प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता

यदि t वह समय है जब पैदल यात्री चल रहा है (घंटों में), s तय की गई दूरी (किलोमीटर में) है, और वह समान रूप से 4 किमी / घंटा की गति से चलता है, तो इन मात्राओं के बीच संबंध सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है s = 4t। चूँकि t का प्रत्येक मान s के अद्वितीय मान से मेल खाता है, हम कह सकते हैं कि सूत्र s = 4t का उपयोग करके एक फलन दिया गया है। इसे प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है और इसे निम्नानुसार परिभाषित किया जाता है।

परिभाषा। प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसे सूत्र y \u003d kx का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, जहां k एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या है।

फ़ंक्शन का नाम y \u003d k x इस तथ्य के कारण है कि सूत्र y \u003d kx में चर x और y हैं, जो मात्राओं के मान हो सकते हैं। और यदि दो मानों का अनुपात शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या के बराबर हो तो वे कहलाते हैं सीधे आनुपातिक . हमारे मामले में = के (के≠0)। इस नंबर को कहा जाता है आनुपातिकता कारक।

फलन y = k x है गणित का मॉडलकई वास्तविक स्थितियों पर पहले से ही गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में विचार किया गया है। उनमें से एक ऊपर वर्णित है। एक और उदाहरण: यदि एक पैकेज में 2 किलो आटा है, और x ऐसे पैकेज खरीदे जाते हैं, तो खरीदे गए आटे के पूरे द्रव्यमान (हम इसे y द्वारा निरूपित करते हैं) को सूत्र y \u003d 2x के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात। पैकेजों की संख्या और खरीदे गए आटे के कुल द्रव्यमान के बीच का संबंध गुणांक k=2 के साथ सीधे आनुपातिक है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता के कुछ गुणों को याद करें, जिनका अध्ययन गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में किया जाता है।

1. फ़ंक्शन का डोमेन y \u003d k x और उसके मानों का डोमेन वास्तविक संख्याओं का समूह है।

2. प्रत्यक्ष आनुपातिकता का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। इसलिए, प्रत्यक्ष आनुपातिकता का एक ग्राफ बनाने के लिए, केवल एक बिंदु खोजने के लिए पर्याप्त है जो इससे संबंधित है और मूल के साथ मेल नहीं खाता है, और फिर इस बिंदु और मूल के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = 2x को प्लॉट करने के लिए, निर्देशांक (1, 2) के साथ एक बिंदु होना पर्याप्त है, और फिर इसके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना और मूल (चित्र। 7)।

3. k > 0 के लिए, फलन y = kx परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है; काँटा< 0 - убывает на всей области определения.

4. यदि फलन f एक प्रत्यक्ष आनुपातिकता है और (x 1, y 1), (x 2, y 2) - चर x और y, और x 2 0 के संगत मानों के जोड़े हैं।

दरअसल, यदि फ़ंक्शन f एक प्रत्यक्ष आनुपातिकता है, तो इसे सूत्र y \u003d kx, और फिर y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2 द्वारा दिया जा सकता है। चूँकि x 2 0 और k≠0 पर, तो y 2 ​​0। इसीलिए और मतलब।

यदि चर x और y के मान धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो प्रत्यक्ष आनुपातिकता का सिद्ध गुण निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: चर x के मान में कई गुना वृद्धि (कमी) के साथ, चर y का संगत मान उसी राशि से बढ़ता (घटता) है।

यह गुण केवल प्रत्यक्ष आनुपातिकता में निहित है, और इसका उपयोग शब्द समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है जिसमें सीधे आनुपातिक मात्रा पर विचार किया जाता है।

टास्क 1. 8 घंटे में टर्नर ने 16 पार्ट्स बनाए। एक टर्नर को 48 भागों को बनाने में कितने घंटे लगेंगे यदि वह समान उत्पादकता पर कार्य करता है?

समाधान। समस्या मात्राओं पर विचार करती है - टर्नर का समय, उसके द्वारा बनाए गए भागों की संख्या और उत्पादकता (अर्थात 1 घंटे में टर्नर द्वारा निर्मित भागों की संख्या), बाद वाला मान स्थिर है, और अन्य दो ले रहे हैं विभिन्न अर्थ. इसके अलावा, बनाए गए भागों की संख्या और काम का समय सीधे आनुपातिक है, क्योंकि उनका अनुपात एक निश्चित संख्या के बराबर है जो शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात् 1 घंटे में टर्नर द्वारा बनाए गए भागों की संख्या। यदि संख्या बनाए गए भागों को y अक्षर से निरूपित किया जाता है, कार्य का समय x है, और प्रदर्शन - k, तो हमें वह = k या y = kx मिलता है, अर्थात। समस्या में प्रस्तुत स्थिति का गणितीय मॉडल प्रत्यक्ष आनुपातिकता है।

समस्या को दो अंकगणितीय तरीकों से हल किया जा सकता है:

1 रास्ता: 2 रास्ता:

1) 16:8 = 2 (बच्चे) 1) 48:16 = 3 (बार)

2) 48:2 = 24(एच) 2) 8-3 = 24(एच)

समस्या को पहले तरीके से हल करते हुए, हमने पहले आनुपातिकता गुणांक k पाया, यह 2 के बराबर है, और फिर, यह जानकर कि y \u003d 2x, हमने x का मान पाया, बशर्ते कि y \u003d 48।

समस्या को दूसरे तरीके से हल करते समय, हमने प्रत्यक्ष आनुपातिकता की संपत्ति का उपयोग किया: टर्नर द्वारा बनाए गए भागों की संख्या कितनी बार बढ़ जाती है, उनके निर्माण के लिए समय की मात्रा उसी राशि से बढ़ जाती है।

आइए अब हम व्युत्क्रम आनुपातिकता नामक एक फलन पर विचार करें।

यदि t पैदल यात्री की गति का समय है (घंटों में), v उसकी गति (किमी/घंटा में) है और वह 12 किमी चला, तो इन मानों के बीच संबंध को सूत्र v∙t = 20 या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है वी =।

चूँकि t (t 0) का प्रत्येक मान वेग v के एकल मान से मेल खाता है, हम कह सकते हैं कि सूत्र v = का उपयोग करके एक फलन दिया गया है। इसे व्युत्क्रम आनुपातिकता कहा जाता है और इसे निम्नानुसार परिभाषित किया जाता है।

परिभाषा। व्युत्क्रम आनुपातिकता एक फ़ंक्शन है जिसे सूत्र y \u003d का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, जहां k एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या है।

इस फ़ंक्शन का नाम इस तथ्य से आता है कि वाई = चर x और y हैं, जो मात्राओं के मान हो सकते हैं। और यदि दो राशियों का गुणनफल शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या के बराबर हो, तो वे व्युत्क्रमानुपाती कहलाते हैं। हमारे मामले में, xy = k(k 0)। इस संख्या k को आनुपातिकता का गुणांक कहा जाता है।

समारोह वाई = गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में पहले से ही मानी जाने वाली कई वास्तविक स्थितियों का गणितीय मॉडल है। उनमें से एक को व्युत्क्रम आनुपातिकता की परिभाषा से पहले वर्णित किया गया है। एक और उदाहरण: यदि आपने 12 किलो आटा खरीदा और इसे एल में डाल दिया: प्रत्येक y किलो के डिब्बे, तो इन मात्राओं के बीच संबंध को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है एक्स-y= 12, यानी यह गुणांक k=12 के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

गणित के स्कूली पाठ्यक्रम से ज्ञात व्युत्क्रमानुपाती के कुछ गुणों को याद करें।

1. फंक्शन स्कोप वाई = और इसका परिसर x शून्येतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

2. प्रतिलोम आनुपातिकता ग्राफ एक अतिपरवलय है।

3. k > 0 के लिए, अतिपरवलय की शाखाएं पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्थित हैं और फलन वाई = x के संपूर्ण प्रांत पर घट रहा है (चित्र 8)।

चावल। 8 चित्र.9

जब को< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция वाई = x के पूरे क्षेत्र में बढ़ रहा है (चित्र 9)।

4. यदि फलन f व्युत्क्रमानुपाती है और (x 1, y 1), (x 2, y 2) चर x और y के संगत मानों के युग्म हैं, तो।

वास्तव में, यदि फलन f व्युत्क्रमानुपाती है, तो इसे सूत्र द्वारा दिया जा सकता है वाई = ,और फिर . चूँकि x 1 0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, तब

यदि चर x और y के मान सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो व्युत्क्रम आनुपातिकता की यह संपत्ति निम्नानुसार तैयार की जा सकती है: चर x के मान में कई बार वृद्धि (कमी) के साथ, चर का संगत मान y समान मात्रा में घटता (बढ़ता) है।

यह गुण केवल व्युत्क्रमानुपाती में निहित है, और इसका उपयोग उन शब्द समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है जिनमें व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं पर विचार किया जाता है।

समस्या 2. एक साइकिल चालक, 10 किमी/घण्टा की गति से चलते हुए, A से B तक की दूरी को 6 घंटे में तय करता है।

समाधान। समस्या निम्नलिखित मात्राओं पर विचार करती है: साइकिल चालक की गति, गति का समय और ए से बी की दूरी, बाद वाला मूल्य स्थिर है, और अन्य दो अलग-अलग मान लेते हैं। इसके अलावा, गति और गति का समय व्युत्क्रमानुपाती होता है, क्योंकि उनका उत्पाद एक निश्चित संख्या के बराबर होता है, अर्थात् यात्रा की गई दूरी। यदि साइकिल चालक की गति का समय y अक्षर से दर्शाया जाता है, गति x है, और दूरी AB k है, तो हमें वह xy \u003d k या y \u003d, अर्थात् मिलता है। समस्या में प्रस्तुत स्थिति का गणितीय मॉडल व्युत्क्रमानुपाती है।

आप समस्या को दो तरीकों से हल कर सकते हैं:

1 रास्ता: 2 रास्ता:

1) 10-6 = 60 (किमी) 1) 20:10 = 2 (बार)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3 (एच)

समस्या को पहले तरीके से हल करते हुए, हमने पहले आनुपातिकता गुणांक k पाया, यह 60 के बराबर है, और फिर, यह जानकर कि y \u003d, हमने y का मान पाया, बशर्ते कि x \u003d 20।

समस्या को दूसरे तरीके से हल करते समय, हमने व्युत्क्रम आनुपातिकता संपत्ति का उपयोग किया: कितनी बार गति की गति बढ़ जाती है, समान दूरी की यात्रा करने का समय उसी राशि से कम हो जाता है।

ध्यान दें कि व्युत्क्रमानुपाती या सीधे आनुपातिक मात्रा के साथ विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, x और y पर कुछ प्रतिबंध लगाए जाते हैं, विशेष रूप से, उन्हें वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट पर नहीं, बल्कि इसके सबसेट पर माना जा सकता है।

समस्या 3. लीना ने x पेंसिलें खरीदीं, और कात्या ने 2 गुना अधिक खरीदी। कात्या द्वारा खरीदी गई पेंसिलों की संख्या को y के रूप में निरूपित करें, y को x के रूप में व्यक्त करें, और स्थापित पत्राचार ग्राफ को प्लॉट करें, बशर्ते कि x 5। क्या यह मैच एक फंक्शन है? इसकी परिभाषा का क्षेत्र और मूल्यों की सीमा क्या है?

समाधान। कात्या ने u = 2 पेंसिलें खरीदीं। फ़ंक्शन y=2x को प्लॉट करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि चर x पेंसिल और x≤5 की संख्या को दर्शाता है, जिसका अर्थ है कि यह केवल 0, 1, 2, 3, 4 के मान ले सकता है, 5. यह इस फ़ंक्शन का डोमेन होगा। इस फ़ंक्शन की सीमा प्राप्त करने के लिए, आपको परिभाषा के क्षेत्र से प्रत्येक मान x को 2 से गुणा करना होगा, अर्थात। यह एक समुच्चय (0, 2, 4, 6, 8, 10) होगा। इसलिए, परिभाषा के डोमेन (0, 1, 2, 3, 4, 5) के साथ फ़ंक्शन y \u003d 2x का ग्राफ चित्र 10 में दिखाए गए बिंदुओं का समूह होगा। ये सभी बिंदु रेखा y \u003d से संबंधित हैं 2x।

आज हम देखेंगे कि किन राशियों को व्युत्क्रमानुपाती कहा जाता है, व्युत्क्रमानुपाती ग्राफ कैसा दिखता है, और यह सब न केवल गणित के पाठों में, बल्कि स्कूल की दीवारों के बाहर भी आपके लिए कैसे उपयोगी हो सकता है।

ऐसे भिन्न अनुपात

समानतादो राशियों के नाम लिखिए जो परस्पर एक दूसरे पर निर्भर हैं।

निर्भरता प्रत्यक्ष और विपरीत हो सकती है। इसलिए, मात्राओं के बीच संबंध प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता का वर्णन करता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- यह दो राशियों के बीच एक ऐसा संबंध है, जिसमें उनमें से एक में वृद्धि या कमी दूसरे में वृद्धि या कमी की ओर ले जाती है। वे। उनका रवैया नहीं बदलता।

उदाहरण के लिए, आप परीक्षा की तैयारी में जितना अधिक प्रयास करेंगे, आपके ग्रेड उतने ही अधिक होंगे। या जितनी अधिक चीजें आप अपने साथ हाइक पर ले जाते हैं, उतना ही मुश्किल होता है कि आप अपना बैकपैक ले जाएं। वे। परीक्षा की तैयारी पर खर्च किए गए प्रयास की राशि सीधे प्राप्त ग्रेड के समानुपाती होती है। और बैकपैक में पैक की गई चीजों की संख्या सीधे उसके वजन के समानुपाती होती है।

व्युत्क्रम आनुपातिकता- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है जिसमें एक स्वतंत्र मूल्य के कई गुना कमी या वृद्धि (इसे एक तर्क कहा जाता है) एक आनुपातिक (यानी, एक ही राशि से) एक आश्रित मूल्य में वृद्धि या कमी का कारण बनता है (इसे एक फ़ंक्शन कहा जाता है) )

उदाहरण देकर स्पष्ट करना सरल उदाहरण. आप बाजार में सेब खरीदना चाहते हैं। काउंटर पर सेब और आपके बटुए में पैसे की मात्रा विपरीत रूप से संबंधित हैं। वे। आप जितने अधिक सेब खरीदेंगे, आपके पास उतने ही कम पैसे बचे होंगे।

फलन और उसका ग्राफ

व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है वाई = के / एक्स. जिसमें एक्स 0 और क≠ 0.

इस फ़ंक्शन में निम्नलिखित गुण हैं:

1. इसकी परिभाषा का क्षेत्र . को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है एक्स = 0. डी(आप): (-∞; 0) यू (0; +∞).
2. श्रेणी को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं आप= 0. ई (वाई): (-∞; 0) यू (0; +∞) .
3. इसका कोई अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है।
4. विषम है और इसका ग्राफ मूल के बारे में सममित है।
5. गैर-आवधिक।
6. इसका ग्राफ निर्देशांक अक्षों को नहीं काटता है।
7. कोई शून्य नहीं है।
8. यदि एक क> 0 (अर्थात तर्क बढ़ता है), फलन अपने प्रत्येक अंतराल पर आनुपातिक रूप से घटता है। यदि एक क< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. जैसे-जैसे तर्क बढ़ता है ( क> 0) नकारात्मक मानफ़ंक्शन अंतराल (-∞; 0) में हैं, और सकारात्मक - (0; +∞) हैं। जब तर्क कम हो रहा है ( क< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

प्रतिलोम आनुपातिकता फलन के ग्राफ को अतिपरवलय कहते हैं। इस प्रकार दर्शाया गया है:

व्युत्क्रम आनुपातिक समस्याएं

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए कुछ कार्यों को देखें। वे बहुत जटिल नहीं हैं, और उनका समाधान आपको यह कल्पना करने में मदद करेगा कि उलटा अनुपात क्या है और यह ज्ञान आपके दैनिक जीवन में कैसे उपयोगी हो सकता है।

टास्क नंबर 1. कार 60 किमी/घंटा की रफ्तार से आगे बढ़ रही है। उसे अपने गंतव्य तक पहुंचने में 6 घंटे लगे। यदि वह दुगनी गति से चलता है तो उसे उतनी ही दूरी तय करने में कितना समय लगेगा?

हम एक सूत्र लिखकर शुरू कर सकते हैं जो समय, दूरी और गति के संबंध का वर्णन करता है: टी = एस / वी। सहमत हूँ, यह हमें व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन की बहुत याद दिलाता है। और यह इंगित करता है कि कार सड़क पर जितना समय बिताती है, और जिस गति से चलती है, वह व्युत्क्रमानुपाती होती है।

इसे सत्यापित करने के लिए, आइए V 2 खोजें, जो कि शर्त से 2 गुना अधिक है: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 किमी / घंटा। फिर हम सूत्र S = V * t = 60 * 6 = 360 किमी का उपयोग करके दूरी की गणना करते हैं। अब समस्या की स्थिति के अनुसार हमें जो समय t 2 की आवश्यकता है, उसका पता लगाना मुश्किल नहीं है: t 2 = 360/120 = 3 घंटे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यात्रा का समय और गति वास्तव में व्युत्क्रमानुपाती हैं: मूल गति से 2 गुना अधिक गति के साथ, कार सड़क पर 2 गुना कम समय बिताएगी।

इस समस्या का समाधान अनुपात के रूप में भी लिखा जा सकता है। हम इस तरह का आरेख क्यों बनाते हैं:

↓ 60 किमी/घंटा - 6 घंटे

↓120 किमी/घंटा - x घंटा

तीर एक व्युत्क्रम संबंध का संकेत देते हैं। वे यह भी सुझाव देते हैं कि अनुपात बनाते समय दाईं ओररिकॉर्ड को उलट दिया जाना चाहिए: 60/120 = x/6। हमें x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 घंटे कहाँ मिलते हैं।

टास्क नंबर 2. कार्यशाला में 6 कर्मचारी कार्यरत हैं जो 4 घंटे में दिए गए कार्य को पूरा करते हैं। यदि श्रमिकों की संख्या आधी कर दी जाए, तो शेष श्रमिकों को समान कार्य को पूरा करने में कितना समय लगेगा?

हम समस्या की शर्तों को फॉर्म में लिखते हैं दृश्य योजना:

6 कर्मचारी - 4 घंटे

3 कार्यकर्ता - एक्स एच

आइए इसे अनुपात के रूप में लिखें: 6/3 = x/4। और हमें x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 घंटे मिलते हैं। यदि 2 गुना कम कर्मचारी हैं, तो बाकी सभी काम पूरा करने के लिए 2 गुना अधिक समय व्यतीत करेंगे।

टास्क नंबर 3. दो पाइप पूल की ओर ले जाते हैं। एक पाइप से पानी 2 l/s की दर से प्रवेश करता है और पूल को 45 मिनट में भर देता है। एक अन्य पाइप के माध्यम से, पूल 75 मिनट में भर जाएगा। इस पाइप से पानी कितनी तेजी से पूल में प्रवेश करता है?

आरंभ करने के लिए, हम समस्या की स्थिति के अनुसार हमें दी गई सभी मात्राओं को माप की समान इकाइयों में लाएंगे। ऐसा करने के लिए, हम पूल की भरने की दर को लीटर प्रति मिनट में व्यक्त करते हैं: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / मिनट।

चूंकि यह इस शर्त से अनुसरण करता है कि पूल दूसरे पाइप के माध्यम से अधिक धीरे-धीरे भर जाता है, इसका मतलब है कि पानी के प्रवाह की दर कम है। विपरीत अनुपात के चेहरे पर। आइए हम अज्ञात गति को x के रूप में व्यक्त करें और निम्नलिखित योजना बनाएं:

↓ 120 लीटर/मिनट - 45 मिनट

एक्स एल/मिनट - 75 मिनट

और फिर हम एक अनुपात बनाएंगे: 120 / x \u003d 75/45, जहां से x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / मिनट।

समस्या में, पूल की भरने की दर लीटर प्रति सेकंड में व्यक्त की जाती है, आइए अपने उत्तर को उसी रूप में लाएं: 72/60 = 1.2 l/s।

टास्क नंबर 4. बिजनेस कार्ड एक छोटे से निजी प्रिंटिंग हाउस में प्रिंट किए जाते हैं। प्रिंटिंग हाउस का एक कर्मचारी प्रति घंटे 42 बिजनेस कार्ड की गति से काम करता है और पूरे समय - 8 घंटे काम करता है। यदि वह तेजी से काम करता और प्रति घंटे 48 बिजनेस कार्ड प्रिंट करता, तो वह कितनी जल्दी घर जा सकता था?

हम एक सिद्ध तरीके से जाते हैं और समस्या की स्थिति के अनुसार एक योजना तैयार करते हैं, वांछित मान को x के रूप में दर्शाते हैं:

↓ 42 बिजनेस कार्ड/एच – 8 घंटे

↓ 48 बिजनेस कार्ड/एच - xh

हमारे सामने एक व्युत्क्रमानुपाती संबंध है: एक प्रिंटिंग हाउस का कर्मचारी प्रति घंटे कितनी बार अधिक व्यवसाय कार्ड प्रिंट करता है, उसी कार्य को पूरा करने में उसे उतना ही समय लगेगा। यह जानकर, हम अनुपात निर्धारित कर सकते हैं:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 घंटे।

इस प्रकार, 7 घंटे में काम पूरा करने के बाद, प्रिंटिंग हाउस का कर्मचारी एक घंटे पहले घर जा सकता था।

निष्कर्ष

हमें ऐसा लगता है कि ये कार्य हैं व्युत्क्रम आनुपातिकतावास्तव में जटिल। हम आशा करते हैं कि अब आप भी उन्हें ऐसा ही मानेंगे। और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि मात्राओं की व्युत्क्रमानुपाती निर्भरता का ज्ञान वास्तव में आपके लिए एक से अधिक बार उपयोगी हो सकता है।

सिर्फ गणित की कक्षाओं और परीक्षाओं में ही नहीं। लेकिन फिर भी, जब आप किसी यात्रा पर जा रहे हों, खरीदारी करने जाएं, छुट्टियों के दौरान कुछ पैसे कमाने का फैसला करें, आदि।

टिप्पणियों में हमें बताएं कि आप अपने आस-पास व्युत्क्रम और प्रत्यक्ष आनुपातिकता के कौन से उदाहरण देखते हैं। इसे एक खेल होने दो। आप देखेंगे कि यह कितना रोमांचक है। इस लेख को शेयर करना न भूलें सामाजिक नेटवर्क मेंताकि आपके दोस्त और सहपाठी भी खेल सकें।

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I. सीधे आनुपातिक मात्रा।

मान दें आपआकार पर निर्भर करता है एक्स. यदि वृद्धि के साथ एक्सकई गुना आकार परएक ही कारक से बढ़ता है, तो ऐसे मूल्य एक्सतथा परसीधे आनुपातिक कहा जाता है।

उदाहरण।

1 . खरीदे गए सामान की मात्रा और खरीद की लागत (माल की एक इकाई की निश्चित कीमत पर - 1 टुकड़ा या 1 किलो, आदि) कितनी गुना ज्यादा माल खरीदा, कितनी गुना ज्यादा और भुगतान किया।

2 . तय की गई दूरी और उस पर बिताया गया समय (स्थिर गति से)। कितना गुना लंबा रास्ता हम उस पर और कितना समय बिताएंगे।

3 . किसी पिंड का आयतन और उसका द्रव्यमान। ( अगर एक तरबूज दूसरे से 2 गुना बड़ा है, तो इसका द्रव्यमान 2 गुना बड़ा होगा)

द्वितीय. मात्राओं के प्रत्यक्ष आनुपातिकता की संपत्ति।

यदि दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक हैं, तो पहली मात्रा के दो मनमाना मानों का अनुपात दूसरी मात्रा के दो संगत मानों के अनुपात के बराबर होता है।

कार्य 1।रास्पबेरी जैम के लिए 12 किलोरसभरी और 8 किलोसहारा। कितनी चीनी लेनी पड़ेगी 9 किग्रारसभरी?

समाधान।

हम इस तरह तर्क देते हैं: इसे आवश्यक होने दें एक्स किलोचीनी पर 9 किग्रारसभरी रसभरी का द्रव्यमान और चीनी का द्रव्यमान सीधे समानुपाती होता है: कितनी बार कम रसभरी, उतनी ही मात्रा में चीनी की आवश्यकता होती है। इसलिए, लिया (वजन के अनुसार) रसभरी का अनुपात ( 12:9 ) ली गई चीनी के अनुपात के बराबर होगा ( 8:x) हमें अनुपात मिलता है:

12: 9=8: एक्स;

एक्स = 9 · 8: 12;

एक्स = 6। उत्तर:पर 9 किग्रारास्पबेरी लेने के लिए 6 किलोसहारा।

समस्या का समाधानइस तरह किया जा सकता था:

पर चलो 9 किग्रारास्पबेरी लेने के लिए एक्स किलोसहारा।

(आकृति में तीर एक दिशा में निर्देशित हैं, और यह ऊपर या नीचे कोई फर्क नहीं पड़ता। अर्थ: कितनी बार संख्या 12 अधिक संख्या 9 , वही संख्या 8 अधिक संख्या एक्स, यानी, यहाँ प्रत्यक्ष निर्भरता है)।

उत्तर:पर 9 किग्रारास्पबेरी लेने के लिए 6 किलोसहारा।

कार्य 2.कार के लिए 3 घंटेयात्रा की दूरी 264 किमी. उसे कितना समय लगेगा 440 किमीअगर यह एक ही गति से यात्रा करता है?

समाधान।

चलो x घंटेकार दूरी तय करेगी 440 किमी.

उत्तर:कार गुजर जाएगी 5 घंटे में 440 किमी.

कार्य 3.पानी पाइप से पूल में प्रवेश करता है। प्रति 2 घंटेवह भरती है 1/5 पोखर। पूल के किस हिस्से में पानी भरा है पांच बजे?

समाधान।

हम कार्य के प्रश्न का उत्तर देते हैं: के लिए पांच बजेभर ले 1/xपूल का हिस्सा। (पूरे पूल को एक पूरे के रूप में लिया जाता है)।

द्वारा पूरा किया गया: चेपकासोव रोडियोन

6 "बी" वर्ग के छात्र

MBOU "माध्यमिक विद्यालय नंबर 53"

बर्नऊल

सिर: बुलकिना ओ.जी.

गणित शिक्षक

MBOU "माध्यमिक विद्यालय नंबर 53"

बर्नऊल

परिचय। एक

संबंध और अनुपात। 3

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात। चार

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता का अनुप्रयोग 6

विभिन्न समस्याओं को हल करने में निर्भरता।

निष्कर्ष। ग्यारह

साहित्य। 12

परिचय।

अनुपात शब्द लैटिन शब्द अनुपात से आया है, जिसका अर्थ है सामान्य आनुपातिकता, भागों की समरूपता (एक दूसरे से भागों का एक निश्चित अनुपात)। प्राचीन काल में, पाइथागोरस द्वारा अनुपात के सिद्धांत को उच्च सम्मान में रखा गया था। अनुपात के साथ, उन्होंने प्रकृति में व्यवस्था और सुंदरता के बारे में विचारों को जोड़ा, संगीत में व्यंजन के बारे में और ब्रह्मांड में सद्भाव के बारे में। कुछ प्रकार के अनुपातों को वे संगीतमय या हार्मोनिक कहते हैं।

प्राचीन काल में भी, मनुष्य ने पाया कि प्रकृति की सभी घटनाएं एक-दूसरे से जुड़ी हुई हैं, कि सब कुछ निरंतर गति में है, बदलता है, और जब संख्याओं में व्यक्त किया जाता है, तो अद्भुत पैटर्न प्रकट होते हैं।

पाइथागोरस और उनके अनुयायी दुनिया में मौजूद हर चीज के लिए एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति की तलाश में थे। उन्होंने पाया; वह गणितीय अनुपात संगीत के अंतर्गत आता है (स्ट्रिंग की लंबाई से पिच का अनुपात, अंतराल के बीच संबंध, कॉर्ड में ध्वनियों का अनुपात जो एक हार्मोनिक ध्वनि देता है)। पाइथागोरस ने दुनिया की एकता के विचार को गणितीय रूप से प्रमाणित करने की कोशिश की, उन्होंने तर्क दिया कि ब्रह्मांड का आधार सममित ज्यामितीय आकार है। पाइथागोरस सुंदरता के लिए गणितीय औचित्य की तलाश में थे।

पाइथागोरस के बाद, मध्ययुगीन विद्वान ऑगस्टीन ने सुंदरता को "संख्यात्मक समानता" कहा। विद्वान दार्शनिक बोनावेंचर ने लिखा: "आनुपातिकता के बिना कोई सौंदर्य और आनंद नहीं है, लेकिन आनुपातिकता मुख्य रूप से संख्याओं में मौजूद है। यह आवश्यक है कि सब कुछ गणना योग्य हो।" कला में अनुपात के उपयोग के बारे में, लियोनार्डो दा विंची ने पेंटिंग पर अपने ग्रंथ में लिखा है: "चित्रकार प्रकृति में छिपे हुए समान पैटर्न के अनुपात के रूप में अवतार लेता है जिसे वैज्ञानिक एक संख्यात्मक कानून के रूप में जानता है।"

अनुपात का उपयोग पुरातनता और मध्य युग दोनों में विभिन्न समस्याओं को हल करने में किया जाता था। कुछ प्रकार की समस्याएं अब अनुपात का उपयोग करके आसानी से और जल्दी से हल हो जाती हैं। न केवल गणित में, बल्कि वास्तुकला और कला में भी अनुपात और आनुपातिकता का उपयोग किया गया है और किया जाता है। वास्तुकला और कला में आनुपातिकता का अर्थ है आकारों के बीच निश्चित अनुपात बनाए रखना। विभिन्न भागइमारतें, आकृतियाँ, मूर्तियां या कला के अन्य कार्य। ऐसे मामलों में आनुपातिकता सही और सुंदर निर्माण और छवि के लिए एक शर्त है

अपने काम में, मैंने कार्यों के माध्यम से शैक्षणिक विषयों के साथ संबंध का पता लगाने के लिए, आसपास के जीवन के विभिन्न क्षेत्रों में प्रत्यक्ष और व्युत्क्रमानुपाती संबंधों के उपयोग पर विचार करने की कोशिश की।

रिश्ते और अनुपात.

दो संख्याओं का भागफल कहलाता है रवैयाइन नंबर.

एटीट्यूड शोपहली संख्या कितनी बार एक सेकंड से अधिकया पहली संख्या दूसरे का कौन सा भाग है।

एक कार्य।

2.4 टन नाशपाती और 3.6 टन सेब स्टोर में लाए गए। आयातित फलों का कौन सा भाग नाशपाती है?

समाधान . ज्ञात कीजिए कि कुल कितने फल लाए गए: 2.4 + 3.6 = 6 (टी)। यह पता लगाने के लिए कि लाए गए फलों का कौन सा भाग नाशपाती है, हम अनुपात 2.4:6 = बनाएंगे। उत्तर इस प्रकार भी लिखा जा सकता है दशमलव अंशया प्रतिशत के रूप में: = 0.4 = 40%।

परस्पर उलटाबुलाया नंबर, जिनके उत्पाद 1 के बराबर हैं। इसलिए संबंध को व्युत्क्रम संबंध कहा जाता है।

दो समान अनुपातों पर विचार करें: 4.5:3 और 6:4। आइए उनके बीच एक समान चिन्ह लगाएं और अनुपात प्राप्त करें: 4.5:3=6:4।

अनुपातदो संबंधों की समानता है: a : b =c :d या = , जहां ए और डी हैं अनुपात की चरम शर्तें, सी और बी मध्य सदस्य(अनुपात की सभी शर्तें गैर-शून्य हैं)।

अनुपात की मूल संपत्ति:

सही अनुपात में, चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।

गुणन के क्रमविनिमेय गुण को लागू करने पर, हम पाते हैं कि सही अनुपात में, आप चरम पदों या मध्य पदों की अदला-बदली कर सकते हैं। परिणामी अनुपात भी सही होगा।

किसी अनुपात के मूल गुण का उपयोग करके, यदि अन्य सभी सदस्य ज्ञात हों, तो इसके अज्ञात सदस्य का पता लगाया जा सकता है।

अनुपात के अज्ञात चरम पद को ज्ञात करने के लिए, मध्य पदों को गुणा करना और ज्ञात चरम पद से भाग देना आवश्यक है। एक्स: बी = सी: डी, ​​एक्स =

अनुपात का अज्ञात मध्य पद ज्ञात करने के लिए, चरम पदों को गुणा करना होगा और ज्ञात मध्य पद से भाग देना होगा। ए: बी = एक्स: डी, ​​एक्स = .

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात।

दो भिन्न राशियों के मान परस्पर एक दूसरे पर निर्भर हो सकते हैं। तो, एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई पर निर्भर करता है, और इसके विपरीत - एक वर्ग की भुजा की लंबाई उसके क्षेत्रफल पर निर्भर करती है।

दो मात्राओं को आनुपातिक कहा जाता है यदि, वृद्धि के साथ

(कमी) उनमें से एक का कई गुना, दूसरा उसी राशि से बढ़ता (घटता) है।

यदि दो मात्राएँ सीधे समानुपाती हों, तो इन राशियों के संगत मानों के अनुपात समान होते हैं।

उदाहरण प्रत्यक्ष आनुपातिक संबंध .

गैस स्टेशन पर 2 लीटर पेट्रोल का वजन 1.6 किलो होता है। उनका वजन कितना होगा 5 लीटर पेट्रोल?

समाधान:

मिट्टी के तेल का भार उसके आयतन के समानुपाती होता है।

2l - 1.6 किग्रा

5 एल - एक्स किलो

2:5=1.6:x,

x \u003d 5 * 1.6 x \u003d 4

उत्तर : 4 किग्रा.

यहां वजन और आयतन का अनुपात अपरिवर्तित रहता है।

दो मात्राएँ व्युत्क्रमानुपाती कहलाती हैं, यदि उनमें से एक में कई गुना वृद्धि (घटती) हो, तो दूसरी समान मात्रा से घट (बढ़ती) हो।

यदि मात्राएँ व्युत्क्रमानुपाती होती हैं, तो एक मात्रा के मानों का अनुपात दूसरी मात्रा के संगत मानों के व्युत्क्रम अनुपात के बराबर होता है।

पी उदाहरणउलटा आनुपातिक संबंध।

दो आयतों का क्षेत्रफल समान है। पहले आयत की लंबाई 3.6 मीटर और चौड़ाई 2.4 मीटर है। दूसरे आयत की लंबाई 4.8 मीटर है। दूसरे आयत की चौड़ाई पाएं।

समाधान:

1 आयत 3.6 मी 2.4 मी

2 आयत 4.8 m x m

3.6 एमएक्स एम

4.8 मीटर 2.4 मी

एक्स \u003d 3.6 * 2.4 \u003d 1.8 एम

उत्तर : 1.8 मी.

जैसा कि आप देख सकते हैं, आनुपातिक मात्राओं की समस्याओं को अनुपातों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

प्रत्येक दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक या व्युत्क्रमानुपाती नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, बढ़ती उम्र के साथ बच्चे की लंबाई बढ़ती है, लेकिन ये मान आनुपातिक नहीं होते हैं, क्योंकि जब उम्र दोगुनी हो जाती है, तो बच्चे की ऊंचाई दोगुनी नहीं होती है।

प्रायोगिक उपयोगप्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता।

कार्य 1

पर स्कूल पुस्तकालय 210 गणित की पाठ्यपुस्तकें, जो कुल पुस्तकालय स्टॉक का 15% है। लाइब्रेरी स्टॉक में कितनी किताबें हैं?

समाधान:

कुल पाठ्यपुस्तकें - ? - 100%

गणितज्ञ - 210 -15%

15% 210 खाते

एक्स \u003d 100 * 210 \u003d 1400 पाठ्यपुस्तकें

100% एक्स खाता। पंद्रह

उत्तर: 1400 पाठ्यपुस्तकें।

कार्य #2

एक साइकिल चालक 3 घंटे में 75 किमी की यात्रा करता है। साइकिल चालक को समान गति से 125 किमी की यात्रा करने में कितना समय लगेगा?

समाधान:

3 घंटे - 75 किमी

एच - 125 किमी

समय और दूरी सीधे आनुपातिक हैं, इसलिए

3: एक्स = 75: 125,

एक्स =
,

एक्स = 5।

उत्तर: 5 घंटे।

कार्य #3

8 समान पाइप 25 मिनट में पूल को भरते हैं। ऐसे 10 पाइपों को पूल को भरने में कितने मिनट लगेंगे?

समाधान:

8 पाइप - 25 मिनट

10 पाइप - ? मिनट

पाइपों की संख्या समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए

8:10 = x:25,

एक्स =

एक्स = 20

उत्तर: 20 मिनट।

टास्क #4

8 श्रमिकों की एक टीम 15 दिनों में कार्य को पूरा करती है। समान उत्पादकता पर कार्य करते हुए कितने श्रमिक 10 दिनों में कार्य को पूरा कर सकते हैं?

समाधान:

8 कार्य - 15 दिन

कार्य - 10 दिन

श्रमिकों की संख्या दिनों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए

एक्स: 8 = 15: 10,

एक्स =
,

एक्स = 12।

उत्तर : 12 कर्मचारी।

टास्क नंबर 5

5.6 किलो टमाटर से 2 लीटर सॉस प्राप्त होता है। 54 किलो टमाटर से कितने लीटर सॉस प्राप्त किया जा सकता है?

समाधान:

5.6 किग्रा - 2 ली

54 किलो -? मैं

टमाटर के किलोग्राम की संख्या प्राप्त सॉस की मात्रा के सीधे आनुपातिक होती है, इसलिए

5.6: 54 = 2: x,

एक्स =
,

एक्स = 19।

उत्तर: 19 एल।

टास्क नंबर 6

स्कूल की इमारत को गर्म करने के लिए कोयले की खपत 180 दिनों के लिए खपत दर पर की जाती थी

प्रति दिन 0.6 टन कोयला। यदि प्रतिदिन 0.5 टन खपत की जाए तो यह भंडार कितने दिनों तक चलेगा?

समाधान:

दिनों की संख्या

खपत की दर

दिनों की संख्या कोयले की खपत दर के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए

180: x = 0.5: 0.6,

एक्स \u003d 180 * 0.6: 0.5,

एक्स = 216।

उत्तर: 216 दिन।

टास्क नंबर 7

लौह अयस्क में, लोहे के 7 भागों में 3 भाग अशुद्धियाँ होती हैं। एक अयस्क में कितने टन अशुद्धियाँ होती हैं जिसमें 73.5 टन लोहा होता है?

समाधान:

टुकड़ों की संख्या

वज़न

लोहा

73,5

दोष

भागों की संख्या सीधे द्रव्यमान के समानुपाती होती है, इसलिए

7: 73.5 = 3: x।

एक्स \u003d 73.5 * 3: 7,

एक्स = 31.5।

उत्तर: 31.5 टन

टास्क नंबर 8

35 लीटर पेट्रोल खर्च करके कार ने 500 किमी की दूरी तय की। 420 किमी की यात्रा के लिए आपको कितने लीटर गैसोलीन की आवश्यकता है?

समाधान:

दूरी, किमी

गैसोलीन, एल

दूरी सीधे गैसोलीन की खपत के समानुपाती होती है, इसलिए

500: 35 = 420: एक्स,

एक्स \u003d 35 * 420: 500,

एक्स = 29.4।

उत्तर: 29.4 लीटर

टास्क नंबर 9

2 घंटे में हमने 12 क्रूसियन को पकड़ा। 3 घंटे में कितने कार्प पकड़े जाएंगे?

समाधान:

क्रूसियन की संख्या समय पर निर्भर नहीं करती है। ये मात्राएँ न तो सीधे आनुपातिक हैं और न ही व्युत्क्रमानुपाती।

उत्तर: कोई उत्तर नहीं है।

टास्क नंबर 10

एक खनन उद्यम को प्रति व्यक्ति 12 हजार रूबल की कीमत पर एक निश्चित राशि के लिए 5 नई मशीनें खरीदने की आवश्यकता होती है। अगर एक कार की कीमत 15,000 रूबल हो जाए तो कंपनी इनमें से कितनी कारें खरीद सकती है?

समाधान:

कारों की संख्या, पीसी।

कीमत, हजार रूबल

कारों की संख्या लागत के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए

5:x=15:12,

एक्स = 5*12:15,

एक्स = 4।

उत्तर: 4 कारें।

टास्क नंबर 11

शहर मे एन वर्ग पी पर एक दुकान है जिसका मालिक इतना सख्त है कि वह प्रति दिन 1 देरी के लिए मजदूरी से 70 रूबल काटता है। दो लड़कियां यूलिया और नताशा एक विभाग में काम करती हैं। उन्हें वेतनकार्य दिवसों की संख्या पर निर्भर करता है। जूलिया को 20 दिनों में 4,100 रूबल मिले, और नताशा को 21 दिनों में और मिलना चाहिए था, लेकिन वह लगातार 3 दिनों तक लेट रही। नताशा को कितने रूबल मिलेंगे?

समाधान:

कार्य दिवस

वेतन, रगड़।

जूलिया

4100

नताशा

वेतन कार्य दिवसों की संख्या के सीधे आनुपातिक है, इसलिए

20: 21 = 4100: एक्स,

एक्स = 4305।

4305 रगड़। नताशा चाहिए।

4305 - 3 * 70 = 4095 (रगड़)

उत्तर: नताशा को 4095 रूबल मिलेंगे।

टास्क नंबर 12

मानचित्र पर दो शहरों के बीच की दूरी 6 सेमी है। जमीन पर इन शहरों के बीच की दूरी का पता लगाएं यदि नक्शा स्केल 1: 250000 है।

समाधान:

आइए x (सेंटीमीटर में) के माध्यम से जमीन पर शहरों के बीच की दूरी को निरूपित करें और नक्शे पर खंड की लंबाई और जमीन पर दूरी का अनुपात खोजें, जो नक्शे के पैमाने के बराबर होगा: 6: x \ u003d 1: 250000,

एक्स \u003d 6 * 250000,

एक्स = 1500000।

1500000 सेमी = 15 किमी

उत्तर : 15 किमी.

टास्क नंबर 13

4000 ग्राम घोल में 80 ग्राम नमक होता है। इस घोल में नमक की सांद्रता क्या है?

समाधान:

वजन, जी

एकाग्रता, %

समाधान

4000

नमक

4000: 80 = 100: एक्स,

एक्स =
,

एक्स = 2.

उत्तर: नमक की सांद्रता 2% है।

टास्क नंबर 14

बैंक 10% प्रतिवर्ष की दर से ऋण देता है। आपको 50,000 रूबल का ऋण मिला। एक साल में आपको बैंक को कितना भुगतान करना होगा?

समाधान:

50 000 रगड़।

100%

एक्स रगड़।

50000: x = 100: 10,

एक्स = 50000 * 10:100,

एक्स = 5000।

5000 रगड़। 10% है।

50,000 + 5000 = 55,000 (रूबल)

उत्तर: एक साल में 55,000 रूबल बैंक को वापस कर दिए जाएंगे।

निष्कर्ष।

जैसा कि हम उपरोक्त उदाहरणों से देख सकते हैं, प्रत्यक्ष और व्युत्क्रमानुपाती संबंध जीवन के विभिन्न क्षेत्रों में लागू होते हैं:

अर्थव्यवस्था,

व्यापार,

विनिर्माण और उद्योग में,

स्कूल जीवन,

खाना बनाना,

निर्माण और वास्तुकला।

खेल,

पशुपालन,

स्थलाकृति,

भौतिक विज्ञानी,

रसायन विज्ञान, आदि।

रूसी में, कहावत और कहावतें भी हैं जो प्रत्यक्ष और विपरीत संबंध स्थापित करती हैं:

जैसे ही यह चारों ओर आता है, वैसे ही यह प्रतिक्रिया देगा।

स्टंप जितना ऊंचा होगा, छाया उतनी ही ऊंची होगी।

जितने अधिक लोग, उतनी कम ऑक्सीजन।

और तैयार, हाँ मूर्खता।

गणित सबसे पुराने विज्ञानों में से एक है, यह मानव जाति की जरूरतों और जरूरतों के आधार पर पैदा हुआ है। गठन के इतिहास से गुजरने के बाद से प्राचीन ग्रीस, यह अभी भी प्रासंगिक और आवश्यक बनी हुई है रोजमर्रा की जिंदगीकिसी भी व्यक्ति। प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता की अवधारणा को प्राचीन काल से जाना जाता है, क्योंकि यह अनुपात के नियम थे जो किसी भी निर्माण या किसी भी मूर्तिकला के निर्माण के दौरान वास्तुकारों को स्थानांतरित करते थे।

मानव जीवन और गतिविधि के सभी क्षेत्रों में अनुपात का ज्ञान व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है - कोई उनके बिना चित्र (परिदृश्य, अभी भी जीवन, चित्र, आदि) को चित्रित करते समय नहीं कर सकता है, वे आर्किटेक्ट और इंजीनियरों के बीच भी व्यापक हैं - सामान्य तौर पर, यह कठिन है अनुपात और उनके संबंधों के बारे में ज्ञान के उपयोग के बिना किसी भी चीज़ के निर्माण की कल्पना करना।

साहित्य।

गणित-6, एन.वाई.ए. विलेनकिन और अन्य।

बीजगणित -7, जी.वी. डोरोफीव और अन्य।

गणित-9, जीआईए-9, एफ.एफ. द्वारा संपादित। लिसेंको, एस यू। कुलाबुखोव

गणित-6, उपदेशात्मक सामग्री, पी.वी. चुलकोव, ए.बी. यूडिनोव

ग्रेड 4-5 के लिए गणित में कार्य, चतुर्थ बारानोवा एट अल।, एम। "ज्ञानोदय" 1988

गणित ग्रेड 5-6 में कार्यों और उदाहरणों का संग्रह, एन.ए. तेरेशिन,

टी.एन. तेरेशिना, एम। "एक्वेरियम" 1997

आप वीडियो पाठों की सहायता से सीखने के लाभों के बारे में अंतहीन बात कर सकते हैं। सबसे पहले, वे स्पष्ट रूप से और समझदारी से, लगातार और संरचित विचारों को व्यक्त करते हैं। दूसरे, वे एक निश्चित निश्चित समय लेते हैं, अक्सर खिंचे हुए और थकाऊ नहीं होते हैं। तीसरा, वे सामान्य पाठों की तुलना में छात्रों के लिए अधिक रोमांचक होते हैं जिनके वे आदी होते हैं। आप उन्हें सुकून भरे माहौल में देख सकते हैं।

गणित पाठ्यक्रम से कई कार्यों में, कक्षा 6 के छात्र प्रत्यक्ष और विपरीत आनुपातिकता का सामना करेंगे। इस विषय का अध्ययन शुरू करने से पहले, यह याद रखने योग्य है कि अनुपात क्या हैं और उनके पास कौन सी मूल संपत्ति है।

विषय "अनुपात" पिछले वीडियो पाठ के लिए समर्पित है। यह एक तार्किक निरंतरता है। यह ध्यान देने योग्य है कि विषय काफी महत्वपूर्ण है और अक्सर सामना किया जाता है। इसे एक बार और सभी के लिए ठीक से समझ लेना चाहिए।

विषय के महत्व को दिखाने के लिए, वीडियो ट्यूटोरियल एक कार्य से शुरू होता है। स्थिति स्क्रीन पर दिखाई देती है और उद्घोषक द्वारा इसकी घोषणा की जाती है। डेटा रिकॉर्डिंग एक आरेख के रूप में दी गई है ताकि वीडियो रिकॉर्डिंग देखने वाला छात्र इसे यथासंभव सर्वोत्तम समझ सके। यह बेहतर होगा कि वह पहली बार रिकॉर्डिंग के इस रूप का पालन करें।

अज्ञात, जैसा कि ज्यादातर मामलों में प्रथागत है, की पहचान की जाती है लैटिन अक्षरएक्स। इसे खोजने के लिए, आपको पहले मानों को क्रॉसवाइज से गुणा करना होगा। इस प्रकार, दो अनुपातों की समानता प्राप्त की जाएगी। इससे पता चलता है कि इसका अनुपात के साथ क्या संबंध है और यह उनकी मुख्य संपत्ति को याद रखने योग्य है। कृपया ध्यान दें कि सभी मान माप की एक ही इकाई में दिए गए हैं। नहीं तो उन्हें उसी आयाम में लाना जरूरी था।

वीडियो में समाधान विधि देखने के बाद ऐसे कार्यों में कोई कठिनाई नहीं आनी चाहिए। उद्घोषक प्रत्येक चाल पर टिप्पणी करता है, सभी कार्यों की व्याख्या करता है, अध्ययन की गई सामग्री को याद करता है जिसका उपयोग किया जाता है।

वीडियो पाठ का पहला भाग "प्रत्यक्ष और व्युत्क्रमानुपाती संबंध" देखने के तुरंत बाद, आप छात्र को उसी समस्या को हल करने की पेशकश कर सकते हैं, बिना संकेतों की मदद के। उसके बाद, एक वैकल्पिक कार्य प्रस्तावित किया जा सकता है।

छात्र की मानसिक क्षमताओं के आधार पर, आप बाद के कार्यों की जटिलता को धीरे-धीरे बढ़ा सकते हैं।

पहली मानी गई समस्या के बाद, सीधे आनुपातिक मात्रा की परिभाषा दी गई है। परिभाषा उद्घोषक द्वारा पढ़ी जाती है। मुख्य अवधारणा को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है।

इसके बाद एक अन्य समस्या का प्रदर्शन किया जाता है, जिसके आधार पर व्युत्क्रमानुपाती संबंध की व्याख्या की जाती है। छात्र के लिए इन अवधारणाओं को एक नोटबुक में लिखना सबसे अच्छा है। यदि आवश्यक हो तो पहले नियंत्रण कार्य, छात्र आसानी से सभी नियमों और परिभाषाओं को ढूंढ सकता है और फिर से पढ़ सकता है।

इस वीडियो को देखने के बाद, छठा ग्रेडर समझ जाएगा कि कुछ कार्यों में अनुपात का उपयोग कैसे किया जाता है। यह काफी है महत्वपूर्ण विषयकिसी भी परिस्थिति में चूकना नहीं चाहिए। यदि छात्र को अन्य छात्रों के बीच पाठ के दौरान शिक्षक द्वारा प्रस्तुत सामग्री को समझने के लिए अनुकूलित नहीं किया जाता है, तो ऐसे सीखने के संसाधन एक महान मोक्ष होंगे!