प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता

यदि t चलने का समय (घंटों में) है, s तय की गई दूरी (किलोमीटर में) है, और वह समान रूप से 4 किमी/घंटा की गति से चलता है, तो इन मात्राओं के बीच संबंध सूत्र s = 4t द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। चूँकि t का प्रत्येक मान s के अद्वितीय मान से मेल खाता है, हम कह सकते हैं कि सूत्र s = 4t का उपयोग करके एक फलन दिया गया है। इसे प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है और इसे निम्नानुसार परिभाषित किया जाता है।

परिभाषा। प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसे सूत्र y \u003d kx का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, जहां k एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या है।

फ़ंक्शन का नाम y \u003d k x इस तथ्य के कारण है कि सूत्र y \u003d kx में चर x और y हैं, जो मात्राओं के मान हो सकते हैं। और यदि दो मानों का अनुपात शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या के बराबर हो तो वे कहलाते हैं सीधे आनुपातिक . हमारे मामले में = k (k≠0)। इस नंबर को कहा जाता है आनुपातिकता कारक।

फलन y = k x है गणित का मॉडलकई वास्तविक स्थितियों पर पहले से ही गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में विचार किया गया है। उनमें से एक ऊपर वर्णित है। एक और उदाहरण: यदि एक पैकेज में 2 किलो आटा है, और x ऐसे पैकेज खरीदे जाते हैं, तो खरीदे गए आटे के पूरे द्रव्यमान (हम इसे y द्वारा निरूपित करते हैं) को सूत्र y \u003d 2x के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात। पैकेजों की संख्या और खरीदे गए आटे के कुल द्रव्यमान के बीच का संबंध गुणांक k=2 के साथ सीधे आनुपातिक है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता के कुछ गुणों को याद करें, जिनका अध्ययन गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में किया जाता है।

1. फ़ंक्शन का डोमेन y \u003d k x और उसके मानों का डोमेन वास्तविक संख्याओं का समूह है।

2. प्रत्यक्ष आनुपातिकता का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। इसलिए, प्रत्यक्ष आनुपातिकता का एक ग्राफ बनाने के लिए, केवल एक बिंदु खोजने के लिए पर्याप्त है जो इससे संबंधित है और मूल के साथ मेल नहीं खाता है, और फिर इस बिंदु और मूल के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = 2x को प्लॉट करने के लिए, निर्देशांक (1, 2) के साथ एक बिंदु होना पर्याप्त है, और फिर इसके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना और मूल (चित्र। 7)।

3. k > 0 के लिए, फलन y = kx परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है; काँटा< 0 - убывает на всей области определения.

4. यदि फलन f एक प्रत्यक्ष आनुपातिकता है और (x 1, y 1), (x 2, y 2) - चर x और y, और x 2 0 के संगत मानों के जोड़े हैं।

दरअसल, यदि फ़ंक्शन f एक प्रत्यक्ष आनुपातिकता है, तो इसे सूत्र y \u003d kx, और फिर y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2 द्वारा दिया जा सकता है। चूँकि x 2 0 और k≠0 पर, तो y 2 ​​0। इसीलिए और मतलब।

यदि चर x और y के मान धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो प्रत्यक्ष आनुपातिकता का सिद्ध गुण निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: चर x के मान में कई गुना वृद्धि (कमी) के साथ, चर y का संगत मान उसी राशि से बढ़ता (घटता) है।

यह गुण केवल प्रत्यक्ष आनुपातिकता में निहित है, और इसका उपयोग शब्द समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है जिसमें सीधे आनुपातिक मात्रा पर विचार किया जाता है।

टास्क 1. 8 घंटे में टर्नर ने 16 पार्ट्स बनाए। एक टर्नर को 48 भागों को बनाने में कितने घंटे लगेंगे यदि वह समान उत्पादकता पर कार्य करता है?

समाधान। समस्या मात्राओं पर विचार करती है - टर्नर का समय, उसके द्वारा बनाए गए भागों की संख्या और उत्पादकता (यानी 1 घंटे में टर्नर द्वारा निर्मित भागों की संख्या), बाद वाला मान स्थिर होना, और अन्य दो लेना विभिन्न अर्थ. इसके अलावा, बनाए गए भागों की संख्या और काम का समय सीधे आनुपातिक है, क्योंकि उनका अनुपात एक निश्चित संख्या के बराबर है जो शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात्, 1 घंटे में टर्नर द्वारा बनाए गए भागों की संख्या। यदि संख्या बनाए गए भागों को y अक्षर से निरूपित किया जाता है, कार्य का समय x है, और प्रदर्शन - k, तो हमें वह = k या y = kx मिलता है, अर्थात। समस्या में प्रस्तुत स्थिति का गणितीय मॉडल प्रत्यक्ष आनुपातिकता है।

समस्या को दो अंकगणितीय तरीकों से हल किया जा सकता है:

1 रास्ता: 2 रास्ता:

1) 16:8 = 2 (बच्चे) 1) 48:16 = 3 (बार)

2) 48:2 = 24(एच) 2) 8-3 = 24(एच)

समस्या को पहले तरीके से हल करते हुए, हमने पहले आनुपातिकता गुणांक k पाया, यह 2 के बराबर है, और फिर, यह जानकर कि y \u003d 2x, हमने x का मान पाया, बशर्ते कि y \u003d 48।

समस्या को दूसरे तरीके से हल करते समय, हमने प्रत्यक्ष आनुपातिकता की संपत्ति का उपयोग किया: टर्नर द्वारा बनाए गए भागों की संख्या कितनी बार बढ़ जाती है, उनके निर्माण के लिए समय की मात्रा उसी राशि से बढ़ जाती है।

आइए अब हम व्युत्क्रम आनुपातिकता नामक एक फलन पर विचार करें।

यदि t पैदल चलने वालों की गति (घंटों में) का समय है, v उसकी गति (किमी/घंटा में) है और वह 12 किमी चला है, तो इन मानों के बीच संबंध को सूत्र v∙t = 20 या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। वी =।

चूँकि t (t 0) का प्रत्येक मान वेग v के एकल मान से मेल खाता है, हम कह सकते हैं कि सूत्र v = का उपयोग करके एक फलन दिया गया है। इसे व्युत्क्रम आनुपातिकता कहा जाता है और इसे निम्नानुसार परिभाषित किया जाता है।

परिभाषा। व्युत्क्रम आनुपातिकता एक फ़ंक्शन है जिसे सूत्र y \u003d का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, जहां k एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या है।

इस फ़ंक्शन का नाम इस तथ्य से आता है कि वाई = चर x और y हैं, जो मात्राओं के मान हो सकते हैं। और यदि दो राशियों का गुणनफल शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या के बराबर हो, तो वे व्युत्क्रमानुपाती कहलाते हैं। हमारे मामले में, xy = k(k 0)। इस संख्या k को आनुपातिकता का गुणांक कहा जाता है।

समारोह वाई = गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में पहले से ही मानी जाने वाली कई वास्तविक स्थितियों का गणितीय मॉडल है। उनमें से एक को व्युत्क्रम आनुपातिकता की परिभाषा से पहले वर्णित किया गया है। एक और उदाहरण: यदि आपने 12 किलो आटा खरीदा और इसे एल में डाल दिया: प्रत्येक y किलो के डिब्बे, तो इन मात्राओं के बीच संबंध को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है एक्स-y= 12, यानी यह गुणांक k=12 के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

गणित के स्कूली पाठ्यक्रम से ज्ञात व्युत्क्रमानुपाती के कुछ गुणों को याद करें।

1. फंक्शन स्कोप वाई = और इसका परिसर x शून्येतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

2. प्रतिलोम आनुपातिकता ग्राफ एक अतिपरवलय है।

3. k > 0 के लिए, अतिपरवलय की शाखाएं पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्थित हैं और फलन वाई = x के संपूर्ण प्रांत पर घट रहा है (चित्र 8)।

चावल। 8 चित्र.9

जब को< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция वाई = x के पूरे क्षेत्र में बढ़ रहा है (चित्र 9)।

4. यदि फलन f व्युत्क्रमानुपाती है और (x 1, y 1), (x 2, y 2) चर x और y के संगत मानों के युग्म हैं, तो।

वास्तव में, यदि फलन f व्युत्क्रमानुपाती है, तो इसे सूत्र द्वारा दिया जा सकता है वाई = ,और फिर . चूँकि x 1 0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, तब

यदि चर x और y के मान सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो व्युत्क्रम आनुपातिकता की यह संपत्ति निम्नानुसार तैयार की जा सकती है: चर x के मान में कई बार वृद्धि (कमी) के साथ, चर का संगत मान y समान मात्रा में घटता (बढ़ता) है।

यह गुण केवल व्युत्क्रमानुपाती में निहित है, और इसका उपयोग उन शब्द समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है जिनमें व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं पर विचार किया जाता है।

समस्या 2. एक साइकिल चालक, 10 किमी/घण्टा की गति से चलते हुए, A से B तक की दूरी को 6 घंटे में तय करता है।

समाधान। समस्या निम्नलिखित मात्राओं पर विचार करती है: साइकिल चालक की गति, गति का समय और ए से बी की दूरी, बाद वाला मूल्य स्थिर है, और अन्य दो अलग-अलग मान लेते हैं। इसके अलावा, गति और गति का समय व्युत्क्रमानुपाती होता है, क्योंकि उनका उत्पाद एक निश्चित संख्या के बराबर होता है, अर्थात् यात्रा की गई दूरी। यदि साइकिल चालक की गति का समय y अक्षर से दर्शाया जाता है, गति x है, और दूरी AB k है, तो हमें वह xy \u003d k या y \u003d, अर्थात् मिलता है। समस्या में प्रस्तुत स्थिति का गणितीय मॉडल व्युत्क्रमानुपाती है।

आप समस्या को दो तरीकों से हल कर सकते हैं:

1 रास्ता: 2 रास्ता:

1) 10-6 = 60 (किमी) 1) 20:10 = 2 (बार)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3 (एच)

समस्या को पहले तरीके से हल करते हुए, हमने पहले आनुपातिकता गुणांक k पाया, यह 60 के बराबर है, और फिर, यह जानकर कि y \u003d, हमने y का मान पाया, बशर्ते कि x \u003d 20।

समस्या को दूसरे तरीके से हल करते समय, हमने व्युत्क्रम आनुपातिकता संपत्ति का उपयोग किया: कितनी बार गति की गति बढ़ जाती है, समान दूरी की यात्रा करने का समय उसी राशि से कम हो जाता है।

ध्यान दें कि व्युत्क्रमानुपाती या सीधे आनुपातिक मात्रा के साथ विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, x और y पर कुछ प्रतिबंध लगाए जाते हैं, विशेष रूप से, उन्हें वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट पर नहीं, बल्कि इसके सबसेट पर माना जा सकता है।

समस्या 3. लीना ने x पेंसिलें खरीदीं, और कात्या ने 2 गुना अधिक खरीदी। कात्या द्वारा खरीदी गई पेंसिलों की संख्या को y के रूप में निरूपित करें, y को x के रूप में व्यक्त करें, और स्थापित पत्राचार ग्राफ को प्लॉट करें, बशर्ते कि x 5। क्या यह मैच एक फंक्शन है? इसकी परिभाषा का क्षेत्र और मूल्यों की सीमा क्या है?

समाधान। कात्या ने u = 2 पेंसिलें खरीदीं। फ़ंक्शन y=2x को प्लॉट करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि चर x पेंसिल और x≤5 की संख्या को दर्शाता है, जिसका अर्थ है कि यह केवल 0, 1, 2, 3, 4 के मान ले सकता है, 5. यह इस फ़ंक्शन का डोमेन होगा। इस फ़ंक्शन की सीमा प्राप्त करने के लिए, आपको परिभाषा के क्षेत्र से प्रत्येक मान x को 2 से गुणा करना होगा, अर्थात। यह एक समुच्चय (0, 2, 4, 6, 8, 10) होगा। इसलिए, परिभाषा के डोमेन (0, 1, 2, 3, 4, 5) के साथ फ़ंक्शन y \u003d 2x का ग्राफ चित्र 10 में दिखाए गए बिंदुओं का समूह होगा। ये सभी बिंदु रेखा y \u003d से संबंधित हैं 2x।

आप वीडियो पाठों की सहायता से सीखने के लाभों के बारे में अंतहीन बात कर सकते हैं। सबसे पहले, वे स्पष्ट रूप से और समझदारी से, लगातार और संरचित विचारों को व्यक्त करते हैं। दूसरे, वे एक निश्चित निश्चित समय लेते हैं, अक्सर खिंचे हुए और थकाऊ नहीं होते हैं। तीसरा, वे सामान्य पाठों की तुलना में छात्रों के लिए अधिक रोमांचक होते हैं जिनके वे आदी होते हैं। आप उन्हें सुकून भरे माहौल में देख सकते हैं।

गणित पाठ्यक्रम से कई कार्यों में, कक्षा 6 के छात्र प्रत्यक्ष और विपरीत आनुपातिकता का सामना करेंगे। इस विषय का अध्ययन शुरू करने से पहले, यह याद रखने योग्य है कि अनुपात क्या हैं और उनके पास कौन सी मूल संपत्ति है।

विषय "अनुपात" पिछले वीडियो पाठ के लिए समर्पित है। यह एक तार्किक निरंतरता है। यह ध्यान देने योग्य है कि विषय काफी महत्वपूर्ण है और अक्सर सामना किया जाता है। इसे एक बार और सभी के लिए ठीक से समझ लेना चाहिए।

विषय के महत्व को दिखाने के लिए, वीडियो ट्यूटोरियल एक कार्य से शुरू होता है। स्थिति स्क्रीन पर दिखाई देती है और उद्घोषक द्वारा इसकी घोषणा की जाती है। डेटा रिकॉर्डिंग एक आरेख के रूप में दी गई है ताकि वीडियो रिकॉर्डिंग देखने वाला छात्र इसे यथासंभव सर्वोत्तम समझ सके। यह बेहतर होगा कि वह पहली बार रिकॉर्डिंग के इस रूप का पालन करें।

अज्ञात, जैसा कि ज्यादातर मामलों में प्रथागत है, की पहचान की जाती है लैटिन अक्षरएक्स। इसे खोजने के लिए, आपको पहले मानों को क्रॉसवाइज से गुणा करना होगा। इस प्रकार, दो अनुपातों की समानता प्राप्त की जाएगी। इससे पता चलता है कि इसका अनुपात के साथ क्या संबंध है और यह उनकी मुख्य संपत्ति को याद रखने योग्य है। कृपया ध्यान दें कि सभी मान माप की एक ही इकाई में दिए गए हैं। नहीं तो उन्हें उसी आयाम में लाना जरूरी था।

वीडियो में समाधान विधि देखने के बाद ऐसे कार्यों में कोई कठिनाई नहीं आनी चाहिए। उद्घोषक प्रत्येक चाल पर टिप्पणी करता है, सभी कार्यों की व्याख्या करता है, अध्ययन की गई सामग्री को याद करता है जिसका उपयोग किया जाता है।

वीडियो ट्यूटोरियल का पहला भाग देखने के तुरंत बाद "आगे और उलटा" आनुपातिक निर्भरताआप छात्र को उसी समस्या को बिना किसी संकेत के हल करने की पेशकश कर सकते हैं। उसके बाद, एक वैकल्पिक कार्य प्रस्तावित किया जा सकता है।

छात्र की मानसिक क्षमताओं के आधार पर, आप बाद के कार्यों की जटिलता को धीरे-धीरे बढ़ा सकते हैं।

पहली मानी गई समस्या के बाद, सीधे आनुपातिक मात्रा की परिभाषा दी गई है। परिभाषा उद्घोषक द्वारा पढ़ी जाती है। मुख्य अवधारणा को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है।

इसके बाद एक अन्य समस्या का प्रदर्शन किया जाता है, जिसके आधार पर व्युत्क्रमानुपाती संबंध की व्याख्या की जाती है। छात्र के लिए इन अवधारणाओं को एक नोटबुक में लिखना सबसे अच्छा है। यदि आवश्यक हो तो पहले नियंत्रण कार्य, छात्र आसानी से सभी नियमों और परिभाषाओं को ढूंढ सकता है और फिर से पढ़ सकता है।

इस वीडियो को देखने के बाद, छठा ग्रेडर समझ जाएगा कि कुछ कार्यों में अनुपात का उपयोग कैसे किया जाता है। यह काफी है महत्वपूर्ण विषयकिसी भी परिस्थिति में चूकना नहीं चाहिए। यदि छात्र को अन्य छात्रों के बीच पाठ के दौरान शिक्षक द्वारा प्रस्तुत सामग्री को समझने के लिए अनुकूलित नहीं किया जाता है, तो ऐसे सीखने के संसाधन एक महान मोक्ष होंगे!

प्रत्यक्ष आनुपातिकता की अवधारणा

कल्पना कीजिए कि आप अपनी पसंदीदा कैंडी (या जो भी आपको वास्तव में पसंद है) खरीदने की सोच रहे हैं। दुकान में मिठाइयों की अपनी कीमत है। मान लीजिए 300 रूबल प्रति किलोग्राम। आप जितनी अधिक कैंडी खरीदेंगे, अधिक पैसेभुगतान करना। यही है, यदि आप 2 किलोग्राम चाहते हैं - 600 रूबल का भुगतान करें, और यदि आप 3 किलो चाहते हैं - 900 रूबल दें। इससे सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है, है ना?

यदि हाँ, तो अब आपके लिए यह स्पष्ट हो गया है कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता क्या है - यह एक अवधारणा है जो एक दूसरे पर निर्भर दो मात्राओं के अनुपात का वर्णन करती है। और इन मात्राओं का अनुपात अपरिवर्तित और स्थिर रहता है: उनमें से कितने भागों में से एक बढ़ता या घटता है, उसी संख्या के अनुसार दूसरा बढ़ता या घटता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता को निम्न सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है: f(x) = a*x, और इस सूत्र में a एक स्थिर मान (a = const) है। हमारे कैंडी उदाहरण में, कीमत स्थिर है, स्थिर है। यह बढ़ता या घटता नहीं है, चाहे आप कितनी भी मिठाई खरीदने का फैसला कर लें। स्वतंत्र चर (तर्क) x यह है कि आप कितने किलोग्राम मिठाई खरीदने जा रहे हैं। और आश्रित चर f(x) (फ़ंक्शन) यह है कि आप अपनी खरीदारी के लिए कितना पैसा चुकाते हैं। तो हम सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं: 600 आर। = 300 आर। * 2 किग्रा.

मध्यवर्ती निष्कर्ष यह है: यदि तर्क बढ़ता है, तो कार्य भी बढ़ता है, यदि तर्क घटता है, तो कार्य भी घटता है

कार्य और उसके गुण

प्रत्यक्ष आनुपातिक कार्यएक विशेष मामला है रैखिक प्रकार्य. यदि रैखिक कार्य y = k*x + b है, तो प्रत्यक्ष आनुपातिकता के लिए यह इस तरह दिखता है: y = k*x, जहां k को आनुपातिकता कारक कहा जाता है, और यह हमेशा एक गैर-शून्य संख्या होती है। k की गणना करना आसान है - यह एक फ़ंक्शन और एक तर्क के भागफल के रूप में पाया जाता है: k = y/x।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए एक और उदाहरण लेते हैं। कल्पना कीजिए कि एक कार बिंदु A से बिंदु B की ओर बढ़ रही है। इसकी गति 60 किमी/घंटा है। यदि हम यह मान लें कि गति की गति स्थिर रहती है, तो इसे अचर माना जा सकता है। और फिर हम शर्तों को फॉर्म में लिखते हैं: S \u003d 60 * t, और यह सूत्र प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन y \u003d k * x के समान है। आइए आगे एक समानांतर बनाएं: यदि k \u003d y / x, तो कार की गति की गणना की जा सकती है, A और B के बीच की दूरी और सड़क पर बिताए गए समय को जानकर: V \u003d S / t।

और अब, प्रत्यक्ष आनुपातिकता के बारे में ज्ञान के लागू अनुप्रयोग से, आइए इसके कार्य पर वापस आते हैं। जिसके गुणों में शामिल हैं:

इसकी परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं (साथ ही इसके उपसमुच्चय) का समुच्चय है;

समारोह विषम है;

चरों में परिवर्तन संख्या रेखा की पूरी लंबाई के सीधे आनुपातिक होता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता और उसका ग्राफ

प्रत्यक्ष आनुपातिक फलन का ग्राफ एक सीधी रेखा है जो मूल बिंदु को काटती है। इसे बनाने के लिए, केवल एक और बिंदु को चिह्नित करना पर्याप्त है। और इसे और लाइन की उत्पत्ति को कनेक्ट करें।

ग्राफ के मामले में, k ढलान है। यदि ढलान शून्य से कम है (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), ग्राफ और एक्स-अक्ष रूप तेज़ कोने, और समारोह बढ़ रहा है।

और प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन के ग्राफ की एक और संपत्ति सीधे ढलान k से संबंधित है। मान लीजिए कि हमारे पास दो गैर-समान कार्य हैं और तदनुसार, दो ग्राफ़ हैं। इसलिए, यदि इन फलनों के गुणांक k समान हैं, तो उनके रेखांकन निर्देशांक अक्ष पर समानांतर होते हैं। और यदि गुणांक k एक दूसरे के बराबर नहीं हैं, तो रेखांकन प्रतिच्छेद करते हैं।

कार्य उदाहरण

आइए एक जोड़े का फैसला करें प्रत्यक्ष आनुपातिकता की समस्या

आइए सरल शुरू करें।

टास्क 1: कल्पना कीजिए कि 5 मुर्गियों ने 5 दिनों में 5 अंडे दिए। और यदि 20 मुर्गियाँ हों, तो वे 20 दिनों में कितने अंडे देंगी?

हल: अज्ञात को x से निरूपित करें। और हम इस प्रकार तर्क देंगे: कितनी बार अधिक मुर्गियां हुई हैं? 20 को 5 से भाग दें और उसे 4 बार ज्ञात करें। और उसी 5 दिनों में 20 मुर्गियाँ कितनी गुना अधिक अंडे देंगी? साथ ही 4 गुना ज्यादा। तो, हम अपना पाते हैं: 5 * 4 * 4 \u003d 20 दिनों में 20 मुर्गियों द्वारा 80 अंडे दिए जाएंगे।

अब उदाहरण थोड़ा और जटिल है, आइए न्यूटन के "सामान्य अंकगणित" से समस्या को दोबारा दोहराएं। टास्क 2: एक लेखक 8 दिनों में एक नई किताब के 14 पेज लिख सकता है। यदि उसके पास सहायक होते, तो 12 दिनों में 420 पृष्ठ लिखने में कितने लोगों की आवश्यकता होती?

समाधान: हम तर्क देते हैं कि काम की मात्रा में वृद्धि के साथ लोगों (लेखक + सहायकों) की संख्या बढ़ जाती है यदि इसे उसी समय में किया जाना था। लेकिन कितनी बार? 420 को 14 से भाग देने पर हम पाते हैं कि यह 30 गुना बढ़ जाता है। लेकिन चूंकि, कार्य की स्थिति के अनुसार, कार्य के लिए अधिक समय दिया जाता है, सहायकों की संख्या में 30 गुना वृद्धि नहीं होती है, लेकिन इस तरह: x \u003d 1 (लेखक) * 30 (बार): 12/8 (दिन)। आइए रूपांतरित करें और पता करें कि x = 20 लोग 12 दिनों में 420 पृष्ठ लिखेंगे।

आइए एक और समस्या को हल करें जो हमारे उदाहरणों में थी।

टास्क 3: दो कारें एक ही यात्रा पर निकलीं। एक 70 किमी/घंटा की गति से आगे बढ़ रहा था और उतनी ही दूरी 2 घंटे में तय करता था, जितनी 7 घंटे में। दूसरी कार की गति ज्ञात कीजिए।

समाधान: जैसा कि आपको याद है, पथ गति और समय के माध्यम से निर्धारित होता है - एस = वी * टी। चूँकि दोनों कारों ने एक ही तरह से यात्रा की, हम दो भावों की बराबरी कर सकते हैं: 70*2 = V*7। हम कहाँ पाते हैं कि दूसरी कार की गति V = 70*2/7 = 20 किमी/घंटा है।

और प्रत्यक्ष आनुपातिक कार्यों के साथ कार्यों के कुछ और उदाहरण। कभी-कभी समस्याओं में गुणांक k ज्ञात करना आवश्यक होता है।

कार्य 4: कार्यों को देखते हुए y \u003d - x / 16 और y \u003d 5x / 2, उनके आनुपातिकता गुणांक निर्धारित करते हैं।

हल: जैसा कि आपको याद है, k = y/x. इसलिए, पहले फ़ंक्शन के लिए, गुणांक -1/16 है, और दूसरे के लिए, k = 5/2।

और हो सकता है कि आपको टास्क 5 जैसे कार्य का भी सामना करना पड़े: प्रत्यक्ष आनुपातिकता सूत्र लिखिए। इसका ग्राफ और फ़ंक्शन y \u003d -5x + 3 का ग्राफ समानांतर में स्थित हैं।

हल: शर्त में हमें जो फलन दिया गया है वह रैखिक है। हम जानते हैं कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक रैखिक फलन का एक विशेष मामला है। और हम यह भी जानते हैं कि यदि k फलनों के गुणांक समान हों, तो उनके आलेख समानांतर होते हैं। इसका मतलब यह है कि एक ज्ञात फ़ंक्शन के गुणांक की गणना करना और परिचित सूत्र का उपयोग करके प्रत्यक्ष आनुपातिकता निर्धारित करना आवश्यक है: y \u003d k * x। गुणांक k \u003d -5, प्रत्यक्ष आनुपातिकता: y \u003d -5 * x।

निष्कर्ष

अब आपने सीख लिया है (या याद किया है, यदि आप इस विषय को पहले ही कवर कर चुके हैं), जिसे कहा जाता है प्रत्यक्ष आनुपातिकता, और इसे माना उदाहरण. हमने प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन और इसके ग्राफ के बारे में भी बात की, उदाहरण के लिए कुछ समस्याओं को हल किया।

यदि यह लेख उपयोगी था और विषय को समझने में मदद करता है, तो हमें टिप्पणियों में इसके बारे में बताएं। ताकि हमें पता चले कि क्या हम आपको फायदा पहुंचा सकते हैं।

blog.site, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक की आवश्यकता है।

निर्भरता प्रकार

बैटरी चार्जिंग पर विचार करें। पहले मान के रूप में, आइए इसे चार्ज होने में लगने वाला समय लें। दूसरा मान वह समय है जब यह चार्ज करने के बाद काम करेगा। बैटरी जितनी लंबी चार्ज होगी, उतनी ही देर तक चलेगी। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहेगी जब तक बैटरी पूरी तरह चार्ज नहीं हो जाती।

चार्ज किए जाने के समय पर बैटरी जीवन की निर्भरता

टिप्पणी 1

इस निर्भरता को कहा जाता है सीधा:

जैसे-जैसे एक मान बढ़ता है, दूसरा भी बढ़ता है। जैसे-जैसे एक मान घटता है, दूसरा मान भी घटता जाता है।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें।

विद्यार्थी जितनी अधिक पुस्तकें पढ़ेगा, वह श्रुतलेख में उतनी ही कम गलतियाँ करेगा। या आप जितने ऊंचे पहाड़ों पर चढ़ेंगे, वायुमंडलीय दबाव उतना ही कम होगा।

टिप्पणी 2

इस निर्भरता को कहा जाता है उल्टा:

जैसे-जैसे एक मान बढ़ता है, दूसरा घटता जाता है। जैसे ही एक मान घटता है, दूसरा मान बढ़ता है।

इस प्रकार, मामले में प्रत्यक्ष निर्भरतादोनों मात्राएँ समान रूप से बदलती हैं (दोनों या तो बढ़ती हैं या घटती हैं), और स्थिति में उलटा नाता- विपरीत (एक बढ़ता है और दूसरा घटता है, या इसके विपरीत)।

मात्राओं के बीच निर्भरता का निर्धारण

उदाहरण 1

किसी मित्र से मिलने में लगने वाला समय $20$ मिनट है। गति में वृद्धि (पहले मूल्य की) के साथ $2$ गुना, हम पाएंगे कि कैसे समय (दूसरा मूल्य) एक दोस्त के रास्ते पर खर्च किया जाएगा बदल जाएगा।

जाहिर है, समय $ 2$ गुना कम हो जाएगा।

टिप्पणी 3

इस निर्भरता को कहा जाता है आनुपातिक:

कितनी बार एक मान बदलता है, कितनी बार दूसरा बदलेगा।

उदाहरण 2

एक दुकान में 2 डॉलर की रोटी के लिए, आपको 80 रूबल का भुगतान करना होगा। यदि आपको $4$ की रोटियाँ खरीदने की आवश्यकता है (रोटी की मात्रा $ 2$ गुना बढ़ जाती है), तो आपको और कितना भुगतान करना होगा?

जाहिर है, लागत भी $ 2 $ गुना बढ़ जाएगी। हमारे पास आनुपातिक निर्भरता का एक उदाहरण है।

दोनों उदाहरणों में, आनुपातिक निर्भरता पर विचार किया गया। लेकिन रोटी के उदाहरण में, मूल्य एक दिशा में बदलते हैं, इसलिए निर्भरता है सीधा. और उदाहरण में एक दोस्त की यात्रा के साथ, गति और समय के बीच संबंध है उल्टा. इस प्रकार, वहाँ है सीधे आनुपातिक संबंधतथा व्युत्क्रमानुपाती संबंध.

प्रत्यक्ष आनुपातिकता

$ 2$ आनुपातिक मात्रा पर विचार करें: रोटी की रोटियों की संख्या और उनकी लागत। बता दें कि $2$ रोटियों की कीमत $80$ रूबल है। रोल की संख्या में $4$ गुना ($8$ रोल) की वृद्धि के साथ, उनकी कुल लागत $320$ रूबल होगी।

रोल की संख्या का अनुपात: $\frac(8)(2)=4$।

रोल लागत अनुपात: $\frac(320)(80)=4$।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ये अनुपात एक दूसरे के बराबर हैं:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$।

परिभाषा 1

दो सम्बन्धों की समानता कहलाती है अनुपात.

सीधे आनुपातिक संबंध के साथ, एक अनुपात प्राप्त होता है जब पहले और दूसरे मूल्यों में परिवर्तन समान होता है:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$।

परिभाषा 2

दो मात्राओं को कहा जाता है सीधे आनुपातिकयदि, उनमें से एक को बदलते (बढ़ते या घटते) करते हैं, तो दूसरा मान उसी राशि से बदलता है (तदनुसार बढ़ता या घटता है)।

उदाहरण 3

कार ने $2$ घंटे में $180$ किमी की यात्रा की। उसे समान गति से $2$ गुना दूरी तय करने में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए।

समाधान.

समय दूरी के सीधे आनुपातिक है:

$t=\frac(S)(v)$।

कितनी बार दूरी बढ़ेगी, नियत गति से समय में उतनी ही वृद्धि होगी:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$।

कार ने $180$ किमी की यात्रा की - $2$ घंटे . के समय में

कार $180 \cdot 2=360$ किमी की यात्रा करती है - $x$ घंटे के समय में

कार जितनी अधिक दूरी तय करेगी, उतना ही अधिक समय लगेगा। इसलिए, मात्राओं के बीच संबंध सीधे आनुपातिक है।

आइए एक अनुपात बनाएं:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

उत्तर: कार को $4$ घंटे की आवश्यकता होगी।

व्युत्क्रम आनुपातिकता

परिभाषा 3

समाधान.

समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है:

$t=\frac(S)(v)$।

कितनी बार गति बढ़ जाती है, एक ही रास्ते से, उसी मात्रा से समय कम हो जाता है:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$।

आइए तालिका के रूप में समस्या की स्थिति लिखें:

कार ने $60$ किमी की यात्रा की - $6$ घंटे के समय में

एक कार $120$ किमी की यात्रा करती है - $x$ घंटे के समय में

कार जितनी तेज होगी, उतना ही कम समय लगेगा। इसलिए, मात्राओं के बीच संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है।

आइए अनुपात बनाते हैं।

इसलिये आनुपातिकता व्युत्क्रम है, हम दूसरे अनुपात को अनुपात में बदलते हैं:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

उत्तर: कार को $3$ घंटे की आवश्यकता होगी।

I. सीधे आनुपातिक मात्रा।

मान दें आपआकार पर निर्भर करता है एक्स. यदि वृद्धि के साथ एक्सकई गुना आकार परएक ही कारक से बढ़ता है, तो ऐसे मूल्य एक्सतथा परसीधे आनुपातिक कहा जाता है।

उदाहरण।

1 . खरीदे गए सामान की मात्रा और खरीद की लागत (माल की एक इकाई की निश्चित कीमत पर - 1 टुकड़ा या 1 किलो, आदि) कितनी गुना अधिक माल खरीदा, कितनी बार अधिक और भुगतान किया।

2 . तय की गई दूरी और उस पर बिताया गया समय (स्थिर गति से)। कितना गुना लंबा रास्ता हम उस पर और कितना समय बिताएंगे।

3 . किसी पिंड का आयतन और उसका द्रव्यमान। ( अगर एक तरबूज दूसरे से 2 गुना बड़ा है, तो उसका द्रव्यमान 2 गुना बड़ा होगा)

द्वितीय. मात्राओं के प्रत्यक्ष आनुपातिकता की संपत्ति।

यदि दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक हैं, तो पहली मात्रा के दो मनमाना मानों का अनुपात दूसरी मात्रा के दो संगत मानों के अनुपात के बराबर होता है।

कार्य 1।रास्पबेरी जैम के लिए 12 किलोरसभरी और 8 किलोसहारा। कितनी चीनी लेनी पड़ेगी 9 किलोरसभरी?

समाधान।

हम इस तरह तर्क देते हैं: इसे आवश्यक होने दें एक्स किलोचीनी पर 9 किलोरसभरी रसभरी का द्रव्यमान और चीनी का द्रव्यमान सीधे समानुपाती होता है: कितनी बार कम रसभरी, उतनी ही मात्रा में चीनी की आवश्यकता होती है। इसलिए, लिया (वजन के अनुसार) रसभरी का अनुपात ( 12:9 ) ली गई चीनी के अनुपात के बराबर होगा ( 8:x) हमें अनुपात मिलता है:

12: 9=8: एक्स;

एक्स = 9 · 8: 12;

एक्स = 6। उत्तर:पर 9 किलोरास्पबेरी लेने के लिए 6 किलोसहारा।

समस्या का समाधानइस तरह किया जा सकता था:

पर चलो 9 किलोरास्पबेरी लेने के लिए एक्स किलोसहारा।

(आकृति में तीर एक दिशा में निर्देशित हैं, और यह ऊपर या नीचे कोई फर्क नहीं पड़ता। अर्थ: कितनी बार संख्या 12 अधिक संख्या 9 , वही संख्या 8 अधिक संख्या एक्स, यानी, यहाँ प्रत्यक्ष निर्भरता है)।

उत्तर:पर 9 किलोरास्पबेरी लेने के लिए 6 किलोसहारा।

कार्य 2.कार के लिए 3 घंटेयात्रा की दूरी 264 किमी. उसे कितना समय लगेगा 440 किमीअगर यह एक ही गति से यात्रा करता है?

समाधान।

चलो x घंटेकार दूरी तय करेगी 440 किमी.

उत्तर:कार गुजर जाएगी 5 घंटे में 440 किमी.