सम और विषम कार्य। सम और विषम कार्य

साइट पर गणितीय सूत्र कैसे सम्मिलित करें?

यदि आपको कभी भी किसी वेब पेज पर एक या दो गणितीय सूत्रों को जोड़ने की आवश्यकता होती है, तो ऐसा करने का सबसे आसान तरीका लेख में वर्णित है: वोल्फ्राम अल्फा स्वचालित रूप से उत्पन्न चित्रों के रूप में गणितीय सूत्रों को आसानी से साइट में डाला जाता है। सादगी के अलावा, यह सार्वभौमिक तरीका साइट की दृश्यता में सुधार करने में मदद करेगा खोज यन्त्र. यह लंबे समय से काम कर रहा है (और मुझे लगता है कि यह हमेशा के लिए काम करेगा), लेकिन यह नैतिक रूप से पुराना है।

यदि आप अपनी साइट पर गणित के फ़ार्मुलों का लगातार उपयोग कर रहे हैं, तो मैं आपको MathJax का उपयोग करने की सलाह देता हूं, जो एक कस्टम JavaScript लाइब्रेरी है जो MathML, LaTeX, या ASCIIMathML मार्कअप का उपयोग करके वेब ब्राउज़र में गणित संकेतन प्रदर्शित करता है।

MathJax का उपयोग शुरू करने के दो तरीके हैं: (1) एक साधारण कोड का उपयोग करके, आप जल्दी से एक MathJax स्क्रिप्ट को अपनी साइट से कनेक्ट कर सकते हैं, जो एक दूरस्थ सर्वर से सही समय पर स्वचालित रूप से लोड हो जाएगी (सर्वर की सूची); (2) मैथजैक्स स्क्रिप्ट को रिमोट सर्वर से अपने सर्वर पर अपलोड करें और इसे अपनी साइट के सभी पेजों से कनेक्ट करें। दूसरी विधि अधिक जटिल और समय लेने वाली है और आपको अपनी साइट के पृष्ठों की लोडिंग को तेज करने की अनुमति देगी, और यदि किसी कारण से पैरेंट मैथजैक्स सर्वर अस्थायी रूप से अनुपलब्ध हो जाता है, तो यह आपकी अपनी साइट को किसी भी तरह से प्रभावित नहीं करेगा। इन फायदों के बावजूद, मैंने पहली विधि को चुना, क्योंकि यह सरल, तेज है और इसके लिए तकनीकी कौशल की आवश्यकता नहीं है। मेरे उदाहरण का अनुसरण करें, और 5 मिनट के भीतर आप अपनी साइट पर MathJax की सभी सुविधाओं का उपयोग करने में सक्षम होंगे।

आप मुख्य MathJax वेबसाइट या दस्तावेज़ीकरण पृष्ठ से लिए गए दो कोड विकल्पों का उपयोग करके किसी दूरस्थ सर्वर से MathJax लाइब्रेरी स्क्रिप्ट को कनेक्ट कर सकते हैं:

इन कोड विकल्पों में से एक को आपके वेब पेज के कोड में कॉपी और पेस्ट करने की आवश्यकता है, अधिमानतः टैग के बीच तथाया टैग के ठीक बाद . पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पृष्ठ को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों को ट्रैक और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अपडेट करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड पेस्ट करते हैं, तो पेज अधिक धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको लगातार MathJax अपडेट की निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

मैथजैक्स को जोड़ने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट नियंत्रण कक्ष में, तृतीय-पक्ष जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया विजेट जोड़ें, इसमें ऊपर प्रस्तुत लोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण की प्रतिलिपि बनाएँ, और विजेट को करीब रखें टेम्पलेट की शुरुआत में (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट को एसिंक्रोनस रूप से लोड किया गया है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX, और ASCIIMathML मार्कअप सिंटैक्स सीखें और आप अपने वेब पेजों में गणित के फ़ार्मुलों को एम्बेड करने के लिए तैयार हैं।

कोई भी फ्रैक्टल किस पर बनाया जाता है निश्चित नियम, जिसे लगातार असीमित बार लागू किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समय को पुनरावृति कहा जाता है।

मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृति एल्गोरिथ्म काफी सरल है: मूल घन 1 पक्ष के साथ इसके चेहरे के समानांतर विमानों द्वारा 27 बराबर क्यूब्स में विभाजित किया गया है। एक केंद्रीय घन और फलकों के साथ लगे 6 घन इसमें से हटा दिए जाते हैं। यह एक सेट निकलता है जिसमें 20 शेष छोटे क्यूब्स होते हैं। इन घनों में से प्रत्येक के साथ ऐसा करने पर, हमें 400 छोटे घनों का एक समुच्चय प्राप्त होता है। इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हुए, हमें मेंजर स्पंज मिलता है।

एक फ़ंक्शन को सम (विषम) कहा जाता है यदि कोई हो और समानता

.

एक सम फलन का ग्राफ अक्ष के परितः सममित होता है
.

एक विषम फलन का आलेख मूल के परितः सममित होता है।

उदाहरण 6.2।सम या विषम कार्यों के लिए जाँच करें

1)
; 2)
; 3)
.

समाधान.

1) फ़ंक्शन को के साथ परिभाषित किया गया है
. हमे पता करने दें
.

वे।
. माध्यम, दिया गया कार्यसम है।

2) फ़ंक्शन के लिए परिभाषित किया गया है

वे।
. इस प्रकार, यह फ़ंक्शन विषम है।

3) फ़ंक्शन के लिए परिभाषित किया गया है, अर्थात। के लिये

,
. इसलिए, फलन न तो सम है और न ही विषम। आइए इसे एक सामान्य कार्य कहते हैं।

3. एकरसता के लिए एक समारोह की जांच।

समारोह
कुछ अंतराल पर बढ़ते (घटते) कहा जाता है यदि इस अंतराल में तर्क का प्रत्येक बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े (छोटे) मान से मेल खाता है।

कुछ अंतराल पर बढ़ते (घटते) होने वाले कार्यों को मोनोटोनिक कहा जाता है।

यदि समारोह
अंतराल पर अवकलनीय
और एक सकारात्मक (नकारात्मक) व्युत्पन्न है
, फिर समारोह
इस अंतराल में बढ़ता (घटता) है।

उदाहरण 6.3. कार्यों की एकरसता के अंतराल खोजें

1)
; 3)
.

समाधान.

1) यह फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या अक्ष पर परिभाषित किया गया है। आइए व्युत्पन्न खोजें।

व्युत्पन्न शून्य है यदि
तथा
. परिभाषा का क्षेत्र - अंक द्वारा विभाजित संख्यात्मक अक्ष
,
अंतराल के लिए। आइए हम प्रत्येक अंतराल में अवकलज का चिह्न ज्ञात करें।

अंतराल में
व्युत्पन्न ऋणात्मक है, इस अंतराल पर फलन घटता है।

अंतराल में
व्युत्पन्न धनात्मक है, इसलिए इस अंतराल पर फलन बढ़ रहा है।

2) यह फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है यदि
या

.

हम प्रत्येक अंतराल में वर्ग त्रिपद का चिन्ह निर्धारित करते हैं।

इस प्रकार, समारोह का दायरा

आइए व्युत्पन्न खोजें
,
, यदि
, अर्थात।
, लेकिन
. आइए हम अंतरालों में अवकलज का चिह्न ज्ञात करें
.

अंतराल में
व्युत्पन्न ऋणात्मक है, इसलिए, अंतराल पर फलन घटता है
. अंतराल में
व्युत्पन्न सकारात्मक है, अंतराल पर फ़ंक्शन बढ़ता है
.

4. एक चरम के लिए एक समारोह की जांच।

दूरसंचार विभाग
फ़ंक्शन का अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु कहलाता है
, अगर बिंदु का ऐसा पड़ोस है कि सबके लिए
यह पड़ोस असमानता को संतुष्ट करता है

.

किसी फलन के अधिकतम और न्यूनतम बिन्दुओं को चरम बिन्दु कहते हैं।

यदि समारोह
बिंदु पर एक चरम है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है (एक चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त)।

जिन बिंदुओं पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है या मौजूद नहीं होता है उन्हें महत्वपूर्ण कहा जाता है।

5. एक चरम सीमा के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें।

नियम 1. यदि संक्रमण के दौरान (बाएं से दाएं) महत्वपूर्ण बिंदु के माध्यम से यौगिक
चिह्न को "+" से "-" में बदलता है, फिर बिंदु पर समारोह
अधिकतम है; यदि "-" से "+" तक, तो न्यूनतम; यदि
संकेत नहीं बदलता है, तो कोई चरम नहीं है।

नियम 2. बिंदु पर चलो
फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न
शून्य
, और दूसरा व्युत्पन्न मौजूद है और गैर-शून्य है। यदि एक
, फिर अधिकतम बिंदु है, यदि
, फिर फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।

उदाहरण 6.4 . अधिकतम और न्यूनतम कार्यों का अन्वेषण करें:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

समाधान।

1) फ़ंक्शन परिभाषित और अंतराल पर निरंतर है
.

आइए व्युत्पन्न खोजें
और समीकरण हल करें
, अर्थात।
।यहाँ से
महत्वपूर्ण बिंदु हैं।

आइए हम अंतराल में व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें,
.

बिंदुओं से गुजरते समय
तथा
व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" तक संकेत करते हैं, इसलिए, नियम 1 के अनुसार
न्यूनतम अंक हैं।

एक बिंदु से गुजरते समय
व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" में संकेत करते हैं, इसलिए
अधिकतम बिंदु है।

,
.

2) फ़ंक्शन परिभाषित और अंतराल में निरंतर है
. आइए व्युत्पन्न खोजें
.

समीकरण को हल करके
, पाना
तथा
महत्वपूर्ण बिंदु हैं। यदि हर
, अर्थात।
, तो व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। इसलिए,
- तीसरा महत्वपूर्ण बिंदु. आइए हम अंतराल में व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें।

इसलिए, फ़ंक्शन का बिंदु पर न्यूनतम है
, अधिकतम बिंदुओं पर
तथा
.

3) एक फलन परिभाषित और सतत होता है यदि
, अर्थात। पर
.

आइए व्युत्पन्न खोजें

.

आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु:

अंक के पड़ोस
परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं हैं, इसलिए वे चरम टी नहीं हैं। तो आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदुओं के बारे में
तथा
.

4) फ़ंक्शन परिभाषित और अंतराल पर निरंतर है
. हम नियम 2 का प्रयोग करते हैं। अवकलज ज्ञात कीजिए
.

आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु:

आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें
और बिंदुओं पर अपना चिन्ह निर्धारित करें

बिंदुओं पर
फ़ंक्शन न्यूनतम है।

बिंदुओं पर
फ़ंक्शन में अधिकतम है।

पीछे आगे

ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचना के उद्देश्यों के लिए है और प्रस्तुति की पूरी सीमा का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है। यदि आप इस काम में रुचि रखते हैं, तो कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।

लक्ष्य:

• सम और विषम कार्यों की अवधारणा बनाने के लिए, इन गुणों को निर्धारित करने और उपयोग करने की क्षमता सिखाने के लिए जब समारोह अनुसंधान, साजिश रचना;
• छात्रों की रचनात्मक गतिविधि को विकसित करने के लिए, तार्किक सोच, तुलना करने की क्षमता, सामान्यीकरण;
• मेहनती, गणितीय संस्कृति की खेती करना; संचार कौशल विकसित करें .

उपकरण:मल्टीमीडिया स्थापना, इंटरैक्टिव बोर्ड, हैंडआउट।

काम के रूप:खोज और अनुसंधान गतिविधियों के तत्वों के साथ ललाट और समूह।

सूत्रों की जानकारी:

1. बीजगणित कक्षा 9 ए.जी. मोर्दकोविच। पाठ्यपुस्तक।
2. बीजगणित ग्रेड 9 एजी मोर्दकोविच। कार्यपुस्तिका।
3. बीजगणित ग्रेड 9. छात्रों के सीखने और विकास के लिए कार्य। बेलेंकोवा ई.यू. लेबेदित्सेवा ई.ए.

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण

पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करना।

2. होमवर्क की जाँच करना

नंबर 10.17 (समस्या पुस्तक 9 वीं कक्षा ए.जी. मोर्दकोविच)।

एक) पर = एफ(एक्स), एफ(एक्स) =

बी) एफ (–2) = –3; एफ (0) = –1; एफ(5) = 69;

सी) 1. डी ( एफ) = [– 2; + ∞)
2. ई( एफ) = [– 3; + ∞)
3. एफ(एक्स) = 0 के लिए एक्स ~ 0,4
4. एफ(एक्स)>0 बजे एक्स > 0,4 ; एफ(एक्स) < 0 при – 2 < एक्स < 0,4.
5. फलन के साथ बढ़ता है एक्स € [– 2; + ∞)
6. फ़ंक्शन नीचे से सीमित है।
7. परकिराया = - 3, परनायब मौजूद नहीं है
8. फ़ंक्शन निरंतर है।

(क्या आपने फीचर एक्सप्लोरेशन एल्गोरिथम का उपयोग किया था?) फिसलना।

2. हम उस तालिका की जांच करेंगे जो आपसे स्लाइड पर पूछी गई थी।

तालिका भरें
	कार्यक्षेत्र	फंक्शन जीरो	निरंतरता अंतराल		Oy . के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक
		एक्स = -5, एक्स = 2	х € (-5;3) यू यू(2;∞)	€ (-∞;–5) यू यू (-3; 2)
	एक्स -5, एक्स 2		х € (-5;3) यू यू(2;∞)	€ (-∞;–5) यू यू (-3; 2)
	एक्स -5, एक्स 2		एक्स € ​​(-∞; -5) यू यू(2;∞)	एक्स € ​​(-5; 2)

3. ज्ञान अद्यतन

- फंक्शन दिए गए हैं।
- प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए परिभाषा का डोमेन निर्दिष्ट करें।
- तर्क मूल्यों की प्रत्येक जोड़ी के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन के मूल्य की तुलना करें: 1 और -1; 2 और - 2.
- परिभाषा के क्षेत्र में दिए गए कार्यों में से किसके लिए समानताएं हैं एफ(– एक्स) = एफ(एक्स), एफ(– एक्स) = – एफ(एक्स)? (डेटा को तालिका में रखें) फिसलना

		एफ(1) और एफ(– 1)	एफ(2) और एफ(– 2)	चार्ट	एफ(– एक्स) = –एफ(एक्स)	एफ(– एक्स) = एफ(एक्स)
1. एफ(एक्स) =
2. एफ(एक्स) = एक्स 3
3. एफ(एक्स) = | एक्स |
4.एफ(एक्स) = 2एक्स – 3
5. एफ(एक्स) =	एक्स ≠ 0
6. एफ(एक्स)=	एक्स > –1		और परिभाषित नहीं।

4. नई सामग्री

- यह काम करते हुए, दोस्तों, हमने फ़ंक्शन की एक और संपत्ति का खुलासा किया है, जो आपके लिए अपरिचित है, लेकिन दूसरों से कम महत्वपूर्ण नहीं है - यह फ़ंक्शन की समता और विषमता है। पाठ का विषय लिखें: "सम और विषम कार्य", हमारा कार्य यह सीखना है कि सम और विषम कार्यों को कैसे निर्धारित किया जाए, कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन में इस संपत्ति के महत्व का पता लगाया जाए।
तो, आइए पाठ्यपुस्तक में परिभाषाएँ खोजें और पढ़ें (पृष्ठ 110) . फिसलना

डीईएफ़। एकसमारोह पर = एफ (एक्स) सेट एक्स पर परिभाषित कहा जाता है यहाँ तक की, यदि किसी मूल्य के लिए एक्सЄ एक्स प्रगति पर है समानता f (-x) = f (x)। उदाहरण दो।

डीईएफ़। 2समारोह वाई = एफ (एक्स), सेट X पर परिभाषित कहा जाता है अजीब, यदि किसी मूल्य के लिए एक्सएक्स समानता f(–х)= –f(х) संतुष्ट है। उदाहरण दो।

हम "सम" और "विषम" शब्द कहां से मिले?
इनमें से कौन सा फलन सम होगा, क्या आपको लगता है? क्यों? कौन से अजीब हैं? क्यों?
फॉर्म के किसी भी फंक्शन के लिए पर= एक्स एन, कहाँ पे एनएक पूर्णांक है, यह तर्क दिया जा सकता है कि फ़ंक्शन विषम है एनविषम है और फलन सम है एन- यहाँ तक की।
- कार्य देखें पर= और पर = 2एक्स- 3 न तो सम है और न ही विषम, क्योंकि समानताएं पूरी नहीं हुई हैं एफ(– एक्स) = – एफ(एक्स), एफ(– एक्स) = एफ(एक्स)

किसी फलन के सम या विषम होने के प्रश्न का अध्ययन समता के लिए फलन का अध्ययन कहलाता है।फिसलना

परिभाषाएँ 1 और 2 x और - x पर फ़ंक्शन के मानों से निपटते हैं, इस प्रकार यह माना जाता है कि फ़ंक्शन को मान पर भी परिभाषित किया गया है एक्स, और कम से - एक्स.

ओडीए 3.यदि किसी संख्या के प्रत्येक अवयव x के साथ समुच्चय में विपरीत अवयव x है, तो समुच्चय एक्ससममित समुच्चय कहलाता है।

उदाहरण:

(-2;2), [-5;5]; (∞;∞) सममित समुच्चय हैं, और [–5;4] असममित हैं।

- क्या फ़ंक्शन में भी परिभाषा का एक डोमेन होता है - एक सममित सेट? अजीब वाले?
- अगर डी ( एफ) एक असममित समुच्चय है, तो कार्य क्या है?
- इस प्रकार, यदि फलन पर = एफ(एक्स) सम या विषम है, तो इसकी परिभाषा का क्षेत्र D है ( एफ) एक सममित सेट है। लेकिन क्या इसका विलोम सत्य है, यदि किसी फलन का प्रांत एक सममित समुच्चय है, तो यह सम या विषम है?
- तो परिभाषा के क्षेत्र के एक सममित सेट की उपस्थिति एक आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है।
- तो हम समानता के लिए फ़ंक्शन की जांच कैसे कर सकते हैं? आइए एक एल्गोरिथ्म लिखने का प्रयास करें।

फिसलना

समता के लिए एक समारोह की जांच के लिए एल्गोरिदम

1. निर्धारित करें कि क्या फ़ंक्शन का डोमेन सममित है। यदि नहीं, तो फलन न तो सम है और न ही विषम। यदि हाँ, तो एल्गोरिथम के चरण 2 पर जाएँ।

2. के लिए व्यंजक लिखिए एफ(–एक्स).

3. तुलना करें एफ(–एक्स)।तथा एफ(एक्स):

• यदि एफ(–एक्स).= एफ(एक्स), तो फ़ंक्शन सम है;
• यदि एफ(–एक्स).= – एफ(एक्स), तो फ़ंक्शन विषम है;
• यदि एफ(–एक्स) ≠ एफ(एक्स) तथा एफ(–एक्स) ≠ –एफ(एक्स), तो फलन न तो सम है और न ही विषम।

उदाहरण:

समता के लिए फलन की जाँच कीजिए a) पर= एक्स 5 +; बी) पर=; में) पर= .

समाधान।

ए) एच (एक्स) \u003d एक्स 5 +,

1) डी(एच) = (-∞; 0) यू (0; +∞), सममित सेट।

2) एच (- एक्स) \u003d (-एक्स) 5 + - एक्स 5 - \u003d - (एक्स 5 +),

3) एच (- एक्स) \u003d - एच (एक्स) \u003d\u003e फ़ंक्शन एच (एक्स)= x 5 + विषम।

बी) वाई =,

पर = एफ(एक्स), डी (एफ) = (-∞; -9)? (-9; +∞), असममित समुच्चय, इसलिए फलन न तो सम है और न ही विषम।

में) एफ(एक्स) =, वाई = एफ (एक्स),

1) डी ( एफ) = (-∞; 3] ; बी) (∞; -2), (-4; 4]?

विकल्प 2

1. क्या दिया गया समुच्चय सममित है: a) [-2;2]; बी) (∞; 0], (0; 7)?

एक); बी) वाई \u003d एक्स (5 - एक्स 2)। 2. समता के लिए फलन का परीक्षण कीजिए:

ए) वाई \u003d एक्स 2 (2x - एक्स 3), बी) वाई \u003d

3. अंजीर में। साजिश रची पर = एफ(एक्स), सभी के लिए एक्स, शर्त को संतुष्ट करना एक्स? 0.
फंक्शन प्लॉट करें पर = एफ(एक्स), यदि पर = एफ(एक्स) एक समान कार्य है।

3. अंजीर में। साजिश रची पर = एफ(एक्स), सभी x संतोषजनक x के लिए? 0.
फंक्शन प्लॉट करें पर = एफ(एक्स), यदि पर = एफ(एक्स) एक विषम कार्य है।

म्युचुअल चेक ऑन फिसल पट्टी।

6. गृहकार्य: №11.11, 11.21,11.22;

समता गुण के ज्यामितीय अर्थ का प्रमाण।

*** (यूएसई विकल्प का असाइनमेंट)।

1. विषम फलन y \u003d f (x) संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिभाषित है। चर x के किसी भी गैर-ऋणात्मक मान के लिए, इस फ़ंक्शन का मान फ़ंक्शन g के मान के साथ मेल खाता है ( एक्स) = एक्स(एक्स + 1)(एक्स + 3)(एक्स- 7)। फ़ंक्शन h का मान ज्ञात कीजिए ( एक्स) = अत एक्स = 3.

7. संक्षेप करना

जो एक डिग्री या किसी अन्य से आप परिचित थे। वहां यह भी नोट किया गया था कि फ़ंक्शन गुणों का भंडार धीरे-धीरे फिर से भर दिया जाएगा। इस खंड में दो नई संपत्तियों पर चर्चा की जाएगी।

परिभाषा 1.

फ़ंक्शन y \u003d f (x), x X कहा जाता है, भले ही सेट X से किसी भी मान x के लिए समानता f (-x) \u003d f (x) सत्य हो।

परिभाषा 2.

फ़ंक्शन y \u003d f (x), x X, को विषम कहा जाता है यदि सेट X से किसी भी मान x के लिए समानता f (-x) \u003d -f (x) सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि y = x 4 एक सम फलन है।

समाधान। हमारे पास है: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. लेकिन (-x) 4 = x 4। इसलिए, किसी भी x के लिए, समानता f (-x) = f (x), अर्थात्। समारोह सम है।

इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि फलन y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 सम हैं।

सिद्ध कीजिए कि y = x 3 एक विषम फलन है।

समाधान। हमारे पास है: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. परंतु (-x) 3 = -x 3 । इसलिए, किसी भी x के लिए, समानता f (-x) \u003d -f (x), अर्थात्। समारोह विषम है।

इसी तरह, यह साबित किया जा सकता है कि फ़ंक्शन y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 विषम हैं।

आपने और मैंने बार-बार खुद को आश्वस्त किया है कि गणित में नए शब्दों का अक्सर "सांसारिक" मूल होता है, अर्थात। उन्हें किसी तरह समझाया जा सकता है। यह सम और विषम दोनों प्रकार के कार्यों के लिए मामला है। देखें: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 विषम कार्य हैं, जबकि y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 सम कार्य हैं। और सामान्य तौर पर, फॉर्म के किसी भी फ़ंक्शन के लिए y \u003d x "(नीचे हम विशेष रूप से इन कार्यों का अध्ययन करेंगे), जहां n एक प्राकृतिक संख्या है, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: यदि n एक विषम संख्या है, तो फ़ंक्शन y \u003d x " अजीब है; यदि n एक सम संख्या है, तो फलन y = xn सम है।

ऐसे कार्य भी हैं जो न तो सम और न ही विषम हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y \u003d 2x + 3 है। दरअसल, f (1) \u003d 5, और f (-1) \u003d 1. जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां इसलिए, न तो पहचान f (-x ) \u003d f ( x), न ही पहचान f(-x) = -f(x)।

तो, एक फ़ंक्शन सम, विषम या न तो हो सकता है।

इस सवाल का अध्ययन कर रहे हैं कि क्या दिया गया कार्यसम या विषम, को आमतौर पर समता के फलन का अध्ययन कहा जाता है।

परिभाषाओं 1 और 2 . में हम बात कर रहे हेबिंदु x और -x पर फ़ंक्शन के मानों के बारे में। यह मानता है कि फ़ंक्शन को बिंदु x और बिंदु -x दोनों पर परिभाषित किया गया है। इसका मतलब यह है कि बिंदु -x उसी समय फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित है जिस समय बिंदु x है। यदि किसी संख्यात्मक समुच्चय X के प्रत्येक अवयव x में विपरीत अवयव -x हो, तो X सममित समुच्चय कहलाता है। मान लीजिए (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) सममित समुच्चय हैं, जबकि )