एक त्रिभुज आधार के साथ एक पिरामिड का आयतन। एक नियमित पिरामिड का आयतन

पिरामिड एक बहुफलक है जिसके आधार पर एक बहुभुज होता है। सभी फलक, बदले में, त्रिभुज बनाते हैं जो एक शीर्ष पर अभिसरित होते हैं। पिरामिड त्रिभुजाकार, चतुर्भुज आदि होते हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि आपके सामने कौन सा पिरामिड है, इसके आधार पर कोनों की संख्या गिनने के लिए पर्याप्त है। "पिरामिड ऊंचाई" की परिभाषा अक्सर ज्यामिति की समस्याओं में पाई जाती है स्कूल के पाठ्यक्रम. लेख में हम विचार करने की कोशिश करेंगे विभिन्न तरीकेउसका स्थान।

पिरामिड के भाग

प्रत्येक पिरामिड में निम्नलिखित तत्व होते हैं:

• पार्श्व चेहरे जिनमें तीन कोने होते हैं और शीर्ष पर अभिसरण होते हैं;
• एपोथेम उस ऊंचाई का प्रतिनिधित्व करता है जो उसके ऊपर से उतरती है;
• पिरामिड का शीर्ष एक बिंदु है जो किनारे के किनारों को जोड़ता है, लेकिन आधार के तल में नहीं होता है;
• एक आधार एक बहुभुज है जिसमें एक शीर्ष नहीं होता है;
• पिरामिड की ऊंचाई एक ऐसा खंड है जो पिरामिड के शीर्ष को काटता है और इसके आधार के साथ एक समकोण बनाता है।

पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें यदि इसका आयतन ज्ञात हो

सूत्र V \u003d (S * h) / 3 के माध्यम से (सूत्र में V आयतन है, S आधार क्षेत्र है, h पिरामिड की ऊँचाई है), हम पाते हैं कि h \u003d (3 * V) / S . सामग्री को मजबूत करने के लिए, आइए समस्या को तुरंत हल करें। पर त्रिकोणीय आधार 50 सेमी 2 है, जबकि इसका आयतन 125 सेमी 3 है। त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई अज्ञात है, जिसे हमें खोजने की जरूरत है। यहां सब कुछ सरल है: हम डेटा को अपने सूत्र में सम्मिलित करते हैं। हमें एच \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7.5 सेमी मिलता है।

पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें यदि विकर्ण और उसके किनारे की लंबाई ज्ञात हो

जैसा कि हमें याद है, पिरामिड की ऊंचाई उसके आधार के साथ एक समकोण बनाती है। और इसका मतलब यह है कि ऊंचाई, किनारे और आधे विकर्ण एक साथ मिलकर कई, पाइथागोरस प्रमेय को याद करते हैं। दो आयामों को जानकर, तीसरा मान ज्ञात करना कठिन नहीं होगा। प्रसिद्ध प्रमेय a² = b² + c² को याद करें, जहां a कर्ण है, और हमारे मामले में पिरामिड का किनारा; बी - पहला पैर या आधा विकर्ण और सी - क्रमशः, दूसरा पैर, या पिरामिड की ऊंचाई। इस सूत्र से, c² = a² - b²।

अब समस्या: एक नियमित पिरामिड में, विकर्ण 20 सेमी है, जबकि किनारे की लंबाई 30 सेमी है। आपको ऊंचाई खोजने की जरूरत है। हम हल करते हैं: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500। इसलिए c \u003d 500 \u003d लगभग 22.4।

काटे गए पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

यह एक बहुभुज है जिसके आधार के समानांतर एक खंड होता है। एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई वह खंड है जो इसके दो आधारों को जोड़ता है। ऊंचाई पर पाया जा सकता है सही पिरामिड, यदि दोनों आधारों के विकर्णों की लंबाई के साथ-साथ पिरामिड के किनारों को भी जाना जाता है। मान लें कि बड़े आधार का विकर्ण d1 है, जबकि छोटे आधार का विकर्ण d2 है, और किनारे की लंबाई l है। ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आप आरेख के दो ऊपरी विपरीत बिंदुओं से ऊँचाई को उसके आधार तक कम कर सकते हैं। हम देखते हैं कि हमें दो समकोण त्रिभुज मिले हैं, उनके पैरों की लंबाई ज्ञात करना बाकी है। ऐसा करने के लिए, छोटे विकर्ण को बड़े विकर्ण से घटाएं और 2 से विभाजित करें। तो हमें एक पैर मिलेगा: a \u003d (d1-d2) / 2। उसके बाद, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हमें केवल दूसरा पैर ढूंढना है, जो कि पिरामिड की ऊंचाई है।

आइए अब इस पूरी बात को व्यवहार में देखें। हमारे सामने एक कार्य है। काटे गए पिरामिड के आधार पर एक वर्ग है, बड़े आधार की विकर्ण लंबाई 10 सेमी है, जबकि छोटा 6 सेमी है, और किनारा 4 सेमी है। ऊंचाई खोजने की आवश्यकता है। शुरू करने के लिए, हम एक पैर पाते हैं: ए \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 सेमी। एक पैर 2 सेमी है, और कर्ण 4 सेमी है। यह पता चला है कि दूसरा पैर या ऊंचाई 16- होगी- 4 \u003d 12, यानी ज \u003d 12 = लगभग 3.5 सेमी।

परिभाषा। बगल का चहेरा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित होता है, और इसका विपरीत भाग आधार (बहुभुज) के किनारे से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियांपार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष हैं। एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज में कोने होते हैं।

परिभाषा। पिरामिड ऊंचाईपिरामिड के शीर्ष से आधार तक गिराया गया एक लंबवत है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व चेहरे का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा जाता है।

परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिड- यह एक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र। पिरामिड का आयतनआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिरा हुआ लम्ब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व पसलियां समान हैं, तो वे समान कोणों पर आधार तल की ओर झुकी हुई हैं।

पार्श्व पसलियाँ समान होती हैं जब वे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पार्श्व चेहरे एक कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को इसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

यदि पार्श्व फलक एक कोण पर आधार तल की ओर झुके हों, तो पार्श्व फलकों के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियां आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।

4. सभी पक्षों के एपोथेम समान हैं।

5. सभी भुजाओं के फलकों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

6. सभी फलकों का एक समान द्विफलक (समतल) कोण होता है।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। वर्णित गोले का केंद्र किनारों के बीच से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। उत्कीर्ण गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि खुदा हुआ गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π या इसके विपरीत होता है, एक कोण π / n के बराबर होता है, जहाँ n संख्या होती है पिरामिड के आधार पर कोणों का।

गोले के साथ पिरामिड का संबंध

पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक बहुफलक होता है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों के प्रतिच्छेदन का बिंदु होगा।

किसी भी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन हमेशा किया जा सकता है।

एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा।

शंकु के साथ पिरामिड का संबंध

एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।

एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम्स समान हों।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिबद्ध हो।

एक पिरामिड के चारों ओर एक शंकु का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

एक सिलेंडर के साथ एक पिरामिड का कनेक्शन

एक पिरामिड को एक सिलेंडर में खुदा हुआ कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर होता है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार में खुदा होता है।

यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, तो एक सिलेंडर को पिरामिड के चारों ओर परिचालित किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिडल प्रिज्म)एक बहुफलक है जो पिरामिड के आधार और आधार के समानांतर एक खंड तल के बीच स्थित होता है। इस प्रकार पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है जो बड़े के समान होता है। पार्श्व फलक समलम्बाकार होते हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन)- यह एक पिरामिड है जिसमें तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों का कोई उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होता है लेकिन स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष में तीन फलक और किनारे होते हैं जो बनते हैं त्रिफलक कोण.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहते हैं चतुष्फलक की माध्यिका(जीएम)।

बिमिडियानाविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड कहलाता है जो स्पर्श नहीं करते (KL)।

एक चतुष्फलक के सभी द्विमाध्यक और माध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, बिमीडियन आधे में विभाजित होते हैं, और मध्य ऊपर से शुरू होकर 3: 1 के अनुपात में होते हैं।

परिभाषा। झुका हुआ पिरामिड एक पिरामिड है जिसमें किनारों में से एक आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एक पक्ष का फलक आधार के लंबवत होता है।

परिभाषा। एक्यूट एंगल्ड पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।

परिभाषा। अधिक पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई से आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलक- चारों चेहरों वाला एक चतुष्फलक - समबाहु त्रिभुज. वह पाँच में से एक है नियमित बहुभुज. एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलकीय कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलक कोण (एक शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकएक चतुष्फलक कहलाता है जिसके शीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण होता है (किनारे लंबवत होते हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिभुज कोणऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी चेहरे का एपोटेम उस आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, और आधार एक नियमित त्रिभुज होता है। ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा। ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक नीचे की गई सभी ऊंचाईयां (लंबवत) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक जिसका आधार एक तारा होता है, कहलाता है।

परिभाषा। bipyramid- एक पॉलीहेड्रॉन जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को भी काटा जा सकता है), जिसमें एक सामान्य आधार होता है, और कोने बेस प्लेन के विपरीत किनारों पर स्थित होते हैं।

यहां हम आयतन की अवधारणा से संबंधित उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे। ऐसे कार्यों को हल करने के लिए, आपको पिरामिड के आयतन का सूत्र पता होना चाहिए:

एस

एच - पिरामिड की ऊंचाई

आधार कोई भी बहुभुज हो सकता है। लेकिन परीक्षा के अधिकांश कार्यों में, स्थिति, एक नियम के रूप में, सही पिरामिड के बारे में है। मैं आपको इसकी एक विशेषता की याद दिलाता हूं:

एक नियमित पिरामिड के शीर्ष को उसके आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है

नियमित त्रिकोणीय, चतुर्भुज और हेक्सागोनल पिरामिड के प्रक्षेपण को देखें (शीर्ष दृश्य):

आप ब्लॉग पर कर सकते हैं, जहाँ पिरामिड का आयतन ज्ञात करने से संबंधित कार्यों को निपटाया गया था।कार्यों पर विचार करें:

27087. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजाएँ 1 के बराबर हों और जिसकी ऊँचाई तीन के मूल के बराबर हो।

एस- पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच- पिरामिड की ऊंचाई

पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यह एक नियमित त्रिभुज है। हम सूत्र का उपयोग करते हैं - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा आसन्न भुजाओं के आधे उत्पाद के बराबर होता है, जिसका अर्थ है:

उत्तर: 0.25

27088. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजाएँ 2 हैं और जिसका आयतन है जड़ के बराबरतीन में से।

पिरामिड की ऊँचाई और उसके आधार की विशेषताओं जैसी अवधारणाएँ आयतन सूत्र से संबंधित हैं:

एस- पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच- पिरामिड की ऊंचाई

हम आयतन को ही जानते हैं, हम आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, क्योंकि त्रिभुज की भुजाएँ, जो कि आधार है, ज्ञात हैं। इन मूल्यों को जानकर हम आसानी से ऊँचाई ज्ञात कर सकते हैं।

आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा आसन्न भुजाओं के आधे उत्पाद के बराबर होता है, जिसका अर्थ है:

इस प्रकार, इन मानों को वॉल्यूम सूत्र में प्रतिस्थापित करके, हम पिरामिड की ऊंचाई की गणना कर सकते हैं:

ऊंचाई तीन है।

उत्तर: 3

27109. सही में चतुर्भुज पिरामिडऊँचाई 6 है, भुजा का किनारा 10 है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

पिरामिड के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस- पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच- पिरामिड की ऊंचाई

हम ऊंचाई जानते हैं। आपको आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा। मैं आपको याद दिला दूं कि एक नियमित पिरामिड का शीर्ष उसके आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आधार एक वर्ग है। हम इसका विकर्ण ज्ञात कर सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें (नीले रंग में हाइलाइट किया गया):

वर्ग के केंद्र को बिंदु B से जोड़ने वाला खंड एक पैर है, जो वर्ग के आधे विकर्ण के बराबर है। हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इस पैर की गणना कर सकते हैं:

तो BD = 16. चतुर्भुज क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करें:

फलस्वरूप:

इस प्रकार, पिरामिड का आयतन है:

उत्तर: 256

27178. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में, ऊंचाई 12 है, मात्रा 200 है। इस पिरामिड के किनारे के किनारे का पता लगाएं।

पिरामिड की ऊंचाई और उसका आयतन ज्ञात है, इसलिए हम वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, जो कि आधार है। एक वर्ग का क्षेत्रफल जानकर हम उसका विकर्ण ज्ञात कर सकते हैं। इसके अलावा, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करने के बाद, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पार्श्व किनारे की गणना करते हैं:

वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (पिरामिड का आधार):

वर्ग के विकर्ण की गणना करें। चूँकि इसका क्षेत्रफल 50 है, तो भुजा पचास के मूल के बराबर होगी, और पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

बिंदु O विकर्ण BD को आधे में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है कि पैर सही त्रिकोणआरएच = 5.

इस प्रकार, हम गणना कर सकते हैं कि पिरामिड का पार्श्व किनारा किसके बराबर है:

उत्तर: 13

245353. आकृति में दिखाए गए पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए। इसका आधार एक बहुभुज है जिसकी आसन्न भुजाएँ लंबवत हैं, और एक भुजा का किनारा आधार के तल के लंबवत है और 3 के बराबर है।

जैसा कि बार-बार कहा गया है - पिरामिड के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस- पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच- पिरामिड की ऊंचाई

आधार से लंबवत पार्श्व किनारा तीन है, जिसका अर्थ है कि पिरामिड की ऊंचाई तीन है। पिरामिड का आधार एक बहुभुज है जिसका क्षेत्रफल है:

इस तरह:

उत्तर: 27

27086. पिरामिड का आधार 3 और 4 भुजाओं वाला एक आयत है। इसका आयतन 16 है। इस पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

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पाठ मकसद.

शैक्षिक: पिरामिड के आयतन की गणना के लिए एक सूत्र व्युत्पन्न करें

विकासशील: शैक्षणिक विषयों में छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि विकसित करने के लिए, व्यवहार में अपने ज्ञान को लागू करने की क्षमता।

शैक्षिक: छात्रों के क्षितिज का विस्तार करने के लिए ध्यान, सटीकता की खेती करना।

उपकरण और सामग्री: कंप्यूटर, स्क्रीन, प्रोजेक्टर, प्रस्तुति "पिरामिड का आयतन"।

1. ललाट सर्वेक्षण। स्लाइड्स 2, 3

पिरामिड किसे कहते हैं, पिरामिड का आधार, पसलियां, ऊंचाई, अक्ष, एपोथेम। किस पिरामिड को नियमित, चतुष्फलकीय, कटा हुआ पिरामिड कहा जाता है?

पिरामिड - एक बहुफलक जिसमें एक फ्लैट होता है बहुभुज, अंक, इस बहुभुज के तल में नहीं पड़ा है और सभी खंड, इस बिंदु को बहुभुज के बिंदुओं से जोड़ते हैं।

इस बिंदुबुलाया बैठकपिरामिड, और एक समतल बहुभुज पिरामिड का आधार है। सेगमेंटपिरामिड के शीर्ष को आधार के शीर्ष से जोड़ने को कहते हैं पसलियां . कदपिरामिड - सीधा, पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक उतारा गया। एपोथेम - किनारे की ऊंचाईसही पिरामिड। पिरामिड, जो बेस परसही झूठ एन-gon, एक ऊंचाई का आधारके साथ मेल खाता है नींव केंद्रबुलाया सही एन-गोनल पिरामिड। एक्सिस एक नियमित पिरामिड को एक सीधी रेखा कहा जाता है जिसमें इसकी ऊंचाई होती है। एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड को चतुष्फलक कहा जाता है। यदि पिरामिड को आधार के तल के समांतर समतल द्वारा पार किया जाता है, तो यह पिरामिड को काट देगा, एक जैसादिया हुआ। बाकी कहा जाता है कटा हुआ पिरामिड।

2. पिरामिड के आयतन की गणना के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति V=SH/3 स्लाइड 4, 5, 6

1. मान लीजिए कि SABC एक त्रिभुजाकार पिरामिड है जिसका शीर्ष S और आधार ABC है।

2. इस पिरामिड को समान आधार और ऊँचाई वाले एक त्रिभुजाकार प्रिज्म से जोड़िए।

3. यह प्रिज्म तीन पिरामिडों से बना है:

1) यह पिरामिड SABC।

2) पिरामिड एससीसी 1 बी 1।

3) और पिरामिड SCBB 1 ।

4. दूसरे और तीसरे पिरामिड के समान आधार CC 1 B 1 और B 1 BC हैं और शीर्ष S से समांतर चतुर्भुज BB 1 C 1 C के फलक तक खींची गई कुल ऊंचाई है। इसलिए, उनके बराबर आयतन हैं।

5. पहले और तीसरे पिरामिड में भी समान आधार SAB और BB 1 S होते हैं और शिखर C से समांतर चतुर्भुज ABB 1 S के फलक पर खींची गई ऊंचाईयों के मेल खाते हैं। इसलिए, उनके भी समान आयतन होते हैं।

इसका मतलब है कि तीनों पिरामिडों का आयतन समान है। चूँकि इन आयतनों का योग प्रिज्म के आयतन के बराबर है, पिरामिडों का आयतन SH/3 के बराबर है।

किसी भी त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन ऊँचाई से गुणा आधार क्षेत्रफल के एक तिहाई के बराबर होता है।

3. नई सामग्री का समेकन। व्यायाम का समाधान।

1) टास्क № 33 पाठ्यपुस्तक से ए.एन. पोगोरेलोव। स्लाइड 7, 8, 9

आधार की तरफ? और पार्श्व किनारे b एक नियमित पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसके आधार पर स्थित है:

1) त्रिकोण,

2) चतुर्भुज,

3) षट्भुज।

एक नियमित पिरामिड में, ऊंचाई आधार के पास घेरे हुए एक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। तब: (परिशिष्ट)

4. पिरामिड के बारे में ऐतिहासिक जानकारी। स्लाइड्स 15, 16, 17

पिरामिड से जुड़ी कई असामान्य घटनाओं को स्थापित करने वाले हमारे समकालीनों में से पहला फ्रांसीसी वैज्ञानिक एंटोनी बोवी था। बीसवीं शताब्दी के 30 के दशक में चेप्स के पिरामिड की खोज करते हुए, उन्होंने पाया कि छोटे जानवरों के शव जो गलती से शाही कमरे में आ गए थे, ममीकृत हो गए थे। बोवी ने पिरामिड के आकार से खुद के लिए इसका कारण बताया और, जैसा कि यह निकला, गलत नहीं था। उनके काम ने आधार बनाया समकालीन अनुसंधान, जिसके परिणामस्वरूप, पिछले 20 वर्षों में, कई पुस्तकें और प्रकाशन इस बात की पुष्टि करते हुए सामने आए हैं कि पिरामिड की ऊर्जा व्यावहारिक महत्व की हो सकती है।

पिरामिड का रहस्य

कुछ शोधकर्ताओं का तर्क है कि पिरामिड में ब्रह्मांड की संरचना, सौर मंडल और मनुष्य के बारे में बड़ी मात्रा में जानकारी है, जो इसके ज्यामितीय रूप में एन्कोडेड है, या बल्कि, एक ऑक्टाहेड्रोन के रूप में, जिसमें से आधा पिरामिड है। पिरामिड टॉप अप जीवन का प्रतीक है, ऊपर से नीचे - मृत्यु, दूसरी दुनिया। डेविड के स्टार (मैगन डेविड) के घटकों की तरह, जहां ऊपर की ओर निर्देशित त्रिकोण उच्च मन, भगवान की चढ़ाई का प्रतीक है, और त्रिकोण, इसके शीर्ष के साथ नीचे, आत्मा के पृथ्वी पर उतरने का प्रतीक है, भौतिक अस्तित्व ...

कोड का डिजिटल मूल्य जिसके द्वारा ब्रह्मांड के बारे में जानकारी पिरामिड में एन्क्रिप्ट की गई है, संख्या 365, संयोग से नहीं चुनी गई थी। सबसे पहले, यह हमारे ग्रह का वार्षिक जीवन चक्र है। इसके अलावा, संख्या 365 में तीन संख्याएँ 3, 6 और 5 हैं। उनका क्या अर्थ है? मैं फ़िन सौर प्रणालीसूर्य 1, बुध - 2, शुक्र - 3, पृथ्वी - 4, मंगल - 5, बृहस्पति - 6, शनि - 7, यूरेनस - 8, नेपच्यून - 9, प्लूटो - 10, फिर 3 शुक्र है, 6 - बृहस्पति और 5 - मंगल। इसलिए इन ग्रहों से पृथ्वी एक खास तरह से जुड़ी हुई है। संख्याओं 3, 6 और 5 को जोड़ने पर, हमें 14 प्राप्त होते हैं, जिनमें से 1 सूर्य है, और 4 पृथ्वी है।

सामान्य तौर पर 14 नंबर का वैश्विक अर्थ होता है: विशेष रूप से, मानव हाथों की संरचना इस पर आधारित होती है, कुल गणनाजिनमें से प्रत्येक की उंगलियों के फलांग भी 14 हैं। यह कोड नक्षत्र उर्स मेजर से भी संबंधित है, जिसमें हमारा सूर्य शामिल है, और जिसमें एक बार एक और तारा था जिसने मंगल और बृहस्पति के बीच स्थित ग्रह फेथॉन को नष्ट कर दिया था, जिसके बाद सौर मंडल प्लूटो में दिखाई दिया, और अन्य ग्रहों की विशेषताएं बदल गई हैं।

कई गूढ़ स्रोतों का दावा है कि पृथ्वी की मानवता पहले ही चार बार विश्वव्यापी तबाही का अनुभव कर चुकी है। तीसरी लेमुरियन जाति ब्रह्मांड के दिव्य विज्ञान को जानती थी, तब यह गुप्त सिद्धांत केवल दीक्षाओं को प्रेषित किया गया था। नाक्षत्र वर्ष के चक्रों और अर्ध-चक्रों की शुरुआत में, उन्होंने पिरामिडों का निर्माण किया। वे जीवन की संहिता की खोज के करीब आए। अटलांटिस की सभ्यता कई चीजों में सफल रही, लेकिन ज्ञान के किसी स्तर पर उन्हें एक और ग्रहीय तबाही से रोक दिया गया, साथ में दौड़ में बदलाव आया। शायद, दीक्षित हमें यह बताना चाहते थे कि ब्रह्मांडीय नियमों का ज्ञान पिरामिडों में अंतर्निहित है...

पिरामिड के रूप में विशेष उपकरण कंप्यूटर, टीवी, रेफ्रिजरेटर और अन्य घरेलू उपकरणों से किसी व्यक्ति पर नकारात्मक विद्युत चुम्बकीय विकिरण को बेअसर करते हैं।

किताबों में से एक में, एक मामले का वर्णन किया गया है जब एक कार इंटीरियर में स्थापित पिरामिड ईंधन की खपत को कम करता है और निकास गैसों में सीओ सामग्री को कम करता है।

पिरामिडों में वृद्ध उद्यान फसलों के बीजों में बेहतर अंकुरण और उपज होती थी। प्रकाशनों ने पिरामिड के पानी में बुवाई से पहले बीजों को भिगोने की भी सिफारिश की।

पिरामिडों पर लाभकारी प्रभाव पाया गया है पारिस्थितिक स्थिति. अपार्टमेंट, कार्यालयों और उपनगरीय क्षेत्रों में रोगजनक क्षेत्रों को हटा दें, सकारात्मक आभा पैदा करें।

डच शोधकर्ता पॉल डिकेंस ने अपनी पुस्तक में पिरामिडों के उपचार गुणों का उदाहरण दिया है। उन्होंने देखा कि उनका उपयोग सिरदर्द, जोड़ों के दर्द से राहत पाने के लिए किया जा सकता है, छोटे-छोटे कटों से रक्तस्राव को रोका जा सकता है, और पिरामिड की ऊर्जा चयापचय को उत्तेजित करती है और प्रतिरक्षा प्रणाली को मजबूत करती है।

कुछ आधुनिक प्रकाशनों में, यह नोट किया गया है कि पिरामिड में रखी गई दवाएं उपचार के दौरान को छोटा कर देती हैं, और सकारात्मक ऊर्जा से संतृप्त ड्रेसिंग सामग्री घाव भरने को बढ़ावा देती है।

कॉस्मेटिक क्रीम और मलहम उनके प्रभाव में सुधार करते हैं।

शराब सहित पेय, उनके स्वाद में सुधार करते हैं, और 40% वोदका में निहित पानी हीलिंग बन जाता है। सच है, एक मानक 0.5 लीटर की बोतल को सकारात्मक ऊर्जा से चार्ज करने के लिए, आपको एक उच्च पिरामिड की आवश्यकता होती है।

एक अखबार के लेख में कहा गया है कि यदि आप एक पिरामिड के नीचे गहने स्टोर करते हैं, तो वे स्वयं को साफ करते हैं और एक विशेष चमक प्राप्त करते हैं, जबकि कीमती और अर्ध-कीमती पत्थर सकारात्मक बायोएनेर्जी जमा करते हैं और फिर धीरे-धीरे इसे दूर कर देते हैं।

अमेरिकी वैज्ञानिकों के अनुसार, अनाज, आटा, नमक, चीनी, कॉफी, चाय जैसे खाद्य उत्पाद पिरामिड में रहने के बाद अपने स्वाद में सुधार करते हैं, और सस्ती सिगरेट उनके महान समकक्षों की तरह बन जाती है।

शायद यह कई लोगों के लिए प्रासंगिक नहीं होगा, लेकिन पुराने रेजर ब्लेड एक छोटे से पिरामिड में खुद को तेज कर रहे हैं, और पानी एक बड़े पिरामिड में -40 डिग्री सेल्सियस पर जमता नहीं है।

अधिकांश शोधकर्ताओं के अनुसार, यह सब पिरामिडों की ऊर्जा के अस्तित्व का प्रमाण है।

अपने अस्तित्व के 5000 वर्षों में, पिरामिड एक प्रकार का प्रतीक बन गया है जो मनुष्य की ज्ञान के शिखर तक पहुंचने की इच्छा को व्यक्त करता है।

5. पाठ को सारांशित करना।

ग्रंथ सूची।

1) http://schools.techno.ru

2) पोगोरेलोव ए। वी। ज्यामिति 10-11, प्रकाशन गृह "ज्ञानोदय"।

3) विश्वकोश "ज्ञान का वृक्ष" मार्शल के।

प्रमेय।

एक पिरामिड का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है।.

सबूत:

पहले हम एक त्रिभुजाकार पिरामिड के लिए प्रमेय सिद्ध करते हैं, फिर एक मनमाना पिरामिड के लिए।

1. एक त्रिभुजाकार पिरामिड पर विचार करेंओएबीसीवॉल्यूम वी के साथ, आधार क्षेत्रएसऔर ऊंचाई एच. एक अक्ष ड्रा करें ओह (OM2- ऊंचाई), अनुभाग पर विचार करेंए1 बी1 सी1अक्ष के लंबवत समतल के साथ पिरामिडओहऔर, इसलिए, आधार के तल के समानांतर। द्वारा निरूपित करेंएक्सएब्सिस्सा पॉइंट एम1 इस तल का x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन, और से होकरएस(एक्स)- संकर अनुभागीय क्षेत्र। अभिव्यक्त करना एस(एक्स)के माध्यम से एस, एचतथा एक्स. ध्यान दें कि त्रिभुज A1 पर1 से1 तथा एबीसी समान हैं। वास्तव में ए1 पर1 II AB, अत: त्रिभुजओए 1 पर 1 त्रिभुज OAB के समान। सेफलस्वरूप, लेकिन1 पर1 : लेकिनबी =ओए 1: ओए .

समकोण त्रिभुजओए 1 पर 1 और ओएबी भी समान हैं (उनके पास एक समान है तेज़ कोनेशीर्ष ओ). इसलिए, OA 1: ओए = ओ 1 एम1 : ओम = एक्स: एच. इस तरहलेकिन 1 पर 1 : ए बी = एक्स: एच।इसी प्रकार, यह सिद्ध होता है किबी1 सी1:रवि = एक्स: एचतथा ए1 सी1:एसी =एक्स: एच।तो त्रिभुजए1 बी1 सी1तथा एबीसीसमानता के गुणांक के साथ समानएक्स: एच।इसलिए, एस (एक्स):एस = (एक्स: एच), याएस (एक्स) = एस x²/ एच².

आइए अब निकायों के आयतन की गणना के लिए मूल सूत्र लागू करेंएक= 0, ख =एचहम पाते हैं

2. आइए अब हम ऊँचाई वाले एक स्वेच्छ पिरामिड के लिए प्रमेय सिद्ध करें एचऔर आधार क्षेत्र एस. इस तरह के पिरामिड को कुल ऊंचाई वाले त्रिकोणीय पिरामिडों में विभाजित किया जा सकता है एच।हम प्रत्येक त्रिकोणीय पिरामिड के आयतन को हमारे द्वारा सिद्ध किए गए सूत्र के अनुसार व्यक्त करते हैं और इन आयतों को जोड़ते हैं। सामान्य गुणनखंड 1/3h को कोष्ठक में से निकालने पर, हमें कोष्ठकों में आधारों का योग प्राप्त होता है त्रिकोणीय पिरामिड, अर्थात। मूल पिरामिड के आधारों का क्षेत्रफल S.

इस प्रकार, मूल पिरामिड का आयतन 1/3Sh . है. प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिणाम:

ऊंचाई h और आधार क्षेत्रों S और S . के साथ एक काटे गए पिरामिड का आयतन V1 , सूत्र द्वारा गणना की जाती है

एच - पिरामिड की ऊंचाई

विराम - ऊपरी आधार का क्षेत्रफल

और धीमा - निचले आधार का क्षेत्रफल