समन्वय विधि का उपयोग करके समस्या C2 को हल करते समय, कई छात्रों को एक ही समस्या का सामना करना पड़ता है। वे गणना नहीं कर सकते बिंदु निर्देशांकसूत्र में शामिल डॉट उत्पाद. सबसे बड़ी मुश्किलें हैं पिरामिड. और अगर आधार बिंदुओं को कम या ज्यादा सामान्य माना जाता है, तो सबसे ऊपर एक वास्तविक नरक है।

आज हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के बारे में बात करेंगे। एक त्रिकोणीय पिरामिड भी है (उर्फ - चतुर्पाश्वीय) यह एक अधिक जटिल डिजाइन है, इसलिए इसके लिए एक अलग पाठ समर्पित किया जाएगा।

आइए परिभाषा के साथ शुरू करें:

एक नियमित पिरामिड वह होता है जिसमें:

1. आधार झूठ नियमित बहुभुज: त्रिकोण, वर्ग, आदि;
2. आधार तक खींची गई ऊंचाई इसके केंद्र से होकर गुजरती है।

विशेष रूप से, आधार चतुर्भुज पिरामिडहै वर्ग. चेप्स की तरह, केवल थोड़ा छोटा।

नीचे 1 के बराबर सभी किनारों वाले पिरामिड के लिए गणनाएँ दी गई हैं। यदि आपकी समस्या में ऐसा नहीं है, तो गणनाएँ नहीं बदलती हैं - बस संख्याएँ भिन्न होंगी।

चतुर्भुज पिरामिड के शीर्ष

तो, मान लीजिए कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड SABCD दिया गया है, जहाँ S सबसे ऊपर है, ABCD का आधार एक वर्ग है। सभी किनारे 1 के बराबर हैं। यह एक समन्वय प्रणाली में प्रवेश करने और सभी बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए आवश्यक है। हमारे पास है:

हम बिंदु ए पर मूल के साथ एक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं:

1. अक्ष OX को किनारे AB के समानांतर निर्देशित किया जाता है;
2. अक्ष ओए - AD के समानांतर। चूँकि ABCD एक वर्ग है, AB AD;
3. अंत में, OZ अक्ष को समतल ABCD के लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है।

अब हम निर्देशांक पर विचार करते हैं। अतिरिक्त निर्माण: एसएच - आधार पर खींची गई ऊंचाई। सुविधा के लिए हम पिरामिड के आधार को एक अलग आकृति में निकालेंगे। चूँकि बिंदु A , B , C और D OXY तल में स्थित हैं, उनका निर्देशांक z = 0 है। हमारे पास है:

1. ए = (0; 0; 0) - मूल के साथ मेल खाता है;
2. बी = (1; 0; 0) - मूल से ओएक्स अक्ष के साथ 1 कदम;
3. सी = (1; 1; 0) - ओएक्स अक्ष के साथ 1 और ओए अक्ष के साथ 1 से कदम;
4. डी = (0; 1; 0) - केवल ओए अक्ष के साथ कदम।
5. एच \u003d (0.5; 0.5; 0) - वर्ग का केंद्र, खंड एसी के मध्य।

यह बिंदु S के निर्देशांक खोजने के लिए बनी हुई है। ध्यान दें कि बिंदु S और H के x और y निर्देशांक समान हैं क्योंकि वे OZ अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। यह बिंदु S के लिए z निर्देशांक ज्ञात करना बाकी है।

त्रिभुज ASH और ABH पर विचार करें:

1. एएस = एबी = 1 शर्त के अनुसार;
2. कोण AHS = AHB = 90° क्योंकि SH ऊँचाई है और AH HB वर्ग के विकर्णों के रूप में;
3. साइड एएच - आम।

इसलिए समकोण त्रिभुज ASH और ABH बराबरएक पैर और एक कर्ण। तो एसएच = बीएच = 0.5 बीडी। लेकिन BD 1 भुजा वाले वर्ग का विकर्ण है। इसलिए, हमारे पास है:

बिंदु S के कुल निर्देशांक:

अंत में, हम एक नियमित आयताकार पिरामिड के सभी शीर्षों के निर्देशांक लिखते हैं:

पसलियां अलग होने पर क्या करें

लेकिन क्या होगा अगर पिरामिड के किनारे आधार के किनारों के बराबर नहीं हैं? इस मामले में, त्रिभुज AHS पर विचार करें:

त्रिभुज AHS- आयताकार, और कर्ण AS भी मूल पिरामिड SABCD का एक पार्श्व किनारा है। पैर एएच को आसानी से माना जाता है: एएच = 0.5 एसी। शेष पैर खोजें SH पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार. यह बिंदु S के लिए z निर्देशांक होगा।

एक कार्य। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड SABCD दिया गया है, जिसके आधार पर 1 भुजा वाला एक वर्ग है। किनारे का किनारा BS = 3. बिंदु S के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हम पहले से ही इस बिंदु के x और y निर्देशांक जानते हैं: x = y = 0.5। यह दो तथ्यों से होता है:

1. OXY तल पर बिंदु S का प्रक्षेपण बिंदु H है;
2. वहीं, बिंदु H वर्ग ABCD का केंद्र है, जिसकी सभी भुजाएं 1 के बराबर हैं।

यह बिंदु S के निर्देशांक को खोजने के लिए बनी हुई है। त्रिभुज AHS पर विचार करें। यह आयताकार है, कर्ण AS = BS = 3 के साथ, पैर AH आधा विकर्ण है। आगे की गणना के लिए, हमें इसकी लंबाई चाहिए:

त्रिभुज AHS के लिए पाइथागोरस प्रमेय: AH 2 + SH 2 = AS 2। हमारे पास है:

तो, बिंदु S के निर्देशांक:

परिभाषा। बगल का चहेरा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित होता है, और इसका विपरीत भाग आधार (बहुभुज) के किनारे से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियांपार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष हैं। एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज में कोने होते हैं।

परिभाषा। पिरामिड ऊंचाईपिरामिड के शीर्ष से आधार तक गिराया गया एक लंबवत है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व चेहरे का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा जाता है।

परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिड- यह एक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र। पिरामिड मात्राआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिरा हुआ लम्ब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व पसलियां समान हैं, तो वे समान कोणों पर आधार तल की ओर झुकी हुई हैं।

पार्श्व पसलियाँ समान होती हैं जब वे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पार्श्व चेहरे एक कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को इसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

यदि पार्श्व फलक एक कोण पर आधार तल की ओर झुके हों, तो पार्श्व फलकों के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियां आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।

4. सभी पक्षों के एपोथेम समान हैं।

5. सभी भुजाओं के फलकों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

6. सभी फलकों में एक ही द्विफलक (सपाट) कोण होते हैं।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। वर्णित गोले का केंद्र किनारों के बीच से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। उत्कीर्ण गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि खुदा हुआ गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π या इसके विपरीत होता है, एक कोण π / n के बराबर होता है, जहाँ n संख्या होती है पिरामिड के आधार पर कोणों का।

गोले के साथ पिरामिड का संबंध

पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक बहुफलक होता है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों के प्रतिच्छेदन का बिंदु होगा।

किसी भी त्रिभुज के आसपास या सही पिरामिडकोई हमेशा एक क्षेत्र का वर्णन कर सकता है।

एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा।

शंकु के साथ पिरामिड का संबंध

एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।

एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम्स समान हों।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिबद्ध हो।

पिरामिड के चारों ओर एक शंकु का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

एक सिलेंडर के साथ पिरामिड का कनेक्शन

एक पिरामिड को एक सिलेंडर में खुदा हुआ कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर होता है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार में खुदा होता है।

यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, तो एक सिलेंडर को पिरामिड के चारों ओर परिचालित किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिडल प्रिज्म)- यह एक पॉलीहेड्रॉन है जो पिरामिड के आधार और आधार के समानांतर एक सेक्शन प्लेन के बीच स्थित होता है। इस प्रकार पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है जो बड़े के समान होता है। पार्श्व चेहरे ट्रेपेज़ॉइड हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन)- यह एक पिरामिड है जिसमें तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों का कोई उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होता है लेकिन स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष में तीन फलक और किनारे होते हैं जो बनते हैं त्रिफलक कोण.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहते हैं चतुष्फलक की माध्यिका(जीएम)।

बिमीडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड कहलाता है जो स्पर्श नहीं करते (KL)।

एक चतुष्फलक के सभी द्विमाध्यक और माध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, बिमीडियन आधे में विभाजित होते हैं, और मध्य ऊपर से शुरू होने वाले 3: 1 के अनुपात में होते हैं।

परिभाषा। झुका हुआ पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें किनारों में से एक आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एक पक्ष का फलक आधार के लंबवत होता है।

परिभाषा। एक्यूट एंगल्ड पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।

परिभाषा। अधिक पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई से आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलकएक चतुष्फलक जिसके चार फलक समबाहु त्रिभुज हैं। यह पांच नियमित बहुभुजों में से एक है। एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलकीय कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलक कोण (एक शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकएक चतुष्फलक कहलाता है जिसके शीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण होता है (किनारे लंबवत होते हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिभुज कोणऔर किनारे हैं समकोण त्रिभुज, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी चेहरे का एपोटेम उस आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसके पार्श्व फलक एक दूसरे के बराबर होते हैं और आधार होता है सही त्रिकोण. ऐसे चतुष्फलक के फलक होते हैं समद्विबाहु त्रिभुज.

परिभाषा। ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक नीचे की गई सभी ऊंचाईयां (लंबवत) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक जिसका आधार एक तारा होता है, कहलाता है।

परिभाषा। bipyramid- एक पॉलीहेड्रॉन जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को भी काटा जा सकता है), जिसमें एक सामान्य आधार होता है, और कोने बेस प्लेन के विपरीत किनारों पर स्थित होते हैं।

पिरामिड अवधारणा

परिभाषा 1

एक बहुभुज द्वारा बनाई गई ज्यामितीय आकृति और एक बिंदु जो बहुभुज के सभी शीर्षों से जुड़े इस बहुभुज वाले तल में नहीं होता है, पिरामिड कहलाता है (चित्र 1)।

जिस बहुभुज से पिरामिड बनाया गया है उसे पिरामिड का आधार कहा जाता है, बिंदु से जुड़ने से प्राप्त त्रिभुज पिरामिड के पार्श्व फलक होते हैं, त्रिभुज की भुजाएँ पिरामिड की भुजाएँ होती हैं, और बिंदु सभी के लिए समान होता है। त्रिभुज पिरामिड का शीर्ष है।

पिरामिड के प्रकार

पिरामिड के आधार पर कोनों की संख्या के आधार पर, इसे त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय और इसी तरह कहा जा सकता है (चित्र 2)।

चित्र 2।

एक अन्य प्रकार का पिरामिड एक नियमित पिरामिड है।

आइए हम एक नियमित पिरामिड के गुण का परिचय दें और उसे सिद्ध करें।

प्रमेय 1

एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं जो एक दूसरे के बराबर होते हैं।

सबूत।

एक नियमित $n-$गोनल पिरामिड पर विचार करें जिसमें शीर्ष $S$ ऊंचाई $h=SO$ है। आइए आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें (चित्र 4)।

चित्र 4

त्रिभुज $SOA$ पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं

जाहिर है, किसी भी साइड एज को इस तरह से परिभाषित किया जाएगा। इसलिए, सभी भुजाएँ एक-दूसरे के बराबर होती हैं, अर्थात सभी भुजाएँ समद्विबाहु त्रिभुज होती हैं। आइए हम साबित करें कि वे एक दूसरे के बराबर हैं। चूंकि आधार एक नियमित बहुभुज है, सभी पक्षों के आधार एक दूसरे के बराबर हैं। नतीजतन, त्रिभुजों की समानता के III चिन्ह के अनुसार सभी भुजाएँ समान हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

अब हम एक नियमित पिरामिड की अवधारणा से संबंधित निम्नलिखित परिभाषा का परिचय देते हैं।

परिभाषा 3

एक नियमित पिरामिड का एपोथेम इसके पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है।

जाहिर है, प्रमेय 1 के अनुसार, सभी एपोथेम समान हैं।

प्रमेय 2

एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र को आधार और एपोथेम के अर्ध-परिधि के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

सबूत।

आइए हम $n-$कोयला पिरामिड के आधार के पक्ष को $a$ और एपोथेम को $d$ के रूप में निरूपित करें। इसलिए, पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर होता है

चूँकि, प्रमेय 1 के अनुसार, सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, तो

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक अन्य प्रकार का पिरामिड छोटा पिरामिड है।

परिभाषा 4

यदि एक साधारण पिरामिड के माध्यम से इसके आधार के समानांतर एक तल खींचा जाता है, तो इस तल और आधार के तल के बीच बनने वाली आकृति को काटे गए पिरामिड (चित्र 5) कहा जाता है।

चित्रा 5. छोटा पिरामिड

काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

प्रमेय 3

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र को आधारों और एपोथेम के अर्धवृत्ताकार योग के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

सबूत।

आइए हम $n-$कोयला पिरामिड के आधारों की भुजाओं को क्रमशः $a\ और\ b$ से और एपोथेम को $d$ से निरूपित करें। इसलिए, पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर होता है

चूँकि सभी भुजाएँ समान हैं, तो

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

कार्य उदाहरण

उदाहरण 1

एक काटे गए त्रिभुजाकार पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि यह एक नियमित पिरामिड से प्राप्त होता है जिसमें आधार पक्ष 4 और एपोथेम 5 पार्श्व चेहरों की मध्य रेखा से गुजरने वाले विमान द्वारा काटकर प्राप्त किया जाता है।

समाधान।

माध्यिका रेखा प्रमेय से, हम पाते हैं कि शीर्ष आधारकाटे गए पिरामिड का है $4\cdot \frac(1)(2)=2$, और एपोथेम है $5\cdot \frac(1)(2)=2.5$।

तब, प्रमेय 3 से, हम प्राप्त करते हैं

पिरामिड। छोटा पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका एक फलक बहुभुज होता है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( साइड फेस ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। एक त्रिभुजाकार पिरामिड, जिसके सभी किनारे बराबर होते हैं, कहलाते हैं चतुर्पाश्वीय .

साइड रिबपिरामिड को पार्श्व फलक का वह भाग कहा जाता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है कद पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। शीर्ष से खींचे गए एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेमा . विकर्ण खंड पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड को सभी भुजाओं के फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। क्षेत्र पूरी सतह सभी भुजाओं के फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड के सभी किनारे आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि पिरामिड के सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड के शीर्ष को आधार के पास परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

3. यदि पिरामिड में सभी फलक आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाना पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र सही है:

कहाँ पे वी- मात्रा;

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

एच ए- एपोथेम;

एच- कद;

एस पूर्ण

एस साइड

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

वीएक नियमित पिरामिड का आयतन है।

छोटा पिरामिडपिरामिड के आधार के समानांतर और काटने वाले विमान के बीच संलग्न पिरामिड के हिस्से को कहा जाता है (चित्र 17)। सही काटे गए पिरामिड एक नियमित पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है, जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर एक काटने वाले विमान के बीच संलग्न होता है।

नींवकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। साइड फेस - ट्रेपोजॉइड। कद काटे गए पिरामिड को इसके आधारों के बीच की दूरी कहा जाता है। विकर्ण एक छोटा पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही चेहरे पर नहीं होता है। विकर्ण खंड काटे गए पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए, सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ पे एस 1 , एस 2 - ऊपरी और . के क्षेत्र निचला आधार;

एस पूर्णकुल सतह क्षेत्र है;

एस साइडपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एच- कद;

वीकाटे गए पिरामिड का आयतन है।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, निम्न सूत्र सत्य है:

कहाँ पे पी 1 , पी 2 - आधार परिधि;

एच ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम।

उदाहरण 1सही त्रिकोणीय पिरामिडआधार पर विकर्ण कोण 60º है। आधार के तल के किनारे के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा का पता लगाएं।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड सही है, इसका मतलब आधार पर है समभुज त्रिकोणऔर सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व चेहरे के आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण कोण होगा एकदो लंबवत के बीच: यानी। पिरामिड के शीर्ष को त्रिभुज के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है (परिचालित वृत्त का केंद्र और त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त) एबीसी) पार्श्व पसली के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए एसबी) आधार तल पर किनारे और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। रिब के लिए एसबीयह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा को खोजने के लिए आपको पैरों को जानना होगा इसलिएतथा ओबी. माना खंड की लंबाई बीडी 3 . है एक. दूरसंचार विभाग हेरेखा खंड बीडीभागों में विभाजित है: और से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी हैं और ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानकर, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी हैं। इसका मतलब है कि आधारों के क्षेत्र और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड की मात्रा की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी3.

उदाहरण 3एक नियमित त्रिकोणीय काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी आधार भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व भाग एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको आधारों और ऊंचाई को जानना होगा। आधार शर्त द्वारा दिए गए हैं, केवल ऊंचाई अज्ञात रहती है। इसे कहां से खोजें लेकिन 1 इएक बिंदु से लंबवत लेकिन 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी- से लंबवत लेकिन 1 पर एसी. लेकिन 1 इ\u003d 2 सेमी, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है। खोजने के लिए डेहम एक अतिरिक्त चित्र बनाएंगे, जिसमें हम एक शीर्ष दृश्य (चित्र 20) को चित्रित करेंगे। दूरसंचार विभाग हे- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक हैखुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है और ओएमउत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलम्बाकार होता है, जिसके आधार होते हैं एकतथा बी (एक> बी) प्रत्येक भुजा का फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीसमलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल और क्षेत्रफल के योग के बराबर है ए बी सी डी.

आइए हम इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। दूरसंचार विभाग हे- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर। त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का लंबकोणीय प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेबेस प्लेन को। एक सपाट आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

इसी प्रकार, इसका अर्थ है इस प्रकार, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में समस्या कम हो गई ए बी सी डी. एक ट्रेपोजॉइड ड्रा करें ए बी सी डीअलग से (चित्र 22)। दूरसंचार विभाग हेएक समलम्ब चतुर्भुज में उत्कीर्ण एक वृत्त का केंद्र है।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हमारे पास है