परवलय का निर्माण कैसे करें? द्विघात फलन को रेखांकन करने के कई तरीके हैं। उनमें से प्रत्येक के अपने पेशेवरों और विपक्ष हैं। आइए दो तरीकों पर विचार करें।

आइए y=x²+bx+c और y= -x²+bx+c जैसे द्विघात फलन को आलेखित करके प्रारंभ करें।

उदाहरण।

फलन y=x²+2x-3 प्लॉट करें।

समाधान:

y=x²+2x-3 एक द्विघात फलन है। ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर हैं। परवलय शीर्ष निर्देशांक

शीर्ष (-1;-4) से हम परवलय का एक ग्राफ बनाते हैं y=x² (मूल से। इसके बजाय (0;0) - शीर्ष (-1;-4)। से (-1;- 4) हम 1 इकाई से दाईं ओर और 1 से ऊपर जाते हैं, फिर 1 से बाएँ और 1 से ऊपर, फिर: 2 - दाएँ, 4 - ऊपर, 2 - बाएँ, 4 - ऊपर, 3 - दाएँ, 9 - ऊपर, 3 - बाएं, 9 - ऊपर। ये 7 अंक पर्याप्त नहीं हैं, फिर - 4 से दाएं, 16 - ऊपर, आदि)।

द्विघात फलन का आलेख y= -x²+bx+c एक परवलय है जिसकी शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं। एक ग्राफ बनाने के लिए, हम शीर्ष के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं और इससे हम एक परवलय y= -x² बनाते हैं।

उदाहरण।

फलन y= -x²+2x+8 आलेखित करें।

समाधान:

y= -x²+2x+8 एक द्विघात फलन है। ग्राफ नीचे की शाखाओं वाला एक परवलय है। परवलय शीर्ष निर्देशांक

ऊपर से हम एक परवलय बनाते हैं y = -x² (1 - दाएँ, 1 - नीचे; 1 - बाएँ, 1 - नीचे; 2 - दाएँ, 4 - नीचे; 2 - बाएँ, 4 - नीचे, आदि):

यह विधि आपको जल्दी से एक परवलय का निर्माण करने की अनुमति देती है और यदि आप जानते हैं कि y=x² और y= -x² कार्यों को कैसे प्लॉट करना है, तो इससे कोई कठिनाई नहीं होती है। नुकसान: यदि शीर्ष निर्देशांक भिन्नात्मक संख्याएं हैं, तो प्लॉटिंग बहुत सुविधाजनक नहीं है। अगर आपको जानना है सटीक मानऑक्स अक्ष के साथ ग्राफ के चौराहे के बिंदु, आपको अतिरिक्त रूप से समीकरण x² + bx + c = 0 (या -x² + bx + c = 0) हल करना होगा, भले ही इन बिंदुओं को सीधे आंकड़े से निर्धारित किया जा सके।

परवलय बनाने का एक अन्य तरीका बिंदुओं द्वारा है, अर्थात, आप ग्राफ़ पर कई बिंदु ढूंढ सकते हैं और उनके माध्यम से एक परवलय खींच सकते हैं (इस बात को ध्यान में रखते हुए कि रेखा x=xₒ इसकी सममिति की धुरी है)। आमतौर पर, इसके लिए वे परवलय के शीर्ष, निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु और 1-2 अतिरिक्त बिंदु लेते हैं।

फलन y=x²+5x+4 प्लॉट करें।

समाधान:

y=x²+5x+4 एक द्विघात फलन है। ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर हैं। परवलय शीर्ष निर्देशांक

यानी परवलय का शीर्ष बिंदु (-2.5; -2.25) है।

की तलाश में । ऑक्स अक्ष के साथ चौराहे के बिंदु पर y=0: x²+5x+4=0. जड़ों द्विघात समीकरण x1=-1, x2=-4, अर्थात्, हमें ग्राफ (-1; 0) और (-4; 0) पर दो बिंदु मिले हैं।

ओए अक्ष के साथ ग्राफ के चौराहे बिंदु पर x=0: y=0²+5∙0+4=4. एक अंक मिला (0; 4)।

ग्राफ़ को परिष्कृत करने के लिए, आप एक अतिरिक्त बिंदु ढूंढ सकते हैं। आइए x=1 लें, फिर y=1²+5∙1+4=10, यानी ग्राफ का एक और बिंदु - (1; 10)। हम निर्देशांक तल पर इन बिंदुओं को चिह्नित करते हैं। इसके शीर्ष से गुजरने वाली सीधी रेखा के संबंध में परवलय की समरूपता को ध्यान में रखते हुए, हम दो और बिंदुओं को चिह्नित करते हैं: (-5; 6) और (-6; 10) और उनके माध्यम से एक परवलय खींचते हैं:

फलन y= -x²-3x आलेखित करें।

समाधान:

y= -x²-3x एक द्विघात फलन है। ग्राफ नीचे की शाखाओं वाला एक परवलय है। परवलय शीर्ष निर्देशांक

शीर्ष (-1.5; 2.25) परवलय का पहला बिंदु है।

एक्स-अक्ष y=0 के साथ ग्राफ के चौराहे के बिंदुओं पर, यानी, हम समीकरण -x²-3x=0 हल करते हैं। इसके मूल x=0 और x=-3 हैं, अर्थात, (0; 0) और (-3; 0) ग्राफ़ पर दो और बिंदु हैं। बिंदु (o; 0) भी y-अक्ष के साथ परवलय का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

x=1 y=-1²-3∙1=-4 पर, यानी (1; -4) प्लॉटिंग के लिए एक अतिरिक्त बिंदु है।

बिंदुओं से परवलय बनाना पहले वाले की तुलना में अधिक समय लेने वाला तरीका है। यदि परवलय ऑक्स अक्ष को नहीं काटता है, तो अधिक अतिरिक्त बिंदुओं की आवश्यकता होगी।

y=ax²+bx+c के रूप में द्विघात फलन के ग्राफ़ के निर्माण को जारी रखने से पहले, ज्यामितीय परिवर्तनों का उपयोग करके फ़ंक्शन के ग्राफ़ के निर्माण पर विचार करें। इन परिवर्तनों में से एक - समानांतर अनुवाद का उपयोग करके y=x²+c फॉर्म के कार्यों के ग्राफ भी सबसे सुविधाजनक हैं।

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विधिवत सामग्रीकेवल संदर्भ के लिए है और पर लागू होता है एक विस्तृत श्रृंखलाविषय। लेख मुख्य प्राथमिक कार्यों के रेखांकन का अवलोकन प्रदान करता है और सबसे महत्वपूर्ण मुद्दे पर विचार करता है - कैसे सही ढंग से और तेजी से एक ग्राफ बनाने के लिए. बुनियादी प्राथमिक कार्यों के रेखांकन के ज्ञान के बिना उच्च गणित का अध्ययन करने के दौरान, यह मुश्किल होगा, इसलिए यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि परवलय, हाइपरबोला, साइन, कोसाइन आदि के ग्राफ़ कुछ याद रखने के लिए क्या दिखते हैं। कार्यों के मूल्यों के बारे में। हम मुख्य कार्यों के कुछ गुणों के बारे में भी बात करेंगे।

मैं सामग्री की पूर्णता और वैज्ञानिक पूर्णता का दिखावा नहीं करता, सबसे पहले, अभ्यास पर जोर दिया जाएगा - वे चीजें जिनके साथ उच्च गणित के किसी भी विषय में हर कदम पर शाब्दिक रूप से सामना करना पड़ता है. डमी के लिए चार्ट? आप ऐसा कह सकते हैं।

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और हम तुरंत शुरू करते हैं:

समन्वय अक्षों को सही तरीके से कैसे बनाएं?

व्यवहार में, परीक्षण लगभग हमेशा छात्रों द्वारा अलग-अलग नोटबुक में तैयार किए जाते हैं, जो एक पिंजरे में पंक्तिबद्ध होते हैं। आपको चेकर्ड चिह्नों की आवश्यकता क्यों है? आखिरकार, काम, सिद्धांत रूप में, ए 4 शीट पर किया जा सकता है। और पिंजरा केवल चित्र के उच्च-गुणवत्ता और सटीक डिजाइन के लिए आवश्यक है।

फ़ंक्शन ग्राफ़ का कोई भी आरेखण निर्देशांक अक्षों से प्रारंभ होता है.

चित्र द्वि-आयामी और त्रि-आयामी हैं।

आइए पहले द्वि-आयामी मामले पर विचार करें कार्तीय समन्वय प्रणाली:

1) हम निर्देशांक अक्ष खींचते हैं। अक्ष कहा जाता है X- अक्ष , और अक्ष शाफ़्ट . हम हमेशा उन्हें खींचने की कोशिश करते हैं साफ और कुटिल नहीं. तीर भी पापा कार्लो की दाढ़ी से मिलते जुलते नहीं होने चाहिए।

2) हम अक्षरों "x" और "y" के साथ कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करते हैं। कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करना न भूलें.

3) कुल्हाड़ियों के साथ स्केल सेट करें: शून्य और दो ड्रा करें. ड्राइंग बनाते समय, सबसे सुविधाजनक और सामान्य पैमाना है: 1 यूनिट = 2 सेल (बाईं ओर ड्राइंग) - यदि संभव हो तो उससे चिपके रहें। हालांकि, समय-समय पर ऐसा होता है कि ड्राइंग एक नोटबुक शीट पर फिट नहीं होती है - फिर हम स्केल को कम करते हैं: 1 यूनिट = 1 सेल (दाईं ओर ड्राइंग)। शायद ही कभी, लेकिन ऐसा होता है कि ड्राइंग के पैमाने को और भी कम करना (या बढ़ाना) है

मशीन गन से स्क्रिबल न करें ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....के लिये कार्तिकये निर्देशांकडेसकार्टेस का स्मारक नहीं है, और छात्र कबूतर नहीं है। हम रखतें है शून्यतथा कुल्हाड़ियों के साथ दो इकाइयाँ. कभी-कभी के बजायइकाइयाँ, अन्य मूल्यों का "पता लगाना" सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, एब्सिस्सा अक्ष पर "दो" और समन्वय अक्ष पर "तीन" - और यह प्रणाली (0, 2 और 3) भी विशिष्ट रूप से समन्वय ग्रिड सेट करेगी।

ड्राइंग तैयार करने से पहले ड्राइंग के अनुमानित आयामों का अनुमान लगाना बेहतर होता है।. इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि कार्य को शीर्षों के साथ एक त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है, तो यह बिल्कुल स्पष्ट है कि लोकप्रिय पैमाने 1 इकाई = 2 कोशिकाएं काम नहीं करेंगी। क्यों? आइए बिंदु को देखें - यहां आपको पंद्रह सेंटीमीटर नीचे मापना है, और जाहिर है, ड्राइंग एक नोटबुक शीट पर फिट नहीं होगी (या मुश्किल से फिट)। इसलिए, हम तुरंत एक छोटे पैमाने के 1 इकाई = 1 सेल का चयन करते हैं।

वैसे, लगभग सेंटीमीटर और नोटबुक सेल। क्या यह सच है कि 30 नोटबुक सेल में 15 सेंटीमीटर होते हैं? एक शासक के साथ 15 सेंटीमीटर ब्याज के लिए एक नोटबुक में मापें। यूएसएसआर में, शायद यह सच था ... यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यदि आप इन समान सेंटीमीटर को क्षैतिज और लंबवत रूप से मापते हैं, तो परिणाम (कोशिकाओं में) अलग होंगे! कड़ाई से बोलते हुए, आधुनिक नोटबुक चेकर नहीं हैं, लेकिन आयताकार हैं। यह बकवास लग सकता है, लेकिन उदाहरण के लिए, ऐसी स्थितियों में कम्पास के साथ एक वृत्त खींचना बहुत असुविधाजनक है। ईमानदार होने के लिए, ऐसे क्षणों में आप कॉमरेड स्टालिन की शुद्धता के बारे में सोचना शुरू कर देते हैं, जिन्हें उत्पादन में हैक के काम के लिए शिविरों में भेजा गया था, न कि घरेलू मोटर वाहन उद्योग, गिरने वाले विमानों या बिजली संयंत्रों में विस्फोट का उल्लेख करने के लिए।

गुणवत्ता की बात करें तो स्टेशनरी पर एक संक्षिप्त अनुशंसा। आज तक, बिक्री पर अधिकांश नोटबुक, बिना बुरे शब्द कहे, पूर्ण भूत हैं। इस कारण से कि वे गीले हो जाते हैं, और न केवल जेल पेन से, बल्कि बॉलपॉइंट पेन से भी! कागज पर सहेजें। निकासी के लिए नियंत्रण कार्यमैं आर्कान्जेस्क पल्प और पेपर मिल (18 शीट, पिंजरा) या प्याटेरोचका की नोटबुक का उपयोग करने की सलाह देता हूं, हालांकि यह अधिक महंगा है। जेल पेन चुनने की सलाह दी जाती है, यहां तक ​​​​कि सबसे सस्ता चीनी जेल रिफिल भी बॉलपॉइंट पेन की तुलना में बहुत बेहतर है, जो या तो स्मियर करता है या पेपर को फाड़ देता है। मेरी स्मृति में एकमात्र "प्रतिस्पर्धी" बॉलपॉइंट पेन एरिच क्रूस है। वह स्पष्ट रूप से, खूबसूरती से और दृढ़ता से लिखती है - या तो एक पूर्ण तने के साथ, या लगभग खाली के साथ।

इसके साथ ही: विश्लेषणात्मक ज्यामिति की आंखों के माध्यम से एक आयताकार समन्वय प्रणाली की दृष्टि लेख में शामिल है वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता। वेक्टर आधार, विस्तृत जानकारीनिर्देशांक के बारे में पाठ के दूसरे पैराग्राफ में पाया जा सकता है रैखिक असमानताएं.

3डी केस

यहां भी लगभग ऐसा ही है।

1) हम निर्देशांक अक्ष खींचते हैं। मानक: अनुप्रयुक्त अक्ष - ऊपर की ओर निर्देशित, अक्ष - दाईं ओर निर्देशित, अक्ष - नीचे की ओर बाईं ओर सख्ती से 45 डिग्री के कोण पर।

2) हम कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करते हैं।

3) स्केल को कुल्हाड़ियों के अनुदिश सेट करें। अक्ष के साथ स्केल - अन्य अक्षों के साथ स्केल से दो गुना छोटा. यह भी ध्यान दें कि सही ड्राइंग में, मैंने अक्ष के साथ एक गैर-मानक "सेरिफ़" का उपयोग किया था (इस संभावना का पहले ही ऊपर उल्लेख किया जा चुका है). मेरे दृष्टिकोण से, यह अधिक सटीक, तेज और अधिक सौंदर्यवादी रूप से मनभावन है - आपको माइक्रोस्कोप के तहत सेल के मध्य को देखने की आवश्यकता नहीं है और इकाई को मूल तक "मूर्तिकला" करना है।

3D आरेखण दोबारा करते समय - पैमाने को प्राथमिकता दें
1 इकाई = 2 कक्ष (बाईं ओर आरेखण)।

ये सभी नियम किस लिए हैं? नियम तोड़े जाने हैं। अब में क्या करने वाला हूँ। तथ्य यह है कि लेख के बाद के चित्र मेरे द्वारा एक्सेल में बनाए जाएंगे, और समन्वय कुल्हाड़ियों के दृष्टिकोण से गलत दिखेंगे सही डिजाइन. मैं सभी रेखांकन हाथ से खींच सकता था, लेकिन उन्हें खींचना वास्तव में डरावना है, क्योंकि एक्सेल उन्हें और अधिक सटीक रूप से खींचने के लिए अनिच्छुक है।

प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और बुनियादी गुण

रैखिक प्रकार्यसमीकरण द्वारा दिया गया है। रैखिक फलन ग्राफ है प्रत्यक्ष. एक सीधी रेखा बनाने के लिए, दो बिंदुओं को जानना पर्याप्त है।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन प्लॉट करें। आइए दो बिंदु खोजें। शून्य को एक अंक के रूप में चुनना फायदेमंद है।

तो अगर

हम कुछ अन्य बिंदु लेते हैं, उदाहरण के लिए, 1.

तो अगर

कार्य तैयार करते समय, बिंदुओं के निर्देशांक आमतौर पर एक तालिका में संक्षेपित किए जाते हैं:

और मूल्यों की गणना स्वयं मौखिक रूप से या ड्राफ्ट, कैलकुलेटर पर की जाती है।

दो बिंदु पाए जाते हैं, आइए ड्रा करें:

ड्राइंग बनाते समय, हम हमेशा ग्राफिक्स पर हस्ताक्षर करते हैं.

रैखिक फ़ंक्शन के विशेष मामलों को याद करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा:

ध्यान दें कि मैंने कैप्शन कैसे रखा, ड्राइंग का अध्ययन करते समय हस्ताक्षर अस्पष्ट नहीं होने चाहिए. इस मामले में, लाइनों के प्रतिच्छेदन के बिंदु के बगल में, या ग्राफ़ के बीच नीचे दाईं ओर हस्ताक्षर करना अत्यधिक अवांछनीय था।

1) फॉर्म () के एक रैखिक कार्य को प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है। उदाहरण के लिए, । प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ हमेशा मूल बिंदु से होकर गुजरता है। इस प्रकार, एक सीधी रेखा का निर्माण सरल है - यह केवल एक बिंदु खोजने के लिए पर्याप्त है।

2) रूप का एक समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, अक्ष स्वयं समीकरण द्वारा दिया जाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिना किसी बिंदु को खोजे तुरंत बनाया जाता है। यानी प्रविष्टि को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "y हमेशा -4 के बराबर होता है, x के किसी भी मान के लिए।"

3) रूप का एक समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, अक्ष स्वयं समीकरण द्वारा दिया जाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ भी तुरंत बनाया जाता है। प्रविष्टि को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "x हमेशा, y के किसी भी मान के लिए, 1 के बराबर होता है।"

कुछ लोग पूछेंगे, अच्छा, छठी कक्षा क्यों याद है?! ऐसा ही है, शायद ऐसा है, केवल अभ्यास के वर्षों के दौरान मैं एक दर्जन अच्छे छात्रों से मिला, जो या जैसे ग्राफ के निर्माण के कार्य से चकित थे।

चित्र बनाते समय एक सीधी रेखा खींचना सबसे आम क्रिया है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के पाठ्यक्रम में सीधी रेखा पर विस्तार से चर्चा की गई है, और जो लोग चाहें वे लेख का उल्लेख कर सकते हैं समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण.

द्विघात फलन ग्राफ, घन फलन ग्राफ, बहुपद ग्राफ

परवलय। द्विघात फलन का आलेख () एक परवलय है। प्रसिद्ध मामले पर विचार करें:

आइए फ़ंक्शन के कुछ गुणों को याद करें।

तो, हमारे समीकरण का हल: - यह इस बिंदु पर है कि परवलय का शीर्ष स्थित है। ऐसा क्यों है यह व्युत्पन्न पर सैद्धांतिक लेख और फ़ंक्शन के चरम पर पाठ से सीखा जा सकता है। इस बीच, हम "y" के संगत मान की गणना करते हैं:

तो शीर्ष बिंदु पर है

अब हम अन्य बिंदुओं को ढूंढते हैं, जबकि परवलय की समरूपता का निर्लज्जतापूर्वक उपयोग करते हुए। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समारोह – सम नहीं है, लेकिन, फिर भी, किसी ने परवलय की समरूपता को रद्द नहीं किया।

शेष अंक किस क्रम में ज्ञात करें, मुझे लगता है कि यह अंतिम तालिका से स्पष्ट होगा:

इस निर्माण एल्गोरिथ्म को आलंकारिक रूप से "शटल" या "आगे और पीछे" सिद्धांत कहा जा सकता है, जिसमें अनफिसा चेखोवा है।

आइए एक चित्र बनाएं:

माना रेखांकन से, एक और उपयोगी विशेषता दिमाग में आती है:

द्विघात फलन के लिए () निम्नलिखित सत्य है:

यदि , तो परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं.

यदि , तो परवलय की शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है.

हाइपरबोला और परवलय पाठ में वक्र का गहन ज्ञान प्राप्त किया जा सकता है।

क्यूबिक परवलय फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है। यहाँ स्कूल से परिचित एक चित्र है:

हम फ़ंक्शन के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं

फंक्शन ग्राफ

यह परवलय की शाखाओं में से एक का प्रतिनिधित्व करता है। आइए एक चित्र बनाएं:

समारोह के मुख्य गुण:

इस मामले में, अक्ष है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट हाइपरबोला ग्राफ के लिए .

होगा बुरी गलती, यदि, चित्र बनाते समय, लापरवाही से, हम ग्राफ़ को स्पर्शोन्मुख के साथ प्रतिच्छेद करने की अनुमति देते हैं।

साथ ही एकतरफा सीमाएं, हमें बताएं कि एक अतिशयोक्ति ऊपर से सीमित नहींतथा नीचे से सीमित नहीं.

आइए अनंत पर फ़ंक्शन का पता लगाएं: यानी, यदि हम अक्ष के साथ बाईं ओर (या दाएं) अनंत तक जाना शुरू करते हैं, तो "गेम" एक पतला कदम होगा असीम रूप से करीबशून्य तक पहुंचें, और, तदनुसार, अतिपरवलय की शाखाएं असीम रूप से करीबधुरी के करीब पहुंचें।

तो अक्ष है समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए, यदि "x" प्लस या माइनस अनंत की ओर जाता है।

समारोह है अजीब, जिसका अर्थ है कि अतिपरवलय मूल के संबंध में सममित है। यह तथ्यड्राइंग से स्पष्ट है, इसके अलावा, इसे आसानी से विश्लेषणात्मक रूप से सत्यापित किया जा सकता है: .

फॉर्म के एक फ़ंक्शन का ग्राफ () हाइपरबोला की दो शाखाओं का प्रतिनिधित्व करता है.

यदि , तो अतिपरवलय पहले और तीसरे निर्देशांक चतुर्भुज में स्थित है(ऊपर चित्र देखें)।

यदि , तो हाइपरबोला दूसरे और चौथे निर्देशांक चतुर्भुज में स्थित है.

रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तनों के दृष्टिकोण से हाइपरबोला के निवास स्थान की निर्दिष्ट नियमितता का विश्लेषण करना मुश्किल नहीं है।

उदाहरण 3

अतिपरवलय की दाहिनी शाखा की रचना कीजिए

हम बिंदुवार निर्माण पद्धति का उपयोग करते हैं, जबकि मूल्यों का चयन करना फायदेमंद होता है ताकि वे पूरी तरह से विभाजित हो जाएं:

आइए एक चित्र बनाएं:

हाइपरबोला की बाईं शाखा का निर्माण करना मुश्किल नहीं होगा, यहां फ़ंक्शन की विषमता बस मदद करेगी। मोटे तौर पर, बिंदुवार निर्माण तालिका में, मानसिक रूप से प्रत्येक संख्या में एक माइनस जोड़ें, संबंधित डॉट्स लगाएं और दूसरी शाखा बनाएं।

माना रेखा के बारे में विस्तृत ज्यामितीय जानकारी हाइपरबोला और परबोला लेख में पाई जा सकती है।

घातांकीय फलन का ग्राफ

इस पैराग्राफ में, मैं तुरंत घातीय कार्य पर विचार करूंगा, क्योंकि उच्च गणित की समस्याओं में 95% मामलों में यह घातांक होता है।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि - यह एक अपरिमेय संख्या है: एक ग्राफ बनाते समय इसकी आवश्यकता होगी, जिसे वास्तव में, मैं बिना समारोह के बनाऊंगा। तीन अंकशायद पर्याप्त:

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को अभी के लिए छोड़ दें, इसके बारे में बाद में।

समारोह के मुख्य गुण:

मूल रूप से, कार्यों के रेखांकन समान दिखते हैं, आदि।

मुझे कहना होगा कि दूसरा मामला व्यवहार में कम आम है, लेकिन ऐसा होता है, इसलिए मैंने इसे इस लेख में शामिल करना आवश्यक समझा।

एक लघुगणकीय फलन का ग्राफ

के साथ एक समारोह पर विचार करें प्राकृतिक.
आइए एक रेखा आरेखण करें:

यदि आप भूल गए हैं कि लघुगणक क्या है, तो कृपया स्कूल की पाठ्यपुस्तकें देखें।

समारोह के मुख्य गुण:

कार्यक्षेत्र:

मूल्यों की श्रृंखला: ।

समारोह ऊपर से सीमित नहीं है: , यद्यपि धीरे-धीरे, लेकिन लघुगणक की शाखा अनंत तक जाती है।
आइए हम दायीं ओर शून्य के निकट फलन के व्यवहार की जाँच करें: . तो अक्ष है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए "x" के साथ दाईं ओर शून्य की ओर झुकाव।

लॉगरिदम के विशिष्ट मूल्य को जानना और याद रखना सुनिश्चित करें: .

मूल रूप से, आधार पर लघुगणक का प्लॉट समान दिखता है: , , (दशमलव लघुगणक से आधार 10), आदि। उसी समय, आधार जितना बड़ा होगा, चार्ट उतना ही चापलूसी करेगा।

हम मामले पर विचार नहीं करेंगे, मुझे याद नहीं है कि कब पिछली बारइस तरह के आधार के साथ एक ग्राफ बनाया। हां, और उच्च गणित की समस्याओं में लघुगणक एक बहुत ही दुर्लभ अतिथि प्रतीत होता है।

पैराग्राफ के अंत में, मैं एक और तथ्य कहूंगा: घातीय कार्य और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन दो परस्पर प्रतिलोम फलन हैं. यदि आप लघुगणक के ग्राफ को करीब से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि यह वही घातांक है, बस यह थोड़ा अलग स्थित है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन

स्कूल में त्रिकोणमितीय पीड़ा कैसे शुरू होती है? सही ढंग से। साइन से

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

इस लाइन को कहा जाता है sinusoid.

मैं आपको याद दिलाता हूं कि "पी" एक अपरिमेय संख्या है: और त्रिकोणमिति में यह आंखों में चकाचौंध कर देता है।

समारोह के मुख्य गुण:

यह समारोहहै नियत कालीनएक अवधि के साथ। इसका क्या मतलब है? आइए कट को देखें। इसके बाईं और दाईं ओर, बिल्कुल वही ग्राफ़ का टुकड़ा अंतहीन रूप से दोहराता है।

कार्यक्षेत्र: अर्थात, "x" के किसी भी मान के लिए एक ज्या मान होता है।

मूल्यों की श्रृंखला: । समारोह है सीमित: , यानी सभी "खेल" खंड में सख्ती से बैठते हैं।
ऐसा नहीं होता है: या, अधिक सटीक रूप से, ऐसा होता है, लेकिन इन समीकरणों का कोई हल नहीं होता है।