पिरामिड। छोटा पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका एक फलक बहुभुज होता है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( साइड फेस ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही यदि इसका आधार है नियमित बहुभुजऔर पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है (चित्र 16)। एक त्रिभुजाकार पिरामिड, जिसके सभी किनारे बराबर होते हैं, कहलाते हैं चतुर्पाश्वीय .

साइड रिबपिरामिड को पार्श्व फलक का वह भाग कहा जाता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है कद पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक समान होते हैं समद्विबाहु त्रिभुज. शीर्ष से खींचे गए एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेमा . विकर्ण खंड पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड को सभी भुजाओं के फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। क्षेत्र पूरी सतह सभी भुजाओं के फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

3. यदि पिरामिड में सभी फलक आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाना पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र सही है:

कहाँ पे वी- मात्रा;

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

एच ए- एपोथेम;

एच- कद;

एस पूर्ण

एस साइड

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

वीएक नियमित पिरामिड का आयतन है।

छोटा पिरामिडपिरामिड के आधार के समानांतर और काटने वाले विमान के बीच संलग्न पिरामिड के हिस्से को कहा जाता है (चित्र 17)। सही काटे गए पिरामिड एक नियमित पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है, जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर एक काटने वाले विमान के बीच संलग्न होता है।

नींवकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। साइड फेस - ट्रेपोजॉइड। कद काटे गए पिरामिड को इसके आधारों के बीच की दूरी कहा जाता है। विकर्ण एक छोटा पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही चेहरे पर नहीं होता है। विकर्ण खंड काटे गए पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए, सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ पे एस 1 , एस 2 - ऊपरी और . के क्षेत्र निचला आधार;

एस पूर्णकुल सतह क्षेत्र है;

एस साइडपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एच- कद;

वीकाटे गए पिरामिड का आयतन है।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, निम्न सूत्र सत्य है:

कहाँ पे पी 1 , पी 2 - आधार परिधि;

एच ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम।

उदाहरण 1एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में, आधार पर विकर्ण कोण 60º है। आधार के तल के किनारे के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा का पता लगाएं।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड सही है, इसका मतलब आधार पर है समभुज त्रिकोणऔर सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व चेहरे के आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण कोण होगा एकदो लंबवत के बीच: यानी। पिरामिड के शीर्ष को त्रिभुज के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है (परिचालित वृत्त का केंद्र और त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त) एबीसी) पार्श्व पसली के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए एसबी) आधार तल पर किनारे और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। रिब के लिए एसबीयह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा को खोजने के लिए आपको पैरों को जानना होगा इसलिएतथा ओबी. माना खंड की लंबाई बीडी 3 . है एक. दूरसंचार विभाग हेरेखा खंड बीडीभागों में विभाजित है: और से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी हैं और ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानकर, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी हैं। इसका मतलब है कि आधारों के क्षेत्र और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड की मात्रा की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी3.

उदाहरण 3एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व भाग एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको आधारों और ऊंचाई को जानना होगा। आधार शर्त द्वारा दिए गए हैं, केवल ऊंचाई अज्ञात रहती है। इसे कहां से खोजें लेकिन 1 इएक बिंदु से लंबवत लेकिन 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी- से लंबवत लेकिन 1 पर एसी. लेकिन 1 इ\u003d 2 सेमी, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है। खोजने के लिए डेहम एक अतिरिक्त चित्र बनाएंगे, जिसमें हम एक शीर्ष दृश्य (चित्र 20) को चित्रित करेंगे। दूरसंचार विभाग हे- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक हैखुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है और ओएमउत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलम्बाकार होता है, जिसके आधार होते हैं एकतथा बी (एक> बी) प्रत्येक भुजा का फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीसमलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल और क्षेत्रफल के योग के बराबर है ए बी सी डी.

आइए हम इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। दूरसंचार विभाग हे- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर। त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का लंबकोणीय प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेबेस प्लेन को। एक सपाट आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

इसी प्रकार, इसका अर्थ है इस प्रकार, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में समस्या कम हो गई ए बी सी डी. एक ट्रेपोजॉइड ड्रा करें ए बी सी डीअलग से (चित्र 22)। दूरसंचार विभाग हेएक समलम्ब चतुर्भुज में उत्कीर्ण एक वृत्त का केंद्र है।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हमारे पास है

पिरामिड अवधारणा

परिभाषा 1

एक बहुभुज द्वारा बनाई गई ज्यामितीय आकृति और एक बिंदु जो बहुभुज के सभी शीर्षों से जुड़े इस बहुभुज वाले तल में नहीं होता है, पिरामिड कहलाता है (चित्र 1)।

जिस बहुभुज से पिरामिड बनाया गया है उसे पिरामिड का आधार कहा जाता है, बिंदु से जुड़ने से प्राप्त त्रिभुज पिरामिड के पार्श्व फलक होते हैं, त्रिभुज की भुजाएँ पिरामिड की भुजाएँ होती हैं, और बिंदु सभी के लिए समान होता है। त्रिभुज पिरामिड का शीर्ष है।

पिरामिड के प्रकार

पिरामिड के आधार पर कोनों की संख्या के आधार पर, इसे त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय और इसी तरह कहा जा सकता है (चित्र 2)।

चित्र 2।

एक अन्य प्रकार का पिरामिड एक नियमित पिरामिड है।

आइए हम एक नियमित पिरामिड के गुण का परिचय दें और उसे सिद्ध करें।

प्रमेय 1

एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं जो एक दूसरे के बराबर होते हैं।

सबूत।

एक नियमित $n-$गोनल पिरामिड पर विचार करें जिसमें शीर्ष $S$ ऊंचाई $h=SO$ है। आइए आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें (चित्र 4)।

चित्र 4

त्रिभुज $SOA$ पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं

जाहिर है, किसी भी साइड एज को इस तरह से परिभाषित किया जाएगा। इसलिए, सभी भुजाएँ एक-दूसरे के बराबर होती हैं, अर्थात सभी भुजाएँ समद्विबाहु त्रिभुज होती हैं। आइए हम साबित करें कि वे एक दूसरे के बराबर हैं। चूंकि आधार एक नियमित बहुभुज है, सभी पक्षों के आधार एक दूसरे के बराबर हैं। नतीजतन, त्रिभुजों की समानता के III चिन्ह के अनुसार सभी भुजाएँ समान हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

अब हम एक नियमित पिरामिड की अवधारणा से संबंधित निम्नलिखित परिभाषा का परिचय देते हैं।

परिभाषा 3

एक नियमित पिरामिड का एपोथेम इसके पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है।

जाहिर है, प्रमेय 1 के अनुसार, सभी एपोथेम समान हैं।

प्रमेय 2

एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र को आधार और एपोथेम के अर्ध-परिधि के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

सबूत।

आइए हम $n-$कोयला पिरामिड के आधार के पक्ष को $a$ और एपोथेम को $d$ के रूप में निरूपित करें। इसलिए, पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर होता है

चूँकि, प्रमेय 1 के अनुसार, सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, तो

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक अन्य प्रकार का पिरामिड छोटा पिरामिड है।

परिभाषा 4

यदि एक साधारण पिरामिड के माध्यम से इसके आधार के समानांतर एक तल खींचा जाता है, तो इस तल और आधार के तल के बीच बनने वाली आकृति को काटे गए पिरामिड (चित्र 5) कहा जाता है।

चित्रा 5. छोटा पिरामिड

काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

प्रमेय 3

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र को आधारों और एपोथेम के सेमीपरिमीटर के योग के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

सबूत।

आइए हम $n-$कोयला पिरामिड के आधारों की भुजाओं को क्रमशः $a\ और\ b$ से और एपोथेम को $d$ से निरूपित करें। इसलिए, पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर होता है

चूँकि सभी भुजाएँ समान हैं, तो

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

कार्य उदाहरण

उदाहरण 1

काटे गए की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए त्रिकोणीय पिरामिड, यदि यह एक नियमित पिरामिड से प्राप्त किया जाता है जिसमें आधार पक्ष 4 और एपोथेम 5 होता है, तो इसे पार्श्व चेहरों की मध्य रेखा से गुजरने वाले विमान द्वारा काट दिया जाता है।

समाधान।

माध्यिका रेखा प्रमेय से हम पाते हैं कि शीर्ष आधारकाटे गए पिरामिड का है $4\cdot \frac(1)(2)=2$, और एपोथेम है $5\cdot \frac(1)(2)=2.5$।

तब, प्रमेय 3 से, हम प्राप्त करते हैं

परिचय

जब हमने स्टीरियोमेट्रिक आंकड़ों का अध्ययन करना शुरू किया, तो हमने "पिरामिड" विषय को छुआ। हमें यह विषय पसंद आया क्योंकि पिरामिड का उपयोग अक्सर वास्तुकला में किया जाता है। और चूंकि हमारा भविष्य का पेशावास्तुकार, इस आकृति से प्रेरित होकर, हमें लगता है कि वह हमें महान परियोजनाओं में धकेलने में सक्षम होगी।

स्थापत्य संरचनाओं की ताकत, उनका सबसे महत्वपूर्ण गुण। ताकत को जोड़ना, सबसे पहले, उन सामग्रियों के साथ, जिनसे वे बनाए गए हैं, और दूसरी बात, डिजाइन समाधानों की विशेषताओं के साथ, यह पता चला है कि संरचना की ताकत सीधे ज्यामितीय आकार से संबंधित है जो इसके लिए बुनियादी है।

दूसरे शब्दों में, हम ज्यामितीय आकृति के बारे में बात कर रहे हैं जिसे संबंधित वास्तुशिल्प रूप का एक मॉडल माना जा सकता है। यह पता चला है कि ज्यामितीय आकार भी स्थापत्य संरचना की ताकत को निर्धारित करता है।

मिस्र के पिरामिडों को लंबे समय से सबसे टिकाऊ वास्तुशिल्प संरचना माना जाता है। जैसा कि आप जानते हैं, उनके पास नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आकार है।

यह ज्यामितीय आकार है जो बड़े आधार क्षेत्र के कारण सबसे बड़ी स्थिरता प्रदान करता है। दूसरी ओर, पिरामिड का आकार यह सुनिश्चित करता है कि जैसे-जैसे जमीन से ऊपर की ऊंचाई बढ़ती है, द्रव्यमान घटता जाता है। ये दो गुण हैं जो पिरामिड को स्थिर बनाते हैं, और इसलिए गुरुत्वाकर्षण की स्थिति में मजबूत होते हैं।

परियोजना का उद्देश्य: पिरामिड के बारे में कुछ नया सीखें, ज्ञान को गहरा करें और व्यावहारिक अनुप्रयोग खोजें।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित कार्यों को हल करना आवश्यक था:

पिरामिड के बारे में ऐतिहासिक जानकारी जानें

पिरामिड पर विचार करें ज्यामितीय आकृति

जीवन और वास्तुकला में आवेदन प्राप्त करें

में स्थित पिरामिडों के बीच समानताएं और अंतर खोजें विभिन्न भागस्वेता

सैद्धांतिक भाग

ऐतिहासिक जानकारी

पिरामिड की ज्यामिति की शुरुआत प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में हुई थी, लेकिन इसे सक्रिय रूप से में विकसित किया गया था प्राचीन ग्रीस. पिरामिड का आयतन किसके बराबर है, यह स्थापित करने वाले पहले डेमोक्रिटस थे, और कनिडस के यूडोक्सस ने इसे साबित किया। प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने अपने "बिगिनिंग्स" के बारहवीं मात्रा में पिरामिड के बारे में ज्ञान को व्यवस्थित किया, और पिरामिड की पहली परिभाषा भी सामने रखी: एक विमान से घिरा एक शारीरिक आकृति जो एक बिंदु पर एक विमान से अभिसरण होती है।

मिस्र के फिरौन की कब्रें। उनमें से सबसे बड़ा - प्राचीन काल में एल गीज़ा में चेप्स, खफरे और मिकेरिन के पिरामिड दुनिया के सात अजूबों में से एक माने जाते थे। पिरामिड का निर्माण, जिसमें यूनानियों और रोमनों ने पहले से ही राजाओं और क्रूरता के अभूतपूर्व गौरव के लिए एक स्मारक देखा, जिसने मिस्र के पूरे लोगों को मूर्खतापूर्ण निर्माण के लिए बर्बाद कर दिया, सबसे महत्वपूर्ण पंथ अधिनियम था और जाहिरा तौर पर व्यक्त करना चाहिए था, देश और उसके शासक की रहस्यमय पहचान। देश की आबादी ने कृषि कार्य से मुक्त वर्ष के हिस्से में मकबरे के निर्माण पर काम किया। कई ग्रंथ ध्यान और देखभाल की गवाही देते हैं कि राजाओं ने स्वयं (यद्यपि बाद के समय में) अपने मकबरे और उसके बिल्डरों के निर्माण के लिए भुगतान किया था। यह उन विशेष पंथ सम्मानों के बारे में भी जाना जाता है जो स्वयं पिरामिड बन गए।

मूल अवधारणा

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका आधार एक बहुभुज होता है, और शेष फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज होते हैं।

एपोथेम- एक नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई, इसके ऊपर से खींची गई;

साइड फेस- शीर्ष पर अभिसरण त्रिकोण;

पार्श्व पसलियां- पक्ष के आम पक्ष चेहरे;

पिरामिड के ऊपर- किनारे के किनारों को जोड़ने वाला एक बिंदु और आधार के तल में नहीं पड़ा है;

कद- पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचे गए लंबवत का एक खंड (इस खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार हैं);

पिरामिड का विकर्ण खंड- आधार के शीर्ष और विकर्ण से गुजरने वाले पिरामिड का खंड;

आधार- एक बहुभुज जो पिरामिड के शीर्ष से संबंधित नहीं है।

सही पिरामिड के मुख्य गुण

पार्श्व किनारे, पार्श्व फलक और एपोथेम क्रमशः समान हैं।

आधार पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं।

पार्श्व किनारों पर डायहेड्रल कोण बराबर होते हैं।

प्रत्येक ऊँचाई बिंदु सभी आधार शीर्षों से समान दूरी पर होता है।

प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी पक्षों के चेहरों से समान दूरी पर है।

मूल पिरामिड सूत्र

पिरामिड के पार्श्व और पूर्ण सतह का क्षेत्रफल।

पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल (पूर्ण और कटा हुआ) इसके सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल इसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है।

प्रमेय: एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और पिरामिड के एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

पी- आधार की परिधि;

एच- एपोथेम।

एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व और पूर्ण सतहों का क्षेत्रफल।

p1, पी 2 - आधार परिधि;

एच- एपोथेम।

आर- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र;

एस साइड- नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल;

S1 + S2- आधार क्षेत्र

पिरामिड वॉल्यूम

प्रपत्र वॉल्यूम स्केल का इस्तेमाल किसी भी तरह के पिरामिड के लिए किया जाता है।

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

पिरामिड के कोण

पिरामिड के पार्श्व फलक और आधार से बनने वाले कोणों को पिरामिड के आधार पर द्विफलकीय कोण कहा जाता है।

एक द्विफलकीय कोण दो लंबों से बनता है।

इस कोण को निर्धारित करने के लिए, आपको अक्सर तीन लंबवत प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता होती है.

एक पार्श्व किनारे से बनने वाले कोण और आधार के तल पर इसके प्रक्षेपण को कहा जाता है पार्श्व किनारे और आधार के तल के बीच के कोण.

दो भुजाओं के फलकों द्वारा बनने वाले कोण को कहते हैं पिरामिड के पार्श्व किनारे पर डायहेड्रल कोण।

वह कोण, जो पिरामिड के एक फलक के दो किनारों से बनता है, कहलाता है पिरामिड के शीर्ष पर कोने.

पिरामिड के खंड

एक पिरामिड की सतह एक बहुफलक की सतह है। इसका प्रत्येक फलक एक समतल है, इसलिए छेदक तल द्वारा दिया गया पिरामिड का खंड अलग-अलग सीधी रेखाओं वाली एक टूटी हुई रेखा है।

विकर्ण खंड

दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले समतल द्वारा पिरामिड का वह भाग जो एक ही फलक पर नहीं होता है, कहलाता है विकर्ण खंडपिरामिड।

समानांतर खंड

प्रमेय:

यदि पिरामिड को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा पार किया जाता है, तो पिरामिड के पार्श्व किनारों और ऊँचाई को इस तल द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया जाता है;

इस तल का खंड आधार के समान बहुभुज है;

खंड और आधार के क्षेत्र ऊपर से उनकी दूरी के वर्गों के रूप में एक दूसरे से संबंधित हैं।

पिरामिड के प्रकार

सही पिरामिड- एक पिरामिड, जिसका आधार एक नियमित बहुभुज है, और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

सही पिरामिड पर:

1. पार्श्व पसलियां बराबर होती हैं

2. पार्श्व फलक बराबर होते हैं

3. एपोटेम बराबर हैं

4. आधार पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं

5. पार्श्व किनारों पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं

6. प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी आधार शीर्षों से समान दूरी पर है

7. प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी पक्षों से समान दूरी पर है

छोटा पिरामिड- पिरामिड का वह भाग जो उसके आधार और आधार के समानांतर एक काटने वाले तल के बीच घिरा होता है।

एक काटे गए पिरामिड के आधार और संबंधित खंड को कहा जाता है एक काटे गए पिरामिड के आधार.

एक आधार के किसी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर खींचा गया लंब कहलाता है काटे गए पिरामिड की ऊंचाई।

कार्य

नंबर 1। सही चतुर्भुज पिरामिडबिंदु O आधार का केंद्र है, SO=8 सेमी, BD=30 सेमी। पार्श्व किनारे SA ज्ञात कीजिए।

समस्या को सुलझाना

नंबर 1। एक नियमित पिरामिड में, सभी फलक और किनारे समान होते हैं।

आइए OSB पर विचार करें: OSB-आयताकार आयत, क्योंकि।

एसबी 2 \u003d एसओ 2 + ओबी 2

SB2=64+225=289

वास्तुकला में पिरामिड

पिरामिड - एक साधारण नियमित के रूप में एक स्मारकीय संरचना ज्यामितीय पिरामिड, जिसमें पक्ष एक बिंदु पर अभिसरण करते हैं। कार्यात्मक उद्देश्य के अनुसार, प्राचीन काल में पिरामिड दफनाने या पूजा करने का स्थान था। एक पिरामिड का आधार त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय या बहुभुज हो सकता है जिसमें एक मनमाना संख्या में शिखर होते हैं, लेकिन सबसे आम संस्करण चतुष्कोणीय आधार है।

काफी संख्या में पिरामिड ज्ञात हैं, निर्मित विभिन्न संस्कृतियां प्राचीन विश्वज्यादातर मंदिरों या स्मारकों के रूप में। सबसे बड़े पिरामिड मिस्र के पिरामिड हैं।

पूरी पृथ्वी पर आप पिरामिडों के रूप में स्थापत्य संरचनाओं को देख सकते हैं। पिरामिड की इमारतें प्राचीन काल की याद दिलाती हैं और देखने में बेहद खूबसूरत लगती हैं।

मिस्र के पिरामिडमहानतम स्थापत्य स्मारक प्राचीन मिस्र, जिनमें से "दुनिया के सात अजूबों" में से एक चेप्स का पिरामिड है। पैर से ऊपर तक, यह 137.3 मीटर तक पहुंचता है, और इससे पहले कि यह शीर्ष खो देता, इसकी ऊंचाई 146.7 मीटर थी।

स्लोवाकिया की राजधानी में रेडियो स्टेशन की इमारत, एक उल्टे पिरामिड जैसा दिखता है, 1983 में बनाया गया था। कार्यालयों और सेवा परिसर के अलावा, वॉल्यूम के अंदर काफी विशाल है समारोह का हाल, जो स्लोवाकिया में सबसे बड़े निकायों में से एक है।

लौवर, जो "एक पिरामिड के रूप में मौन और राजसी है," में बदलने से पहले सदियों में कई बदलाव हुए हैं। सबसे बड़ा संग्रहालयशांति। यह एक किले के रूप में पैदा हुआ था, जिसे 1190 में फिलिप ऑगस्टस द्वारा बनवाया गया था, जो जल्द ही एक शाही निवास में बदल गया। 1793 में महल एक संग्रहालय बन गया। संग्रह वसीयत या खरीद के माध्यम से समृद्ध होते हैं।

प्रथम स्तर

पिरामिड। दृश्य गाइड (2019)

एक पिरामिड क्या है?

वह कैसी दिखती है?

आप देखते हैं: नीचे पिरामिड में (वे कहते हैं " बेस पर"") कुछ बहुभुज, और इस बहुभुज के सभी शीर्ष अंतरिक्ष में किसी बिंदु से जुड़े हुए हैं (इस बिंदु को "कहा जाता है" शिखर»).

इस पूरी संरचना में है साइड फेस, पार्श्व पसलियांतथा आधार पसलियां. आइए एक बार फिर इन सभी नामों के साथ एक पिरामिड बनाएं:

कुछ पिरामिड बहुत अजीब लग सकते हैं, लेकिन वे अभी भी पिरामिड ही हैं।

यहाँ, उदाहरण के लिए, काफी "तिरछा" पिरामिड.

और नामों के बारे में थोड़ा और: यदि पिरामिड के आधार पर एक त्रिभुज है, तो पिरामिड को त्रिभुज कहा जाता है;

उसी समय, जिस बिंदु पर वह गिर गया कद, कहा जाता है ऊंचाई का आधार. ध्यान दें कि "कुटिल" पिरामिड में कदपिरामिड के बाहर भी हो सकता है। ऐशे ही:

और इसमें भयानक कुछ भी नहीं है। यह एक तिरछे त्रिभुज जैसा दिखता है।

सही पिरामिड।

बहुत सारे कठिन शब्द? आइए समझें: " आधार पर - सही"- यह समझ में आता है। और अब याद रखें कि एक नियमित बहुभुज का एक केंद्र होता है - एक बिंदु जो और का केंद्र होता है, तथा।

खैर, और शब्द "शीर्ष को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है" का अर्थ है कि ऊंचाई का आधार बिल्कुल आधार के केंद्र में पड़ता है। देखो कितनी चिकनी और प्यारी लगती है दायां पिरामिड.

हेक्सागोनल: आधार पर - एक नियमित षट्भुज, शीर्ष को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

चौकोर: आधार पर - एक वर्ग, शीर्ष को इस वर्ग के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित किया जाता है।

त्रिकोणीय: आधार पर एक नियमित त्रिभुज है, शीर्ष को इस त्रिभुज की ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु (वे भी माध्यिका और समद्विभाजक हैं) की ओर प्रक्षेपित किया जाता है।

अत्यधिक एक नियमित पिरामिड के महत्वपूर्ण गुण:

सही पिरामिड में

• सभी पार्श्व किनारे समान हैं।
• सभी भुजा फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं और ये सभी त्रिभुज समान हैं।

पिरामिड वॉल्यूम

पिरामिड के आयतन का मुख्य सूत्र:

यह बिल्कुल कहाँ से आया? यह इतना आसान नहीं है, और सबसे पहले आपको यह याद रखने की जरूरत है कि पिरामिड और शंकु में सूत्र में मात्रा होती है, लेकिन सिलेंडर नहीं होता है।

अब आइए सबसे लोकप्रिय पिरामिडों की मात्रा की गणना करें।

मान लें कि आधार का किनारा बराबर है, और किनारे का किनारा बराबर है। मुझे खोजने की जरूरत है और।

यह है क्षेत्र सही त्रिकोण.

आइए याद करें कि इस क्षेत्र को कैसे खोजा जाए। हम क्षेत्र सूत्र का उपयोग करते हैं:

हमारे पास "" है - यह, और "" - यह भी, एह।

आइए अब ढूंढते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

क्या फर्क पड़ता है? यह परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है, क्योंकि पिरामिडसहीऔर इसलिए केंद्र।

चूँकि - प्रतिच्छेदन बिंदु और माध्यिका भी।

(पाइथागोरस प्रमेय के लिए)

के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

आइए सब कुछ वॉल्यूम फॉर्मूला में प्लग करें:

ध्यान:यदि आपके पास नियमित टेट्राहेड्रोन (यानी) है, तो सूत्र है:

मान लें कि आधार का किनारा बराबर है, और किनारे का किनारा बराबर है।

यहां खोजने की जरूरत नहीं है; क्योंकि आधार पर एक वर्ग है, और इसलिए।

हमे पता करने दें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

हम जानते हैं? लगभग। नज़र:

(हमने इसे समीक्षा करके देखा)।

के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

और अब हम वॉल्यूम फॉर्मूला में स्थानापन्न करते हैं।

आधार के किनारे को बराबर होने दें, और किनारे के किनारे को।

कैसे ढूंढें? देखिए, एक षट्भुज में ठीक छह समान नियमित त्रिभुज होते हैं। एक नियमित त्रिभुज पिरामिड के आयतन की गणना करते समय हमने पहले से ही एक नियमित त्रिभुज के क्षेत्रफल की खोज की है, यहाँ हम पाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।

अब आइए खोजें (यह)।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

लेकिन क्या फर्क पड़ता है? यह आसान है क्योंकि (और बाकी सभी भी) सही है।

हम स्थानापन्न करते हैं:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

पिरामिड। संक्षेप में मुख्य के बारे में

एक पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसमें किसी भी फ्लैट बहुभुज (), एक बिंदु होता है जो आधार के तल (पिरामिड के शीर्ष) में नहीं होता है और पिरामिड के शीर्ष को आधार के बिंदुओं (साइड किनारों) से जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं )

पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल पर गिरा एक लंबवत।

सही पिरामिड- एक पिरामिड, जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है, और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक नियमित पिरामिड की संपत्ति:

• एक नियमित पिरामिड में, सभी किनारे बराबर होते हैं।
• सभी भुजा फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं और ये सभी त्रिभुज समान हैं।