व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि मैट्रिक्स समीकरणों द्वारा सुस्त समाधान। रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

विचार करना रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली(धीमा) के संबंध में एनअनजान एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन :

इस प्रणाली को "मुड़ा हुआ" रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

एस एन मैं = 1 एक आईजे एक्स जे = ख मैं , मैं=1,2, ..., एन.

मैट्रिक्स गुणन के नियम के अनुसार, माना प्रणाली रेखीय समीकरणमें लिखा जा सकता है मैट्रिक्स फॉर्म कुल्हाड़ी = ख, कहाँ पे

, ,.

आव्यूह ए, जिसके स्तंभ संबंधित अज्ञात के लिए गुणांक हैं, और पंक्तियां संबंधित समीकरण में अज्ञात के लिए गुणांक कहलाती हैं सिस्टम मैट्रिक्स. कॉलम मैट्रिक्स बी, जिनके तत्व सिस्टम के समीकरणों के सही हिस्से हैं, उन्हें सही हिस्से का मैट्रिक्स या बस कहा जाता है सिस्टम का दाहिना भाग. कॉलम मैट्रिक्स एक्स जिनके तत्व अज्ञात अज्ञात कहलाते हैं सिस्टम समाधान.

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के रूप में लिखा गया है कुल्हाड़ी = ख, है मैट्रिक्स समीकरण.

यदि सिस्टम का मैट्रिक्स गैर पतित, तो यह है उलटा मैट्रिक्सऔर फिर सिस्टम का समाधान कुल्हाड़ी = खसूत्र द्वारा दिया गया है:

एक्स = ए -1 बी.

उदाहरणसिस्टम को हल करें मैट्रिक्स विधि।

समाधानसिस्टम के गुणांक मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें

पहली पंक्ति में विस्तार करके निर्धारक की गणना करें:

क्यों कि Δ ≠ 0 , फिर ए -1 मौजूद।

उलटा मैट्रिक्स सही पाया जाता है।

आइए सिस्टम का समाधान खोजें

फलस्वरूप, एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2, एक्स 3 = 3 .

इंतिहान:

7. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली की अनुकूलता पर क्रोनकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की प्रणालीकी तरह लगता है:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m ।

यहाँ a i j और b i (i =; j = ) दिए गए हैं, और x j अज्ञात वास्तविक संख्याएँ हैं। मैट्रिक्स के उत्पाद की अवधारणा का उपयोग करके, हम सिस्टम (5.1) को फिर से लिख सकते हैं:

जहां ए = (ए आई जे) एक मैट्रिक्स है जिसमें गुणांक शामिल हैं अज्ञात सिस्टम(5.1), जिसे कहा जाता है सिस्टम मैट्रिक्स, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - स्तंभ सदिश क्रमशः अज्ञात x j और मुक्त पदों b i से बना है।

संग्रह का आदेश दिया एनवास्तविक संख्याएँ (c 1 , c 2 ,..., c n) कहलाती हैं सिस्टम समाधान(5.1) यदि संबंधित चर x 1, x 2, ..., x n के बजाय इन संख्याओं के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप सिस्टम का प्रत्येक समीकरण एक अंकगणितीय पहचान में बदल जाता है; दूसरे शब्दों में, यदि सदिश C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T का अस्तित्व है तो AC  B.

सिस्टम (5.1) कहा जाता है संयुक्त,या व्याख्या करने योग्यअगर उसके पास है कम से कमएक हल। सिस्टम कहा जाता है असंगत,या अघुलनशीलअगर इसका कोई समाधान नहीं है।

,

दाईं ओर मैट्रिक्स ए को मुक्त शर्तों के एक कॉलम को असाइन करके गठित कहा जाता है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली।

सिस्टम (5.1) की संगतता का प्रश्न निम्नलिखित प्रमेय द्वारा हल किया गया है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय . रैखिक समीकरणों की प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि आव्यूहों A और ρA की कोटि संपाती है, अर्थात आर (ए) = आर (ए) = आर।

सिस्टम (5.1) के समाधान के सेट एम के लिए, तीन संभावनाएँ हैं:

1) एम =  (इस मामले में प्रणाली असंगत है);

2) M में एक तत्व होता है, अर्थात प्रणाली है केवल निर्णय(इस मामले में सिस्टम कहा जाता है निश्चित);

3) M में एक से अधिक तत्व होते हैं (तब सिस्टम कहलाता है ढुलमुल). तीसरे मामले में, सिस्टम (5.1) में अनंत संख्या में समाधान हैं।

सिस्टम का केवल एक अद्वितीय समाधान है यदि आर (ए) = एन। इस मामले में, समीकरणों की संख्या नहीं है संख्या से कमअज्ञात (mn); अगर एम> एन, तो एम-एन समीकरणदूसरों के परिणाम हैं। अगर 0

रैखिक समीकरणों की मनमाना प्रणाली को हल करने के लिए, किसी को ऐसे सिस्टम को हल करने में सक्षम होना चाहिए जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर हो, तथाकथित क्रैमर टाइप सिस्टम:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n ।

सिस्टम (5.3) निम्नलिखित तरीकों में से एक में हल किए जाते हैं: 1) गॉस विधि द्वारा, या अज्ञात को समाप्त करने की विधि द्वारा; 2) क्रैमर के सूत्रों के अनुसार; 3) मैट्रिक्स विधि द्वारा।

उदाहरण 2.12. समीकरणों की प्रणाली की जाँच करें और इसे संगत होने पर हल करें:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

एक्स 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0।

समाधान।हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं:

 .

आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के रैंक की गणना करें। यह स्पष्ट है कि, उदाहरण के लिए, ऊपरी बाएँ कोने में दूसरे क्रम का माइनर = 7  0; इसे रखने वाले तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य के बराबर हैं:

इसलिए, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रैंक 2 है, अर्थात आर (ए) = 2। विस्तारित मैट्रिक्स A के रैंक की गणना करने के लिए, सीमावर्ती नाबालिग पर विचार करें

इसलिए, विस्तारित मैट्रिक्स का रैंक r(A) = 3 है। चूंकि r(A)  r(A), सिस्टम असंगत है।

एन अज्ञात के साथ एम रैखिक समीकरणों की प्रणालीफॉर्म की एक प्रणाली कहा जाता है

कहाँ पे ऐजतथा बी मैं (मैं=1,…,एम; बी=1,…,एन) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1 ,…, एक्स एन- अनजान। गुणांकों के अंकन में ऐजपहला सूचकांक मैंसमीकरण की संख्या को दर्शाता है, और दूसरा जेअज्ञात की वह संख्या है जिस पर यह गुणांक है।

अज्ञात के गुणांक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाएंगे , जिसे हम कॉल करेंगे सिस्टम मैट्रिक्स.

समीकरणों के दाईं ओर की संख्याएँ बी 1,…, बी एमबुलाया स्वतंत्र सदस्य।

सकल एननंबर सी 1,…, सी एनबुलाया फेसलाइस प्रणाली का, यदि प्रणाली का प्रत्येक समीकरण इसमें संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद एक समानता बन जाता है सी 1,…, सी एनसंबंधित अज्ञात के बजाय एक्स 1 ,…, एक्स एन.

हमारा काम सिस्टम का समाधान खोजना होगा। इस स्थिति में, तीन स्थितियाँ उत्पन्न हो सकती हैं:

कम से कम एक समाधान वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली कहलाती है संयुक्त. अन्यथा, अर्थात् अगर सिस्टम में कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है असंगत.

सिस्टम के समाधान खोजने के तरीकों पर विचार करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षिप्त रूप से लिखना संभव बनाते हैं। तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दें:

सिस्टम के मैट्रिक्स पर विचार करें और अज्ञात और मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स कॉलम

आइए उत्पाद खोजें

वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हम इस प्रणाली के समीकरणों के बाएं हाथ के पक्ष प्राप्त करते हैं। फिर, मैट्रिक्स समानता की परिभाषा का उपयोग करते हुए, इस प्रणाली को इस रूप में लिखा जा सकता है

या छोटा ए∙एक्स = बी.

यहाँ मेट्रिसेस एतथा बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअनजान। उसे खोजने की जरूरत है, क्योंकि। इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। यह समीकरण कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.

बता दें कि मैट्रिक्स निर्धारक शून्य | से अलग है ए| ≠ 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण को निम्नानुसार हल किया जाता है। बायीं ओर के समीकरण के दोनों पक्षों को आव्यूह से गुणा कीजिये एक-1, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ए: . क्यों कि ए -1 ए = ईतथा इ∙एक्स = एक्स, तो हम फॉर्म में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैं एक्स = ए -1 बी .

ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के समान है. हालाँकि, सिस्टम का मैट्रिक्स अंकन भी उस स्थिति में संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर नहीं है, फिर मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं है और इसलिए फॉर्म में सिस्टम का समाधान खोजना असंभव है एक्स = ए -1 बी.

उदाहरण।समीकरणों के सिस्टम को हल करें।

क्रैमर का नियम

तीन अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरा क्रम निर्धारक, यानी अज्ञात पर गुणांक से बना,

बुलाया प्रणाली निर्धारक.

हम निम्नानुसार तीन और निर्धारकों की रचना करते हैं: हम निर्धारक डी में क्रमशः 1, 2 और 3 स्तंभों को मुक्त सदस्यों के स्तंभ से प्रतिस्थापित करते हैं

तब हम निम्नलिखित परिणाम को सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमेय (क्रैमर का नियम)।यदि सिस्टम का निर्धारक Δ ≠ 0 है, तो विचाराधीन सिस्टम में एक और केवल एक समाधान है, और

सबूत. तो, तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। सिस्टम के पहले समीकरण को बीजगणितीय पूरक से गुणा करें ए 11तत्व एक 11, दूसरा समीकरण - चालू ए21और तीसरा - चालू ए 31:

आइए इन समीकरणों को जोड़ें:

इस समीकरण के प्रत्येक कोष्ठक और दाईं ओर पर विचार करें। पहले स्तंभ के तत्वों के संदर्भ में निर्धारक के विस्तार पर प्रमेय द्वारा

इसी प्रकार, यह दिखाया जा सकता है कि और।

अंत में, यह देखना आसान है

इस प्रकार, हम समानता प्राप्त करते हैं:।

फलस्वरूप, ।

समानताएँ और समान रूप से प्राप्त की जाती हैं, जहाँ से प्रमेय का अभिकथन होता है।

इस प्रकार, हम ध्यान देते हैं कि यदि सिस्टम का निर्धारक ≠ 0 है, तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है और इसके विपरीत। यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, तो सिस्टम में या तो समाधान का एक अनंत सेट है या इसका कोई समाधान नहीं है, अर्थात। असंगत।

उदाहरण।समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

गॉस विधि

पहले विचार किए गए तरीकों का उपयोग केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और प्रणाली का निर्धारक शून्य से अलग होना चाहिए। गॉसियन विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी संख्या के समीकरणों वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है। इसमें सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन शामिल हैं।

फिर से तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

.

हम पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और दूसरे और तीसरे से हम शामिल शर्तों को बाहर कर देते हैं एक्स 1. ऐसा करने के लिए, हम दूसरे समीकरण को विभाजित करते हैं एक 21 और गुणा करें - एक 11 और फिर पहले समीकरण में जोड़ें। इसी प्रकार, हम तीसरे समीकरण को विभाजित करते हैं एक 31 और गुणा करें - एक 11 और फिर इसे पहले वाले में जोड़ें। नतीजतन, मूल प्रणाली रूप लेगी:

अब, अंतिम समीकरण से, हम युक्त शब्द को हटा देते हैं x2. ऐसा करने के लिए, तीसरे समीकरण को से विभाजित करें, से गुणा करें और इसे दूसरे में जोड़ें। तब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली होगी:

इसलिए अंतिम समीकरण से इसे खोजना आसान है एक्स 3, फिर दूसरे समीकरण से x2और अंत में पहली से - एक्स 1.

गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, यदि आवश्यक हो तो समीकरणों को आपस में बदला जा सकता है।

अक्सर, समीकरणों की एक नई प्रणाली लिखने के बजाय, वे सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखने के लिए खुद को सीमित करते हैं:

और फिर इसे प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके त्रिकोणीय या विकर्ण रूप में लाएं।

प्रति प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिसेस में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं:

1. पंक्तियों या स्तंभों का क्रमपरिवर्तन;
2. एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
3. एक पंक्ति में दूसरी पंक्तियाँ जोड़ना।

उदाहरण:गॉस पद्धति का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें।

इस प्रकार, सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं।

उलटा मैट्रिक्स विधि एक विशेष मामला है मैट्रिक्स समीकरण

सिस्टम को मैट्रिक्स विधि से हल करें

समाधान: हम सिस्टम को मैट्रिक्स के रूप में लिखते हैं। हम सूत्र द्वारा सिस्टम का समाधान पाते हैं (अंतिम सूत्र देखें)

हम सूत्र द्वारा उलटा मैट्रिक्स पाते हैं:
, जहां मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरक का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स है।

सबसे पहले, आइए निर्धारक से निपटें:

यहाँ निर्धारक को पहली पंक्ति द्वारा विस्तारित किया जाता है।

ध्यान! यदि, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है, और मैट्रिक्स विधि द्वारा सिस्टम को हल करना असंभव है। इस मामले में, सिस्टम को अज्ञात विधि (गॉस विधि) के उन्मूलन द्वारा हल किया जाता है।

अब आपको 9 नाबालिगों की गणना करने और उन्हें नाबालिगों के मैट्रिक्स में लिखने की जरूरत है

संदर्भ:रैखिक बीजगणित में डबल सबस्क्रिप्ट का अर्थ जानना उपयोगी है। पहला अंक वह पंक्ति संख्या है जिसमें तत्व स्थित है। दूसरा अंक उस कॉलम की संख्या है जिसमें तत्व स्थित है:

अर्थात्, एक डबल सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि तत्व पहली पंक्ति में है, तीसरा स्तंभ, जबकि, उदाहरण के लिए, तत्व तीसरी पंक्ति में है, दूसरा स्तंभ

हल करने के दौरान, नाबालिगों की गणना का विस्तार से वर्णन करना बेहतर होता है, हालांकि, एक निश्चित अनुभव के साथ, उन्हें मौखिक रूप से त्रुटियों के साथ गिनने के लिए समायोजित किया जा सकता है।

नाबालिगों की गणना का क्रम बिल्कुल महत्वपूर्ण नहीं है, यहां मैंने उन्हें पंक्ति से बाएं से दाएं पंक्ति में गणना की। स्तंभों द्वारा अवयस्कों की गणना करना संभव था (यह और भी सुविधाजनक है)।

इस तरह:

मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के नाबालिगों का मैट्रिक्स है।

बीजगणितीय जोड़ का मैट्रिक्स है।

बीजगणितीय जोड़ का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स है।

मैं दोहराता हूं, हमारे द्वारा किए गए चरणों का पाठ में विस्तार से विश्लेषण किया गया था। उलटा मैट्रिक्स कैसे खोजें?

अब हम उलटा मैट्रिक्स लिखते हैं:

किसी भी मामले में हम मैट्रिक्स में प्रवेश नहीं करते हैं, यह आगे की गणनाओं को गंभीरता से जटिल करेगा. यदि मैट्रिक्स में सभी संख्याएँ शेष के बिना 60 से विभाज्य हैं, तो विभाजन करना होगा। लेकिन इस मामले में मैट्रिक्स में माइनस जोड़ना बहुत आवश्यक है, इसके विपरीत, यह आगे की गणना को सरल करेगा।

यह मैट्रिक्स गुणा करने के लिए बनी हुई है। आप पाठ में आव्यूहों का गुणा करना सीख सकते हैं मेट्रिसेस के साथ क्रियाएं. वैसे, बिल्कुल वही उदाहरण है।

ध्यान दें कि 60 से विभाजन किया जाता है अंतिम.
कभी-कभी यह पूरी तरह से विभाजित नहीं हो सकता है, अर्थात। "खराब" अंश प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे मामलों में क्या करना है, मैंने पहले ही बताया था जब हमने क्रैमर के नियम का विश्लेषण किया था।

उत्तर:

उदाहरण 12

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

यह स्व-समाधान (पाठ के अंत में नमूना और उत्तर को पूरा करना) के लिए एक उदाहरण है।

सिस्टम को हल करने का सबसे सार्वभौमिक तरीका है अज्ञात को हटाने की विधि (गॉस विधि). एल्गोरिथ्म को सुलभ तरीके से समझाना इतना आसान नहीं है, लेकिन मैंने कोशिश की!

आपकी सफलता की कामना करते है!

उत्तर:

उदाहरण 3:

उदाहरण 6:

उदाहरण 8: , . आप इस उदाहरण के लिए एक नमूना समाधान देख या डाउनलोड कर सकते हैं (नीचे लिंक)।

उदाहरण 10, 12:

हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करना जारी रखते हैं। यह पाठ इस विषय पर तीसरा है। यदि आपके पास एक अस्पष्ट विचार है कि सामान्य रूप से रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली क्या है, तो आप एक चायदानी की तरह महसूस करते हैं, तो मैं अगले पृष्ठ पर मूल बातें शुरू करने की सलाह देता हूं, यह पाठ का अध्ययन करने के लिए उपयोगी है।

गॉस विधि आसान है!क्यों? प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ जोहान कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपने जीवनकाल के दौरान, सभी समय के महानतम गणितज्ञ, एक प्रतिभाशाली और यहां तक ​​​​कि "गणित के राजा" उपनाम के रूप में मान्यता प्राप्त की। और सरल सब कुछ, जैसा कि आप जानते हैं, सरल है!वैसे, न केवल चूसने वाले, बल्कि जीनियस भी पैसे में आते हैं - गॉस का चित्र 10 Deutschmark (यूरो की शुरूआत से पहले) के बिल पर फहराया गया था, और गॉस अभी भी साधारण डाक टिकटों से जर्मनों पर रहस्यमय तरीके से मुस्कुराता है।

गॉस विधि इस मायने में सरल है कि यह पाँचवीं कक्षा के छात्र के ज्ञान में महारत हासिल करने के लिए पर्याप्त है। जोड़ने और गुणा करने में सक्षम होना चाहिए!यह कोई संयोग नहीं है कि स्कूल के गणितीय ऐच्छिक में शिक्षकों द्वारा अक्सर अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि पर विचार किया जाता है। यह एक विरोधाभास है, लेकिन गॉस पद्धति छात्रों के लिए सबसे बड़ी मुश्किलें खड़ी करती है। आश्चर्य की बात नहीं है - यह सब कार्यप्रणाली के बारे में है, और मैं विधि के एल्गोरिथ्म के बारे में सुलभ रूप में बताने की कोशिश करूंगा।

सबसे पहले, हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के बारे में ज्ञान को थोड़ा व्यवस्थित करते हैं। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कर सकती है:

1) एक अनूठा समाधान है।
2) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
3) कोई समाधान नहीं है (बी असंगत).

समाधान खोजने के लिए गॉस विधि सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण है कोईरैखिक समीकरणों की प्रणाली। जैसा कि हमें याद है क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधिउन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम में असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि वैसे भीहमें उत्तर की ओर ले जाएं! इस पाठ में, हम फिर से केस नंबर 1 (सिस्टम का एकमात्र समाधान) के लिए गॉस विधि पर विचार करेंगे, एक लेख अंक संख्या 2-3 की स्थितियों के लिए आरक्षित है। मैं ध्यान देता हूं कि विधि एल्गोरिदम स्वयं तीनों मामलों में उसी तरह काम करता है।

पाठ से सबसे सरल प्रणाली पर लौटते हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?
और गॉसियन विधि से हल करें।

पहला कदम लिखना है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली:
. गुणांक किस सिद्धांत से दर्ज किए गए हैं, मुझे लगता है कि हर कोई देख सकता है। मैट्रिक्स के अंदर लंबवत रेखा में कोई गणितीय अर्थ नहीं होता है - यह डिज़ाइन में आसानी के लिए केवल एक स्ट्राइकथ्रू है।

संदर्भ: मैं याद करने की सलाह देता हूंशर्तें लीनियर अलजेब्रा।सिस्टम मैट्रिक्स अज्ञात के लिए केवल गुणांक से बना एक मैट्रिक्स है, इस उदाहरण में, सिस्टम का मैट्रिक्स: . विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स इस मामले में सिस्टम का एक ही मैट्रिक्स और मुक्त सदस्यों का एक स्तंभ है: . संक्षिप्तता के लिए किसी भी मैट्रिक्स को केवल एक मैट्रिक्स कहा जा सकता है।

विस्तारित मैट्रिक्स सिस्टम लिखे जाने के बाद, इसके साथ कुछ क्रियाएं करना आवश्यक है, जिन्हें भी कहा जाता है प्राथमिक परिवर्तन.

निम्नलिखित प्राथमिक परिवर्तन हैं:

1) स्ट्रिंग्समैट्रिक्स पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता हैस्थान। उदाहरण के लिए, विचाराधीन मैट्रिक्स में, आप पहली और दूसरी पंक्तियों को सुरक्षित रूप से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ हैं (या दिखाई देती हैं), तो यह अनुसरण करता है मिटानामैट्रिक्स से, इन सभी पंक्तियों को छोड़कर। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें . इस मैट्रिक्स में, अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से केवल एक को छोड़ना पर्याप्त है: .

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी अनुसरण करता है मिटाना. मैं नहीं खींचूंगा, बेशक, शून्य रेखा वह रेखा है जिसमें केवल शून्य.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति हो सकती है गुणा (विभाजित)किसी भी संख्या के लिए गैर शून्य. उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें। यहाँ यह सलाह दी जाती है कि पहली पंक्ति को -3 से विभाजित करें, और दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करें: . यह क्रिया बहुत उपयोगी है, क्योंकि यह मैट्रिक्स के आगे के परिवर्तनों को सरल बनाती है।

5) यह परिवर्तन सबसे अधिक कठिनाइयों का कारण बनता है, लेकिन वास्तव में कुछ भी जटिल नहीं है। मैट्रिक्स की पंक्ति के लिए, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न। एक व्यावहारिक उदाहरण से हमारे मैट्रिक्स पर विचार करें: . सबसे पहले, मैं परिवर्तन का विस्तार से वर्णन करूँगा। पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें: , तथा दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ते हैं: . अब पहली पंक्ति को "पीछे" -2 से विभाजित किया जा सकता है:। जैसा कि आप देख सकते हैं, वह रेखा जो ADDED है ली – नहीं बदला है. हमेशा से रहा हैलाइन बदल दी गई है, जिसे जोड़ा गया है केन्द्र शासित प्रदेशों.

व्यवहार में, बेशक, वे इस तरह के विस्तार से पेंट नहीं करते हैं, लेकिन कम लिखते हैं:

एक बार फिर: दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ा गया. रेखा को आमतौर पर मौखिक रूप से या मसौदे पर गुणा किया जाता है, जबकि गणना का मानसिक क्रम कुछ ऐसा होता है:

"मैं मैट्रिक्स को फिर से लिखता हूं और पहली पंक्ति को फिर से लिखता हूं:"

पहला कॉलम पहले। नीचे मुझे शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। इसलिए, मैं उपरोक्त इकाई को -2: से गुणा करता हूं और पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 2 + (-2) = 0। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

"अब दूसरा कॉलम। ऊपर -1 गुना -2: . मैं पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 1 + 2 = 3। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: "

"और तीसरा स्तंभ। ऊपर -5 गुना -2: . मैं पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: -7 + 10 = 3. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

कृपया इस उदाहरण के बारे में ध्यान से सोचें और अनुक्रमिक गणना एल्गोरिदम को समझें, यदि आप इसे समझते हैं, तो गॉस विधि व्यावहारिक रूप से "आपकी जेब में" है। लेकिन निश्चित रूप से हम अभी भी इस बदलाव पर काम कर रहे हैं।

प्रारंभिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं

! ध्यान:जोड़तोड़ माना जाता है उपयोग नहीं कर सकते, यदि आपको एक कार्य की पेशकश की जाती है जहाँ मेट्रिसेस "स्वयं द्वारा" दिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, "क्लासिक" के साथ मैट्रिक्सकिसी भी स्थिति में आपको मेट्रिसेस के अंदर कुछ पुनर्व्यवस्थित नहीं करना चाहिए!

आइए अपने सिस्टम पर वापस जाएं। वह लगभग हो चुकी है।

आइए हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे कम करें चरणबद्ध दृश्य:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया, -2 से गुणा किया गया। वैसे, हम पहली पंक्ति को -2 से गुणा क्यों करते हैं? तल पर शून्य प्राप्त करने के लिए, जिसका अर्थ है दूसरी पंक्ति में एक चर से छुटकारा पाना।

(2) दूसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्राथमिक परिवर्तनों का उद्देश्य– मैट्रिक्स को स्टेप फॉर्म में बदलें: . कार्य के डिजाइन में, वे सीधे "सीढ़ी" को एक साधारण पेंसिल से खींचते हैं, और "चरणों" पर स्थित संख्याओं को भी घेरते हैं। "स्टेप्ड व्यू" शब्द पूरी तरह से सैद्धांतिक नहीं है, वैज्ञानिक और शैक्षिक साहित्य में इसे अक्सर कहा जाता है ट्रैपेज़ॉइडल दृश्यया त्रिकोणीय दृश्य.

प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमने प्राप्त किया है बराबरसमीकरणों की मूल प्रणाली:

अब सिस्टम को विपरीत दिशा में "अनवांटेड" होने की जरूरत है - नीचे से ऊपर तक, इस प्रक्रिया को कहा जाता है रिवर्स गॉस विधि.

निचले समीकरण में, हमारे पास पहले से ही तैयार परिणाम है: .

सिस्टम के पहले समीकरण पर विचार करें और उसमें "y" के पहले से ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करें:

आइए सबसे सामान्य स्थिति पर विचार करें, जब तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए गॉसियन विधि की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 1

गॉस पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें:

अब मैं तुरंत परिणाम निकालूंगा कि हम समाधान के क्रम में आएंगे:

और मैं दोहराता हूं, हमारा लक्ष्य प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में लाना है। कार्रवाई कहां से शुरू करें?

सबसे पहले, ऊपरी बाएँ नंबर को देखें:

लगभग हमेशा यहाँ रहना चाहिए इकाई. आम तौर पर, -1 (और कभी-कभी अन्य संख्याएं) भी उपयुक्त होंगी, लेकिन किसी तरह यह पारंपरिक रूप से हुआ है कि आमतौर पर एक इकाई को वहां रखा जाता है। एक इकाई कैसे व्यवस्थित करें? हम पहले कॉलम को देखते हैं - हमारे पास एक पूर्ण इकाई है! परिवर्तन एक: पहली और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली करें:

अब पहली पंक्ति समाधान के अंत तक अपरिवर्तित रहेगी. अब ठीक है।

शीर्ष बाईं ओर की इकाई व्यवस्थित है। अब आपको इन स्थानों पर शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है:

शून्य केवल "कठिन" परिवर्तन की सहायता से प्राप्त किए जाते हैं। सबसे पहले, हम दूसरी पंक्ति (2, -1, 3, 13) से निपटते हैं। पहले स्थान पर शून्य लाने के लिए क्या करना होगा? जरुरत दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर, हम पहली पंक्ति को -2 से गुणा करते हैं: (-2, -4, 2, -18)। और हम लगातार (फिर से मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर) जोड़ते हैं, दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, पहले से -2 से गुणा:

परिणाम दूसरी पंक्ति में लिखा है:

इसी प्रकार, हम तीसरी पंक्ति (3, 2, -5, -1) से निपटते हैं। पहले स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए, आपको चाहिए तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर, हम पहली पंक्ति को -3 से गुणा करते हैं: (-3, -6, 3, -27)। और तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ते हैं:

परिणाम तीसरी पंक्ति में लिखा है:

व्यवहार में, ये क्रियाएं आमतौर पर मौखिक रूप से की जाती हैं और एक चरण में लिखी जाती हैं:

एक बार में और एक ही समय में सब कुछ गिनने की जरूरत नहीं है. गणना का क्रम और परिणामों का "सम्मिलन" लगातारऔर आमतौर पर इस तरह: पहले हम पहली पंक्ति को फिर से लिखते हैं, और चुपचाप खुद को कश लगाते हैं - लगातार और सावधानी से:

और मैंने पहले ही ऊपर की गणनाओं के मानसिक पाठ्यक्रम पर विचार कर लिया है।

इस उदाहरण में, यह करना आसान है, हम दूसरी पंक्ति को -5 से विभाजित करते हैं (चूंकि सभी संख्याएं शेष के बिना 5 से विभाज्य हैं)। उसी समय, हम तीसरी पंक्ति को -2 से विभाजित करते हैं, क्योंकि संख्या जितनी छोटी होगी, समाधान उतना ही सरल होगा:

प्रारंभिक परिवर्तनों के अंतिम चरण में, यहाँ एक और शून्य प्राप्त किया जाना चाहिए:

इसके लिए तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -2 से गुणा किया जाता है:

इस क्रिया को स्वयं पार्स करने का प्रयास करें - मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -2 से गुणा करें और जोड़ को पूरा करें।

की गई अंतिम क्रिया परिणाम का केश है, तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, रैखिक समीकरणों की एक समतुल्य प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त की गई थी:

ठंडा।

अब गॉसियन पद्धति का उल्टा कोर्स चलन में आता है। नीचे से ऊपर तक समीकरण "खोलें"।

तीसरे समीकरण में, हमारे पास पहले से ही तैयार परिणाम है:

आइए दूसरे समीकरण को देखें: . "जेड" का अर्थ पहले से ही ज्ञात है, इस प्रकार:

और अंत में, पहला समीकरण: . "वाई" और "जेड" ज्ञात हैं, मामला छोटा है:

उत्तर:

जैसा कि बार-बार नोट किया गया है, समीकरणों की किसी भी प्रणाली के लिए, पाया समाधान की जांच करना संभव और आवश्यक है, सौभाग्य से, यह मुश्किल और तेज नहीं है।

उदाहरण 2

यह स्व-सुलझाने का उदाहरण है, परिष्करण का एक नमूना है और पाठ के अंत में एक उत्तर है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आपका कार्रवाई के दौरानहो सकता है मेरी कार्यशैली से मेल न खाए, और यह गॉस पद्धति की एक विशेषता है. लेकिन उत्तर एक ही होने चाहिए!

उदाहरण 3

गॉस पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारे पास एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। मैंने यह किया: (1) पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, -1 से गुणा करते हैं. यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ दिया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर -1, जो हमें ठीक लगता है। जो +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त इशारा कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिह्न बदलें)।

(2) पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3) पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे चरण पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

(4) दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(5) तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया था।

एक बुरा संकेत जो एक गणना त्रुटि को इंगित करता है (कम अक्सर एक टाइपो) एक "खराब" निचला रेखा है। यही है, अगर हमें नीचे जैसा कुछ मिला है, और तदनुसार, , तब उच्च स्तर की संभाव्यता के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि प्राथमिक परिवर्तनों के दौरान एक त्रुटि हुई थी।

हम रिवर्स मूव को चार्ज करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। रिवर्स मूव, मैं आपको याद दिलाता हूं, नीचे से ऊपर तक काम करता है:
हाँ, यहाँ एक उपहार है:

उत्तर: .

उदाहरण 4

गॉस पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, यह कुछ अधिक जटिल है। कोई भ्रमित हो जाए तो ठीक है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और डिज़ाइन नमूना। आपका समाधान मेरा से भिन्न हो सकता है।

पिछले भाग में, हम गॉस एल्गोरिथम की कुछ विशेषताओं पर विचार करते हैं।
पहली विशेषता यह है कि कभी-कभी सिस्टम के समीकरणों में कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए:

सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को सही तरीके से कैसे लिखें? मैंने इस क्षण के बारे में पाठ में पहले ही बात कर ली है। क्रैमर का नियम। मैट्रिक्स विधि. सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में, हम लापता चर के स्थान पर शून्य लगाते हैं:

वैसे, यह एक काफी आसान उदाहरण है, क्योंकि पहले कॉलम में पहले से ही एक शून्य है, और प्रदर्शन करने के लिए कम प्राथमिक परिवर्तन हैं।

दूसरी विशेषता यह है। विचार किए गए सभी उदाहरणों में, हमने या तो -1 या +1 को "चरणों" पर रखा। क्या अन्य संख्याएँ हो सकती हैं? कुछ मामलों में वे कर सकते हैं। सिस्टम पर विचार करें: .

यहाँ ऊपरी बाएँ "स्टेप" पर हमारे पास एक ड्यूस है। लेकिन हम इस तथ्य पर ध्यान देते हैं कि पहले कॉलम की सभी संख्याएँ बिना शेष के 2 से विभाज्य हैं - और दूसरी दो और छह। और ऊपर बाईं ओर का ड्यूस हमारे अनुरूप होगा! पहले चरण में, आपको निम्नलिखित परिवर्तन करने की आवश्यकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ें; तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ें। इस प्रकार, हम पहले कॉलम में वांछित शून्य प्राप्त करेंगे।

या एक और काल्पनिक उदाहरण: . यहाँ, दूसरे "रंग" पर ट्रिपल भी हमें सूट करता है, क्योंकि 12 (जिस स्थान पर हमें शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है) बिना शेष के 3 से विभाज्य है। निम्नलिखित परिवर्तन करना आवश्यक है: तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति जोड़ें, -4 से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप हमें जो शून्य चाहिए वह प्राप्त होगा।

गॉस विधि सार्वभौमिक है, लेकिन एक ख़ासियत है। आप आत्मविश्वास से सीख सकते हैं कि सिस्टम को अन्य तरीकों से कैसे हल किया जाए (क्रैमर की विधि, मैट्रिक्स विधि) सचमुच पहली बार - एक बहुत ही कठोर एल्गोरिदम है। लेकिन गॉस पद्धति में आत्मविश्वास महसूस करने के लिए, आपको "अपना हाथ भरना चाहिए" और कम से कम 5-10 दस सिस्टम हल करने चाहिए। इसलिए, सबसे पहले भ्रम हो सकता है, गणना में त्रुटियां हो सकती हैं, और इसमें कुछ भी असामान्य या दुखद नहीं है।

खिड़की के बाहर बरसाती शरद ऋतु का मौसम .... इसलिए, सभी के लिए, एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक अधिक जटिल उदाहरण:

उदाहरण 5

गॉस पद्धति का उपयोग करके चार अज्ञात के साथ 4 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

व्यवहार में ऐसा कार्य इतना दुर्लभ नहीं है। मुझे लगता है कि एक चायदानी जिसने इस पृष्ठ का विस्तार से अध्ययन किया है, वह इस तरह की प्रणाली को सहजता से हल करने के लिए एल्गोरिदम को समझता है। मूल रूप से वही - बस अधिक क्रिया।

ऐसे मामले जब सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है (असंगत) या असीम रूप से कई समाधान पाठ में माने जाते हैं। एक सामान्य समाधान के साथ असंगत सिस्टम और सिस्टम. वहां आप गॉस विधि के विचारित एल्गोरिदम को ठीक कर सकते हैं।

आपकी सफलता की कामना करते है!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: चलिए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से हम इसे चरण रूप में लाते हैं।

प्रदर्शन किए गए प्राथमिक परिवर्तन:
(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया, -2 से गुणा किया गया। पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, -1 से गुणा किया गया।ध्यान! यहां पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से घटाना आकर्षक हो सकता है, मैं दृढ़ता से घटाव की अनुशंसा नहीं करता - त्रुटि का जोखिम बहुत बढ़ जाता है। हम बस फोल्ड करते हैं!
(2) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था (-1 से गुणा)। दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली की गई है।टिप्पणी कि "कदमों" पर हम न केवल एक से, बल्कि -1 से भी संतुष्ट हैं, जो और भी सुविधाजनक है।
(3) तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 5 से गुणा करके जोड़ें।
(4) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था (-1 से गुणा)। तीसरी पंक्ति को 14 से विभाजित किया गया था।

उलटी चाल:


उत्तर: .

उदाहरण 4: हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, हम इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

किए गए रूपांतरण:
(1) दूसरी पंक्ति को पहली पंक्ति में जोड़ा गया। इस प्रकार, वांछित इकाई ऊपरी बाएँ "कदम" पर आयोजित की जाती है।
(2) पहली पंक्ति को 7 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 6 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

दूसरे "कदम" के साथ सब कुछ खराब है , इसके लिए "उम्मीदवार" 17 और 23 नंबर हैं, और हमें एक या -1 की आवश्यकता है। परिवर्तन (3) और (4) का लक्ष्य वांछित इकाई प्राप्त करना होगा

(3) दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, -1 से गुणा किया गया।
(4) तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ दिया गया।
दूसरे पग पर आवश्यक वस्तु प्राप्त हो जाती है .
(5) तीसरी पंक्ति में दूसरा जोड़ा, 6 से गुणा किया।
(6) दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, तीसरी पंक्ति को -83 से विभाजित किया गया था।जाहिर है, विमान विशिष्ट रूप से तीन अलग-अलग बिंदुओं से निर्धारित होता है जो एक सीधी रेखा पर स्थित नहीं होते हैं। इसलिए, विमानों के तीन-अक्षर पदनाम काफी लोकप्रिय हैं - उनसे संबंधित बिंदुओं के अनुसार, उदाहरण के लिए; .यदि स्वतंत्र सदस्य हैं

विषय 2. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली।

मूल अवधारणा।

परिभाषा 1. व्यवस्था एमके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात प्रपत्र की एक प्रणाली है:

कहाँ और संख्याएँ हैं।

परिभाषा 2. सिस्टम (I) का समाधान अज्ञात का एक ऐसा सेट है, जिसमें इस सिस्टम का प्रत्येक समीकरण एक पहचान में बदल जाता है।

परिभाषा 3. सिस्टम (आई) कहा जाता है संयुक्तअगर इसका कम से कम एक समाधान है और असंगतअगर इसका कोई समाधान नहीं है। संयुक्त प्रणाली कहलाती है निश्चितअगर इसका एक अनूठा समाधान है, और ढुलमुलअन्यथा।

परिभाषा 4. समीकरण टाइप करें

बुलाया शून्य, और प्रपत्र का एक समीकरण

बुलाया असंगत. जाहिर है, एक असंगत समीकरण वाले समीकरणों की एक प्रणाली असंगत है।

परिभाषा 5. रैखिक समीकरणों की दो प्रणालियों को कहा जाता है बराबरयदि एक प्रणाली का हर समाधान दूसरे का समाधान है और, इसके विपरीत, दूसरी प्रणाली का हर समाधान पहले का समाधान है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए मैट्रिक्स संकेतन।

सिस्टम (I) पर विचार करें (§1 देखें)।

निरूपित करें:

अज्ञात के लिए गुणांक मैट्रिक्स

मैट्रिक्स - मुक्त सदस्यों का स्तंभ

मैट्रिक्स - अज्ञात का स्तंभ

.

परिभाषा 1.मैट्रिक्स कहा जाता है सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स(I), और मैट्रिक्स सिस्टम (I) का संवर्धित मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स समानता की परिभाषा के अनुसार, सिस्टम (I) मैट्रिक्स समानता से मेल खाता है:

.

मैट्रिसेस के उत्पाद की परिभाषा द्वारा इस समानता के दाईं ओर ( परिभाषा 3 § 5 अध्याय 1 देखें) गुणनखंडित किया जा सकता है:

, अर्थात।

समानता (2) बुलाया प्रणाली का मैट्रिक्स अंकन (I).

क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना।

लेट इन सिस्टम (I) (देखें §1) एम = एन, अर्थात। समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है, और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट है, अर्थात . फिर §1 से सिस्टम (I) का एक अनूठा समाधान है

कहाँ ∆ = डेट एमुख्य कहा जाता है प्रणाली निर्धारक(मैं), ∆ मैंसारणिक Δ को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है मैं-th कॉलम सिस्टम के मुक्त सदस्यों (I) के कॉलम में।

उदाहरण: क्रैमर की विधि द्वारा सिस्टम को हल करें:

.

सूत्रों द्वारा (3) .

हम सिस्टम के निर्धारकों की गणना करते हैं:

,

,

.

निर्धारक प्राप्त करने के लिए, हमने निर्धारक में पहले स्तंभ को मुक्त पदों के स्तंभ से बदल दिया है; निर्धारक में दूसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर, हम प्राप्त करते हैं; इसी तरह, निर्धारक में तीसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर, हम प्राप्त करते हैं। सिस्टम समाधान:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

लेट इन सिस्टम (I) (देखें §1) एम = एनऔर सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट है। हम मैट्रिक्स फॉर्म में सिस्टम (I) लिखते हैं ( §2 देखें):

इसलिये आव्यूह ए nondegenerate है, तो इसका एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है ( अध्याय 1 का प्रमेय 1 §6 देखें). समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें (2) मैट्रिक्स के लिए, फिर

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा के अनुसार। समानता से (3) अपने पास

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

.

निरूपित

उदाहरण (§ 3) में हमने निर्धारक की गणना की, इसलिए, मैट्रिक्स एएक उलटा मैट्रिक्स है। फिर बल में (4) , अर्थात।

. (5)

मैट्रिक्स खोजें ( §6 अध्याय 1 देखें)

, , ,

, , ,

,

.

गॉस विधि।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली दी जाए:

. (मैं)

सिस्टम (I) के सभी समाधान खोजने या यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि सिस्टम असंगत है।

परिभाषा 1.आइए हम सिस्टम के प्राथमिक परिवर्तन को कहते हैं(I) तीन क्रियाओं में से कोई भी:

1) शून्य समीकरण को हटाना;

2) समीकरण के दोनों भागों में दूसरे समीकरण के संगत भागों को जोड़कर, संख्या l से गुणा करके;

3) सिस्टम के समीकरणों में शर्तों की अदला-बदली ताकि सभी समीकरणों में समान संख्या वाले अज्ञात समान स्थानों पर कब्जा कर लें, अर्थात यदि, उदाहरण के लिए, पहले समीकरण में हमने दूसरे और तीसरे शब्दों को बदल दिया है, तो सिस्टम के सभी समीकरणों में भी यही किया जाना चाहिए।

गॉस पद्धति में यह तथ्य शामिल है कि प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से प्रणाली (I) को एक समतुल्य प्रणाली में घटाया जाता है, जिसका समाधान सीधे पाया जाता है या इसकी अघुलनशीलता स्थापित की जाती है।

जैसा कि §2 में वर्णित है, सिस्टम (I) विशिष्ट रूप से इसके विस्तारित मैट्रिक्स द्वारा निर्धारित किया जाता है, और सिस्टम (I) का कोई भी प्राथमिक परिवर्तन विस्तारित मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तन से मेल खाता है:

.

परिवर्तन 1) मैट्रिक्स में शून्य पंक्ति को हटाने से मेल खाता है, परिवर्तन 2) मैट्रिक्स की इसी पंक्ति को जोड़ने के बराबर है, इसकी दूसरी पंक्ति को संख्या l से गुणा किया जाता है, परिवर्तन 3) मैट्रिक्स में स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करने के बराबर है।

यह देखना आसान है कि, इसके विपरीत, मैट्रिक्स का प्रत्येक प्राथमिक परिवर्तन सिस्टम (I) के प्राथमिक परिवर्तन से मेल खाता है। जो कहा गया है, उसके मद्देनजर सिस्टम (I) के साथ संचालन के बजाय, हम इस सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स के साथ काम करेंगे।

मैट्रिक्स में, पहले कॉलम में गुणांक होते हैं एक्स 1, दूसरा स्तंभ - गुणांक से पर एक्स 2आदि। स्तंभों की पुनर्व्यवस्था के मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि इस शर्त का उल्लंघन हुआ है। उदाहरण के लिए, यदि हम पहले और दूसरे कॉलम की अदला-बदली करते हैं, तो अब पहले कॉलम में गुणांक होंगे एक्स 2, और दूसरे कॉलम में - गुणांक पर एक्स 1.

हम सिस्टम (I) को गॉस विधि से हल करेंगे।

1. मैट्रिक्स में सभी शून्य पंक्तियों को काट दें, यदि कोई हो (यानी, सिस्टम (I) में सभी शून्य समीकरणों को पार करें।

2. जांचें कि क्या मैट्रिक्स की पंक्तियों के बीच एक पंक्ति है जिसमें अंतिम को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर हैं (आइए ऐसी पंक्ति को असंगत कहते हैं)। जाहिर है, ऐसी रेखा प्रणाली (I) में एक असंगत समीकरण से मेल खाती है, इसलिए, प्रणाली (I) का कोई समाधान नहीं है, और यह वह जगह है जहां प्रक्रिया समाप्त होती है।

3. मान लें कि मैट्रिक्स में असंगत पंक्तियाँ नहीं हैं (सिस्टम (I) में असंगत समीकरण नहीं हैं)। यदि एक एक 11 = 0, तो हम पहली पंक्ति में कुछ तत्व (अंतिम को छोड़कर) पाते हैं जो शून्य से अलग है और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि पहली पंक्ति में पहले स्थान पर कोई शून्य न हो। अब हम मानते हैं कि (अर्थात, हम सिस्टम (I) के समीकरणों में संबंधित शब्दों की अदला-बदली करते हैं)।

4. पहली पंक्ति को गुणा करें और परिणाम को दूसरी पंक्ति में जोड़ें, फिर पहली पंक्ति को गुणा करें और परिणाम को तीसरी पंक्ति में जोड़ें, आदि। जाहिर है, यह प्रक्रिया अज्ञात को खत्म करने के बराबर है एक्स 1सिस्टम (I) के सभी समीकरणों से, पहले को छोड़कर। नए मैट्रिक्स में, हम तत्व के तहत पहले कॉलम में शून्य प्राप्त करते हैं एक 11:

.

5. मैट्रिक्स में सभी शून्य पंक्तियों को पार करें, यदि कोई हो, तो जांचें कि क्या कोई असंगत पंक्ति है (यदि कोई है, तो सिस्टम असंगत है और समाधान वहीं समाप्त हो जाता है)। आइए देखें कि क्या है एक 22 / = 0, यदि हाँ, तो हम दूसरी पंक्ति में एक तत्व पाते हैं जो शून्य से भिन्न है और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि . इसके बाद, हम दूसरी पंक्ति के तत्वों को गुणा करते हैं और तीसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों के साथ जोड़ें, फिर - दूसरी पंक्ति के तत्वों को और चौथी पंक्ति के संबंधित तत्वों के साथ जोड़ें, आदि, जब तक कि हम शून्य प्राप्त न करें एक 22 /

.

किए गए कार्य अज्ञात के उन्मूलन के बराबर हैं एक्स 2सिस्टम (I) के सभी समीकरणों से, पहले और दूसरे को छोड़कर। चूंकि पंक्तियों की संख्या परिमित है, इसलिए, चरणों की एक सीमित संख्या के बाद, हम पाएंगे कि या तो प्रणाली असंगत है, या हम एक चरण मैट्रिक्स पर आ जाएंगे ( परिभाषा 2 §7 अध्याय 1 देखें) :

,

आइए मैट्रिक्स के अनुरूप समीकरणों की प्रणाली को लिखें। यह सिस्टम सिस्टम (I) के बराबर है

.

अंतिम समीकरण से हम व्यक्त करते हैं; हम पिछले समीकरण में स्थानापन्न करते हैं, खोजते हैं, आदि, जब तक हम प्राप्त नहीं करते।

टिप्पणी 1.इस प्रकार, गॉस विधि द्वारा सिस्टम (I) को हल करते समय, हम निम्नलिखित मामलों में से एक पर पहुंचते हैं।

1. सिस्टम (I) असंगत है।

2. सिस्टम (I) का एक अनूठा समाधान है यदि मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या अज्ञात की संख्या () के बराबर है।

3. मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या अज्ञात की संख्या () से कम होने पर सिस्टम (I) में अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

इसलिए निम्नलिखित प्रमेय मान्य है।

प्रमेय।रैखिक समीकरणों की प्रणाली या तो असंगत है, या इसका एक अनूठा समाधान है, या समाधानों का एक अनंत सेट है।

उदाहरण। गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करें या इसकी असंगतता साबित करें:

बी) ;

a) आइए दिए गए सिस्टम को फॉर्म में फिर से लिखें:

.

हमने गणनाओं को सरल बनाने के लिए मूल प्रणाली के पहले और दूसरे समीकरणों की अदला-बदली की (अंशों के बजाय, हम ऐसे क्रमपरिवर्तन का उपयोग करके केवल पूर्णांकों के साथ काम करेंगे)।

हम एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाते हैं:

.

कोई अशक्त रेखाएँ नहीं हैं; कोई असंगत रेखा नहीं; हम पहले अज्ञात को छोड़कर, सिस्टम के सभी समीकरणों से पहले अज्ञात को बाहर कर देते हैं। ऐसा करने के लिए, हम मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के तत्वों को "-2" से गुणा करते हैं और उन्हें दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों में जोड़ते हैं, जो पहले समीकरण को "-2" से गुणा करने और इसे जोड़ने के बराबर है। दूसरा समीकरण। फिर हम पहली पंक्ति के तत्वों को "-3" से गुणा करते हैं और उन्हें तीसरी पंक्ति के संगत तत्वों में जोड़ते हैं, अर्थात दिए गए सिस्टम के दूसरे समीकरण को "-3" से गुणा करें और इसे तीसरे समीकरण में जोड़ें। प्राप्त

.

मैट्रिक्स समीकरणों की एक प्रणाली से मेल खाती है)। - (अध्याय 1 की परिभाषा 3 § 7 देखें)।

बता दें कि nवें क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स है

मैट्रिक्स ए -1 कहा जाता है उलटा मैट्रिक्समैट्रिक्स ए के संबंध में, यदि ए * ए -1 = ई, जहां ई n वें क्रम की पहचान मैट्रिक्स है।

पहचान मैट्रिक्स- ऐसा वर्ग मैट्रिक्स, जिसमें मुख्य विकर्ण के साथ सभी तत्व, ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक जाते हैं, एक हैं, और बाकी शून्य हैं, उदाहरण के लिए:

उलटा मैट्रिक्समौजूद हो सकता है केवल स्क्वायर मैट्रिसेस के लिएवे। उन आव्यूहों के लिए जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स अस्तित्व स्थिति प्रमेय

एक मैट्रिक्स के लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह अप्रतिबंधित हो।

आव्यूह A = (A1, A2,...A n) कहलाता है गैर पतितयदि कॉलम वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। मैट्रिक्स के रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम वैक्टर की संख्या को मैट्रिक्स की रैंक कहा जाता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स का रैंक उसके आयाम के बराबर है, अर्थात आर = एन।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम

1. गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए तालिका में मैट्रिक्स ए लिखें और दाईं ओर (समीकरणों के सही भागों के स्थान पर) इसे मैट्रिक्स ई असाइन करें।
2. जॉर्डन रूपांतरणों का उपयोग करते हुए, मैट्रिक्स A को एकल कॉलम वाले मैट्रिक्स में लाएँ; इस मामले में, मैट्रिक्स ई को एक साथ बदलना आवश्यक है।
3. यदि आवश्यक हो, तो अंतिम तालिका की पंक्तियों (समीकरणों) को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि पहचान मैट्रिक्स ई मूल तालिका के मैट्रिक्स ए के तहत प्राप्त हो।
4. उलटा मैट्रिक्स ए -1 लिखें, जो मूल तालिका के मैट्रिक्स ई के तहत अंतिम तालिका में है।

उदाहरण 1

मैट्रिक्स ए के लिए, उलटा मैट्रिक्स ए -1 खोजें

समाधान: हम मैट्रिक्स ए लिखते हैं और दाईं ओर हम पहचान मैट्रिक्स ई असाइन करते हैं। जॉर्डन परिवर्तनों का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स ए को पहचान मैट्रिक्स ई में कम करते हैं। गणना तालिका 31.1 में दिखाई जाती है।

आइए मूल मैट्रिक्स ए और व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 को गुणा करके गणनाओं की शुद्धता की जांच करें।

मैट्रिक्स गुणन के परिणामस्वरूप, पहचान मैट्रिक्स प्राप्त होता है। इसलिए, गणना सही हैं।

उत्तर:

मैट्रिक्स समीकरणों का समाधान

मैट्रिक्स समीकरण इस तरह दिख सकते हैं:

एएक्स = बी, एक्सए = बी, एएक्सबी = सी,

जहाँ A, B, C को आव्यूह दिए गए हैं, X वांछित आव्यूह है।

मैट्रिक्स समीकरणों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा समीकरण को गुणा करके हल किया जाता है।

उदाहरण के लिए, एक समीकरण से मैट्रिक्स खोजने के लिए, आपको इस समीकरण को बाईं ओर से गुणा करना होगा।

इसलिए, समीकरण का हल खोजने के लिए, आपको व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने और समीकरण के दाईं ओर मैट्रिक्स द्वारा गुणा करने की आवश्यकता है।

अन्य समीकरणों को इसी तरह हल किया जाता है।

उदाहरण 2

समीकरण को हल करें एएक्स = बी अगर

समाधान: चूँकि आव्यूह का व्युत्क्रम बराबर होता है (उदाहरण 1 देखें)

आर्थिक विश्लेषण में मैट्रिक्स विधि

दूसरों के साथ-साथ वे भी आवेदन पाते हैं मैट्रिक्स के तरीके. ये विधियां रैखिक और वेक्टर-मैट्रिक्स बीजगणित पर आधारित हैं। इस तरह के तरीकों का उपयोग जटिल और बहुआयामी आर्थिक घटनाओं के विश्लेषण के उद्देश्य से किया जाता है। अधिकतर, इन विधियों का उपयोग तब किया जाता है जब संगठनों के कामकाज और उनके संरचनात्मक विभाजनों की तुलना करना आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स विश्लेषण विधियों को लागू करने की प्रक्रिया में, कई चरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

पहले चरण मेंआर्थिक संकेतकों की एक प्रणाली का गठन किया जाता है और इसके आधार पर प्रारंभिक डेटा का एक मैट्रिक्स संकलित किया जाता है, जो एक तालिका है जिसमें सिस्टम नंबरों को इसकी अलग-अलग पंक्तियों में दिखाया जाता है (मैं = 1,2,....,एन), और ऊर्ध्वाधर रेखांकन के साथ - संकेतकों की संख्या (जे = 1,2,...., एम).

दूसरे चरण मेंप्रत्येक ऊर्ध्वाधर स्तंभ के लिए, संकेतकों के उपलब्ध मूल्यों में से सबसे बड़ा प्रकट होता है, जिसे एक इकाई के रूप में लिया जाता है।

उसके बाद, इस कॉलम में दिखाई देने वाली सभी राशियों को सबसे बड़े मान से विभाजित किया जाता है और मानकीकृत गुणांकों का एक मैट्रिक्स बनता है।

तीसरे चरण मेंमैट्रिक्स के सभी घटक चुकता हैं। यदि उनका अलग महत्व है, तो मैट्रिक्स के प्रत्येक संकेतक को एक निश्चित भार गुणांक सौंपा गया है क. उत्तरार्द्ध का मूल्य एक विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित किया जाता है।

अंत समय पर चौथा चरणरेटिंग के मान मिले आरजेबढ़ने या घटने के क्रम में समूहीकृत।

उपरोक्त मैट्रिक्स विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, विभिन्न निवेश परियोजनाओं के तुलनात्मक विश्लेषण के साथ-साथ संगठनों के अन्य आर्थिक प्रदर्शन संकेतकों का आकलन करने में।