वीडियो पाठ "समीकरण प्रणालियों को हल करने के लिए चित्रमय विधि" प्रस्तुत करता है शैक्षिक सामग्रीइस विषय का पता लगाने के लिए। सामग्री शामिल है सामान्य सिद्धांतसमीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के बारे में, साथ ही विस्तृत विवरणउदाहरण के लिए कि कैसे समीकरणों की प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल किया जाता है।

दृश्य सहायता निर्माण के अधिक सुविधाजनक और समझने योग्य निष्पादन के लिए एनीमेशन का उपयोग करती है, साथ ही विभिन्न तरीकेसामग्री की गहन समझ, बेहतर याद रखने के लिए महत्वपूर्ण अवधारणाओं और विवरणों को उजागर करना।

वीडियो ट्यूटोरियल विषय का परिचय देकर शुरू होता है। विद्यार्थियों को याद दिलाया जाता है कि समीकरणों की एक प्रणाली क्या है, और 7 वीं कक्षा में उन्हें पहले से ही समीकरणों की किन प्रणालियों से परिचित होना था। पहले, छात्रों को ax+by=c फॉर्म के समीकरणों के सिस्टम को हल करना होता था। समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की अवधारणा को गहरा करने और उन्हें हल करने की क्षमता बनाने के लिए, इस वीडियो पाठ में दूसरी डिग्री के दो समीकरणों के साथ-साथ दूसरी डिग्री के एक समीकरण और दूसरे से मिलकर एक प्रणाली के समाधान पर चर्चा की गई है। - पहली डिग्री के। आपको याद दिलाता है कि समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान क्या है। सिस्टम के समाधान की परिभाषा चर के मूल्यों की एक जोड़ी के रूप में होती है जो सही समानता में प्रतिस्थापित करते समय इसके समीकरणों को उलट देती है, स्क्रीन पर प्रदर्शित होती है। सिस्टम के समाधान की परिभाषा के अनुसार, कार्य निर्दिष्ट है। यह याद रखने के लिए स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है कि किसी सिस्टम को हल करने का अर्थ है उपयुक्त समाधान खोजना या उनकी अनुपस्थिति को साबित करना।

समीकरणों की एक निश्चित प्रणाली को हल करने की चित्रमय पद्धति में महारत हासिल करने का प्रस्ताव है। समीकरण x 2 +y 2 =16 और y=-x 2 +2x+4 से मिलकर बने सिस्टम को हल करने के उदाहरण पर इस पद्धति के उपयोग पर विचार किया जाता है। ग्राफिक समाधानप्रणाली इन समीकरणों में से प्रत्येक की साजिश रचने के साथ शुरू होती है। जाहिर है, समीकरण x 2 + y 2 \u003d 16 का ग्राफ एक वृत्त होगा। इस वृत्त से संबंधित बिंदु समीकरण का हल हैं। समीकरण के आगे पर बनाया गया है कार्तिकये निर्देशांकत्रिज्या 4 का एक वृत्त जिसका मूल बिंदु O है। दूसरे समीकरण का ग्राफ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर होती हैं। यह परवलय समीकरण के ग्राफ के अनुरूप समन्वय तल पर निर्मित होता है। परवलय से संबंधित कोई भी बिंदु समीकरण y \u003d -x 2 + 2x + 4 का हल है। यह समझाया गया है कि समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान उन ग्राफ़ पर बिंदु है जो एक साथ दोनों समीकरणों के ग्राफ़ से संबंधित हैं। इसका मतलब है कि निर्मित ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरणों की प्रणाली के समाधान होंगे।

यह ध्यान दिया जाता है कि ग्राफिकल विधि में दो ग्राफ़ के चौराहे पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक के अनुमानित मूल्य को खोजने में शामिल होता है, जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के समाधान के सेट को दर्शाता है। यह आंकड़ा दो रेखांकन के पाए गए प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक को चिह्नित करता है: ए, बी, सी, डी[-2;-3.5]। ये बिंदु ग्राफिक रूप से पाए गए समीकरणों की प्रणाली के समाधान हैं। आप उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करके और निष्पक्ष समानता प्राप्त करके उनकी शुद्धता की जांच कर सकते हैं। समीकरण में बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने के बाद, यह देखा जा सकता है कि कुछ बिंदु समाधान का सटीक मान देते हैं, और कुछ समीकरण के समाधान के अनुमानित मान का प्रतिनिधित्व करते हैं: x 1 = 0, y 1 = 4; एक्स 2 \u003d 2, वाई 2 3.5; x 3 3.5, y 3 \u003d -2; एक्स 4 \u003d -2, वाई 4 -3.5।

वीडियो ट्यूटोरियल समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि के सार और अनुप्रयोग के बारे में विस्तार से बताता है। यह इस विषय का अध्ययन करते समय स्कूल में बीजगणित पाठ में वीडियो सहायता के रूप में इसका उपयोग करना संभव बनाता है। इसके अलावा, सामग्री के लिए उपयोगी होगा स्वयं अध्ययनछात्र और दूरस्थ शिक्षा में विषय को समझाने में मदद कर सकते हैं।

समीकरणों को हल करने का एक तरीका चित्रमय विधि है। यह कार्यों की साजिश रचने और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करने पर आधारित है। द्विघात समीकरण a*x^2+b*x+c=0 को हल करने के लिए एक ग्राफिकल तरीके पर विचार करें।

हल करने का पहला तरीका

आइए समीकरण a*x^2+b*x+c=0 को a*x^2 =-b*x-c के रूप में रूपांतरित करें। हम दो कार्यों y= a*x^2 (पैराबोला) और y=-b*x-c (सीधी रेखा) के ग्राफ बनाते हैं। चौराहे के बिंदुओं की तलाश में। प्रतिच्छेदन बिंदुओं का भुज समीकरण का हल होगा।

आइए एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं:समीकरण को हल करें x^2-2*x-3=0.

आइए इसे x^2 =2*x+3 में रूपांतरित करें। हम एक समन्वय प्रणाली में y= x^2 और y=2*x+3 कार्यों के ग्राफ बनाते हैं।

रेखांकन दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। उनके एब्सिसास हमारे समीकरण की जड़ें होंगे।

सूत्र समाधान

आश्वस्त होने के लिए, हम विश्लेषणात्मक रूप से इस समाधान की जांच करते हैं। हम तय करेंगे द्विघात समीकरणसूत्र के अनुसार:

डी = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1।

माध्यम, समाधान मेल।

समीकरणों को हल करने की आलेखीय पद्धति में भी एक खामी है, जिसकी सहायता से समीकरण का सटीक हल प्राप्त करना हमेशा संभव नहीं होता है। आइए समीकरण x^2=3+x को हल करने का प्रयास करें।

आइए एक ही समन्वय प्रणाली में एक परवलय y=x^2 और एक सीधी रेखा y=3+x का निर्माण करें।

फिर से मिल गया समान चित्र. एक रेखा और एक परवलय दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। परंतु सटीक मानहम इन बिंदुओं का भुज नहीं कह सकते, केवल अनुमानित बिंदु: x≈-1.3 x≈2.3।

यदि हम ऐसी सटीकता के उत्तरों से संतुष्ट हैं, तो हम इस पद्धति का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन ऐसा कम ही होता है। आमतौर पर सटीक समाधान की आवश्यकता होती है। इसलिए, ग्राफिकल विधि का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, और मुख्य रूप से मौजूदा समाधानों की जांच करने के लिए।

अपनी पढ़ाई में मदद चाहिए?

इस पाठ में, हम दो चरों वाले दो समीकरणों के निकाय को हल करने पर विचार करेंगे। सबसे पहले, दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के ग्राफिकल समाधान पर विचार करें, उनके ग्राफ की समग्रता की विशिष्टताएं। इसके बाद, हम ग्राफिकल विधि का उपयोग करके कई प्रणालियों को हल करते हैं।

विषय: समीकरणों की प्रणाली

पाठ: ग्राफिक विधिसमीकरणों की प्रणाली का समाधान

प्रणाली पर विचार करें

संख्याओं की एक जोड़ी जो एक साथ सिस्टम के पहले और दूसरे दोनों समीकरणों का समाधान है, कहलाती है समीकरणों की प्रणाली का समाधान.

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधान खोजना, या यह स्थापित करना कि कोई समाधान नहीं हैं। हमने बुनियादी समीकरणों के रेखांकन पर विचार किया है, आइए प्रणालियों के विचार पर आगे बढ़ते हैं।

उदाहरण 1. सिस्टम को हल करें

समाधान:

ये रैखिक समीकरण हैं, इनमें से प्रत्येक का आलेख एक सीधी रेखा है। पहले समीकरण का ग्राफ बिंदुओं (0; 1) और (-1; 0) से होकर गुजरता है। दूसरे समीकरण का ग्राफ बिंदुओं (0; -1) और (-1; 0) से होकर गुजरता है। रेखाएँ बिंदु (-1; 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं, यह समीकरणों के निकाय का हल है ( चावल। 1).

प्रणाली का हल संख्याओं का एक युग्म है। संख्याओं के इस युग्म को प्रत्येक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम सही समानता प्राप्त करते हैं।

हमारे पास एक ही उपाय है रैखिक प्रणाली.

याद रखें कि एक रैखिक प्रणाली को हल करते समय, निम्नलिखित मामले संभव हैं:

प्रणाली का एक अनूठा समाधान है - रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं,

प्रणाली का कोई समाधान नहीं है - रेखाएं समानांतर हैं,

सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं - रेखाएं मेल खाती हैं।

हमने निकाय की एक विशेष स्थिति पर विचार किया है, जब p(x; y) और q(x; y) x और y के रैखिक व्यंजक हैं।

उदाहरण 2. समीकरणों के निकाय को हल करें

समाधान:

पहले समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा है, दूसरे समीकरण का आलेख एक वृत्त है। आइए बिंदुओं द्वारा पहला ग्राफ बनाएं (चित्र 2)।

वृत्त का केंद्र बिंदु O(0; 0) पर है, त्रिज्या 1 है।

ग्राफ़ बिंदु A(0; 1) और बिंदु B(-1; 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

उदाहरण 3. सिस्टम को ग्राफिक रूप से हल करें

हल: आइए पहले समीकरण का एक ग्राफ बनाते हैं - यह एक वृत्त है जिसका केंद्र बिंदु O (0; 0) पर है और 2 की त्रिज्या है। दूसरे समीकरण का ग्राफ एक परवलय है। इसे मूल के सापेक्ष 2 ऊपर की ओर स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात। इसका शीर्ष बिंदु (0; 2) (चित्र 3) है।

रेखांकन में एक है आम बात- टी। ए (0; 2)। यह व्यवस्था का समाधान है। शुद्धता की जाँच के लिए समीकरण में कुछ संख्याएँ रखें।

उदाहरण 4. सिस्टम को हल करें

हल: आइए पहले समीकरण का एक ग्राफ बनाते हैं - यह एक वृत्त है जिसका केंद्र O (0; 0) पर है और 1 की त्रिज्या है (चित्र 4)।

आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं यह एक टूटी हुई रेखा है (चित्र 5)।

अब इसे oy अक्ष के अनुदिश 1 से नीचे ले जाएँ। यह फ़ंक्शन का ग्राफ होगा

आइए दोनों ग्राफों को एक ही निर्देशांक प्रणाली में रखें (चित्र 6)।

हमें तीन प्रतिच्छेदन बिंदु मिलते हैं - बिंदु A (1; 0), बिंदु B (-1; 0), बिंदु C (0; -1)।

हमने सिस्टम को हल करने के लिए एक ग्राफिकल विधि पर विचार किया है। यदि प्रत्येक समीकरण को रेखांकन करना और प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करना संभव है, तो यह विधि काफी पर्याप्त है।

लेकिन अक्सर ग्राफिकल विधि से सिस्टम का केवल एक अनुमानित समाधान खोजना संभव हो जाता है या समाधानों की संख्या के बारे में प्रश्न का उत्तर देना संभव हो जाता है। इसलिए, अन्य विधियों, अधिक सटीक, की आवश्यकता है, और हम अगले पाठों में उनके साथ व्यवहार करेंगे।

1. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य बीजगणित 9वीं कक्षा: प्रोक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान - चौथा संस्करण। - एम .: मेनेमोसिन, 2002.-192 पी .: बीमार।

2. मोर्दकोविच ए.जी. एट अल। बीजगणित ग्रेड 9: शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए कार्यपुस्तिका / ए जी मोर्दकोविच, टी। एन। मिशुस्टिना एट अल। - चौथा संस्करण। - एम .: मेमोसिन, 2002.-143 पी .: बीमार।

3. यू। एन। मकारिचेव, बीजगणित। ग्रेड 9: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के छात्रों के लिए। संस्थान / यू। एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, आई। ई। फेओक्टिस्टोव। - 7 वां संस्करण।, रेव। और अतिरिक्त - एम।: निमोसिन, 2008।

4. अलीमोव श.ए., कोल्यागिन यू.एम., सिदोरोव यू.वी. बीजगणित। श्रेणी 9 16वां संस्करण। - एम।, 2011. - 287 पी।

5. मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित। श्रेणी 9 दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच, पी। वी। सेमेनोव। - 12 वां संस्करण।, मिटा दिया गया। — एम .: 2010। — 224 पी .: बीमार।

6. बीजगणित। श्रेणी 9 2 घंटे में। भाग 2। शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए टास्क बुक / ए। जी। मोर्दकोविच, एल। ए। अलेक्जेंड्रोवा, टी। एन। मिशुस्टिना और अन्य; ईडी। ए जी मोर्दकोविच। - 12 वां संस्करण।, रेव। - एम .: 2010.-223 पी .: बीमार।

1. College.ru गणित पर अनुभाग ()।

2. इंटरनेट परियोजना "कार्य" ()।

3. शैक्षिक पोर्टल"मैं उपयोग का समाधान करूंगा" ()।

1. मोर्दकोविच ए.जी. एट अल। बीजगणित ग्रेड 9: शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए कार्यपुस्तिका / ए जी मोर्दकोविच, टी। एन। मिशुस्टिना एट अल। - चौथा संस्करण। - एम ।: मेनेमोसिन, 2002.-143 पी .: बीमार। नंबर 105, 107, 114, 115।

पिछले पैराग्राफ में चर्चा की गई चित्रमय पद्धति से अधिक विश्वसनीय।

प्रतिस्थापन विधि

हमने इस विधि का उपयोग 7वीं कक्षा में रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए किया था। 7 वीं कक्षा में विकसित किया गया एल्गोरिथ्म दो चर x और y के साथ किन्हीं दो समीकरणों (जरूरी नहीं कि रैखिक हो) की प्रणालियों को हल करने के लिए काफी उपयुक्त है (बेशक, चर को अन्य अक्षरों द्वारा निरूपित किया जा सकता है, जो कोई फर्क नहीं पड़ता)। वास्तव में, हमने पिछले भाग में इस एल्गोरिथम का उपयोग किया था, जब की समस्या दोहरा अंकनेतृत्व करने के लिए गणित का मॉडल, जो समीकरणों की एक प्रणाली है। हमने उपरोक्त समीकरणों की इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया है (उदाहरण 1 से 4 देखें)।

दो चर x, y के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने के लिए एल्गोरिदम।

1. निकाय के एक समीकरण से y को x के पदों में व्यक्त कीजिए।
2. निकाय के किसी अन्य समीकरण में y के स्थान पर परिणामी व्यंजक को रखिए।
3. x के परिणामी समीकरण को हल कीजिए।
4. पहले चरण में प्राप्त व्यंजक y से x में x के स्थान पर तीसरे चरण में प्राप्त समीकरण के प्रत्येक मूल को बारी-बारी से रखें।
5. उत्तर को मानों के जोड़े (x; y) के रूप में लिखें, जो क्रमशः तीसरे और चौथे चरण में पाए गए।

4) y के प्रत्येक पाए गए मान को सूत्र x \u003d 5 - Zy में बदलें। तो अगर
5) समीकरणों की दी गई प्रणाली के जोड़े (2; 1) और समाधान।

उत्तर: (2; 1);

बीजीय जोड़ विधि

यह विधि, प्रतिस्थापन विधि की तरह, 7वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम से परिचित है, जहाँ इसका उपयोग रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया गया था। हम निम्नलिखित उदाहरण में विधि के सार को याद करते हैं।

उदाहरण 2समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम सिस्टम के पहले समीकरण के सभी पदों को 3 से गुणा करते हैं, और दूसरे समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:
सिस्टम के दूसरे समीकरण को उसके पहले समीकरण से घटाएं:

मूल प्रणाली के दो समीकरणों के बीजगणितीय जोड़ के परिणामस्वरूप, एक ऐसा समीकरण प्राप्त हुआ जो दिए गए सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरणों की तुलना में सरल है। इस सरल समीकरण के साथ, हमें किसी दिए गए सिस्टम के किसी भी समीकरण को बदलने का अधिकार है, उदाहरण के लिए, दूसरा। तब समीकरणों की दी गई प्रणाली को एक सरल प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा:

इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया जा सकता है। दूसरे समीकरण से हम पाते हैं कि इस व्यंजक को y के स्थान पर निकाय के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह x के पाए गए मानों को सूत्र में बदलने के लिए बना हुआ है

अगर एक्स = 2 तो

इस प्रकार, हमने सिस्टम के दो समाधान खोजे हैं:

नए चर पेश करने की विधि

आप 8वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में एक चर के साथ परिमेय समीकरणों को हल करते समय एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि से परिचित हो गए। समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए इस पद्धति का सार समान है, लेकिन तकनीकी दृष्टिकोण से कुछ विशेषताएं हैं जिनकी चर्चा हम निम्नलिखित उदाहरणों में करेंगे।

उदाहरण 3समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

आइए एक नए चर का परिचय दें फिर सिस्टम के पहले समीकरण को और अधिक में फिर से लिखा जा सकता है अराल तरीका: आइए इस समीकरण को चर t के लिए हल करें:

ये दोनों मान स्थिति को संतुष्ट करते हैं, और इसलिए मूल हैं तर्कसंगत समीकरणपरिवर्तनीय टी के साथ लेकिन इसका मतलब है कि या तो जहां से हम पाते हैं कि x = 2y, या
इस प्रकार, एक नए चर को पेश करने की विधि की मदद से, हम सिस्टम के पहले समीकरण को "स्तरीकृत" करने में सक्षम थे, जो दिखने में काफी जटिल है, दो सरल समीकरणों में:

एक्स = 2 वाई; वाई - 2x।

आगे क्या होगा? और फिर दोनों में से प्रत्येक ने प्राप्त किया सरल समीकरणसिस्टम में बदले में समीकरण x 2 - y 2 \u003d 3 के साथ विचार करना आवश्यक है, जिसे हमने अभी तक याद नहीं किया है। दूसरे शब्दों में, समीकरणों की दो प्रणालियों को हल करने में समस्या कम हो जाती है:

पहली प्रणाली, दूसरी प्रणाली के लिए समाधान खोजना और उत्तर में सभी परिणामी मूल्यों के जोड़े शामिल करना आवश्यक है। आइए समीकरणों की पहली प्रणाली को हल करें:

आइए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें, खासकर जब से यहां इसके लिए सब कुछ तैयार है: हम सिस्टम के दूसरे समीकरण में एक्स के बजाय एक्सप्रेशन 2y को प्रतिस्थापित करते हैं। प्राप्त

चूंकि x \u003d 2y, हम क्रमशः x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2 पाते हैं। इस प्रकार, दिए गए सिस्टम के दो समाधान प्राप्त होते हैं: (2; 1) और (-2; -1)। आइए समीकरणों की दूसरी प्रणाली को हल करें:

आइए प्रतिस्थापन विधि का फिर से उपयोग करें: हम सिस्टम के दूसरे समीकरण में y के बजाय अभिव्यक्ति 2x को प्रतिस्थापित करते हैं। प्राप्त

इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, जिसका अर्थ है कि समीकरणों के निकाय का कोई हल नहीं है। इस प्रकार, उत्तर में केवल पहली प्रणाली के समाधान शामिल किए जाने चाहिए।

उत्तर: (2; 1); (-2; -1)।

दो चर वाले दो समीकरणों के सिस्टम को हल करने में नए चरों को पेश करने की विधि का उपयोग दो संस्करणों में किया जाता है। पहला विकल्प: एक नया चर पेश किया जाता है और सिस्टम के केवल एक समीकरण में उपयोग किया जाता है। उदाहरण 3 में ठीक ऐसा ही हुआ। दूसरा विकल्प: सिस्टम के दोनों समीकरणों में एक साथ दो नए चर पेश किए जाते हैं और उनका उपयोग किया जाता है। उदाहरण 4 में ऐसा ही होगा।

उदाहरण 4समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

आइए दो नए चर पेश करें:

हम सीखते हैं कि तब

यह आपको फिर से लिखने की अनुमति देगा दी गई प्रणालीबहुत सरल रूप में, लेकिन नए चर a और b के संबंध में:

a \u003d 1 के बाद से, समीकरण a + 6 \u003d 2 से हम पाते हैं: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. इस प्रकार, चर a और b के लिए, हमें एक हल मिला:

चर x और y पर लौटने पर, हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं

इस प्रणाली को हल करने के लिए, हम विधि लागू करते हैं बीजीय जोड़:

तब से समीकरण 2x + y = 3 से हम पाते हैं:
इस प्रकार, चर x और y के लिए, हमें एक हल मिला:

आइए इस खंड को एक संक्षिप्त लेकिन गंभीर सैद्धांतिक चर्चा के साथ समाप्त करें। क्या आपने पहले ही हल करने में कुछ अनुभव प्राप्त कर लिया है विभिन्न समीकरण: रैखिक, वर्ग, परिमेय, अपरिमेय। आप जानते हैं कि एक समीकरण को हल करने का मुख्य विचार यह है कि एक समीकरण से दूसरे में धीरे-धीरे जाना, सरल लेकिन दिए गए समीकरण के बराबर। पिछले भाग में, हमने दो चरों वाले समीकरणों के लिए तुल्यता की धारणा का परिचय दिया था। इस अवधारणा का उपयोग समीकरणों की प्रणालियों के लिए भी किया जाता है।

परिभाषा।

चर x और y वाले समीकरणों की दो प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके समान समाधान हैं या यदि दोनों प्रणालियों का कोई समाधान नहीं है।

इस खंड में हमने जिन तीनों विधियों (प्रतिस्थापन, बीजगणितीय जोड़ और नए चरों का परिचय) की चर्चा की है, वे तुल्यता की दृष्टि से बिल्कुल सही हैं। दूसरे शब्दों में, इन विधियों का उपयोग करते हुए, हम समीकरणों की एक प्रणाली को दूसरे, सरल, लेकिन मूल प्रणाली के समतुल्य से बदल देते हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए चित्रमय विधि

हम पहले ही सीख चुके हैं कि समीकरणों की प्रणालियों को प्रतिस्थापन की विधि, बीजगणितीय जोड़ और नए चरों के परिचय जैसे सामान्य और विश्वसनीय तरीकों से कैसे हल किया जाए। और अब आइए उस विधि को याद करें जिसका अध्ययन आप पिछले पाठ में कर चुके हैं। अर्थात्, आलेखीय समाधान पद्धति के बारे में आप जो जानते हैं उसे दोहराते हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को ग्राफिक रूप से हल करने की विधि प्रत्येक विशिष्ट समीकरणों के लिए एक ग्राफ का निर्माण है जो इस प्रणाली में शामिल हैं और एक ही समन्वय विमान में हैं, और जहां इन ग्राफों के बिंदुओं के चौराहे को खोजने की आवश्यकता है। . समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए इस बिंदु (x; y) के निर्देशांक हैं।

यह याद रखना चाहिए कि ग्राफिक्स सिस्टमसमीकरणों में या तो एक अद्वितीय होता है सही निर्णय, या अनंत संख्या में समाधान, या कोई समाधान नहीं है।

आइए अब इनमें से प्रत्येक समाधान पर करीब से नज़र डालें। और इसलिए, समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान हो सकता है यदि रेखाएं, जो कि सिस्टम के समीकरणों के ग्राफ हैं, प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ये रेखाएँ समानांतर हैं, तो समीकरणों की ऐसी प्रणाली का कोई हल नहीं है। प्रणाली के समीकरणों के प्रत्यक्ष रेखांकन के संयोग के मामले में, ऐसी प्रणाली आपको कई समाधान खोजने की अनुमति देती है।

खैर, अब आइए एक ग्राफिकल विधि का उपयोग करके 2 अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम पर एक नज़र डालें:

सबसे पहले, हम पहले समीकरण का एक ग्राफ बनाते हैं;
दूसरा चरण दूसरे समीकरण से संबंधित एक ग्राफ तैयार करना होगा;
तीसरा, हमें रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है।
और परिणामस्वरूप, हमें प्रत्येक प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक मिलते हैं, जो समीकरणों की प्रणाली का समाधान होगा।

आइए इस विधि को एक उदाहरण के साथ और अधिक विस्तार से देखें। हमें हल करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

समीकरण हल करना

1. सबसे पहले, हम इस समीकरण का एक ग्राफ बनाएंगे: x2+y2=9।

लेकिन यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समीकरणों का यह ग्राफ मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त होगा, और इसकी त्रिज्या तीन के बराबर होगी।

2. हमारा अगला कदम एक समीकरण तैयार करना होगा जैसे: y = x - 3।

इस मामले में, हमें एक रेखा बनानी होगी और अंक (0;−3) और (3;0) खोजने होंगे।

3. आइए देखें कि हमें क्या मिला। हम देखते हैं कि रेखा वृत्त को उसके दो बिंदुओं A और B पर काटती है।

अब हम इन बिंदुओं के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं। हम देखते हैं कि निर्देशांक (3;0) बिंदु A के अनुरूप हैं, और निर्देशांक (0;-3) बिंदु B के अनुरूप हैं।

और इसके परिणामस्वरूप हमें क्या मिलता है?

एक वृत्त के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन पर प्राप्त संख्याएँ (3;0) और (0;−3) प्रणाली के दोनों समीकरणों के सटीक समाधान हैं। और इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ये संख्याएँ भी इस समीकरण प्रणाली के हल हैं।

अर्थात्, इस समाधान का उत्तर संख्याएँ हैं: (3;0) और (0;−3)।

प्रथम स्तर

फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करके समीकरणों, असमानताओं, प्रणालियों को हल करना। दृश्य गाइड (2019)

कई कार्य जिनका उपयोग हम विशुद्ध रूप से बीजगणितीय रूप से गणना करने के लिए करते हैं, उन्हें बहुत आसान और तेज़ी से हल किया जा सकता है, फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करने से हमें इसमें मदद मिलेगी। आप कहते हैं "ऐसा कैसे?" कुछ आकर्षित करने के लिए, और क्या आकर्षित करना है? मेरा विश्वास करो, कभी-कभी यह अधिक सुविधाजनक और आसान होता है। हम शुरू करें? आइए समीकरणों से शुरू करते हैं!

समीकरणों का आलेखीय हल

रैखिक समीकरणों का आलेखीय हल

जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, एक रैखिक समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा है, इसलिए इस प्रकार का नाम। रैखिक समीकरणों को बीजगणितीय रूप से हल करना काफी आसान है - हम सभी अज्ञात को समीकरण के एक तरफ स्थानांतरित करते हैं, जो कुछ भी हम जानते हैं - दूसरे को, और वॉयला! हमें जड़ मिल गई है। अब मैं आपको दिखाऊंगा कि यह कैसे करना है ग्राफिक तरीका।

तो आपके पास एक समीकरण है:

इसे कैसे हल करें?
विकल्प 1, और सबसे आम अज्ञात को एक तरफ ले जाना है, और दूसरे को जाना जाता है, हमें मिलता है:

और अब हम निर्माण कर रहे हैं। तुम्हें क्या मिला?

आपको क्या लगता है कि हमारे समीकरण की जड़ क्या है? यह सही है, रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय:

हमारा जवाब है

यही ग्राफिक समाधान का संपूर्ण ज्ञान है। जैसा कि आप आसानी से देख सकते हैं, हमारे समीकरण का मूल एक संख्या है!

जैसा कि मैंने ऊपर कहा, यह सबसे आम विकल्प है, के करीब बीजीय समाधान, लेकिन इसे दूसरे तरीके से भी किया जा सकता है। एक वैकल्पिक समाधान पर विचार करने के लिए, आइए अपने समीकरण पर वापस आते हैं:

इस बार हम किसी भी चीज़ को अगल-बगल से नहीं घुमाएंगे, बल्कि सीधे ग्राफ़ बनाएंगे, जैसे वे अभी हैं:

बनाना? नज़र!

इस बार क्या उपाय है? ठीक है। वही ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है:

और, फिर से, हमारा जवाब है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, साथ रेखीय समीकरणसब कुछ बेहद सरल है। कुछ अधिक जटिल विचार करने का समय आ गया है... उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरणों का ग्राफिक समाधान।

द्विघात समीकरणों का आलेखीय हल

तो, अब द्विघात समीकरण को हल करना शुरू करते हैं। मान लीजिए कि आपको इस समीकरण की जड़ें खोजने की जरूरत है:

बेशक, अब आप विवेचक के माध्यम से या विएटा प्रमेय के अनुसार गिनना शुरू कर सकते हैं, लेकिन कई तंत्रिकाएं गुणा या वर्ग करते समय गलती करती हैं, खासकर अगर उदाहरण के साथ है बड़ी संख्या, और, जैसा कि आप जानते हैं, आपके पास परीक्षा में कैलकुलेटर नहीं होगा ... इसलिए, आइए इस समीकरण को हल करते समय थोड़ा आराम करने और ड्रा करने का प्रयास करें।

आप इस समीकरण का हल आलेखीय रूप से प्राप्त कर सकते हैं। विभिन्न तरीके. विचार करना विभिन्न विकल्पऔर आप चुन सकते हैं कि आपको कौन सा सबसे अच्छा पसंद है।

विधि 1. सीधे

हम इस समीकरण के अनुसार सिर्फ एक परवलय बनाते हैं:

इसे जल्दी करने के लिए, मैं आपको एक छोटा सा संकेत दूंगा: परवलय के शीर्ष का निर्धारण करके निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है।निम्नलिखित सूत्र परवलय के शीर्ष के निर्देशांक निर्धारित करने में मदद करेंगे:

आप कहते हैं "रुको! के लिए सूत्र विवेचक को खोजने के सूत्र के समान है "हाँ, यह है, और यह अपनी जड़ों को खोजने के लिए एक परवलय का निर्माण" प्रत्यक्ष "का एक बड़ा नुकसान है। हालांकि, चलिए अंत तक गिनती करते हैं, और फिर मैं आपको दिखाऊंगा कि इसे बहुत (बहुत!) आसान कैसे बनाया जाए!

क्या आपने गिनती की? परवलय के शीर्ष के निर्देशांक क्या हैं? आइए इसे एक साथ समझें:

बिल्कुल वही जवाब? बहुत बढ़िया! और अब हम पहले से ही शीर्ष के निर्देशांक जानते हैं, और एक परवलय बनाने के लिए, हमें और अधिक ... अंक चाहिए। आपको क्या लगता है, हमें कितने न्यूनतम अंक चाहिए? सही ढंग से, .

आप जानते हैं कि एक परवलय अपने शीर्ष के प्रति सममित होता है, उदाहरण के लिए:

तदनुसार, हमें परवलय की बाईं या दाईं शाखा के साथ दो और बिंदुओं की आवश्यकता है, और भविष्य में हम इन बिंदुओं को विपरीत दिशा में सममित रूप से प्रतिबिंबित करेंगे:

हम अपने परवलय में लौटते हैं। हमारे मामले के लिए, बिंदु। हमें क्रमशः दो और अंक चाहिए, क्या हम सकारात्मक अंक ले सकते हैं, लेकिन क्या हम नकारात्मक ले सकते हैं? आपके लिए सबसे अच्छे अंक क्या हैं? मेरे लिए सकारात्मक लोगों के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, इसलिए मैं और के साथ गणना करूंगा।

अब हमारे पास तीन बिंदु हैं, और हम दो को प्रतिबिंबित करके आसानी से अपने परवलय का निर्माण कर सकते हैं अंतिम बिंदुइसके शीर्ष के बारे में:

आपको क्या लगता है कि समीकरण का हल क्या है? यह सही है, जिन बिंदुओं पर, वह है, और। इसलिये।

और अगर हम ऐसा कहते हैं, तो इसका मतलब है कि यह भी बराबर होना चाहिए, या।

अभी-अभी? हमने आपके साथ समीकरण को एक जटिल चित्रमय तरीके से हल करना समाप्त कर दिया है, या और भी बहुत कुछ होगा!

बेशक, आप हमारे उत्तर को बीजगणितीय रूप से देख सकते हैं - आप वियत प्रमेय या विभेदक के माध्यम से जड़ों की गणना कर सकते हैं। तुम्हें क्या मिला? वैसा ही? यहाँ आप देखते हैं! आइए अब एक बहुत ही सरल आलेखीय समाधान देखते हैं, मुझे विश्वास है कि आपको यह बहुत पसंद आएगा!

विधि 2. कई कार्यों में विभाजित करें

आइए सब कुछ लेते हैं, हमारा समीकरण: , लेकिन हम इसे थोड़ा अलग तरीके से लिखते हैं, अर्थात्:

क्या हम इसे इस तरह लिख सकते हैं? हम कर सकते हैं, क्योंकि परिवर्तन समतुल्य है। आइए आगे देखें।

आइए दो कार्यों को अलग-अलग बनाएं:

1. - ग्राफ एक साधारण परवलय है, जिसे आप सूत्रों का उपयोग करके शीर्ष को परिभाषित किए बिना और अन्य बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए एक तालिका बनाए बिना भी आसानी से बना सकते हैं।
2. - ग्राफ एक सीधी रेखा है, जिसे आप कैलकुलेटर का सहारा लिए बिना मूल्यों का अनुमान लगाकर और अपने सिर में आसानी से बना सकते हैं।

बनाना? मुझे जो मिला है उसकी तुलना करें:

आपको क्या लगता है कि इस मामले में समीकरण की जड़ क्या है? सही ढंग से! निर्देशांक जिसके द्वारा दो ग्राफों को पार करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात्:

तदनुसार, इस समीकरण का हल है:

क्यों भाई क्या कहते हो? सहमत हूँ, यह समाधान विधि पिछले एक की तुलना में बहुत आसान है और विवेचक के माध्यम से जड़ों की तलाश करने से भी आसान है! यदि ऐसा है, तो निम्न समीकरण को हल करने के लिए इस विधि का प्रयास करें:

तुम्हें क्या मिला? आइए हमारे चार्ट की तुलना करें:

रेखांकन दिखाते हैं कि उत्तर हैं:

क्या आप संभाल पाओगे? बहुत बढ़िया! अब आइए समीकरणों को थोड़ा और जटिल देखें, अर्थात् मिश्रित समीकरणों का समाधान, अर्थात्, विभिन्न प्रकार के कार्यों वाले समीकरण।

मिश्रित समीकरणों का आलेखीय हल

आइए अब निम्नलिखित को हल करने का प्रयास करें:

बेशक, आप सब कुछ एक सामान्य हर में ला सकते हैं, परिणामी समीकरण की जड़ों का पता लगा सकते हैं, जबकि ओडीजेड को ध्यान में रखना नहीं भूलते हैं, लेकिन फिर से, हम इसे ग्राफिक रूप से हल करने का प्रयास करेंगे, जैसा कि हमने पिछले सभी मामलों में किया था।

इस बार आइए निम्नलिखित 2 ग्राफ़ बनाते हैं:

1. - ग्राफ एक अतिपरवलय है
2. - एक ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसे आप कैलकुलेटर का सहारा लिए बिना भी मूल्यों का अनुमान लगाकर और अपने सिर में आसानी से बना सकते हैं।

समझना? अब निर्माण शुरू करें।

यहाँ मेरे साथ क्या हुआ है:

इस तस्वीर को देखकर, हमारे समीकरण की जड़ें क्या हैं?

यह सही है, और। यहाँ पुष्टि है:

हमारी जड़ों को समीकरण में जोड़ने का प्रयास करें। हो गई?

ठीक है! सहमत हूं, ऐसे समीकरणों को ग्राफिक रूप से हल करना खुशी की बात है!

समीकरण को रेखांकन द्वारा स्वयं हल करने का प्रयास करें:

मैं आपको एक संकेत देता हूं: समीकरण के हिस्से को दाईं ओर ले जाएं ताकि दोनों पक्षों के पास निर्माण करने के लिए सबसे सरल कार्य हों। संकेत मिला? कार्यवाही करना!

अब देखते हैं कि आपको क्या मिला:

क्रमश:

1. - घन परवलय।
2. - एक साधारण सीधी रेखा।

खैर, हम निर्माण कर रहे हैं:

जैसा कि आपने लंबे समय तक लिखा है, इस समीकरण का मूल है -।

इतनी बड़ी संख्या में उदाहरणों को हल करने के बाद, मुझे यकीन है कि आपने महसूस किया है कि आप आसानी से और जल्दी से समीकरणों को ग्राफिक रूप से कैसे हल कर सकते हैं। यह पता लगाने का समय है कि इस तरह से सिस्टम को कैसे हल किया जाए।

सिस्टम का ग्राफिक समाधान

सिस्टम का ग्राफिकल सॉल्यूशन अनिवार्य रूप से समीकरणों के ग्राफिकल सॉल्यूशन से अलग नहीं है। हम दो रेखांकन भी बनाएंगे, और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु इस प्रणाली की जड़ें होंगे। एक ग्राफ एक समीकरण है, दूसरा ग्राफ एक और समीकरण है। सब कुछ बेहद सरल है!

आइए रैखिक समीकरणों की सरलतम - हल करने वाली प्रणालियों से शुरू करें।

रैखिक समीकरणों को हल करने वाली प्रणाली

मान लें कि हमारे पास निम्न प्रणाली है:

शुरू करने के लिए, हम इसे इस तरह से रूपांतरित करेंगे कि बाईं ओर सब कुछ है जो जुड़ा हुआ है, और दाईं ओर - जो जुड़ा हुआ है। दूसरे शब्दों में, हम इन समीकरणों को हमारे लिए सामान्य रूप में एक फ़ंक्शन के रूप में लिखते हैं:

और अब हम केवल दो सीधी रेखाएँ बनाते हैं। हमारे मामले में समाधान क्या है? सही ढंग से! उनके चौराहे का बिंदु! और यहां आपको बहुत सावधान रहने की जरूरत है! सोचो क्यों? मैं आपको एक संकेत देता हूँ: हम एक प्रणाली के साथ काम कर रहे हैं: सिस्टम में दोनों हैं, और... संकेत मिला?

ठीक है! सिस्टम को हल करते समय, हमें दोनों निर्देशांकों को देखना चाहिए, और न केवल समीकरणों को हल करते समय! एक और महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि उन्हें सही ढंग से लिखें और भ्रमित न हों कि हमारे पास मूल्य कहाँ है और मूल्य कहाँ है! रिकॉर्ड किया गया? आइए अब सब कुछ क्रम में तुलना करें:

और उत्तर: मैं। एक जाँच करें - सिस्टम में मिली जड़ों को प्रतिस्थापित करें और सुनिश्चित करें कि हमने इसे ग्राफिकल तरीके से सही ढंग से हल किया है?

गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करना

लेकिन क्या होगा अगर एक सीधी रेखा के बजाय, हमारे पास द्विघात समीकरण है? ठीक है! आप बस एक सीधी रेखा के बजाय एक परवलय का निर्माण करें! भरोसा मत करो? निम्नलिखित प्रणाली को हल करने का प्रयास करें:

हमारा अगला कदम क्या है? यह सही है, इसे लिख लें ताकि हमारे लिए रेखांकन बनाना सुविधाजनक हो:

और अब यह सब छोटी चीज़ों के बारे में है - मैंने इसे जल्दी से बनाया और यहाँ आपके लिए समाधान है! इमारत:

क्या ग्राफिक्स समान हैं? अब चित्र में सिस्टम के समाधानों को चिह्नित करें और प्रकट उत्तरों को सही ढंग से लिखें!

मैंने सब कुछ किया है? मेरे नोट्स के साथ तुलना करें:

ठीक है? बहुत बढ़िया! आप पहले से ही पागल जैसे कार्यों पर क्लिक करते हैं! और यदि हां, तो आइए आपको एक अधिक जटिल प्रणाली प्रदान करते हैं:

हम क्या कर रहे हैं? सही ढंग से! हम सिस्टम लिखते हैं ताकि इसे बनाना सुविधाजनक हो:

मैं आपको थोड़ा संकेत दूंगा, क्योंकि सिस्टम बहुत जटिल दिखता है! रेखांकन बनाते समय, उन्हें "अधिक" बनाएं, और सबसे महत्वपूर्ण बात, चौराहे के बिंदुओं की संख्या पर आश्चर्य न करें।

तो चलते हैं! साँस छोड़ी? अब निर्माण शुरू करो!

कितनी अच्छी तरह से? सुन्दर ढंग से? आपको कितने चौराहे बिंदु मिले? मेरे पास तीन हैं! आइए हमारे रेखांकन की तुलना करें:

इसी तरह? अब हमारे सिस्टम के सभी समाधानों को ध्यान से लिखें:

अब सिस्टम को फिर से देखें:

क्या आप सोच सकते हैं कि आपने इसे केवल 15 मिनट में हल कर लिया? सहमत हूं, गणित अभी भी सरल है, खासकर जब एक अभिव्यक्ति को देखते हुए, आप गलती करने से डरते नहीं हैं, लेकिन आप इसे लेते हैं और निर्णय लेते हैं! तुम बड़े लड़के हो!

असमानताओं का चित्रमय समाधान

रैखिक असमानताओं का आलेखीय समाधान

अंतिम उदाहरण के बाद, आप कार्य पर निर्भर हैं! अब साँस छोड़ें - पिछले खंडों की तुलना में, यह बहुत, बहुत आसान होगा!

हम हमेशा की तरह एक ग्राफिकल समाधान के साथ शुरू करेंगे रैखिक असमानता. उदाहरण के लिए, यह एक:

आरंभ करने के लिए, हम सबसे सरल परिवर्तन करेंगे - हम पूर्ण वर्गों के कोष्ठक खोलेंगे और समान शब्द देंगे:

असमानता सख्त नहीं है, इसलिए - अंतराल में शामिल नहीं है, और समाधान सभी बिंदु होंगे जो दाईं ओर हैं, क्योंकि अधिक, अधिक, और इसी तरह:

उत्तर:

बस इतना ही! सरलता? आइए दो चरों के साथ एक साधारण असमानता को हल करें:

आइए समन्वय प्रणाली में एक फ़ंक्शन बनाएं।

क्या आपके पास ऐसा कोई चार्ट है? और अब हम ध्यान से देखें कि हमारे पास असमानता में क्या है? कम? इसलिए, हम अपनी सीधी रेखा के बाईं ओर की हर चीज़ पर पेंट करते हैं। क्या होगा अगर और भी थे? यह सही है, तब वे हमारी सीधी रेखा के दायीं ओर की हर चीज़ पर पेंट करेंगे। सब कुछ सरल है।

इस असमानता के सभी समाधान "छायांकित" हैं संतरा. यही है, दो-चर असमानता हल हो गई है। इसका मतलब है कि निर्देशांक और छायांकित क्षेत्र से कोई भी बिंदु समाधान हैं।

द्विघात असमानताओं का आलेखीय समाधान

अब हम देखेंगे कि द्विघात असमानताओं को आलेखीय रूप से कैसे हल किया जाए।

लेकिन इससे पहले कि हम सीधे मुद्दे पर पहुँचें, चलिए वर्गाकार फलन के बारे में कुछ बातें फिर से समझते हैं।

भेदभाव करने वाला किसके लिए जिम्मेदार है? यह सही है, अक्ष के सापेक्ष ग्राफ की स्थिति के लिए (यदि आपको यह याद नहीं है, तो निश्चित रूप से द्विघात कार्यों के सिद्धांत को पढ़ें)।

किसी भी मामले में, यहां आपके लिए एक छोटा सा अनुस्मारक है:

अब जब हमने अपनी स्मृति में सभी सामग्री को ताज़ा कर दिया है, तो चलिए व्यापार में उतरते हैं - हम असमानता को ग्राफिक रूप से हल करेंगे।

मैं आपको तुरंत बता दूंगा कि इसे हल करने के लिए दो विकल्प हैं।

विकल्प 1

हम अपने परवलय को एक फंक्शन के रूप में लिखते हैं:

सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम परवलय के शीर्ष के निर्देशांक निर्धारित करते हैं (उसी तरह जैसे द्विघात समीकरणों को हल करते समय):

क्या आपने गिनती की? तुम्हें क्या मिला?

अब दो और लेते हैं विभिन्न बिंदुऔर उनके लिए गणना करें:

हम परवलय की एक शाखा बनाना शुरू करते हैं:

हम परवलय की एक अन्य शाखा पर सममित रूप से अपनी बातों को प्रतिबिंबित करते हैं:

अब वापस हमारी असमानता पर।

हमें इसकी आवश्यकता है कि यह क्रमशः शून्य से कम हो:

चूंकि हमारी असमानता में एक संकेत सख्ती से कम है, हम अंतिम बिंदुओं को बाहर करते हैं - हम "बाहर निकलते हैं"।

उत्तर:

लंबा रास्ता, है ना? अब मैं आपको एक उदाहरण के रूप में समान असमानता का उपयोग करके ग्राफिकल समाधान का एक सरल संस्करण दिखाऊंगा:

विकल्प 2

हम अपनी असमानता पर लौटते हैं और उन अंतरालों को चिह्नित करते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है:

सहमत हूँ, यह बहुत तेज़ है।

आइए अब उत्तर लिखें:

आइए एक और समाधान विधि पर विचार करें जो बीजीय भाग को सरल करता है, लेकिन मुख्य बात भ्रमित नहीं होना है।

बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करें:

निम्नलिखित को हल करने का प्रयास करें वर्ग असमानताकिसी भी तरह से आपको पसंद है।

क्या आप संभाल पाओगे?

देखें कि मेरा चार्ट कैसा निकला:

उत्तर: .

मिश्रित असमानताओं का चित्रमय समाधान

अब आइए अधिक जटिल असमानताओं की ओर बढ़ते हैं!

आपको यह कैसे लगता है:

भयानक, है ना? ईमानदारी से, मुझे नहीं पता कि इसे बीजगणितीय रूप से कैसे हल किया जाए ... लेकिन यह आवश्यक नहीं है। ग्राफिक रूप से, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है! आंखें डरती हैं, लेकिन हाथ कर रहे हैं!

पहली चीज जो हम शुरू करते हैं वह है दो रेखांकन बनाना:

मैं हर किसी के लिए एक टेबल नहीं लिखूंगा - मुझे यकीन है कि आप इसे पूरी तरह से अपने दम पर कर सकते हैं (बेशक, हल करने के लिए बहुत सारे उदाहरण हैं!)

चित्रित? अब दो ग्राफ बनाएं।

आइए हमारे चित्र की तुलना करें?

क्या आपके पास वही है? उत्कृष्ट! अब आइए चौराहे के बिंदुओं को रखें और एक रंग के साथ निर्धारित करें कि हमारे पास कौन सा ग्राफ होना चाहिए, सिद्धांत रूप में, बड़ा होना चाहिए, अर्थात। देखिए आखिर में क्या हुआ:

और अब हम देखते हैं कि हमारा चयनित चार्ट चार्ट से कहाँ ऊँचा है? बेझिझक एक पेंसिल लें और इस क्षेत्र पर पेंट करें! यह हमारी जटिल असमानता का समाधान होगा!

अक्ष के अनुदिश हम किस अंतराल से ऊपर हैं? सही, । यह उत्तर है!

ठीक है, अब आप किसी भी समीकरण, और किसी भी प्रणाली, और इससे भी अधिक किसी भी असमानता को संभाल सकते हैं!

संक्षेप में मुख्य के बारे में

फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करके समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. एक्सप्रेस के माध्यम से
2. फ़ंक्शन प्रकार को परिभाषित करें
3. आइए परिणामी कार्यों के रेखांकन बनाएं
4. ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए
5. उत्तर को सही ढंग से लिखें (ODZ और असमानता के संकेतों को ध्यान में रखते हुए)
6. उत्तर की जाँच करें (समीकरण या प्रणाली में जड़ों को प्रतिस्थापित करें)

फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने के बारे में अधिक जानकारी के लिए, "" विषय देखें।