिच्छेद करता है।

पाइपलाइन कनेक्शन (कोहनी) के रूप में यह ज्यामितीय आकार व्यवहार में अधिक सामान्य है। लेकिन यहां तक ​​​​कि बेवल वाले सिलेंडर के रूप में बनी इमारतें भी हैं।

बेवेल्ड सिलेंडर की ज्यामितीय विशेषताएं

बेवल वाले सिलेंडर के विमानों में से एक का ढलान इस तरह के एक आंकड़े के सतह क्षेत्र और इसकी मात्रा दोनों की गणना के क्रम को थोड़ा बदल देता है।

एक बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल एक आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसका आधार 2π . है आर, और ऊंचाई सिलेंडर की ऊंचाई के बराबर है एच, यानी 2π राहु.

सिलेंडर की कुल सतह होगी: 2π आर 2+2π राहु= 2π आर(आर+ एच).

बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल लिया जाता है झाडू क्षेत्रइसकी पार्श्व सतह।

इसलिए, एक लम्ब वृत्तीय बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल संबंधित आयत (चित्र) के क्षेत्रफल के बराबर होता है और सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है

एस बी.सी. = 2πRH, (1)

यदि हम इसके दो आधारों के क्षेत्रफल को बेलन की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल में जोड़ दें, तो हमें क्षेत्रफल प्राप्त होता है पूरी सतहसिलेंडर

एस पूर्ण \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R)।

सीधे सिलेंडर मात्रा

जहाँ Q आधार क्षेत्र है और H बेलन की ऊँचाई है।

चूंकि बेलन का आधार क्षेत्रफल Q है, इसलिए क्षेत्र Q . के साथ परिबद्ध और उत्कीर्ण बहुभुजों के अनुक्रम हैं एनऔर क्यू' एनऐसा है कि

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q एन= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' एन= क्यू.

आइए हम उन प्रिज्मों के अनुक्रमों का निर्माण करें जिनके आधार ऊपर वर्णित और उत्कीर्ण बहुभुज हैं, और जिनके पार्श्व किनारे दिए गए सिलेंडर के जेनरेटर के समानांतर हैं और लंबाई एच है। इन प्रिज्मों का वर्णन और दिए गए सिलेंडर के लिए खुदा हुआ है। उनके आयतन सूत्रों द्वारा ज्ञात किए जाते हैं

वी एन= क्यू एनएच और वी' एन= क्यू' एनएच।

फलस्वरूप,

वी= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q एनएच = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' एनएच = क्यूएच।

परिणाम।
एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है

वी = आर 2 एच

जहाँ R आधार की त्रिज्या है और H बेलन की ऊँचाई है।

चूँकि एक वृत्ताकार बेलन का आधार R त्रिज्या का एक वृत्त है, तो Q \u003d R 2, और इसलिए

सिलेंडर (से व्युत्पन्न) यूनानी, "स्केटिंग रिंक", "रोलर") शब्दों से - यह ज्यामितीय शरीर, जो एक बेलनाकार सतह और दो तलों नामक एक सतह से बाहर से घिरी होती है। ये तल आकृति की सतह को काटते हैं और एक दूसरे के समानांतर होते हैं।

एक बेलनाकार सतह एक सतह है जो अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा द्वारा प्राप्त की जाती है। ये गतियाँ ऐसी हैं कि इस सीधी रेखा का चयनित बिंदु एक सपाट-प्रकार के वक्र के साथ चलता है। ऐसी सीधी रेखा को जनक कहा जाता है, और वक्र रेखा को गाइड कहा जाता है।

सिलेंडर में आधारों की एक जोड़ी और एक पार्श्व बेलनाकार सतह होती है। सिलेंडर कई प्रकार के होते हैं:

1. गोलाकार, सीधा सिलेंडर। ऐसे सिलेंडर के लिए, बेस और गाइड जेनरेट्रिक्स के लंबवत होते हैं, और वहाँ है

2. झुका हुआ सिलेंडर। उसके पास जनक रेखा के बीच एक कोण है और आधार सीधा नहीं है।

3. एक अलग आकार का एक सिलेंडर। हाइपरबोलिक, अण्डाकार, परवलयिक और अन्य।

एक सिलेंडर का क्षेत्रफल, साथ ही किसी भी सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्र, इस आकृति के आधार के क्षेत्रों और पार्श्व सतह के क्षेत्र को जोड़कर पाया जाता है।

एक वृत्ताकार, सीधे बेलन के लिए एक बेलन के कुल क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र है:

एसपी = 2पी आरएच + 2पी आर2 = 2पी आर (एच+आर)।

पार्श्व सतह का क्षेत्र पूरे सिलेंडर के क्षेत्र की तुलना में थोड़ा अधिक कठिन है; इसकी गणना जेनरेटर की लंबाई को विमान द्वारा गठित खंड की परिधि से गुणा करके की जाती है जो कि लंबवत है जेनरेटर

एक गोलाकार, सीधे सिलेंडर के लिए सिलेंडर डेटा इस वस्तु के विकास से पहचाना जाता है।

एक विकास एक आयत है जिसकी ऊँचाई h और लंबाई P है, जो आधार की परिधि के बराबर है।

यह इस प्रकार है कि सिलेंडर का पार्श्व क्षेत्र है समान क्षेत्रस्वीप और इस सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

यदि हम एक वृत्ताकार, सीधा बेलन लें, तो उसके लिए:

पी = 2पी आर, और एसबी = 2पी आरएच।

यदि सिलेंडर झुका हुआ है, तो पार्श्व सतह क्षेत्र को इसके जेनरेट्रिक्स की लंबाई और अनुभाग की परिधि के उत्पाद के बराबर होना चाहिए, जो इस जेनरेट्रिक्स के लंबवत है।

दुर्भाग्य से, पार्श्व सतह क्षेत्र को व्यक्त करने के लिए कोई सरल सूत्र नहीं है। इच्छुक सिलेंडरइसकी ऊंचाई और इसके आधार के मापदंडों के माध्यम से।

एक सिलेंडर की गणना करने के लिए, आपको कुछ तथ्यों को जानना होगा। यदि इसके तल वाला एक खंड आधारों को काटता है, तो ऐसा खंड हमेशा एक आयत होता है। लेकिन ये आयतें खंड की स्थिति के आधार पर भिन्न होंगी। आकृति के अक्षीय खंड के किनारों में से एक, जो आधारों के लंबवत है, ऊंचाई के बराबर है, और दूसरा सिलेंडर के आधार के व्यास के बराबर है। और इस तरह के एक खंड का क्षेत्रफल, क्रमशः आयत के एक तरफ के उत्पाद के बराबर है, जो पहले के लंबवत है, या इस आकृति की ऊंचाई के उत्पाद के आधार के व्यास के बराबर है।

यदि खंड आकृति के आधारों के लंबवत है, लेकिन रोटेशन की धुरी से नहीं गुजरता है, तो इस खंड का क्षेत्रफल इस सिलेंडर की ऊंचाई और एक निश्चित जीवा के गुणनफल के बराबर होगा। एक जीवा प्राप्त करने के लिए, आपको बेलन के आधार पर एक वृत्त बनाना होगा, एक त्रिज्या खींचनी होगी और उस पर उस दूरी को अलग रखना होगा जिस पर अनुभाग स्थित है। और इस बिंदु से आपको वृत्त के साथ प्रतिच्छेदन से त्रिज्या तक लंबवत खींचने की आवश्यकता है। चौराहे के बिंदु केंद्र से जुड़े हुए हैं। और त्रिभुज का आधार वांछित है, जिसे इस तरह की ध्वनियों के लिए खोजा जाता है: "दो पैरों के वर्गों का योग कर्ण वर्ग के बराबर है":

सी 2 = ए 2 + बी 2।

यदि खंड सिलेंडर के आधार को प्रभावित नहीं करता है, और सिलेंडर स्वयं गोलाकार और सीधा है, तो इस खंड का क्षेत्र वृत्त के क्षेत्र के रूप में पाया जाता है।

एक वृत्त का क्षेत्रफल है:

एस एनवी। = 2पी आर2.

R को खोजने के लिए, आपको इसकी लंबाई C को 2p से विभाजित करना होगा:

आर = सी \ 2n, जहां n pi है, एक गणितीय स्थिरांक की गणना सर्कल डेटा के साथ काम करने के लिए की जाती है और 3.14 के बराबर होती है।

सिलिंडर को लेकर काफी परेशानी हो रही है। उनमें, आपको शरीर की त्रिज्या और ऊंचाई या उसके खंड के प्रकार को खोजने की आवश्यकता है। साथ ही, कभी-कभी आपको सिलेंडर के क्षेत्रफल और उसके आयतन की गणना करने की आवश्यकता होती है।

सिलेंडर कौन सा शरीर है?

मैं जानता हूँ स्कूल के पाठ्यक्रमएक वृत्ताकार अर्थात् आधार पर ऐसा होने के कारण बेलन का अध्ययन किया जा रहा है। लेकिन वे इस आकृति के अण्डाकार स्वरूप में भी अंतर करते हैं। नाम से ही स्पष्ट है कि इसका आधार अंडाकार या अंडाकार होगा।

सिलेंडर के दो आधार होते हैं। वे एक दूसरे के बराबर होते हैं और उन खंडों से जुड़े होते हैं जो आधारों के संगत बिंदुओं को जोड़ते हैं। उन्हें सिलेंडर जनरेटर कहा जाता है। सभी जनरेटर एक दूसरे के समानांतर और बराबर हैं। वे शरीर की पार्श्व सतह बनाते हैं।

पर सामान्य मामलासिलेंडर है झुका हुआ शरीर. यदि जनरेटर आधारों के साथ एक समकोण बनाते हैं, तो वे पहले से ही एक सीधी आकृति की बात करते हैं।

दिलचस्प बात यह है कि एक गोलाकार सिलेंडर क्रांति का पिंड है। यह इसकी एक भुजा के चारों ओर एक आयत को घुमाकर प्राप्त किया जाता है।

सिलेंडर के मुख्य तत्व

सिलेंडर के मुख्य तत्व इस प्रकार हैं।

1. कद। यह बेलन के आधारों के बीच की न्यूनतम दूरी है। यदि यह सीधा है, तो ऊंचाई जेनरेट्रिक्स के साथ मेल खाती है।
2. त्रिज्या। उस के साथ मेल खाता है जिसे आधार में किया जा सकता है।
3. एक्सिस। यह एक सीधी रेखा है जिसमें दोनों आधारों के केंद्र होते हैं। धुरी हमेशा सभी जनरेटर के समानांतर होती है। एक दाहिने सिलेंडर में, यह आधारों के लंबवत है।
4. अक्षीय खंड। यह तब बनता है जब बेलन अक्ष वाले तल को काटता है।
5. स्पर्शरेखा विमान। यह जनरेटर में से एक के माध्यम से गुजरता है और अक्षीय खंड के लंबवत है, जो इस जेनरेटर के माध्यम से खींचा जाता है।

एक बेलन उसमें अंकित या उसके पास परिबद्ध प्रिज्म से किस प्रकार संबंधित है?

कभी-कभी ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें सिलेंडर के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक होता है, जबकि इससे जुड़े प्रिज्म के कुछ तत्व ज्ञात होते हैं। ये आंकड़े कैसे संबंधित हैं?

यदि एक प्रिज्म एक बेलन में अंकित है, तो उसके आधार बराबर बहुभुज हैं। इसके अलावा, वे सिलेंडर के संबंधित आधारों में खुदे हुए हैं। प्रिज्म के किनारे के किनारे जनरेटर के साथ मेल खाते हैं।

वर्णित प्रिज्म के आधार हैं नियमित बहुभुज. इनका वर्णन बेलन के वृत्तों के निकट किया गया है, जो इसके आधार हैं। प्रिज्म के चेहरे वाले विमान जनरेटर के साथ सिलेंडर को छूते हैं।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन के लिए पार्श्व सतह और आधार के क्षेत्रफल पर

यदि आप पार्श्व सतह को खोलते हैं, तो आपको एक आयत मिलता है। इसकी भुजाएँ जेनरेटरिक्स और आधार की परिधि के साथ मेल खाएँगी। इसलिए, सिलेंडर का पार्श्व क्षेत्र इन दो मात्राओं के उत्पाद के बराबर होगा। यदि आप सूत्र लिखते हैं, तो आपको निम्न मिलता है:

एस साइड \u003d एल * एन,

जहाँ n जनक है, l परिधि है।

इसके अलावा, अंतिम पैरामीटर की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एल = 2 *आर,

यहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, संख्या "pi" है, जो 3.14 के बराबर है।

चूंकि आधार एक वृत्त है, इसके क्षेत्रफल की गणना निम्नलिखित व्यंजक का उपयोग करके की जाती है:

एस मुख्य \u003d * आर 2।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन के संपूर्ण पृष्ठ के क्षेत्रफल पर

चूंकि यह दो आधारों और एक पार्श्व सतह से बनता है, इसलिए इन तीन मात्राओं को जोड़ा जाना चाहिए। अर्थात्, सिलेंडर के कुल क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाएगी:

एस मंजिल = 2 * आर * एन + 2 * आर 2 .

इसे अक्सर एक अलग रूप में लिखा जाता है:

एस मंजिल = 2 * आर (एन + आर)।

एक झुके हुए वृत्ताकार बेलन के क्षेत्रों पर

आधारों के लिए, सभी सूत्र समान हैं, क्योंकि वे अभी भी वृत्त हैं। लेकिन पार्श्व सतह अब एक आयत नहीं देती है।

एक झुके हुए सिलेंडर के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको जेनरेट्रिक्स के मूल्यों और अनुभाग की परिधि को गुणा करना होगा, जो चयनित जेनरेट्रिक्स के लंबवत होगा।

सूत्र इस तरह दिखता है:

एस साइड \u003d एक्स * पी,

जहाँ x बेलन के जनक की लंबाई है, P खंड का परिमाप है।

क्रॉस सेक्शन, वैसे, ऐसा चुनना बेहतर है कि यह एक दीर्घवृत्त बनाता है। फिर इसकी परिधि की गणना को सरल बनाया जाएगा। दीर्घवृत्त की लंबाई की गणना एक सूत्र का उपयोग करके की जाती है जो अनुमानित उत्तर देता है। लेकिन यह अक्सर स्कूल पाठ्यक्रम के कार्यों के लिए पर्याप्त होता है:

एल \u003d * (ए + बी),

जहां "ए" और "बी" दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष हैं, अर्थात्, केंद्र से उसके निकटतम और सबसे दूर के बिंदुओं की दूरी।

निम्नलिखित अभिव्यक्ति का उपयोग करके संपूर्ण सतह के क्षेत्रफल की गणना की जानी चाहिए:

एस मंजिल = 2 * आर 2 + एक्स * आर।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन के कुछ भाग कौन-से हैं?

जब खंड अक्ष से होकर गुजरता है, तो इसका क्षेत्रफल जेनरेटर के गुणनफल और आधार के व्यास के रूप में निर्धारित होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इसमें एक आयत का रूप है, जिसकी भुजाएँ निर्दिष्ट तत्वों से मेल खाती हैं।

अक्षीय के समानांतर एक सिलेंडर के क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको एक आयत के लिए एक सूत्र की भी आवश्यकता होगी। इस स्थिति में, इसका एक पक्ष अभी भी ऊंचाई के साथ मेल खाएगा, और दूसरा आधार की जीवा के बराबर होगा। उत्तरार्द्ध आधार के साथ अनुभाग रेखा के साथ मेल खाता है।

जब खंड अक्ष के लंबवत होता है, तो यह एक वृत्त जैसा दिखता है। इसके अलावा, इसका क्षेत्रफल वही है जो आकृति के आधार पर है।

अक्ष से किसी कोण पर प्रतिच्छेद करना भी संभव है। फिर खंड में एक अंडाकार या उसका हिस्सा प्राप्त होता है।

कार्य उदाहरण

टास्क नंबर 1.एक सीधा बेलन दिया गया है, जिसका आधार क्षेत्रफल 12.56 cm 2 है। सिलेंडर के कुल क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है यदि इसकी ऊंचाई 3 सेमी है।

समाधान। एक वृत्तीय दाएँ बेलन के कुल क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करना आवश्यक है। लेकिन इसमें डेटा का अभाव है, अर्थात् आधार की त्रिज्या। लेकिन वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात होता है। इससे त्रिज्या की गणना करना आसान है।

यह भागफल के वर्गमूल के बराबर निकलता है, जो आधार क्षेत्रफल को pi से भाग देने पर प्राप्त होता है। 12.56 को 3.14 से भाग देने पर 4 होता है। वर्गमूल 4 में से 2 है। इसलिए, त्रिज्या का ठीक यही मान होगा।

उत्तर: एस मंजिल \u003d 50.24 सेमी 2।

टास्क नंबर 2. 5 सेमी त्रिज्या वाले एक बेलन को अक्ष के समांतर समतल द्वारा काटा जाता है। खंड से अक्ष की दूरी 3 सेमी है। सिलेंडर की ऊंचाई 4 सेमी है। अनुभाग के क्षेत्र को खोजने के लिए आवश्यक है।

समाधान। खंड का आकार आयताकार है। इसकी एक भुजा बेलन की ऊंचाई के साथ मेल खाती है, और दूसरी जीवा के बराबर है। यदि पहला मान ज्ञात है, तो दूसरा पाया जाना चाहिए।

ऐसा करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त निर्माण करने की आवश्यकता है। आधार पर हम दो खंड खींचते हैं। ये दोनों सर्कल के सेंटर से शुरू होंगे। पहला जीवा के केंद्र में समाप्त होगा और अक्ष से ज्ञात दूरी के बराबर होगा। दूसरा राग के अंत में है।

आपको एक समकोण त्रिभुज मिलता है। इसमें कर्ण और एक पैर जाना जाता है। कर्ण त्रिज्या के समान है। दूसरा पैर आधी जीवा के बराबर है। अज्ञात लेग को 2 से गुणा करने पर, जीवा की आवश्यक लंबाई प्राप्त होगी। आइए इसके मूल्य की गणना करें।

अज्ञात पैर को खोजने के लिए, आपको कर्ण और ज्ञात पैर का वर्ग करना होगा, पहले से दूसरे को घटाना होगा और वर्गमूल लेना होगा। वर्ग 25 और 9 हैं। उनका अंतर 16 है। वर्गमूल निकालने के बाद, 4 शेष हैं। यह वांछित पैर है।

जीवा 4*2 = 8 (सेमी) के बराबर होगी। अब आप क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र की गणना कर सकते हैं: 8 * 4 \u003d 32 (सेमी 2)।

उत्तर: एस सेकंड 32 सेमी 2 है।

टास्क नंबर 3.सिलेंडर के अक्षीय खंड के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है। यह ज्ञात है कि इसमें 10 सेमी के किनारे वाला घन खुदा हुआ है।

समाधान। सिलेंडर का अक्षीय खंड एक आयत के साथ मेल खाता है जो घन के चार शीर्षों से होकर गुजरता है और इसमें इसके आधारों के विकर्ण होते हैं। घन की भुजा बेलन का जनक है, और आधार का विकर्ण व्यास के साथ मेल खाता है। इन दो मात्राओं का गुणनफल वह क्षेत्र देगा जो आपको समस्या में ज्ञात करने की आवश्यकता है।

व्यास ज्ञात करने के लिए, आपको इस ज्ञान का उपयोग करना होगा कि घन का आधार एक वर्ग है, और इसका विकर्ण एक समबाहु बनाता है। सही त्रिकोण. इसका कर्ण आकृति का अभीष्ट विकर्ण है।

इसकी गणना करने के लिए, आपको पाइथागोरस प्रमेय के सूत्र की आवश्यकता है। आपको घन की भुजा को वर्गाकार करने की जरूरत है, इसे 2 से गुणा करें और वर्गमूल लें। दस से दूसरी शक्ति एक सौ है। 2 से गुणा दो सौ है। 200 का वर्गमूल 10√2 है।

अनुभाग फिर से एक आयत है जिसकी भुजाएँ 10 और 10√2 हैं। इन मानों को गुणा करके इसके क्षेत्रफल की गणना करना आसान है।

उत्तर। एस सेकंड \u003d 100√2 सेमी 2।

सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना कैसे करें इस लेख का विषय है। किसी पर गणितीय समस्याआपको डेटा प्रविष्टि से शुरू करने की आवश्यकता है, यह निर्धारित करें कि भविष्य में क्या ज्ञात है और क्या संचालित करना है, और उसके बाद ही सीधे गणना के लिए आगे बढ़ें।

यह त्रि-आयामी शरीर एक बेलनाकार आकार का एक ज्यामितीय आकृति है, जो ऊपर और नीचे दो समानांतर विमानों से घिरा हुआ है। यदि आप थोड़ी कल्पना को लागू करते हैं, तो आप देखेंगे कि एक अक्ष के चारों ओर एक आयत को घुमाकर एक ज्यामितीय शरीर बनता है, जिसमें अक्ष इसकी एक भुजा होती है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि बेलन के ऊपर और नीचे वर्णित वक्र एक वृत्त होगा, जिसका मुख्य संकेतक त्रिज्या या व्यास है।

सिलेंडर सतह क्षेत्र - ऑनलाइन कैलकुलेटर

यह फ़ंक्शन अंततः गणना प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाता है, और आंकड़े के आधार की ऊंचाई और त्रिज्या (व्यास) के दिए गए मानों के स्वचालित प्रतिस्थापन के लिए सब कुछ नीचे आता है। केवल एक चीज जो आवश्यक है वह है डेटा को सटीक रूप से निर्धारित करना और नंबर दर्ज करते समय गलतियाँ नहीं करना।

सिलेंडर साइड सतह क्षेत्र

पहले आपको यह कल्पना करने की आवश्यकता है कि स्वीप द्वि-आयामी अंतरिक्ष में कैसा दिखता है।

यह एक आयत से ज्यादा कुछ नहीं है, जिसकी एक भुजा परिधि के बराबर है। इसका सूत्र अनादि काल से जाना जाता है - 2π *आर, कहाँ पे आरवृत्त की त्रिज्या है। आयत की दूसरी भुजा ऊँचाई के बराबर है एच. आप जो खोज रहे हैं उसे ढूंढना मुश्किल नहीं होगा।

एसपक्ष= 2π *आर * एच,

जहां संख्या = 3.14।

एक बेलन का पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

सिलेंडर का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको प्राप्त करने की आवश्यकता है एस साइडसिलेंडर के ऊपर और नीचे दो मंडलियों के क्षेत्रों को जोड़ें, जिनकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है एस ओ =2π*r2.

अंतिम सूत्र इस तरह दिखता है:

एसमंज़िल\u003d 2π * आर 2+ 2π*r*h.

सिलेंडर क्षेत्र - व्यास के संदर्भ में सूत्र

गणना की सुविधा के लिए, कभी-कभी व्यास के माध्यम से गणना करना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, ज्ञात व्यास के खोखले पाइप का एक टुकड़ा है।

अनावश्यक गणनाओं से परेशान हुए बिना, हमारे पास एक तैयार सूत्र है। 5 वीं कक्षा के लिए बीजगणित बचाव के लिए आता है।

एसलिंग = 2*r 2 + 2 *r*h= 2 *डी 2 /4 + 2 *एच*डी/2 = *डी 2 /2 + *डी * एच,

के बजाय आरमें पूर्ण सूत्रआपको एक मान डालने की आवश्यकता है आर =घ/2.

एक सिलेंडर के क्षेत्रफल की गणना के उदाहरण

ज्ञान के साथ सशस्त्र, आइए अभ्यास करने के लिए नीचे उतरें।

उदाहरण 1 पाइप के काटे गए टुकड़े, यानी एक सिलेंडर के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है।

हमारे पास r = 24 मिमी, h = 100 मिमी है। आपको त्रिज्या के संदर्भ में सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

एस मंजिल \u003d 2 * 3.14 * 24 2 + 2 * 3.14 * 24 * 100 \u003d 3617.28 + 15072 \u003d 18689.28 (मिमी 2)।

हम सामान्य एम 2 में अनुवाद करते हैं और 0.01868928, लगभग 0.02 मीटर 2 प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 2 क्षेत्र जानने की जरूरत है भीतरी सतहएस्बेस्टस स्टोव पाइप, जिसकी दीवारें आग रोक ईंटों से पंक्तिबद्ध हैं।

डेटा इस प्रकार हैं: व्यास 0.2 मीटर; ऊंचाई 2 मीटर हम व्यास के माध्यम से सूत्र का उपयोग करते हैं:

एस मंजिल \u003d 3.14 * 0.2 2/2 + 3.14 * 0.2 * 2 \u003d 0.0628 + 1.256 \u003d 1.3188 मीटर 2.

उदाहरण 3 यह कैसे पता करें कि एक बैग, r \u003d 1 m और 1 m की ऊँचाई को सिलने के लिए कितनी सामग्री की आवश्यकता है।

एक पल, एक सूत्र है:

एस साइड \u003d 2 * 3.14 * 1 * 1 \u003d 6.28 मीटर 2.

निष्कर्ष

लेख के अंत में, यह प्रश्न उठा: क्या ये सभी गणनाएँ और एक मान का दूसरे मान में अनुवाद वास्तव में आवश्यक हैं? यह सब क्यों आवश्यक है और सबसे महत्वपूर्ण, किसके लिए? लेकिन उपेक्षा मत करो और भूल जाओ सरल सूत्रहाई स्कूल से।

दुनिया गणित सहित प्रारंभिक ज्ञान पर खड़ी है और खड़ी रहेगी। और, जब किसी महत्वपूर्ण कार्य को शुरू करते हैं, तो स्मृति में गणना के डेटा को ताज़ा करने के लिए, उन्हें बड़े प्रभाव से व्यवहार में लागू करना कभी भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होता है। शुद्धता - राजाओं की शिष्टता।