तीन बिंदुओं के उदाहरणों पर एक समानांतर चतुर्भुज की धारा। क्रॉस-सेक्शनिंग कार्य

पाठ मकसद:अनुभागों के निर्माण के लिए समस्याओं के समाधान पर विचार करें, यदि अनुभाग के दो बिंदु एक ही चेहरे के हों।

कक्षाओं के दौरान

नई अवधारणाओं को सीखना
परिभाषा 1. बहुफलक का छेदक तल वह तल होता है जिसके दोनों ओर दिए गए बहुफलक के बिंदु होते हैं।
परिभाषा 2. पॉलीहेड्रॉन का एक खंड एक बहुभुज होता है जिसकी भुजाएँ खंड होते हैं जिसके साथ काटने वाला विमान पॉलीहेड्रॉन के चेहरों को काटता है।
व्यायाम। उन खंडों के नाम बताइए जिनके साथ काटने वाला विमान समानांतर चतुर्भुज के चेहरों को काटता है (चित्र 1)। समांतर चतुर्भुज के खंड का नाम बताइए।

अनुभाग बनाने के लिए बुनियादी कदम

समस्या को सुलझाना

कार्य 1।कौन सा चतुर्भुज, EFKM या EFKL, इस बहुफलक का एक भाग हो सकता है (चित्र 2)? क्यों?

कार्य 2.छात्र ने चतुष्फलक का एक खंड बनाया (चित्र 3)। क्या ऐसी कटौती संभव है?

समाधान. हमें सिद्ध करना है कि N, M और H, L एक ही तल में हैं। मान लें कि बिंदु N और M पीछे के फलक से संबंधित हैं, H और L नीचे के फलक से संबंधित हैं, अर्थात NM और HL का प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों चेहरों से संबंधित एक रेखा पर स्थित होना चाहिए, अर्थात AC। हम लाइनों NM और HL का विस्तार करते हैं और उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु पाते हैं। यह प्वाइंट लाइन एसी का नहीं होगा। अत: बिंदु N, M, L, H एक समतल बहुभुज नहीं बनाते हैं। असंभव।

कार्य 3.बिंदु K, L, N से गुजरने वाले समतल द्वारा चतुष्फलक ABCS के एक खंड की रचना कीजिए, जहां K और N क्रमशः SA और SB किनारों के मध्य बिंदु हैं (चित्र 4)।

1. खंड के किनारों को किस चेहरे में बनाया जा सकता है?

2. उन बिंदुओं में से किसी एक का चयन करें जिस पर अनुभाग काटा गया है।
समाधान। विधि Iहम बिंदु L चुनते हैं।
हम उस चेहरे का निर्धारण करते हैं जिसमें चयनित बिंदु निहित है और जिसमें एक खंड का निर्माण करना आवश्यक है।

सीधी रेखा KN वाले फलक का निर्धारण करें, जो चयनित बिंदु L से नहीं गुजरता है।

हम ABC और ASB फलकों के प्रतिच्छेदन की रेखा पाते हैं।

KN और AB रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति क्या है (चित्र 5)?
[समानांतर।]

यदि कटिंग प्लेन समतल के प्रतिच्छेदन की रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा से होकर गुजरता है तो क्या बनाया जाना चाहिए?
[बिंदु L से होकर AB के समांतर एक रेखा खींचिए। यह रेखा CB को बिंदु P पर काटती है।]
हम उन बिंदुओं को जोड़ते हैं जो एक ही चेहरे से संबंधित हैं। केएलपीएन - वांछित खंड।
विधि II. हम बिंदु N (चित्र 6) का चयन करते हैं।

हम उन फलकों का निर्धारण करते हैं जिनमें बिंदु N और रेखा KL स्थित हैं।

इन विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा सीधी रेखा SC होगी। KL और SC रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। चलो इसे वाई कहते हैं।
बिंदु N और Y को जोड़ें। रेखा NY CB को बिंदु P पर काटती है।
हम उन बिंदुओं को जोड़ते हैं जो एक ही चेहरे से संबंधित हैं।
KLNP - वांछित खंड।
इस निर्णय की व्याख्या करें।
एक छात्र ब्लैकबोर्ड पर काम करता है, बाकी नोटबुक में।

टास्क 4. बिंदुओं M, P और H, H ` (A1B1C1) (चित्र 7) से गुजरने वाले समांतर चतुर्भुज के एक खंड की रचना कीजिए।

समाधान। 1. एक ही चेहरे से संबंधित बिंदुओं को कनेक्ट करें।
2. खंड बनाने के लिए हम कौन सी रेखा और बिंदु चुनते हैं?
3. हम आगे क्या परिभाषित करते हैं?
4. क्या है आपसी व्यवस्थाचयनित सीधी रेखा और चेहरों के प्रतिच्छेदन की रेखा (चित्र 8)?

5. बिंदु H से गुजरने वाले फलक B1C1D1A1 पर कटिंग प्लेन का ट्रेस कैसे बनाया जाए?
6. एक ही फलक के बिंदुओं को जोड़िए।
7. फेस AA1D1D पर कटिंग प्लेन के ट्रेस के निर्माण के लिए किस लाइन और पॉइंट को चुना जाना चाहिए?
8. BB1C1C और AA1D1D फलकों की सापेक्ष स्थिति क्या है?
9. AA1D1D के फलक पर कटिंग प्लेन का ट्रेस बनाने के लिए किस गुण का उपयोग किया जाना चाहिए?
10. आवश्यक अनुभाग का नाम दें।

कार्य 5.पिरामिड SABCD के एक खंड की रचना करें जो बिंदुओं M, P और H से होकर गुजरता है,
एच` (एबीसी) (चित्र 9)।

उत्तर: चित्र 10 देखिए।

गृहकार्य

एक कार्य. निर्माण कैसे बदलेंगे यदि वास्तव में
H अपनी स्थिति कैसे बदलेगा? का उपयोग कर अनुभाग बनाएं विभिन्न प्रकार(चित्र 11)।

पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण की समस्याएं स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में वरिष्ठ कक्षाओं और परीक्षाओं दोनों में एक महत्वपूर्ण स्थान रखती हैं। अलग - अलग स्तर. इस प्रकार की समस्याओं का समाधान स्टीरियोमेट्री के स्वयंसिद्धों को आत्मसात करने, ज्ञान और कौशल के व्यवस्थितकरण, स्थानिक प्रतिनिधित्व और रचनात्मक कौशल के विकास में योगदान देता है। अनुभागों के निर्माण पर आने वाली समस्याओं को हल करने में आने वाली कठिनाइयाँ सर्वविदित हैं।

से बचपनहम कटौती का सामना कर रहे हैं। हम रोटी, सॉसेज और अन्य उत्पादों को काटते हैं, चाकू से एक छड़ी या पेंसिल काटते हैं। इन सभी मामलों में सेकेंट प्लेन चाकू का प्लेन है। खंड (टुकड़ों के खंड) अलग हैं।

उत्तल बहुफलक का खंड एक उत्तल बहुभुज होता है जिसके शीर्ष पर होते हैं सामान्य मामलाबहुभुज के किनारों के साथ छेदक तल के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, और भुजाएँ फलकों के साथ छेदक तल के प्रतिच्छेदन की रेखाएँ हैं।

दो तलों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा का निर्माण करने के लिए, इन तलों के दो उभयनिष्ठ बिंदुओं को खोजना और उनके माध्यम से एक रेखा खींचना पर्याप्त है। यह निम्नलिखित कथनों पर आधारित है:

1. यदि एक सीधी रेखा के दो बिंदु एक समतल के हों, तो पूरी रेखा इसी तल की होती है;

2. यदि दो अलग-अलग तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो वे इस बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के अनुदिश प्रतिच्छेद करते हैं।

जैसा कि मैंने पहले ही कहा है, पॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण स्टीरियोमेट्री के स्वयंसिद्धों और रेखाओं और विमानों की समानता पर प्रमेयों के आधार पर किया जा सकता है। इसी समय, पॉलीहेड्रा के समतल वर्गों के निर्माण के लिए कुछ निश्चित तरीके हैं। निम्नलिखित तीन विधियां सबसे प्रभावी हैं:

ट्रेस विधि

आंतरिक डिजाइन विधि

संयुक्त विधि।

ज्यामिति के अध्ययन में और, विशेष रूप से, इसके उन वर्गों में जहाँ छवियों पर विचार किया जाता है ज्यामितीय आकार, ज्यामितीय आकृतियों की छवियां कंप्यूटर प्रस्तुतियों के उपयोग में मदद करती हैं। कंप्यूटर की मदद से, कई ज्यामिति पाठ अधिक दृश्य और गतिशील हो जाते हैं। स्वयंसिद्ध, प्रमेय, प्रमाण, निर्माण के लिए कार्य, वर्गों के निर्माण के कार्यों के साथ मॉनिटर स्क्रीन पर क्रमिक निर्माण हो सकते हैं। कंप्यूटर से उत्पन्न चित्र को अन्य दस्तावेजों में सहेजा और चिपकाया जा सकता है।

मैं इस विषय पर कुछ स्लाइड दिखाना चाहता हूं: "इसमें अनुभागों का निर्माण ज्यामितीय निकाय»

एक रेखा और एक तल के प्रतिच्छेदन बिंदु की रचना करने के लिए, उस तल में एक रेखा ज्ञात कीजिए जो दी गई रेखा को प्रतिच्छेद करती है। फिर वांछित बिंदु दिए गए के साथ मिली रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है। आइए देखते हैं आगे की स्‍लाइड्स में।

कार्य 1।

चतुष्फलक DABC के किनारों पर दो बिंदु M और N अंकित हैं; एम जीएडी, एन बी डीसी। आधार के तल के साथ रेखा MN का प्रतिच्छेदन बिंदु चुनें।

हल: समतल के साथ रेखा MN का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए

आधार हम एसी और खंड एमएन जारी रखेंगे। आइए हम X के माध्यम से इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करें। बिंदु X, रेखा MN और फलक AC से संबंधित है, और AC आधार के तल में स्थित है, जिसका अर्थ है कि बिंदु X भी आधार के तल में स्थित है। . इसलिए, बिंदु X आधार के तल के साथ रेखा MN का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए दूसरी समस्या पर विचार करें। आइए इसे थोड़ा जटिल करें।

कार्य 2.

अंक एम और एन के टेट्राहेड्रोन डीएबीसी को देखते हुए, जहां एम € डीए, एन सी (डीबीसी)। समतल ABC के साथ रेखा MN का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल: समतल ABC के साथ रेखा MN का प्रतिच्छेदन बिंदु उस समतल में होना चाहिए जिसमें रेखा MN हो और आधार के तल में हो। हम खंड डीएन को किनारे डीसी के साथ चौराहे के बिंदु तक जारी रखते हैं। हम ई के माध्यम से चौराहे के बिंदु को चिह्नित करते हैं। हम लाइन एई और एमएन को उनके चौराहे के बिंदु तक जारी रखते हैं। नोट एक्स। बिंदु एक्स एमएन से संबंधित है, इसलिए यह उस विमान पर स्थित है जिसमें लाइन एमएन है और एक्स एई से संबंधित है, और एई विमान एबीसी पर स्थित है। तो X भी समतल ABC में स्थित है। अत: X, रेखा MN और समतल ABC का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए कार्य को जटिल करें। तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले विमानों द्वारा ज्यामितीय आकृतियों के एक भाग पर विचार करें।

टास्क 3

चतुष्फलक DABC के किनारों AC, AD और DB पर बिंदु M, N और P अंकित हैं। समतल MNP द्वारा चतुष्फलक के एक भाग की रचना कीजिए।

हल: एक सीधी रेखा की रचना कीजिए जिसके अनुदिश समतल MNP हो। समतल ABC को प्रतिच्छेद करती है। प्वाइंट एम is आम बातइन विमानों। एक और सामान्य बिंदु बनाने के लिए, हम खंड AB और NP को जारी रखते हैं। हम एक्स के माध्यम से चौराहे बिंदु को चिह्नित करते हैं, जो विमान एमएनपी और एबीसी का दूसरा सामान्य बिंदु होगा। अतः ये तल सीधी रेखा MX के अनुदिश प्रतिच्छेद करते हैं। एमएक्स किनारे बीसी को किसी बिंदु ई पर काटता है। चूंकि ई एमएक्स पर स्थित है और एमएक्स विमान एमएनपी से संबंधित एक रेखा है, यह इस प्रकार है कि पीई एमएनपी से संबंधित है। चतुर्भुज एमएनपीई आवश्यक खंड है।

टास्क 4

हम बिंदु P . से गुजरने वाले समतल द्वारा एक सीधे प्रिज्म ABCA1B1C1 के एक खंड का निर्माण करते हैं , क्यू,R, जहां R संबंधित है ( आ 1सी 1सी), आरअंतर्गत आता है पर 1सी1,

Q, AB से संबंधित है

समाधान:सभी तीन अंक पी, क्यू, आरअलग-अलग फलकों में झूठ बोलते हैं, इसलिए हम अभी तक प्रिज्म के किसी भी फलक के साथ छेदक तल के प्रतिच्छेदन की एक रेखा नहीं बना सकते हैं। आइए ABC के साथ PR का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। आइए हम आधार तल PP1 पर BC पर लंबवत और RR1 AC के लंबवत RR1 पर बिंदुओं P और R के प्रक्षेपणों को खोजें। रेखा P1R1 रेखा PR को बिंदु X पर प्रतिच्छेद करती है। X समतल ABC के साथ रेखा PR का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यह वांछित तल K में और आधार के तल में, बिंदु Q की तरह स्थित है। XQ एक सीधी रेखा है जो K को आधार के तल से काटती है। XQ, AC को बिंदु K पर प्रतिच्छेद करता है। इसलिए, KQ समतल X के फलक ABC के प्रतिच्छेदन का खंड है। K और R, X तल में और AA1C1C फलक के तल में स्थित हैं। एक रेखा KR खींचिए और A1Q E के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित कीजिए। KE इस फलक के साथ समतल X के प्रतिच्छेदन की रेखा है। BB1A1A चेहरों के तल के साथ X समतल के प्रतिच्छेदन की रेखा ज्ञात कीजिए। KE बिंदु Y पर A1A के साथ प्रतिच्छेद करता है। रेखा QY समतल AA1B1B के साथ छेदक तल के प्रतिच्छेदन की रेखा है। FPEKQ - वांछित खंड।

एक नियम के रूप में, एक विमान द्वारा क्यूब के वर्गों के निर्माण के लिए कार्य, उदाहरण के लिए, पिरामिड के वर्गों के लिए कार्यों की तुलना में सरल हैं।

हम दो बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा खींच सकते हैं यदि वे एक ही विमान में स्थित हों। क्यूब के वर्गों का निर्माण करते समय, एक काटने वाले विमान के निशान के निर्माण के लिए एक और विकल्प संभव है। चूँकि तीसरा तल दो समान्तर तलों को समान्तर सीधी रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करता है, तो यदि एक फलक में एक सीधी रेखा पहले ही बन चुकी है, और दूसरे में एक बिंदु है जहाँ से होकर खंड गुजरता है, तो हम एक सीधी रेखा खींच सकते हैं यह बिंदु दिए गए के समानांतर है।

विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करते हुए विचार करें कि एक समतल द्वारा घन के वर्गों का निर्माण कैसे किया जाता है।

1) बिंदु A, C और M से गुजरने वाले समतल द्वारा घन के एक भाग की रचना कीजिए।

इस प्रकार की समस्याएं घन के वर्गों के निर्माण के लिए सभी समस्याओं में सबसे सरल हैं। चूँकि बिंदु A और C एक ही तल (ABC) में स्थित हैं, हम उनसे होकर एक रेखा खींच सकते हैं। इसका ट्रेस सेगमेंट एसी है। यह अदृश्य है, इसलिए हम एसी को एक स्ट्रोक के साथ चित्रित करते हैं। इसी तरह, हम बिंदु M और C को जोड़ते हैं, जो एक ही तल (CDD1) में स्थित हैं, और बिंदु A और M, जो एक ही तल (ADD1) में स्थित हैं। त्रिभुज ACM आवश्यक खंड है।

2) बिंदु M, N, P से गुजरने वाले समतल द्वारा घन के एक भाग की रचना कीजिए।

यहाँ, केवल बिंदु M और N एक ही तल (ADD1) में स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं और ट्रेस MN (अदृश्य) प्राप्त करते हैं। चूँकि घन के विपरीत फलक समानांतर तलों में स्थित होते हैं, इसलिए काटने वाला समतल समानांतर तलों (ADD1) और (BCC1) को समानांतर रेखाओं में प्रतिच्छेद करता है। हम पहले से ही समानांतर रेखाओं में से एक का निर्माण कर चुके हैं - यह एमएन है।

बिंदु P से होकर हम MN के समांतर एक रेखा खींचते हैं। यह किनारे BB1 को बिंदु S पर काटता है। PS चेहरे (BCC1) में सेकेंट प्लेन का निशान है।

हम बिंदु M और S से होकर एक सीधी रेखा खींचते हैं, जो एक ही तल (ABB1) में स्थित हैं। एमएस ट्रेस (दृश्यमान) मिला।

विमान (ABB1) और (CDD1) समानांतर हैं। समतल (ABB1) में पहले से ही एक रेखा MS है, इसलिए समतल (CDD1) में बिंदु N से होकर हम MS के समानांतर एक रेखा खींचते हैं। यह रेखा किनारे D1C1 को बिंदु L पर काटती है। इसका निशान NL (अदृश्य) है। बिंदु P और L एक ही तल (A1B1C1) में स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं।

पेंटागन एमएनएलपीएस आवश्यक खंड है।

3) बिंदु M, N, P से गुजरने वाले समतल द्वारा घन के एक भाग की रचना कीजिए।

बिंदु M और N एक ही तल (BCC1) में स्थित हैं, इसलिए उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। हमें ट्रेस MN (दृश्यमान) मिलता है। तल (BCC1), समतल (ADD1) के समानांतर है, इसलिए (ADD1) में स्थित बिंदु P से होकर हम MN के समानांतर एक रेखा खींचते हैं। यह किनारे AD को बिंदु E पर काटता है। हमें ट्रेस PE (अदृश्य) प्राप्त होता है।

एक ही तल में और कोई बिंदु नहीं हैं, या एक रेखा और एक बिंदु समानांतर विमानों में नहीं हैं। इसलिए, अतिरिक्त बिंदु प्राप्त करने के लिए पहले से मौजूद लाइनों में से एक को जारी रखा जाना चाहिए।

यदि हम लाइन MN को जारी रखते हैं, तो, चूंकि यह समतल (BCC1) में स्थित है, इसलिए हमें इस तल की किसी एक रेखा के साथ MN के प्रतिच्छेदन बिंदु की तलाश करनी होगी। CC1 और B1C1 के साथ पहले से ही प्रतिच्छेदन बिंदु हैं - ये M और N हैं। रेखाएँ BC और BB1 बनी हुई हैं। हम BC और MN को बिंदु K पर प्रतिच्छेदन तक जारी रखते हैं। बिंदु K, रेखा BC पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह समतल (ABC) से संबंधित है, इसलिए हम इसके माध्यम से एक रेखा खींच सकते हैं और बिंदु E इस तल में स्थित है। यह किनारे की सीडी को बिंदु H पर काटती है। EH इसका ट्रेस (अदृश्य) है। चूँकि H और N एक ही तल (CDD1) में स्थित हैं, इसलिए उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। हमें ट्रेस एचएन (अदृश्य) मिलता है।

समतल (ABC) और (A1B1C1) समानांतर हैं। उनमें से एक में रेखा EH है, दूसरे में बिंदु M है। हम M से होकर EH के समानांतर एक रेखा खींच सकते हैं। हमें ट्रेस एमएफ (दृश्यमान) मिलता है। हम बिंदु M और F से होकर एक सीधी रेखा खींचते हैं।

षट्कोण MNHEPF आवश्यक खंड है।

यदि हम रेखा MN को समतल में एक अन्य रेखा (BCC1), BB1 के साथ प्रतिच्छेदन तक जारी रखते हैं, तो हमें समतल (ABB1) से संबंधित एक बिंदु G प्राप्त होगा। इसका अर्थ है कि G और P से होकर एक ऐसी रेखा खींचना संभव है जिसका अंश PF है। इसके अलावा, हम समानांतर विमानों में स्थित बिंदुओं के माध्यम से सीधी रेखाएँ खींचते हैं, और हम उसी परिणाम पर पहुँचते हैं।

सीधी रेखा PE के साथ कार्य करने पर समान अनुप्रस्थ काट MNHEPF प्राप्त होता है।

4) बिंदु M, N, P से गुजरने वाले समतल द्वारा घन के एक भाग की रचना कीजिए।

यहां हम एक ही तल (A1B1C1) में स्थित बिंदुओं M और N से होकर एक सीधी रेखा खींच सकते हैं। उसका पदचिह्न एमएन (दृश्यमान) है। एक ही तल में या समानांतर तल में अधिक बिंदु नहीं पड़े हैं।

हम एमएन लाइन जारी रखते हैं। यह समतल (A1B1C1) में स्थित है, इसलिए यह इस तल में केवल एक रेखा के साथ प्रतिच्छेद कर सकता है। A1D1 और C1D1 - N और M के साथ पहले से ही चौराहे बिंदु हैं। इस विमान की दो और लाइनें A1B1 और B1C1 हैं। A1B1 और MN का प्रतिच्छेदन बिंदु S है। चूंकि यह रेखा A1B1 पर स्थित है, यह समतल (ABB1) से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि इसके माध्यम से एक रेखा खींची जा सकती है और बिंदु P, जो एक ही तल में स्थित है। रेखा PS AA1 को बिंदु E पर काटती है। PE इसका ट्रेस (दृश्यमान) है। एक ही तल (ADD1) में स्थित बिंदुओं N और E के माध्यम से, एक सीधी रेखा खींचना संभव है, जिसका निशान NE (अदृश्य) है। तल में एक रेखा NE है (ADD1), और इसके समांतर तल में एक बिंदु P (BCC1) है। बिंदु P से होकर हम NE के समानांतर एक रेखा PL खींच सकते हैं। यह किनारे CC1 को बिंदु L पर काटती है। PL इस रेखा का निशान है (दृश्यमान)। बिंदु M और L एक ही तल (CDD1) में स्थित हैं, जिसका अर्थ है कि उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। उसका पदचिह्न एमएल (अदृश्य) है। पेंटागन MLPEN आवश्यक खंड है।

दोनों दिशाओं में लाइन NM को जारी रखना और न केवल A1B1 लाइन के साथ, बल्कि B1C1 लाइन के साथ भी इसके चौराहे के बिंदुओं की तलाश करना संभव था, जो कि विमान (A1B1C1) में भी स्थित है। इस मामले में, हम बिंदु P के माध्यम से एक ही बार में दो सीधी रेखाएँ खींचते हैं: एक समतल (ABB1) में बिंदु P और S से होकर, और दूसरी समतल (BCC1) में, बिंदु P और R से होकर। उसके बाद , यह एक ही विमान में स्थित बिंदुओं को जोड़ने के लिए बनी हुई है: एम सी एल, ई - एन के साथ।

आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके विश्लेषण करें कि पिरामिड का एक खंड कैसे बनाया जाए। चूंकि पिरामिड में कोई समानांतर विमान नहीं हैं, इसलिए चेहरे के तल के साथ सेकेंट प्लेन के चौराहे (ट्रेस) की रेखा के निर्माण में अक्सर इस चेहरे के तल में पड़े दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना शामिल होता है।

सबसे सरल कार्यों में, पहले से ही एक चेहरे पर पड़े दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड के एक खंड का निर्माण करना आवश्यक है।

उदाहरण।

विमान खंड का निर्माण (एमएनपी)

त्रिभुज एमएनपी - पिरामिड खंड

बिंदु M और N एक ही समतल ABS में स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक रेखा खींच सकते हैं। इस रेखा का निशान खंड MN है। यह दिखाई देता है, इसलिए हम M और N को एक ठोस रेखा से जोड़ते हैं।

बिंदु M और P एक ही ACS तल में स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं। ट्रेस खंड एमपी है। हम इसे नहीं देखते हैं, इसलिए हम खंड MP को एक स्ट्रोक से खींचते हैं। हम इसी तरह ट्रेस पीएन का निर्माण करते हैं।

त्रिभुज एमएनपी आवश्यक खंड है।

यदि वह बिंदु जिसके माध्यम से एक खंड को खींचना आवश्यक है, किनारे पर नहीं, बल्कि एक चेहरे पर है, तो यह ट्रेस-सेगमेंट का अंत नहीं होगा।

उदाहरण। बिंदु B, M और N से होकर गुजरने वाले समतल द्वारा पिरामिड के एक भाग की रचना कीजिए, जहाँ बिंदु M और N क्रमशः फलक ABS और BCS से संबंधित हैं।

यहाँ बिंदु B और M ABS के एक ही फलक पर स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक रेखा खींच सकते हैं।

इसी तरह, हम बिंदु B और P से होकर एक सीधी रेखा खींचते हैं। हमें क्रमशः BK और BL के निशान प्राप्त हुए हैं।

बिंदु K और L ACS के एक ही फलक पर स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक रेखा खींच सकते हैं। इसका निशान खंड KL है।

त्रिभुज बीकेएल आवश्यक खंड है।

हालांकि, बिंदु स्थिति में डेटा के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना हमेशा संभव नहीं होता है। इस मामले में, आपको चेहरों वाले विमानों के चौराहे की रेखा पर स्थित एक बिंदु खोजने की जरूरत है।

उदाहरण। बिंदु M, N, P से होकर जाने वाले समतल द्वारा पिरामिड के एक भाग की रचना कीजिए।

बिंदु M और N एक ही तल ABS में स्थित हैं, इसलिए उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। हमें ट्रेस MN मिलता है। इसी तरह - एन.पी. दोनों निशान दिखाई दे रहे हैं, इसलिए हम उन्हें एक ठोस रेखा से जोड़ते हैं।

बिंदु M और P अलग-अलग तल में स्थित हैं। इसलिए, हम उन्हें सीधे कनेक्ट नहीं कर सकते।

हम लाइन एनपी जारी रखते हैं।

यह बीसीएस चेहरे के तल में स्थित है। एनपी केवल उसी तल में पड़ी रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करता है। हमारे पास ऐसी तीन लाइनें हैं: बीएस, सीएस और बीसी। बीएस और सीएस लाइनों के साथ पहले से ही चौराहे बिंदु हैं - ये सिर्फ एन और पी हैं। इसलिए, हम एनपी के साथ लाइन बीसी के चौराहे की तलाश कर रहे हैं।

चौराहा बिंदु (चलो इसे एच कहते हैं) चौराहे तक एनपी और बीसी लाइनों को जारी रखते हुए प्राप्त किया जाता है।

यह बिंदु H दोनों समतल (BCS) से संबंधित है, क्योंकि यह रेखा NP और समतल (ABC) पर स्थित है, क्योंकि यह रेखा BC पर स्थित है।

इस प्रकार, हमें समतल (ABC) में पड़े छेदक तल का एक और बिंदु प्राप्त हुआ है।

H और एक ही तल में स्थित बिंदु M से होकर हम एक सीधी रेखा खींच सकते हैं।

हमें ट्रेस एमटी मिलता है।

T, MH और AC रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

चूँकि T रेखा AC से संबंधित है, हम इससे और बिंदु P से होकर एक रेखा खींच सकते हैं, क्योंकि वे दोनों एक ही तल (ACS) में स्थित हैं।

क्वाड एमएनपीटी दिए गए बिंदुओं एम, एन, पी से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का आवश्यक खंड है।

हमने लाइन एनपी के साथ काम किया है, इसे विमान (एबीसी) के साथ काटने वाले विमान के चौराहे के बिंदु को खोजने के लिए विस्तारित किया है। यदि हम सीधी रेखा MN के साथ कार्य करते हैं, तो हम उसी परिणाम पर पहुंचते हैं।

हम इस प्रकार तर्क देते हैं: रेखा MN समतल (ABS) में स्थित है, इसलिए यह केवल उसी तल में पड़ी रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद कर सकती है। हमारे पास ऐसी तीन लाइनें हैं: एबी, बीएस और एएस। लेकिन एबी और बीएस लाइनों के साथ पहले से ही चौराहे के बिंदु हैं: एम और एन।

इसलिए, एमएन का विस्तार करते हुए, हम इसके चौराहे के बिंदु को सीधी रेखा एएस के साथ ढूंढ रहे हैं। आइए इस बिंदु को R कहते हैं।

बिंदु R, रेखा AS पर स्थित है, इसलिए यह उस समतल (ACS) में भी स्थित है, जिससे रेखा AS संबंधित है।

चूंकि बिंदु P समतल (ACS) में स्थित है, इसलिए हम R और P से होकर एक रेखा खींच सकते हैं। हमें पीटी का निशान मिलता है।

बिंदु T समतल (ABC) में स्थित है, इसलिए हम इससे और बिंदु M से होकर एक रेखा खींच सकते हैं।

इस प्रकार, हमें वही एमएनपीटी क्रॉस सेक्शन मिला।

आइए इस तरह के एक और उदाहरण पर विचार करें।

बिंदु M, N, P से होकर जाने वाले समतल द्वारा पिरामिड के एक भाग की रचना कीजिए।

एक ही तल (BCS) में स्थित बिंदुओं M और N से होकर एक सीधी रेखा खींचिए। हमें ट्रेस MN (दृश्यमान) मिलता है।

एक ही तल (ACS) में स्थित बिंदुओं N और P से होकर एक सीधी रेखा खींचिए। हमें ट्रेस पीएन (अदृश्य) मिलता है।

हम बिंदु M और P से होकर एक सीधी रेखा नहीं खींच सकते।

1) रेखा MN समतल (BCS) में स्थित है, जहाँ तीन और रेखाएँ हैं: BC, SC और SB। एसबी और एससी: एम और एन के साथ चौराहे के बिंदु पहले से ही हैं। इसलिए, हम बीसी के साथ एमएन के चौराहे के बिंदु की तलाश कर रहे हैं। इन पंक्तियों को जारी रखते हुए, हम बिंदु L प्राप्त करते हैं।

बिंदु L, रेखा BC से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि यह समतल (ABC) में स्थित है। इसलिए, एल और पी के माध्यम से, जो विमान (एबीसी) में भी स्थित है, हम एक सीधी रेखा खींच सकते हैं। उसका पदचिह्न पीएफ है।

F, रेखा AB पर स्थित है, और इसलिए समतल (ABS) में है। इसलिए, F और बिंदु M से होकर, जो समतल (ABS) में भी स्थित है, हम एक सीधी रेखा खींचते हैं। उसका ट्रैक एफएम है। चतुर्भुज एमएनपीएफ आवश्यक खंड है।

2) दूसरा तरीका सीधे पीएन को जारी रखना है। यह समतल (ACS) में स्थित है और इस तल में पड़ी रेखाओं AC और CS को बिंदु P और N पर प्रतिच्छेद करता है।

तो, हम इस विमान की तीसरी सीधी रेखा के साथ पीएन के चौराहे बिंदु की तलाश कर रहे हैं - एएस के साथ। हम एएस और पीएन जारी रखते हैं, चौराहे पर हमें बिंदु ई मिलता है। चूंकि बिंदु ई रेखा एएस पर स्थित है, जो विमान (एबीएस) से संबंधित है, हम ई और बिंदु एम के माध्यम से एक रेखा खींच सकते हैं, जो भी में स्थित है ( एबीएस)। उसका ट्रैक एफएम है। बिंदु P और F जल तल (ABC) पर स्थित हैं, हम उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं और ट्रेस PF (अदृश्य) प्राप्त करते हैं।

इस पद्धति में, पहला कदम (इन बिंदुओं के द्वितीयक अनुमानों को खोजने के बाद) ऊपरी या के विमान पर काटने वाले विमान का एक निशान बनाना है। निचला आधारप्रिज्म या छोटा पिरामिडया पिरामिड के आधार पर

नितंब 2. एक छवि दी गई त्रिकोणीय प्रिज्म एबीसीए 1 बी 1 सी 1 और तीन अंकएम, एन, पी, जो क्रमशः CC . किनारे पर स्थित है 1 और चेहरे एबीबी 1 ए 1 , बीसीसी 1 बी 1 . एक समतल द्वारा प्रिज्म के एक भाग की रचना कीजिए, के माध्यम से गुजरते हुए एम, एन, पी.

समाधान। प्रिज्म के ऊपरी आधार पर हमारे पास पहले से ही एक बिंदु है, इसलिए हम ऊपरी आधार पर ट्रेस बनाएंगे। हम अंकों के द्वितीयक अनुमानों का निर्माण करते हैं एनतथा पी शीर्ष आधार पर। फिर: 1 .एनपीएन 3 पी 3 =एक्स; 2 .एमएक्स=पी-संकरा रास्ता; 3 .पीबी 1 सी 1 =डी.

आगे के चरणों को पहले ही चित्र में ऊपर दिखाया जा चुका है।

नितंब 3. दिसम्बर हम प्रिज्म के निचले आधार पर कटिंग प्लेन ट्रेस बनाएंगे।

भवन: 1। एमएनइडी=एक्स, एमपीईपी 3 =यू;

2. पी=XY- ट्रेस; 3. पीबीसी=जी, पीडीसी=एच.

हमें किनारे पर एक बिंदु खोजने की जरूरत है बी बी 1 या किनारे पर आ 1 .

पर पहलुओं एबीबी 1 ए 1 हमारे पास पहले से ही एक बिंदु है पी. इसलिए, इस चेहरे का निचला किनारा, यानी। अब, हम ट्रेस के साथ चौराहे तक जारी रखते हैं।

4. एबीपी=जेड.

5. पीजेडआ 1 =एफ; पीजेडबी बी 1 =क.आगे की कार्रवाइयां पहले ही ऊपर दिखाई जा चुकी हैं.

अगर यह पता चला है कि रेखा अब ट्रेस के साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है, तो वांछित एफके समानांतर भी होगा। नितंब 4. दिसम्बर 1. पीएनपीहे एनओ = एक्स;

2. एमएनसीएनओ = यू;3. पी=XY- पता लगाना;

3. सीबीपी=जेड;4. जेडएमएसबी=इ;

5. इएनएसए=जी 6. GEMF- खंड का दावा।

17. सिलेंडर के एक खंड का निर्माण।

यदि काटने का तल तीन बिंदुओं द्वारा दिया जाता है, तो हम हमेशा सिलेंडर या शंकु के आधार के तल पर और बिंदु पर इसका पता लगा सकते हैं ( पी, हे) अपनी धुरी पर। इसलिए, हम मानते हैं कि कटिंग प्लेन इन तत्वों द्वारा दिया गया है।

से रास-इम मामला शुरू करें जब विमान केवल प्रतिच्छेद करे पार्श्व सतहसिलेंडर। तब बेलन का भाग एक दीर्घवृत्त होगा (;¯ और उसका प्रतिबिम्ब भी एक दीर्घवृत्त है। हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त का निर्माण कैसे किया जाता है यदि इसके दो संयुग्मी व्यास ज्ञात हों। अब हम दिखाएंगे कि मुख्य व्यासों की छवि कैसे प्राप्त करें एक दीर्घवृत्त का (;¯.

माना और  1 बेलन के निचले और ऊपरी आधारों को निरूपित करने वाले दीर्घवृत्त हैं, हे तथा हे 1 - उनके केंद्र। आइए एक व्यास बनाएं ए 3 बी 3 निचला आधार, ट्रेस और उसके संयुग्म व्यास के समानांतर सी 3 डी 3. भवन के लिए सी 3 डी 3 हम एक राग का उपयोग करते हैं क 3 ली 3 , जिसका एक सिरा कंटूर जेनरेट्रिक्स का है। याद करें कि ए 3 बी 3 और सी 3 डी 3 लंबवत व्यास दर्शाते हैं। चलो जारी रखते है सी 3 डी 3 ट्रेस के साथ चौराहे पर। आइए बिंदु प्राप्त करें एक्स. सीधा पिक्सल इसे खंड की धुरी कहते हैं।

आइए अंक बढ़ाते हैं सी 3 और डी 3 खंड की धुरी के लिए। प्राप्त सीतथा डी. रेखा खंड सीडीएक बड़े व्यास खंड की एक छवि है। आइए सेगमेंट बढ़ाएं ए 3 बीऊंचाई के लिए 3 सेशन. हमें एक खंड मिलता है अब, जो एक छोटे व्यास खंड की एक छवि है। नकारात्मक अब तथा सीडी - संभोग दीया। दीर्घवृत्त .

एच अधिक बिंदु खोजें जहां से दीर्घवृत्त जाता है दृश्य पक्षसिलेंडर से अदृश्य, जिसका अर्थ है ठोस पंक्तिएक बिंदीदार रेखा में बदल जाता है। ये समोच्च जनित्रों के साथ सेकेंट तल के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। होने देना यू 3 =क 3 ली 3 सी 3 डी 3. चलो बढ़ाएँ यू 3 खंड की धुरी के लिए। आइए एक बिंदु प्राप्त करें यू. चलो राग बढ़ाते हैं क 3 लीऊंचाई के लिए 3 Y Y 3. हमें एक खंड मिलता है केएल. हमें वांछित बिंदु मिल गया है क, और साथ ही, एक और अतिरिक्त बिंदु ली. दूरसंचार विभाग एम, सेकेंड प्लेन के प्रतिच्छेदन का चित्रण और दूसरे समोच्च जेनरेटर के साथ बिंदु के सममित है कबिंदु के सापेक्ष पीइसके अतिरिक्त, हम एक बिंदु की रचना करेंगे एन, सममित ली संबंध-बिंदु पी

आइए एक तरीका दिखाएं कि आप इन व्यासों का उपयोग किए बिना किसी खंड पर कितने अंक प्राप्त कर सकते हैं।

कोई भी चुनें। बिंदु वी 3 एक दीर्घवृत्त पर . हम व्यास लेते हैं वी 3 टी 3 और इसे ट्रेस के साथ चौराहे तक जारी रखें। हमें एक बिंदु मिलता है यू. हम अंक बढ़ाते हैं वी 3 और टी 3 से सीधा यूपी।. हमें दो अंक मिलते हैं वीतथा टीखंड पर। इसके बजाय चुनना वी 3 अन्य बिंदु, हमें प्रति अनुभाग 2 अंक मिलते हैं। यदि आप एक बिंदु चुनते हैं क 3 कंटूर जेनरेट्रिक्स पर पड़े हुए, हम अंक पाएंगे क तथा एम, जिसमें खंड पर ठोस रेखा धराशायी हो जानी चाहिए।