(2.1) के अनुरूप, प्रणाली (5.1) को निम्नलिखित समकक्ष रूप में दर्शाया जा सकता है:

जहाँ g(x) सदिश तर्क का एक पुनरावृत्त सदिश फलन है। प्रणाली अरेखीय समीकरणअक्सर सीधे रूप में उत्पन्न होता है (5.2) (उदाहरण के लिए, संख्यात्मक योजनाओं में विभेदक समीकरण), इस मामले में समीकरणों (5.1) को सिस्टम (5.2) में बदलने के लिए किसी अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता नहीं है। यदि हम एक समीकरण के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि के साथ सादृश्य को जारी रखते हैं, तो समीकरण (5.2) पर आधारित पुनरावृत्ति प्रक्रिया को निम्नानुसार व्यवस्थित किया जा सकता है:

• 1) कुछ प्रारंभिक सदिश x ((,) e 5 o (x 0 , एक)(यह माना जाता है कि x * e 5 "(x 0, एक));
• 2) बाद के अनुमानों की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

तब पुनरावृति प्रक्रिया पूरी हो जाती है और

पहले की तरह, हमें यह पता लगाने की जरूरत है कि किन परिस्थितियों में

आइए एक सरल विश्लेषण करके इस मुद्दे पर चर्चा करें। सबसे पहले, हम i-वें सन्निकटन की त्रुटि का परिचय इस प्रकार देते हैं:

हम इन व्यंजकों को (5.3) में प्रतिस्थापित करते हैं और g(x* + e (/i)) को घातों में विस्तारित करते हैं ई (के>वेक्टर तर्क के एक समारोह के रूप में x* के पड़ोस में (यह मानते हुए कि फ़ंक्शन g(x) के सभी आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं)। यह भी ध्यान में रखते हुए कि x* = g(x*), हम प्राप्त करते हैं

या मैट्रिक्स रूप में

बी = (बी एनएम)= मैं (х*)1 - पुनरावृत्त मैट्रिक्स।

अगर त्रुटि दर ||e®|| काफी छोटा है, तो व्यंजक के दायीं ओर के दूसरे पद (5.4) की उपेक्षा की जा सकती है, और फिर यह व्यंजक (2.16) के साथ मेल खाता है। नतीजतन, सटीक समाधान के पास पुनरावृत्ति प्रक्रिया (5.3) के अभिसरण की स्थिति प्रमेय 3.1 द्वारा वर्णित है।

सरल पुनरावृत्ति विधि का अभिसरण। पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त (5.3):

और एक पर्याप्त शर्त:

ये शर्तें व्यावहारिक महत्व के बजाय सैद्धांतिक हैं, क्योंकि हम x' को नहीं जानते हैं। (1.11) के अनुरूप, हम एक ऐसी स्थिति प्राप्त करते हैं जो उपयोगी हो सकती है। मान लीजिए x* e 5 o (x 0, एक)और फ़ंक्शन g(x) के लिए जैकोबी मैट्रिक्स

सभी x e . के लिए मौजूद है एस एन (एक्स 0 , ए) (ध्यान दें कि सी(एक्स*) = बी)। यदि मैट्रिक्स C(x) के तत्व असमानता को संतुष्ट करते हैं

सभी के लिए x e 5 (x 0, एक),तब पर्याप्त स्थिति (5.5) किसी भी मैट्रिक्स मानदंड के लिए भी होती है।

उदाहरण 5.1 (सरल पुनरावृत्ति विधि) समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली पर विचार करें:

इस प्रणाली को समतुल्य रूप (5.2) में प्रस्तुत करने का एक तरीका व्यक्त करना है एक्सपहले समीकरण से और एक्स 2दूसरे समीकरण से:

फिर पुनरावृत्त योजना का रूप है

सटीक समाधान x* e 5n((2, 2), 1)। हम एक प्रारंभिक वेक्टर चुनते हैं x (0) = (2,2) और ? पी =सीटी 5। गणना परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 5.1.

तालिका 5.1

इन परिणामों से पता चलता है कि अभिसरण धीमा है। अभिसरण की मात्रात्मक विशेषता प्राप्त करने के लिए, हम एक सरल विश्लेषण करते हैं, यह मानते हुए कि x (1/) सटीक समाधान है। हमारे पुनरावृत्त फलन के लिए जैकोबी मैट्रिक्स C(x) का रूप है

तो मैट्रिक्स बी लगभग अनुमानित है

यह जांचना आसान है कि न तो शर्त (5.5) और न ही शर्त (5.6) संतुष्ट हैं, लेकिन 5(B) ~ 0.8 के बाद से अभिसरण होता है।

गणना प्रक्रिया को थोड़ा बदलकर एक साधारण पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण को तेज करना अक्सर संभव होता है। इस तरह के संशोधन का विचार बहुत सरल है: गणना करना पी-वेक्टर का घटक एक्स (ए+1)न केवल इस्तेमाल किया जा सकता है (टी = एन,..., एन), लेकिन अगले सन्निकटन वेक्टर के पहले से ही गणना किए गए घटक भी एक्स के ^ (/= 1,पी -एक)। इस प्रकार, संशोधित सरल पुनरावृत्ति विधि को निम्नलिखित पुनरावृत्त योजना के रूप में दर्शाया जा सकता है:

यदि पुनरावृत्ति प्रक्रिया (5.3) द्वारा उत्पन्न सन्निकटन अभिसरण करते हैं, तो पुनरावृत्ति प्रक्रिया (5.8) एक नियम के रूप में, सूचना के अधिक पूर्ण उपयोग के कारण तेजी से परिवर्तित होती है।

उदाहरण 5.2 (संशोधित सरल पुनरावृत्ति विधि) प्रणाली के लिए संशोधित सरल पुनरावृत्ति (5.7) को इस प्रकार दर्शाया गया है:

पहले की तरह, हम प्रारंभिक वेक्टर x (0) = (2, 2) और . चुनते हैं जी पी == 10 -5। गणना परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 5.2.

तालिका 5.2

मैं गणना के क्रम में टेबोलिन परिवर्तन के कारण पुनरावृत्तियों की संख्या में आधे से कमी आई, और इसलिए संचालन की संख्या में आधे से कमी आई।

तरीका सरल पुनरावृत्तियोंमूल समीकरण को एक समान समीकरण से बदलने पर आधारित है:

बता दें कि मूल का प्रारंभिक सन्निकटन ज्ञात है एक्स = एक्स 0. इसे में प्रतिस्थापित करके दाईं ओरसमीकरण (2.7), हम एक नया सन्निकटन प्राप्त करते हैं , तो इसी तरह से हमें मिलता है आदि।:

. (2.8)

सभी परिस्थितियों में नहीं, पुनरावृत्ति प्रक्रिया समीकरण के मूल में परिवर्तित हो जाती है एक्स. आइए इस प्रक्रिया पर अधिक विस्तार से विचार करें। चित्र 2.6 दिखाता है ग्राफिक व्याख्याएकतरफा अभिसरण और भिन्न प्रक्रिया। चित्र 2.7 दोतरफा अभिसरण और अपसारी प्रक्रियाओं को दर्शाता है। एक विचलन प्रक्रिया को तर्क और कार्य के मूल्यों में तेजी से वृद्धि और संबंधित कार्यक्रम के दुर्घटनाग्रस्त होने की विशेषता है।

दो-तरफ़ा प्रक्रिया के साथ, एक लूप संभव है, अर्थात्, फ़ंक्शन और तर्क के समान मूल्यों का एक अंतहीन दोहराव। लूपिंग एक अलग प्रक्रिया को एक अभिसरण से अलग करता है।

रेखांकन से यह देखा जा सकता है कि एक तरफा और दो तरफा दोनों प्रक्रियाओं में, जड़ से अभिसरण जड़ के पास वक्र के ढलान से निर्धारित होता है। ढलान जितना छोटा होगा, अभिसरण उतना ही बेहतर होगा। जैसा कि आप जानते हैं, वक्र के ढलान की स्पर्शरेखा किसी दिए गए बिंदु पर वक्र के अवकलज के बराबर होती है।

इसलिए, जड़ के पास जितना कम होगा, प्रक्रिया उतनी ही तेजी से परिवर्तित होगी।

पुनरावृत्ति प्रक्रिया को अभिसरण करने के लिए, निम्नलिखित असमानता को जड़ के आसपास के क्षेत्र में संतुष्ट किया जाना चाहिए:

समीकरण (2.1) से समीकरण (2.7) में संक्रमण किया जा सकता है विभिन्न तरीकेफ़ंक्शन के प्रकार के आधार पर एफ (एक्स)।ऐसे संक्रमण में, एक फ़ंक्शन का निर्माण इस तरह से करना आवश्यक है कि अभिसरण की स्थिति (2.9) संतुष्ट हो।

समीकरण (2.1) से समीकरण (2.7) में संक्रमण के लिए सामान्य एल्गोरिदम में से एक पर विचार करें।

हम समीकरण (2.1) के बाएँ और दाएँ पक्षों को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा करते हैं बीऔर दोनों भागों में अज्ञात जोड़ें एक्स।इस मामले में, मूल समीकरण की जड़ें नहीं बदलेगी:

हम संकेतन का परिचय देते हैं और संबंध (2.10) से समीकरण (2.8) तक जाते हैं।

स्थिरांक का मनमाना चुनाव बीअभिसरण शर्त (2.9) की पूर्ति सुनिश्चित करेगा। शर्त (2.2) पुनरावृत्ति प्रक्रिया के लिए समाप्ति मानदंड होगा। चित्र 2.8 वर्णित प्रतिनिधित्व विधि के साथ सरल पुनरावृत्तियों की विधि की चित्रमय व्याख्या दिखाता है (एक्स और वाई अक्षों के साथ तराजू अलग हैं)।

यदि फ़ंक्शन को रूप में चुना जाता है, तो इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होगा। उच्चतम अभिसरण दर होगी , तब और पुनरावृत्ति सूत्र (2.11) न्यूटन के सूत्र में चला जाता है। इस प्रकार, न्यूटन की विधि में सबसे अधिक है एक उच्च डिग्रीसभी पुनरावृत्ति प्रक्रियाओं से अभिसरण।

सरल पुनरावृत्तियों की विधि का सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन एक सबरूटीन प्रक्रिया के रूप में किया जाता है इटेरास(कार्यक्रम 2.1)।

पूरी प्रक्रिया में व्यावहारिक रूप से एक एकल दोहराव होता है ... लूप तक, जो पुनरावृत्ति प्रक्रिया को समाप्त करने की स्थिति को ध्यान में रखते हुए सूत्र (2.11) को लागू करता है (सूत्र (2.2))।

लूप सुरक्षा को Niter चर का उपयोग करके लूपों की संख्या की गणना करके प्रक्रिया में बनाया गया है। पर व्यावहारिक अभ्यासप्रोग्राम चलाकर यह सत्यापित करना आवश्यक है कि गुणांक का चुनाव कैसे प्रभावित करता है बीऔर मूल को खोजने की प्रक्रिया पर प्रारंभिक सन्निकटन। गुणांक बदलते समय बीअध्ययन के तहत कार्य के लिए पुनरावृत्त प्रक्रिया की प्रकृति में परिवर्तन होता है। यह पहले दो तरफा हो जाता है, और फिर लूप (चित्र। 2.9)। कुल्हाड़ियों के साथ स्केल एक्सतथा यूको अलग। एक और भी बड़ा मापांक b एक भिन्न प्रक्रिया की ओर ले जाता है।

समीकरणों के अनुमानित हल के लिए विधियों की तुलना

ऊपर वर्णित विधियों की तुलना संख्यात्मक समाधानसमीकरण एक प्रोग्राम का उपयोग करके किए गए थे जो आपको रूट को खोजने की प्रक्रिया का निरीक्षण करने की अनुमति देता है चित्रमय रूप. इस कार्यक्रम में शामिल प्रक्रियाएं और तुलनात्मक विधियों को लागू करना नीचे दिया गया है (प्रोग्राम 2.1)।

चावल। 2.3-2.5, 2.8, 2.9 पुनरावृत्त प्रक्रिया के अंत में पीसी स्क्रीन की प्रतियां हैं।

सभी मामलों में, हमने अध्ययन के तहत कार्य के रूप में लिया द्विघात समीकरण x 2 -x-6 = 0, जिसका विश्लेषणात्मक समाधान x 1 = -2 और x 2 = 3 है। सभी विधियों के लिए त्रुटि और प्रारंभिक अनुमान समान रूप से लिए गए थे। रूट खोज परिणाम एक्स =चित्र में दिखाए गए 3 इस प्रकार हैं। द्विभाजन विधि सबसे धीमी - 22 पुनरावृत्तियों को, सबसे तेज़ - सरल पुनरावृत्तियों की विधि को b = -0.2 - 5 पुनरावृत्तियों में परिवर्तित करती है। यहाँ इस कथन का कोई विरोध नहीं है कि न्यूटन की विधि सबसे तेज है।

एक बिंदु पर अध्ययन के तहत कार्य का व्युत्पन्न एक्स= 3 -0.2 के बराबर है, अर्थात, इस मामले में गणना समीकरण के मूल बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य के साथ न्यूटन विधि द्वारा व्यावहारिक रूप से की गई थी। गुणांक बदलते समय बीअभिसरण दर कम हो जाती है और धीरे-धीरे अभिसरण प्रक्रिया पहले चक्र, फिर भिन्न हो जाती है।

आइए हम मूल समीकरण को एक समकक्ष के साथ बदलें, और हम नियम के अनुसार पुनरावृत्तियों का निर्माण करेंगे . इस प्रकार, सरल पुनरावृत्ति विधि एक-चरणीय पुनरावृत्ति प्रक्रिया है। इस प्रक्रिया को शुरू करने के लिए, आपको प्रारंभिक सन्निकटन को जानना होगा। आइए हम विधि के अभिसरण और प्रारंभिक सन्निकटन की पसंद के लिए शर्तों का पता लगाएं।

टिकट नंबर 29

सीडल विधि

सीडल विधि (कभी-कभी गॉस-सीडेल विधि कहा जाता है) सरल पुनरावृत्ति विधि का एक संशोधन है, जिसका अर्थ है कि अगले सन्निकटन x (k + 1) की गणना करते समय (सूत्र देखें (1.13), (1.14)) इसके पहले से प्राप्त घटक x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) x i (k+1) की गणना के लिए तुरंत उपयोग किया जाता है।

समन्वय संकेतन में, सीडल विधि का रूप है:

एक्स 1 (के + 1) = सी 11 एक्स 1 (के) + सी 12 एक्स 2 (के) + ... + सी 1 एन -1 एक्स एन -1 (के) + सी 1 एन एक्स एन (के) + डी 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + डीएन
जहाँ x(0) हल का कुछ प्रारंभिक सन्निकटन है।

इस प्रकार, (k+1)-वें सन्निकटन के i-वें घटक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

सरलीकृत रूप में सटीकता ε तक पहुंचने पर सीडल पुनरावृत्ति प्रक्रिया के लिए समाप्ति की स्थिति है:

|| एक्स (के+1) - एक्स (के) || .

टिकट संख्या 30

स्वीप विधि

त्रिविकोणीय मैट्रिक्स के साथ सिस्टम A x = b को हल करने के लिए, स्वीप विधि का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है, जो इस मामले में गॉस विधि का एक अनुकूलन है।

हम समीकरणों की प्रणाली लिखते हैं

डी 1 एक्स 1 + ई 1 ​​एक्स 2 = बी 1
सी 2 एक्स 1 + डी 2 एक्स 2 + ई 2 एक्स 3 = बी 2
सी 3 एक्स 2 + डी 3 एक्स 3 + ई 3 एक्स 4 = बी 3
... ... ...
सी एन -1 एक्स एन -2 + डी एन -1 एक्स एन -1 + ई एन -1 एक्स एन = बी एन -1
सी एन एक्स एन -1 + डी एन एक्स एन = बी एन

मैट्रिक्स रूप में: ए एक्स = बी जहां

ए =

आइए स्वीप विधि के सूत्रों को उनके आवेदन के क्रम में लिखें।

1. स्वीप विधि का सीधा संचालन (सहायक मात्रा की गणना):

2. उल्टास्वीप विधि (समाधान खोजना):

टिकट संख्या 31

सरल पुनरावृत्ति विधि

सरल पुनरावृत्तियों की विधि का सार समीकरण से संक्रमण है

एफ (एक्स)= 0 (*)

तुल्य समीकरण के लिए

एक्स=(एक्स). (**)

यह परिवर्तन किया जा सकता है विभिन्न तरीके, प्रकार के आधार पर एफ (एक्स). उदाहरण के लिए, आप डाल सकते हैं

(एक्स) = एक्स+बीएफ (एक्स),(***)

कहाँ पे बी= स्थिरांक, जबकि मूल समीकरण के मूल नहीं बदलेंगे।

यदि मूल का प्रारंभिक सन्निकटन ज्ञात हो X 0, फिर नया सन्निकटन

एक्स 1=x(0),

वे। पुनरावृत्ति प्रक्रिया की सामान्य योजना:

एक्सके+1=(एक्सके).(****)

प्रक्रिया को समाप्त करने का सबसे सरल मानदंड

|एक्स के +1 -एक्स के |<ε.

अभिसरण मानदंडसरल पुनरावृत्ति विधि:

अगर जड़ के पास | / (एक्स)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого एक्स, तो पुनरावृत्तियों किसी भी प्रारंभिक सन्निकटन के लिए अभिसरण करते हैं।

एक स्थिरांक की पसंद की खोज करना बीअभिसरण की अधिकतम गति सुनिश्चित करने के संदर्भ में। अभिसरण मानदंड के अनुसार, उच्चतम अभिसरण दर प्रदान की जाती है |φ / (एक्स)| = 0. उसी समय, (***) के आधार पर, बी = -1 / एफ / (एक्स),और पुनरावृत्त सूत्र (****) में जाता है x i \u003d x i-1 -f (x i-1) / f / (x i-1).-वे। न्यूटन की विधि के सूत्र में। इस प्रकार, न्यूटन की विधि सरल पुनरावृत्तियों की विधि का एक विशेष मामला है, जो फ़ंक्शन को चुनने के लिए सभी संभावित विकल्पों के अभिसरण की उच्चतम दर प्रदान करती है। (x).

टिकट संख्या 32

न्यूटन की विधि

विधि का मुख्य विचार इस प्रकार है: एक प्रारंभिक सन्निकटन को काल्पनिक जड़ के पास निर्दिष्ट किया जाता है, जिसके बाद अध्ययन के तहत कार्य के लिए एक स्पर्शरेखा का निर्माण सन्निकटन बिंदु पर किया जाता है, जिसके लिए एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन पाया जाता है। इस बिंदु को अगले सन्निकटन के रूप में लिया जाता है। और इसी तरह, जब तक आवश्यक सटीकता तक नहीं पहुंच जाती।

आज्ञा देना एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो एक खंड पर परिभाषित है और उस पर अवकलनीय है। फिर सन्निकटन के पुनरावृत्त कलन का सूत्र निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

जहां α बिंदु पर स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण है।

इसलिए, के लिए वांछित अभिव्यक्ति का रूप है:

टिकट संख्या 33

गोल्डन सेक्शन विधि
गोल्डन सेक्शन विधि आपको प्रत्येक पुनरावृत्ति पर फ़ंक्शन के केवल एक मान की गणना करके अंतराल को समाप्त करने की अनुमति देती है। फ़ंक्शन के दो माने गए मानों के परिणामस्वरूप, अंतराल निर्धारित किया जाता है, जिसका उपयोग भविष्य में किया जाना चाहिए। इस अंतराल में पिछले बिंदुओं में से एक होगा और अगले बिंदु को सममित रूप से रखा जाएगा। बिंदु अंतराल को दो भागों में विभाजित करता है ताकि पूरे और बड़े हिस्से का अनुपात छोटे से बड़े हिस्से के अनुपात के बराबर हो, यानी तथाकथित "गोल्डन सेक्शन" के बराबर।

अंतराल को असमान भागों में विभाजित करने से आप और भी अधिक कुशल विधि खोज सकते हैं। आइए हम खंड के सिरों पर फलन की गणना करें [ एक,बी] और रखें एक=एक्स 1 , बी=एक्स 2. आइए हम दो आंतरिक बिंदुओं पर भी फलन की गणना करें एक्स 3 , एक्सचार । आइए फ़ंक्शन के सभी चार मानों की तुलना करें और उनमें से सबसे छोटा चुनें। उदाहरण के लिए, सबसे छोटा बनें एफ(एक्स 3) जाहिर है, न्यूनतम उससे सटे खंडों में से एक में स्थित है। इसलिए, खंड [ एक्स 4 ,बी] त्यागा जा सकता है और खंड छोड़ सकता है।

पहला कदम उठाया गया है। खंड पर, फिर से, आपको दो आंतरिक बिंदुओं का चयन करने की आवश्यकता है, उन पर और सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें, और अगला कदम उठाएं। लेकिन गणना के पिछले चरण में, हम पहले से ही नए खंड के सिरों पर और इसके आंतरिक बिंदुओं में से एक पर फ़ंक्शन पा चुके हैं एक्सचार । इसलिए, अंदर एक और बिंदु चुनना पर्याप्त है x5इसमें फ़ंक्शन का मान निर्धारित करें और आवश्यक तुलना करें। यह प्रक्रिया के एक चरण में गणना की मात्रा को चार के कारक से कम कर देता है। लाभप्रद रूप से अंक कैसे लगाएं? हर बार शेष खंड को तीन भागों में विभाजित किया जाता है और फिर चरम खंडों में से एक को छोड़ दिया जाता है।
आइए हम प्रारंभिक अनिश्चितता अंतराल को निरूपित करें: डी.

चूंकि, सामान्य स्थिति में, किसी भी खंड को त्याग दिया जा सकता है एक्स 1, एक्स 3या एक्स 4, एक्स 2फिर अंक चुनें एक्स 3तथा एक्स 4ताकि इन खंडों की लंबाई समान हो:

x 3 -x 1 = x 4 -x 2.

त्यागने के बाद, एक नया लंबाई अनिश्चितता अंतराल प्राप्त किया जाएगा डी'.
संबंध को निरूपित करें डी/डी'पत्र :

अर्थात्, हम निर्धारित करते हैं कि अगला अनिश्चितता अंतराल कहाँ है। परंतु

पिछले चरण में छोड़े गए खंड की लंबाई के बराबर, अर्थात्

तो हमें मिलता है:

.
यह समीकरण की ओर जाता है या, जो समान है
.

इस समीकरण का धनात्मक मूल देता है

.

टिकट संख्या 34

फ़ंक्शन इंटरपोलेशन, यानी। दूसरे के दिए गए फ़ंक्शन का निर्माण (एक नियम के रूप में, सरल एक), जिनमें से मान एक निश्चित संख्या में दिए गए फ़ंक्शन के मूल्यों के साथ मेल खाते हैं। इसके अलावा, प्रक्षेप का व्यावहारिक और सैद्धांतिक दोनों महत्व है।

सरल पुनरावृत्ति की विधि, जिसे क्रमिक सन्निकटन की विधि भी कहा जाता है, एक अज्ञात मात्रा के मूल्य को धीरे-धीरे परिष्कृत करके खोजने के लिए एक गणितीय एल्गोरिथम है। इस पद्धति का सार यह है कि, जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, बाद वाले को प्रारंभिक सन्निकटन से धीरे-धीरे व्यक्त करते हुए, वे अधिक से अधिक परिष्कृत परिणाम प्राप्त करते हैं। इस पद्धति का उपयोग किसी दिए गए फ़ंक्शन में एक चर के मान को खोजने के लिए किया जाता है, साथ ही साथ रैखिक और गैर-रैखिक दोनों समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में भी किया जाता है।

आइए विचार करें कि SLAE को हल करते समय इस पद्धति को कैसे लागू किया जाता है। सरल पुनरावृत्ति विधि में निम्नलिखित एल्गोरिथम है:

1. मूल मैट्रिक्स में अभिसरण स्थिति का सत्यापन। अभिसरण प्रमेय: यदि प्रणाली के मूल मैट्रिक्स में विकर्ण प्रभुत्व है (अर्थात, प्रत्येक पंक्ति में, मुख्य विकर्ण के तत्वों को मापांक में पक्ष विकर्णों के तत्वों के योग से अधिक होना चाहिए), तो सरल की विधि पुनरावृत्तियां अभिसरण है।

2. मूल प्रणाली के मैट्रिक्स में हमेशा विकर्ण प्रभुत्व नहीं होता है। ऐसे में व्यवस्था में बदलाव किया जा सकता है। अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करने वाले समीकरण अछूते रह जाते हैं, और जो नहीं करते हैं, वे रैखिक संयोजन बनाते हैं, अर्थात। वांछित परिणाम प्राप्त होने तक गुणा करें, घटाएं, समीकरण जोड़ें।

यदि परिणामी प्रणाली में मुख्य विकर्ण पर असुविधाजनक गुणांक हैं, तो इस तरह के समीकरण के दोनों हिस्सों में फॉर्म c i *x i की शर्तें जोड़ दी जाती हैं, जिनमें से संकेत विकर्ण तत्वों के संकेतों के साथ मेल खाना चाहिए।

3. परिणामी प्रणाली का सामान्य रूप में परिवर्तन:

एक्स - =β - +α*x -

यह कई तरीकों से किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस प्रकार: पहले समीकरण से, अन्य अज्ञात के संदर्भ में x 1 व्यक्त करें, दूसरे से - x 2, तीसरे से - x 3, आदि। यहां हम सूत्रों का उपयोग करते हैं:

α ij = -(एक आईजे / ए ii)

मैं = बी मैं / एक ii
आपको फिर से यह सुनिश्चित करना चाहिए कि सामान्य रूप की परिणामी प्रणाली अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करती है:

(j=1) |α ij |≤ 1, जबकि i= 1,2,...n

4. हम वास्तव में, क्रमिक सन्निकटन की विधि को ही लागू करना शुरू करते हैं।

x (0) - प्रारंभिक सन्निकटन, हम इसके माध्यम से x (1) व्यक्त करते हैं, फिर x (1) के माध्यम से हम x (2) व्यक्त करते हैं। मैट्रिक्स रूप में सामान्य सूत्र इस तरह दिखता है:

एक्स (एन) = β - +α*x (एन-1)

हम तब तक गणना करते हैं जब तक हम आवश्यक सटीकता तक नहीं पहुंच जाते:

अधिकतम |x मैं (के)-एक्स मैं (के+1)

तो, आइए अभ्यास में सरल पुनरावृत्ति विधि को देखें। उदाहरण:
SLAE हल करें:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 सटीकता के साथ ε=10 -3

आइए देखें कि क्या विकर्ण तत्व मॉड्यूलो को प्रबल करते हैं।

हम देखते हैं कि केवल तीसरा समीकरण अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करता है। हम पहले और दूसरे समीकरण को बदलते हैं, दूसरे को पहले समीकरण में जोड़ते हैं:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3

पहले को तीसरे से घटाएं:

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

हमने मूल प्रणाली को एक समकक्ष में बदल दिया है:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

अब सिस्टम को सामान्य स्थिति में लाते हैं:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2

हम पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण की जाँच करते हैं:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1 यानी। शर्त पूरी की जाती है।

0,3947
प्रारंभिक अनुमान x(0) = 0.4762
0,8511

इन मानों को सामान्य रूप समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं:

0,08835
एक्स(1) = 0.486793
0,446639

नए मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

0,215243
एक्स(2) = 0.405396
0,558336

हम गणना तब तक जारी रखते हैं जब तक हम दी गई शर्त को पूरा करने वाले मानों के करीब नहीं पहुंच जाते।

एक्स(7) = 0.441091

आइए प्राप्त परिणामों की शुद्धता की जांच करें:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

मूल समीकरणों में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करके प्राप्त परिणाम समीकरण की शर्तों को पूरी तरह से संतुष्ट करते हैं।

जैसा कि हम देख सकते हैं, सरल पुनरावृत्ति विधि काफी सटीक परिणाम देती है, हालांकि, इस समीकरण को हल करने के लिए, हमें बहुत समय खर्च करना पड़ा और बोझिल गणना करना पड़ा।

पुनरावृत्त तरीके

पुनरावृत्त विधियाँ निम्नलिखित तीन चरणों के कार्यान्वयन को मानती हैं: क्रमिक सन्निकटन की गणना के लिए सटीक समाधान में परिवर्तित होने वाली एक पुनरावृत्त प्रक्रिया का निर्माण (अर्थात, सटीक समाधान में परिवर्तित होने वाले वैक्टर के अनुक्रम का निर्माण करना) ; इस प्रक्रिया के अभिसरण मानदंड का निर्धारण, जो आवश्यक सटीकता प्राप्त करने के क्षण को निर्धारित करने की अनुमति देता है; आवश्यक सटीकता प्राप्त करने के लिए आवश्यक संचालन की संख्या को कम करने के लिए पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण और अनुकूलन की दर का अध्ययन।

यदि विधि का अभिसरण सिद्ध हो जाता है, तो पुनरावृत्त विधियाँ पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ समाधान प्राप्त करना संभव बनाती हैं। पुनरावृत्त विधियां कड़ाई से सटीक समाधान नहीं देती हैं, क्योंकि इसे वैक्टर के अनुक्रम की सीमा के रूप में प्राप्त किया जाता है। प्रत्यक्ष विधि आम तौर पर एक सटीक समाधान देती है, लेकिन सभी कंप्यूटरों पर होने वाली गोलाई त्रुटियों के कारण, उस तक नहीं पहुंचा जा सकता है, और संभवतःयह आकलन करना और भी मुश्किल है कि यह समाधान सटीक समाधान से कितना भिन्न है। उपरोक्त के संबंध में, पुनरावृत्त विधियां कभी-कभी प्रत्यक्ष की तुलना में अधिक सटीकता के साथ समाधान प्राप्त करना संभव बनाती हैं।

रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए कई पुनरावृत्त विधियों पर विचार करें।

सरल पुनरावृत्ति विधि

सरल पुनरावृत्ति विधि में, रैखिक बीजीय समीकरणों का निकाय (2.1) कुल्हाड़ी = बीप्रपत्र की एक समान प्रणाली में घटाया गया है

प्रणाली का समाधान (2.9) और, परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली (2.1) का समाधान वैक्टर के अनुक्रम की सीमा के रूप में मांगा जाता है:

के = 0, 1, 2,…,(2.10)

जहां समाधान वेक्टर के लिए प्रारंभिक सन्निकटन है।

सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए एक पर्याप्त शर्त निम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित की जाती है।

प्रमेय 1. यदि वेक्टर के माने गए मानदंड के अनुरूप मैट्रिक्स का कोई भी मानदंड एकता () से कम है, तो सरल पुनरावृत्ति विधि में अनुक्रम सिस्टम के सटीक समाधान (2.9) में दर से कम नहीं की दर से परिवर्तित होता है किसी भी प्रारंभिक सन्निकटन के लिए हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति का।

सबूत। प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, हम एक त्रुटि का परिचय देते हैं। संबंध से समानता (2.10) घटाकर, हम प्राप्त करते हैं। मानदंडों को पार करते हुए, हमारे पास है

ध्यान दें कि असमानता पिछली अभिव्यक्ति से मैट्रिक्स और वेक्टर के मानदंड के लिए स्थिरता की स्थिति है। यदि एक , तो किसी भी प्रारंभिक त्रुटि वेक्टर (या अन्यथा, किसी भी प्रारंभिक वेक्टर के लिए) के लिए, त्रुटि दर शून्य के साथ एक ज्यामितीय प्रगति की तुलना में धीमी गति से शून्य हो जाती है।

यदि हम मानदंड को मैट्रिक्स मानदंड के रूप में चुनते हैं या फिर सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के प्रश्न को हल करने के लिए, कोई प्रमेय 1 से कोरोलरी का उपयोग कर सकता है: सरल पुनरावृत्ति विधि अभिसरण करती है यदि मैट्रिक्स के लिए निम्न में से कोई एक स्थिति संतुष्ट होती है:

, मैं = 1,2, …, एन,

, जे = 1, 2, …, एन।(2.11)

सिस्टम लाने का सबसे सरल और सबसे आम तरीका कुल्हाड़ी = बीफ़ॉर्म के लिए (2.9), पुनरावृत्तियों के लिए सुविधाजनक, विकर्ण तत्वों का चयन है, प्रत्येक के साथ i-वेंसमीकरण के संबंध में हल किया गया है i-वेंअनजान:

, मैं = 1, 2, …, एन, (2.12)

और सरल पुनरावृत्ति विधि के रूप में लिखा जा सकता है

तब मैट्रिक्स का रूप होता है

.

इस मैट्रिक्स के तत्व को इस प्रकार लिखा जा सकता है क्रोनकर प्रतीक कहां है। इस मामले में, सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त स्थिति मैट्रिक्स के विकर्ण तत्वों के प्रभुत्व के लिए शर्त के रूप में तैयार की जा सकती है लेकिन, जो (2.11) और मैट्रिक्स के अंकन से अनुसरण करता है, अर्थात्।

मैं = 1, 2, …, एन।

हम एक बार फिर इस बात पर जोर देते हैं कि पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए शर्त के माने हुए रूप ही पर्याप्त हैं। उनका निष्पादन विधि के अभिसरण की गारंटी देता है, लेकिन सामान्य मामले में उनकी विफलता का मतलब यह नहीं है कि सरल पुनरावृत्ति विधि अलग हो जाती है। सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि पूर्णांक भाग (जहां मैट्रिक्स का अधिकतम मॉड्यूलो ईजेनवेल्यू है) लेकिन); कम्प्यूटेशनल अभ्यास में इस स्थिति का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।

आइए हम समाधान की त्रुटि के आकलन के प्रश्न की ओर मुड़ें। समाधान की त्रुटि का आकलन करने के लिए ब्याज की दो सहसंबंध हैं: पहला त्रुटि के मानदंड को दो क्रमिक सन्निकटन के अंतर के मानदंड से संबंधित करता है और इसका उपयोग केवल गणना की प्रक्रिया में त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है; दूसरा प्रारंभिक सन्निकटन के वेक्टर के मानदंडों और सिस्टम (2.9) में मुक्त अवधि के वेक्टर के लिए त्रुटि के मानदंड से संबंधित है। आवश्यक संबंध निम्नलिखित दो प्रमेयों द्वारा दिए गए हैं।

प्रमेय 2. यदि मैट्रिक्स का कोई मानदंड वेक्टर के माने गए मानदंड के अनुरूप है एक्स

. (2.13)

सबूत। आइए हम समानता (2.10) को समानता से घटाएं:

दोनों भागों से सन्निकटन मान घटाकर, हम इस अनुपात को रूप में बदल देते हैं

मानदंडों को पार करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

चूंकि, प्रमेय की परिकल्पना से,

उस संबंध का उपयोग करना जिससे यह अनुसरण करता है कि अंत में हमें मिलता है:

प्रमेय 3. यदि कोई मानदण्ड एक मैट्रिक्स है जो सदिश के माने गए मानदण्ड के अनुरूप है एक्स, एक से कम (), तो निम्न त्रुटि अनुमान होता है:

आइए दो टिप्पणियां करें। सबसे पहले, संबंध (2.13) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जो पहले दो पुनरावृत्तियों के परिणामों के आधार पर त्रुटि का अनुमान प्राप्त करना संभव बनाता है। सबसे पहले, पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करते समय, कभी-कभी गणना त्रुटि के अनुमान के रूप में दो क्रमिक सन्निकटन के अंतर के मानदंड का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है। यह त्रुटि के लिए सहसंबंधों का अनुसरण करता है कि सामान्य मामले में यह सच नहीं है। यदि मानदंड एकता के करीब है, तो गुणांक काफी बड़ा हो सकता है।

क्रमिक पुनरावृत्तियों की त्रुटियाँ संबंध से संबंधित हैं

वे। त्रुटि एक कदम पर रैखिक रूप से बदलती है। विधि कहा जाता है रैखिक अभिसरणया प्रथम क्रम अभिसरण। हालांकि, आवश्यक सटीकता प्राप्त करने के लिए आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या के मूल्य और प्रारंभिक सन्निकटन पर निर्भर करती है।

इस प्रकार, एक उदाहरण के रूप में सरल पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करते हुए, पुनरावृत्त विधियों के तीन चरणों का प्रदर्शन किया जाता है: सूत्र द्वारा उत्पन्न वैक्टर के अनुक्रम का निर्माण (1.10); प्रमेय 1 के अनुसार अभिसरण की स्थिति का निर्धारण और प्रमेय 2 और 3 का उपयोग करके अभिसरण की दर का अनुमान।

सीडल विधि

सरल पुनरावृत्ति विधि पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण में सुधार की स्पष्ट संभावना का उपयोग नहीं करती है - गणना में वेक्टर के नए परिकलित घटकों का तत्काल परिचय। इस संभावना का उपयोग पुनरावृत्त सीडल विधि में किया जाता है। सिस्टम के लिए पुनरावृत्ति प्रक्रिया (2.9) इस मामले में संबंध के अनुसार की जाती है

मैं = 1, 2, …, n (2.14)

या सिस्टम के लिए (1.1)

विवरण में जाने के बिना, हम ध्यान दें कि सीडल पुनरावृत्ति विधि अक्सर सरल पुनरावृत्ति विधि की तुलना में तेजी से अभिसरण की ओर ले जाती है। हालांकि, ऐसे मामले हैं जहां सीडल पुनरावृत्ति विधि सरल पुनरावृत्ति विधि की तुलना में अधिक धीरे-धीरे परिवर्तित होती है, और यहां तक ​​​​कि ऐसे मामले भी जहां सरल पुनरावृत्ति विधि अभिसरण करती है लेकिन सीडल पुनरावृत्ति विधि अलग हो जाती है।

ध्यान दें कि सीडल विधि अभिसरण करती है,अगर मैट्रिक्स लेकिनसकारात्मक निश्चित और सममित।

आइए हम दिखाते हैं कि सीडल पुनरावृत्ति विधि विशेष रूप से निर्मित मैट्रिक्स और संबंध में वेक्टर (2.10) के साथ कुछ सरल पुनरावृत्ति विधि के बराबर है। ऐसा करने के लिए, हम सिस्टम (2.14) को फॉर्म में लिखते हैं आव्यूह (एह)एक के बराबर विकर्ण तत्वों के साथ एक निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स है। इसलिए, इस मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य (एक के बराबर) है और इसका एक उलटा मैट्रिक्स है। फिर

समाधान (2.10) के साथ इस संबंध की तुलना करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सीडल पुनरावृत्ति विधि वास्तव में इस अर्थ में सरल पुनरावृत्ति विधि के बराबर है कि, सीडल पुनरावृत्ति विधि के लिए स्थिति और अभिसरण मानदंड स्थापित करने के लिए, दिए गए प्रमेयों का उपयोग कर सकते हैं सरल पुनरावृत्ति विधि के लिए, यदि हम सेट करते हैं सिस्टम के लिए पुनरावृत्ति प्रक्रिया (2.12) को अधिक सामान्य रूप में भी लिखा जा सकता है, अर्थात्