एक सिलेंडर एक सममित स्थानिक आकृति है, जिसके गुणों को हाई स्कूल में ठोस ज्यामिति के दौरान माना जाता है। इसका वर्णन करने के लिए, आधार की ऊंचाई और त्रिज्या जैसी रैखिक विशेषताओं का उपयोग किया जाता है। इस लेख में, हम एक सिलेंडर का अक्षीय खंड क्या है, और आकृति की मुख्य रैखिक विशेषताओं के माध्यम से इसके मापदंडों की गणना कैसे करें, इसके बारे में प्रश्नों पर विचार करेंगे।

ज्यामितीय आकृति

सबसे पहले, आइए उस आंकड़े को परिभाषित करें जिस पर लेख में चर्चा की जाएगी। एक सिलेंडर एक निश्चित वक्र के साथ एक निश्चित लंबाई के एक खंड के समानांतर विस्थापन द्वारा बनाई गई सतह है। इस गति के लिए मुख्य शर्त यह है कि वक्र के तल का खंड संबंधित नहीं होना चाहिए।

नीचे दिया गया चित्र एक बेलन को दर्शाता है जिसका वक्र (गाइड) एक दीर्घवृत्त है।

यहाँ, लंबाई h का एक खंड इसका जनक और इसकी ऊँचाई है।

यह देखा जा सकता है कि सिलेंडर में दो होते हैं एक ही आधार(इस मामले में दीर्घवृत्त), जो समानांतर विमानों और पार्श्व सतह में स्थित हैं। उत्तरार्द्ध जनरेटिंग लाइनों के सभी बिंदुओं के अंतर्गत आता है।

सिलेंडरों के अक्षीय खंड पर विचार करने से पहले, हम आपको बताएंगे कि ये आंकड़े किस प्रकार के हैं।

यदि जनक रेखा आकृति के आधारों के लंबवत है, तो वे एक सीधे बेलन की बात करते हैं। अन्यथा, सिलेंडर झुका होगा। यदि आप दो आधारों के केंद्रीय बिंदुओं को जोड़ते हैं, तो परिणामी सीधी रेखा को आकृति का अक्ष कहा जाता है। निम्नलिखित आंकड़ा सीधे और झुके हुए सिलेंडरों के बीच के अंतर को दर्शाता है।

यह देखा जा सकता है कि एक सीधी आकृति के लिए, जनक खंड की लंबाई ऊँचाई h के मान के साथ मेल खाती है। एक झुके हुए बेलन की ऊँचाई, अर्थात् आधारों के बीच की दूरी हमेशा होती है लंबाई से कमबनाने की रेखा।

एक सीधे सिलेंडर का अक्षीय खंड

एक अक्षीय खंड एक सिलेंडर का कोई भी भाग होता है जिसमें इसकी धुरी होती है। इस परिभाषा का अर्थ है कि अक्षीय खंड हमेशा जेनरेटर के समानांतर होगा।

एक सीधे बेलन में, अक्ष वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है और इसके तल के लंबवत होता है। इसका अर्थ है कि विचाराधीन वृत्त अपने व्यास के अनुदिश प्रतिच्छेद करेगा। यह आंकड़ा सिलेंडर के आधे हिस्से को दिखाता है, जो धुरी से गुजरने वाले विमान के साथ आकृति के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप प्राप्त किया गया था।

यह समझना मुश्किल नहीं है कि दाएं गोल सिलेंडर का अक्षीय खंड एक आयत है। इसकी भुजाएँ आधार का व्यास d और आकृति की ऊँचाई h हैं।

हम सिलेंडर के अक्षीय खंड के क्षेत्र और उसके विकर्ण की लंबाई h d के लिए सूत्र लिखते हैं:

एक आयत में दो विकर्ण होते हैं, लेकिन दोनों एक दूसरे के बराबर होते हैं। यदि आधार की त्रिज्या ज्ञात हो, तो इसके माध्यम से इन सूत्रों को फिर से लिखना कठिन नहीं है, यह देखते हुए कि यह व्यास का आधा है।

एक झुके हुए सिलेंडर का अक्षीय खंड

ऊपर दी गई तस्वीर कागज से बना एक झुका हुआ सिलेंडर दिखाती है। यदि आप इसका अक्षीय खंड करते हैं, तो आपको एक आयत नहीं, बल्कि एक समांतर चतुर्भुज मिलेगा। इसकी भुजाएँ ज्ञात मात्राएँ हैं। उनमें से एक, जैसा कि एक सीधे सिलेंडर के एक खंड के मामले में है, आधार के व्यास d के बराबर है, जबकि दूसरा जनक खंड की लंबाई है। आइए इसे बी निरूपित करें।

समांतर चतुर्भुज के मापदंडों को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, इसकी भुजा की लंबाई जानना पर्याप्त नहीं है। हमें उनके बीच एक कोण भी चाहिए। मान लें कि गाइड और आधार के बीच का न्यून कोण α है। यह समांतर चतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण भी होगा। फिर इच्छुक सिलेंडर के अक्षीय खंड के क्षेत्र का सूत्र निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

एक झुके हुए सिलेंडर के अक्षीय खंड के विकर्णों की गणना करना कुछ अधिक कठिन होता है। एक समांतर चतुर्भुज में अलग-अलग लंबाई के दो विकर्ण होते हैं। हम बिना व्युत्पत्ति के भाव देते हैं जो हमें एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की गणना करने की अनुमति देता है ज्ञात पार्टियांतथा तेज़ कोनेउनके बीच:

एल 1 = √ (डी 2 + बी 2 - 2 * बी * डी * कॉस (α));

एल 2 = (डी 2 + बी 2 + 2*बी*डी*कॉस(α))

यहाँ l 1 और l 2 क्रमशः छोटे और बड़े विकर्णों की लंबाइयाँ हैं। ये सूत्र स्वतंत्र रूप से प्राप्त किए जा सकते हैं यदि हम समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली की शुरुआत करके प्रत्येक विकर्ण को एक वेक्टर मानते हैं।

सीधे सिलेंडर की समस्या

हम निम्नलिखित समस्या को हल करने के लिए अर्जित ज्ञान का उपयोग करने का तरीका दिखाएंगे। मान लीजिए एक गोल सीधा बेलन दिया गया है। यह ज्ञात है कि बेलन का अक्षीय भाग एक वर्ग होता है। यदि पूरी आकृति 100 सेमी 2 है तो इस खंड का क्षेत्रफल क्या है?

वांछित क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको या तो त्रिज्या या सिलेंडर के आधार के व्यास का पता लगाना होगा। ऐसा करने के लिए, हम आकृति के कुल क्षेत्रफल S f के सूत्र का उपयोग करते हैं:

चूँकि अक्षीय खंड एक वर्ग है, इसका मतलब है कि आधार की त्रिज्या r ऊँचाई h की आधी है। इसे देखते हुए, हम उपरोक्त समानता को फिर से लिख सकते हैं:

एस एफ = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

अब हम त्रिज्या r व्यक्त कर सकते हैं, हमारे पास है:

चूँकि एक वर्गाकार खंड की भुजा आकृति के आधार के व्यास के बराबर है, इसके क्षेत्रफल S की गणना के लिए निम्न सूत्र मान्य होगा:

एस = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

हम देखते हैं कि आवश्यक क्षेत्र विशिष्ट रूप से सिलेंडर के सतह क्षेत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है। डेटा को समानता में प्रतिस्थापित करते हुए, हम उत्तर पर आते हैं: एस = 21.23 सेमी 2।

बेलन के प्रत्येक आधार का क्षेत्रफल . है आर 2, दोनों आधारों का क्षेत्रफल 2π . होगा आर 2 (चित्र।)

एक बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल एक आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसका आधार 2π . है आर, और ऊंचाई सिलेंडर की ऊंचाई के बराबर है एच, यानी 2π राहु.

सिलेंडर की कुल सतह होगी: 2π आर 2+2π राहु= 2π आर(आर+ एच).

बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल लिया जाता है झाडू क्षेत्रइसकी पार्श्व सतह।

इसलिए, एक लम्ब वृत्तीय बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल संबंधित आयत (चित्र) के क्षेत्रफल के बराबर होता है और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है

एस बी.सी. = 2πRH, (1)

यदि हम इसके दो आधारों के क्षेत्रफलों को बेलन की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल में जोड़ दें, तो हमें क्षेत्रफल प्राप्त हो जाता है पूरी सतहसिलेंडर

एस पूर्ण \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R)।

सीधे सिलेंडर मात्रा

प्रमेय। एक दाएँ बेलन का आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है , अर्थात।

जहाँ Q आधार क्षेत्र है और H बेलन की ऊँचाई है।

चूंकि बेलन का आधार क्षेत्रफल Q है, इसलिए क्षेत्र Q . के साथ परिबद्ध और उत्कीर्ण बहुभुजों के अनुक्रम हैं एनऔर क्यू' एनऐसा है कि

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q एन= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' एन= क्यू.

आइए हम उन प्रिज्मों के अनुक्रमों का निर्माण करें जिनके आधार ऊपर वर्णित और उत्कीर्ण बहुभुज हैं, और जिनके पार्श्व किनारे दिए गए सिलेंडर के जेनरेटर के समानांतर हैं और लंबाई एच है। इन प्रिज्मों का वर्णन और दिए गए सिलेंडर के लिए खुदा हुआ है। उनके आयतन सूत्रों द्वारा ज्ञात किए जाते हैं

वी एन= क्यू एनएच और वी' एन= क्यू' एनएच।

फलस्वरूप,

वी= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q एनएच = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' एनएच = क्यूएच।

परिणाम।
एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है

वी = π आर 2 एच

जहाँ R आधार की त्रिज्या है और H बेलन की ऊँचाई है।

चूँकि एक वृत्ताकार बेलन का आधार R त्रिज्या का एक वृत्त है, तो Q \u003d R 2, और इसलिए

विज्ञान का नाम "ज्यामिति" का अनुवाद "पृथ्वी की माप" के रूप में किया गया है। यह बहुत पहले प्राचीन भूमि सर्वेक्षणकर्ताओं के प्रयासों से पैदा हुआ था। और यह इस तरह हुआ: पवित्र नील नदी की बाढ़ के दौरान, पानी की धाराएँ कभी-कभी किसानों के भूखंडों की सीमाओं को धो देती थीं, और नई सीमाएँ पुराने के साथ मेल नहीं खाती थीं। भूमि आवंटन के आकार के अनुपात में किसानों द्वारा फिरौन के खजाने में करों का भुगतान किया जाता था। स्पिल के बाद नई सीमाओं के भीतर कृषि योग्य भूमि के क्षेत्रों को मापने में विशेष लोग लगे हुए थे। उनकी गतिविधियों के परिणामस्वरूप ही एक नए विज्ञान का उदय हुआ, जिसका विकास भारत में हुआ प्राचीन ग्रीस. वहाँ उसने नाम प्राप्त किया, और व्यावहारिक रूप से हासिल कर लिया आधुनिक रूप. भविष्य में, यह शब्द फ्लैट और के विज्ञान के लिए अंतर्राष्ट्रीय नाम बन गया वॉल्यूमेट्रिक आंकड़ेओह।

प्लानिमेट्री ज्यामिति की एक शाखा है जो समतल आकृतियों के अध्ययन से संबंधित है। विज्ञान की एक अन्य शाखा स्टीरियोमेट्री है, जो स्थानिक (वॉल्यूमेट्रिक) आंकड़ों के गुणों पर विचार करती है। इस लेख में वर्णित सिलेंडर भी ऐसे ही आंकड़ों से संबंधित है।

बेलनाकार वस्तुओं की उपस्थिति के उदाहरण रोजमर्रा की जिंदगीपर्याप्त। रोटेशन के लगभग सभी हिस्सों - शाफ्ट, झाड़ियों, गर्दन, धुरी, आदि में एक बेलनाकार (बहुत कम अक्सर - शंक्वाकार) आकार होता है। सिलेंडर का व्यापक रूप से निर्माण में उपयोग किया जाता है: टावर, सहायक, सजावटी कॉलम। और इसके अलावा, व्यंजन, कुछ प्रकार की पैकेजिंग, विभिन्न व्यास के पाइप। और अंत में - प्रसिद्ध टोपियां, जो लंबे समय से पुरुष लालित्य का प्रतीक बन गई हैं। असीमित सूची है।

एक ज्यामितीय आकृति के रूप में एक सिलेंडर की परिभाषा

एक सिलेंडर (गोलाकार सिलेंडर) को आमतौर पर दो वृत्तों से युक्त एक आकृति कहा जाता है, जो यदि वांछित है, तो समानांतर अनुवाद का उपयोग करके संयुक्त किया जाता है। ये वृत्त हैं जो बेलन के आधार हैं। लेकिन संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाएं (सीधे खंड) "जनरेटर" कहलाती हैं।

यह महत्वपूर्ण है कि सिलेंडर के आधार हमेशा बराबर हों (यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो हमारे सामने एक छोटा शंकु है, कुछ और, लेकिन सिलेंडर नहीं) और समानांतर विमानों में हैं। वृत्तों पर संगत बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड समानांतर और बराबर होते हैं।

जनरेटर के अनंत सेट की समग्रता एक सिलेंडर की पार्श्व सतह से ज्यादा कुछ नहीं है - किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति के तत्वों में से एक। इसका अन्य महत्वपूर्ण घटक ऊपर चर्चा की गई मंडलियां हैं। उन्हें आधार कहा जाता है।

सिलेंडर के प्रकार

सबसे सरल और सबसे सामान्य प्रकार का सिलेंडर गोलाकार होता है। यह आधारों के रूप में कार्य करने वाले दो नियमित वृत्तों से बनता है। लेकिन उनकी जगह और भी आंकड़े हो सकते हैं।

बेलनों के आधार (वृत्तों को छोड़कर) दीर्घवृत्त और अन्य बंद आकृतियाँ बना सकते हैं। लेकिन जरूरी नहीं कि सिलेंडर का आकार बंद हो। उदाहरण के लिए, एक बेलन का आधार एक परवलय, एक अतिपरवलय, दूसरा हो सकता है खुला समारोह. ऐसा सिलेंडर खुला या तैनात किया जाएगा।

जेनरेटर के आधारों के झुकाव के कोण के अनुसार, सिलेंडर सीधे या झुके हुए हो सकते हैं। एक दाहिने सिलेंडर के लिए, जनरेटर आधार के तल पर सख्ती से लंबवत होते हैं। यदि यह कोण 90° से भिन्न है, तो बेलन झुका हुआ है।

क्रांति की सतह क्या है

एक सही गोलाकार सिलेंडर बिना किसी संदेह के इंजीनियरिंग में उपयोग की जाने वाली क्रांति की सबसे आम सतह है। कभी-कभी, तकनीकी संकेतों के अनुसार, शंक्वाकार, गोलाकार और कुछ अन्य प्रकार की सतहों का उपयोग किया जाता है, लेकिन सभी घूर्णन शाफ्ट, एक्सल आदि का 99% हिस्सा होता है। सिलेंडर के रूप में बनाया गया है। क्रांति की सतह क्या है, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम विचार कर सकते हैं कि सिलेंडर स्वयं कैसे बनता है।

मान लीजिए कि एक लाइन है एकलंबवत रखा। ABCD एक आयत है, जिसकी एक भुजा (खंड AB) एक सीधी रेखा पर स्थित है एक. यदि हम एक आयत को एक सीधी रेखा के चारों ओर घुमाते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, तो घूर्णन करते समय वह जिस आयतन पर कब्जा करेगा, वह हमारा परिक्रमण पिंड होगा - ऊँचाई H = AB = DC और त्रिज्या R = AD = BC वाला एक लम्ब वृत्तीय बेलन।

इस मामले में, आकृति के घूर्णन के परिणामस्वरूप - एक आयत - एक सिलेंडर प्राप्त होता है। एक त्रिकोण को घुमाते हुए, आप एक शंकु प्राप्त कर सकते हैं, एक अर्धवृत्त को घुमाते हुए - एक गेंद, आदि।

सिलेंडर सतह क्षेत्र

एक साधारण सीधे गोलाकार सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, आधारों और पार्श्व सतह के क्षेत्रों की गणना करना आवश्यक है।

सबसे पहले, आइए देखें कि पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना कैसे की जाती है। यह बेलन की परिधि और ऊँचाई का गुणनफल है। परिधि, बदले में, सार्वभौमिक संख्या के उत्पाद के दोगुने के बराबर है पीवृत्त की त्रिज्या तक।

एक वृत्त का क्षेत्रफल गुणनफल के बराबर माना जाता है पीत्रिज्या के वर्ग के लिए। तो, आधार क्षेत्र के लिए दो बार अभिव्यक्ति के साथ पार्श्व सतह को निर्धारित करने के क्षेत्र के लिए सूत्रों को जोड़ना (उनमें से दो हैं) और सरल बीजीय परिवर्तन करते हुए, हम सतह के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं सिलेंडर।

किसी आकृति का आयतन ज्ञात करना

सिलेंडर का आयतन मानक योजना द्वारा निर्धारित किया जाता है: आधार का सतह क्षेत्र ऊंचाई से गुणा किया जाता है।

इस प्रकार, अंतिम सूत्र इस तरह दिखता है: वांछित को सार्वभौमिक संख्या द्वारा शरीर की ऊंचाई के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जाता है पीऔर आधार त्रिज्या का वर्ग।

परिणामी सूत्र, यह कहा जाना चाहिए, सबसे अप्रत्याशित समस्याओं को हल करने के लिए लागू होता है। उसी तरह जैसे सिलेंडर का आयतन, उदाहरण के लिए, विद्युत तारों का आयतन निर्धारित किया जाता है। तारों के द्रव्यमान की गणना करने के लिए यह आवश्यक हो सकता है।

सूत्र में एकमात्र अंतर यह है कि एक सिलेंडर की त्रिज्या के बजाय, तारों के कोर का व्यास दो में विभाजित होता है और अभिव्यक्ति में तार में कोर की संख्या दिखाई देती है एन. साथ ही, ऊंचाई के बजाय तार की लंबाई का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार, "सिलेंडर" की मात्रा की गणना एक से नहीं, बल्कि ब्रैड में तारों की संख्या से की जाती है।

व्यवहार में अक्सर ऐसी गणनाओं की आवश्यकता होती है। आखिरकार, पानी की टंकियों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा पाइप के रूप में बनाया जाता है। और घर में भी सिलेंडर की मात्रा की गणना करना अक्सर आवश्यक होता है।

हालांकि, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सिलेंडर का आकार भिन्न हो सकता है। और कुछ मामलों में यह गणना करना आवश्यक है कि झुके हुए सिलेंडर का आयतन किसके बराबर है।

अंतर यह है कि आधार के सतह क्षेत्र को जेनरेटर की लंबाई से गुणा नहीं किया जाता है, जैसा कि सीधे सिलेंडर के मामले में होता है, लेकिन विमानों के बीच की दूरी से - उनके बीच निर्मित एक लंबवत खंड।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, ऐसा खंड जेनरेटरिक्स की लंबाई के उत्पाद के बराबर है जो जेनरेटरिक्स के विमान के झुकाव के कोण के साइन द्वारा है।

सिलेंडर स्वीप का निर्माण कैसे करें

कुछ मामलों में, सिलेंडर रीमर को काटना आवश्यक है। नीचे दिया गया चित्र उन नियमों को दर्शाता है जिनके द्वारा दी गई ऊंचाई और व्यास वाले बेलन के निर्माण के लिए एक रिक्त स्थान बनाया जाता है।

कृपया ध्यान दें कि आंकड़ा बिना सीम के दिखाया गया है।

बेवेल्ड सिलेंडर अंतर

आइए कल्पना करें कि एक सीधा सिलेंडर जनरेटर के लंबवत एक विमान द्वारा एक तरफ घिरा हुआ है। लेकिन दूसरी तरफ सिलेंडर को बांधने वाला विमान जनरेटर के लंबवत नहीं है और पहले विमान के समानांतर नहीं है।

आंकड़ा एक बेवल वाले सिलेंडर को दर्शाता है। विमान एकजनरेटर से 90° के अलावा किसी अन्य कोण पर, आकृति को प्रतिच्छेद करता है।

पाइपलाइन कनेक्शन (कोहनी) के रूप में यह ज्यामितीय आकार व्यवहार में अधिक सामान्य है। लेकिन यहां तक ​​​​कि बेवल वाले सिलेंडर के रूप में बनी इमारतें भी हैं।

बेवेल्ड सिलेंडर की ज्यामितीय विशेषताएं

बेवल वाले सिलेंडर के विमानों में से एक का ढलान इस तरह के एक आंकड़े के सतह क्षेत्र और इसकी मात्रा दोनों की गणना के क्रम को थोड़ा बदल देता है।

बेलन के आधारों के लंबवत अक्षीय खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस आयत की एक भुजा बेलन की ऊँचाई के बराबर है, दूसरी आधार वृत्त के व्यास के बराबर है। तदनुसार, इस मामले में अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल आयत की भुजाओं के गुणनफल के बराबर होगा। S=2R*h, जहां S क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र है, R आधार सर्कल की त्रिज्या है, जो समस्या की स्थितियों द्वारा दी गई है, और h सिलेंडर की ऊंचाई है, जो समस्या की स्थितियों द्वारा भी दी गई है।

यदि खंड आधारों के लंबवत है, लेकिन रोटेशन की धुरी से नहीं गुजरता है, तो आयत वृत्त के व्यास के बराबर नहीं होगा। इसकी गणना करने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, कार्य को यह कहना होगा कि अनुभाग विमान रोटेशन के अक्ष से कितनी दूरी पर गुजरता है। गणना की सुविधा के लिए, बेलन के आधार का एक वृत्त बनाएं, एक त्रिज्या बनाएं और उस पर उस दूरी को अलग रखें जिस पर वृत्त के केंद्र से अनुभाग स्थित है। इस बिंदु से, लंबों तक खींचे जब तक वे वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न करें। चौराहे के बिंदुओं को केंद्र से कनेक्ट करें। आपको तार खोजने की जरूरत है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आधे जीवा का आकार ज्ञात कीजिए। यह बराबर होगा वर्गमूलकेंद्र से खंड रेखा तक वृत्त की त्रिज्या के वर्गों के अंतर से। a2=R2-b2. पूरी जीवा क्रमशः 2a के बराबर होगी। क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र की गणना करें, जो आयत की भुजाओं के गुणनफल के बराबर है, अर्थात S=2a*h।

आधार के तल से गुजरे बिना सिलेंडर को विच्छेदित किया जा सकता है। यदि क्रॉस सेक्शन रोटेशन की धुरी के लंबवत है, तो यह एक सर्कल होगा। इस मामले में इसका क्षेत्रफल आधारों के क्षेत्रफल के बराबर है, अर्थात इसकी गणना सूत्र S \u003d πR2 द्वारा की जाती है।

उपयोगी सलाह

अनुभाग की अधिक सटीक रूप से कल्पना करने के लिए, एक चित्र और अतिरिक्त निर्माण करें।

स्रोत:

• सिलेंडर क्रॉस सेक्शन क्षेत्र

एक समतल के साथ एक सतह के प्रतिच्छेदन की रेखा सतह और छेदक तल दोनों से संबंधित होती है। एक बेलनाकार सतह के प्रतिच्छेदन की रेखा जिसमें सीधे जेनरेट्रिक्स के समानांतर एक छेदक विमान होता है, एक सीधी रेखा होती है। यदि काटने वाला विमान क्रांति की सतह के अक्ष के लंबवत है, तो अनुभाग में एक वृत्त होगा। पर सामान्य मामलाएक काटने वाले विमान के साथ एक बेलनाकार सतह के प्रतिच्छेदन की रेखा एक घुमावदार रेखा है।

आपको चाहिये होगा

• पेंसिल, शासक, त्रिकोण, पैटर्न, परकार, मापक यंत्र।

अनुदेश

ललाट प्रोजेक्शन प्लेन P₂ पर, सेक्शन लाइन एक सीधी रेखा के रूप में सेकेंड प्लेन के प्रोजेक्शन के साथ मेल खाती है।
प्रक्षेपण 1₂, 2₂, आदि के साथ सिलेंडर के जेनरेटर के चौराहे के बिंदुओं को नामित करें। अंक 10₂ और 11₂ तक।

तल पर P₁ एक वृत्त है। अंक 1₂ , 2₂ अनुभाग विमान , आदि पर चिह्नित। एक प्रोजेक्शन लाइन की मदद से, कनेक्शन इस सर्कल की रूपरेखा पर पेश किए जाएंगे। सर्कल के क्षैतिज अक्ष के बारे में सममित रूप से उनके क्षैतिज अनुमानों को नामित करें।

इस प्रकार, वांछित खंड के अनुमानों को परिभाषित किया गया है: विमान पी₂ पर - एक सीधी रेखा (अंक 1₂, 2₂ ... 10₂); विमान P₁ पर - एक वृत्त (अंक 1₁, 2₁ ... 10₁)।

दो से, दिए गए सिलेंडर के खंड के प्राकृतिक आकार का निर्माण सामने-प्रोजेक्टिंग प्लेन द्वारा करें। ऐसा करने के लिए, अनुमानों की विधि का उपयोग करें।

समतल के प्रक्षेपण के समांतर तल P₄ खींचिए। इस नए x₂₄ अक्ष पर, बिंदु 1₀ चिह्नित करें। अंक 1₂ - 2₂, 2₂ - 4₂, आदि के बीच की दूरी। खंड के ललाट प्रक्षेपण से, x₂₄ अक्ष पर अलग सेट करें, x₂₄ अक्ष के लंबवत प्रक्षेपण कनेक्शन की पतली रेखाएँ खींचें।

इस विधि में, P₄ तल को P₁ तल से बदल दिया जाता है, इसलिए, क्षैतिज प्रक्षेपण से, आयामों को अक्ष से बिंदुओं तक P₄ तल के अक्ष पर स्थानांतरित करें।

उदाहरण के लिए, बिंदु 2 और 3 के लिए P₁ पर, यह 2₁ और 3₁ से अक्ष (बिंदु A), आदि की दूरी होगी।

क्षैतिज प्रक्षेपण से संकेतित दूरियों को स्थगित करने के बाद, आपको 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀ अंक मिलेंगे। फिर, निर्माण की अधिक सटीकता के लिए, शेष, मध्यवर्ती, अंक निर्धारित किए जाते हैं।

सभी बिंदुओं को एक घुमावदार वक्र से जोड़कर, आप सामने-प्रोजेक्टिंग विमान द्वारा सिलेंडर के क्रॉस सेक्शन का वांछित प्राकृतिक आकार प्राप्त करेंगे।

स्रोत:

• विमान को कैसे बदलें

टिप 3: काटे गए शंकु के अक्षीय खंड का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि एक छोटा शंकु क्या है और इसमें क्या गुण हैं। आकर्षित करना सुनिश्चित करें। यह निर्धारित करेगा कि कौन सा ज्यामितीय आकृतिएक खंड है। बहुत संभव है कि इसके बाद समस्या का समाधान आपके लिए कठिन न हो।

अनुदेश

एक गोल शंकु एक पिंड है जो अपने एक पैर के चारों ओर एक त्रिभुज को घुमाकर प्राप्त किया जाता है। ऊपर से आने वाली सीधी रेखाएं शंकुऔर इसके आधार को प्रतिच्छेद करने वाले जनित्र कहलाते हैं। यदि सभी जनरेटर समान हैं, तो शंकु सीधा है। दौर के आधार पर शंकुएक वृत्त है। ऊपर से आधार पर गिराया गया लंबवत ऊंचाई है शंकु. सीधे दौर में शंकुऊंचाई अपनी धुरी के साथ मेल खाती है। अक्ष आधार के केंद्र से जुड़ने वाली एक सीधी रेखा है। यदि वृत्ताकार का क्षैतिज कटिंग प्लेन शंकु, तो इसका ऊपरी आधार एक वृत्त है।

चूंकि यह समस्या की स्थिति में निर्दिष्ट नहीं है, यह शंकु है जो इस मामले में दिया गया है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह एक सीधा कटा हुआ शंकु है, जिसका क्षैतिज खंड आधार के समानांतर है। इसका अक्षीय खंड, अर्थात्। ऊर्ध्वाधर विमान, जो एक वृत्ताकार के अक्ष के माध्यम से शंकु, एक समद्विबाहु समलम्ब है। सभी अक्षीय धारासीधे गोल शंकुएक दूसरे के बराबर हैं। इसलिए, खोजने के लिए वर्ग AXIAL धारा, खोजने की आवश्यकता है वर्गट्रेपेज़ॉइड, जिसके आधार काटे गए आधारों के व्यास हैं शंकु, और भुजाएँ इसके जनक हैं। काट-छाँट ऊँचाई शंकुसमलंब की ऊंचाई भी है।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: S = ½(a+b) h, जहाँ S है वर्गसमलम्ब चतुर्भुज; ए - मान निचला आधारसमलम्बाकार; बी - इसका मूल्य ऊपरी आधार;h समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है।

चूंकि शर्त यह निर्दिष्ट नहीं करती है कि कौन से दिए गए हैं, यह संभव है कि काटे गए दोनों आधारों के व्यास शंकुज्ञात: AD = d1 काटे गए के निचले आधार का व्यास है शंकु;BC = d2 इसके ऊपरी आधार का व्यास है; ईएच = एच1 - ऊंचाई शंकु।इस तरह, वर्ग AXIAL धाराछोटा कर दिया शंकुपरिभाषित: S1 = ½ (d1+d2) h1

स्रोत:

• छोटा शंकु क्षेत्र

सिलेंडर एक त्रि-आयामी आकृति है और इसमें दो समान आधार होते हैं, जो वृत्त होते हैं, और एक पार्श्व सतह जो आधारों को बांधने वाली रेखाएं होती है। हिसाब करना वर्ग सिलेंडर, इसकी सभी सतहों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और उन्हें जोड़िए।

स्टीरियोमेट्री ज्यामिति की एक शाखा है जो अंतरिक्ष में आकृतियों का अध्ययन करती है। अंतरिक्ष में मुख्य आंकड़े एक बिंदु, एक रेखा और एक विमान हैं। स्टीरियोमेट्री में प्रकट होता है नया प्रकार तुलनात्मक स्थितिसीधी रेखाएँ: सीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करना। यह ठोस ज्यामिति और प्लानिमेट्री के बीच कुछ महत्वपूर्ण अंतरों में से एक है, क्योंकि कई मामलों में स्टिरियोमेट्री समस्याओं को विभिन्न विमानों पर विचार करके हल किया जाता है जिसमें प्लानिमेट्रिक कानून संतुष्ट होते हैं।

हमारे आसपास की प्रकृति में ऐसी कई वस्तुएं हैं जो इस आकृति के भौतिक मॉडल हैं। उदाहरण के लिए, कई मशीन के पुर्जे एक सिलेंडर या उनमें से कुछ संयोजन के रूप में होते हैं, और मंदिरों और गिरजाघरों के राजसी स्तंभ, जो सिलेंडर के रूप में बने होते हैं, उनके सामंजस्य और सुंदरता पर जोर देते हैं।

यूनानी - क्यूलिंड्रोस। प्राचीन शब्द। रोजमर्रा की जिंदगी में - एक पेपिरस स्क्रॉल, एक रोलर, एक स्केटिंग रिंक (क्रिया - मोड़, रोल)।

यूक्लिड में एक आयत को घुमाकर एक बेलन प्राप्त होता है। कैवलियरी के लिए - जेनरेटर की गति से (एक मनमाना गाइड के साथ - "सिलेंडर")।

इस निबंध का उद्देश्य एक ज्यामितीय निकाय - एक सिलेंडर पर विचार करना है।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित कार्यों पर विचार किया जाना चाहिए:

- एक सिलेंडर की परिभाषा दें;

- सिलेंडर के तत्वों पर विचार करें;

- सिलेंडर के गुणों का अध्ययन करने के लिए;

- सिलेंडर के अनुभाग के प्रकारों पर विचार करें;

- बेलन के क्षेत्रफल के लिए सूत्र व्युत्पन्न करें;

- बेलन के आयतन का सूत्र व्युत्पन्न करें;

- सिलेंडर से समस्याओं का समाधान।

1.1. सिलेंडर परिभाषा

किसी समतल α में पड़ी कुछ रेखा (वक्र, टूटी हुई रेखा या मिश्रित रेखा) पर विचार करें और कुछ सीधी रेखा S इस तल को प्रतिच्छेद करती हैं। दी गई रेखा l के सभी बिंदुओं से होकर हम रेखा S के समानांतर रेखाएँ खींचते हैं; इन सीधी रेखाओं से बनने वाले पृष्ठ α को बेलनाकार पृष्ठ कहा जाता है। रेखा l को इस सतह का मार्गदर्शक कहा जाता है, रेखाएँ s 1, s 2, s 3,... इसके जनक हैं।

यदि गाइड एक टूटी हुई रेखा है, तो ऐसी बेलनाकार सतह में समानांतर रेखाओं के जोड़े के बीच संलग्न फ्लैट स्ट्रिप्स की एक श्रृंखला होती है, और इसे प्रिज्मीय सतह कहा जाता है। गाइडिंग पॉलीलाइन के शीर्षों से गुजरने वाले जेनरेटर को प्रिज्मीय सतह के किनारे कहा जाता है, उनके बीच की सपाट पट्टियों को इसके फलक कहा जाता है।

यदि हम किसी बेलनाकार सतह को मनमाने ढंग से काटते हैं जो उसके जनरेटर के समानांतर नहीं है, तो हमें एक रेखा मिलती है जिसे इस सतह के लिए एक गाइड के रूप में भी लिया जा सकता है। गाइडों के बीच, एक बाहर खड़ा है, जो सतह के जनरेटर के लिए लंबवत एक विमान द्वारा सतह के खंड से प्राप्त किया जाता है। ऐसे अनुभाग को सामान्य अनुभाग कहा जाता है, और संबंधित मार्गदर्शिका को सामान्य मार्गदर्शिका कहा जाता है।

यदि गाइड एक बंद (उत्तल) रेखा (टूटी हुई रेखा या वक्र) है, तो संबंधित सतह को बंद (उत्तल) प्रिज्मीय या बेलनाकार सतह कहा जाता है। बेलनाकार सतहों में से, सबसे सरल का अपना सामान्य गाइड सर्कल होता है। आइए हम एक बंद उत्तल प्रिज्मीय सतह को एक दूसरे के समानांतर दो विमानों द्वारा विच्छेदित करें, लेकिन जनरेटर के समानांतर नहीं।

वर्गों में हम उत्तल बहुभुज प्राप्त करते हैं। अब प्रिज्मीय सतह का हिस्सा α और α" विमानों के बीच घिरा हुआ है, और इन विमानों में बनी दो बहुभुज प्लेटें शरीर को सीमित करती हैं, जिसे प्रिज्मीय शरीर कहा जाता है - प्रिज्म।

एक बेलनाकार शरीर - एक सिलेंडर को प्रिज्म के समान परिभाषित किया जाता है:
एक सिलेंडर एक बंद (उत्तल) बेलनाकार सतह से पार्श्व रूप से घिरा हुआ शरीर है, और सिरों से दो फ्लैट समानांतर आधारों से घिरा हुआ है। बेलन के दोनों आधार बराबर होते हैं, और बेलन के सभी जनक भी एक दूसरे के बराबर होते हैं, अर्थात्। आधारों के तलों के बीच एक बेलनाकार सतह बनाने वाले खंड।

एक सिलेंडर (अधिक सटीक रूप से, एक गोलाकार सिलेंडर) एक ज्यामितीय निकाय होता है, जिसमें दो मंडल होते हैं जो एक ही विमान में नहीं होते हैं और समानांतर स्थानांतरण द्वारा संयुक्त होते हैं, और इन मंडलियों के संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी खंड (चित्र। 1) .

वृत्तों को बेलन का आधार कहा जाता है, और वृत्तों के वृत्तों के संगत बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड बेलन के जनक कहलाते हैं।

चूँकि समानांतर अनुवाद गति है, बेलन के आधार बराबर होते हैं।

चूंकि समानांतर अनुवाद के दौरान विमान समानांतर विमान (या स्वयं में) में गुजरता है, तो सिलेंडर के आधार समानांतर विमानों में स्थित होते हैं।

चूंकि, समानांतर अनुवाद के दौरान, बिंदु समान दूरी से समानांतर (या संयोग) रेखाओं के साथ विस्थापित होते हैं, तो सिलेंडर के जनरेटर समानांतर और बराबर होते हैं।

एक सिलेंडर की सतह में आधार और एक तरफ की सतह होती है। पार्श्व सतह जनरेटर से बना है।

एक सिलेंडर को सीधा कहा जाता है यदि उसके जनरेटर आधारों के विमानों के लंबवत होते हैं।

एक सीधे बेलन को एक ज्यामितीय निकाय के रूप में देखा जा सकता है जो एक आयत का वर्णन करता है क्योंकि यह एक अक्ष के रूप में भुजा के चारों ओर घूमता है (चित्र 2)।

चावल। 2 - सीधा सिलेंडर

निम्नलिखित में, हम केवल एक सीधे सिलेंडर पर विचार करेंगे, इसे केवल संक्षिप्तता के लिए एक सिलेंडर कहते हैं।

एक बेलन की त्रिज्या उसके आधार की त्रिज्या होती है। एक बेलन की ऊँचाई उसके आधारों के तलों के बीच की दूरी है। सिलेंडर की धुरी आधारों के केंद्रों से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। यह जनरेटर के समानांतर है।

एक बेलन को समबाहु कहा जाता है यदि उसकी ऊँचाई उसके आधार के व्यास के बराबर हो।

यदि बेलन के आधार समतल हों (और इसलिए उनमें स्थित तल समानांतर हों), तो बेलन को समतल पर खड़ा होना कहा जाता है। यदि समतल पर खड़े बेलन के आधार जेनरेट्रिक्स के लंबवत हों, तो बेलन को सीधा कहा जाता है।

विशेष रूप से, यदि एक समतल पर खड़े बेलन का आधार एक वृत्त है, तो कोई एक वृत्ताकार (गोल) बेलन की बात करता है; यदि एक दीर्घवृत्त है, तो अण्डाकार।

1. 3. सिलेंडर के खंड

अपनी धुरी के समानांतर एक समतल द्वारा बेलन का खंड एक आयत है (चित्र 3, क)। इसकी दो भुजाएँ बेलन के जनक हैं, और अन्य दो आधारों की समानांतर जीवाएँ हैं।

एक) बी)

में) जी)

चावल। 3 - सिलेंडर के खंड

विशेष रूप से, आयत अक्षीय खंड है। यह अपने अक्ष से गुजरने वाले तल द्वारा बेलन का एक भाग है (चित्र 3, ख)।

आधार के समांतर समतल द्वारा बेलन का खंड एक वृत्त है (चित्र 3, ग)।

आधार के समानांतर नहीं एक विमान के साथ सिलेंडर का क्रॉस सेक्शन और इसकी धुरी एक अंडाकार (चित्र 3 डी) है।

प्रमेय 1. बेलन के आधार के तल के समांतर तल इसे प्रतिच्छेद करता है पार्श्व सतहआधार की परिधि के बराबर एक वृत्त के चारों ओर।

सबूत। मान लीजिए β बेलन के आधार के तल के समांतर एक तल है। सिलेंडर की धुरी की दिशा में समानांतर स्थानांतरण, जो विमान β को सिलेंडर के आधार के विमान के साथ जोड़ता है, आधार की परिधि के साथ विमान β द्वारा पार्श्व सतह के खंड को जोड़ता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल।

सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्र को उस सीमा के रूप में लिया जाता है जिस तक पार्श्व सतह क्षेत्र का झुकाव होता है दायां प्रिज्मजब इस प्रिज्म के आधार की भुजाओं की संख्या अनिश्चित काल के लिए बढ़ जाती है तो एक बेलन में खुदा हुआ होता है।

प्रमेय 2। बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसके आधार की परिधि और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है (S पक्ष। c = 2πRH, जहाँ R बेलन के आधार की त्रिज्या है, H है सिलेंडर की ऊंचाई)।

लेकिन) बी)
चावल। 4 - बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल

सबूत।

मान लीजिए P n और H, क्रमशः आधार की परिधि और एक बेलन में अंकित एक नियमित n-गोनल प्रिज्म की ऊँचाई हैं (चित्र 4, a)। तब इस प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल S भुजा है। c - P n H। आइए मान लें कि आधार में अंकित बहुभुज के पक्षों की संख्या अनिश्चित काल तक बढ़ती है (चित्र 4, बी)। तब परिमाप P n परिधि C = 2πR की ओर जाता है, जहाँ R बेलन के आधार की त्रिज्या है, और ऊँचाई H नहीं बदलती है। इस प्रकार, प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 2πRH की सीमा तक जाता है, अर्थात, सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल S भुजा के बराबर होता है। c = 2πRH। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्र।

एक बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल पार्श्व सतह और दो आधारों के क्षेत्रफलों का योग होता है। सिलेंडर के प्रत्येक आधार का क्षेत्रफल R 2 के बराबर है, इसलिए, सिलेंडर S की पूर्ण सतह के क्षेत्रफल की गणना सूत्र S पक्ष द्वारा की जाती है। c \u003d 2πRH + 2πR 2।

आर

टी1

टी

एफ

एफ1

एफ

टी

एक)

एफ

बी)

चावल। 5 - बेलन का पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

यदि सिलेंडर की पार्श्व सतह को जेनरेट्रिक्स एफटी (चित्र 5, ए) के साथ काटा जाता है और खुला होता है ताकि सभी जेनरेटर एक ही विमान में हों, तो परिणामस्वरूप हमें एक आयत FTT1F1 मिलता है, जिसे विकास कहा जाता है सिलेंडर की पार्श्व सतह। आयत की भुजा FF1 बेलन के आधार की परिधि का विकास है, इसलिए, FF1=2πR, और इसकी भुजा FT, बेलन के जेनरेट्रिक्स के बराबर है, अर्थात FT = H (चित्र 5, b)। इस प्रकार, सिलेंडर के विकास का क्षेत्र FT∙FF1=2πRH इसकी पार्श्व सतह के क्षेत्र के बराबर है।

1.5. सिलेंडर की मात्रा

यदि ज्यामितीय निकाय सरल है, अर्थात इसे एक परिमित संख्या में विभाजित किया जा सकता है त्रिकोणीय पिरामिड, तो इसकी मात्रा योग के बराबर हैइन पिरामिडों की मात्रा। एक मनमाना शरीर के लिए, मात्रा को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

किसी दिए गए निकाय का आयतन V होता है, यदि उसमें मौजूद साधारण निकाय मौजूद हों और उसमें निहित सरल निकाय हों, जिनकी मात्रा V से वांछित रूप से थोड़ी भिन्न हो।

आइए इस परिभाषा को आधार त्रिज्या R और ऊँचाई H वाले बेलन का आयतन ज्ञात करने पर लागू करें।

एक वृत्त के क्षेत्रफल के लिए सूत्र प्राप्त करते समय, दो n-gons (एक जिसमें एक वृत्त होता है, दूसरा एक वृत्त में समाहित होता है) का निर्माण इस तरह किया जाता है कि उनके क्षेत्र, n में असीमित वृद्धि के साथ, के क्षेत्र के करीब पहुंच गए अनिश्चित काल के लिए एक चक्र। आइए हम बेलन के आधार पर वृत्त के लिए ऐसे बहुभुजों की रचना करें। मान लीजिए कि P एक वृत्त वाला बहुभुज है, और P" एक वृत्त में समाहित बहुभुज है (चित्र 6)।

चावल। 7 - एक प्रिज्म वाला सिलेंडर जिसमें वर्णित और खुदा हुआ है

हम आधार पी और पी के साथ दो सीधे प्रिज्म का निर्माण करते हैं "और ऊंचाई एच सिलेंडर की ऊंचाई के बराबर है। पहले प्रिज्म में एक सिलेंडर होता है, और दूसरा प्रिज्म एक सिलेंडर में निहित होता है। चूंकि एन में असीमित वृद्धि के साथ, के क्षेत्र प्रिज्म के आधार सिलेंडर एस के आधार के क्षेत्र में अनिश्चित काल तक पहुंचते हैं, फिर उनकी मात्रा अनिश्चित काल तक एस एच तक पहुंचती है। परिभाषा के अनुसार, एक सिलेंडर की मात्रा

वी = एसएच = πR 2 एच।

तो, एक बेलन का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

कार्य 1।

एक बेलन का अक्षीय खंड एक वर्ग है जिसका क्षेत्रफल Q है।

बेलन के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

दिया गया है: बेलन, वर्गाकार - बेलन का अक्षीय भाग, S वर्ग = Q.

खोजें: एस मुख्य सिलेंडर।

वर्ग की भुजा है। यह आधार के व्यास के बराबर है। तो आधार का क्षेत्रफल है .

उत्तर: एस मेन सिल। =

कार्य 2.

एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म एक सिलेंडर में खुदा हुआ है। यदि आधार की त्रिज्या बेलन की ऊंचाई के बराबर है, तो इसके पार्श्व फलक के विकर्ण और बेलन के अक्ष के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

दिया गया है: एक बेलन, एक बेलन में अंकित एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म, आधार की त्रिज्या = बेलन की ऊँचाई।

खोजें: इसके पार्श्व फलक के विकर्ण और बेलन के अक्ष के बीच का कोण।

हल: प्रिज्म के पार्श्व फलक वर्ग होते हैं, क्योंकि एक वृत्त में अंकित एक नियमित षट्भुज की भुजा त्रिज्या के बराबर होती है।

प्रिज्म के किनारे बेलन की धुरी के समानांतर होते हैं, इसलिए फलक के विकर्ण और बेलन के अक्ष के बीच का कोण विकर्ण और पार्श्व किनारे के बीच के कोण के बराबर होता है। और यह कोण 45° का होता है, क्योंकि फलक वर्गाकार होते हैं।

उत्तर: इसके पार्श्व फलक के विकर्ण और बेलन के अक्ष के बीच का कोण = 45°।

कार्य 3.

बेलन की ऊँचाई 6 सेमी, आधार की त्रिज्या 5 सेमी है।

बेलन की धुरी के समानांतर खींचे गए एक खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो इससे 4 सेमी की दूरी पर है।

दिया गया है: एच = 6 सेमी, आर = 5 सेमी, ओई = 4 सेमी।

खोजें: एस सेकंड।

एस सेकंड। = केएम × केएस,

ओई = 4 सेमी, केएस = 6 सेमी।

त्रिभुज OKM - समद्विबाहु (OK = OM = R = 5 सेमी),

त्रिभुज OEK एक समकोण त्रिभुज है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार OEK त्रिभुज से:

केएम \u003d 2EK \u003d 2 × 3 \u003d 6,

एस सेकंड। \u003d 6 × 6 \u003d 36 सेमी 2।

इस निबंध का उद्देश्य पूरा होता है, ऐसे ज्यामितीय शरीर को एक सिलेंडर के रूप में माना जाता है।

निम्नलिखित कार्यों पर विचार किया गया:

- एक सिलेंडर की परिभाषा दी गई है;

- सिलेंडर के तत्वों पर विचार किया जाता है;

- सिलेंडर के गुणों का अध्ययन किया;

- सिलेंडर सेक्शन के प्रकारों पर विचार किया जाता है;

- बेलन के क्षेत्रफल का सूत्र प्राप्त होता है;

- बेलन के आयतन का सूत्र निकाला गया है;

- सिलेंडर के इस्तेमाल से समस्याओं का समाधान होता है।

1. पोगोरेलोव ए.वी. ज्यामिति: शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 10 - 11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक, 1995।

2. बेस्किन एल.एन. स्टीरियोमेट्री। शिक्षक की मार्गदर्शिका उच्च विद्यालय, 1999.

3. अतानासियन एल.एस., बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., किसेलेवा एल.एस., पॉज़्न्याक ई.जी. ज्यामिति: शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक, 2000।

4. अलेक्जेंड्रोव ए.डी., वर्नर ए.एल., रयज़िक वी.आई. ज्यामिति: शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए पाठ्यपुस्तक, 1998।

5. किसेलेव ए.पी., रयबकिन एन.ए. ज्यामिति: स्टीरियोमेट्री: ग्रेड 10 - 11: पाठ्यपुस्तक और समस्या पुस्तक, 2000।