गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के 8 समाधान। गॉस विधि (अज्ञात का क्रमिक बहिष्करण)

चलो रैखिक की एक प्रणाली बीजीय समीकरण, जिसे हल करने की आवश्यकता है (अज्ञात хi के ऐसे मान खोजें जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को एक समानता में बदल दें)।

हम जानते हैं कि रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली यह कर सकती है:

1) कोई समाधान नहीं है (be .) असंगत).
2) असीम रूप से कई समाधान हैं।
3) है केवल निर्णय.

जैसा कि हमें याद है, क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधि उन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। गॉस विधि – किसी भी प्रणाली का समाधान खोजने के लिए सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण रेखीय समीकरण , के जो प्रत्येक स्थिति मेंहमें उत्तर की ओर ले चलो! तीनों मामलों में विधि का एल्गोरिथ्म एक ही तरह से काम करता है। यदि क्रैमर और मैट्रिक्स विधियों के लिए निर्धारकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है, तो गॉस पद्धति के अनुप्रयोग के लिए केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के ज्ञान की आवश्यकता होती है, जो इसे प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए भी सुलभ बनाता है।

विस्तारित मैट्रिक्स परिवर्तन ( यह प्रणाली का मैट्रिक्स है - एक मैट्रिक्स जो केवल अज्ञात के गुणांक से बना है, साथ ही मुक्त शर्तों का एक स्तंभ)गॉस विधि में रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली:

1) साथ ट्रोकीमैट्रिक्स कर सकते हैं को पुनर्व्यवस्थितस्थान।

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (या हैं) आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ हैं, तो यह इस प्रकार है मिटानामैट्रिक्स से, एक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ।

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी इस प्रकार है मिटाना.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति कर सकते हैं गुणा (विभाजित)शून्य के अलावा किसी भी संख्या के लिए।

5) मैट्रिक्स की पंक्ति में, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न।

गॉस विधि में, प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं।

गॉस विधि में दो चरण होते हैं:

1. "प्रत्यक्ष चाल" - प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके, रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स को "त्रिकोणीय" में लाएं चरणबद्ध दृश्य: मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित विस्तारित मैट्रिक्स के तत्व शून्य (ऊपर-नीचे की चाल) के बराबर हैं। उदाहरण के लिए, इस प्रकार के लिए:

ऐसा करने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें:

1) आइए हम रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के पहले समीकरण पर विचार करें और x 1 पर गुणांक K के बराबर है। दूसरा, तीसरा, आदि। हम समीकरणों को इस प्रकार रूपांतरित करते हैं: हम प्रत्येक समीकरण (अज्ञात के लिए गुणांक, मुक्त पदों सहित) को अज्ञात x 1 के गुणांक से विभाजित करते हैं, जो प्रत्येक समीकरण में होता है, और K से गुणा करते हैं। उसके बाद, दूसरे समीकरण से पहले को घटाएं ( अज्ञात और मुक्त शर्तों के लिए गुणांक)। हम दूसरे समीकरण में x 1 पर गुणांक 0 प्राप्त करते हैं। तीसरे रूपांतरित समीकरण से हम पहले समीकरण को घटाते हैं, इसलिए जब तक कि पहले को छोड़कर, अज्ञात x 1 वाले सभी समीकरणों में गुणांक 0 नहीं होगा।

2) अगले समीकरण पर जाएं। मान लें कि यह दूसरा समीकरण है और x 2 पर गुणांक M के बराबर है। सभी "अधीनस्थ" समीकरणों के साथ, हम ऊपर वर्णित अनुसार आगे बढ़ते हैं। इस प्रकार, सभी समीकरणों में "अंडर" अज्ञात x 2 शून्य होगा।

3) हम अगले समीकरण को पास करते हैं और इसी तरह जब तक एक अंतिम अज्ञात और रूपांतरित मुक्त शब्द नहीं रहता।

1. गॉस विधि का "रिवर्स मूव" रैखिक बीजीय समीकरणों ("नीचे-ऊपर" चाल) की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करना है। अंतिम "निचले" समीकरण से हमें एक पहला समाधान मिलता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n \u003d B को हल करते हैं। ऊपर के उदाहरण में, x 3 \u003d 4. हम पाए गए मान को "ऊपरी" अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 - 4 \u003d 1, अर्थात्। x 2 \u003d 5. और इसी तरह जब तक हम सभी अज्ञात नहीं पाते।

उदाहरण।

जैसा कि कुछ लेखक सलाह देते हैं, हम गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरणबद्ध रूप में लाएं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारी एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। आइए इसे इस तरह करें:
1 कदम . पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -1 से गुणा किया जाता है। यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ने का प्रदर्शन किया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमें पूरी तरह से सूट करता है। जो कोई भी +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त क्रिया कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिन्ह बदलें)।

2 कदम . पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

3 कदम . पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे "कदम पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

4 कदम . तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके जोड़ें।

5 कदम . तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया है।

एक संकेत जो गणना में त्रुटि को इंगित करता है (कम अक्सर एक टाइपो) एक "खराब" निचला रेखा है। यानी, अगर हमें नीचे (0 0 11 | 23) जैसा कुछ मिला, और, तदनुसार, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, तो उच्च संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि प्राथमिक के दौरान एक गलती की गई थी परिवर्तन।

हम रिवर्स मूव करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। रिवर्स मूव, मैं आपको याद दिलाता हूं, "नीचे से ऊपर तक" काम करता है। इस उदाहरण में, उपहार निकला:

एक्स 3 = 1
एक्स 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, इसलिए x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

उत्तर:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

आइए प्रस्तावित एल्गोरिदम का उपयोग करके उसी प्रणाली को हल करें। हम पाते हैं

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

दूसरे समीकरण को 5 से और तीसरे को 3 से भाग दें।

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

दूसरे और तीसरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे समीकरण से घटाएं, हमारे पास है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

तीसरे समीकरण को 0.64 से विभाजित करें:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

तीसरे समीकरण को 0.4 . से गुणा करें

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

तीसरे समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएं, हमें "चरणबद्ध" संवर्धित मैट्रिक्स मिलता है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

इस प्रकार, गणना की प्रक्रिया में जमा हुई त्रुटि के बाद से, हमें x 3 \u003d 0.96, या लगभग 1 मिलता है।

x 2 \u003d 3 और x 1 \u003d -1।

इस तरह से हल करने से आप गणना में कभी भी भ्रमित नहीं होंगे और गणना त्रुटियों के बावजूद आपको परिणाम मिलेगा।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की यह विधि प्रोग्राम करना आसान है और इसे ध्यान में नहीं रखा जाता है विशिष्ट लक्षणअज्ञात के लिए गुणांक, क्योंकि व्यवहार में (आर्थिक और तकनीकी गणना में) किसी को गैर-पूर्णांक गुणांक से निपटना पड़ता है।

आपकी सफलता की कामना करते है! कक्षा में मिलेंगे! कोई विषय पढ़ाना।

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रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों को हल करने के लिए सार्वभौमिक और प्रभावी तरीकों में से एक है गॉस विधि , अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन में शामिल है।

याद रखें कि दो प्रणालियों को कहा जाता है बराबर (समतुल्य) यदि उनके विलयनों के समुच्चय समान हैं। दूसरे शब्दों में, सिस्टम समतुल्य हैं यदि उनमें से एक का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान है, और इसके विपरीत। समतुल्य प्रणालियाँ के साथ प्राप्त की जाती हैं प्राथमिक परिवर्तन सिस्टम समीकरण:

समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;

किसी समीकरण में किसी अन्य समीकरण के संगत भागों को जोड़ना, शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;

दो समीकरणों का क्रमपरिवर्तन।

चलो समीकरणों की प्रणाली

गॉस विधि द्वारा इस प्रणाली को हल करने की प्रक्रिया में दो चरण होते हैं। पहले चरण (फॉरवर्ड रन) में, सिस्टम को प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से कम कर दिया जाता है कदम रखा , या त्रिकोणीय दिमाग, और दूसरे चरण (रिवर्स मूव) में एक अनुक्रमिक होता है, जो अंतिम चर से शुरू होता है, परिणामी चरण प्रणाली से अज्ञात की परिभाषा।

आइए मान लें कि इस प्रणाली का गुणांक
, अन्यथा प्रणाली में पहली पंक्ति को किसी अन्य पंक्ति के साथ बदला जा सकता है ताकि गुणांक शून्य से भिन्न था।

आइए अज्ञात को खत्म करते हुए सिस्टम को बदलें पहले को छोड़कर सभी समीकरणों में। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें और सिस्टम के दूसरे समीकरण के साथ शब्द दर शब्द जोड़ें। फिर पहले समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें और इसे सिस्टम के तीसरे समीकरण में जोड़ें। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम एक समान प्रणाली प्राप्त करते हैं

यहां
गुणांक और मुक्त शर्तों के नए मान हैं, जो पहले चरण के बाद प्राप्त होते हैं।

इसी प्रकार, मुख्य तत्व पर विचार करते हुए
, अज्ञात को बाहर करें सिस्टम के सभी समीकरणों से, पहले और दूसरे को छोड़कर। हम इस प्रक्रिया को यथासंभव लंबे समय तक जारी रखते हैं, परिणामस्वरूप हमें एक चरण प्रणाली मिलती है

,

कहाँ पे ,
,…,- प्रणाली के मुख्य तत्व
.

यदि सिस्टम को एक चरण के रूप में लाने की प्रक्रिया में, समीकरण दिखाई देते हैं, यानी, फॉर्म की समानताएं
, उन्हें छोड़ दिया जाता है, क्योंकि संख्याओं का कोई भी सेट उन्हें संतुष्ट करता है
. मैं मोटा
दिखाई देगा फॉर्म का समीकरण, जिसका कोई समाधान नहीं है, यह सिस्टम की असंगति को इंगित करता है।

रिवर्स कोर्स में, पहले अज्ञात को रूपांतरित चरण प्रणाली के अंतिम समीकरण से व्यक्त किया जाता है अन्य सभी अज्ञात के माध्यम से
कौन बुलाया गया नि: शुल्क . फिर चर अभिव्यक्ति सिस्टम के अंतिम समीकरण से अंतिम समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और चर को इससे व्यक्त किया जाता है
. चर एक समान तरीके से परिभाषित किए गए हैं
. चर
, मुक्त चर के रूप में व्यक्त, कहलाते हैं बुनियादी (आश्रित)। परिणाम है सामान्य निर्णयरैखिक समीकरणों की प्रणाली।

ढूँढ़ने के लिए निजी निर्णय सिस्टम, मुक्त अज्ञात
सामान्य समाधान में, मनमाना मान निर्दिष्ट किए जाते हैं और चर के मानों की गणना की जाती है
.

प्राथमिक परिवर्तनों को सिस्टम के समीकरणों के लिए नहीं, बल्कि सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के अधीन करना तकनीकी रूप से अधिक सुविधाजनक है

.

गॉस विधि - सार्वभौमिक विधि, जो न केवल वर्ग, बल्कि आयताकार प्रणालियों को भी हल करने की अनुमति देता है, जिसमें अज्ञात की संख्या
समीकरणों की संख्या के बराबर नहीं
.

इस पद्धति का लाभ इस तथ्य में भी निहित है कि हल करने की प्रक्रिया में हम एक साथ संगतता के लिए सिस्टम की जांच करते हैं, क्योंकि संवर्धित मैट्रिक्स को कम करके
चरणबद्ध रूप में, मैट्रिक्स के रैंकों को निर्धारित करना आसान है और विस्तारित मैट्रिक्स
और आवेदन करें क्रोनकर-कैपेली प्रमेय .

उदाहरण 2.1गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

समाधान. समीकरणों की संख्या
और अज्ञात की संख्या
.

आइए हम गुणांक के मैट्रिक्स के दाईं ओर निर्दिष्ट करके सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करें मुक्त सदस्य स्तंभ .

आइए मैट्रिक्स लाते हैं एक त्रिकोणीय आकार के लिए; ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मुख्य विकर्ण पर तत्वों के नीचे "0" प्राप्त करेंगे।

पहले कॉलम की दूसरी स्थिति में "0" प्राप्त करने के लिए, पहली पंक्ति को (-1) से गुणा करें और दूसरी पंक्ति में जोड़ें।

हम इस परिवर्तन को पहली पंक्ति के सामने एक संख्या (-1) के रूप में लिखते हैं और इसे पहली पंक्ति से दूसरी पंक्ति तक जाने वाले एक तीर द्वारा निरूपित करते हैं।

पहले कॉलम की तीसरी स्थिति में "0" प्राप्त करने के लिए, पहली पंक्ति को (-3) से गुणा करें और तीसरी पंक्ति में जोड़ें; आइए इस क्रिया को पहली पंक्ति से तीसरी तक जाने वाले तीर से दिखाते हैं।

.

परिणामी मैट्रिक्स में, मैट्रिक्स श्रृंखला में दूसरा लिखा, हमें दूसरे कॉलम में तीसरे स्थान पर "0" मिलता है। ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति को (-4) से गुणा करें और तीसरी पंक्ति में जोड़ें। परिणामी मैट्रिक्स में, हम दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करते हैं, और तीसरी पंक्ति को (-8) से विभाजित करते हैं। इस मैट्रिक्स के सभी अवयव जो विकर्ण तत्वों के नीचे स्थित हैं, शून्य हैं।

इसलिये , प्रणाली सहयोगी और विशिष्ट है।

अंतिम मैट्रिक्स के अनुरूप समीकरणों की प्रणाली का त्रिकोणीय रूप है:

अंतिम (तीसरे) समीकरण से
. दूसरे समीकरण में रखें और प्राप्त करें
.

स्थानापन्न
तथा
पहले समीकरण में, हम पाते हैं


.

आज हम रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि से निपटते हैं। क्रैमर विधि द्वारा समान SLAE को हल करने के लिए समर्पित पिछले लेख में आप इन प्रणालियों के बारे में पढ़ सकते हैं। गॉस विधि के लिए किसी विशिष्ट ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है, केवल देखभाल और निरंतरता की आवश्यकता होती है। इस तथ्य के बावजूद कि गणित के दृष्टिकोण से, स्कूल की तैयारी इसके आवेदन के लिए पर्याप्त है, इस पद्धति में महारत हासिल करना अक्सर छात्रों के लिए कठिनाइयों का कारण बनता है। इस लेख में, हम उन्हें कुछ भी कम करने की कोशिश करेंगे!

गॉस विधि

एम गॉस विधि SLAE को हल करने के लिए सबसे सार्वभौमिक तरीका है (इसके अपवाद के साथ, अच्छी तरह से, बहुत बड़ी प्रणाली) पहले चर्चा किए गए के विपरीत, यह न केवल उन प्रणालियों के लिए उपयुक्त है जिनके पास एक अद्वितीय समाधान है, बल्कि उन प्रणालियों के लिए भी उपयुक्त है जिनके पास अनंत समाधान हैं। यहां तीन विकल्प हैं।

1. सिस्टम का एक अनूठा समाधान है (सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है);
2. सिस्टम में अनंत समाधान हैं;
3. कोई समाधान नहीं है, सिस्टम असंगत है।

तो, हमारे पास एक प्रणाली है (इसे एक समाधान होने दें), और हम इसे गाऊसी पद्धति का उपयोग करके हल करने जा रहे हैं। यह काम किस प्रकार करता है?

गाऊसी पद्धति में दो चरण होते हैं - प्रत्यक्ष और उलटा।

प्रत्यक्ष गॉस विधि

सबसे पहले, हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम मुख्य मैट्रिक्स में मुक्त सदस्यों का एक कॉलम जोड़ते हैं।

गाऊसी पद्धति का संपूर्ण सार प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से इस मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध (या, जैसा कि वे कहते हैं, त्रिकोणीय) रूप में कम करना है। इस रूप में, मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के नीचे (या ऊपर) केवल शून्य होना चाहिए।

क्या किया जा सकता है:

1. आप मैट्रिक्स की पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं;
2. यदि मैट्रिक्स में समान (या आनुपातिक) पंक्तियाँ हैं, तो आप उनमें से एक को छोड़कर सभी को हटा सकते हैं;
3. आप स्ट्रिंग को किसी भी संख्या से गुणा या भाग कर सकते हैं (शून्य को छोड़कर);
4. शून्य रेखाएं हटा दी जाती हैं;
5. आप एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करके एक स्ट्रिंग में जोड़ सकते हैं।

रिवर्स गॉस विधि

सिस्टम को इस तरह से बदलने के बाद, एक अज्ञात xn ज्ञात हो जाता है, और शेष सभी अज्ञात को रिवर्स ऑर्डर में खोजना संभव है, पहले से ज्ञात x को सिस्टम के समीकरणों में, पहले तक प्रतिस्थापित करना।

जब इंटरनेट हमेशा हाथ में हो, तो आप गॉस पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं ऑनलाइन ।आपको केवल ऑनलाइन कैलकुलेटर में ऑड्स दर्ज करना है। लेकिन आपको स्वीकार करना होगा, यह महसूस करना अधिक सुखद है कि उदाहरण को कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा नहीं, बल्कि आपके अपने मस्तिष्क द्वारा हल किया गया था।

गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

और अब - एक उदाहरण, ताकि सब कुछ स्पष्ट और समझ में आ जाए। मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है, और इसे गॉस विधि द्वारा हल करना आवश्यक है:

सबसे पहले, आइए संवर्धित मैट्रिक्स लिखें:

आइए अब एक नजर डालते हैं इन बदलावों पर। याद रखें कि हमें मैट्रिक्स के त्रिकोणीय रूप को प्राप्त करने की आवश्यकता है। पहली पंक्ति को (3) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें और प्राप्त करें:

फिर तीसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए तीसरी पंक्ति को दूसरी में जोड़ें:

पहली पंक्ति को (6) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (13) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें:

वोइला - सिस्टम को उचित रूप में लाया जाता है। यह अज्ञात को खोजने के लिए बनी हुई है:

इस उदाहरण में सिस्टम का एक अनूठा समाधान है। हम एक अलग लेख में समाधान के अनंत सेट के साथ सिस्टम के समाधान पर विचार करेंगे। शायद पहले तो आपको यह नहीं पता होगा कि मैट्रिक्स ट्रांसफॉर्मेशन के साथ कहां से शुरुआत करें, लेकिन उचित अभ्यास के बाद आप इस पर अपना हाथ रख लेंगे और नट्स की तरह गॉसियन SLAE पर क्लिक करेंगे। और अगर आपके सामने अचानक कोई SLOW आ जाए, जो भी हो जाए कठोर अखरोटहमारे लेखकों से संपर्क करें! आप पत्राचार में एक आवेदन छोड़कर कर सकते हैं। हम सब मिलकर किसी भी समस्या का समाधान करेंगे!

रैखिक समीकरणों के दो निकाय समतुल्य कहलाते हैं यदि उनके सभी हलों का समुच्चय समान हो।

प्राथमिक परिवर्तनसमीकरणों की प्रणाली हैं:

1. तुच्छ समीकरणों की प्रणाली से हटाना, अर्थात्। जिनके लिए सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं;
2. किसी भी समीकरण को गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
3. किसी भी j-वें समीकरण के किसी भी i -th समीकरण का जोड़, किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है।

चर x i को मुक्त कहा जाता है यदि इस चर की अनुमति नहीं है, और समीकरणों की पूरी प्रणाली की अनुमति है।

प्रमेय। प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली को एक समकक्ष में बदल देते हैं।

गॉस पद्धति का अर्थ समीकरणों की मूल प्रणाली को बदलना और एक समान अनुमत या समकक्ष असंगत प्रणाली प्राप्त करना है।

तो, गॉस विधि में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1. पहले समीकरण पर विचार करें। हम पहला गैर-शून्य गुणांक चुनते हैं और इससे पूरे समीकरण को विभाजित करते हैं। हम एक समीकरण प्राप्त करते हैं जिसमें कुछ चर x 1 के गुणांक के साथ प्रवेश करता है;
2. इस समीकरण को अन्य सभी से घटाएं, इसे संख्याओं से इस प्रकार गुणा करें कि शेष समीकरणों में चर x i के गुणांक शून्य पर सेट हो जाएं। हमें एक प्रणाली मिलती है जो चर x i के संबंध में हल हो जाती है और मूल के बराबर होती है;
3. यदि तुच्छ समीकरण उत्पन्न होते हैं (शायद ही कभी, लेकिन ऐसा होता है; उदाहरण के लिए, 0 = 0), तो हम उन्हें सिस्टम से हटा देते हैं। नतीजतन, समीकरण एक कम हो जाते हैं;
4. हम पिछले चरणों को n बार से अधिक नहीं दोहराते हैं, जहां n सिस्टम में समीकरणों की संख्या है। हर बार हम "प्रसंस्करण" के लिए एक नया चर चुनते हैं। यदि परस्पर विरोधी समीकरण उत्पन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, 0 = 8), तो सिस्टम असंगत है।

नतीजतन, कुछ चरणों के बाद हम या तो एक अनुमत प्रणाली (संभवतः मुक्त चर के साथ) या एक असंगत एक प्राप्त करते हैं। अनुमत सिस्टम दो मामलों में आते हैं:

1. चरों की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर होती है। तो प्रणाली परिभाषित है;
2. चर की संख्या अधिक संख्यासमीकरण हम दाईं ओर सभी मुक्त चर एकत्र करते हैं - हमें अनुमत चर के लिए सूत्र मिलते हैं। ये सूत्र उत्तर में लिखे गए हैं।

बस इतना ही! रैखिक समीकरणों की प्रणाली हल हो गई है! यह काफी सरल एल्गोरिथम है, और इसमें महारत हासिल करने के लिए, आपको गणित के किसी ट्यूटर से संपर्क करने की आवश्यकता नहीं है। एक उदाहरण पर विचार करें:

एक कार्य। समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चरणों का विवरण:

1. हम पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे से घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. हम दूसरे समीकरण को (−1) से गुणा करते हैं, और तीसरे समीकरण को (−3) से विभाजित करते हैं - हमें दो समीकरण मिलते हैं जिसमें चर x 2 1 के गुणांक के साथ प्रवेश करता है;
3. हम दूसरे समीकरण को पहले में जोड़ते हैं, और तीसरे से घटाते हैं। आइए अनुमत चर x 2 प्राप्त करें;
4. अंत में, हम तीसरे समीकरण को पहले से घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 3 मिलता है;
5. हमें एक अधिकृत प्रणाली मिली है, हम उत्तर लिखते हैं।

सामान्य निर्णय संयुक्त प्रणालीरैखिक समीकरण है नई प्रणाली, जो मूल के बराबर है, जिसमें सभी अनुमत चर मुक्त के रूप में व्यक्त किए जाते हैं।

एक सामान्य समाधान की आवश्यकता कब हो सकती है? अगर आपको करना है कम कदम k से (k कुल कितने समीकरण हैं)। हालांकि, प्रक्रिया के किसी चरण पर समाप्त होने के कारण l< k , может быть две:

1. एल-वें चरण के बाद, हमें एक प्रणाली मिलती है जिसमें संख्या (एल + 1) के साथ समीकरण नहीं होता है। वास्तव में, यह अच्छा है, क्योंकि। हल की गई प्रणाली वैसे भी प्राप्त होती है - कुछ कदम पहले भी।
2. एल-वें चरण के बाद, एक समीकरण प्राप्त होता है जिसमें चर के सभी गुणांक शून्य के बराबर होते हैं, और मुक्त गुणांक शून्य से भिन्न होता है। यह एक असंगत समीकरण है, और इसलिए, प्रणाली असंगत है।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि गॉस विधि द्वारा असंगत समीकरण का प्रकट होना असंगति का पर्याप्त कारण है। उसी समय, हम ध्यान दें कि l -वें चरण के परिणामस्वरूप, तुच्छ समीकरण नहीं रह सकते हैं - वे सभी सीधे प्रक्रिया में हटा दिए जाते हैं।

चरणों का विवरण:

1. पहले समीकरण को दूसरे से 4 गुना घटाएं। और पहले समीकरण को तीसरे में भी जोड़ें - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. हम तीसरे समीकरण को 2 से गुणा करके दूसरे से घटाते हैं - हमें विरोधाभासी समीकरण 0 = -5 मिलता है।

इसलिए, सिस्टम असंगत है, क्योंकि एक असंगत समीकरण पाया गया है।

एक कार्य। संगतता की जांच करें और सिस्टम का सामान्य समाधान खोजें:

चरणों का विवरण:

1. हम पहले समीकरण को दूसरे (दो से गुणा करने के बाद) और तीसरे से घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. दूसरे समीकरण को तीसरे से घटाएं। चूँकि इन समीकरणों के सभी गुणांक समान हैं, इसलिए तीसरा समीकरण तुच्छ हो जाता है। उसी समय, हम दूसरे समीकरण को (−1) से गुणा करते हैं;
3. हम पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 2 मिलता है। समीकरणों की पूरी प्रणाली भी अब हल हो गई है;
4. चूँकि चर x 3 और x 4 स्वतंत्र हैं, हम उन्हें अनुमत चरों को व्यक्त करने के लिए दाईं ओर ले जाते हैं। यही उत्तर है।

तो, सिस्टम संयुक्त और अनिश्चित है, क्योंकि दो अनुमत चर (x 1 और x 2) और दो मुक्त (x 3 और x 4) हैं।

कार्ल फ्रेडरिक गॉस, महान गणितज्ञ, लंबे समय तक झिझकते रहे, दर्शन और गणित के बीच चयन करते रहे। शायद यह ठीक ऐसी मानसिकता थी जिसने उन्हें विश्व विज्ञान में "छोड़ने" की अनुमति दी। विशेष रूप से, "गॉस विधि" बनाकर ...

लगभग 4 वर्षों से, इस साइट के लेख स्कूली शिक्षा से संबंधित हैं, मुख्य रूप से दर्शन की दृष्टि से, (गलत) समझ के सिद्धांतों को बच्चों के दिमाग में पेश किया गया। अधिक विशिष्टताओं, उदाहरणों और विधियों का समय आ रहा है ... मेरा मानना ​​​​है कि यह परिचित, भ्रमित करने वाला और दृष्टिकोण है महत्वपूर्णजीवन के क्षेत्र सर्वोत्तम परिणाम देते हैं।

हम इंसान इतने व्यवस्थित हैं कि आप कितनी भी बात कर लें सामान्य सोच, लेकिन समझ हमेशाउदाहरणों के माध्यम से होता है. अगर उदाहरण न हों तो सिद्धांतों को पकड़ना नामुमकिन है... किसी पहाड़ की चोटी पर होना कितना नामुमकिन है, उसके पैर से पूरी ढलान पर जाने के अलावा।

स्कूल के साथ भी: अभी के लिए जीवित कहानियांपर्याप्त नहीं है कि हम सहज रूप से इसे एक ऐसी जगह के रूप में मानते हैं जहां बच्चों को समझना सिखाया जाता है।

उदाहरण के लिए, गॉस पद्धति को पढ़ाना...

स्कूल की 5 वीं कक्षा में गॉस विधि

मैं तुरंत आरक्षण कर दूंगा: गॉस पद्धति का व्यापक अनुप्रयोग है, उदाहरण के लिए, हल करते समय रैखिक समीकरणों की प्रणाली. हम जिस बारे में बात करने जा रहे हैं वह 5वीं कक्षा में होता है। यह प्रारंभ, जिसे समझने के बाद, अधिक "उन्नत विकल्प" को समझना बहुत आसान है। इस लेख में हम बात कर रहे हैं श्रृंखला का योग ज्ञात करते समय गॉस की विधि (विधि)

यहाँ एक उदाहरण है जो मैं स्कूल से लाया हूँ छोटा बेटामास्को व्यायामशाला की 5 वीं कक्षा में भाग लेना।

गॉस पद्धति का स्कूल प्रदर्शन

गणित शिक्षक का उपयोग संवादात्मक सफेद पटल (आधुनिक तरीकेप्रशिक्षण) ने बच्चों को लिटिल गॉस द्वारा "विधि के निर्माण" के इतिहास की एक प्रस्तुति दिखाई।

स्कूल के शिक्षक ने छोटे कार्ल (एक पुरानी पद्धति, जो अब स्कूलों में उपयोग नहीं की जाती है) होने के लिए कोड़े मारे गए,

उनके योग को खोजने के लिए क्रमिक रूप से 1 से 100 तक की संख्याओं को जोड़ने के बजाय ध्यान दियाकि अंकगणितीय प्रगति के किनारों से समान दूरी पर स्थित संख्याओं के जोड़े समान संख्या में जुड़ते हैं। उदाहरण के लिए, 100 और 1, 99 और 2। ऐसे जोड़े की संख्या गिनने के बाद, छोटे गॉस ने शिक्षक द्वारा प्रस्तावित समस्या को लगभग तुरंत हल कर दिया। जिसके लिए उन्हें हैरान जनता के सामने फांसी दी गई। बाकी के लिए सोचना अपमानजनक था।

लिटिल गॉस ने क्या किया विकसित संख्या समझ? ध्यान दियाकुछ विशेषताएक निरंतर चरण (अंकगणितीय प्रगति) के साथ संख्या श्रृंखला। और बिल्कुल यहीबाद में उन्हें एक महान वैज्ञानिक बनाया, नोटिस करने में सक्षम, रखने भावना, समझ की वृत्ति.

यह गणित का मूल्य है, जो विकसित होता है देखने की क्षमताविशेष रूप से सामान्य - सामान्य सोच. इसलिए, अधिकांश माता-पिता और नियोक्ता सहज रूप से गणित को एक महत्वपूर्ण विषय मानते हैं ...

"गणित बाद में पढ़ाया जाना चाहिए, ताकि यह दिमाग को व्यवस्थित कर सके।
एमवी लोमोनोसोव"।

हालांकि, भविष्य की प्रतिभाओं को कोड़े मारने वालों के अनुयायियों ने इस पद्धति को कुछ विपरीत में बदल दिया। जैसा कि मेरे पर्यवेक्षक ने 35 साल पहले कहा था: "उन्होंने सवाल सीखा।" या, जैसा कि मेरे सबसे छोटे बेटे ने कल गॉस पद्धति के बारे में कहा था: "हो सकता है कि यह एक बड़ा विज्ञान बनाने के लायक नहीं है, हुह?"

"वैज्ञानिकों" की रचनात्मकता के परिणाम वर्तमान स्कूली गणित के स्तर में, इसके शिक्षण के स्तर और बहुमत द्वारा "विज्ञान की रानी" की समझ में दिखाई देते हैं।

हालाँकि, चलिए जारी रखते हैं ...

विद्यालय की 5वीं कक्षा में गॉस विधि समझाने की विधि

मॉस्को के एक व्यायामशाला में गणित के एक शिक्षक ने विलेंकिन के तरीके से गॉस पद्धति की व्याख्या करते हुए कार्य को जटिल बना दिया।

क्या होगा यदि एक समांतर श्रेणी का अंतर (चरण) एक नहीं, बल्कि दूसरी संख्या है? उदाहरण के लिए, 20.

वह कार्य जो उसने पाँचवीं कक्षा के छात्रों को दिया था:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

व्यायामशाला पद्धति से परिचित होने से पहले, आइए वेब देखें: स्कूल के शिक्षक - गणित के शिक्षक इसे कैसे करते हैं? ..

गॉस विधि: स्पष्टीकरण #1

अपने YouTube चैनल पर एक प्रसिद्ध ट्यूटर निम्नलिखित तर्क देता है:

"आइए 1 से 100 तक की संख्या इस प्रकार लिखें:

पहले 1 से 50 तक की संख्याओं की एक श्रृंखला, और इसके ठीक नीचे 50 से 100 तक की संख्याओं की एक और श्रृंखला, लेकिन उल्टे क्रम में"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"कृपया ध्यान दें: ऊपर और नीचे की पंक्तियों से संख्याओं के प्रत्येक जोड़े का योग समान है और 101 के बराबर है! आइए जोड़े की संख्या गिनें, यह 50 है और जोड़े की संख्या से एक जोड़ी के योग को गुणा करें! वोइला: द उत्तर तैयार है!"।

"अगर आप समझ नहीं पाए, तो परेशान मत हो!" शिक्षक ने स्पष्टीकरण के दौरान तीन बार दोहराया। "आप इस विधि को 9वीं कक्षा में पास कर लेंगे!"

गॉस विधि: स्पष्टीकरण #2

एक अन्य ट्यूटर, कम प्रसिद्ध (विचारों की संख्या के आधार पर) एक अधिक वैज्ञानिक दृष्टिकोण लेता है, जो 5-बिंदु समाधान एल्गोरिदम की पेशकश करता है जिसे अनुक्रम में पूरा किया जाना चाहिए।

शुरुआत के लिए: 5 फाइबोनैचि संख्याओं में से एक है जिसे पारंपरिक रूप से जादुई माना जाता है। उदाहरण के लिए, 5-चरणीय विधि हमेशा 6-चरणीय विधि की तुलना में अधिक वैज्ञानिक होती है। ... और यह शायद ही कोई दुर्घटना है, सबसे अधिक संभावना है, लेखक फाइबोनैचि सिद्धांत का एक छिपा हुआ अनुयायी है

दान अंकगणितीय प्रगति: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

गॉस विधि का उपयोग करके एक श्रृंखला में संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

उसी समय, आपको इसके बारे में याद रखने की आवश्यकता है प्लस वन नियम : परिणामी भागफल में एक जोड़ना आवश्यक है: अन्यथा हमें एक से कम परिणाम प्राप्त होगा सही संख्याजोड़े: 42 + 1 = 43।

यह 6 के अंतर के साथ 4 से 256 तक अंकगणितीय प्रगति का वांछित योग है!

गॉस विधि: मॉस्को व्यायामशाला की 5 वीं कक्षा में स्पष्टीकरण

और यहाँ बताया गया है कि किसी श्रृंखला का योग ज्ञात करने की समस्या को कैसे हल करना आवश्यक था:

20+40+60+ ... +460+480+500

मास्को व्यायामशाला की 5 वीं कक्षा में, विलेनकिन की पाठ्यपुस्तक (मेरे बेटे के अनुसार)।

प्रस्तुतिकरण दिखाने के बाद, गणित के शिक्षक ने कुछ गाऊसी उदाहरण दिखाए और कक्षा को 20 के चरण के साथ एक श्रृंखला में संख्याओं का योग खोजने का कार्य दिया।

इसके लिए निम्नलिखित की आवश्यकता थी:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह एक अधिक कॉम्पैक्ट और कुशल तकनीक है: संख्या 3 भी फाइबोनैचि अनुक्रम का सदस्य है

गॉस पद्धति के स्कूल संस्करण पर मेरी टिप्पणी

महान गणितज्ञ ने निश्चित रूप से दर्शनशास्त्र को चुना होगा यदि उन्होंने यह पूर्वाभास किया था कि उनके अनुयायी उनकी "विधि" को किस रूप में बदल देंगे। जर्मन शिक्षकजिसने कार्ल को डंडों से पीटा। उन्होंने "शिक्षकों" की प्रतीकात्मकता और द्वंद्वात्मक सर्पिल और अमर मूर्खता को देखा होगा गलतफहमी के बीजगणित के साथ जीवित गणितीय विचार के सामंजस्य को मापने की कोशिश कर रहा है ....

वैसे क्या आप जानते हैं। कि हमारी शिक्षा प्रणाली 18वीं और 19वीं शताब्दी के जर्मन स्कूल में निहित है?

लेकिन गॉस ने गणित को चुना।

उसकी पद्धति का सार क्या है?

पर सरलीकरण. पर अवलोकन और कब्जासंख्याओं के सरल पैटर्न। पर शुष्क विद्यालय अंकगणित को में बदलना दिलचस्प और एक रोमांचक गतिविधि , मस्तिष्क में जारी रखने की इच्छा को सक्रिय करना, और उच्च लागत वाली मानसिक गतिविधि को अवरुद्ध नहीं करना।

क्या उपरोक्त "गॉस विधि के संशोधनों" में से एक के साथ अंकगणितीय प्रगति की संख्या की गणना करना संभव है हाथों हाथ? "एल्गोरिदम" के अनुसार, छोटे कार्ल को स्पैंकिंग से बचने, गणित के प्रति घृणा पैदा करने और शुरुआत में ही अपने रचनात्मक आवेगों को दबाने की गारंटी दी जाती।

ट्यूटर ने पांचवीं कक्षा के छात्रों को विधि की "गलतफहमी से न डरने" की सलाह क्यों दी, उन्हें विश्वास दिलाया कि वे 9वीं कक्षा में पहले से ही "ऐसी" समस्याओं को हल करेंगे? मनोवैज्ञानिक रूप से अनपढ़ कार्रवाई. यह नोट करना एक अच्छा विचार था: "मिलते हैं पहले से ही 5 वीं कक्षा में आप कर सकते हैंउन समस्याओं को हल करें जिन्हें आप केवल 4 साल में पास कर लेंगे! आप कितने अच्छे साथी हैं!"

गाऊसी पद्धति का उपयोग करने के लिए, कक्षा का स्तर 3 पर्याप्त हैजब सामान्य बच्चे पहले से ही 2-3 अंकों की संख्याओं को जोड़ना, गुणा और भाग करना जानते हैं। समस्याएँ वयस्क शिक्षकों की अक्षमता के कारण उत्पन्न होती हैं जो "प्रवेश नहीं करते" कैसे सामान्य मानव भाषा में सरलतम चीजों की व्याख्या करें, न कि केवल गणितीय ... वे गणित में रुचि रखने में सक्षम नहीं हैं और यहां तक ​​​​कि "सक्षम" को भी पूरी तरह से हतोत्साहित करते हैं।

या, जैसा कि मेरे बेटे ने टिप्पणी की, "इससे एक बड़ा विज्ञान बनाओ।"

गॉस विधि, मेरी व्याख्या

मैंने और मेरी पत्नी ने अपने बच्चे को यह "विधि" समझाया, ऐसा लगता है, स्कूल से पहले भी ...

जटिलता की जगह सादगी या सवालों का खेल - जवाब

""देखो, यहाँ 1 से 100 तक की संख्याएँ हैं। आप क्या देखते हैं?"

यह इस बारे में नहीं है कि बच्चा क्या देखता है। चाल उसे देखने के लिए है।

"आप उन्हें एक साथ कैसे रख सकते हैं?" बेटे ने महसूस किया कि इस तरह के सवाल "बस ऐसे ही" नहीं पूछे जाते हैं और आपको इस सवाल को देखने की जरूरत है "किसी तरह से वह आमतौर पर करता है"

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि बच्चा तुरंत समाधान देखता है, इसकी संभावना नहीं है। यह महत्वपूर्ण है कि वह देखने से डरना बंद हो गया, या जैसा कि मैं कहता हूं: "कार्य को स्थानांतरित कर दिया". यह समझने की राह की शुरुआत है

"कौन सा आसान है: उदाहरण के लिए, 5 और 6 या 5 और 95 जोड़ें?" एक प्रमुख प्रश्न ... लेकिन आखिरकार, कोई भी प्रशिक्षण किसी व्यक्ति को "उत्तर" के लिए "मार्गदर्शन" करने के लिए नीचे आता है - किसी भी तरह से उसे स्वीकार्य।

इस स्तर पर, पहले से ही अनुमान लगाया जा सकता है कि गणनाओं पर "बचाने" के तरीके के बारे में अनुमान लगाया जा सकता है।

हमने केवल संकेत दिया है: "ललाट, रैखिक" गिनती पद्धति केवल एक ही संभव नहीं है। अगर बच्चे ने इसे काट दिया है, तो बाद में वह ऐसे और भी कई तरीके ईजाद करेगा, क्योंकि यह दिलचस्प है!!!और वह निश्चित रूप से गणित की "गलतफहमी" से बचेंगे, इससे घृणा नहीं करेंगे। उसे जीत मिली!

यदि एक बच्चे की खोज कीकि संख्याओं के जोड़े जो सौ तक जोड़ते हैं, एक छोटा काम है, तो "अंतर 1 के साथ अंकगणितीय प्रगति"- एक बच्चे के लिए एक बल्कि नीरस और अबाधित बात - अचानक उसे जीवन दिया . अराजकता से आदेश आया, और यह हमेशा उत्साही होता है: हम ऐसे हैं!

भरने के लिए एक प्रश्न: क्यों, बच्चे द्वारा प्राप्त अंतर्दृष्टि के बाद, उसे फिर से सूखे एल्गोरिदम के ढांचे में ड्राइव करें, इसके अलावा, इस मामले में कार्यात्मक रूप से बेकार?!

बेवकूफ फिर से लिखना क्योंएक नोटबुक में क्रम संख्या: ताकि सक्षम को भी समझने का एक भी मौका न मिले? सांख्यिकीय रूप से, निश्चित रूप से, लेकिन जन शिक्षा "सांख्यिकी" पर केंद्रित है ...

शून्य कहाँ गया?

और फिर भी, 100 तक जोड़ने वाली संख्याओं को जोड़ना 101 देने की तुलना में मन को अधिक स्वीकार्य है ...

"स्कूल गॉस विधि" के लिए बिल्कुल इसकी आवश्यकता है: बिना सोचे समझे मोड़ोसंख्याओं की एक जोड़ी की प्रगति के केंद्र से समान दूरी पर, कोई बात नहीं क्या.

देखो तो क्या?

फिर भी, शून्य सबसे बड़ा आविष्कारमानवता, जो 2,000 वर्ष से अधिक पुरानी है। और गणित के शिक्षक उसकी उपेक्षा करते रहते हैं।

1 से शुरू होने वाली संख्याओं की श्रृंखला को 0 से शुरू होने वाली श्रृंखला में बदलना बहुत आसान है। योग नहीं बदलेगा, है ना? आपको "पाठ्यपुस्तकों में सोचना" बंद करना होगा और देखना शुरू करना होगा ...और यह देखने के लिए कि 101 के योग वाले जोड़े को पूरी तरह से योग 100 वाले जोड़े से बदला जा सकता है!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

"नियम प्लस 1" को कैसे समाप्त किया जाए?

सच कहूं तो मैंने सबसे पहले उस यूट्यूब ट्यूटर से ऐसे नियम के बारे में सुना...

जब मुझे किसी शृंखला के सदस्यों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता हो, तब भी मैं क्या करूँ?

अनुक्रम को देखते हुए:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

और जब पूरी तरह से थक जाता है, तो एक सरल पंक्ति पर:

1, 2, 3, 4, 5

और मुझे लगता है: यदि आप 5 में से एक घटाते हैं, तो आपको 4 मिलता है, लेकिन मैं बिल्कुल स्पष्ट हूं देखना 5 नंबर! इसलिए, आपको एक जोड़ने की जरूरत है! संख्या बोध विकसित हुआ प्राथमिक स्कूल, सुझाव देता है: भले ही शृंखला के सदस्यों का एक संपूर्ण Google हो (10 से सौवीं घात), पैटर्न वही रहेगा।

नियम भाड़ में जाओ?..

ताकि एक दो - तीन साल में माथे और सिर के पिछले हिस्से के बीच की सारी जगह को भर दिया जाए और सोचना बंद कर दिया जाए? रोटी और मक्खन कैसे कमाते हैं? आखिरकार, हम डिजिटल अर्थव्यवस्था के युग में समान रैंक में आगे बढ़ रहे हैं!

गॉस की स्कूल पद्धति के बारे में अधिक जानकारी: "इससे विज्ञान क्यों बनाया जाए? .."

यह व्यर्थ नहीं था कि मैंने अपने बेटे की नोटबुक से एक स्क्रीनशॉट पोस्ट किया ...

"पाठ में क्या था?"

"ठीक है, मैंने तुरंत गिना, अपना हाथ उठाया, लेकिन उसने नहीं पूछा। इसलिए, जब अन्य गिन रहे थे, मैंने रूसी में डीजेड करना शुरू कर दिया ताकि समय बर्बाद न हो। फिर, जब दूसरों ने लिखना समाप्त कर दिया (?? ?), उसने मुझे बोर्ड में बुलाया। मैंने जवाब कहा।"

"यह सही है, मुझे दिखाओ कि आपने इसे कैसे हल किया," शिक्षक ने कहा। मैंने दिखाया। उसने कहा: "गलत, जैसा मैंने दिखाया आपको गिनने की ज़रूरत है!"

"यह अच्छा है कि मैंने एक ड्यूस नहीं लगाया। और मैंने मुझे एक नोटबुक में अपने तरीके से" समाधान का पाठ्यक्रम "लिखा। इसमें से एक बड़ा विज्ञान क्यों बनाया जाए? .."

एक गणित शिक्षक का मुख्य अपराध

शायद ही बाद में वह अवसरकार्ल गॉस ने गणित के स्कूल शिक्षक के लिए सम्मान की एक उच्च भावना का अनुभव किया। लेकिन अगर वह जानता था कि कैसे उस शिक्षक के अनुयायी विधि के सार को विकृत करें... वह आक्रोश से दहाड़ते और विश्व बौद्धिक संपदा संगठन WIPO के माध्यम से, स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में अपने ईमानदार नाम के उपयोग पर प्रतिबंध लगा दिया! ..

क्या मुख्य गलतीस्कूल दृष्टिकोण? या, जैसा कि मैंने कहा, बच्चों के खिलाफ स्कूली गणित के शिक्षकों का अपराध?

गलतफहमी एल्गोरिदम

स्कूल पद्धतिविज्ञानी क्या करते हैं, जिनमें से अधिकांश को नहीं पता कि कैसे सोचना है?

तरीके और एल्गोरिदम बनाएं (देखें)। यह एक रक्षात्मक प्रतिक्रिया जो शिक्षकों को आलोचना से बचाती है ("सब कुछ के अनुसार किया जाता है ..."), और बच्चों को समझ से। और इस प्रकार - शिक्षकों की आलोचना करने की इच्छा से!(नौकरशाही का दूसरा व्युत्पन्न "ज्ञान", समस्या के लिए एक वैज्ञानिक दृष्टिकोण)। एक व्यक्ति जो अर्थ को नहीं समझता है, वह अपनी गलतफहमी को दोष देगा, न कि स्कूल प्रणाली की मूर्खता को।

क्या हो रहा है: माता-पिता बच्चों को दोष देते हैं, और शिक्षक ... उन बच्चों के लिए जो "गणित नहीं समझते हैं! ..

क्या आप जानकार हैं?

छोटे कार्ल ने क्या किया?

बिल्कुल अपरंपरागत रूप से एक टेम्पलेट कार्य से संपर्क किया. यह उनके दृष्टिकोण की सर्वोत्कृष्टता है। यह मुख्य बात जो स्कूल में सिखाई जानी चाहिए, वह है पाठ्यपुस्तकों से नहीं, बल्कि अपने दिमाग से सोचना. बेशक, एक वाद्य घटक भी है जिसका उपयोग किया जा सकता है ... की खोज में सरल और प्रभावी तरीकेहिसाब किताब.

विलेंकिन के अनुसार गॉस विधि

स्कूल में वे पढ़ाते हैं कि गॉस विधि है

क्या, यदि पंक्ति में तत्वों की संख्या विषम है, जैसा कि उस कार्य में जो पुत्र को सौंपा गया था? ..

"चाल" यह है कि इस मामले में आपको श्रृंखला की "अतिरिक्त" संख्या मिलनी चाहिएऔर इसे जोड़ियों के योग में जोड़ें। हमारे उदाहरण में, यह संख्या 260 . है.

कैसे पता करें? एक नोटबुक में संख्याओं के सभी युग्मों को फिर से लिखना!(इसीलिए शिक्षक ने गॉसियन पद्धति का उपयोग करके "रचनात्मकता" सिखाने की कोशिश करते हुए बच्चों को यह बेवकूफी भरा काम कराया ... और इसलिए ऐसी "विधि" बड़ी डेटा श्रृंखला के लिए व्यावहारिक रूप से अनुपयुक्त है, और इसलिए यह गॉसियन नहीं है तरीका)।

स्कूल की दिनचर्या में थोड़ी रचनात्मकता...

बेटे ने अलग तरह से अभिनय किया।

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

आसान, है ना?

लेकिन व्यवहार में यह और भी आसान हो जाता है, जो आपको रूसी में रिमोट सेंसिंग के लिए 2-3 मिनट निकालने की अनुमति देता है, जबकि बाकी "गिनती" हैं। इसके अलावा, यह कार्यप्रणाली के चरणों की संख्या को बरकरार रखता है: 5, जो अवैज्ञानिक होने के दृष्टिकोण की आलोचना करने की अनुमति नहीं देता है।

जाहिर है यह तरीका विधि की शैली में सरल, तेज और अधिक बहुमुखी है। लेकिन... शिक्षक ने न केवल प्रशंसा की, बल्कि मुझे इसे "सही तरीके से" फिर से लिखने के लिए भी मजबूर किया (स्क्रीनशॉट देखें)। यानी उसने रचनात्मक आवेग और गणित को समझने की क्षमता को शुरुआती दौर में ही दबाने का एक बेताब प्रयास किया! जाहिर है, बाद में एक ट्यूटर के रूप में काम पर रखने के लिए ... उसने गलत पर हमला किया ...

जो कुछ मैंने इतने लंबे और थकाऊ तरीके से वर्णित किया है वह एक सामान्य बच्चे को अधिकतम आधे घंटे में समझाया जा सकता है। उदाहरणों के साथ-साथ।

और ताकि वह इसे कभी न भूलें।

और यह होगा समझ की ओर कदम... सिर्फ गणित नहीं।

इसे स्वीकार करें: आपने अपने जीवन में कितनी बार गॉस पद्धति का उपयोग करके जोड़ा है? और मैं कभी नहीं!

परंतु समझने की प्रवृत्ति, जो सीखने की प्रक्रिया में विकसित (या बुझती) है गणितीय तरीकेस्कूल में ... ओह! .. यह वास्तव में एक अपूरणीय चीज है!

विशेष रूप से सार्वभौमिक डिजिटलीकरण के युग में, जिसमें हमने चुपचाप पार्टी और सरकार के सख्त मार्गदर्शन में प्रवेश किया।

शिक्षकों के बचाव में कुछ शब्द...

इस शैली के शिक्षण की सारी जिम्मेदारी केवल स्कूली शिक्षकों पर थोपना अनुचित और गलत है। सिस्टम काम कर रहा है।

कुछशिक्षक क्या हो रहा है की बेरुखी को समझते हैं, लेकिन क्या करें? शिक्षा पर कानून, संघीय राज्य शैक्षिक मानक, तरीके, तकनीकी मानचित्रपाठ ... सब कुछ "के अनुसार और उसके आधार पर" किया जाना चाहिए और सब कुछ प्रलेखित होना चाहिए। एक तरफ कदम - बर्खास्तगी के लिए लाइन में खड़ा था। चलो पाखंडी मत बनो: मास्को शिक्षकों का वेतन बहुत अच्छा है ... अगर उन्हें निकाल दिया जाता है, तो उन्हें कहाँ जाना चाहिए?..

इसलिए यह साइट शिक्षा के बारे में नहीं. वह के बारे में है व्यक्तिगत शिक्षाभीड़ से निकलने का एक ही रास्ता है जनरेशन Z ...