इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, इंटरपोलेशन देखें। समारोह के बारे में, देखें: इंटरपोलेंट।

प्रक्षेप, प्रक्षेप (सेअव्य. Interpolis - « सुचारू किया गया, नवीनीकृत किया गया, नवीनीकृत किया गया; परिवर्तित"") - कम्प्यूटेशनल गणित में, ज्ञात मूल्यों के मौजूदा असतत सेट से मात्रा के मध्यवर्ती मूल्यों को खोजने की एक विधि। "इंटरपोलेशन" शब्द का इस्तेमाल पहली बार जॉन वालिस ने अपने ग्रंथ द अरिथमेटिक ऑफ द इनफिनिटी (1656) में किया था।

कार्यात्मक विश्लेषण में, रैखिक ऑपरेटरों का प्रक्षेप एक ऐसा खंड है जो बानाच रिक्त स्थान को एक निश्चित श्रेणी के तत्वों के रूप में मानता है।

उनमें से कई जो वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग गणनाओं से निपटते हैं, उन्हें अक्सर अनुभवजन्य या यादृच्छिक नमूने द्वारा प्राप्त मूल्यों के सेट के साथ काम करना पड़ता है। एक नियम के रूप में, इन सेटों के आधार पर, एक फ़ंक्शन का निर्माण करना आवश्यक है जिस पर अन्य प्राप्त मूल्य उच्च सटीकता के साथ गिर सकते हैं। ऐसे कार्य को सन्निकटन कहते हैं। इंटरपोलेशन एक प्रकार का सन्निकटन है जिसमें निर्मित फ़ंक्शन का वक्र उपलब्ध डेटा बिंदुओं से बिल्कुल गुजरता है।

इंटरपोलेशन के करीब एक समस्या भी है, जिसमें कुछ का अनुमान लगाना शामिल है जटिल कार्यदूसरा, सरल कार्य। यदि कोई निश्चित फ़ंक्शन उत्पादक गणना के लिए बहुत जटिल है, तो आप कई बिंदुओं पर इसके मूल्य की गणना करने का प्रयास कर सकते हैं, और निर्माण कर सकते हैं, यानी इंटरपोलेट, उनसे एक सरल कार्य कर सकते हैं। बेशक, एक सरलीकृत फ़ंक्शन का उपयोग करने से आपको वही सटीक परिणाम प्राप्त करने की अनुमति नहीं मिलती है जो मूल फ़ंक्शन देगा। लेकिन समस्याओं के कुछ वर्गों में, सरलता और गणना की गति में लाभ परिणामों में परिणामी त्रुटि से अधिक हो सकता है।

हमें एक पूरी तरह से अलग तरह के गणितीय प्रक्षेप का भी उल्लेख करना चाहिए, जिसे "ऑपरेटर इंटरपोलेशन" के रूप में जाना जाता है। ऑपरेटर इंटरपोलेशन पर क्लासिक कार्यों में रिज़-थोरिन प्रमेय और मार्सिंक्यूविज़ प्रमेय शामिल हैं, जो कई अन्य कार्यों का आधार हैं।

परिभाषाएं

गैर-संयोग बिंदुओं की एक प्रणाली पर विचार करें x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 ,… , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) कुछ डोमेन D से ( \ डिस्प्लेस्टाइल डी)। फ़ंक्शन f (\displaystyle f) के मान केवल इन बिंदुओं पर ज्ञात होने दें:

वाई आई = एफ (एक्स आई), आई = 1, …, एन। (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

इंटरपोलेशन की समस्या किसी दिए गए वर्ग के कार्यों से एक फ़ंक्शन एफ (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ) ढूंढना है जैसे कि

एफ (एक्स आई) = वाई आई, आई = 1, …, एन। (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

• अंक x i (\displaystyle x_(i)) कहलाते हैं प्रक्षेप नोड्स, और उनकी समग्रता है प्रक्षेप ग्रिड.
• जोड़े (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) कहलाते हैं डेटा अंकया आधार बिंदु.
• "आसन्न" मानों के बीच अंतर Δ x i = x i - x i - 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - प्रक्षेप ग्रिड चरण. यह परिवर्तनशील और स्थिर दोनों हो सकता है।
• फंक्शन एफ (एक्स) (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ (एक्स)) - इंटरपोलिंग फ़ंक्शनया इंटरपोलेंट.

उदाहरण

1. मान लें कि हमारे पास नीचे की तरह एक टेबल फ़ंक्शन है, x (\displaystyle x) के एकाधिक मानों के लिए, f (\displaystyle f) के संबंधित मानों को निर्धारित करता है:

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

इंटरपोलेशन हमें यह जानने में मदद करता है कि निर्दिष्ट बिंदुओं के अलावा किसी अन्य बिंदु पर ऐसे फ़ंक्शन का क्या मूल्य हो सकता है (उदाहरण के लिए, जब एक्स = 2,5).

आज तक, कई हैं विभिन्न तरीकेप्रक्षेप सबसे उपयुक्त एल्गोरिथम का चुनाव प्रश्नों के उत्तर पर निर्भर करता है: चुनी गई विधि कितनी सटीक है, इसका उपयोग करने की लागत क्या है, इंटरपोलेशन फ़ंक्शन कितना सुचारू है, इसके लिए कितने डेटा बिंदुओं की आवश्यकता है, आदि।

2. एक मध्यवर्ती मान (रैखिक प्रक्षेप द्वारा) ज्ञात कीजिए।

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15.5 + (6378 - 6000) 8000 - 6000 (19.2 - 15.5) 1 = 16.1993 (\displaystyle ?=15.5+(\frac ((6378-6000))(8000-6000))*(\frac ((19.2-) 15.5))(1))=16.1993)

प्रोग्रामिंग भाषाओं में

फ़ंक्शन y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) के लिए रैखिक प्रक्षेप का एक उदाहरण। उपयोगकर्ता 1 और 10 के बीच की संख्या दर्ज कर सकता है।

फोरट्रान

प्रोग्राम इंटरपोल पूर्णांक i वास्तविक x, y, xv, yv, yv2 आयाम x(10) आयाम y(10) कॉल prisv(x, i) कॉल func(x, y, i) लिखें(*,*) "नंबर दर्ज करें: "पढ़ें(*,*) xv अगर ((xv >= 1).और।(xv xv)) तो yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) अंत अगर अंत में सबरूटीन समाप्त होता है

सी++

int main() ( सिस्टम ("रंग 0A"); डबल ओब, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, स्कोल्को, स्टेटस; सिस्टम ("इको इंटरपोलेट X1 - X2"); सिस्टम ("इको एंटर करें" नंबर: "); सीन >> ओब; सिस्टम ("इको उदाहरण के लिए 62, सी 1 = 60, एल 1 = 1.31, सी 2 = 80, एल 2 = 1.29"); cout> x1; cout> x2; cout> y1; cout> y2 ; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; स्कोल्को = ओब - x1; स्थिति = x2 + (pi * स्कोल्को); cout

प्रक्षेप के तरीके

निकटतम पड़ोसी प्रक्षेप

सबसे सरल प्रक्षेप विधि निकटतम पड़ोसी प्रक्षेप है।

बहुपदों द्वारा प्रक्षेप

व्यवहार में, बहुपदों द्वारा प्रक्षेप का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। यह मुख्य रूप से इस तथ्य के कारण है कि बहुपदों की गणना करना आसान है, विश्लेषणात्मक रूप से उनके डेरिवेटिव ढूंढना आसान है, और बहुपदों का सेट अंतरिक्ष में घना है निरंतर कार्य(वीयरस्ट्रैस प्रमेय)।

• रेखिक आंतरिक
• न्यूटन का प्रक्षेप सूत्र
• परिमित अंतर विधि
• आईएमएन-1 और आईएमएन-2
• लैग्रेंज बहुपद (प्रक्षेप बहुपद)
• एटकेन की योजना
• तख़्ता समारोह
• घनीय पट्टी

रिवर्स इंटरपोलेशन (x दिए गए y की गणना)

• लैग्रेंज बहुपद
• न्यूटन के सूत्र द्वारा प्रतिलोम प्रक्षेप
• उलटा गॉस इंटरपोलेशन

मल्टी-वेरिएबल फंक्शन इंटरपोलेशन

• बिलिनियर इंटरपोलेशन
• बाइक्यूबिक इंटरपोलेशन

अन्य प्रक्षेप विधियां

• तर्कसंगत प्रक्षेप
• त्रिकोणमितीय प्रक्षेप

संबंधित अवधारणाएं

• एक्सट्रपलेशन - दिए गए अंतराल के बाहर अंक खोजने के तरीके (वक्र विस्तार)
• सन्निकटन - सन्निकट वक्र बनाने की विधियाँ

रिवर्स इंटरपोलेशन

रिक्त स्थान C2 से फलनों के वर्ग पर जिसका ग्राफ सरणी के बिंदुओं (xi, yi), i = 0, 1, . से होकर गुजरता है। . . , एम।

समाधान। संदर्भ बिंदुओं (xi, f(xi)) से गुजरने वाले सभी कार्यों में से और उल्लिखित स्थान से संबंधित हैं, यह क्यूबिक स्पलाइन S(x) है जो सीमा शर्तों S00(a) = S00(b) = 0 को संतुष्ट करता है। जो चरम (न्यूनतम) कार्यात्मक I(f) प्रदान करता है।

अक्सर व्यवहार में तर्क के मान के फलन के दिए गए मान को खोजने में समस्या होती है। इस समस्या को रिवर्स इंटरपोलेशन विधियों द्वारा हल किया जाता है। यदि दिया गया फ़ंक्शन मोनोटोनिक है, तो बैकवर्ड इंटरपोलेशन करने का सबसे आसान तरीका फ़ंक्शन को एक तर्क के साथ बदलना और इसके विपरीत और फिर इंटरपोलेट करना है। यदि दिया गया फ़ंक्शन मोनोटोनिक नहीं है, तो इस तकनीक का उपयोग नहीं किया जा सकता है। फिर, फ़ंक्शन और तर्क की भूमिकाओं को बदले बिना, हम इस या उस प्रक्षेप सूत्र को लिखते हैं; का उपयोग करते हुए ज्ञात मूल्यतर्क और, ज्ञात कार्य पर विचार करते हुए, हम तर्क के संबंध में परिणामी समीकरण को हल करते हैं।

पहली विधि का उपयोग करते समय शेष पद का अनुमान प्रत्यक्ष प्रक्षेप के समान होगा, केवल प्रत्यक्ष फ़ंक्शन के डेरिवेटिव को व्युत्क्रम फ़ंक्शन के डेरिवेटिव द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। आइए दूसरी विधि की त्रुटि का अनुमान लगाएं। यदि हमें एक फ़ंक्शन दिया गया है f(x) और Ln (x) इस फ़ंक्शन के लिए नोड्स x0, x1, x2, पर निर्मित लैग्रेंज इंटरपोलेशन बहुपद है। . . , एक्सएन, फिर

एफ (एक्स) - एलएन (एक्स) =(एन + 1)! (एक्स - एक्स0)। . . (एक्स - एक्सएन)।

मान लीजिए कि हमें x¯ का मान ज्ञात करना है कि f (¯x) = y¯ (y¯ दिया गया है)। हम समीकरण Ln (x) = y¯ को हल करेंगे। आइए कुछ मान x¯ प्राप्त करें। पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एमएन+1

f (x¯) - Ln (x¯) = f (x¯) - y¯ = f (x¯) - f (¯x) =
लैंगरेंज सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं
(x¯ - x¯) f0 (η) =
जहाँ x¯ और x¯ के बीच में है। यदि एक अंतराल है जिसमें x¯ और x¯ और min . है

अंतिम अभिव्यक्ति से निम्नानुसार है:

|x¯ - x¯| 6m1 (एन + 1)! |$n (x¯)| .

इस मामले में, निश्चित रूप से, यह माना जाता है कि हमने समीकरण Ln (x) = y¯ को ठीक से हल कर लिया है।

सारणीकरण के लिए प्रक्षेप का उपयोग करना

इंटरपोलेशन के सिद्धांत में कार्यों की तालिकाओं के संकलन में अनुप्रयोग हैं। ऐसी समस्या प्राप्त करने के बाद, गणितज्ञ को गणना शुरू करने से पहले कई प्रश्नों को हल करना चाहिए। जिस सूत्र द्वारा गणना की जाएगी उसे चुना जाना चाहिए। यह सूत्र साइट से साइट पर भिन्न हो सकता है। आमतौर पर, फ़ंक्शन मानों की गणना के लिए सूत्र बोझिल होते हैं और इसलिए उनका उपयोग कुछ संदर्भ मान प्राप्त करने के लिए किया जाता है और फिर, उप-सारणी द्वारा, वे तालिका को मोटा करते हैं। फ़ंक्शन के संदर्भ मान देने वाले सूत्र को निम्नलिखित उप-सारणी को ध्यान में रखते हुए तालिकाओं की आवश्यक सटीकता प्रदान करनी चाहिए। यदि आप एक स्थिर चरण के साथ तालिकाओं को संकलित करना चाहते हैं, तो आपको पहले इसके चरण को निर्धारित करने की आवश्यकता है।

पिछला पिछला पिछला अगला पिछला छोड़ें अनुक्रमणिका

अक्सर, फ़ंक्शन टेबल संकलित किए जाते हैं ताकि रैखिक इंटरपोलेशन (यानी टेलर फॉर्मूला के पहले दो शब्दों का उपयोग करके इंटरपोलेशन) संभव हो। इस मामले में, शेष पद इस तरह दिखेगा

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t - 1)।

यहां ξ तर्क के दो आसन्न सारणीबद्ध मानों के बीच के अंतराल से संबंधित है जिसमें x स्थित है, और t 0 और 1 के बीच है। उत्पाद t(t - 1) सबसे बड़ा मॉड्यूल लेता है

t = 12 पर मान। यह मान 14 के बराबर है। इसलिए,

यह याद रखना चाहिए कि इस त्रुटि के आगे - विधि की त्रुटि, मध्यवर्ती मूल्यों की व्यावहारिक गणना में, एक अप्राप्य त्रुटि और गोलाई त्रुटि अभी भी होगी। जैसा कि हमने पहले देखा, रैखिक प्रक्षेप में घातक त्रुटि फ़ंक्शन के सारणीबद्ध मानों की त्रुटि के बराबर होगी। गोलाई त्रुटि पर निर्भर करेगा कंप्यूटिंग सुविधाएंऔर गणना कार्यक्रम से।

पिछला पिछला पिछला अगला पिछला छोड़ें अनुक्रमणिका

विषय सूचकांक

दूसरे क्रम के विभाजित अंतर, पहले क्रम के 8, 8

तख़्ता, 15

प्रक्षेप नोड्स, 4

पिछला पिछला पिछला अगला पिछला छोड़ें अनुक्रमणिका

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / इंटरपोलेशन कैसे करें

सारणीबद्ध डेटा को प्रक्षेपित करने का सूत्र

दूसरे चरण में उपयोग किया जाता है, जब स्थिति से NXR (Q, t) की मात्रा होती है बीच में है 100 टी और 300 टी।

(अपवाद:यदि Q, शर्त के अनुसार 100 या 300 के बराबर है, तो प्रक्षेप की आवश्यकता नहीं है)।

आप हे- शर्त से एनएचआर की आपकी प्रारंभिक राशि, टन में

(अक्षर Q से मेल खाता है)

आप 1 – कमतर

(सारणी 11-16 से, आमतौर पर 100).

आप 2 – अधिक एनसीआर की राशि के आपके मूल्य के निकटतम, टन में

(सारणी 11-16 से, आमतौर पर 300).

एक्स 1 आप 1 (एक्स 1 विपरीत स्थित आप 1 ), किमी.

एक्स 2 - दूषित हवा (जी टी) के बादल के प्रसार की गहराई का सारणीबद्ध मूल्य, क्रमशः आप 2 (एक्स 2 विपरीत स्थित आप 2 ), किमी.

एक्स 0 - वांछित मूल्य जी टीतदनुसार आप हे(सूत्र के अनुसार)।

उदाहरण।

एनसीआर - क्लोरीन; क्यू = 120 टी;

एसवीएसपी का प्रकार (ऊर्ध्वाधर वायु प्रतिरोध की डिग्री) - उलटा।

पाना जी टी- दूषित हवा के बादल की फैलती गहराई का सारणीबद्ध मान।

हम तालिका 11-16 को देखते हैं और डेटा ढूंढते हैं जो आपकी स्थिति (क्लोरीन, उलटा) से मेल खाता है।

उपयुक्त तालिका 11.

मूल्यों का चयन आप 1 , आप 2, एक्स 1 , एक्स 2 . महत्वपूर्ण - हम हवा की गति 1 मीटर / सेकंड लेते हैं, हम तापमान - 20 डिग्री सेल्सियस लेते हैं।

चयनित मानों को सूत्र में रखें और खोजें एक्स 0 .

महत्वपूर्ण - गणना सही है अगर एक्स 0 के बीच कहीं एक मूल्य होगा एक्स 1 , एक्स 2 .

1.4. लैग्रेंज प्रक्षेप सूत्र

इंटरपोलिंग के निर्माण के लिए लैग्रेंज द्वारा प्रस्तावित एल्गोरिथ्म

तालिकाओं के अनुसार कार्य (1) रूप में इंटरपोलेशन बहुपद एलएन (एक्स) के निर्माण के लिए प्रदान करता है

जाहिर है, शर्तों (11) के लिए (10) की पूर्ति इंटरपोलेशन समस्या के बयान की शर्तों (2) की पूर्ति निर्धारित करती है।

बहुपद li(x) को इस प्रकार लिखा जाता है

ध्यान दें कि सूत्र (14) के हर में एक भी कारक शून्य के बराबर नहीं है। स्थिरांक ci के मानों की गणना करने के बाद, आप उनका उपयोग दिए गए बिंदुओं पर प्रक्षेपित फ़ंक्शन के मानों की गणना करने के लिए कर सकते हैं।

लैग्रेंज प्रक्षेप बहुपद सूत्र (11), सूत्र (13) और (14) को ध्यान में रखते हुए, इस प्रकार लिखा जा सकता है

क्यूई (x - x0)(x - x1) K (x - xi −1)(x - xi +1) K (x - xn)

1.4.1. लैग्रेंज सूत्र के अनुसार मैनुअल गणनाओं का संगठन

लैग्रेंज सूत्र के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग से एक ही प्रकार की बड़ी संख्या में गणनाएँ होती हैं। छोटे आयामों की तालिकाओं के लिए, इन गणनाओं को मैन्युअल रूप से और सॉफ़्टवेयर वातावरण दोनों में किया जा सकता है।

पहले चरण में, हम मैन्युअल रूप से की गई गणनाओं के एल्गोरिदम पर विचार करते हैं। भविष्य में, पर्यावरण में वही गणना दोहराई जानी चाहिए

माइक्रोसॉफ्ट एक्सेलया OpenOffice.org कैल्क।

अंजीर पर। 6 चार नोड्स द्वारा परिभाषित एक प्रक्षेपित फ़ंक्शन की स्रोत तालिका का एक उदाहरण दिखाता है।

चित्र 6. इंटरपोलेटेड फ़ंक्शन के चार नोड्स के लिए प्रारंभिक डेटा वाली तालिका

तालिका के तीसरे कॉलम में, हम सूत्र (14) द्वारा गणना किए गए गुणांक क्यूई के मान लिखते हैं। n=3 के लिए इन सूत्रों का रिकॉर्ड नीचे दिया गया है।

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

मैनुअल गणना के कार्यान्वयन में अगला कदम मूल्यों की गणना है li(x) (j=0,1,2,3), सूत्रों द्वारा निष्पादित (13)।

आइए इन सूत्रों को उस तालिका के संस्करण के लिए लिखें जिस पर हम चार नोड्स के साथ विचार कर रहे हैं:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) ।

आइए बहुपद li(xj) (j=0,1,2,3) के मानों की गणना करें और उन्हें तालिका के कक्षों में लिखें। फ़ंक्शन Ycalc(x) के मान, सूत्र (11) के अनुसार, पंक्तियों में li(xj) के मानों के योग के परिणामस्वरूप प्राप्त होंगे।

तालिका का प्रारूप, जिसमें परिकलित मानों li(xj) के स्तंभ और Ycalc(x) मानों का एक स्तंभ शामिल है, चित्र 8 में दिखाया गया है।

चावल। 8. तर्क xi के सभी मूल्यों के लिए सूत्रों (16), (17) और (11) द्वारा किए गए मैन्युअल गणना के परिणामों के साथ तालिका

अंजीर में दिखाए गए तालिका के गठन को पूरा करने के बाद। 8, सूत्रों (17) और (11) द्वारा तर्क एक्स के किसी भी मूल्य के लिए इंटरपोलेटेड फ़ंक्शन के मान की गणना करना संभव है। उदाहरण के लिए, एक्स = 1 के लिए हम मानों की गणना करते हैं li(1) (i= 0,1,2,3):

एल0(1)=0.7763; एल1(1)= 3.5889; l2(1)=-1.5155;l3(1)=0.2966.

ली (1) के मूल्यों को समेटते हुए, हमें Yinterp (1) = 3.1463 का मूल्य मिलता है।

1.4.2. माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल प्रोग्राम के वातावरण में लैग्रेंज फ़ार्मुलों द्वारा इंटरपोलेशन एल्गोरिथम का कार्यान्वयन

इंटरपोलेशन एल्गोरिथम का कार्यान्वयन शुरू होता है, जैसे कि मैनुअल गणना में, गुणांक क्यूई की गणना के लिए सूत्र लिखकर। 9 तर्क के दिए गए मानों, प्रक्षेपित फलन और गुणांक ची के साथ तालिका के स्तंभों को दिखाता है। इस तालिका के दायीं ओर सूत्र हैं जो कि क्यूई गुणांक के मूल्यों की गणना करने के लिए कॉलम सी की कोशिकाओं में लिखे गए हैं।

2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" q2

vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" q3

चावल। 9 गुणांक की तालिका क्यूई और गणना सूत्र

सेल C2 में सूत्र q0 दर्ज करने के बाद, इसे C3 से C5 तक की कोशिकाओं के माध्यम से खींचा जाता है। उसके बाद, इन कोशिकाओं में सूत्रों को चित्र में दिखाए गए फॉर्म के अनुसार (16) के अनुसार सही किया जाता है। 9.

Ycalc(xi),

सूत्र (17) को लागू करते हुए, हम कॉलम डी, ई, एफ और जी की कोशिकाओं में मूल्यों की गणना के लिए li(x) (i=0,1,2,3) की गणना के लिए सूत्र लिखते हैं। सेल D2 में मूल्य की गणना करने के लिए l0(x0), हम सूत्र लिखते हैं:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

हम मान प्राप्त करते हैं l0 (xi) (i=0,1,2,3)।

$A2 लिंक प्रारूप आपको li(x0) (i=1,2,3) की गणना के लिए कम्प्यूटेशनल सूत्र बनाने के लिए कॉलम E, F, G के साथ सूत्र को फैलाने की अनुमति देता है। किसी सूत्र को एक पंक्ति पर खींचने से तर्कों के स्तंभ अनुक्रमणिका में कोई परिवर्तन नहीं होता है। li(x0) (i=1,2,3) की गणना करने के लिए सूत्र l0(x0) को आरेखित करने के बाद, उन्हें सूत्रों (17) के अनुसार ठीक करना आवश्यक है।

कॉलम एच में रखें एक्सेल सूत्रसूत्र द्वारा li(x) के योग के लिए

(11) एल्गोरिथ्म।

अंजीर पर। 10 Microsoft Excel प्रोग्राम परिवेश में कार्यान्वित एक तालिका दिखाता है। तालिका के कक्षों में लिखे गए सूत्रों की शुद्धता का संकेत और प्रदर्शन किए गए कम्प्यूटेशनल ऑपरेशन परिणामी विकर्ण मैट्रिक्स हैं li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), अंजीर में दिखाए गए परिणामों को दोहराते हुए। 8, और मूल तालिका के नोड्स में प्रक्षेपित फ़ंक्शन के मानों से मेल खाने वाले मानों का एक स्तंभ।

चावल। 10. मूल्यों की तालिका li(xj) (j=0,1,2,3) और Ycalc(xj)

कुछ मध्यवर्ती बिंदुओं पर मूल्यों की गणना करने के लिए, यह पर्याप्त है

कॉलम A की कोशिकाओं में, सेल A6 से शुरू होकर, तर्क X के मान दर्ज करें, जिसके लिए आप प्रक्षेपित फ़ंक्शन के मान निर्धारित करना चाहते हैं। प्रमुखता से दिखाना

सेल तालिका की अंतिम (5वीं) पंक्ति में l0(xn) से Ycalc(xn) तक और चयनित कक्षों में लिखे सूत्रों को अंतिम वाली पंक्ति तक फैलाएं

x तर्क का दिया गया मान।

अंजीर पर। 11 एक तालिका दिखाता है जिसमें फ़ंक्शन के मान की गणना तीन अंक: एक्स = 1, एक्स = 2 और एक्स = 3। स्रोत डेटा तालिका की पंक्ति संख्याओं वाला एक अतिरिक्त स्तंभ तालिका में पेश किया गया है।

चावल। 11. लैग्रेंज सूत्रों का उपयोग करके प्रक्षेपित कार्यों के मूल्यों की गणना

प्रक्षेप परिणामों को प्रदर्शित करने की अधिक स्पष्टता के लिए, हम एक तालिका का निर्माण करेंगे जिसमें आरोही क्रम में क्रमित तर्क X के मानों का एक स्तंभ, फ़ंक्शन Y(X) के प्रारंभिक मानों का एक स्तंभ और एक स्तंभ शामिल होगा

मुझे बताएं कि इंटरपोलेशन फॉर्मूला का उपयोग कैसे करें और थर्मोडायनामिक्स (हीट इंजीनियरिंग) में समस्याओं को हल करने में कौन सा है

इवान शेस्ताकोविच

सबसे सरल, लेकिन अक्सर पर्याप्त सटीक नहीं प्रक्षेप रैखिक होता है। जब आपके पास पहले से ही दो ज्ञात बिंदु (X1 Y1) और (X2 Y2) हों और आपको कुछ X के दिन के Y मान ज्ञात करने हों जो X1 और X2 के बीच हों। फिर सूत्र सरल है।
वाई \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
वैसे, यह सूत्र X1..X2 अंतराल के बाहर X मानों के लिए भी काम करता है, लेकिन इसे पहले से ही एक्सट्रोपोलेशन कहा जाता है और, इस अंतराल से एक महत्वपूर्ण दूरी पर, यह एक बहुत बड़ी त्रुटि देता है।
कई अन्य मैट हैं। प्रक्षेप के तरीके - मैं आपको इंटरनेट के माध्यम से पाठ्यपुस्तक या अफवाह पढ़ने की सलाह देता हूं।
ग्राफिकल इंटरपोलेशन की विधि को भी खारिज नहीं किया गया है - ज्ञात बिंदुओं के माध्यम से मैन्युअल रूप से एक ग्राफ बनाएं और आवश्यक एक्स के लिए ग्राफ से वाई खोजें। ;)

उपन्यास

आपके दो अर्थ हैं। और लगभग निर्भरता (रैखिक, द्विघात, ..)
इस फ़ंक्शन का ग्राफ आपके दो बिंदुओं से होकर गुजरता है। आपको बीच में कहीं एक मूल्य चाहिए। अच्छा, व्यक्त!
उदाहरण के लिए। तालिका में, 22 डिग्री के तापमान पर, संतृप्त वाष्प दबाव 120,000 Pa और 26, 124,000 Pa है। फिर 23 डिग्री 121000 Pa के तापमान पर।

प्रक्षेप (निर्देशांक)

मानचित्र (छवि) पर एक समन्वय ग्रिड है।
इसमें दो के साथ कुछ प्रसिद्ध संदर्भ बिंदु (n>3) हैं एक्स, वाई मान- पिक्सेल में निर्देशांक, और मीटर में निर्देशांक।
निर्देशांक के मध्यवर्ती मूल्यों को मीटर में खोजना आवश्यक है, निर्देशांक को पिक्सेल में जानना।
रैखिक प्रक्षेप उपयुक्त नहीं है - रेखा के बाहर बहुत अधिक त्रुटि।
इस तरह: (Xc - x द्वारा मीटर में निर्देशांक, Xp - x द्वारा पिक्सेल में समन्वयित करें, Xc3 - x द्वारा वांछित मान)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

एक्ससी और वाईसी खोजने के लिए एक ही सूत्र कैसे खोजें, दो नहीं (जैसे यहां), लेकिन एन ज्ञात संदर्भ बिंदु दिए गए हैं?

जोका फर्न लोडी

लिखित फ़ार्मुलों को देखते हुए, क्या पिक्सेल और मीटर में समन्वय प्रणालियों की कुल्हाड़ियों का मेल होता है?
अर्थात्, Xp -> Xc स्वतंत्र रूप से प्रक्षेपित होता है और Yp -> Yc स्वतंत्र रूप से प्रक्षेपित होता है। यदि नहीं, तो आपको द्वि-आयामी इंटरपोलेशन एक्सपी, वाईपी-> एक्ससी और एक्सपी, वाईपी-> वाईसी का उपयोग करने की आवश्यकता है, जो कुछ हद तक कार्य को जटिल बनाता है।
इसके अलावा, यह माना जाता है कि निर्देशांक Xp और Xc कुछ निर्भरता से संबंधित हैं।
यदि निर्भरता की प्रकृति ज्ञात है (या यह माना जाता है, उदाहरण के लिए, हम मानते हैं कि Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), तो आप इस निर्भरता के पैरामीटर प्राप्त कर सकते हैं (दिए गए निर्भरता के लिए a , बी, सी) का उपयोग कर प्रतिगमन विश्लेषण(तरीका कम से कम वर्गों) . इस पद्धति में, यदि आप एक निश्चित निर्भरता Xc(Xp) निर्दिष्ट करते हैं, तो आप संदर्भ डेटा पर निर्भरता के मापदंडों के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। यह विधि, विशेष रूप से, एक रैखिक निर्भरता को खोजने की अनुमति देती है, सबसे अच्छा तरीकाइस डेटा सेट को संतुष्ट करना।
नुकसान: इस पद्धति में, Xp नियंत्रण बिंदुओं के डेटा से प्राप्त Xc निर्देशांक दिए गए बिंदुओं से भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्रायोगिक बिंदुओं के माध्यम से खींची गई सन्निकटन सीधी रेखा स्वयं इन बिंदुओं से नहीं गुजरती है।
यदि सटीक मिलान की आवश्यकता है और निर्भरता की प्रकृति अज्ञात है, तो प्रक्षेप विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए। गणितीय रूप से सबसे सरल लैग्रेंज इंटरपोलेशन बहुपद है, जो बिल्कुल संदर्भ बिंदुओं से होकर गुजरता है। हालांकि, इस बहुपद के उच्च स्तर के कारण बड़ी संख्यासंदर्भ बिंदु और खराब गुणवत्ताइंटरपोलेशन, इसका उपयोग न करना बेहतर है। लाभ अपेक्षाकृत सरल सूत्र है।
स्पलाइन इंटरपोलेशन का उपयोग करना बेहतर है। इस पद्धति का सार यह है कि दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच प्रत्येक खंड में, अध्ययन के तहत निर्भरता को एक बहुपद द्वारा प्रक्षेपित किया जाता है, और दो अंतरालों को जोड़ने के बिंदुओं पर चिकनाई की स्थिति लिखी जाती है। इस पद्धति का लाभ प्रक्षेप की गुणवत्ता है। नुकसान - एक सामान्य सूत्र प्राप्त करना लगभग असंभव है, आपको प्रत्येक खंड में बहुपद के गुणांक को एल्गोरिथम के रूप में खोजना होगा। एक और नुकसान 2डी प्रक्षेप के सामान्यीकरण की कठिनाई है।

हम में से कई लोगों ने विभिन्न विज्ञानों में समझ से बाहर आने वाले शब्दों का सामना किया है। लेकिन बहुत कम लोग ऐसे होते हैं जो समझ से बाहर के शब्दों से डरते नहीं हैं, बल्कि इसके विपरीत, वे खुश होते हैं और उन्हें अध्ययन किए जा रहे विषय में गहराई से जाने के लिए मजबूर करते हैं। आज हम इंटरपोलेशन जैसी चीज के बारे में बात करेंगे। यह ज्ञात बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ़ प्लॉट करने की एक विधि है, जो फ़ंक्शन के बारे में न्यूनतम जानकारी के साथ वक्र के विशिष्ट वर्गों पर इसके व्यवहार की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है।

परिभाषा के सार पर आगे बढ़ने से पहले और इसके बारे में और अधिक विस्तार से बताएं, आइए इतिहास में थोड़ा तल्लीन करें।

कहानी

इंटरपोलेशन प्राचीन काल से जाना जाता है। हालाँकि, इस घटना का विकास अतीत के कई सबसे प्रमुख गणितज्ञों: न्यूटन, लाइबनिज़ और ग्रेगरी के कारण हुआ है। यह वे थे जिन्होंने इस अवधारणा को और अधिक उन्नत की सहायता से विकसित किया था गणितीय तरीकेउस समय उपलब्ध है। इससे पहले, प्रक्षेप, निश्चित रूप से, गणना में उपयोग और उपयोग किया जाता था, लेकिन उन्होंने इसे पूरी तरह से गलत तरीके से किया, एक मॉडल बनाने के लिए बड़ी मात्रा में डेटा की आवश्यकता होती है जो कमोबेश वास्तविकता के करीब है।

आज, हम यह भी चुन सकते हैं कि कौन सी प्रक्षेप विधि अधिक उपयुक्त है। सब कुछ एक कंप्यूटर भाषा में अनुवादित किया जाता है जो ज्ञात बिंदुओं द्वारा सीमित एक निश्चित क्षेत्र में फ़ंक्शन के व्यवहार की बड़ी सटीकता के साथ भविष्यवाणी कर सकता है।

प्रक्षेप एक संकीर्ण अवधारणा है, इसलिए इसका इतिहास तथ्यों में इतना समृद्ध नहीं है। अगले भाग में, हम समझेंगे कि वास्तव में प्रक्षेप क्या है और यह इसके विपरीत - एक्सट्रपलेशन से कैसे भिन्न है।

इंटरपोलेशन क्या है?

जैसा कि हमने पहले ही कहा है, यह उन विधियों का सामान्य नाम है जो आपको बिंदुओं के आधार पर ग्राफ़ बनाने की अनुमति देते हैं। स्कूल में, यह मुख्य रूप से एक तालिका संकलित करके, एक ग्राफ पर बिंदुओं की पहचान करके और मोटे तौर पर उन्हें जोड़ने वाली रेखाओं का निर्माण करके किया जाता है। अंतिम क्रिया दूसरों के अध्ययन के तहत फ़ंक्शन की समानता के विचारों के आधार पर की जाती है, जिस प्रकार के ग्राफ़ को हम जानते हैं।

हालांकि, बिंदु-दर-बिंदु प्लॉट की साजिश रचने के कार्य को पूरा करने के लिए अन्य, अधिक जटिल और सटीक तरीके हैं। तो, प्रक्षेप वास्तव में एक विशिष्ट क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के व्यवहार की "भविष्यवाणी" है, जो ज्ञात बिंदुओं द्वारा सीमित है।

एक ही क्षेत्र से जुड़ी एक समान अवधारणा है - एक्सट्रपलेशन। यह किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की भविष्यवाणी भी है, लेकिन ग्राफ़ के ज्ञात बिंदुओं से परे है। इस पद्धति के साथ, एक ज्ञात अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के व्यवहार के आधार पर एक भविष्यवाणी की जाती है, और फिर यह फ़ंक्शन अज्ञात अंतराल पर भी लागू होता है। यह विधि के लिए बहुत सुविधाजनक है व्यावहारिक अनुप्रयोगऔर सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, अर्थव्यवस्था में बाजार में उतार-चढ़ाव की भविष्यवाणी करने और देश में जनसांख्यिकीय स्थिति की भविष्यवाणी करने के लिए।

लेकिन हम मुख्य विषय से भटक गए हैं। अगले भाग में, हम समझेंगे कि प्रक्षेप क्या है और इस संक्रिया को करने के लिए किन सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है।

प्रक्षेप के प्रकार

सबसे द्वारा सरल दृश्यनिकटतम पड़ोसी प्रक्षेप है। इस पद्धति से, हमें आयतों से मिलकर एक बहुत ही अनुमानित प्लॉट मिलता है। यदि आपने कभी स्पष्टीकरण देखा है ज्यामितीय अर्थग्राफ पर समाकलन करने पर आप समझ जाएंगे कि हम किस प्रकार के आलेखीय रूप की बात कर रहे हैं।

इसके अलावा, प्रक्षेप के अन्य तरीके भी हैं। सबसे प्रसिद्ध और लोकप्रिय बहुपद से जुड़े हैं। वे अधिक सटीक हैं और मूल्यों के अपेक्षाकृत कम सेट के साथ फ़ंक्शन के व्यवहार की भविष्यवाणी करने की अनुमति देते हैं। पहली इंटरपोलेशन विधि जिसे हम देखेंगे वह रैखिक बहुपद इंटरपोलेशन है। यह इस श्रेणी से सबसे आसान तरीका है, और निश्चित रूप से आप में से प्रत्येक ने इसे स्कूल में इस्तेमाल किया है। इसका सार ज्ञात बिंदुओं के बीच सीधी रेखाओं के निर्माण में निहित है। जैसा कि आप जानते हैं, एक सीधी रेखा समतल के दो बिंदुओं से होकर गुजरती है, जिसका समीकरण इन बिंदुओं के निर्देशांक के आधार पर पाया जा सकता है। इन सीधी रेखाओं को बनाने के बाद, हमें एक टूटा हुआ ग्राफ मिलता है, जो कम से कम, लेकिन कार्यों के अनुमानित मूल्यों को दर्शाता है और सामान्य शब्दों मेंवास्तविकता से मेल खाता है। इस प्रकार रैखिक प्रक्षेप कार्य करता है।

प्रक्षेप के जटिल प्रकार

एक और दिलचस्प है, लेकिन अधिक बहुत मुश्किल हैप्रक्षेप इसका आविष्कार फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ लुई लैग्रेंज ने किया था। यही कारण है कि इस विधि द्वारा प्रक्षेप की गणना का नाम उनके नाम पर रखा गया है: लैग्रेंज विधि द्वारा प्रक्षेप। यहाँ ट्रिक यह है: यदि पिछले पैराग्राफ में उल्लिखित विधि केवल उपयोग करती है रैखिक प्रकार्य, तो लैग्रेंज विस्तार में बहुपदों का उपयोग भी शामिल है उच्च डिग्री. लेकिन विभिन्न कार्यों के लिए स्वयं प्रक्षेप सूत्र खोजना इतना आसान नहीं है। और जितने अधिक अंक ज्ञात होते हैं, प्रक्षेप सूत्र उतना ही सटीक होता है। लेकिन और भी कई तरीके हैं।

गणना की वास्तविकता पद्धति के अधिक सटीक और करीब भी है। इसमें प्रयुक्त प्रक्षेप सूत्र बहुपदों का एक संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक का अनुप्रयोग फलन के अनुभाग पर निर्भर करता है। इस विधि को स्पलाइन फ़ंक्शन कहा जाता है। इसके अलावा, दो चर के कार्यों के प्रक्षेप के रूप में ऐसा करने के तरीके भी हैं। यहां केवल दो विधियां हैं। उनमें से बिलिनियर या डबल इंटरपोलेशन हैं। यह विधि आपको त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदुओं द्वारा आसानी से ग्राफ़ बनाने की अनुमति देती है। अन्य तरीके प्रभावित नहीं होंगे। सामान्य तौर पर, ग्राफ़ प्लॉट करने के इन सभी तरीकों के लिए इंटरपोलेशन एक सार्वभौमिक नाम है, लेकिन जिस तरह से इस क्रिया को किया जा सकता है, वह हमें इस क्रिया के अधीन कार्य के प्रकार के आधार पर समूहों में विभाजित करने के लिए मजबूर करता है। यही है, प्रक्षेप, जिसका एक उदाहरण हमने ऊपर माना, प्रत्यक्ष विधियों को संदर्भित करता है। उलटा प्रक्षेप भी है, जो इस मायने में भिन्न है कि यह आपको प्रत्यक्ष नहीं, बल्कि एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन (यानी, y से x) की गणना करने की अनुमति देता है। हम बाद के विकल्पों पर विचार नहीं करेंगे, क्योंकि यह काफी कठिन है और इसके लिए एक अच्छे गणितीय ज्ञान आधार की आवश्यकता होती है।

आइए शायद सबसे महत्वपूर्ण वर्गों में से एक पर चलते हैं। इससे हम सीखते हैं कि हम जिन तरीकों की चर्चा कर रहे हैं, वे जीवन में कैसे और कहाँ लागू होते हैं।

आवेदन पत्र

जैसा कि आप जानते हैं, गणित विज्ञान की रानी है। इसलिए, भले ही पहली बार में आप कुछ कार्यों में बिंदु नहीं देखते हैं, इसका मतलब यह नहीं है कि वे बेकार हैं। उदाहरण के लिए, ऐसा लगता है कि इंटरपोलेशन एक बेकार चीज है, जिसकी मदद से केवल ग्राफ बनाए जा सकते हैं, जिनकी अभी बहुत कम लोगों को जरूरत है। हालांकि, इंजीनियरिंग, भौतिकी और कई अन्य विज्ञानों (उदाहरण के लिए, जीव विज्ञान) में किसी भी गणना में, मूल्यों का एक निश्चित सेट होने के साथ-साथ घटना की पूरी तस्वीर पेश करना बेहद जरूरी है। मान स्वयं, ग्राफ़ पर बिखरे हुए, हमेशा किसी विशेष क्षेत्र में फ़ंक्शन के व्यवहार, उसके डेरिवेटिव के मूल्यों और कुल्हाड़ियों के साथ चौराहे के बिंदुओं का स्पष्ट विचार नहीं देते हैं। और यह हमारे जीवन के कई क्षेत्रों के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।

और यह जीवन में कैसे उपयोगी होगा?

ऐसे प्रश्न का उत्तर देना बहुत कठिन हो सकता है। लेकिन उत्तर सरल है: बिलकुल नहीं। यह ज्ञान तुम्हारे किसी काम का नहीं है। लेकिन अगर आप इस सामग्री और इन क्रियाओं को करने के तरीकों को समझते हैं, तो आप अपने तर्क को प्रशिक्षित करेंगे, जो जीवन में बहुत उपयोगी होगा। मुख्य बात स्वयं ज्ञान नहीं है, बल्कि वह कौशल है जो एक व्यक्ति अध्ययन की प्रक्रिया में प्राप्त करता है। आखिरकार, यह व्यर्थ नहीं है कि एक कहावत है: "एक सदी के लिए जियो - एक सदी के लिए सीखो।"

संबंधित अवधारणाएं

इससे जुड़ी अन्य अवधारणाओं की विविधता को देखकर आप खुद समझ सकते हैं कि गणित का यह क्षेत्र कितना महत्वपूर्ण था (और अभी भी है)। हम पहले ही एक्सट्रपलेशन के बारे में बात कर चुके हैं, लेकिन एक सन्निकटन भी है। हो सकता है कि आपने यह शब्द पहले सुना हो। किसी भी मामले में, हमने यह भी विश्लेषण किया कि इस लेख में इसका क्या अर्थ है। सन्निकटन, इंटरपोलेशन की तरह, फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉटिंग से संबंधित अवधारणाएं हैं। लेकिन पहले और दूसरे के बीच का अंतर यह है कि यह समान . के आधार पर एक ग्राफ का अनुमानित प्लॉटिंग है प्रसिद्ध चार्ट. ये दोनों अवधारणाएँ एक-दूसरे से बहुत मिलती-जुलती हैं, और उनमें से प्रत्येक का अध्ययन करना जितना दिलचस्प है।

निष्कर्ष

गणित उतना कठिन विज्ञान नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। वह बल्कि दिलचस्प है। और इस लेख में हमने आपको इसे साबित करने की कोशिश की है। हमने ग्राफ प्लॉटिंग से जुड़ी अवधारणाओं को देखा, सीखा कि डबल इंटरपोलेशन क्या है, और उदाहरणों के साथ विश्लेषण किया जहां इसका उपयोग किया जाता है।

प्रक्षेप। परिचय। समस्या का सामान्य विवरण

विभिन्न हल करते समय व्यावहारिक कार्यशोध के परिणाम एक परिभाषित पैरामीटर (तर्क) पर एक या अधिक मापा मूल्यों की निर्भरता को दर्शाने वाली तालिकाओं के रूप में तैयार किए जाते हैं। ऐसी सारणियाँ आमतौर पर दो या दो से अधिक पंक्तियों (स्तंभों) के रूप में प्रस्तुत की जाती हैं और गणितीय मॉडल बनाने के लिए उपयोग की जाती हैं।

सारणीबद्ध गणितीय मॉडलफ़ंक्शन आमतौर पर प्रपत्र की तालिकाओं में लिखे जाते हैं:

वाई1(एक्स)	वाई (एक्स 0)	वाई (एक्स 1)		वाई (एक्सएन)
वाईएम (एक्स)	वाई (एक्स 0)	वाई (एक्स 1)		वाई (एक्सएन)

ऐसी तालिकाओं द्वारा प्रदान की गई सीमित जानकारी, कुछ मामलों में, बिंदुओं X पर फ़ंक्शन Y j (X) (j=1,2,…,m) के मान प्राप्त करने की आवश्यकता होती है जो तालिका के नोडल बिंदुओं से मेल नहीं खाते हैं एक्स मैं (मैं = 0,1,2,…, एन)। ऐसे मामलों में, मनमाने ढंग से निर्दिष्ट बिंदुओं X पर जांच किए गए फ़ंक्शन Y j (X) के अनुमानित मूल्यों की गणना करने के लिए कुछ विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति φ j (X) निर्धारित करना आवश्यक है। फ़ंक्शन Y j (X) के अनुमानित मानों को निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शन j (X) को अनुमानित फ़ंक्शन (लैटिन एप्रोसिमो से - निकट) कहा जाता है। सन्निकटन फलन j (X) की सन्निकट फलन Y j (X) से निकटता उपयुक्त सन्निकटन एल्गोरिथम के चुनाव द्वारा सुनिश्चित की जाती है।

हम एक जांच किए गए फ़ंक्शन के प्रारंभिक डेटा वाले तालिकाओं के लिए आगे सभी विचार और निष्कर्ष करेंगे (यानी, एम = 1 वाली तालिकाओं के लिए)।

1. प्रक्षेप के तरीके

1.1 प्रक्षेप समस्या का विवरण

अक्सर, फ़ंक्शन (X) को निर्धारित करने के लिए, एक कथन का उपयोग किया जाता है, जिसे इंटरपोलेशन समस्या का कथन कहा जाता है।

प्रक्षेप समस्या के इस शास्त्रीय सूत्रीकरण में, एक अनुमानित विश्लेषणात्मक कार्य (X) निर्धारित करना आवश्यक है जिसका मान नोडल बिंदु X i पर है मूल्यों का मिलान करें Y(X i ) मूल तालिका का, अर्थात। स्थितियाँ

(X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n )

इस तरह से निर्मित अनुमानित कार्य (X) तर्क के मूल्यों की सीमा के भीतर प्रक्षेपित फ़ंक्शन Y(X) के लिए पर्याप्त रूप से निकट सन्निकटन प्राप्त करना संभव बनाता है [X 0 ; एक्स एन], तालिका द्वारा परिभाषित। X तर्क के मान सेट करते समय, मेरा नहींइस अंतराल में, प्रक्षेप कार्य को एक्सट्रपलेशन कार्य में बदल दिया जाता है। इन मामलों में, सटीकता

फ़ंक्शन (X) के मानों की गणना करते समय प्राप्त मान X 0 से तर्क X के मान की दूरी पर निर्भर करता है यदि X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >एक्सएन.

गणितीय मॉडलिंग में, इंटरपोलिंग फ़ंक्शन का उपयोग उप-अंतराल के मध्यवर्ती बिंदुओं पर अध्ययन के तहत फ़ंक्शन के अनुमानित मूल्यों की गणना के लिए किया जा सकता है [Х i; शी + 1]। ऐसी प्रक्रिया को कहा जाता है टेबल सील.

इंटरपोलेशन एल्गोरिदम फ़ंक्शन (एक्स) के मूल्यों की गणना करने की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है। इंटरपोलिंग फ़ंक्शन का सबसे सरल और सबसे स्पष्ट कार्यान्वयन जांच किए गए फ़ंक्शन Y(X) को अंतराल [X i ; Х i+1 ] बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंड द्वारा Y i , Y i+1 । इस विधि को रैखिक प्रक्षेप विधि कहा जाता है।

1.2 रैखिक प्रक्षेप

रेखीय प्रक्षेप के साथ, नोड X i और X i+1 के बीच स्थित बिंदु X पर फ़ंक्शन का मान तालिका के दो आसन्न बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा के सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है।

वाई (एक्स) = वाई (एक्सआई) +	Y(Xi + 1 ) - Y(Xi )	(X - Xi ) (i= 0,1,2, ...,n),
	शी+ 1−शी

अंजीर पर। 1 एक निश्चित मान Y(X) के मापन के परिणामस्वरूप प्राप्त तालिका का एक उदाहरण दिखाता है। स्रोत तालिका की पंक्तियों को हाइलाइट किया गया है। तालिका के दाईं ओर इस तालिका के अनुरूप एक स्कैटर प्लॉट है। तालिका का संघनन सूत्र द्वारा गणना के कारण किया जाता है

(3) उप-अंतराल (i=0, 1, 2,… , n ) के मध्य बिंदुओं के अनुरूप बिंदुओं पर अनुमानित फ़ंक्शन के मान।

चित्र एक। फ़ंक्शन Y(X) और उसके संगत आरेख की संक्षिप्त तालिका

अंजीर में ग्राफ पर विचार करते समय। 1 यह देखा जा सकता है कि रैखिक प्रक्षेप विधि का उपयोग करके तालिका के संघनन के परिणामस्वरूप प्राप्त अंक मूल तालिका के बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंडों पर स्थित होते हैं। रैखिक सटीकता

प्रक्षेप, अनिवार्य रूप से प्रक्षेपित फलन की प्रकृति और तालिका X i, , X i+1 के नोड्स के बीच की दूरी पर निर्भर करता है।

जाहिर है, अगर फ़ंक्शन सुचारू है, तो अपेक्षाकृत के लिए भी लम्बी दूरीनोड्स के बीच, सीधी रेखा खंडों के साथ बिंदुओं को जोड़कर बनाया गया एक ग्राफ फ़ंक्शन वाई (एक्स) की प्रकृति का सटीक अनुमान लगाना संभव बनाता है। यदि फ़ंक्शन जल्दी से पर्याप्त रूप से बदलता है, और नोड्स के बीच की दूरी बड़ी है, तो रैखिक इंटरपोलिंग फ़ंक्शन वास्तविक फ़ंक्शन के लिए पर्याप्त सटीक अनुमान प्राप्त करने की अनुमति नहीं देता है।

रैखिक इंटरपोलिंग फ़ंक्शन का उपयोग सामान्य प्रारंभिक विश्लेषण और इंटरपोलेशन परिणामों की शुद्धता के मूल्यांकन के लिए किया जा सकता है, जो तब अन्य सटीक तरीकों से प्राप्त होते हैं। ऐसा आकलन उन मामलों में विशेष रूप से प्रासंगिक हो जाता है जहां गणना मैन्युअल रूप से की जाती है।

1.3 विहित बहुपद द्वारा प्रक्षेप

एक विहित बहुपद द्वारा एक फलन को प्रक्षेपित करने की विधि एक बहुपद के रूप में एक प्रक्षेप फलन के निर्माण पर आधारित है [ 1 ]

(x) = Pn (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn

बहुपद (4) के i के साथ गुणांक मुक्त प्रक्षेप पैरामीटर हैं, जो लैग्रेंज स्थितियों से निर्धारित होते हैं:

पीएन (xi )= यी , (i= 0 , 1 , ... , n)

(4) और (5) का प्रयोग करके हम समीकरणों का निकाय लिखते हैं

	सीएक्स+ सीएक्स2				सी एक्सएन = वाई
	सीएक्स+ सीएक्स2				सीएक्सएन
			सीएक्स2			सी एक्सएन = वाई

रैखिक प्रणाली के i (i = 0, 1, 2, …, n ) के साथ हल वेक्टर बीजीय समीकरण(6) मौजूद है और पाया जा सकता है अगर i नोड्स के बीच कोई मेल खाने वाले नोड नहीं हैं। प्रणाली के निर्धारक (6) को वेंडरमोंडे निर्धारक 1 कहा जाता है और इसकी एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति होती है [2]।

1 वेंडरमोंडे का निर्धारक निर्धारक कहा जाता है

यह शून्य है यदि और केवल यदि xi = xj कुछ के लिए। (विकिपीडिया से सामग्री - मुक्त विश्वकोश)

i (i = 0, 1, 2,… , n) के साथ गुणांकों के मान ज्ञात करने के लिए

समीकरण (5) को सदिश-मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है

ए * सी = वाई,

जहाँ A, तर्क सदिश X= (x i 0 , x i , x i 2 , … , x i n ) T (i = 0, 1, 2,… , n) की घातों की तालिका द्वारा निर्धारित गुणांकों का मैट्रिक्स है।

				x0 2		x0 n
				एक्सएन 2		एक्सएन एन

C गुणांकों का एक स्तंभ सदिश है i (i = 0, 1, 2, …, n), और Y प्रक्षेपित के मानों Y i (i = 0, 1, 2,…, n) का एक स्तंभ सदिश है। इंटरपोलेशन नोड्स पर कार्य करें।

रैखिक बीजीय समीकरणों की इस प्रणाली का हल [3] में वर्णित विधियों में से एक द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र के अनुसार

С = ए− 1 वाई,

जहाँ A -1 आव्यूह A का आव्यूह प्रतिलोम है। पाने के लिए उलटा मैट्रिक्सऔर -1, आप MOBR () फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं, जो कि Microsoft Excel प्रोग्राम के मानक फ़ंक्शन के सेट में शामिल है।

I के साथ गुणांक के मान निर्धारित किए जाने के बाद, फ़ंक्शन (4) का उपयोग करके, इंटरपोलेटेड फ़ंक्शन के मानों की गणना तर्कों के किसी भी मूल्य के लिए की जा सकती है।

आइए तालिका को संघनित करने वाली पंक्तियों को ध्यान में रखे बिना, चित्र 1 में दिखाई गई तालिका के लिए मैट्रिक्स A लिखें।

Fig.2 विहित बहुपद के गुणांकों की गणना के लिए समीकरणों की प्रणाली का मैट्रिक्स

MOBR () फ़ंक्शन का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स A -1 को मैट्रिक्स A (चित्र 3) के विपरीत प्राप्त करते हैं। फिर, सूत्र (9) के अनुसार, हम अंजीर में दिखाए गए गुणांक =(c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T का सदिश प्राप्त करते हैं। चार।

कॉलम Y के सेल में विहित बहुपद के मानों की गणना करने के लिए, मान 0 के अनुरूप, हम सिस्टम की शून्य पंक्ति (6) के अनुरूप निम्न रूप में रूपांतरित सूत्र का परिचय देते हैं।

=((((सी 5	* एक्स 0 + सी 4) * एक्स 0 + सी 3) * एक्स 0 + सी 2) * एक्स 0 + सी 1) * एक्स 0 + सी 0

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5))))

एक्सेल तालिका के सेल में दर्ज किए गए सूत्र में "c i" लिखने के बजाय, इस गुणांक वाले संबंधित सेल का एक पूर्ण संदर्भ होना चाहिए (चित्र 4 देखें)। "X 0" के बजाय - कॉलम X का एक सापेक्ष संदर्भ (चित्र 5 देखें)।

सेल Y लिन (0) में मान से मेल खाने वाले मान का Y विहित (0)। सेल वाई कैनोनिकल (0) में लिखे गए सूत्र को खींचते समय, वाई कैनोनिकल (i) के मान भी मूल के नोड बिंदुओं के अनुरूप मेल खाना चाहिए।

टेबल (चित्र 5 देखें)।

चावल। 5. रेखीय और विहित प्रक्षेप की तालिकाओं के अनुसार निर्मित आरेख

रैखिक और विहित प्रक्षेप के सूत्रों का उपयोग करके गणना की गई तालिकाओं के अनुसार निर्मित कार्यों के रेखांकन की तुलना, हम कई मध्यवर्ती नोड्स में रैखिक और विहित प्रक्षेप के सूत्रों द्वारा प्राप्त मूल्यों का एक महत्वपूर्ण विचलन देखते हैं। प्राप्त करने के आधार पर अधिक यथोचित रूप से प्रक्षेप की सटीकता का न्याय करना संभव है अतिरिक्त जानकारीमॉडलिंग की जा रही प्रक्रिया की प्रकृति के बारे में।

इंटरपोलेशन एक प्रकार का सन्निकटन है जिसमें निर्मित फ़ंक्शन का वक्र उपलब्ध डेटा बिंदुओं से बिल्कुल गुजरता है।

इंटरपोलेशन के करीब एक समस्या भी है, जिसमें कुछ जटिल फ़ंक्शन को दूसरे, सरल फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित करना शामिल है। यदि कोई निश्चित फ़ंक्शन उत्पादक गणना के लिए बहुत जटिल है, तो आप कई बिंदुओं पर इसके मूल्य की गणना करने का प्रयास कर सकते हैं, और निर्माण कर सकते हैं, यानी इंटरपोलेट, उनसे एक सरल कार्य कर सकते हैं। बेशक, एक सरलीकृत फ़ंक्शन का उपयोग करने से आपको वही सटीक परिणाम प्राप्त करने की अनुमति नहीं मिलती है जो मूल फ़ंक्शन देगा। लेकिन समस्याओं के कुछ वर्गों में, सरलता और गणना की गति में लाभ परिणामों में परिणामी त्रुटि से अधिक हो सकता है।

हमें एक पूरी तरह से अलग तरह के गणितीय प्रक्षेप का भी उल्लेख करना चाहिए, जिसे "ऑपरेटर इंटरपोलेशन" के रूप में जाना जाता है। ऑपरेटर इंटरपोलेशन पर शास्त्रीय कार्यों में रिज़-थोरिन प्रमेय और मार्सिंकिविक्ज़ प्रमेय शामिल हैं, जो कई अन्य कार्यों का आधार हैं।

परिभाषाएं

किसी क्षेत्र से गैर-संयोग बिंदुओं () की एक प्रणाली पर विचार करें। फ़ंक्शन के मूल्यों को केवल इन बिंदुओं पर ही जाने दें:

इंटरपोलेशन की समस्या किसी दिए गए वर्ग के कार्यों से ऐसा फ़ंक्शन ढूंढना है कि

उदाहरण

1. मान लीजिए कि हमारे पास एक टेबल फ़ंक्शन है, जैसा कि नीचे वर्णित है, जो कई मानों के लिए संबंधित मानों को निर्धारित करता है:

0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

इंटरपोलेशन हमें यह पता लगाने में मदद करता है कि इस तरह के फ़ंक्शन का निर्दिष्ट बिंदु के अलावा किसी अन्य बिंदु पर क्या मूल्य हो सकता है (उदाहरण के लिए, जब एक्स = 2,5).

आज तक, प्रक्षेप के कई अलग-अलग तरीके हैं। सबसे उपयुक्त एल्गोरिथम का चुनाव प्रश्नों के उत्तर पर निर्भर करता है: चुनी गई विधि कितनी सटीक है, इसका उपयोग करने की लागत क्या है, इंटरपोलेशन फ़ंक्शन कितना सुचारू है, इसके लिए कितने डेटा बिंदुओं की आवश्यकता है, आदि।

2. एक मध्यवर्ती मान (रैखिक प्रक्षेप द्वारा) ज्ञात कीजिए।

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

प्रक्षेप के तरीके

निकटतम पड़ोसी प्रक्षेप

सबसे सरल प्रक्षेप विधि निकटतम पड़ोसी प्रक्षेप है।

बहुपदों द्वारा प्रक्षेप

व्यवहार में, बहुपदों द्वारा प्रक्षेप का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। यह मुख्य रूप से इस तथ्य के कारण है कि बहुपदों की गणना करना आसान है, विश्लेषणात्मक रूप से उनके डेरिवेटिव ढूंढना आसान है, और बहुपदों का सेट निरंतर कार्यों (वीयरस्ट्रैस के प्रमेय) के स्थान में घना है।

• आईएमएन-1 और आईएमएन-2
• लैग्रेंज बहुपद (प्रक्षेप बहुपद)
• एटकेन की योजना

रिवर्स इंटरपोलेशन (x दिए गए y की गणना)

• न्यूटन के सूत्र द्वारा प्रतिलोम प्रक्षेप

मल्टी-वेरिएबल फंक्शन इंटरपोलेशन

अन्य प्रक्षेप विधियां

• त्रिकोणमितीय प्रक्षेप

संबंधित अवधारणाएं

• एक्सट्रपलेशन - दिए गए अंतराल के बाहर अंक खोजने के तरीके (वक्र विस्तार)
• सन्निकटन - सन्निकट वक्र बनाने की विधियाँ

यह सभी देखें

• प्रयोग डेटा स्मूथिंग

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

समानार्थी शब्द:

देखें कि "इंटरपोलेशन" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

1) किसी दिए गए मूल्यों की एक श्रृंखला से निर्धारित करने का एक तरीका गणितीय अभिव्यक्तिइसके मध्यवर्ती मूल्य; इसलिए, उदाहरण के लिए, 1 °, 2 °, 3 °, 4 °, आदि के तोप चैनल के अक्ष के ऊंचाई कोण पर तोप के गोले की सीमा के अनुसार, इसका उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है ... ... रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश

सम्मिलन, प्रक्षेप, समावेशन, रूसी समानार्थक शब्द का खोज शब्दकोश। इंटरपोलेशन रूसी भाषा के पर्यायवाची शब्द सम्मिलित करें देखें। प्रैक्टिकल गाइड। एम .: रूसी भाषा। जेड ई अलेक्जेंड्रोवा। 2… पर्यायवाची शब्दकोश

प्रक्षेप- दो ज्ञात बिंदुओं के बीच मध्यवर्ती मूल्यों की गणना। उदाहरण के लिए: रैखिक रैखिक प्रक्षेप घातीयइंटरपोलेशन एक रंगीन छवि को आउटपुट करने की प्रक्रिया जब दो रंगों के बीच के क्षेत्र से संबंधित पिक्सेल ... ... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

- (प्रक्षेपण) ज्ञात मूल्यों की एक श्रृंखला के दो बिंदुओं के बीच एक अज्ञात मूल्य के मूल्य का अनुमान। उदाहरण के लिए, 10 वर्षों के अंतराल पर आयोजित जनगणना के दौरान प्राप्त देश की जनसंख्या के संकेतकों को जानकर, आप कर सकते हैं ... ... व्यापार शर्तों की शब्दावली

लैटिन से वास्तव में "नकली"। यह गलत सुधार या बाद में लेखकों या पाठकों द्वारा बनाई गई पांडुलिपियों में सम्मिलन को दिया गया नाम है। विशेष रूप से अक्सर इस शब्द का प्रयोग प्राचीन लेखकों की पांडुलिपियों की आलोचना में किया जाता है। इन पांडुलिपियों में... साहित्यिक विश्वकोश

अपने ज्ञात मूल्यों की एक संख्या द्वारा कुछ नियमितता (फ़ंक्शन) के मध्यवर्ती मूल्यों को ढूँढना। अंग्रेजी में: इंटरपोलेशन यह भी देखें: डेटा ट्रांसफॉर्मेशन फिनम फाइनेंशियल डिक्शनरी ... वित्तीय शब्दावली

प्रक्षेप- और बढ़िया। प्रक्षेप एफ. अव्य. प्रक्षेप परिवर्तन; परिवर्तन, विकृति। 1. बाद के मूल का एक सम्मिलन जिसमें एल। पाठ जो मूल से संबंधित नहीं है। ए एल एस 1. प्राचीन पांडुलिपियों में शास्त्रियों द्वारा किए गए कई प्रक्षेप हैं। उश। 1934. 2 ... ऐतिहासिक शब्दकोशरूसी भाषा की गैलिसिज़्म

प्रक्षेप- (प्रक्षेपण), साम्राज्य का पूरा होना। लापता मध्यवर्ती मूल्यों द्वारा किसी भी मात्रा के मूल्यों की एक श्रृंखला। इंटरपोलेशन तीन तरीकों से किया जा सकता है: गणितीय, ग्राफिक। और तार्किक। वे सामान्य परिकल्पना पर आधारित हैं कि ... बिग मेडिकल इनसाइक्लोपीडिया

- (लैटिन इंटरपोलेटियो परिवर्तन, परिवर्तन से), इसके कुछ ज्ञात मूल्यों के अनुसार किसी मात्रा के मध्यवर्ती मूल्यों की खोज। उदाहरण के लिए, x0 और xn, x0 बिंदुओं के बीच स्थित बिंदु x पर फ़ंक्शन y = f(x) के मान ज्ञात करना ... आधुनिक विश्वकोश

- (अक्षांश से। इंटरपोलेटियो परिवर्तन परिवर्तन), गणित और सांख्यिकी में, इसके कुछ ज्ञात मूल्यों के अनुसार एक मात्रा के मध्यवर्ती मूल्यों की खोज। उदाहरण के लिए, बिंदुओं xo x1 ... xn के बीच स्थित बिंदुओं x पर फलन f (x) के मानों को ... के अनुसार ज्ञात करना बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

स्थानीय प्रक्षेप का सबसे सरल और सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला रूप है रेखिक आंतरिक. यह इस तथ्य में समाहित है कि दिए गए बिंदु ( एक्स मैं , आप मैं) पर ( मैं = 0. 1, ..., एन) सीधी रेखा के खंडों से जुड़े हुए हैं, और फ़ंक्शन एफ(एक्स) दिए गए बिंदुओं पर एक पॉलीलाइन द्वारा शिखर के साथ संपर्क किया जाता है।

टूटी हुई रेखा के प्रत्येक खंड के समीकरण आम तौर पर भिन्न होते हैं। चूँकि n अंतराल हैं ( एक्स मैं - 1, एक्स मैं), तो उनमें से प्रत्येक के लिए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग प्रक्षेप बहुपद के समीकरण के रूप में किया जाता है। विशेष रूप से, i-वें अंतराल के लिए, कोई व्यक्ति बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिख सकता है ( एक्स मैं -1, आप मैं -1 ) तथा ( एक्स मैं , आप मैं), जैसा

y=a i x+b i , x i-1 xx i

एक मैं =

इसलिए, रैखिक प्रक्षेप का उपयोग करते समय, आपको पहले उस अंतराल को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है जिसमें तर्क x का मान गिरता है, और फिर इसे सूत्र (*) में प्रतिस्थापित करें और इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अनुमानित मान ज्ञात करें।

चित्र 3-3 रैखिक प्रक्षेप निर्भरता ग्राफ।

1. एक पेशेवर समस्या का समाधान

प्रयोगात्मक डेटा बनाए रखना

मूल: = 0 डेटा सरणी की शुरुआत - शून्य से गिनती

मैं:=1..6 सरणी में तत्वों की संख्या

प्रायोगिक डेटा को दो वैक्टर में व्यवस्थित किया गया

आइए बिल्ट-इन MathCad फ़ंक्शंस के साथ इंटरपोलेशन करें

रेखिक आंतरिक

एलएफ (एक्स आई): = लिंटरप (एक्स, वाई, एक्स)

क्यूबिक स्पाइन इंटरपोलेशन

सीएस: = सीएसपीलाइन (एक्स, वाई)

हम प्रयोगात्मक डेटा के अनुसार एक घन पट्टी का निर्माण करते हैं

एलएफ (एक्स आई): = लिंटरप (एक्स, वाई, एक्स आई)

बी-स्पलाइन द्वारा इंटरपोलेशन

प्रक्षेप का क्रम निर्धारित करें। वेक्टर आपके पास वेक्टर की तुलना में (n-1) कम तत्व होने चाहिए एक्स, जहां पहला तत्व पहले तत्व से कम या उसके बराबर होना चाहिए एक्स, और अंतिम वाला x के अंतिम तत्व से बड़ा या उसके बराबर है।

बीएस: = बीएसपीलाइन (एक्स, वाई, यू, एन)

हम प्रायोगिक डेटा के अनुसार बी-स्पलाइन का निर्माण करते हैं

बीएसएफ (एक्स आई): = (बीएस, एक्स, वाई, एक्स आई)

हम एक समन्वय विमान पर सभी सन्निकटन कार्यों का एक ग्राफ बनाते हैं।

चित्र 4.1-एक निर्देशांक तल पर सभी सन्निकटन फलनों का आलेख।

निष्कर्ष

कम्प्यूटेशनल गणित में, कार्यों का प्रक्षेप एक आवश्यक भूमिका निभाता है, अर्थात। दूसरे के दिए गए फ़ंक्शन का निर्माण (एक नियम के रूप में, सरल एक), जिनमें से मान एक निश्चित संख्या में दिए गए फ़ंक्शन के मूल्यों के साथ मेल खाते हैं। इसके अलावा, प्रक्षेप का व्यावहारिक और सैद्धांतिक दोनों महत्व है। व्यवहार में, समस्या अक्सर अपने सारणीबद्ध मूल्यों से एक निरंतर कार्य को बहाल करने के लिए उत्पन्न होती है, उदाहरण के लिए, किसी प्रयोग के दौरान प्राप्त किए गए। अनेक फलनों की गणना करने के लिए, बहुपदों या भिन्नात्मक परिमेय फलनों द्वारा उनका सन्निकटन करना कारगर सिद्ध होता है। अंतर और अभिन्न समीकरणों को हल करने के तरीकों को प्राप्त करने के लिए, संख्यात्मक एकीकरण के लिए द्विघात सूत्रों के निर्माण और अध्ययन में प्रक्षेप के सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। बहुपद प्रक्षेप का मुख्य नुकसान यह है कि यह सबसे सुविधाजनक और आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले ग्रिडों में से एक पर अस्थिर है - समदूरस्थ नोड्स वाला ग्रिड। यदि समस्या अनुमति देती है, तो चेबीशेव नोड्स के साथ ग्रिड चुनकर इस समस्या को हल किया जा सकता है। यदि, हालांकि, हम स्वतंत्र रूप से इंटरपोलेशन नोड्स नहीं चुन सकते हैं, या हमें केवल एक एल्गोरिदम की आवश्यकता है जो नोड्स की पसंद पर बहुत अधिक मांग नहीं कर रहा है, तो तर्कसंगत इंटरपोलेशन बहुपद इंटरपोलेशन का उपयुक्त विकल्प हो सकता है।

स्पलाइन इंटरपोलेशन के फायदों में कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम की उच्च प्रसंस्करण गति शामिल है, क्योंकि स्पलाइन एक टुकड़े-टुकड़े बहुपद कार्य है और इंटरपोलेशन के दौरान, वर्तमान में विचार किए जा रहे टुकड़े से संबंधित माप बिंदुओं की एक छोटी संख्या के लिए डेटा को एक साथ संसाधित किया जाता है। प्रक्षेपित सतह विभिन्न पैमानों की स्थानिक परिवर्तनशीलता का वर्णन करती है और साथ ही चिकनी होती है। बाद की परिस्थिति विश्लेषणात्मक प्रक्रियाओं का उपयोग करके सतह की ज्यामिति और टोपोलॉजी का सीधे विश्लेषण करना संभव बनाती है