डीएसवी एक्स वितरण कानून द्वारा दिया गया है। असतत यादृच्छिक चर

"यादृच्छिक चर" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण।

एक कार्य 1 . लॉटरी में 100 टिकट जारी किए गए हैं। 50 USD की एक जीत खेली गई। और $10 प्रत्येक की दस जीत। मूल्य X के वितरण के नियम का पता लगाएं - एक संभावित लाभ की लागत।

समाधान। X के संभावित मान: x 1 = 0; एक्स 2 = 10 और x 3 = 50. चूँकि 89 “खाली” टिकट हैं, तो p 1 = 0.89, जीतने की संभावना 10 घन मीटर है। (10 टिकट) - पी 2 = 0.10 और 50 c.u की जीत के लिए। -पी 3 = 0.01. इस तरह:

	0,89	0,10	0,01

नियंत्रित करने में आसान:।

एक कार्य 2. इस बात की प्रायिकता कि खरीदार ने उत्पाद के विज्ञापन से खुद को पहले ही परिचित कर लिया है, 0.6 (p = 0.6) है। विज्ञापन का चयनात्मक गुणवत्ता नियंत्रण मतदान खरीदारों द्वारा पहले विज्ञापन का अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति द्वारा किया जाता है। साक्षात्कार किए गए खरीदारों की संख्या के वितरण की एक श्रृंखला बनाएं।

समाधान। समस्या की स्थिति के अनुसार p = 0.6। से: क्यू = 1 -पी = 0.4। इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:और एक वितरण श्रृंखला का निर्माण करें:

अनुकरणीय		0,24

एक कार्य 3. एक कंप्यूटर में तीन स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तत्व होते हैं: एक सिस्टम यूनिट, एक मॉनिटर और एक कीबोर्ड। वोल्टेज में एक तेज वृद्धि के साथ, प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना 0.1 है। बर्नौली वितरण के आधार पर, नेटवर्क में बिजली उछाल के दौरान विफल तत्वों की संख्या के लिए वितरण कानून तैयार करें।

समाधान। विचार करना बर्नौली वितरण(या द्विपद): प्रायिकता कि inएन परीक्षण, घटना ए बिल्कुल दिखाई देगाक एक बार: , या:

	क्यू एन					पी एन

पर आइए कार्य पर वापस जाएं।

X के संभावित मान (विफलताओं की संख्या):

x 0 =0 - कोई भी तत्व विफल नहीं हुआ;

x 1 = 1 - एक तत्व की विफलता;

x 2 =2 - दो तत्वों की विफलता;

x 3 =3 - सभी तत्वों की विफलता।

चूँकि, शर्त के अनुसार, p = 0.1, तो q = 1 - p = 0.9। बर्नौली सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

, ,

, .

नियंत्रण: ।

इसलिए, वांछित वितरण कानून:

	0,729	0,243	0,027	0,001

टास्क 4. 5000 राउंड का उत्पादन किया। एक कारतूस के खराब होने की प्रायिकता . इसकी क्या प्रायिकता है कि पूरे बैच में ठीक 3 दोषपूर्ण कार्ट्रिज होंगे?

समाधान। उपयुक्त पॉसों वितरण: इस वितरण का उपयोग इस संभावना को निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि, बहुत बड़ा दिया गया है

परीक्षणों की संख्या (बड़े पैमाने पर परीक्षण), जिनमें से प्रत्येक में घटना ए की संभावना बहुत कम है, घटना ए k बार घटित होगी: , कहाँ पे ।

यहाँ n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3. हम पाते हैं , फिर वांछित संभावना: .

टास्क 5. पहली हिट से पहले फायरिंग करते समय p . मारने की संभावना के साथ एक शॉट के लिए = 0.6, आपको तीसरे शॉट पर हिट होने की प्रायिकता ज्ञात करनी होगी।

समाधान। आइए हम ज्यामितीय वितरण लागू करें: चलो स्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p (और गैर-घटना q = 1 - p) है। घटना A के घटित होते ही परीक्षण समाप्त हो जाते हैं।

ऐसी स्थितियों में, kth परीक्षण पर घटना A के घटित होने की प्रायिकता सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: . यहां पी = 0.6; क्यू \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; के \u003d 3. इसलिए, .

टास्क 6. मान लीजिए एक यादृच्छिक चर X के वितरण का नियम दिया गया है:

पाना अपेक्षित मूल्य.

समाधान। .

ध्यान दें कि गणितीय अपेक्षा का संभाव्य अर्थ यादृच्छिक चर का औसत मान है।

टास्क 7. निम्नलिखित वितरण नियम के साथ एक यादृच्छिक चर X का प्रसरण ज्ञात कीजिए:

समाधान। यहां .

X . के वर्ग के वितरण का नियम 2 :

एक्स 2

आवश्यक विचरण: .

फैलाव एक यादृच्छिक चर के विचलन (बिखरने) की डिग्री को उसकी गणितीय अपेक्षा से दर्शाता है।

टास्क 8. होने देना यादृच्छिक मूल्यवितरण द्वारा दिया गया:

			10मी

उसे ढूँढो संख्यात्मक विशेषताएं.

हल: एम, एम 2 ,

एम 2 , एम।

एक यादृच्छिक चर X के बारे में, कोई भी कह सकता है - इसकी गणितीय अपेक्षा 6.4 m है जिसमें 13.04 m . का विचरण है 2 , या - इसकी गणितीय अपेक्षा m के विचलन के साथ 6.4 m है। दूसरा सूत्रीकरण स्पष्ट रूप से स्पष्ट है।

एक कार्य 9. यादृच्छिक मूल्यएक्स वितरण समारोह द्वारा दिया गया:
.

इस संभावना का पता लगाएं कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, मान X अंतराल में निहित मान पर ले जाएगा .

समाधान। किसी दिए गए अंतराल से X के मान लेने की प्रायिकता इस अंतराल में समाकलन फलन की वृद्धि के बराबर है, अर्थात। . हमारे मामले में और इसलिए

.

एक कार्य 10. असतत यादृच्छिक चरएक्स वितरण कानून द्वारा दिया गया:

वितरण समारोह खोजेंएफ (एक्स ) और इसका ग्राफ बनाएं।

समाधान। इसलिये वितरण समारोह,

के लिये , फिर

पर ;

पर ;

पर ;

पर ;

प्रासंगिक चार्ट:

टास्क 11.सतत यादृच्छिक चरएक्स अंतर वितरण समारोह द्वारा दिया गया: .

टकराने की प्रायिकता ज्ञात कीजिएएक्स टू इंटरवल

समाधान। ध्यान दें कि यह घातीय वितरण कानून का एक विशेष मामला है।

आइए सूत्र का उपयोग करें: .

एक कार्य 12. वितरण कानून द्वारा दिए गए असतत यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं:

	–5
	एक्स 2 : x2 . , कहाँ पे लाप्लास फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन के मान तालिका का उपयोग करके पाए जाते हैं। हमारे मामले में: । तालिका के अनुसार हम पाते हैं:, इसलिए:

अनियमित चरएक चर कहा जाता है, जो प्रत्येक परीक्षण के परिणामस्वरूप यादृच्छिक कारणों के आधार पर एक पूर्व अज्ञात मान लेता है। यादृच्छिक चर को बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है लैटिन अक्षरों के साथ: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ यादृच्छिक चर हो सकते हैं अलगतथा निरंतर.

असतत यादृच्छिक चर- यह एक ऐसा यादृच्छिक चर है, जिसके मान गणनीय से अधिक नहीं हो सकते, अर्थात् परिमित या गणनीय। गणनीयता का अर्थ है कि एक यादृच्छिक चर के मूल्यों की गणना की जा सकती है।

उदाहरण 1 . आइए असतत यादृच्छिक चर के उदाहरण दें:

ए) $n$ शॉट्स के साथ लक्ष्य पर हिट की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं।

बी) एक सिक्का उछालते समय गिरने वाले हथियारों के कोटों की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं।

ग) जहाज पर आने वाले जहाजों की संख्या (मानों का एक गणनीय सेट)।

डी) एक्सचेंज में आने वाली कॉलों की संख्या (मूल्यों का एक गणनीय सेट)।

1. एक असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का नियम।

एक असतत यादृच्छिक चर $X$ मान ले सकता है $x_1,\dots ,\ x_n$ संभावनाओं के साथ $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$। इन मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच के पत्राचार को कहा जाता है असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम. एक नियम के रूप में, यह पत्राचार एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है, जिसकी पहली पंक्ति में $x_1,\dots ,\ x_n$ के मान इंगित किए जाते हैं, और दूसरी पंक्ति में इन मानों के अनुरूप संभावनाएं $ होती हैं। p_1,\डॉट्स,\ p_n$.

$\शुरू(सरणी)(|सी|सी|)
\hline
X_i और x_1 और x_2 और \डॉट्स और x_n \\
\hline
p_i और p_1 और p_2 और \डॉट्स और p_n \\
\hline
\end(सरणी)$

उदाहरण 2 . मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ एक पासे को लुढ़कने पर लुढ़के हुए अंकों की संख्या है। ऐसा यादृच्छिक चर $X$ ले सकता है निम्नलिखित मान$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$। इन सभी मानों की प्रायिकता $1/6$ के बराबर है। फिर यादृच्छिक चर $X$ के लिए संभाव्यता वितरण कानून:

$\शुरू(सरणी)(|सी|सी|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(सरणी)$

टिप्पणी. चूंकि असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण कानून में घटनाएं $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ रूप पूरा समूहघटनाओं, तो संभावनाओं का योग एक के बराबर होना चाहिए, यानी $\sum(p_i)=1$।

2. असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा।

यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाइसका "केंद्रीय" मान निर्दिष्ट करता है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की गणना मूल्यों के उत्पादों के योग के रूप में की जाती है $x_1,\dots ,\ x_n$ और संभावनाएं $p_1,\dots ,\ p_n$ इन मानों के अनुरूप, अर्थात: $M\बाएं(X\दाएं)=\योग ^n_(i=1)(p_ix_i)$. अंग्रेजी साहित्य में, एक और संकेतन $E\left(X\right)$ प्रयोग किया जाता है।

उम्मीद गुण$एम\बाएं(एक्स\दाएं)$:

1. $M\left(X\right)$ सबसे छोटे और . के बीच है उच्चतम मूल्ययादृच्छिक चर $X$।
2. एक स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है, अर्थात्। $ एम \ बाएं (सी \ दाएं) = सी $।
3. निरंतर कारक को उम्मीद के संकेत से बाहर निकाला जा सकता है: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$।
4. यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: $M\बाएं(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$।
5. स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$।

उदाहरण 3 . आइए यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं, उदाहरण के लिए $2$।

$$M\बाएं(X\दाएं)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\ओवर (6))=3.5.$$

हम देख सकते हैं कि $M\left(X\right)$ यादृच्छिक चर $X$ के सबसे छोटे ($1$) और सबसे बड़े ($6$) मानों के बीच है।

उदाहरण 4 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3X+5$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करके, हमें मिलता है $M\बाएं(3X+5\दाएं)=M\बाएं(3X\दाएं)+M\बाएं(5\दाएं)=3M\बाएं(X\दाएं)+5=3\ सीडीओटी 2 +5=11$।

उदाहरण 5 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=4$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $2X-9$ की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हमें $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ मिलता है सीडीओटी 4 -9=-1$।

3. एक असतत यादृच्छिक चर का फैलाव।

समान गणितीय अपेक्षाओं वाले यादृच्छिक चर के संभावित मान उनके औसत मूल्यों के आसपास अलग-अलग तरीके से बिखर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दो छात्र समूहों में जीपीएपरीक्षा के लिए संभाव्यता सिद्धांत 4 के बराबर निकला, लेकिन एक समूह में सभी अच्छे छात्र निकले, और दूसरे समूह में - केवल तीन और उत्कृष्ट छात्र। इसलिए, एक यादृच्छिक चर की एक ऐसी संख्यात्मक विशेषता की आवश्यकता होती है, जो एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के प्रसार को उसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास दिखाए। यह विशेषता फैलाव है।

असतत यादृच्छिक चर का फैलाव$X$ है:

$$D\बाएं(X\दाएं)=\sum^n_(i=1)(p_i(\बाएं(x_i-M\बाएं(X\दाएं)\दाएं))^2)।\ $$

अंग्रेजी साहित्य में, नोटेशन $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ प्रयोग किया जाता है। बहुत बार विचरण $D\left(X\right)$ की गणना सूत्र $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) द्वारा की जाती है बाएं (एक्स \ दाएं) \ दाएं) ^ 2 $।

फैलाव गुण$D\बाएं(X\दाएं)$:

1. फैलाव हमेशा शून्य से अधिक या उसके बराबर होता है, अर्थात। $D\बाएं(X\दाएं)\ge 0$.
2. एक स्थिरांक से परिक्षेपण शून्य के बराबर होता है, अर्थात्। $डी\बाएं(सी\दाएं)=0$.
3. अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से निकाला जा सकता है, बशर्ते कि वह वर्ग हो, अर्थात्। $ डी \ बाएं (सीएक्स \ दाएं) = सी ^ 2 डी \ बाएं (एक्स \ दाएं) $।
4. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात्। $ डी \ बाएं (एक्स + वाई \ दाएं) = डी \ बाएं (एक्स \ दाएं) + डी \ बाएं (वाई \ दाएं) $।
5. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के अंतर का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात। $ डी \ बाएं (एक्स-वाई \ दाएं) = डी \ बाएं (एक्स \ दाएं) + डी \ बाएं (वाई \ दाएं) $।

उदाहरण 6 . आइए हम यादृच्छिक चर $X$ के विचरण की गणना उदाहरण $2$ से करें।

$$D\बाएं(X\दाएं)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\बाएं(1-3,5\दाएं))^2+((1)\over (6))\cdot (\बाएं(2-3,5\दाएं))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\बाएं(6-3,5\दाएं))^2=((35)\over (12))\लगभग 2.92.$$

उदाहरण 7 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ का विचरण $D\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $4X+1$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ बाएँ(X\दाएं)=16\cdot 2=32$.

उदाहरण 8 . यह ज्ञात है कि $X$ का विचरण $D\left(X\right)=3$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3-2X$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ बाएँ(X\दाएँ)=4\cdot 3=12$।

4. एक असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्य।

वितरण श्रृंखला के रूप में एक असतत यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने की विधि केवल एक ही नहीं है, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह सार्वभौमिक नहीं है, क्योंकि वितरण श्रृंखला का उपयोग करके एक सतत यादृच्छिक चर निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है। एक यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका है - वितरण फ़ंक्शन।

वितरण समारोहयादृच्छिक चर $X$ एक फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ है, जो इस संभावना को निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर $X$ कुछ निश्चित मान $x$ से कम मान लेता है, अर्थात $F\left(x\ दाएं)$)=पी\बाएं(एक्स< x\right)$

वितरण समारोह गुण:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. संभावना है कि यादृच्छिक चर $X$ अंतराल से मान लेता है $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ इस अंतराल के अंत में वितरण फ़ंक्शन के मानों के बीच अंतर के बराबर है : $P\बाएं(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\बाएं(x\दाएं)$ - गैर-घटता।
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \दाएं)=1\ )$।

उदाहरण 9 . आइए, उदाहरण के लिए $2$ से असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण कानून के लिए वितरण फ़ंक्शन $F\बाएं(x\दाएं)$ खोजें।

$\शुरू(सरणी)(|सी|सी|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(सरणी)$

यदि $x\le 1$, तो स्पष्ट रूप से $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X सहित)< 1\right)=0$).

अगर $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

अगर $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

अगर $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

अगर $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

अगर $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

अगर $x > 6$ तो $F\बाएं(x\दाएं)=P\बाएं(X=1\दाएं)+P\बाएं(X=2\दाएं)+P\बाएं(X=3\दाएं) + पी\बाएं(एक्स=4\दाएं)+पी\बाएं(एक्स=5\दाएं)+पी\बाएं(एक्स=6\दाएं)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$।

तो $F(x)=\left\(\ start(matrix)
0,\ पर\ x\le 1,\\
1/6, \ 1 . पर< x\le 2,\\
1/3,\ पर\ 2< x\le 3,\\
1/2, पर \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ पर\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ पर \ 4< x\le 5,\\
1,\ \ x > 6 के लिए
\end(मैट्रिक्स)\दाएं।$

जैसा कि ज्ञात है, अनियमित चर बुलाया चर, जो मामले के आधार पर कुछ मूल्यों को ग्रहण कर सकता है। यादृच्छिक चर निरूपित करते हैं बड़े अक्षरलैटिन वर्णमाला (एक्स, वाई, जेड), और उनके मान संबंधित लोअरकेस अक्षरों (एक्स, वाई, जेड) में हैं। यादृच्छिक चर को असंतत (असतत) और निरंतर में विभाजित किया गया है।

असतत यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर है जो कुछ गैर-शून्य संभावनाओं वाले मानों का केवल एक परिमित या अनंत (गणनीय) सेट लेता है।

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक फ़ंक्शन है जो एक यादृच्छिक चर के मूल्यों को उनकी संबंधित संभावनाओं से जोड़ता है। वितरण कानून को निम्नलिखित तरीकों में से एक में निर्दिष्ट किया जा सकता है।

1 . वितरण कानून तालिका द्वारा दिया जा सकता है:

जहाँ >0, k = 0, 1, 2,… .

में)का उपयोग करके वितरण फलन F(x) , जो प्रत्येक मान x के लिए प्रायिकता निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर X, x से कम मान लेता है, अर्थात। एफ(एक्स) = पी(एक्स< x).

फलन के गुण F(x)

3 . वितरण कानून को ग्राफिक रूप से सेट किया जा सकता है - वितरण बहुभुज (बहुभुज) (समस्या 3 देखें)।

ध्यान दें कि कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, वितरण कानून को जानना आवश्यक नहीं है। कुछ मामलों में, एक या अधिक संख्याओं को जानना पर्याप्त होता है जो वितरण कानून की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं को दर्शाते हैं। यह एक संख्या हो सकती है जिसका एक यादृच्छिक चर के "औसत मूल्य" का अर्थ है, या एक संख्या जो अपने औसत मूल्य से यादृच्छिक चर के विचलन का औसत आकार दिखाती है। इस प्रकार की संख्याओं को यादृच्छिक चर के संख्यात्मक अभिलक्षण कहते हैं।

असतत यादृच्छिक चर की मूल संख्यात्मक विशेषताएं :

• गणितीय अपेक्षा असतत यादृच्छिक चर का (माध्य मान) एम(एक्स)=Σ एक्स आई पी आई.
  के लिये द्विपद वितरणएम (एक्स) = एनपी, पॉइसन वितरण के लिए एम (एक्स) = λ
• फैलाव असतत यादृच्छिक चर डी (एक्स) = एम 2या डी (एक्स) = एम (एक्स 2) - 2. अंतर X-M(X) को एक यादृच्छिक चर का उसकी गणितीय अपेक्षा से विचलन कहा जाता है।
  द्विपद बंटन के लिए D(X)=npq, पॉइसन बंटन के लिए D(X)=λ
• मानक विचलन (मानक विचलन) (एक्स)=√डी(एक्स).

"असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

कार्य 1।

जारी किया गया 1000 लॉटरी टिकट: उनमें से 5 को 500 रूबल की राशि में जीत मिलती है, 10 - 100 रूबल की जीत, 20 - 50 रूबल की जीत, 50 - 10 रूबल की जीत। यादृच्छिक चर X - प्रति टिकट जीत के प्रायिकता वितरण के नियम का निर्धारण करें।

समाधान। समस्या की स्थिति के अनुसार, यादृच्छिक चर X के निम्नलिखित मान संभव हैं: 0, 10, 50, 100 और 500।

बिना जीते टिकटों की संख्या 1000 - (5+10+20+50) = 915 है, फिर P(X=0) = 915/1000 = 0.915।

इसी तरह, हम अन्य सभी संभावनाएं पाते हैं: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005। हम परिणामी कानून को एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करते हैं:

X की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

कार्य 3.

डिवाइस में तीन स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तत्व होते हैं। एक प्रयोग में प्रत्येक तत्व के विफल होने की प्रायिकता 0.1 है। एक प्रयोग में असफल तत्वों की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं, एक वितरण बहुभुज बनाएं। वितरण फलन F(x) ज्ञात कीजिए और इसे आलेखित कीजिए। एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

समाधान। 1. असतत यादृच्छिक चर X=(एक प्रयोग में विफल तत्वों की संख्या) के निम्नलिखित संभावित मान हैं: x 1 =0 (डिवाइस का कोई भी तत्व विफल नहीं हुआ), x 2 =1 (एक तत्व विफल), x 3 =2 ( दो तत्व विफल ) और x 4 \u003d 3 (तीन तत्व विफल)।

तत्वों की विफलताएं एक दूसरे से स्वतंत्र होती हैं, प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावनाएं एक दूसरे के बराबर होती हैं, इसलिए यह लागू होता है बर्नौली का सूत्र . यह देखते हुए कि, शर्त के अनुसार, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, हम मानों की प्रायिकता निर्धारित करते हैं:
पी 3 (0) \u003d सी 3 0 पी 0 क्यू 3-0 \u003d क्यू 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
पी 3 (1) \u003d सी 3 1 पी 1 क्यू 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
पी 3 (2) \u003d सी 3 2 पी 2 क्यू 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
पी 3 (3) \u003d सी 3 3 पी 3 क्यू 3-3 \u003d पी 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
जाँच करें: p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

इस प्रकार, वांछित द्विपद नियमवितरण X का रूप है:

एब्सिस्सा अक्ष पर, हम संभावित मानों को प्लॉट करते हैं x i, और कोऑर्डिनेट अक्ष पर, संबंधित संभावनाएं р i । आइए अंक एम 1 (0; 0.729), एम 2 (1; 0.243), एम 3 (2; 0.027), एम 4 (3; 0.001) बनाएं। इन बिंदुओं को रेखाखंडों से जोड़ने पर हमें वांछित बंटन बहुभुज प्राप्त होता है।

3. वितरण फलन ज्ञात कीजिए F(x) = P(X

x 0 के लिए हमारे पास F(x) = P(X .) है<0) = 0;
0 . के लिए< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 के लिए< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 के लिए< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 के लिए यह F(x) = 1 होगा, क्योंकि घटना निश्चित है।

फलन का ग्राफ F(x)

4. द्विपद बंटन X के लिए:
- गणितीय अपेक्षा М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- फैलाव डी (एक्स) = एनपीक्यू = 3 * 0.1 * 0.9 = 0.27;
- औसत मानक विचलन(X) = D(X) = √0.27 ≈ 0.52।

परिभाषा 2.3. X द्वारा निरूपित एक यादृच्छिक चर को असतत कहा जाता है यदि यह मानों का एक परिमित या गणनीय सेट लेता है, अर्थात। समुच्चय एक परिमित या गणनीय समुच्चय है।

असतत यादृच्छिक चर के उदाहरणों पर विचार करें।

1. दो सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। इस प्रयोग में हथियारों के कोट की संख्या एक यादृच्छिक चर है एक्स. इसके संभावित मान 0,1,2, यानी हैं। एक परिमित सेट है।

2. एक निश्चित अवधि के दौरान एम्बुलेंस कॉल की संख्या दर्ज की जाती है। यादृच्छिक मूल्य एक्स- कॉल की संख्या। इसके संभावित मान 0, 1, 2, 3, ..., अर्थात हैं। =(0,1,2,3,...) एक गणनीय समुच्चय है।

3. समूह में 25 छात्र हैं। किसी दिन कक्षाओं में आने वाले छात्रों की संख्या दर्ज की जाती है - एक यादृच्छिक चर एक्स. इसके संभावित मान हैं: 0, 1, 2, 3, ..., 25 यानी। =(0, 1, 2, 3, ..., 25)।

हालांकि उदाहरण 3 में सभी 25 लोग कक्षाएं मिस नहीं कर सकते हैं, लेकिन यादृच्छिक चर एक्सयह मान ले सकते हैं। इसका मतलब है कि एक यादृच्छिक चर के मूल्यों की अलग-अलग संभावनाएं होती हैं।

असतत यादृच्छिक चर के गणितीय मॉडल पर विचार करें।

मान लीजिए कि एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है, जो प्राथमिक घटनाओं के परिमित या गणनीय स्थान से मेल खाता है। आइए हम वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर इस स्थान के मानचित्रण पर विचार करें, अर्थात, हम प्रत्येक प्रारंभिक घटना को किसी वास्तविक संख्या के साथ जोड़ते हैं। इस स्थिति में संख्याओं का समुच्चय परिमित या गणनीय हो सकता है, अर्थात्। या

उपसमुच्चयों की प्रणाली, जिसमें एक-बिंदु उपसमुच्चय सहित कोई भी उपसमुच्चय शामिल है, एक संख्यात्मक समुच्चय का -बीजगणित बनाता है (- अंतिम रूप से या गणनीय रूप से)।

चूँकि कोई भी प्रारंभिक घटना कुछ प्रायिकताओं से जुड़ी होती है पी मैं(परिमित सभी के मामले में), और, फिर हम यादृच्छिक चर के प्रत्येक मान के लिए एक निश्चित संभावना निर्दिष्ट कर सकते हैं पी मैं, ऐसा है कि ।

होने देना एक्सएक मनमाना वास्तविक संख्या है। निरूपित आर एक्स (एक्स)संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सके बराबर मान लिया एक्स, अर्थात। पी एक्स (एक्स) \u003d पी (एक्स \u003d एक्स). फिर समारोह आर एक्स (एक्स)केवल उन मूल्यों के लिए सकारात्मक मान ले सकते हैं एक्स, जो एक परिमित या गणनीय समुच्चय से संबंधित है , और अन्य सभी मानों के लिए, इस मान की प्रायिकता पी एक्स (एक्स) = 0।

इसलिए, हमने मूल्यों के सेट को परिभाषित किया है, -बीजगणित किसी भी सबसेट की प्रणाली के रूप में और प्रत्येक घटना के लिए ( एक्स = एक्स) संभावना की तुलना किसी के लिए, अर्थात्। एक संभाव्यता स्थान बनाया।

उदाहरण के लिए, एक सममित सिक्के को दो बार उछालने वाले प्रयोग की प्रारंभिक घटनाओं के स्थान में चार प्राथमिक घटनाएं होती हैं: , जहां

जब एक सिक्के को दो बार उछाला गया, तो दो जाली निकलीं; जब एक सिक्का दो बार उछाला गया, तो हथियारों के दो कोट बाहर गिर गए;

एक सिक्के के पहले उछाल पर, एक जाली गिरी और दूसरी ओर, हथियारों का एक कोट;

एक सिक्के के पहले उछाल पर, हथियारों का कोट बाहर गिर गया, और दूसरे पर, जाली।

यादृच्छिक चर होने दें एक्सजाली छोड़ने वालों की संख्या है। इसे परिभाषित किया गया है और इसके मूल्यों का सेट . सभी संभावित उपसमुच्चय , एक-बिंदु वाले सहित, रूप - एक बीजगणित, अर्थात। =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2))।

किसी घटना की प्रायिकता ( एक्स = एक्स आई}, і = 1,2,3 , हम इसे किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता के रूप में परिभाषित करते हैं जो इसका प्रोटोटाइप है:

इस प्रकार, प्रारंभिक घटनाओं पर ( एक्स = एक्स आई) एक संख्यात्मक फ़ंक्शन सेट करें आर एक्स, इसलिए .

परिभाषा 2.4. असतत यादृच्छिक चर का वितरण कानून संख्याओं के जोड़े (x i, p i) का एक सेट है, जहां x i यादृच्छिक चर के संभावित मान हैं, और p i वे संभावनाएं हैं जिनके साथ यह इन मानों को लेता है, और।

असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप एक तालिका है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं को सूचीबद्ध करती है:

			…		…
			…		…

ऐसी तालिका को वितरण श्रृंखला कहते हैं। वितरण श्रृंखला को और अधिक दृश्य बनाने के लिए, इसे रेखांकन द्वारा दर्शाया गया है: अक्ष पर ओहबिंदु डालें एक्स मैंऔर उनसे लंबाई के लंब खींचे पी मैं. परिणामी बिंदु जुड़े हुए हैं और एक बहुभुज प्राप्त होता है, जो वितरण कानून के रूपों में से एक है (चित्र। 2.1)।

इस प्रकार, एक असतत यादृच्छिक चर सेट करने के लिए, आपको इसके मान और संबंधित संभावनाओं को सेट करने की आवश्यकता है।

उदाहरण 2.2.हर बार एक सिक्का गिराए जाने की संभावना के साथ मशीन का नकद स्वीकर्ता चालू हो जाता है आर. एक बार यह काम करने के बाद, सिक्के कम नहीं होते हैं। होने देना एक्स- मशीन के नकद स्वीकर्ता के चालू होने से पहले कम किए जाने वाले सिक्कों की संख्या। एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण की एक श्रृंखला का निर्माण करें एक्स.

समाधान।यादृच्छिक चर के संभावित मान एक्स: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x k \u003d k, ...आइए इन मानों की प्रायिकता ज्ञात करें: पी 1क्या संभावना है कि कैश ड्रॉअर पहले डिसेंट पर काम करेगा, और पी 1 = पी; पी 2 -संभावना है कि दो प्रयास किए जाएंगे। ऐसा करने के लिए, यह आवश्यक है कि: 1) पहले प्रयास में, धन प्राप्तकर्ता काम नहीं करता है; 2) दूसरे प्रयास में - इसने काम किया। इस घटना की संभावना है (1-आर) आर. उसी प्रकार और इसी तरह, . वितरण रेंज एक्सरूप लेगा

	1	2	3	…	प्रति	…
	आर	क्यूपी	क्यू 2 पी		क्यू आर -1 पी

ध्यान दें कि संभावनाएं आर टूहर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाएँ: 1-पी = क्यू, क्यू<1, इसलिए इस प्रायिकता बंटन को कहा जाता है ज्यामितिक.

आइए हम आगे मान लें कि एक गणितीय मॉडल का निर्माण किया गया है असतत यादृच्छिक चर द्वारा वर्णित प्रयोग एक्स, और मनमानी घटनाओं के घटित होने की संभावनाओं की गणना पर विचार करें।

मान लीजिए कि एक मनमाना घटना में मूल्यों का एक परिमित या गणनीय सेट होता है एक्स मैं: ए = {एक्स 1 , एक्स 2 ,..., एक्स आई , ...) ।आयोजन लेकिनफॉर्म की असंगत घटनाओं के संघ के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:। फिर, कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्ध 3 . को लागू करना , हम पाते हैं

चूँकि हमने घटनाओं के घटित होने की प्रायिकताओं को घटनाओं के घटित होने की प्रायिकताओं के बराबर निर्धारित किया है जो उनके प्रोटोटाइप हैं। इसका मतलब है कि किसी भी घटना की संभावना , , सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है, क्योंकि इस घटना को घटनाओं के संघ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां .

फिर वितरण समारोह एफ(х) = Р(-<Х<х) सूत्र के अनुसार पाया जाता है। यह इस प्रकार है कि एक असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्य एक्सअसंतत है और छलांग में वृद्धि करता है, अर्थात यह एक चरण फलन है (चित्र 2.2):

यदि समुच्चय परिमित है, तो सूत्र में पदों की संख्या परिमित है; यदि यह गणनीय है, तो पदों की संख्या भी गणनीय है।

उदाहरण 2.3।तकनीकी उपकरण में दो तत्व होते हैं जो एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करते हैं। समय T में पहले तत्व के विफल होने की प्रायिकता 0.2 है और दूसरे तत्व के विफल होने की प्रायिकता 0.1 है। यादृच्छिक मूल्य एक्स- समय टी में विफल तत्वों की संख्या। एक यादृच्छिक चर के वितरण समारोह का पता लगाएं और इसका ग्राफ बनाएं।

समाधान।प्रयोग की प्रारंभिक घटनाओं का स्थान, जिसमें एक तकनीकी उपकरण के दो तत्वों की विश्वसनीयता का अध्ययन होता है, चार प्राथमिक घटनाओं द्वारा निर्धारित किया जाता है, , , : - दोनों तत्व अच्छे क्रम में हैं; - पहला तत्व सेवा योग्य है, दूसरा दोषपूर्ण है; - पहला तत्व दोषपूर्ण है, दूसरा सेवा योग्य है; - दोनों तत्व दोषपूर्ण हैं। प्रत्येक प्रारंभिक घटना को रिक्त स्थान की प्राथमिक घटनाओं के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है तथा , जहां - पहला तत्व सेवा योग्य है; - पहला तत्व क्रम से बाहर है; - दूसरा तत्व सेवा योग्य है; - दूसरा तत्व क्रम से बाहर है। तब , और चूंकि तकनीकी उपकरण के तत्व एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करते हैं, तब

8. क्या प्रायिकता है कि असतत यादृच्छिक चर के मान अंतराल से संबंधित हैं?

असतत यादृच्छिकवेरिएबल को रैंडम वेरिएबल कहा जाता है जो केवल वे मान लेते हैं जो एक दूसरे से दूर होते हैं, जिन्हें पहले से एन्यूमरेट किया जा सकता है।
वितरण कानून
एक यादृच्छिक चर का वितरण कानून एक ऐसा संबंध है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है।
असतत यादृच्छिक चर की वितरण सीमा इसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं की एक सूची है।
असतत यादृच्छिक चर के वितरण कार्य को फ़ंक्शन कहा जाता है:
,
जो तर्क x के प्रत्येक मान के लिए प्रायिकता निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर X इस x से कम मान लेता है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा
,
असतत यादृच्छिक चर का मान कहाँ है; - एक यादृच्छिक चर एक्स मान स्वीकार करने की संभावना।
यदि एक यादृच्छिक चर संभावित मानों का एक गणनीय सेट लेता है, तो:
.
n स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा:
,

असतत यादृच्छिक चर का फैलाव और मानक विचलन
असतत यादृच्छिक चर का फैलाव:
या .
n स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संख्या का प्रसरण
,
जहाँ p घटना के घटित होने की प्रायिकता है।
असतत यादृच्छिक चर का मानक विचलन:
.

उदाहरण 1
एक असतत यादृच्छिक चर (d.r.v.) X के लिए एक संभाव्यता वितरण कानून बनाएं - n = 8 पासे के एक जोड़े में कम से कम एक "छह" की संख्या k। वितरण बहुभुज प्लॉट करें। वितरण की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं (वितरण मोड, गणितीय अपेक्षा एम (एक्स), विचरण डी (एक्स), मानक विचलन एस (एक्स))। समाधान:आइए संकेतन का परिचय दें: घटना ए - "एक जोड़ी पासा फेंकने के दौरान, छह कम से कम एक बार दिखाई दिए।" घटना A की प्रायिकता P(A) = p ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले विपरीत घटना की प्रायिकता P(Ā) = q ज्ञात करना अधिक सुविधाजनक है - "जब पासा का एक जोड़ा फेंका जाता है, तो छक्का भी नहीं दिखाई देता है। एक बार"।
चूँकि एक पासे को फेंकने पर "छह" के न आने की प्रायिकता 5/6 है, तो प्रायिकता गुणन प्रमेय से
पी (Ā) = क्यू = =।
क्रमश,
पी (ए) = पी = 1 - पी (Ā) =।
समस्या में परीक्षण बर्नौली योजना के अनुसार किए जाते हैं; इसलिए, d.r.v. आकार एक्स- संख्या कदो पासे फेंकने पर कम से कम एक छक्का छोड़ना प्रायिकता बंटन के द्विपद नियम का पालन करता है:

जहाँ = से संयोजनों की संख्या है एनपर क.

तालिका के रूप में इस समस्या के लिए की गई गणनाओं को व्यवस्थित करना सुविधाजनक है:
डी.आर.वी. का प्रायिकता बंटन एक्स º क (एन = 8; पी = ; क्यू = )

क
पीएन(क)

असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का बहुभुज (बहुभुज) एक्सचित्र में दिखाया गया है:

चावल। d.r.v. के प्रायिकता बंटन का बहुभुज एक्स=क.
ऊर्ध्वाधर रेखा वितरण की गणितीय अपेक्षा को दर्शाती है एम(एक्स).

आइए हम d.r.v. के प्रायिकता वितरण की संख्यात्मक विशेषताओं को खोजें। एक्स. वितरण मोड 2 है (यहां पी 8(2) = 0.2932 अधिकतम)। गणितीय अपेक्षा, परिभाषा के अनुसार, है:
एम(एक्स) = = 2,4444,
कहाँ पे एक्सके = क d.r.v द्वारा स्वीकृत मान है। एक्स. फैलाव डी(एक्स) हम सूत्र द्वारा वितरण पाते हैं:
डी(एक्स) = = 4,8097.
मानक विचलन (आरएमएस):
एस( एक्स) = = 2,1931.

उदाहरण2
असतत यादृच्छिक चर एक्सवितरण कानून द्वारा दिया गया

वितरण फलन F(x) ज्ञात कीजिए और इसे आलेखित कीजिए।

समाधान।यदि , तो (तीसरी संपत्ति)।
तो अगर । सचमुच, एक्स 0.3 की प्रायिकता के साथ 1 का मान ले सकते हैं।
तो अगर । दरअसल, अगर यह असमानता को संतुष्ट करता है
, तो यह उस घटना की प्रायिकता के बराबर होता है जिसे तब अंजाम दिया जा सकता है जब एक्समान 1 लेगा (इस घटना की संभावना 0.3 है) या मान 4 (इस घटना की संभावना 0.1 है)। चूँकि ये दोनों घटनाएँ असंगत हैं, इसलिए, योग प्रमेय के अनुसार, किसी घटना की प्रायिकता प्रायिकता 0.3 + 0.1 = 0.4 के योग के बराबर होती है। तो अगर । वास्तव में, घटना निश्चित है, इसलिए इसकी संभावना एक के बराबर है। इसलिए, वितरण फ़ंक्शन को विश्लेषणात्मक रूप से निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़:
आइए हम इन मानों की संगत प्रायिकताएँ ज्ञात करें। शर्त के अनुसार, उपकरणों की विफलता की संभावनाएं समान हैं: फिर वारंटी अवधि के दौरान उपकरण चालू होने की संभावनाएं बराबर हैं:




वितरण कानून का रूप है: