क्रांति के शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए। रोटेशन द्वारा गठित शरीर के आयतन की गणना

क्रांति के ठोस पदार्थों का आयतन ज्ञात करने के लिए इंटीग्रल्स का उपयोग करना

गणित की व्यावहारिक उपयोगिता इस तथ्य के कारण है कि बिना

विशिष्ट गणितीय ज्ञान डिवाइस के सिद्धांतों और आधुनिक तकनीक के उपयोग को समझना मुश्किल बनाता है। अपने जीवन में प्रत्येक व्यक्ति को बल्कि जटिल गणनाएँ करनी पड़ती हैं, आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले उपकरणों का उपयोग करना पड़ता है, संदर्भ पुस्तकों में आवश्यक सूत्र खोजने पड़ते हैं और समस्याओं को हल करने के लिए सरल एल्गोरिदम की रचना करनी पड़ती है। पर आधुनिक समाजअधिक विशिष्टताओं की आवश्यकता है उच्च स्तरशिक्षा गणित के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग से जुड़ी है। इस प्रकार, एक स्कूली बच्चे के लिए, गणित एक पेशेवर रूप से महत्वपूर्ण विषय बन जाता है। एल्गोरिथम सोच के निर्माण में अग्रणी भूमिका गणित की है, यह किसी दिए गए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करने और नए एल्गोरिदम को डिजाइन करने की क्षमता लाता है।

क्रांति के पिंडों की मात्रा की गणना करने के लिए अभिन्न का उपयोग करने के विषय का अध्ययन करते हुए, मैं सुझाव देता हूं कि वैकल्पिक कक्षाओं में छात्र इस विषय पर विचार करें: "अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के निकायों की मात्रा।" इस विषय से निपटने के लिए यहां कुछ दिशानिर्देश दिए गए हैं:

1. समतल आकृति का क्षेत्रफल।

बीजगणित के पाठ्यक्रम से, हम जानते हैं कि अवधारणा समाकलन परिभाषित करेंव्यावहारिक कार्यों का नेतृत्व किया..gif" चौड़ाई="88" ऊंचाई="51">.jpg" चौड़ाई="526" ऊंचाई="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

क्रांति के शरीर का आयतन ज्ञात करने के लिए, रोटेशन द्वारा गठितऑक्स अक्ष के चारों ओर कर्वीलाइनर ट्रेपेज़ॉइड, एक टूटी हुई रेखा y=f(x), ऑक्स अक्ष, सीधी रेखा x=a और x=b से घिरा हुआ है, हम सूत्र द्वारा गणना करते हैं

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. सिलेंडर का आयतन।

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" चौड़ाई="401" ऊंचाई="355">घूर्णन करके शंकु प्राप्त किया जाता है सही त्रिकोण ABC(C=90) ऑक्स अक्ष के चारों ओर जिस पर पैर AC स्थित है।

खंड AB लाइन y=kx+c पर स्थित है, जहां https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

माना a=0, b=H (H शंकु की ऊंचाई है), फिर Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">।

5. एक काटे गए शंकु का आयतन।

घुमाकर एक छोटा शंकु प्राप्त किया जा सकता है आयताकार चतुर्भुजएबीसीडी (सीडीओएक्स) ऑक्स अक्ष के चारों ओर।

खंड AB लाइन y=kx+c पर स्थित है, जहां , सी = आर।

चूंकि रेखा बिंदु A (0; r) से होकर गुजरती है।

इस प्रकार, सीधी रेखा इस तरह दिखती है https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

माना a=0, b=H (H काटे गए शंकु की ऊंचाई है), फिर https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. गेंद का आयतन।

गेंद को एक्स-अक्ष के चारों ओर केंद्र (0; 0) के साथ एक चक्र घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है। x-अक्ष के ऊपर स्थित अर्धवृत्त समीकरण द्वारा दिया गया है

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरा एक सपाट आकृति दी गई है , , ।

1) इन रेखाओं से घिरे किसी समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति को घुमाने पर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!यहां तक कि अगर आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहते हैं, तो पहले आवश्यक रूप सेपहला पढ़ें!

समाधान: कार्य में दो भाग होते हैं। चलिए चौक से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन पैराबोला की ऊपरी शाखा को परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन पैराबोला की निचली शाखा को परिभाषित करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परबोला है, जो "अपनी तरफ स्थित है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र पाया जाना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसे "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है। इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है:

- खंड पर ;

- खंड पर।

इसीलिए:

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें अक्ष के साथ व्युत्क्रम कार्यों और एकीकरण के लिए संक्रमण शामिल है।

उलटा कार्यों को कैसे पास किया जाए? मोटे तौर पर बोलते हुए, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, पैराबोला से निपटते हैं:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि नीचे की शाखा से समान कार्य प्राप्त किया जा सकता है:

एक सीधी रेखा के साथ सब कुछ आसान है:

अब धुरी को देखें: कृपया समय-समय पर अपने सिर को दाहिनी ओर 90 डिग्री पर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!) हमें जो आंकड़ा चाहिए वह खंड पर स्थित है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इसके अलावा, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र आपको पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . फॉर्मूले में क्या बदलाव आया है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! टिप्पणी : एक्सिस एकीकरण सीमा व्यवस्था की जानी चाहिएसख्ती से नीचे से ऊपर तक !

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और असाइनमेंट के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट होगा कि क्यों।

एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करने वाले पाठकों के लिए, मुझे डेरिवेटिव मिलेंगे:

मूल इंटीग्रैंड प्राप्त किया जाता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) अक्ष के चारों ओर इस आकृति के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़े अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति धुरी के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "मँडराती तितली" है जो अपनी धुरी पर घूमती है।

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के साथ समाकलित करेंगे। पहले हमें उलटे कार्यों पर जाने की जरूरत है। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित है।

अब हम अपने सिर को फिर से दाहिनी ओर झुकाते हैं और अपनी आकृति का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, क्रांति के शरीर का आयतन आयतन के बीच के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम धुरी के चारों ओर लाल घेरे में आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु होता है। आइए इस वॉल्यूम को द्वारा निरूपित करें।

गोलाकार आकृति को घुमाएँ हरे में, धुरी के चारों ओर और क्रांति के प्राप्त शरीर के आयतन द्वारा निरूपित।

हमारी तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के एक पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले पैराग्राफ के सूत्र से कैसे भिन्न है? केवल पत्रों में।

और यहाँ एकीकरण का लाभ है जिसके बारे में मैं कुछ समय पहले बात कर रहा था, इसे खोजना बहुत आसान है एकीकृत को प्रारंभिक रूप से चौथी शक्ति तक बढ़ाने की तुलना में।

उत्तर:

ध्यान दें कि यदि एक ही सपाट आकृति को धुरी के चारों ओर घुमाया जाता है, तो क्रांति का एक पूरी तरह से अलग शरीर, एक अलग, स्वाभाविक रूप से, आयतन निकलेगा।

उदाहरण 7

वक्रों से बंधी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले शरीर के आयतन की गणना करें तथा .

समाधान: चलिए एक चित्र बनाते हैं:

साथ ही, हम कुछ अन्य कार्यों के ग्राफ से परिचित होते हैं। यह इतना दिलचस्प चार्ट है। यहां तक कि समारोह ….

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, यह आंकड़े के दाहिने आधे हिस्से का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है, जिसे मैंने नीले रंग में छायांकित किया है। दोनों कार्य सम हैं, उनके ग्राफ अक्ष के बारे में सममित हैं, और हमारी आकृति भी सममित है। तो छायांकित दाहिना भाग, अक्ष के चारों ओर घूमते हुए, निश्चित रूप से बाएं अप्रकाशित भाग के साथ मेल खाएगा।

क्रांति के शरीर की मात्रा सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

सूत्र में, समाकल से पहले एक संख्या होनी चाहिए। ऐसा ही हुआ - जीवन में घूमने वाली हर चीज इस निरंतरता से जुड़ी है।

मुझे लगता है कि "ए" और "बी" एकीकरण की सीमा कैसे निर्धारित की जाती है, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है।

कार्य... यह कार्य क्या है? आइए ड्राइंग देखें। सपाट आकृति ऊपर से परवलयिक ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में फ़ंक्शन चुकता है: इस प्रकार क्रांति के शरीर का आयतन हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है।

इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। अर्थात्, हमारे घूमने वाले शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। बिल्कुल क्यूबिक क्यों इकाइयों? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। घन सेंटीमीटर हो सकता है, हो सकता है घन मीटर, शायद घन किलोमीटर, आदि, कि आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी एक उड़न तश्तरी में फिट हो सकते हैं।

उदाहरण 2

आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए, रेखाओं से घिरा हुआ , ,

यह स्वयं करने का उदाहरण है। पूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

आइए दो और जटिल समस्याओं पर विचार करें, जो व्यवहार में भी अक्सर सामने आती हैं।

उदाहरण 3

रेखाओं से बंधी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त शरीर के आयतन की गणना करें , तथा

समाधान:रेखाचित्र , , , , से बंधी एक सपाट आकृति को चित्रित करते हैं, जबकि यह नहीं भूलते कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है:

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो चार कोनों वाला ऐसा असली डोनट प्राप्त होता है।

क्रांति के शरीर के आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा में अंतर.

सबसे पहले, आइए उस आकृति को देखें जो लाल घेरे में है। जब यह धुरी के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए इस छंटे हुए शंकु के आयतन को के रूप में निरूपित करें।

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में घेरा गया है। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा शंकु भी मिलेगा, केवल थोड़ा छोटा। आइए इसकी मात्रा को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, वॉल्यूम में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" का वॉल्यूम है।

हम परिक्रमण के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग में घेरा गया चित्र ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरा है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय का आयतन:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु की मात्रा की गणना के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करके समाधान की जांच की जा सकती है।

निर्णय को अक्सर छोटा बना दिया जाता है, ऐसा कुछ:

अब थोड़ा विराम लेते हैं और ज्यामितीय भ्रमों के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जिसे पेरेलमैन (वही नहीं) ने किताब में देखा दिलचस्प ज्यामिति. हल की गई समस्या में समतल आकृति को देखें - यह क्षेत्रफल में छोटी लगती है, और क्रांति के शरीर का आयतन 50 घन इकाई से थोड़ा अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, औसत व्यक्ति अपने पूरे जीवन में 18 के क्षेत्रफल वाले कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है वर्ग मीटर, जो इसके विपरीत बहुत छोटा लगता है।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सबसे अच्छी थी। 1950 में उनके द्वारा लिखी गई पेरेलमैन की वही किताब बहुत अच्छी तरह से विकसित होती है, जैसा कि हास्यकार ने कहा, तर्क करना और समस्याओं के मूल गैर-मानक समाधानों की तलाश करना सिखाता है। हाल ही में मैंने कुछ अध्यायों को बड़े चाव से पढ़ा, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानवतावादियों के लिए भी सुलभ है। नहीं, आपको मुस्कुराने की ज़रूरत नहीं है कि मैंने सुझाव दिया था कि एक बेस्पोंटोवी शगल, ज्ञान और संचार में एक व्यापक दृष्टिकोण एक बड़ी बात है।

बाद में विषयांतरनिर्णय लेना उचित है रचनात्मक कार्य:

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरे एक समतल आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें, जहाँ।

यह स्वयं करने का उदाहरण है। कृपया ध्यान दें कि सभी चीजें बैंड में होती हैं, दूसरे शब्दों में, लगभग तैयार एकीकरण सीमाएं दी गई हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ़ को सही ढंग से खींचने का भी प्रयास करें, यदि तर्क को दो: से विभाजित किया जाता है, तो ग्राफ़ को अक्ष के साथ दो बार खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक खोजने का प्रयास करें त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसारऔर ड्राइंग को और अधिक सटीक बनाएं। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है न कि बहुत तर्कसंगत रूप से।

रोटेशन द्वारा गठित शरीर के आयतन की गणना
एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी ज्यादा दिलचस्प होगा। वाई-अक्ष के चारों ओर क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करने का कार्य भी काफी लगातार अतिथि है नियंत्रण कार्य. पास माना जाएगा किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्यादूसरा तरीका - धुरी के साथ एकीकरण, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको यह भी सिखाएगा कि सबसे लाभदायक समाधान कैसे खोजा जाए। इसका व्यावहारिक अर्थ भी है! जैसा कि गणित शिक्षण विधियों में मेरे शिक्षक ने एक मुस्कान के साथ याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें इन शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमारी बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और अपने कर्मचारियों को बेहतर तरीके से प्रबंधित करते हैं।" इस अवसर को लेते हुए, मैं उनका भी बहुत आभार व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग अपने इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

उदाहरण 5

रेखाओं से घिरा एक सपाट आकृति दी गई है , , ।

1) इन रेखाओं से घिरे किसी समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति को घुमाने पर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान:कार्य में दो भाग होते हैं। चलिए चौक से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र पाया जाना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसे "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिस पर पाठ में विचार किया गया था। समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें. इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है:
- खंड पर ;
- खंड पर।

इसीलिए:

इस मामले में सामान्य समाधान में क्या गलत है? सबसे पहले, दो अभिन्न हैं। दूसरे, इंटीग्रल के तहत जड़ें, और इंटीग्रल में जड़ें एक उपहार नहीं हैं, इसके अलावा, आप एकीकरण की सीमा को बदलने में भ्रमित हो सकते हैं। वास्तव में, इंटीग्रल, निश्चित रूप से घातक नहीं हैं, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत दुखद है, मैंने अभी कार्य के लिए "बेहतर" कार्यों को चुना है।

एक सीधी रेखा के साथ सब कुछ आसान है:

! नोट: अक्ष के साथ एकीकरण की सीमाएँ निर्धारित की जानी चाहिए सख्ती से नीचे से ऊपर तक!

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करने वाले पाठकों के लिए, मुझे डेरिवेटिव मिलेंगे:

उत्तर:

2) अक्ष के चारों ओर इस आकृति के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़े अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

हम धुरी के चारों ओर हरे रंग में परिक्रमा करते हुए आकृति को घुमाते हैं और इसे क्रांति के परिणामी पिंड के आयतन के माध्यम से निरूपित करते हैं।

हमारी तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के एक पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले पैराग्राफ के सूत्र से कैसे भिन्न है? केवल पत्रों में।

उत्तर:

हालाँकि, एक बीमार तितली।

उदाहरण 6

रेखाओं और एक अक्ष से घिरा एक समतल चित्र दिया गया है।

1) व्युत्क्रम फलन पर जाएँ और चर पर समाकलित करके इन रेखाओं से घिरे समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

के अलावा एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना (7.2.3 देखें।)विषय का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना. सामग्री सरल है, लेकिन पाठक को तैयार रहना चाहिए: इसे हल करने में सक्षम होना आवश्यक है अनिश्चितकालीन अभिन्नमध्यम जटिलता और न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को लागू करें निश्चित अभिन्न, एनमजबूत आलेखन कौशल भी आवश्यक हैं। सामान्य तौर पर, इंटीग्रल कैलकुलस में कई होते हैं दिलचस्प अनुप्रयोग, एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके, आप आकृति के क्षेत्र, क्रांति के शरीर की मात्रा, चाप की लंबाई, शरीर के सतह क्षेत्र और बहुत कुछ की गणना कर सकते हैं। कुछ विमान आकृति की कल्पना करो कार्तिकये निर्देशांक. प्रतिनिधित्व किया? ... अब यह आंकड़ा भी घुमाया जा सकता है, और दो तरह से घुमाया जा सकता है:

- एक्स-अक्ष के आसपास ;

- y-अक्ष के आसपास .

आइए दोनों मामलों पर एक नजर डालते हैं। रोटेशन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है, यह सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वैसा ही है जैसा कि एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य रोटेशन में होता है। आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरू करें।

एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना बैल

उदाहरण 1

अक्ष के चारों ओर रेखाओं से बंधी आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान:क्षेत्र खोजने की समस्या के रूप में, समाधान एक सपाट आकृति के आरेखण से शुरू होता है. यानी प्लेन पर XOYरेखाओं से बंधी एक आकृति का निर्माण करना आवश्यक है, जबकि यह नहीं भूलना चाहिए कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है। यहाँ आरेखण बहुत सरल है:

वांछित सपाट आकृति नीले रंग में छायांकित है, यह वह है जो अक्ष के चारों ओर घूमती है। रोटेशन के परिणामस्वरूप, धुरी पर दो तेज चोटियों के साथ अंडे के आकार का ऐसा थोड़ा उड़न तश्तरी प्राप्त होता है। बैल, अक्ष के बारे में सममित बैल. वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, संदर्भ पुस्तक में देखें।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें? यदि किसी अक्ष के चारों ओर घूमने के परिणामस्वरूप शरीर का निर्माण होता हैबैल, यह मानसिक रूप से छोटी मोटाई की समानांतर परतों में विभाजित है डीएक्सजो अक्ष के लंबवत हैं बैल. पूरे शरीर का आयतन स्पष्ट रूप से ऐसी प्राथमिक परतों के आयतन के बराबर है। प्रत्येक परत, नींबू के एक गोल टुकड़े की तरह, एक कम सिलेंडर ऊँचा होता है डीएक्सऔर आधार त्रिज्या के साथ एफ(एक्स). तब एक परत का आयतन आधार क्षेत्र π का गुणनफल होता है एफ 2 सिलेंडर की ऊंचाई तक ( डीएक्स), या π∙ एफ 2 (एक्स)∙डीएक्स. और क्रांति के पूरे निकाय का क्षेत्र प्राथमिक मात्राओं का योग है, या संबंधित निश्चित अभिन्न है। क्रांति के शरीर की मात्रा सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

पूर्ण ड्राइंग से "ए" और "बी" एकीकरण सीमा कैसे सेट करें, इसका अनुमान लगाना आसान है। कार्य... यह कार्य क्या है? आइए ड्राइंग देखें। सपाट आकृति ऊपर से परवलयिक ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है। व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है बैल. यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में कार्य चुकता है: एफ 2 (एक्स), इस प्रकार, क्रांति के शरीर का आयतन हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है। इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि हमने पहले ही नोट किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। अर्थात्, हमारे घूमने वाले शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। बिल्कुल क्यूबिक क्यों इकाइयों? क्योंकि यह सबसे सार्वभौमिक फॉर्मूलेशन है। क्यूबिक सेंटीमीटर हो सकते हैं, क्यूबिक मीटर हो सकते हैं, क्यूबिक किलोमीटर आदि हो सकते हैं, आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी एक उड़न तश्तरी में फिट हो सकते हैं।

उदाहरण 2

एक अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए बैलरेखाओं से बंधी हुई आकृति , , .

यह स्वयं करने का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

उदाहरण 3

रेखाओं से बंधी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त शरीर के आयतन की गणना करें , तथा ।

समाधान:आइए ड्राइंग में रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति का चित्रण करें , , , जबकि यह न भूलें कि समीकरण एक्स= 0 अक्ष को निर्दिष्ट करता है ओए:

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है बैलयह एक सपाट कोणीय बैगेल (दो शंक्वाकार सतहों वाला वॉशर) निकला।

क्रांति के शरीर के आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा में अंतर. सबसे पहले, आइए उस आकृति को देखें जो लाल घेरे में है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है बैलजिसके परिणामस्वरूप एक कटा हुआ शंकु होता है। आइए हम इस छंटे हुए शंकु के आयतन को निरूपित करें वी 1 .

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में घेरा गया है। यदि हम इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं बैल, तो आपको एक छोटा शंकु भी मिलता है, केवल थोड़ा छोटा। आइए हम इसकी मात्रा को निरूपित करें वी 2 .

जाहिर है, मात्रा में अंतर वी = वी 1 - वी 2 हमारे "डोनट" का आयतन है।

हम परिक्रमण के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग में घेरा गया चित्र ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरा है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय का आयतन:

उत्तर:

निर्णय को अक्सर छोटा बना दिया जाता है, ऐसा कुछ:

विषय: "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के पिंडों के आयतन की गणना"

पाठ प्रकार:संयुक्त।

पाठ का उद्देश्य:इंटीग्रल का उपयोग करके क्रांति के पिंडों के आयतन की गणना करना सीखें।

कार्य:

एक पंक्ति से कर्विलिनियर ट्रेपेज़ोइड्स का चयन करने की क्षमता को मजबूत करें ज्यामितीय आकारऔर घुमावदार ट्रेपेज़ोइड्स के क्षेत्रों की गणना करने के कौशल का काम करें;

त्रि-आयामी आकृति की अवधारणा से परिचित हों;

क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करना सीखें;

विकास में योगदान दें तार्किक सोच, सक्षम गणितीय भाषण, चित्र के निर्माण में सटीकता;

अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छा, स्वतंत्रता, दृढ़ता की खेती करने के लिए, गणितीय अवधारणाओं और छवियों के साथ काम करने के लिए विषय में रुचि पैदा करने के लिए।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

सामूहिक अभिवादन। पाठ के उद्देश्यों के छात्रों के लिए संचार।

मैं आज के पाठ की शुरुआत एक दृष्टांत से करना चाहूंगा। “एक बुद्धिमान व्यक्ति था जो सब कुछ जानता था। एक व्यक्ति यह सिद्ध करना चाहता था कि साधु सब कुछ नहीं जानता। तितली को अपने हाथों में पकड़कर उसने पूछा: "मुझे बताओ, ऋषि, मेरे हाथों में कौन सी तितली है: मृत या जीवित?" और वह खुद सोचता है: "यदि जीवित कहता है, तो मैं उसे मार डालूंगा, यदि मृत कहता है, तो मैं उसे बाहर निकाल दूंगा।" ऋषि ने सोचने के बाद उत्तर दिया: "सब कुछ आपके हाथ में है।"

इसलिए, आइए आज फलदायी रूप से काम करें, ज्ञान का एक नया भंडार प्राप्त करें, और हम अर्जित कौशल और क्षमताओं को बाद के जीवन में और व्यावहारिक गतिविधियों में लागू करेंगे। "सब कुछ आपके हाथ में है।"

द्वितीय। पहले सीखी गई सामग्री की पुनरावृत्ति।

आइए पहले अध्ययन की गई सामग्री के मुख्य बिंदुओं को याद करें। ऐसा करने के लिए, हम "अतिरिक्त शब्द हटाएं" कार्य पूरा करेंगे।

(छात्र एक अतिरिक्त शब्द कहते हैं।)

सही ढंग से "अंतर"।किसी एक का नाम लेने के लिए बाकी शब्दों का प्रयास करें सामान्य शब्द. (समाकलन गणित।)

आइए इंटीग्रल कैलकुलस से संबंधित मुख्य चरणों और अवधारणाओं को याद करें।

व्यायाम।पास बहाल करें। (छात्र बाहर आता है और एक मार्कर के साथ आवश्यक शब्द लिखता है।)

नोटबुक्स में काम करें।

न्यूटन-लीबनिज सूत्र अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी आइजैक न्यूटन (1643-1727) और जर्मन दार्शनिक गॉटफ्रीड लीबनिज (1646-1716) द्वारा विकसित किया गया था। और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि गणित प्रकृति द्वारा ही बोली जाने वाली भाषा है।

विचार करें कि व्यावहारिक कार्यों को हल करने में इस सूत्र का उपयोग कैसे किया जाता है।

उदाहरण 1: रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

समाधान:आइए हम समन्वय तल पर कार्यों के ग्राफ का निर्माण करें . पाए जाने वाले आंकड़े के क्षेत्र का चयन करें।

तृतीय। नई सामग्री सीखना।

स्क्रीन पर ध्यान दें। पहली तस्वीर में क्या दिखाया गया है? (आंकड़ा एक सपाट आंकड़ा दिखाता है।)

दूसरी तस्वीर में क्या दिखाया गया है? क्या यह आंकड़ा सपाट है? (आंकड़ा दिखाता है वॉल्यूमेट्रिक आंकड़ा.)

अंतरिक्ष में, पृथ्वी पर और अंदर रोजमर्रा की जिंदगीहम न केवल सपाट आकृतियों के साथ, बल्कि त्रि-आयामी लोगों के साथ भी मिलते हैं, लेकिन ऐसे पिंडों के आयतन की गणना कैसे करें? उदाहरण के लिए: किसी ग्रह, धूमकेतु, उल्कापिंड आदि का आयतन।

घर बनाते समय और एक बर्तन से दूसरे बर्तन में पानी डालते समय वे मात्रा के बारे में सोचते हैं। वॉल्यूम की गणना के लिए नियम और तरीके उत्पन्न होने चाहिए थे, दूसरी बात यह है कि वे कितने सही और न्यायसंगत थे।

ऑस्ट्रियाई शहर लिंज़ के निवासियों के लिए वर्ष 1612 बहुत फलदायी था, जहाँ तत्कालीन प्रसिद्ध खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर रहते थे, विशेष रूप से अंगूर के लिए। लोग वाइन बैरल तैयार कर रहे थे और जानना चाहते थे कि व्यावहारिक रूप से उनकी मात्रा कैसे निर्धारित की जाए।

इस प्रकार, केपलर के विचाराधीन कार्यों ने अनुसंधान की एक पूरी धारा की शुरुआत की, जो 17 वीं शताब्दी की अंतिम तिमाही में समाप्त हुई। आई। न्यूटन और जी.वी. के कार्यों में डिजाइन। लीबनिज अंतर और अभिन्न कलन। उस समय से, परिमाण चर के गणित ने गणितीय ज्ञान की प्रणाली में एक प्रमुख स्थान ले लिया है।

तो आज हम ऐसी ही व्यवहारिक गतिविधियों में लगे रहेंगे इसलिए,

हमारे पाठ का विषय: "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के पिंडों की मात्रा की गणना।"

आप निम्न कार्य को पूरा करके क्रांति के निकाय की परिभाषा सीखेंगे।

"भूलभुलैया"।

व्यायाम।भ्रमित करने वाली स्थिति से बाहर निकलने का रास्ता खोजिए और परिभाषा लिखिए।

चतुर्थमात्राओं की गणना।

एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके, आप किसी पिंड के आयतन की गणना कर सकते हैं, विशेष रूप से, परिक्रमण की एक पिंड।

क्रांति का एक पिंड अपने आधार के चारों ओर एक वक्रतापूर्ण ट्रेपेज़ॉइड को घुमाकर प्राप्त किया गया पिंड है (चित्र 1, 2)।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्रों में से एक द्वारा की जाती है:

1. एक्स-अक्ष के आसपास।

2. , यदि वक्रीय समलम्बाकार का घूर्णन वाई-अक्ष के आसपास।

छात्र एक नोटबुक में मूल सूत्र लिखते हैं।

शिक्षक बोर्ड पर उदाहरणों के हल बताते हैं।

1. रेखाओं से घिरे एक कर्विलीनियर ट्रैपेज़ॉइड के y- अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त शरीर का आयतन ज्ञात करें: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0।

समाधान।

उत्तर: 1163 सेमी3।

2. भुज अक्ष के चारों ओर एक परवलयिक ट्रेपेज़ॉइड को घुमाकर प्राप्त शरीर का आयतन ज्ञात करेंवाई =, एक्स = 4, वाई = 0।

समाधान।

वी. गणित सिम्युलेटर।

2. किसी दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव्स के सेट को कहा जाता है

ए) एक अनिश्चितकालीन अभिन्न

बी) समारोह,

बी) भेदभाव।

7. रेखाओं से घिरे वक्रीय समलंब के भुज अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए:

डी / जेड। नई सामग्री फिक्सिंग

एक्स-अक्ष के चारों ओर पंखुड़ी के घूमने से बनने वाले शरीर के आयतन की गणना करें y=x2, y2=x.

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ प्लॉट करें। y=x2, y2=x. ग्राफ y2 = x को y = के रूप में रूपांतरित किया गया है।

हमारे पास V = V1 - V2 है आइए प्रत्येक फ़ंक्शन की मात्रा की गणना करें:

निष्कर्ष:

गणित के अध्ययन के लिए निश्चित अभिन्न एक प्रकार का आधार है, जो व्यावहारिक सामग्री की समस्याओं को हल करने में एक अनिवार्य योगदान देता है।

"इंटीग्रल" विषय गणित और भौतिकी, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र और प्रौद्योगिकी के बीच संबंध को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है।

विकास आधुनिक विज्ञानअभिन्न के उपयोग के बिना अकल्पनीय। इस संबंध में, मध्य के ढांचे के भीतर इसका अध्ययन शुरू करना आवश्यक है विशेष शिक्षा!

छठी. ग्रेडिंग।(टिप्पणी के साथ।)

महान उमर खय्याम - गणितज्ञ, कवि, दार्शनिक। वह अपने भाग्य के स्वामी होने का आह्वान करता है। उनके काम का एक अंश सुनें:

तुम कहते हो यह जीवन क्षण भर का है।
इसकी सराहना करें, इससे प्रेरणा लें।
जैसे-जैसे आप इसे खर्च करेंगे, वैसे-वैसे यह बीत जाएगा।
मत भूलो: वह तुम्हारी रचना है।