एक नियमित पिरामिड के सभी फलक नियमित बहुभुज होते हैं। क्या हमें पिरामिड को एक ज्यामितीय चमत्कार मानने की अनुमति देता है

ज्यामिति का अध्ययन करने से बहुत पहले छात्रों को पिरामिड की अवधारणा का पता चलता है। दुनिया के प्रसिद्ध महान मिस्र के अजूबों को दोष दें। इसलिए, इस अद्भुत पॉलीहेड्रॉन का अध्ययन शुरू करते हुए, अधिकांश छात्र पहले से ही इसकी स्पष्ट रूप से कल्पना करते हैं। उपरोक्त सभी जगहें सही आकार में हैं। क्या दायां पिरामिड, और इसके क्या गुण हैं और इस पर आगे चर्चा की जाएगी।

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परिभाषा

पिरामिड की कई परिभाषाएँ हैं। प्राचीन काल से, यह बहुत लोकप्रिय रहा है।

उदाहरण के लिए, यूक्लिड ने इसे एक ठोस आकृति के रूप में परिभाषित किया, जिसमें समतल होते हैं, जो एक से शुरू होकर एक निश्चित बिंदु पर अभिसरण करते हैं।

बगुला ने अधिक सटीक सूत्रीकरण प्रदान किया। उन्होंने जोर देकर कहा कि यह एक आंकड़ा था कि त्रिभुज के रूप में एक आधार और तल है,एक बिंदु पर अभिसरण।

आधुनिक व्याख्या के आधार पर, पिरामिड को एक स्थानिक पॉलीहेड्रॉन के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसमें एक निश्चित के-गॉन और के फ्लैट त्रिकोणीय आंकड़े होते हैं, जिसमें एक सामान्य बिंदु होता है।

आओ हम इसे नज़दीक से देखें, इसमें कौन से तत्व शामिल हैं?

• के-गॉन को आकृति का आधार माना जाता है;
• 3-कोण वाली आकृतियाँ पार्श्व भाग की भुजाओं के रूप में उभरी हुई हैं;
• ऊपरी भाग, जिससे पार्श्व तत्व उत्पन्न होते हैं, शीर्ष कहलाता है;
• शीर्ष को जोड़ने वाले सभी खंडों को किनारे कहा जाता है;
• यदि एक सीधी रेखा को ऊपर से आकृति के तल तक 90 डिग्री के कोण पर उतारा जाता है, तो आंतरिक स्थान में संलग्न इसका भाग पिरामिड की ऊंचाई है;
• हमारे पॉलीहेड्रॉन के किनारे के किसी भी तत्व में, आप एक लंबवत खींच सकते हैं, जिसे एपोथेम कहा जाता है।

किनारों की संख्या की गणना सूत्र 2*k का उपयोग करके की जाती है, जहां k, k-गॉन की भुजाओं की संख्या है। एक पिरामिड जैसे बहुफलक के कितने फलक होते हैं, यह समीकरण k + 1 द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

महत्वपूर्ण!पिरामिड सही स्वरूपएक त्रिविमीय आकृति कहलाती है जिसका आधार तल समान भुजाओं वाला k-gon है।

मूल गुण

सही पिरामिड कई गुण हैंजो उसके लिए अद्वितीय हैं। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:

1. आधार सही रूप का एक आंकड़ा है।
2. पिरामिड के किनारों, पार्श्व तत्वों को सीमित करते हुए, समान संख्यात्मक मान होते हैं।
3. पार्श्व तत्व - समद्विबाहु त्रिभुज.
4. आकृति की ऊंचाई का आधार बहुभुज के केंद्र में पड़ता है, जबकि यह एक साथ खुदा हुआ और वर्णित का केंद्रीय बिंदु है।
5. सभी पार्श्व पसलियां एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुकी होती हैं।
6. आधार के संबंध में सभी पार्श्व सतहों का झुकाव कोण समान होता है।

सभी सूचीबद्ध गुणों के लिए धन्यवाद, तत्व गणना का प्रदर्शन बहुत सरल है। उपरोक्त गुणों के आधार पर, हम ध्यान देते हैं दो संकेत:

1. उस स्थिति में जब बहुभुज एक वृत्त में फिट हो जाता है, पार्श्व फलकों के आधार के साथ समान कोण होंगे।
2. बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करते समय, शीर्ष से निकलने वाले पिरामिड के सभी किनारों की लंबाई और आधार के बराबर कोण होंगे।

वर्ग आधारित है

नियमित चतुर्भुज पिरामिड - एक वर्ग पर आधारित एक बहुफलक।

इसके चार पार्श्व फलक हैं, जो दिखने में समद्विबाहु हैं।

एक समतल पर, एक वर्ग को दर्शाया गया है, लेकिन वे एक नियमित चतुर्भुज के सभी गुणों पर आधारित हैं।

उदाहरण के लिए, यदि किसी वर्ग की भुजा को उसके विकर्ण से जोड़ना आवश्यक है, तो निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है: विकर्ण वर्ग की भुजा के गुणनफल के बराबर होता है और दो का वर्गमूल।

एक नियमित त्रिभुज पर आधारित

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसका आधार नियमित 3-गॉन होता है।

यदि आधार है सही त्रिकोण, और किनारे के किनारे आधार के किनारों के बराबर हैं, तो ऐसी आकृति चतुष्फलक कहलाता है।

एक चतुष्फलक के सभी फलक समबाहु 3-गॉन होते हैं। इस मामले में, आपको कुछ बिंदुओं को जानने की जरूरत है और गणना करते समय उन पर समय बर्बाद नहीं करना चाहिए:

• किसी भी आधार पर पसलियों के झुकाव का कोण 60 डिग्री है;
• सभी आंतरिक चेहरों का मान भी 60 डिग्री है;
• कोई भी चेहरा आधार के रूप में कार्य कर सकता है;
• आकृति के अंदर खींचे गए समान तत्व हैं।

एक बहुफलक के खंड

किसी भी बहुफलक में होते हैं कई प्रकार के खंडविमान। अक्सर एक स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में वे दो के साथ काम करते हैं:

• अक्षीय;
• समानांतर आधार।

एक पॉलीहेड्रॉन को एक विमान के साथ प्रतिच्छेद करके एक अक्षीय खंड प्राप्त किया जाता है जो शीर्ष, पार्श्व किनारों और अक्ष से गुजरता है। इस मामले में, अक्ष शीर्ष से खींची गई ऊंचाई है। काटने वाला विमान सभी चेहरों के साथ चौराहे की रेखाओं से सीमित होता है, जिसके परिणामस्वरूप एक त्रिभुज होता है।

ध्यान!एक नियमित पिरामिड में, अक्षीय खंड एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।

यदि कटिंग प्लेन आधार के समानांतर चलता है, तो परिणाम दूसरा विकल्प है। इस मामले में, हमारे पास आधार के समान एक आकृति के संदर्भ में है।

उदाहरण के लिए, यदि आधार एक वर्ग है, तो आधार के समानांतर अनुभाग भी एक वर्ग होगा, केवल छोटे आकार का।

इस स्थिति के तहत समस्याओं को हल करते समय, आंकड़ों की समानता के संकेतों और गुणों का उपयोग किया जाता है, थेल्स प्रमेय पर आधारित. सबसे पहले, समानता के गुणांक को निर्धारित करना आवश्यक है।

यदि विमान को आधार के समानांतर खींचा जाता है, और यह पॉलीहेड्रॉन के ऊपरी हिस्से को काट देता है, तो निचले हिस्से में एक नियमित रूप से छोटा पिरामिड प्राप्त होता है। तब काटे गए बहुफलक के आधार समरूप बहुभुज कहलाते हैं। इस मामले में, पार्श्व फलक समद्विबाहु समलम्बाकार होते हैं। अक्षीय खंड भी समद्विबाहु है।

एक काटे गए पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए, एक अक्षीय खंड में, यानी एक ट्रेपोजॉइड में ऊंचाई खींचना आवश्यक है।

सतह क्षेत्र

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में हल की जाने वाली मुख्य ज्यामितीय समस्याएं हैं: एक पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करना।

सतह क्षेत्र दो प्रकार के होते हैं:

• पार्श्व तत्वों का क्षेत्र;
• संपूर्ण सतह क्षेत्र।

शीर्षक से ही स्पष्ट है कि यह किस बारे में है। पार्श्व सतहकेवल पार्श्व तत्व शामिल हैं। इससे यह इस प्रकार है कि इसे खोजने के लिए, आपको केवल पार्श्व विमानों के क्षेत्रों को जोड़ना होगा, यानी समद्विबाहु 3-गॉन के क्षेत्र। आइए पार्श्व तत्वों के क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त करने का प्रयास करें:

1. एक समद्विबाहु 3-गॉन का क्षेत्रफल Str=1/2(aL) है, जहां a आधार की भुजा है, L एपोथेम है।
2. पार्श्व तलों की संख्या आधार पर k-gon के प्रकार पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में चार पार्श्व तल होते हैं। इसलिए, चार अंकों के क्षेत्रों को जोड़ना आवश्यक है Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जाता है क्योंकि मान 4a=POS, जहाँ POS आधार की परिधि है। और व्यंजक 1/2 * रोसन इसकी अर्ध-परिधि है।
3. इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक नियमित पिरामिड के पार्श्व तत्वों का क्षेत्रफल आधार और एपोथेम के अर्ध-परिधि के उत्पाद के बराबर है: साइड \u003d रोसन * एल।

वर्ग पूरी सतहपिरामिड में पार्श्व विमानों और आधार के क्षेत्रों का योग होता है: Sp.p. = Sside + Sbase।

आधार के क्षेत्र के लिए, यहाँ सूत्र का उपयोग बहुभुज के प्रकार के अनुसार किया जाता है।

एक नियमित पिरामिड का आयतनआधार समतल क्षेत्र के गुणनफल और तीन से विभाजित ऊँचाई के बराबर है: V=1/3*Sbase*H, जहाँ H बहुफलक की ऊँचाई है।

ज्यामिति में एक नियमित पिरामिड क्या है

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के गुण

• एपोथेम- एक नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई, जो इसके ऊपर से खींची जाती है (इसके अलावा, एपोथेम लंबवत की लंबाई है, जो एक नियमित बहुभुज के बीच से उसके 1 हिस्से तक कम हो जाती है);
• साइड फेस (एएसबी, बीएससी, सीएसडी, डीएसए) - त्रिकोण जो शीर्ष पर अभिसरण करते हैं;
• पार्श्व पसलियां ( जैसा , बी एस , सीएस , डी.एस. ) - पक्ष के आम पक्ष चेहरे;
• पिरामिड के ऊपर (वी. एस) - एक बिंदु जो किनारे के किनारों को जोड़ता है और जो आधार के तल में नहीं होता है;
• कद ( इसलिए ) - लंबवत का एक खंड, जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचा जाता है (इस तरह के खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार होंगे);
• पिरामिड का विकर्ण खंड- पिरामिड का खंड, जो आधार के शीर्ष और विकर्ण से होकर गुजरता है;
• आधार (ए बी सी डी) एक बहुभुज है जिसमें पिरामिड का शीर्ष संबंधित नहीं है।

पिरामिड गुण।

1. जब सभी किनारों का आकार समान हो, तब:

• पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व पसलियां आधार तल के साथ समान कोण बनाती हैं;
• इसके अतिरिक्त, विलोम भी सत्य है, अर्थात्। जब पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या जब पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा, तो पिरामिड के सभी किनारे समान आकार।

2. जब पार्श्व फलकों में समान मान के आधार के तल की ओर झुकाव कोण होता है, तो:

• पिरामिड के आधार के पास, एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व फलकों की ऊँचाई समान लंबाई की होती है;
• पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ½ आधार की परिधि और पार्श्व फलक की ऊंचाई का गुणनफल है।

3. पिरामिड के पास एक गोले का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के आधार पर एक बहुभुज है, जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) गोले का केंद्र उन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा जो उनके लंबवत पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं। इस प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी त्रिभुज के चारों ओर और किसी भी नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है।

4. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक द्वितल कोणों के समद्विभाजक तल 1 बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र बन जाएगा।

सबसे सरल पिरामिड।

पिरामिड के आधार के कोनों की संख्या के अनुसार, उन्हें त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय आदि में विभाजित किया गया है।

पिरामिड होगा त्रिकोणीय, चौकोर, और इसी तरह, जब पिरामिड का आधार एक त्रिभुज, एक चतुर्भुज, और इसी तरह होता है। एक त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक है - एक चतुष्फलक। चतुर्भुज - पेंटाहेड्रोन और इसी तरह।

परिचय

जब हमने स्टीरियोमेट्रिक आंकड़ों का अध्ययन करना शुरू किया, तो हमने "पिरामिड" विषय को छुआ। हमें यह विषय पसंद आया क्योंकि पिरामिड का उपयोग अक्सर वास्तुकला में किया जाता है। और चूंकि हमारा भविष्य का पेशावास्तुकार, इस आकृति से प्रेरित होकर, हमें लगता है कि वह हमें महान परियोजनाओं में धकेलने में सक्षम होगी।

स्थापत्य संरचनाओं की ताकत, उनका सबसे महत्वपूर्ण गुण। ताकत को जोड़ना, सबसे पहले, उन सामग्रियों के साथ, जिनसे वे बनाए गए हैं, और दूसरी बात, डिजाइन समाधानों की विशेषताओं के साथ, यह पता चला है कि संरचना की ताकत सीधे ज्यामितीय आकार से संबंधित है जो इसके लिए बुनियादी है।

दूसरे शब्दों में, हम बात कर रहे हेउस ज्यामितीय आकृति के बारे में, जिसे संबंधित वास्तुशिल्प रूप का एक मॉडल माना जा सकता है। यह पता चला है कि ज्यामितीय आकार भी स्थापत्य संरचना की ताकत को निर्धारित करता है।

मिस्र के पिरामिडों को लंबे समय से सबसे टिकाऊ वास्तुशिल्प संरचना माना जाता है। जैसा कि आप जानते हैं, उनके पास नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आकार है।

यह ज्यामितीय आकार है जो बड़े आधार क्षेत्र के कारण सबसे बड़ी स्थिरता प्रदान करता है। दूसरी ओर, पिरामिड का आकार यह सुनिश्चित करता है कि जैसे-जैसे जमीन से ऊपर की ऊंचाई बढ़ती है, द्रव्यमान घटता जाता है। ये दो गुण हैं जो पिरामिड को स्थिर बनाते हैं, और इसलिए गुरुत्वाकर्षण की स्थिति में मजबूत होते हैं।

परियोजना का उद्देश्य: पिरामिड के बारे में कुछ नया सीखें, ज्ञान को गहरा करें और व्यावहारिक अनुप्रयोग खोजें।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित कार्यों को हल करना आवश्यक था:

जानें पिरामिड के बारे में ऐतिहासिक जानकारी

पिरामिड को एक ज्यामितीय आकृति के रूप में देखें

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में स्थित पिरामिडों के बीच समानताएं और अंतर खोजें विभिन्न भागस्वेता

सैद्धांतिक भाग

ऐतिहासिक जानकारी

पिरामिड की ज्यामिति की शुरुआत प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में हुई थी, लेकिन इसे सक्रिय रूप से में विकसित किया गया था प्राचीन ग्रीस. पिरामिड का आयतन किसके बराबर है, यह स्थापित करने वाले पहले डेमोक्रिटस थे, और कनिडस के यूडोक्सस ने इसे साबित किया। प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने अपने "बिगिनिंग्स" के बारहवें खंड में पिरामिड के बारे में ज्ञान को व्यवस्थित किया, और पिरामिड की पहली परिभाषा भी सामने रखी: एक विमान से घिरा एक शारीरिक आकृति जो एक बिंदु पर एक विमान से अभिसरण होता है।

मिस्र के फिरौन की कब्रें। उनमें से सबसे बड़ा - प्राचीन काल में एल गीज़ा में चेप्स, खफरे और मिकेरिन के पिरामिड दुनिया के सात अजूबों में से एक माने जाते थे। पिरामिड का निर्माण, जिसमें यूनानियों और रोमनों ने पहले से ही राजाओं और क्रूरता के अभूतपूर्व गौरव के लिए एक स्मारक देखा था, जिसने मिस्र के पूरे लोगों को मूर्खतापूर्ण निर्माण के लिए बर्बाद कर दिया था, सबसे महत्वपूर्ण पंथ अधिनियम था और जाहिरा तौर पर व्यक्त करना चाहिए था, देश और उसके शासक की रहस्यमय पहचान। देश की आबादी ने कृषि कार्य से मुक्त वर्ष के हिस्से में मकबरे के निर्माण पर काम किया। कई ग्रंथ ध्यान और देखभाल की गवाही देते हैं कि राजाओं ने स्वयं (यद्यपि बाद के समय में) अपने मकबरे और उसके बिल्डरों के निर्माण के लिए भुगतान किया था। यह उन विशेष पंथ सम्मानों के बारे में भी जाना जाता है जो स्वयं पिरामिड बन गए।

मूल अवधारणा

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका आधार एक बहुभुज होता है, और शेष फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज होते हैं।

एपोथेम- एक नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई, इसके ऊपर से खींची गई;

साइड फेस- शीर्ष पर अभिसरण त्रिकोण;

पार्श्व पसलियां- पक्ष के आम पक्ष चेहरे;

पिरामिड के ऊपर- किनारे के किनारों को जोड़ने वाला एक बिंदु और आधार के तल में नहीं पड़ा है;

कद- पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचे गए लंबवत का एक खंड (इस खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार हैं);

पिरामिड का विकर्ण खंड- आधार के शीर्ष और विकर्ण से गुजरने वाले पिरामिड का खंड;

आधार- एक बहुभुज जो पिरामिड के शीर्ष से संबंधित नहीं है।

सही पिरामिड के मुख्य गुण

पार्श्व किनारे, पार्श्व फलक और एपोथेम क्रमशः समान हैं।

आधार पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं।

पार्श्व किनारों पर डायहेड्रल कोण बराबर होते हैं।

प्रत्येक ऊँचाई बिंदु सभी आधार शीर्षों से समान दूरी पर होता है।

प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी पक्षों के चेहरों से समान दूरी पर है।

मूल पिरामिड सूत्र

पिरामिड के पार्श्व और पूर्ण सतह का क्षेत्रफल।

पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल (पूर्ण और कटा हुआ) इसके सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल इसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है।

प्रमेय: एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और पिरामिड के एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

पी- आधार की परिधि;

एच- एपोथेम।

एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व और पूर्ण सतहों का क्षेत्रफल।

p1, पी 2 - आधार परिधि;

एच- एपोथेम।

आर- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र;

एस साइड- नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल;

S1 + S2- आधार क्षेत्र

पिरामिड वॉल्यूम

प्रपत्र वॉल्यूम स्केल का इस्तेमाल किसी भी तरह के पिरामिड के लिए किया जाता है।

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

पिरामिड के कोण

पिरामिड के पार्श्व फलक और आधार से बनने वाले कोणों को पिरामिड के आधार पर द्विफलकीय कोण कहा जाता है।

एक द्विफलकीय कोण दो लंबों से बनता है।

इस कोण को निर्धारित करने के लिए, आपको अक्सर तीन लंबवत प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता होती है.

एक पार्श्व किनारे से बनने वाले कोण और आधार के तल पर इसके प्रक्षेपण को कहा जाता है पार्श्व किनारे और आधार के तल के बीच के कोण.

दो भुजाओं के फलकों से बनने वाले कोण को कहते हैं पिरामिड के पार्श्व किनारे पर डायहेड्रल कोण।

वह कोण, जो पिरामिड के एक फलक के दो किनारों से बनता है, कहलाता है पिरामिड के शीर्ष पर कोने.

पिरामिड के खंड

एक पिरामिड की सतह एक बहुफलक की सतह है। इसका प्रत्येक फलक एक समतल है, इसलिए छेदक तल द्वारा दिया गया पिरामिड का खंड अलग-अलग सीधी रेखाओं वाली एक टूटी हुई रेखा है।

विकर्ण खंड

दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले समतल द्वारा पिरामिड का वह भाग जो एक ही फलक पर नहीं होता है, कहलाता है विकर्ण खंडपिरामिड।

समानांतर खंड

प्रमेय:

यदि पिरामिड को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा पार किया जाता है, तो पिरामिड के पार्श्व किनारों और ऊँचाई को इस तल द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया जाता है;

इस तल का खंड आधार के समान बहुभुज है;

खंड और आधार के क्षेत्र ऊपर से उनकी दूरी के वर्गों के रूप में एक दूसरे से संबंधित हैं।

पिरामिड के प्रकार

सही पिरामिड- एक पिरामिड, जिसका आधार एक नियमित बहुभुज है, और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

सही पिरामिड पर:

1. पार्श्व पसलियां बराबर होती हैं

2. पार्श्व फलक बराबर होते हैं

3. एपोटेम बराबर हैं

4. आधार पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं

5. पार्श्व किनारों पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं

6. प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी आधार शीर्षों से समान दूरी पर है

7. प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी पक्षों से समान दूरी पर है

छोटा पिरामिड- पिरामिड का वह भाग जो उसके आधार और आधार के समानांतर एक काटने वाले तल के बीच घिरा होता है।

एक काटे गए पिरामिड के आधार और संबंधित खंड को कहा जाता है एक काटे गए पिरामिड के आधार.

एक आधार के किसी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर खींचा गया लंब कहलाता है काटे गए पिरामिड की ऊंचाई।

कार्य

नंबर 1। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में, बिंदु O आधार का केंद्र है, SO=8 सेमी, BD=30 सेमी। पार्श्व किनारे SA खोजें।

समस्या को सुलझाना

नंबर 1। एक नियमित पिरामिड में, सभी फलक और किनारे बराबर होते हैं।

आइए OSB पर विचार करें: OSB-आयताकार आयत, क्योंकि।

एसबी 2 \u003d एसओ 2 + ओबी 2

SB2=64+225=289

वास्तुकला में पिरामिड

पिरामिड - एक साधारण नियमित के रूप में एक स्मारकीय संरचना ज्यामितीय पिरामिड, जिसमें पक्ष एक बिंदु पर अभिसरण करते हैं। कार्यात्मक उद्देश्य के अनुसार, प्राचीन काल में पिरामिड दफनाने या पूजा करने का स्थान था। एक पिरामिड का आधार त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय या बहुभुज हो सकता है जिसमें एक मनमाना संख्या में शिखर होते हैं, लेकिन सबसे आम संस्करण चतुष्कोणीय आधार है।

काफी संख्या में पिरामिड ज्ञात हैं, निर्मित विभिन्न संस्कृतियां प्राचीन विश्वज्यादातर मंदिरों या स्मारकों के रूप में। सबसे बड़े पिरामिड मिस्र के पिरामिड हैं।

पूरी पृथ्वी पर आप पिरामिडों के रूप में स्थापत्य संरचनाओं को देख सकते हैं। पिरामिड की इमारतें प्राचीन काल की याद दिलाती हैं और देखने में बेहद खूबसूरत लगती हैं।

मिस्र के पिरामिडमहानतम स्थापत्य स्मारक प्राचीन मिस्र, जिनमें से "दुनिया के सात अजूबों" में से एक चेप्स का पिरामिड है। पैर से ऊपर तक, यह 137.3 मीटर तक पहुंचता है, और इससे पहले कि यह शीर्ष खो देता, इसकी ऊंचाई 146.7 मीटर थी।

स्लोवाकिया की राजधानी में रेडियो स्टेशन की इमारत, एक उल्टे पिरामिड जैसा दिखता है, 1983 में बनाया गया था। कार्यालयों और सेवा परिसर के अलावा, वॉल्यूम के अंदर काफी विशाल है समारोह का हाल, जो स्लोवाकिया में सबसे बड़े निकायों में से एक है।

लौवर, जो "एक पिरामिड के रूप में मौन और राजसी है," में बदलने से पहले सदियों में कई बदलाव हुए हैं। सबसे बड़ा संग्रहालयशांति। यह एक किले के रूप में पैदा हुआ था, जिसे 1190 में फिलिप ऑगस्टस द्वारा बनवाया गया था, जो जल्द ही एक शाही निवास में बदल गया। 1793 में महल एक संग्रहालय बन गया। संग्रह वसीयत या खरीद के माध्यम से समृद्ध होते हैं।

यहां पिरामिड और संबंधित सूत्रों और अवधारणाओं के बारे में बुनियादी जानकारी एकत्र की गई है। उन सभी को परीक्षा की तैयारी के लिए गणित के ट्यूटर के साथ पढ़ाया जाता है।

एक समतल, एक बहुभुज पर विचार करें इसमें पड़ा हुआ है और एक बिंदु S इसमें नहीं पड़ा है। S को बहुभुज के सभी शीर्षों से कनेक्ट करें। परिणामी पॉलीहेड्रॉन को पिरामिड कहा जाता है। खंडों को पार्श्व किनारे कहा जाता है। बहुभुज को आधार कहा जाता है, और बिंदु S को पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है। संख्या n के आधार पर, पिरामिड को त्रिभुजाकार (n=3), चतुर्भुज (n=4), पंचकोणीय (n=5) आदि कहा जाता है। त्रिभुजाकार पिरामिड का वैकल्पिक नाम - चतुर्पाश्वीय. पिरामिड की ऊंचाई उसके शीर्ष से आधार तल तक खींचा गया लंबवत है।

एक पिरामिड को सही कहा जाता है यदि एक नियमित बहुभुज, और पिरामिड की ऊंचाई का आधार (लंबवत का आधार) इसका केंद्र है।

ट्यूटर की टिप्पणी:
"नियमित पिरामिड" और "नियमित टेट्राहेड्रोन" की अवधारणा को भ्रमित न करें। एक नियमित पिरामिड में, किनारे के किनारे आधार के किनारों के बराबर नहीं होते हैं, लेकिन एक नियमित टेट्राहेड्रोन में, किनारों के सभी 6 किनारे बराबर होते हैं। यह उसकी परिभाषा है। यह सिद्ध करना आसान है कि समानता का तात्पर्य है कि बहुभुज का केंद्र P ऊंचाई के आधार के साथ, इसलिए एक नियमित टेट्राहेड्रोन एक नियमित पिरामिड है।

एपोथेम क्या है?
पिरामिड का एपोथेम उसके पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है। यदि पिरामिड नियमित है, तो इसके सभी एपोथेम समान हैं। उलटा सच नहीं है।

उनकी शब्दावली के बारे में गणित शिक्षक: पिरामिड के साथ काम 80% दो प्रकार के त्रिकोणों के माध्यम से बनाया गया है:
1) एपोथेम एसके और ऊंचाई एसपी युक्त
2) पार्श्व किनारे SA और उसके प्रक्षेपण PA युक्त

इन त्रिभुजों के संदर्भों को सरल बनाने के लिए, गणित के शिक्षक के लिए उनमें से पहले का नाम देना अधिक सुविधाजनक होता है एपोथेमिक, और दूसरा तटीय. दुर्भाग्य से, आपको यह शब्दावली किसी भी पाठ्यपुस्तक में नहीं मिलेगी, और शिक्षक को इसे एकतरफा रूप से पेश करना होगा।

पिरामिड आयतन सूत्र:
1) , पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल कहाँ है, और पिरामिड की ऊँचाई है
2) , उत्कीर्ण गोले की त्रिज्या कहाँ है, और पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
3) , जहां एमएन किन्हीं दो क्रॉसिंग किनारों की दूरी है, और चार शेष किनारों के मध्य बिंदुओं द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।

पिरामिड ऊंचाई आधार संपत्ति:

बिंदु P (आकृति देखें) पिरामिड के आधार पर उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है:
1) सभी एपोटेम समान हैं
2) सभी पार्श्व फलक आधार की ओर समान रूप से झुके हुए हैं
3) सभी एपोथेम पिरामिड की ऊंचाई के समान रूप से झुके हुए हैं
4) पिरामिड की ऊंचाई सभी पक्षों के लिए समान रूप से झुकी हुई है

गणित के शिक्षक की टिप्पणी: ध्यान दें कि सभी आइटम एक से एकजुट हैं सामान्य सम्पति: एक तरह से या किसी अन्य, पक्ष के चेहरे हर जगह भाग लेते हैं (एपोथेम्स उनके तत्व हैं)। इसलिए, ट्यूटर याद करने के लिए कम सटीक, लेकिन अधिक सुविधाजनक फॉर्मूलेशन की पेशकश कर सकता है: बिंदु पी खुदा हुआ सर्कल के केंद्र के साथ मेल खाता है, पिरामिड का आधार, अगर इसके पार्श्व चेहरों के बारे में कोई समान जानकारी है। इसे साबित करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि सभी एपोथेमिकल त्रिकोण बराबर हैं।

बिंदु P पिरामिड के आधार के पास परिबद्ध वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है, यदि तीन में से एक स्थिति सत्य है:
1) सभी किनारे बराबर हैं
2) सभी पार्श्व पसलियां आधार की ओर समान रूप से झुकी हुई हैं
3) सभी पार्श्व पसलियाँ समान रूप से ऊँचाई की ओर झुकी होती हैं

पिरामिड अवधारणा

परिभाषा 1

ज्यामितीय आकृति, एक बहुभुज और एक बिंदु जो बहुभुज के सभी शीर्षों से जुड़े इस बहुभुज वाले तल में नहीं होता है, पिरामिड कहलाता है (चित्र 1)।

जिस बहुभुज से पिरामिड बनाया गया है उसे पिरामिड का आधार कहा जाता है, बिंदु से जुड़ने से प्राप्त त्रिभुज पिरामिड के पार्श्व फलक होते हैं, त्रिभुज की भुजाएँ पिरामिड की भुजाएँ होती हैं, और बिंदु सभी के लिए समान होता है। त्रिभुज पिरामिड का शीर्ष है।

पिरामिड के प्रकार

पिरामिड के आधार पर कोनों की संख्या के आधार पर, इसे त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय और इसी तरह कहा जा सकता है (चित्र 2)।

चित्र 2।

एक अन्य प्रकार का पिरामिड एक नियमित पिरामिड है।

आइए हम एक नियमित पिरामिड के गुण का परिचय दें और उसे सिद्ध करें।

प्रमेय 1

एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं जो एक दूसरे के बराबर होते हैं।

सबूत।

एक नियमित $n-$गोनल पिरामिड पर विचार करें जिसमें शीर्ष $S$ ऊंचाई $h=SO$ है। आइए आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें (चित्र 4)।

चित्र 4

त्रिभुज $SOA$ पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं

जाहिर है, किसी भी साइड एज को इस तरह से परिभाषित किया जाएगा। इसलिए, सभी भुजाएँ एक-दूसरे के बराबर होती हैं, अर्थात सभी भुजाएँ समद्विबाहु त्रिभुज होती हैं। आइए हम साबित करें कि वे एक दूसरे के बराबर हैं। चूंकि आधार एक नियमित बहुभुज है, सभी पक्षों के आधार एक दूसरे के बराबर हैं। नतीजतन, त्रिभुजों की समानता के III चिन्ह के अनुसार सभी भुजाएँ समान हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

अब हम एक नियमित पिरामिड की अवधारणा से संबंधित निम्नलिखित परिभाषा का परिचय देते हैं।

परिभाषा 3

एक नियमित पिरामिड का एपोथेम इसके पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है।

जाहिर है, प्रमेय 1 के अनुसार, सभी एपोथेम समान हैं।

प्रमेय 2

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र को आधार और एपोथेम के अर्ध-परिधि के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

सबूत।

आइए हम $n-$कोयला पिरामिड के आधार के पक्ष को $a$ और एपोथेम को $d$ के रूप में निरूपित करें। इसलिए, पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर होता है

चूँकि, प्रमेय 1 के अनुसार, सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, तो

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक अन्य प्रकार का पिरामिड छोटा पिरामिड है।

परिभाषा 4

यदि एक साधारण पिरामिड के माध्यम से इसके आधार के समानांतर एक तल खींचा जाता है, तो इस तल और आधार के तल के बीच बनने वाली आकृति को काटे गए पिरामिड (चित्र 5) कहा जाता है।

चित्रा 5. छोटा पिरामिड

काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

प्रमेय 3

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र को आधारों और एपोथेम के सेमीपरिमीटर के योग के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

सबूत।

आइए हम $n-$कोयला पिरामिड के आधारों की भुजाओं को क्रमशः $a\ और\ b$ से और एपोथेम को $d$ से निरूपित करें। इसलिए, पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर होता है

चूँकि सभी भुजाएँ समान हैं, तो

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

कार्य उदाहरण

उदाहरण 1

एक काटे गए त्रिभुजाकार पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि यह एक नियमित पिरामिड से प्राप्त होता है जिसमें आधार पक्ष 4 और एपोथेम 5 पार्श्व चेहरों की मध्य रेखा से गुजरने वाले विमान द्वारा काटकर प्राप्त किया जाता है।

समाधान।

माध्यिका रेखा प्रमेय से, हम पाते हैं कि शीर्ष आधारकाटे गए पिरामिड का है $4\cdot \frac(1)(2)=2$, और एपोथेम है $5\cdot \frac(1)(2)=2.5$।

तब, प्रमेय 3 से, हम प्राप्त करते हैं