बीजगणितीय जोड़ द्वारा प्रणाली को कैसे हल करें। ऑनलाइन कैलकुलेटर

बहुत बार, छात्रों को समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए एक विधि चुनना मुश्किल लगता है।

इस लेख में, हम सिस्टम को हल करने के तरीकों में से एक पर विचार करेंगे - प्रतिस्थापन विधि।

यदि दो समीकरणों का एक उभयनिष्ठ हल मिल जाता है, तो इन समीकरणों को एक निकाय कहते हैं। समीकरणों की एक प्रणाली में, प्रत्येक अज्ञात सभी समीकरणों में समान संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। यह दिखाने के लिए कि ये समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं, उन्हें आमतौर पर एक के नीचे एक लिखा जाता है और एक घुंघराले ब्रैकेट के साथ जोड़ा जाता है, उदाहरण के लिए

हम देखते हैं कि x = 15 और y = 5 के लिए निकाय के दोनों समीकरण सही हैं। संख्याओं का यह युग्म समीकरणों के निकाय का हल है। अज्ञात मानों का प्रत्येक युग्म जो एक साथ निकाय के दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, निकाय का हल कहलाता है।

एक प्रणाली का एक समाधान हो सकता है (जैसा कि हमारे उदाहरण में है), असीम रूप से कई समाधान, और कोई समाधान नहीं।

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को कैसे हल करें? यदि दोनों समीकरणों में किसी अज्ञात के गुणांक निरपेक्ष मान में समान हैं (यदि वे समान नहीं हैं, तो हम बराबर करते हैं), तो दोनों समीकरणों को जोड़कर (या एक को दूसरे से घटाकर), आप एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। फिर हम इस समीकरण को हल करते हैं। हम एक अज्ञात को परिभाषित करते हैं। हम अज्ञात के प्राप्त मूल्य को सिस्टम के समीकरणों में से एक (पहले या दूसरे में) में प्रतिस्थापित करते हैं। हम एक और अज्ञात पाते हैं। आइए इस पद्धति के आवेदन के उदाहरण देखें।

उदाहरण 1समीकरणों की प्रणाली को हल करें

यहाँ y पर गुणांक निरपेक्ष मान में बराबर हैं, लेकिन चिह्न में विपरीत हैं। आइए सिस्टम के समीकरणों को जोड़ने के लिए शब्द दर शब्द प्रयास करें।

परिणामी मान x \u003d 4, हम सिस्टम के कुछ समीकरण (उदाहरण के लिए, पहले वाले में) को प्रतिस्थापित करते हैं और y का मान पाते हैं:

2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.

हमारे सिस्टम का एक हल x = 4, y = 3 है। या उत्तर को कोष्ठक में, किसी बिंदु के निर्देशांक के रूप में, पहले स्थान पर x, दूसरे y में लिखा जा सकता है।

उत्तर: (4; 3)

उदाहरण 2. समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम चर x के गुणांकों को बराबर करते हैं, इसके लिए हम पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं, और दूसरे को (-2) से गुणा करते हैं, हम प्राप्त करते हैं

समीकरण जोड़ते समय सावधान रहें

फिर y \u003d - 2. हम पहले समीकरण में y के बजाय संख्या (-2) को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है

4x + 3 (-2) \u003d - 4. हम इस समीकरण को 4x \u003d - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½ हल करते हैं।

उत्तर: (1/2; - 2)

उदाहरण 3समीकरणों की प्रणाली को हल करें

पहले समीकरण को (-2) से गुणा करें

सिस्टम को हल करना

हमें 0 = - 13 मिलता है।

कोई समाधान प्रणाली नहीं है, क्योंकि 0 (-13) के बराबर नहीं है।

उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

उदाहरण 4समीकरणों की प्रणाली को हल करें

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण के सभी गुणांक 3 से विभाज्य हैं,

आइए दूसरे समीकरण को तीन से विभाजित करें और हमें एक प्रणाली मिलती है जिसमें दो समान समीकरण होते हैं।

इस प्रणाली के असीम रूप से कई समाधान हैं, क्योंकि पहले और दूसरे समीकरण समान हैं (हमें दो चर के साथ केवल एक समीकरण मिला है)। इस प्रणाली का समाधान कैसे प्रस्तुत करें? आइए चर y को समीकरण x + y = 5 से व्यक्त करें। हमें y = 5 - x प्राप्त होता है।

फिर उत्तरइस तरह लिखा जाएगा: (x; 5-x), x कोई भी संख्या है।

हमने योग विधि द्वारा समीकरण प्रणालियों के हल पर विचार किया। यदि आपके कोई प्रश्न हैं या कुछ स्पष्ट नहीं है, तो पाठ के लिए साइन अप करें और हम आपके साथ सभी समस्याओं का समाधान करेंगे।

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विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग में आर्थिक उद्योग में समीकरणों की प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्ग (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।

समीकरण प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित के क्षेत्र में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी किया जाता है, जब जनसंख्या के आकार को खोजने की समस्याओं को हल किया जाता है।

व्यवस्था रेखीय समीकरणऐसे दो या दो से अधिक समीकरणों के नाम लिखिए जिनमें कई चर हों, जिनके लिए एक सामान्य हल खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण वास्तविक समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध करते हैं कि अनुक्रम मौजूद नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax+by=c रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं, जिनका मान ज्ञात होना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
इसका ग्राफ बनाकर समीकरण को हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखाई देगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद का हल हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल दो चर X और Y वाले रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरण हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहां F1,2 फलन हैं और (x, y) फलन चर हैं।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें - इसका अर्थ है ऐसे मान (x, y) को खोजना, जिस पर सिस्टम वास्तविक समानता में बदल जाता है या उसे स्थापित करता है उपयुक्त मूल्य x और y मौजूद नहीं हैं।

बिंदु निर्देशांक के रूप में लिखे गए मानों (x, y) की एक जोड़ी को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम का एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों के सजातीय सिस्टम सिस्टम हैं दाहिना भागजो शून्य के बराबर है। यदि "बराबर" चिह्न के बाद दाहिने भाग का मान है या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया है, तो ऐसी प्रणाली सजातीय नहीं है।

चरों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

सिस्टम का सामना करते हुए, स्कूली बच्चे मानते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है, उनमें से एक मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में हो सकती है।

समीकरणों के निकाय को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए कोई सामान्य विश्लेषणात्मक तरीका नहीं है, सभी विधियां आधारित हैं संख्यात्मक समाधान. स्कूल गणित पाठ्यक्रम क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही साथ ग्राफिकल जैसी विधियों का विस्तार से वर्णन करता है मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि द्वारा समाधान।

हल करने के तरीकों को पढ़ाने में मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही तरीके से विश्लेषण कैसे करें और खोजें इष्टतम एल्गोरिथमप्रत्येक उदाहरण के लिए समाधान। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और क्रियाओं की प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि किसी विशेष विधि को लागू करने के सिद्धांतों को समझना है।

कार्यक्रम की 7वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरण हल करना माध्यमिक स्कूलकाफी सरल और विस्तार से समझाया गया है। गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में इस खंड पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षण संस्थानों के पहले पाठ्यक्रमों में गॉस और क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों के समाधान का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना है। व्यंजक को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर रूप में घटाया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा 7वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक उदाहरण दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर एक्स को एफ (एक्स) = 7 + वाई के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, एक्स के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, ने दूसरे समीकरण में एक चर वाई प्राप्त करने में मदद की . इस उदाहरण का समाधान कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरणयह प्राप्त मूल्यों का परीक्षण है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और दूसरे अज्ञात के संदर्भ में चर की अभिव्यक्ति आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगी। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात होते हैं, तो प्रतिस्थापन समाधान भी अव्यावहारिक होता है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करके समाधान

जोड़ विधि द्वारा सिस्टम के समाधान की खोज करते समय, टर्म-दर-टर्म जोड़ और विभिन्न संख्याओं द्वारा समीकरणों का गुणन किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर वाला समीकरण है।

अनुप्रयोगों के लिए यह विधियह अभ्यास और अवलोकन लेता है। 3 या अधिक चरों की संख्या के साथ योग विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। बीजगणितीय योग तब उपयोगी होता है जब समीकरणों में भिन्न और दशमलव संख्याएँ हों।

समाधान क्रिया एल्गोरिथ्म:

समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय ऑपरेशन के परिणामस्वरूप, चर के गुणांकों में से एक को 1 के बराबर होना चाहिए।
परिणामी व्यंजक पद को पद के अनुसार जोड़ें और अज्ञात में से एक का पता लगाएं।
शेष चर को खोजने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर पेश करके समाधान विधि

एक नया चर पेश किया जा सकता है यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता होती है, तो अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

इस विधि का प्रयोग किसी एक समीकरण को एक नए चर का परिचय देकर सरल बनाने के लिए किया जाता है। नया समीकरण दर्ज अज्ञात के संबंध में हल किया जाता है, और परिणामी मूल्य का उपयोग मूल चर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

यह उदाहरण से देखा जा सकता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को मानक वर्ग ट्रिनोमियल में कम करना संभव था। आप विभेदक का पता लगाकर बहुपद को हल कर सकते हैं।

जाने-माने सूत्र का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4*a*c, जहाँ D वांछित विभेदक है, b, a, c बहुपद के गुणक हैं। दिए गए उदाहरण में, a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विवेचक शून्य से बड़ा है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विवेचक शून्य से कम है, तो केवल एक ही समाधान है: x= -b / 2*a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान अतिरिक्त विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए एक दृश्य विधि

3 समीकरणों वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त। इस पद्धति में समन्वय अक्ष पर प्रणाली में शामिल प्रत्येक समीकरण के आलेखों को आलेखित करना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक और होंगे सामान्य समाधानसिस्टम

ग्राफिक विधि में कई बारीकियां हैं। एक दृश्य तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु निकाय का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण खोजने की जरूरत है ग्राफिक समाधानरैखिक समीकरणों की प्रणाली: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0.

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और उनकी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 के सिस्टम समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान अलग हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं है कि सिस्टम के पास कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है। एक तालिका को मैट्रिक्स कहा जाता है। विशेष प्रकारसंख्याओं से भरा हुआ। n*m में n-पंक्तियाँ और m-स्तंभ हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या समान होती है। एक मैट्रिक्स-वेक्टर एक एकल-स्तंभ मैट्रिक्स है जिसमें असीमित संभव पंक्तियों की संख्या होती है। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों के साथ इकाइयों के साथ एक मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जिसे गुणा करने पर मूल एक इकाई में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग एक के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, समीकरणों के गुणांक और मुक्त सदस्यों को मैट्रिक्स की संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, यदि किसी भी समीकरण में चर की संख्या भिन्न होती है, तो लापता अज्ञात के स्थान पर शून्य दर्ज करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स के कॉलम सख्ती से चर के अनुरूप होने चाहिए। इसका मतलब है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहला, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

मैट्रिक्स को गुणा करते समय, सभी मैट्रिक्स तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के विकल्प

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहाँ K -1 - उलटा मैट्रिक्स, और |के| - मैट्रिक्स निर्धारक। |के| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास एक समाधान है।

निर्धारक की गणना दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए आसानी से की जाती है, केवल तत्वों को एक दूसरे से तिरछे गुणा करना आवश्यक है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि उत्पाद में तत्वों के स्तंभ और पंक्ति संख्या दोहराई न जाए।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरणों का समाधान

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि से सिस्टम को हल करते समय बोझिल नोटेशन को कम करना संभव हो जाता है बड़ी मात्राचर और समीकरण।

उदाहरण में, एक एनएम समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त शब्द हैं।

गॉस विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

उच्च गणित में, गॉस विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम का समाधान खोजने की प्रक्रिया को गॉस-क्रैमर विधि को हल करने के लिए कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों वाले सिस्टम के चर को खोजने के लिए किया जाता है।

गाऊसी विधि प्रतिस्थापन और बीजीय जोड़ समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूल के पाठ्यक्रम में, गाऊसी समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों के सिस्टम के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य प्रणाली को एक उल्टे ट्रेपोजॉइड के रूप में लाना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापन द्वारा, एक चर का मान सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, और 3 और 4 - क्रमशः 3 और 4 चर के साथ।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के क्रमिक प्रतिस्थापन के लिए आगे का समाधान कम हो जाता है।

पर स्कूल की पाठ्यपुस्तकेंग्रेड 7 के लिए, गॉस विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण निम्नानुसार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) में दो समीकरण 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7 प्राप्त हुए। किसी भी समीकरण का हल आपको x n में से किसी एक चर का पता लगाने की अनुमति देगा।

प्रमेय 5, जिसका उल्लेख पाठ में किया गया है, में कहा गया है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को समकक्ष द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो परिणामी प्रणाली भी मूल के बराबर होगी।

गॉस विधि को समझना विद्यार्थियों के लिए कठिन है उच्च विद्यालय, लेकिन सबसे अधिक में से एक है दिलचस्प तरीकेगणित और भौतिकी कक्षाओं में उन्नत अध्ययन कार्यक्रम में नामांकित बच्चों की सरलता का विकास करना।

गणनाओं को रिकॉर्ड करने में आसानी के लिए, यह निम्नलिखित करने के लिए प्रथागत है:

समीकरण गुणांक और मुक्त पद एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या को दर्शाते हैं।

सबसे पहले, वे उस मैट्रिक्स को लिखते हैं जिसके साथ काम करना है, फिर सभी क्रियाओं को पंक्तियों में से एक के साथ किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स "तीर" चिह्न के बाद लिखा गया है और आवश्यक प्रदर्शन करना जारी रखता है बीजीय क्रियापरिणाम प्राप्त होने तक।

नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाना चाहिए जिसमें विकर्णों में से एक 1 है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात मैट्रिक्स को एक ही रूप में घटाया जाता है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह संकेतन कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देता है।

समाधान के किसी भी तरीके के मुफ्त आवेदन के लिए देखभाल और एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी तरीके लागू नहीं होते हैं। मानव गतिविधि के किसी विशेष क्षेत्र में समाधान खोजने के कुछ तरीके अधिक बेहतर होते हैं, जबकि अन्य सीखने के उद्देश्य से मौजूद होते हैं।

इस वीडियो के साथ, मैं समीकरणों की प्रणालियों पर पाठों की एक श्रृंखला शुरू करता हूं। आज हम रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के बारे में बात करेंगे जोड़ विधि- ये सर्वश्रेष्ठ में से एक है सरल तरीकेलेकिन सबसे प्रभावी में से एक भी।

जोड़ विधि में तीन सरल चरण होते हैं:

प्रणाली को देखें और एक चर चुनें जिसमें प्रत्येक समीकरण में समान (या विपरीत) गुणांक हों;
एक दूसरे से समीकरणों का बीजगणितीय घटाव (विपरीत संख्याओं के लिए - जोड़) करें, और फिर समान पद लाएँ;
दूसरे चरण के बाद प्राप्त नए समीकरण को हल करें।

यदि सब कुछ सही ढंग से किया जाता है, तो आउटपुट पर हमें एक ही समीकरण मिलेगा एक चर के साथ- इसे हल करना मुश्किल नहीं होगा। फिर यह मूल प्रणाली में पाए गए रूट को प्रतिस्थापित करने और अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए ही रहता है।

हालाँकि, व्यवहार में यह इतना सरल नहीं है। इसके अनेक कारण हैं:

योग द्वारा समीकरणों को हल करने का तात्पर्य है कि सभी पंक्तियों में समान/विपरीत गुणांक वाले चर होने चाहिए। क्या होगा यदि यह आवश्यकता पूरी नहीं होती है?
हमेशा नहीं, इस तरह से समीकरणों को जोड़ने / घटाने के बाद, हमें एक सुंदर रचना मिलेगी जो आसानी से हल हो जाती है। क्या किसी तरह गणनाओं को सरल बनाना और गणनाओं को गति देना संभव है?

इन सवालों के जवाब पाने के लिए, और साथ ही कुछ अतिरिक्त सूक्ष्मताओं से निपटने के लिए जो कई छात्र "गिर जाते हैं", मेरा वीडियो ट्यूटोरियल देखें:

इस पाठ के साथ, हम समीकरणों की प्रणालियों पर व्याख्यानों की एक श्रृंखला शुरू करते हैं। और हम उनमें से सबसे सरल से शुरू करेंगे, अर्थात् वे जिनमें दो समीकरण और दो चर शामिल हैं। उनमें से प्रत्येक रैखिक होगा।

सिस्टम 7वीं कक्षा की सामग्री है, लेकिन यह पाठ हाई स्कूल के उन छात्रों के लिए भी उपयोगी होगा जो इस विषय पर अपने ज्ञान को बढ़ाना चाहते हैं।

सामान्य तौर पर, ऐसी प्रणालियों को हल करने के दो तरीके हैं:

जोड़ विधि;
एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करने की एक विधि।

आज हम पहली विधि से निपटेंगे - हम घटाव और जोड़ की विधि का उपयोग करेंगे। लेकिन इसके लिए आपको निम्नलिखित तथ्य को समझने की जरूरत है: एक बार जब आपके पास दो या अधिक समीकरण हों, तो आप उनमें से कोई भी दो ले सकते हैं और उन्हें एक साथ जोड़ सकते हैं। उन्हें शब्द दर शब्द जोड़ा जाता है, अर्थात। "Xs" को "Xs" में जोड़ा जाता है और समान वाले दिए जाते हैं, "games" से "games" - समान वाले फिर से दिए जाते हैं, और जो समान चिह्न के दाईं ओर है वह भी एक दूसरे में जोड़ा जाता है, और समान हैं वहां भी दिया।

इस तरह की साजिशों के परिणाम एक नया समीकरण होगा, जिसकी जड़ें हैं, तो वे निश्चित रूप से मूल समीकरण की जड़ों में से होंगे। तो हमारा काम घटाव या जोड़ को इस तरह से करना है कि या तो $x$ या $y$ गायब हो जाए।

इसे कैसे प्राप्त करें और इसके लिए किस उपकरण का उपयोग करें - हम इस बारे में अभी बात करेंगे।

जोड़ विधि का उपयोग करके आसान समस्याओं का समाधान

इसलिए, हम दो सरल व्यंजकों के उदाहरण का उपयोग करके जोड़ विधि को लागू करना सीख रहे हैं।

कार्य 1

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\अंत (संरेखित करें) \दाएं।\]

ध्यान दें कि पहले समीकरण में $y$ का गुणांक $-4$ है, और दूसरे में $+4$ है। वे परस्पर विपरीत हैं, इसलिए यह मान लेना तर्कसंगत है कि यदि हम उन्हें जोड़ दें, तो परिणामी मात्रा में, "खेल" परस्पर सत्यानाश कर देंगे। हम जोड़ते हैं और प्राप्त करते हैं:

हम सबसे सरल निर्माण को हल करते हैं:

बढ़िया, हमने एक्स पाया। अब उसके साथ क्या करना है? हम इसे किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। आइए इसे पहले वाले में रखें:

\[-4y=12\बाएं| :\बाएं(-4 \दाएं) \दाएं।\]

उत्तर: $\बाएं(2;-3\दाएं)$।

कार्य #2

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

यहां, स्थिति पूरी तरह से समान है, केवल एक्स के साथ। आइए उन्हें एक साथ रखें:

हमें सबसे सरल रैखिक समीकरण मिला है, आइए इसे हल करें:

आइए अब $x$ खोजें:

उत्तर: $\बाएं(-3;3\दाएं)$।

महत्वपूर्ण बिंदु

इसलिए, हमने जोड़ विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की दो सरल प्रणालियों को हल किया है। एक बार फिर प्रमुख बिंदु:

यदि किसी एक चर के लिए विपरीत गुणांक हैं, तो समीकरण में सभी चर जोड़ना आवश्यक है। इस मामले में, उनमें से एक को नष्ट कर दिया जाएगा।
हम दूसरे को खोजने के लिए सिस्टम के किसी भी समीकरण में पाए गए चर को प्रतिस्थापित करते हैं।
उत्तर का अंतिम रिकॉर्ड विभिन्न तरीकों से प्रस्तुत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इस तरह - $x=...,y=...$, या बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में - $\left(...;... \right)$। दूसरा विकल्प बेहतर है। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि पहला निर्देशांक $x$ है, और दूसरा $y$ है।
बिंदु निर्देशांक के रूप में उत्तर लिखने का नियम हमेशा लागू नहीं होता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग तब नहीं किया जा सकता जब चर की भूमिका $x$ और $y$ न हो, लेकिन, उदाहरण के लिए, $a$ और $b$।

निम्नलिखित समस्याओं में, हम घटाव तकनीक पर विचार करेंगे, जब गुणांक विपरीत न हों।

घटाव विधि का उपयोग करके आसान समस्याओं को हल करना

कार्य 1

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

ध्यान दें कि यहां कोई विपरीत गुणांक नहीं हैं, लेकिन समान हैं। इसलिए, हम पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाते हैं:

अब हम $x$ के मान को सिस्टम के किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। आइए पहले चलते हैं:

उत्तर: $\बाएं(2;5\दाएं)$।

कार्य #2

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

हम फिर से पहले और दूसरे समीकरणों में $x$ के लिए समान गुणांक $5$ देखते हैं। इसलिए, यह मान लेना तर्कसंगत है कि आपको पहले समीकरण से दूसरे को घटाना होगा:

हमने एक चर की गणना की है। अब आइए दूसरे को खोजें, उदाहरण के लिए, दूसरे निर्माण में $y$ के मान को प्रतिस्थापित करके:

उत्तर: $\बाएं(-3;-2 \दाएं)$।

समाधान की बारीकियां

तो हम क्या देखते हैं? संक्षेप में, योजना पिछली प्रणालियों के समाधान से अलग नहीं है। फर्क सिर्फ इतना है कि हम समीकरण नहीं जोड़ते, बल्कि घटाते हैं। हम बीजीय घटाव कर रहे हैं।

दूसरे शब्दों में, जैसे ही आप दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों से युक्त एक प्रणाली देखते हैं, पहली चीज जो आपको देखने की जरूरत है वह है गुणांक। यदि वे कहीं भी समान हैं, तो समीकरण घटाए जाते हैं, और यदि वे विपरीत होते हैं, तो जोड़ विधि लागू होती है। ऐसा हमेशा इसलिए किया जाता है ताकि उनमें से एक गायब हो जाए, और अंतिम समीकरण में जो घटाव के बाद रहता है, केवल एक चर रहेगा।

बेशक, यह सब नहीं है। अब हम उन प्रणालियों पर विचार करेंगे जिनमें समीकरण आम तौर पर असंगत होते हैं। वे। उनमें ऐसे कोई चर नहीं हैं जो या तो समान हों या विपरीत हों। इस मामले में, ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए, एक अतिरिक्त तकनीक का उपयोग किया जाता है, अर्थात्, प्रत्येक समीकरण का एक विशेष गुणांक द्वारा गुणा। इसे कैसे खोजा जाए और सामान्य रूप से ऐसी प्रणालियों को कैसे हल किया जाए, अब हम इस बारे में बात करेंगे।

गुणांक से गुणा करके समस्याओं को हल करना

उदाहरण 1

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

हम देखते हैं कि न तो $x$ के लिए और न ही $y$ के लिए गुणांक न केवल परस्पर विपरीत हैं, बल्कि सामान्य तौर पर वे किसी अन्य समीकरण के साथ किसी भी तरह से संबंध नहीं रखते हैं। ये गुणांक किसी भी तरह से गायब नहीं होंगे, भले ही हम समीकरणों को एक दूसरे से जोड़ या घटा दें। इसलिए गुणन को लागू करना आवश्यक है। आइए $y$ चर से छुटकारा पाने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से $y$ के गुणांक से गुणा करते हैं, और दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से $y$ के गुणांक से, बिना चिह्न बदले। हम गुणा करते हैं और एक नई प्रणाली प्राप्त करते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

आइए इसे देखें: $y$ के लिए, विपरीत गुणांक। ऐसे में जरूरी है कि एडिशनल मेथड को लागू किया जाए। आइए जोड़ें:

अब हमें $y$ खोजने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, पहली अभिव्यक्ति में $x$ स्थानापन्न करें:

\[-9y=18\बाएं| :\बाएं(-9 \दाएं) \दाएं।\]

उत्तर: $\बाएं(4;-2\दाएं)$।

उदाहरण #2

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\अंत (संरेखित करें) \दाएं।\]

फिर से, किसी भी चर के गुणांक सुसंगत नहीं हैं। आइए गुणांकों द्वारा $y$ पर गुणा करें:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 11x+4y=-18\बाएं| 6 \दाएं। \\& 13x-6y=-32\बाएं| 4 \दाएं। \\\अंत (संरेखित) \दाएं .\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

हमारी नई प्रणालीपिछले एक के बराबर है, लेकिन $y$ पर गुणांक परस्पर विपरीत हैं, और इसलिए यहां जोड़ विधि को लागू करना आसान है:

अब पहले समीकरण में $x$ को प्रतिस्थापित करके $y$ खोजें:

उत्तर: $\बाएं(-2;1\दाएं)$।

समाधान की बारीकियां

यहां मुख्य नियम निम्नलिखित है: हमेशा केवल सकारात्मक संख्याओं से गुणा करें - यह आपको बदलते संकेतों से जुड़ी मूर्खतापूर्ण और आक्रामक गलतियों से बचाएगा। सामान्य तौर पर, समाधान योजना काफी सरल है:

हम सिस्टम को देखते हैं और प्रत्येक समीकरण का विश्लेषण करते हैं।
यदि हम देखते हैं कि न तो $y$ के लिए और न ही $x$ के लिए गुणांक सुसंगत हैं, अर्थात। वे न तो बराबर हैं और न ही विपरीत, फिर हम निम्न कार्य करते हैं: छुटकारा पाने के लिए चर का चयन करें, और फिर इन समीकरणों में गुणांक देखें। यदि हम पहले समीकरण को दूसरे से गुणांक से गुणा करते हैं, और दूसरे, संगत, को पहले से गुणांक से गुणा करते हैं, तो अंत में हमें एक प्रणाली मिलेगी जो पूरी तरह से पिछले एक के बराबर है, और गुणांक $ पर है y$ संगत होगा। हमारे सभी कार्यों या परिवर्तनों का उद्देश्य केवल एक चर को एक समीकरण में प्राप्त करना है।
हम एक चर पाते हैं।
हम पाए गए चर को सिस्टम के दो समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरा पाते हैं।
यदि हमारे पास चर $x$ और $y$ हैं, तो हम अंकों के निर्देशांक के रूप में उत्तर लिखते हैं।

लेकिन इस तरह के एक सरल एल्गोरिदम की भी अपनी सूक्ष्मताएं होती हैं, उदाहरण के लिए, $x$ या $y$ के गुणांक भिन्न और अन्य "बदसूरत" संख्याएं हो सकते हैं। अब हम इन मामलों पर अलग से विचार करेंगे, क्योंकि उनमें आप मानक एल्गोरिथम के अनुसार थोड़े अलग तरीके से कार्य कर सकते हैं।

भिन्नात्मक संख्याओं के साथ समस्याओं का समाधान

उदाहरण 1

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

सबसे पहले, ध्यान दें कि दूसरे समीकरण में भिन्न होते हैं। लेकिन ध्यान दें कि आप $4$ को $0.8$ से विभाजित कर सकते हैं। हमें $ 5 $ मिलते हैं। आइए दूसरे समीकरण को $5$ से गुणा करें:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

हम समीकरणों को एक दूसरे से घटाते हैं:

$n$ हमने पाया, अब हम $m$ की गणना करते हैं:

उत्तर: $n=-4;m=5$

उदाहरण #2

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 2.5p+1.5k=-13\बाएं| 4 \दाएं। \\& 2p-5k=2\बाएं| 5 \दाएं। \\\अंत (संरेखित करें)\ सही।\]

यहां, पिछली प्रणाली की तरह, भिन्नात्मक गुणांक हैं, हालांकि, किसी भी चर के लिए, गुणांक एक दूसरे में पूर्णांक संख्या में फिट नहीं होते हैं। इसलिए, हम मानक एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं। $p$ से छुटकारा पाएं:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

आइए घटाव विधि का उपयोग करें:

आइए दूसरे निर्माण में $k$ को प्रतिस्थापित करके $p$ खोजें:

उत्तर: $p=-4;k=-2$।

समाधान की बारीकियां

वह सब अनुकूलन है। पहले समीकरण में, हमने किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया, और दूसरे समीकरण को $5$ से गुणा किया गया। नतीजतन, हमने पहले चर के लिए एक सुसंगत और समान समीकरण प्राप्त किया है। दूसरी प्रणाली में, हमने मानक एल्गोरिथम के अनुसार काम किया।

लेकिन उन संख्याओं को कैसे खोजें जिनसे आपको समीकरणों को गुणा करने की आवश्यकता है? आखिरकार, अगर हम भिन्नात्मक संख्याओं से गुणा करते हैं, तो हमें नए अंश मिलते हैं। इसलिए, भिन्नों को एक संख्या से गुणा किया जाना चाहिए जो एक नया पूर्णांक देगा, और उसके बाद, मानक एल्गोरिथम का पालन करते हुए, चर को गुणांक से गुणा किया जाना चाहिए।

अंत में, मैं आपका ध्यान प्रतिक्रिया रिकॉर्ड के प्रारूप की ओर आकर्षित करना चाहूंगा। जैसा कि मैंने पहले ही कहा है, चूंकि यहां हमारे पास $x$ और $y$ नहीं हैं, लेकिन अन्य मान हैं, हम फॉर्म के गैर-मानक नोटेशन का उपयोग करते हैं:

समीकरणों की जटिल प्रणालियों को हल करना

आज के वीडियो ट्यूटोरियल के अंतिम स्पर्श के रूप में, आइए कुछ वास्तव में जटिल प्रणालियों को देखें। उनकी जटिलता इस तथ्य में शामिल होगी कि उनमें बाईं और दाईं ओर चर शामिल होंगे। इसलिए, उन्हें हल करने के लिए, हमें प्रीप्रोसेसिंग लागू करनी होगी।

सिस्टम #1

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 3\बाएं(2x-y \दाएं)+5=-2\बाएं(x+3y \दाएं)+4 \\& 6\बाएं(y+1 \दाएं)-1=5\बाएं(2x-1 \दाएं)+8 \\\अंत (संरेखित करें) \दाएं।\]

प्रत्येक समीकरण में एक निश्चित जटिलता होती है। इसलिए, प्रत्येक अभिव्यक्ति के साथ, चलो एक सामान्य रैखिक निर्माण के साथ करते हैं।

कुल मिलाकर, हमें अंतिम प्रणाली मिलती है, जो मूल के बराबर है:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

आइए $y$ के गुणांकों को देखें: $3$ दो बार $6$ में फिट बैठता है, इसलिए हम पहले समीकरण को $2$ से गुणा करते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

$y$ के गुणांक अब बराबर हैं, इसलिए हम पहले समीकरण से दूसरे को घटाते हैं: $$

आइए अब $y$ खोजें:

उत्तर: $\बाएं(0;-\frac(1)(3) \right)$

सिस्टम #2

\[\बाएं\(\शुरू(संरेखित) और 4\बाएं(ए-3बी \दाएं)-2ए=3\बाएं(बी+4 \दाएं)-11 \\& -3\बाएं (बी-2ए \दाएं) )-12=2\बाएं(ए-5 \दाएं)+बी \\\अंत (संरेखित करें) \दाएं।\]

आइए पहली अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

आइए दूसरे से निपटें:

\[-3\बाएं(बी-2ए \दाएं)-12=2\बाएं(ए-5 \दाएं)+बी\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

कुल मिलाकर, हमारी प्रारंभिक प्रणाली निम्नलिखित रूप लेगी:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\]

$a$ के गुणांकों को देखते हुए, हम देखते हैं कि पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने की आवश्यकता है:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

हम पहले निर्माण से दूसरे को घटाते हैं:

अब $a$ खोजें:

उत्तर: $\बाएं(a=\frac(1)(2));b=0 \right)$।

बस इतना ही। मुझे उम्मीद है कि यह वीडियो ट्यूटोरियल आपको इस कठिन विषय को समझने में मदद करेगा, अर्थात् सरल रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना। इस विषय पर आगे और भी कई पाठ होंगे: हम और विश्लेषण करेंगे जटिल उदाहरण, जहां अधिक चर होंगे, और समीकरण स्वयं पहले से ही अरेखीय होंगे। जल्दी मिलते हैं!

बीजीय जोड़ विधि

आप दो अज्ञात के साथ समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं विभिन्न तरीके- ग्राफिकल विधि या परिवर्तनशील प्रतिस्थापन विधि।

इस पाठ में, हम प्रणालियों को हल करने की एक और विधि से परिचित होंगे जो आपको निश्चित रूप से पसंद आएगी - यह बीजीय जोड़ की विधि है।

और विचार कहाँ से आया - सिस्टम में कुछ डालने का? सिस्टम को हल करते समय, मुख्य समस्या दो चर की उपस्थिति है, क्योंकि हम दो चर वाले समीकरणों को हल नहीं कर सकते हैं। इसलिए, उनमें से किसी एक को कानूनी तरीके से बाहर करना आवश्यक है। और ऐसे वैध तरीके हैं गणितीय नियम और गुण।

इनमें से एक गुण ऐसा लगता है: विपरीत संख्याओं का योग शून्य होता है। इसका अर्थ है कि यदि किसी एक चर के लिए विपरीत गुणांक हैं, तो उनका योग शून्य के बराबर होगा और हम इस चर को समीकरण से बाहर करने में सक्षम होंगे। यह स्पष्ट है कि हमें केवल वेरिएबल के साथ शब्दों को जोड़ने का अधिकार नहीं है जिनकी हमें आवश्यकता है। समीकरणों को समग्र रूप से जोड़ना आवश्यक है, अर्थात्। अलग-अलग बाईं ओर समान शब्द जोड़ें, फिर दाईं ओर। नतीजतन, हमें एक नया समीकरण मिलेगा जिसमें केवल एक चर होगा। आइए विशिष्ट उदाहरणों पर एक नज़र डालें।

हम देखते हैं कि पहले समीकरण में एक चर y है, और दूसरे में विपरीत संख्या y है। अतः इस समीकरण को योग विधि द्वारा हल किया जा सकता है।

समीकरणों में से एक को वैसे ही छोड़ दिया जाता है। कोई भी जो आपको सबसे अच्छा लगे।

लेकिन दूसरा समीकरण इन दोनों समीकरणों को पद दर पद जोड़कर प्राप्त किया जाएगा। वे। 3x को 2x में जोड़ें, y को -y में जोड़ें, 8 से 7 जोड़ें।

हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है

इस प्रणाली का दूसरा समीकरण एक चर के साथ एक साधारण समीकरण है। इससे हम x \u003d 3 पाते हैं। पहले समीकरण में पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हुए, हम y \u003d -1 पाते हैं।

उत्तर: (3; - 1)।

डिजाइन नमूना:

बीजगणितीय योग द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करें

इस प्रणाली में विपरीत गुणांक वाले कोई चर नहीं हैं। लेकिन हम जानते हैं कि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा किया जा सकता है। आइए सिस्टम के पहले समीकरण को 2 से गुणा करें।

तब पहला समीकरण रूप लेगा:

अब हम देखते हैं कि चर x के साथ विपरीत गुणांक हैं। इसलिए, हम पहले उदाहरण की तरह ही करेंगे: हम समीकरणों में से एक को अपरिवर्तित छोड़ देंगे। उदाहरण के लिए, 2y + 2x \u003d 10. और हम दूसरा जोड़कर प्राप्त करते हैं।

अब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है:

हम दूसरे समीकरण y = 1 से और फिर पहले समीकरण x = 4 से आसानी से पाते हैं।

डिजाइन नमूना:

आइए संक्षेप करें:

हमने सीखा है कि दो रैखिक समीकरणों के निकाय को दो . के साथ कैसे हल किया जाता है अज्ञात तरीकाबीजीय जोड़। इस प्रकार, अब हम ऐसी प्रणालियों को हल करने के तीन मुख्य तरीकों को जानते हैं: ग्राफिकल विधि, परिवर्तनीय विधि का परिवर्तन, और जोड़ विधि। इन विधियों का उपयोग करके लगभग किसी भी प्रणाली को हल किया जा सकता है। अधिक जटिल मामलों में, इन तकनीकों के संयोजन का उपयोग किया जाता है।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

मोर्दकोविच ए.जी., बीजगणित ग्रेड 7, 2 भागों में, भाग 1, शैक्षिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच। - 10 वां संस्करण।, संशोधित - मॉस्को, "मेनमोसिन", 2007।
मोर्दकोविच ए.जी., बीजगणित ग्रेड 7, 2 भागों में, भाग 2, शैक्षिक संस्थानों के लिए कार्य पुस्तक / [ए.जी. मोर्दकोविच और अन्य]; एजी द्वारा संपादित मोर्दकोविच - 10 वां संस्करण, संशोधित - मॉस्को, मेनेमोसिन, 2007।
उसकी। तुलचिंस्काया, बीजगणित ग्रेड 7. ब्लिट्ज सर्वेक्षण: शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक गाइड, चौथा संस्करण, संशोधित और पूरक, मॉस्को, मेनेमोज़िना, 2008।
अलेक्जेंड्रोवा एल.ए., बीजगणित ग्रेड 7। विषयगत सत्यापन कार्यमें नए रूप मेशैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए, ए.जी. मोर्दकोविच, मॉस्को, "मेनमोसिन", 2011।
अलेक्जेंड्रोवा एल.ए. बीजगणित 7 वीं कक्षा। स्वतंत्र कामशैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए, ए.जी. मोर्दकोविच - 6 वां संस्करण, स्टीरियोटाइपिकल, मॉस्को, "मेनमोसिन", 2010।

OGBOU "स्मोलेंस्क में विशेष शैक्षिक आवश्यकताओं वाले बच्चों के लिए शिक्षा केंद्र"

केंद्र दूरस्थ शिक्षा

सातवीं कक्षा में बीजगणित पाठ

पाठ का विषय: बीजीय जोड़ की विधि।

पाठ का उद्देश्य: प्रतिस्थापन द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करने में ज्ञान और कौशल को आत्मसात करने के स्तर को नियंत्रित करना; जोड़ की विधि द्वारा समीकरण प्रणालियों को हल करने के लिए कौशल और क्षमताओं का निर्माण।

पाठ मकसद:

विषय: जोड़ विधि का उपयोग करके दो चर वाले समीकरणों के सिस्टम को हल करना सीखें।

मेटासब्जेक्ट: संज्ञानात्मक यूयूडी: विश्लेषण करें (मुख्य बात पर प्रकाश डालें), अवधारणाओं को परिभाषित करें, सामान्यीकरण करें, निष्कर्ष निकालें। नियामक यूयूडी: लक्ष्य को परिभाषित करें, समस्या में शिक्षण गतिविधियां. संचारी यूयूडी: बहस करते हुए अपनी राय व्यक्त करें। व्यक्तिगत यूयूडी: एफसीखने के लिए सकारात्मक प्रेरणा बनाने के लिए, पाठ और विषय के प्रति छात्र का सकारात्मक भावनात्मक दृष्टिकोण बनाने के लिए।

काम का रूप: व्यक्तिगत

सबक कदम:

1) संगठनात्मक चरण।

इस विषय की सोच और समझ की अखंडता के प्रति एक दृष्टिकोण के निर्माण के माध्यम से विषय पर छात्र के काम को व्यवस्थित करने के लिए।

2. घर पर दी गई सामग्री पर छात्र से प्रश्न करना, ज्ञान को अद्यतन करना।

उद्देश्य: कार्यान्वयन के दौरान प्राप्त छात्र के ज्ञान का परीक्षण करना गृहकार्यत्रुटियों की पहचान करें, त्रुटियों पर काम करें। पिछले पाठ से सामग्री की समीक्षा करें।

3. नई सामग्री सीखना।

एक)। जोड़कर रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की क्षमता बनाने के लिए;

2))। नई स्थितियों में मौजूदा ज्ञान का विकास और सुधार;

3))। नियंत्रण और आत्म-नियंत्रण के कौशल को शिक्षित करना, स्वतंत्रता का विकास करना।

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

उद्देश्य: पाठ में काम करते समय दृष्टि का संरक्षण, आंखों से थकान को दूर करना।

5. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन

उद्देश्य: पाठ में अर्जित ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का परीक्षण करना

6. पाठ का सारांश, के बारे में जानकारी गृहकार्य, प्रतिबिंब।

पाठ प्रगति (Google इलेक्ट्रॉनिक दस्तावेज़ में कार्य करना):

1. आज मैं वाल्टर की दार्शनिक पहेली के साथ पाठ की शुरुआत करना चाहता था।

सबसे तेज, लेकिन सबसे धीमा, सबसे बड़ा, लेकिन सबसे छोटा, सबसे लंबा और सबसे छोटा, सबसे महंगा, लेकिन सस्ता भी हमारे द्वारा मूल्यवान क्या है?

समय

आइए इस विषय पर बुनियादी अवधारणाओं को याद करें:

हमारे पास दो समीकरणों की एक प्रणाली है।

आइए याद करें कि हमने पिछले पाठ में समीकरणों के सिस्टम को कैसे हल किया था।

प्रतिस्थापन विधि

एक बार फिर हल किए गए सिस्टम पर ध्यान दें और मुझे बताएं कि हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को प्रतिस्थापन विधि का सहारा लिए बिना हल क्यों नहीं कर सकते?

क्योंकि ये दो चर वाले सिस्टम के समीकरण हैं। हम केवल एक चर वाले समीकरण को हल कर सकते हैं।

केवल एक चर के साथ एक समीकरण प्राप्त करके हमने समीकरणों की प्रणाली को हल करने का प्रबंधन किया।

3. हम निम्नलिखित प्रणाली को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं:

हम एक समीकरण चुनते हैं जिसमें एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करना सुविधाजनक होता है।

ऐसा कोई समीकरण नहीं है।

वे। इस स्थिति में, पहले से अध्ययन किया गया तरीका हमें शोभा नहीं देता। इस स्थिति से बाहर निकलने का रास्ता क्या है?

एक नया तरीका खोजें।

आइए पाठ के उद्देश्य को तैयार करने का प्रयास करें।

सिस्टम को नए तरीके से हल करना सीखें।

नए तरीके से सिस्टम को कैसे हल किया जाए, यह सीखने के लिए हमें क्या करने की ज़रूरत है?

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए नियम (एल्गोरिदम) जानें, व्यावहारिक कार्य करें

आइए एक नई विधि प्राप्त करना शुरू करें।

पहली प्रणाली को हल करने के बाद हमने जो निष्कर्ष निकाला है, उस पर ध्यान दें। हम एक चर के साथ एक रैखिक समीकरण प्राप्त करने के बाद ही सिस्टम को हल करने में कामयाब रहे।

समीकरणों के निकाय को देखें और सोचें कि दिए गए दो समीकरणों में से एक चर वाला एक समीकरण कैसे प्राप्त करें।

समीकरण जोड़ें।

समीकरण जोड़ने का क्या अर्थ है?

अलग-अलग, बाएँ भागों का योग, समीकरणों के दाएँ भागों का योग बनाएँ और परिणामी योगों की बराबरी करें।

आओ कोशिश करते हैं। हम मेरे साथ काम करते हैं।

13x+14x+17y-17y=43+11

हमें एक चर के साथ एक रैखिक समीकरण मिला है।

क्या आपने समीकरणों की प्रणाली को हल कर लिया है?

प्रणाली का समाधान संख्याओं की एक जोड़ी है।

आपको कैसे ढूंढे?

सिस्टम के समीकरण में x का पाया गया मान रखें।

क्या इससे कोई फर्क पड़ता है कि हम किस समीकरण में x का मान रखते हैं?

तो x का पाया गया मान प्रतिस्थापित किया जा सकता है ...

सिस्टम का कोई भी समीकरण।

हम एक नई विधि से परिचित हुए - बीजीय जोड़ की विधि।

सिस्टम को हल करते समय, हमने इस विधि द्वारा सिस्टम को हल करने के लिए एल्गोरिदम पर चर्चा की।

हमने एल्गोरिथम की समीक्षा की है। अब इसे समस्या समाधान पर लागू करते हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की क्षमता व्यवहार में उपयोगी हो सकती है।

समस्या पर विचार करें:

खेत में मुर्गियां और भेड़ें हैं। उनमें से कितने और अन्य यदि उनके 19 सिर और 46 पैर एक साथ हैं?

यह जानते हुए कि कुल 19 मुर्गियां और भेड़ें हैं, हम पहला समीकरण बनाते हैं: x + y \u003d 19

4x भेड़ के पैरों की संख्या है

2y - मुर्गियों में पैरों की संख्या

यह जानते हुए कि केवल 46 पैर हैं, हम दूसरा समीकरण बनाते हैं: 4x + 2y \u003d 46

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं:

आइए योग विधि द्वारा हल करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

संकट! x और y के सामने गुणांक न तो बराबर हैं और न ही विपरीत! क्या करें?

आइए एक और उदाहरण देखें!

आइए हमारे एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ें और इसे पहले स्थान पर रखें: यदि चर के सामने गुणांक समान नहीं हैं और विपरीत नहीं हैं, तो हमें कुछ चर के लिए मॉड्यूल को बराबर करने की आवश्यकता है! और फिर हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करेंगे।

4. आंखों के लिए इलेक्ट्रॉनिक शारीरिक शिक्षा: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. हम प्रश्न को बीजीय योग, स्थिरीकरण की विधि द्वारा पूरा करते हैं नई सामग्रीऔर पता करें कि खेत में कितनी मुर्गियां और भेड़ें थीं।

अतिरिक्त काम:

प्रतिबिंब।

मैं कक्षा में अपने काम के लिए ग्रेड देता हूं...

6. प्रयुक्त संसाधन-इंटरनेट:

शिक्षा के लिए Google सेवाएं

गणित के शिक्षक सोकोलोवा एन.एन.