सारांश: समीकरणों का आलेखीय हल। एक द्विघात समीकरण को आलेखीय रूप से कैसे हल करें

रैखिक प्रोग्रामिंग में, उत्तल सेट (समाधान पॉलीहेड्रॉन) निर्धारित करने के लिए एक ग्राफिकल विधि का उपयोग किया जाता है। यदि मुख्य कार्य रैखिक प्रोग्रामिंगएक इष्टतम योजना है, तो उद्देश्य फ़ंक्शन निर्णय पॉलीहेड्रॉन के किसी एक शीर्ष पर एक मान लेता है (आंकड़ा देखें)।

सेवा असाइनमेंट. इस सेवा का उपयोग करके, आप ऑनलाइन ज्यामितीय पद्धति का उपयोग करके रैखिक प्रोग्रामिंग की समस्या को हल कर सकते हैं, साथ ही दोहरी समस्या का समाधान प्राप्त कर सकते हैं (संसाधनों के इष्टतम उपयोग का अनुमान लगाएं)। साथ ही, Excel में एक समाधान टेम्पलेट बनाया जाता है।

निर्देश। पंक्तियों की संख्या (सीमाओं की संख्या) का चयन करें।

यदि चरों की संख्या दो से अधिक है, तो सिस्टम को SZLP में लाना आवश्यक है (उदाहरण और उदाहरण संख्या 2 देखें)। यदि बाधा डबल है, उदाहरण के लिए, 1 x 1 ≤ 4 , तो इसे दो में विभाजित किया जाता है: x 1 1 , x 1 ≤ 4 (अर्थात पंक्तियों की संख्या 1 से बढ़ जाती है)।
आप इस सेवा का उपयोग करके एक व्यवहार्य समाधान क्षेत्र (डीडीआर) भी बना सकते हैं।

इस कैलकुलेटर के साथ निम्नलिखित का भी उपयोग किया जाता है:
एलएलपी को हल करने के लिए सरल विधि

परिवहन समस्या का समाधान
मैट्रिक्स गेम समाधान
ऑनलाइन सेवा का उपयोग करके, आप कीमत निर्धारित कर सकते हैं मैट्रिक्स गेम(निचली और ऊपरी सीमा), एक सैडल बिंदु की जांच करें, निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके मिश्रित रणनीति का समाधान खोजें: मिनिमैक्स, सिम्प्लेक्स विधि, ग्राफिकल (ज्यामितीय) विधि, ब्राउन की विधि।
दो चर के एक समारोह का चरम
सीमा गणना

एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का समाधान ग्राफिक विधिनिम्नलिखित चरण शामिल हैं::

रेखाएँ समतल X 1 0X 2 पर बनी हैं।
आधे विमानों को परिभाषित किया गया है।
एक निर्णय बहुभुज परिभाषित करें;
एक वेक्टर एन (सी 1, सी 2) बनाएं, जो उद्देश्य फ़ंक्शन की दिशा को इंगित करता है;
प्रत्यक्ष उद्देश्य फ़ंक्शन को स्थानांतरित करें सी 1 एक्स 2 + सी 2 एक्स 2= 0 सदिश N की दिशा में . तक चरम बिंदुसमाधान बहुभुज।
इस बिंदु पर बिंदु के निर्देशांक और उद्देश्य फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

इस मामले में, निम्नलिखित स्थितियां हो सकती हैं:

उदाहरण। कंपनी दो तरह के उत्पाद बनाती है- P1 और P2। उत्पादों के उत्पादन के लिए दो प्रकार के कच्चे माल का उपयोग किया जाता है - C1 और C2। उत्पादन की एक इकाई का थोक मूल्य इसके बराबर है: CU 5 P1 और 4 c.u के लिए P2 के लिए प्रकार P1 और प्रकार P2 के उत्पादन की प्रति इकाई कच्चे माल की खपत तालिका में दी गई है।
तालिका - उत्पादन के लिए कच्चे माल की खपत

उत्पाद की मांग पर प्रतिबंध स्थापित किए गए हैं: P2 उत्पादों का दैनिक उत्पादन P1 उत्पादों के दैनिक उत्पादन से 1 टन से अधिक नहीं होना चाहिए; P2 का अधिकतम दैनिक उत्पादन 2 टन से अधिक नहीं होना चाहिए।
यह निर्धारित करना आवश्यक है:
उत्पादों की बिक्री से आय को अधिकतम करने के लिए कंपनी को प्रत्येक प्रकार के कितने उत्पादों का उत्पादन करना चाहिए?

तैयार गणित का मॉडलरैखिक प्रोग्रामिंग समस्याएं।
एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को ग्राफिक रूप से हल करें (दो चर के लिए)।

समाधान।
आइए हम एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का गणितीय मॉडल तैयार करें।
x 1 - उत्पादन P1, इकाइयाँ।
x 2 - P2 उत्पादों, इकाइयों का उत्पादन।
एक्स 1 , एक्स 2 0

संसाधन सीमा
6x1 + 4x2 24
x1 + 2x2 6

मांग सीमा
एक्स 1 +1 एक्स 2
x2 2

वस्तुनिष्ठ कार्य
5x1 + 4x2 → अधिकतम

तब हमें निम्नलिखित एलएलपी प्राप्त होता है:
6x1 + 4x2 24
x1 + 2x2 6
एक्स 2 - एक्स 1 ≤ 1
x2 2
एक्स 1 , एक्स 2 0
5x1 + 4x2 → अधिकतम

ग्राफिक समाधानसमीकरण

सुनहरे दिन, 2009

परिचय

प्राचीन काल में द्विघात समीकरणों को हल करने की आवश्यकता एक सैन्य प्रकृति के भूमि और भूकंप के क्षेत्रों को खोजने के साथ-साथ खगोल विज्ञान और गणित के विकास से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण हुई थी। बेबीलोन के लोग लगभग 2000 ईसा पूर्व के द्विघात समीकरणों को हल करना जानते थे। बेबीलोन के ग्रंथों में वर्णित इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक लोगों के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोन के लोग इस नियम पर कैसे आए।

यूरोप में द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र सबसे पहले 1202 में इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा लिखी गई पुस्तक अबेकस में निर्धारित किए गए थे। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली में, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में भी बीजीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया।

परंतु सामान्य नियमगुणांक बी और सी के सभी संभावित संयोजनों के साथ द्विघात समीकरणों को हल करना, यूरोप में केवल 1544 में एम। स्टीफेल द्वारा तैयार किया गया था।

1591 में फ़्राँस्वा वियत द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सूत्र प्रस्तुत किए।

प्राचीन बेबीलोन में कुछ प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल किया जा सकता था।

अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस तथा यूक्लिड, अल-ख्वारिज्मीतथा उमर खय्यामज्यामितीय और चित्रमय तरीकों से हल किए गए समीकरण।

7वीं कक्षा में हमने कार्यों का अध्ययन किया वाई \u003d सी, वाई =केएक्स, वाई =केएक्स+ एम, वाई =एक्स 2,वाई = -एक्स 2, आठवीं कक्षा में - वाई =एक्स, वाई =|एक्स|, वाई =कुल्हाड़ी2 + बीएक्स+ सी, वाई =क/ एक्स. 9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यपुस्तक में, मैंने ऐसे कार्य देखे जो अभी तक मुझे ज्ञात नहीं थे: वाई =एक्स 3, वाई =एक्स 4,वाई =एक्स 2एन, वाई =एक्स- 2एन, वाई = 3√एक्स, (एक्स– एक) 2 + (वाई -बी) 2 = आर 2 और अन्य। इन कार्यों के रेखांकन बनाने के नियम हैं। मैं सोच रहा था कि क्या ऐसे अन्य कार्य हैं जो इन नियमों का पालन करते हैं।

मेरा काम कार्यों के ग्राफ का अध्ययन करना और समीकरणों को ग्राफिक रूप से हल करना है।

1. कार्य क्या हैं

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है कार्तिकये निर्देशांक, जिनके एब्सिसास तर्कों के मूल्यों के बराबर हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संगत मानों के बराबर हैं।

रैखिक प्रकार्यसमीकरण द्वारा दिया गया वाई =केएक्स+ बी, कहाँ पे कतथा बी- कुछ नंबर। इस फ़ंक्शन का आलेख एक सीधी रेखा है।

समारोह व्युत्क्रम आनुपातिकता वाई =क/ एक्स, जहाँ k 0. इस फलन के ग्राफ को अतिपरवलय कहते हैं।

समारोह (एक्स– एक) 2 + (वाई -बी) 2 = आर2 , कहाँ पे एक, बीतथा आर- कुछ नंबर। इस फलन का आलेख बिन्दु A पर केन्द्रित त्रिज्या r का एक वृत्त है। एक, बी).

द्विघात फंक्शन आप= कुल्हाड़ी2 + बीएक्स+ सीकहाँ पे एक,बी, साथ- कुछ नंबर और एक 0. इस फलन का आलेख एक परवलय है।

समीकरण पर2 (एक– एक्स) = एक्स2 (एक+ एक्स) . इस समीकरण का ग्राफ एक वक्र होगा जिसे स्ट्रोफॉइड कहा जाता है।

/>समीकरण (एक्स2 + आप2 ) 2 = एक(एक्स2 – आप2 ) . इस समीकरण के ग्राफ को बर्नौली लेम्निस्केट कहा जाता है।

समीकरण। इस समीकरण के ग्राफ को एस्ट्रोइड कहते हैं।

वक्र (एक्स2 आप2 - 2 एक्स)2 =4 ए2 (एक्स2 +y2 ) . इस वक्र को कार्डियोइड कहा जाता है।

कार्य: वाई =एक्स 3 - घन परवलय, वाई =एक्स 4, वाई = 1/एक्स 2.

2. एक समीकरण की अवधारणा, उसका आलेखीय हल

समीकरणएक चर युक्त अभिव्यक्ति है।

प्रश्न हल करें- इसका अर्थ है इसकी सभी जड़ों को खोजना, या यह साबित करना कि वे मौजूद नहीं हैं।

समीकरण का मूलएक संख्या है, जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर सही संख्यात्मक समानता उत्पन्न होती है।

समीकरणों को आलेखीय रूप से हल करनाआपको जड़ों का सटीक या अनुमानित मूल्य खोजने की अनुमति देता है, आपको समीकरण की जड़ों की संख्या खोजने की अनुमति देता है।

ग्राफ़ बनाते समय और समीकरणों को हल करते समय, फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग किया जाता है, इसलिए इस विधि को अक्सर कार्यात्मक-ग्राफ़िक कहा जाता है।

समीकरण को हल करने के लिए, हम इसे दो भागों में "विभाजित" करते हैं, दो कार्यों का परिचय देते हैं, उनके ग्राफ़ बनाते हैं, ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक पाते हैं। इन बिंदुओं के भुज समीकरण के मूल हैं।

3. किसी फलन का आलेख बनाने के लिए एल्गोरिथम

फलन का ग्राफ जानना वाई =एफ(एक्स) , आप कार्यों की साजिश कर सकते हैं वाई =एफ(एक्स+ एम) ,वाई =एफ(एक्स)+ मैंतथा वाई =एफ(एक्स+ एम)+ मैं. ये सभी ग्राफ़ फ़ंक्शन के ग्राफ़ से प्राप्त किए गए हैं वाई =एफ(एक्स) समानांतर अनुवाद परिवर्तन का उपयोग करना: on │ एम│ x-अक्ष के अनुदिश दाएँ या बाएँ स्केल इकाइयाँ और on │ मैं│ स्केल इकाइयों को अक्ष के साथ ऊपर या नीचे आप.

4. द्विघात समीकरण का आलेखीय हल

उदाहरण के लिए द्विघात फंक्शनहम द्विघात समीकरण के आलेखीय हल पर विचार करेंगे। द्विघात फलन का आलेख एक परवलय होता है।

प्राचीन यूनानियों को परवलय के बारे में क्या पता था?

आधुनिक गणितीय प्रतीकवाद की उत्पत्ति 16वीं शताब्दी में हुई थी।

प्राचीन यूनानी गणितज्ञों के पास न तो समन्वय विधि थी और न ही किसी फलन की अवधारणा। हालांकि, परवलय के गुणों का उनके द्वारा विस्तार से अध्ययन किया गया था। प्राचीन गणितज्ञों की आविष्कारशीलता बस आश्चर्यजनक है, क्योंकि वे केवल चित्र और निर्भरता के मौखिक विवरण का उपयोग कर सकते थे।

सबसे अधिक पूरी तरह से परवलय, अतिपरवलय और दीर्घवृत्त का पता लगाया पेर्गा का अपोलोनियस, जो तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में रहते थे। उन्होंने इन वक्रों को नाम भी दिए और संकेत दिया कि एक विशेष वक्र पर स्थित बिंदु किन स्थितियों को संतुष्ट करते हैं (आखिरकार, कोई सूत्र नहीं थे!)

एक परवलय के निर्माण के लिए एक एल्गोरिथ्म है:

परवलय A (x0; y0) के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए: एक्स=- बी/2 एक;

y0=aho2+in0+s;

परवलय की सममिति का अक्ष ज्ञात कीजिए (सीधी रेखा x=x0);

पृष्ठ विराम--

नियंत्रण बिंदुओं के निर्माण के लिए मूल्यों की एक तालिका संकलित करना;

हम प्राप्त बिंदुओं का निर्माण करते हैं और सममिति की धुरी के संबंध में उनके सममित बिंदुओं का निर्माण करते हैं।

1. आइए एल्गोरिथम के अनुसार एक परवलय का निर्माण करें आप= एक्स2 – 2 एक्स– 3 . अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं का भुज एक्सऔर द्विघात समीकरण के मूल हैं एक्स2 – 2 एक्स– 3 = 0.

इस समीकरण को आलेखीय रूप से हल करने के पाँच तरीके हैं।

2. आइए समीकरण को दो कार्यों में विभाजित करें: आप= एक्स2 तथा आप= 2 एक्स+ 3

3. आइए समीकरण को दो कार्यों में विभाजित करें: आप= एक्स2 –3 तथा आप=2 एक्स. समीकरण की जड़ें रेखा के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज हैं।

4. समीकरण को रूपांतरित करें एक्स2 – 2 एक्स– 3 = 0 फ़ंक्शन पर पूर्ण वर्ग का चयन करके: आप= (एक्स–1) 2 तथा आप=4. समीकरण की जड़ें रेखा के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज हैं।

5. हम पद को समीकरण के दोनों भागों से विभाजित करते हैं एक्स2 – 2 एक्स– 3 = 0 पर एक्स, हम पाते हैं एक्स– 2 – 3/ एक्स= 0 आइए इस समीकरण को दो कार्यों में विभाजित करें: आप= एक्स– 2, आप= 3/ एक्स. समीकरण की जड़ें रेखा और अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज हैं।

5. डिग्री समीकरणों का आलेखीय समाधानएन

उदाहरण 1प्रश्न हल करें एक्स5 = 3 – 2 एक्स.

आप= एक्स5 , आप= 3 – 2 एक्स.

उत्तर:एक्स = 1.

उदाहरण 2प्रश्न हल करें 3 √ एक्स= 10 – एक्स.

इस समीकरण की जड़ें दो कार्यों के रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है: आप= 3 √ एक्स, आप= 10 – एक्स.

उत्तर:एक्स = 8।

निष्कर्ष

फ़ंक्शन ग्राफ़ को ध्यान में रखते हुए: वाई =कुल्हाड़ी2 + बीएक्स+ सी, वाई =क/ एक्स, वाई =एक्स, वाई =|एक्स|, वाई =एक्स 3, वाई =एक्स 4,वाई = 3√एक्स, मैंने देखा कि ये सभी ग्राफ अक्षों के सापेक्ष समानांतर अनुवाद के नियम के अनुसार बनाए गए हैं एक्सतथा आप.

द्विघात समीकरण को हल करने के उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि आलेखीय विधि डिग्री n के समीकरणों पर भी लागू होती है।

समीकरणों को हल करने के लिए चित्रमय तरीके सुंदर और समझने योग्य हैं, लेकिन वे किसी भी समीकरण को हल करने की 100% गारंटी नहीं देते हैं। रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज अनुमानित हो सकते हैं।

9वीं कक्षा में और वरिष्ठ कक्षाओं में, मैं अभी भी अन्य कार्यों से परिचित होऊंगा। मुझे यह जानने में दिलचस्पी है कि क्या वे कार्य समानांतर अनुवाद के नियमों का पालन करते हैं, जब उनके रेखांकन की साजिश रचते हैं।

पर आगामी वर्षमैं समीकरणों और असमानताओं की प्रणालियों के चित्रमय समाधान के मुद्दों पर भी विचार करना चाहूंगा।

साहित्य

1. बीजगणित। 7 वीं कक्षा। भाग 1. शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच। मॉस्को: मेनेमोसिन, 2007।

2. बीजगणित। 8 वीं कक्षा। भाग 1. शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच। मॉस्को: मेनेमोसिन, 2007।

3. बीजगणित। श्रेणी 9 भाग 1. शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच। मॉस्को: मेनेमोसिन, 2007।

4. ग्लेज़र जी.आई. स्कूल में गणित का इतिहास। सातवीं-आठवीं कक्षा। - एम .: ज्ञानोदय, 1982।

5. जर्नल गणित 5 2009; नंबर 8 2007; नंबर 23 2008।

6. समीकरणों का ग्राफिक समाधान इंटरनेट साइट्स: Tol WIKI; स्टिमुल.बिज़/एन; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; पेग 3–6.htm।

यदि आप तैरना सीखना चाहते हैं, तो साहसपूर्वक पानी में प्रवेश करें, और यदि आप सीखना चाहते हैं कि समस्याओं को कैसे हल किया जाए, तो उन्हें हल करें।

डी पोया

समीकरणएक या एक से अधिक अज्ञात वाली समानता है, बशर्ते कि कार्य अज्ञात के उन मूल्यों को खोजना है जिनके लिए यह सत्य है।

प्रश्न हल करें- इसका अर्थ है अज्ञात के सभी मूल्यों को खोजना जिसके लिए यह सही संख्यात्मक समानता में बदल जाता है, या यह स्थापित करना कि ऐसे कोई मूल्य नहीं हैं।

मान्य रेंजसमीकरण (ओ.डी.जेड.)चर (चर) के उन सभी मानों का समुच्चय है जिसके लिए समीकरण में शामिल सभी व्यंजकों को परिभाषित किया गया है।

परीक्षा में प्रस्तुत कई समीकरण मानक विधियों द्वारा हल किए जाते हैं। लेकिन कोई भी असामान्य चीजों का उपयोग करने से मना नहीं करता है, यहां तक कि सबसे सरल मामलों में भी।

इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें 3 – एक्स 2 \u003d 6 / (2 - एक्स).

आइए इसे हल करें रेखांकन, और फिर इसकी जड़ों का अंकगणितीय माध्य छह गुना बढ़ गया।

ऐसा करने के लिए, कार्यों पर विचार करें वाई = 3 – x2तथा वाई = 6 / (2 - एक्स)और उनके ग्राफ को प्लॉट करें।

फलन y \u003d 3 - x 2 द्विघात है।

आइए फिर से लिखें यह समारोह y \u003d -x 2 + 3 के रूप में। इसका ग्राफ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं (क्योंकि a \u003d -1< 0).

परवलय के शीर्ष को y-अक्ष के अनुदिश 3 इकाई ऊपर खिसकाया जाएगा। तो शीर्ष निर्देशांक (0; 3) है।

एब्सिस्सा अक्ष के साथ परवलय के चौराहे के बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए, हम इस फ़ंक्शन को शून्य के बराबर करते हैं और परिणामी समीकरण को हल करते हैं:

इस प्रकार, निर्देशांक (√3; 0) और (-√3; 0) वाले बिंदुओं पर परवलय x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है (चित्र 1)।

फलन y = 6 / (2 - x) का आलेख एक अतिपरवलय है।

इस फ़ंक्शन को निम्नलिखित परिवर्तनों का उपयोग करके रेखांकन किया जा सकता है:

1) वाई = 6 / एक्स - व्युत्क्रम आनुपातिकता। फंक्शन ग्राफ हाइपरबोला है। इसे बिंदुओं द्वारा बनाया जा सकता है, इसके लिए हम x और y के मानों की एक तालिका संकलित करेंगे:

एक्स | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |

वाई | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |

2) y = 6 / (-x) - पैराग्राफ 1 में प्राप्त फलन का ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित होता है (चित्र 3)।

3) y = 6 / (-x + 2) - हम अनुच्छेद 2 में प्राप्त ग्राफ को x-अक्ष के अनुदिश दो इकाइयों से दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं (चित्र 4)।

आइए अब हम फलन y = 3 . का आलेख खींचते हैं – x 2 और y = 6 / (2 - x) एक ही समन्वय प्रणाली में (चित्र 5)।

चित्र से पता चलता है कि रेखांकन तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि हल करने की आलेखीय विधि आपको मूल के सटीक मान का पता लगाने की अनुमति नहीं देती है। तो संख्या -1; 0; 3 (फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज) अब तक केवल समीकरण की अनुमानित जड़ें हैं।

चेक के माध्यम से हम आश्वस्त हो जाएंगे कि संख्या -1; 0; 3 - वास्तव में मूल समीकरण की जड़ें:

रूट -1:

3 – 1 = 6 / (2 – (-1));

3 – 0 = 6 / (2 – 0);

3 – 9 = 6 / (2 – 3);

उनका अंकगणित माध्य:

(-1 + 0 + 3) / 3 = 2/3.

आइए इसे छह गुना बढ़ाएं: 6 2/3 = 4।

यह समीकरण, निश्चित रूप से, अधिक परिचित तरीके से हल किया जा सकता है। - बीजीय.

तो, समीकरण 3 की जड़ों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए जो छह गुना बढ़ गया है – एक्स 2 \u003d 6 / (2 - एक्स)।

आइए O.D.Z की खोज के साथ समीकरण का हल शुरू करें। एक भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए:

समीकरण को हल करने के लिए, हम अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग करते हैं, इससे अंश से छुटकारा मिल जाएगा।

(3 – एक्स 2)(2 - एक्स) = 6।

आइए कोष्ठक खोलें और समान पद दें:

6-3x – 2x2 + x3 = 6;

एक्स 3 – 2x 2 - 3x = 0.

आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

एक्स (x2 .) – 2x - 3) = 0.

हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि उत्पाद शून्य के बराबर है, जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है, तो हमारे पास है:

एक्स = 0 या x2 – 2x - 3 = 0.

आइए दूसरे समीकरण को हल करें।

x2 – 2x - 3 = 0. यह वर्गाकार है, तो चलिए विवेचक का उपयोग करते हैं।

डी = 4 – 4 (-3) = 16;

एक्स 1 \u003d (2 + 4) / 2 \u003d 3;

एक्स 2 = (2 – 4) / 2 = -1.

तीनों प्राप्त मूल O.D.Z को संतुष्ट करते हैं।

इसलिए, हम उनका अंकगणितीय माध्य ज्ञात करते हैं और इसे छह गुना बढ़ाते हैं:

6 (-1 + 3 + 0) / 3 = 4

वास्तव में, समीकरणों को हल करने की आलेखीय विधि का प्रयोग बहुत कम होता है। यह इस तथ्य के कारण है कि कार्यों का चित्रमय प्रतिनिधित्व केवल समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है। मूल रूप से, इस पद्धति का उपयोग उन कार्यों में किया जाता है जहां समीकरण की जड़ों की खोज करना महत्वपूर्ण नहीं है - उनके संख्यात्मक मान, लेकिन केवल उनकी संख्या।

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समीकरणों का आलेखीय हल

सुनहरे दिन, 2009

परिचय

लेकिन गुणांक बी और सी के सभी संभावित संयोजनों के साथ द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य नियम, यूरोप में केवल 1544 में एम। स्टीफेल द्वारा तैयार किया गया था।

प्राचीन बेबीलोन में कुछ प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल किया जा सकता था।

अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस तथा यूक्लिड , अल-ख्वारिज्मीतथा उमर खय्यामज्यामितीय और चित्रमय तरीकों से हल किए गए समीकरण।

7वीं कक्षा में हमने कार्यों का अध्ययन किया वाई \u003d सी, वाई = केएक्स , वाई = केएक्स + एम , वाई = एक्स 2 ,वाई = - एक्स 2 , आठवीं कक्षा में - वाई = एक्स , वाई = |एक्स |, वाई = कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी , वाई = क / एक्स. 9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यपुस्तक में, मैंने ऐसे कार्य देखे जो अभी तक मुझे ज्ञात नहीं थे: वाई = एक्स 3 , वाई = एक्स 4 ,वाई = एक्स 2 एन , वाई = एक्स - 2 एन , वाई = 3 √एक्स , ( एक्स – एक ) 2 + (वाई - बी ) 2 = आर 2 और अन्य। इन कार्यों के रेखांकन बनाने के नियम हैं। मैं सोच रहा था कि क्या ऐसे अन्य कार्य हैं जो इन नियमों का पालन करते हैं।

1. कार्य क्या हैं

फ़ंक्शन का ग्राफ़ समन्वय विमान के सभी बिंदुओं का समूह है, जिनमें से एब्सिसास तर्कों के मूल्यों के बराबर हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संबंधित मानों के बराबर हैं।

रैखिक कार्य समीकरण द्वारा दिया गया है वाई = केएक्स + बी, कहाँ पे कतथा बी- कुछ नंबर। इस फ़ंक्शन का आलेख एक सीधी रेखा है।

उलटा आनुपातिक कार्य वाई = क / एक्स, जहां k¹ 0. इस फलन के ग्राफ को अतिपरवलय कहते हैं।

समारोह ( एक्स – एक ) 2 + (वाई - बी ) 2 = आर 2 , कहाँ पे एक , बीतथा आर- कुछ नंबर। इस फलन का आलेख बिन्दु A पर केन्द्रित त्रिज्या r का एक वृत्त है। एक , बी).

द्विघात फंक्शन आप = कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सीकहाँ पे एक, बी , साथ- कुछ नंबर और एक 0. इस फलन का आलेख एक परवलय है।

समीकरण वाई 2 ( एक – एक्स ) = एक्स 2 ( एक + एक्स ) . इस समीकरण का ग्राफ एक वक्र होगा जिसे स्ट्रोफॉइड कहा जाता है।

समीकरण ( एक्स 2 + आप 2 ) 2 = एक ( एक्स 2 – आप 2 ) . इस समीकरण के ग्राफ को बर्नौली लेम्निस्केट कहा जाता है।

समीकरण। इस समीकरण के ग्राफ को एस्ट्रोइड कहते हैं।

वक्र (एक्स 2 वाई 2 - 2 ए एक्स) 2 \u003d 4 ए 2 (एक्स 2 + वाई 2). इस वक्र को कार्डियोइड कहा जाता है।

कार्य: वाई = एक्स 3 - घन परवलय, वाई = एक्स 4 , वाई = 1/ एक्स 2 .

2. एक समीकरण की अवधारणा, उसका आलेखीय हल

समीकरणएक चर युक्त अभिव्यक्ति है।

3. किसी फलन का आलेख बनाने के लिए एल्गोरिथम

फलन का ग्राफ जानना वाई = एफ ( एक्स ) , आप कार्यों की साजिश कर सकते हैं वाई = एफ ( एक्स + एम ) ,वाई = एफ ( एक्स )+ मैंतथा वाई = एफ ( एक्स + एम )+ मैं. ये सभी ग्राफ़ फ़ंक्शन के ग्राफ़ से प्राप्त किए गए हैं वाई = एफ ( एक्स ) समानांतर अनुवाद परिवर्तन का उपयोग करना: on │ एम │ x-अक्ष के अनुदिश दाएँ या बाएँ स्केल इकाइयाँ और on │ मैं │ स्केल इकाइयों को अक्ष के साथ ऊपर या नीचे आप .

4. द्विघात समीकरण का आलेखीय हल

द्विघात फलन के उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम द्विघात समीकरण के आलेखीय हल पर विचार करेंगे। द्विघात फलन का आलेख एक परवलय होता है।

प्राचीन यूनानियों को परवलय के बारे में क्या पता था?

आधुनिक गणितीय प्रतीकवाद की उत्पत्ति 16वीं शताब्दी में हुई थी।

एक परवलय के निर्माण के लिए एक एल्गोरिथ्म है:

हम परवलय A (x 0; y 0) के शीर्ष के निर्देशांक पाते हैं: एक्स 0 = - बी /2 एक ;

वाई 0 \u003d कुल्हाड़ी लगभग 2 + 0 + सी में;

हम परवलय की समरूपता की धुरी पाते हैं (सीधी रेखा x \u003d x 0);

नियंत्रण बिंदुओं के निर्माण के लिए मूल्यों की एक तालिका संकलित करना;

1. आइए एल्गोरिथम के अनुसार एक परवलय का निर्माण करें आप = एक्स 2 – 2 एक्स – 3 . अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं का भुज एक्सऔर द्विघात समीकरण के मूल हैं एक्स 2 – 2 एक्स – 3 = 0.

इस समीकरण को आलेखीय रूप से हल करने के पाँच तरीके हैं।

2. आइए समीकरण को दो कार्यों में विभाजित करें: आप = एक्स 2 तथा आप = 2 एक्स + 3

3. आइए समीकरण को दो कार्यों में विभाजित करें: आप = एक्स 2 –3 तथा आप =2 एक्स. समीकरण की जड़ें रेखा के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज हैं।

4. समीकरण को रूपांतरित करें एक्स 2 – 2 एक्स – 3 = 0 फ़ंक्शन पर पूर्ण वर्ग का चयन करके: आप = ( एक्स –1) 2 तथा आप =4. समीकरण की जड़ें रेखा के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज हैं।

5. हम पद को समीकरण के दोनों भागों से विभाजित करते हैं एक्स 2 – 2 एक्स – 3 = 0 पर एक्स, हम पाते हैं एक्स – 2 – 3/ एक्स = 0 आइए इस समीकरण को दो कार्यों में विभाजित करें: आप = एक्स – 2, आप = 3/ एक्स . समीकरण की जड़ें रेखा और अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज हैं।

5. डिग्री समीकरणों का आलेखीय समाधान एन

उदाहरण 1प्रश्न हल करें एक्स 5 = 3 – 2 एक्स .

आप = एक्स 5 , आप = 3 – 2 एक्स .

उत्तर:एक्स = 1.

उदाहरण 2प्रश्न हल करें 3 √ एक्स = 10 – एक्स .

इस समीकरण की जड़ें दो कार्यों के रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है: आप = 3 √ एक्स , आप = 10 – एक्स .

उत्तर:एक्स = 8।

निष्कर्ष

फ़ंक्शन ग्राफ़ को ध्यान में रखते हुए: वाई = कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी , वाई = क / एक्स , वाई = एक्स , वाई = |एक्स |, वाई = एक्स 3 , वाई = एक्स 4 ,वाई = 3 √एक्स , मैंने देखा कि ये सभी ग्राफ अक्षों के सापेक्ष समानांतर अनुवाद के नियम के अनुसार बनाए गए हैं एक्सतथा आप .

अगले साल मैं समीकरणों और असमानताओं की प्रणालियों के ग्राफिकल समाधान के मुद्दों पर भी विचार करना चाहता हूं।

साहित्य

5. जर्नल गणित 5 2009; नंबर 8 2007; नंबर 23 2008।

समीकरणों को हल करने का एक तरीका चित्रमय विधि है। यह कार्यों की साजिश रचने और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करने पर आधारित है। द्विघात समीकरण a*x^2+b*x+c=0 को हल करने के लिए एक ग्राफिकल तरीके पर विचार करें।

हल करने का पहला तरीका

आइए समीकरण a*x^2+b*x+c=0 को a*x^2 =-b*x-c के रूप में रूपांतरित करें। हम दो कार्यों y= a*x^2 (पैराबोला) और y=-b*x-c (सीधी रेखा) के ग्राफ बनाते हैं। चौराहे के बिंदुओं की तलाश में। प्रतिच्छेदन बिंदुओं का भुज समीकरण का हल होगा।

आइए एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं:समीकरण को हल करें x^2-2*x-3=0.

आइए इसे x^2 =2*x+3 में रूपांतरित करें। हम एक समन्वय प्रणाली में y= x^2 और y=2*x+3 कार्यों के ग्राफ बनाते हैं।

रेखांकन दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। उनके एब्सिसास हमारे समीकरण की जड़ें होंगे।

सूत्र समाधान

आश्वस्त होने के लिए, हम विश्लेषणात्मक रूप से इस समाधान की जांच करते हैं। हम तय करेंगे द्विघात समीकरणसूत्र के अनुसार:

डी = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1।

माध्यम, समाधान मेल।

समीकरणों को हल करने की आलेखीय पद्धति में भी इसकी खामियां हैं, इसकी सहायता से समीकरण का सटीक समाधान प्राप्त करना हमेशा संभव नहीं होता है। आइए समीकरण x^2=3+x को हल करने का प्रयास करें।

आइए एक ही समन्वय प्रणाली में एक परवलय y=x^2 और एक सीधी रेखा y=3+x का निर्माण करें।

फिर से मिल गया समान चित्र. एक रेखा और एक परवलय दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। परंतु सटीक मानहम इन बिंदुओं का भुज नहीं कह सकते, केवल अनुमानित बिंदु: x≈-1.3 x≈2.3।

यदि हम ऐसी सटीकता के उत्तरों से संतुष्ट हैं, तो हम इस पद्धति का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन ऐसा कम ही होता है। आमतौर पर सटीक समाधान की आवश्यकता होती है। इसलिए, ग्राफिकल विधि का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, और मुख्य रूप से मौजूदा समाधानों की जांच करने के लिए।

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