असतत वितरण श्रृंखला का निर्माण कैसे करें। अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण

सांख्यिकीय डेटा का समूहीकरण क्या है, और यह वितरण श्रृंखला से कैसे संबंधित है, इस पर इस व्याख्यान में विचार किया गया था, जहां आप यह भी जान सकते हैं कि असतत और परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला क्या है।

वितरण श्रृंखला सांख्यिकीय श्रृंखला की किस्मों में से एक है (उनके अलावा, गतिशीलता श्रृंखला का उपयोग आंकड़ों में किया जाता है), उनका उपयोग घटना के बारे में डेटा का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है सार्वजनिक जीवन. इमारत विविधता श्रृंखलासभी के लिए काफी व्यवहार्य कार्य। हालांकि, याद रखने के नियम हैं।

असतत परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला का निर्माण कैसे करें

उदाहरण 1 20 सर्वेक्षण किए गए परिवारों में बच्चों की संख्या पर आंकड़े उपलब्ध हैं। एक असतत परिवर्तनशील श्रृंखला का निर्माण करें परिवारों का वितरणबच्चों की संख्या से.

0 1 2 3 1
2 1 2 1 0
4 3 2 1 1
1 0 1 0 2

समाधान:

1. आइए तालिका के लेआउट से शुरू करें, जिसमें हम फिर डेटा दर्ज करेंगे। चूंकि वितरण पंक्तियों में दो तत्व होते हैं, तालिका में दो स्तंभ होंगे। पहला कॉलम हमेशा एक प्रकार का होता है - हम क्या पढ़ रहे हैं - हम इसका नाम कार्य से लेते हैं (स्थितियों में कार्य के साथ वाक्य का अंत) - बच्चों की संख्या से- तो हमारा संस्करण बच्चों की संख्या है।

दूसरा कॉलम फ़्रीक्वेंसी है - अध्ययन के तहत घटना में हमारा संस्करण कितनी बार होता है - हम कार्य से कॉलम का नाम भी लेते हैं - परिवारों का वितरण - तो हमारी आवृत्ति बच्चों की इसी संख्या वाले परिवारों की संख्या है।

1. अब, प्रारंभिक डेटा से, हम उन मानों का चयन करते हैं जो कम से कम एक बार आते हैं। हमारे मामले में, यह

और आइए इस डेटा को हमारी तालिका के पहले कॉलम में तार्किक क्रम में व्यवस्थित करें, इस मामले में 0 से 4 तक बढ़ रहा है। हमें मिलता है

और निष्कर्ष में, आइए गणना करें कि विकल्पों में से प्रत्येक मान कितनी बार आता है।

0 1 2 3 1

2 1 2 1 0

4 3 2 1 1

1 0 1 0 2

नतीजतन, हम बच्चों की संख्या से परिवारों के वितरण की एक पूरी तालिका या आवश्यक श्रृंखला प्राप्त करते हैं।

व्यायाम . उद्यम के 30 श्रमिकों की टैरिफ श्रेणियों पर डेटा है। वेतन श्रेणी के अनुसार श्रमिकों के वितरण के लिए एक असतत परिवर्तनशील श्रृंखला का निर्माण करें। 2 3 2 4 4 5 5 4 6 3

1 4 4 5 5 6 4 3 2 3

4 5 4 5 5 6 6 3 3 4

वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखला कैसे बनाएं

आइए एक अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करें, और देखें कि इसका निर्माण एक असतत श्रृंखला से कैसे भिन्न है।

उदाहरण 2 16 उद्यमों, मिलियन रूबल द्वारा प्राप्त लाभ की राशि पर डेटा है। - 23 48 57 12 118 9 16 22 27 48 56 87 45 98 88 63. समान अंतराल पर 3 समूहों का चयन करते हुए, लाभ मात्रा द्वारा उद्यमों के वितरण के लिए एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण करें।

एक श्रृंखला के निर्माण का सामान्य सिद्धांत, निश्चित रूप से संरक्षित किया जाएगा, वही दो कॉलम, वही भिन्नताएं और आवृत्ति, लेकिन इस मामले में भिन्नताएं अंतराल में स्थित होंगी और आवृत्तियों को अलग-अलग गिना जाएगा।

समाधान:

1. आइए एक टेबल लेआउट बनाकर पिछले कार्य की तरह शुरू करें, जिसमें हम फिर डेटा दर्ज करेंगे। चूंकि वितरण पंक्तियों में दो तत्व होते हैं, तालिका में दो स्तंभ होंगे। पहला कॉलम हमेशा एक प्रकार का होता है - जो हम पढ़ रहे हैं - हम उसका नाम कार्य से लेते हैं (स्थितियों में कार्य के साथ वाक्य का अंत) - लाभ की मात्रा से - जिसका अर्थ है कि हमारा संस्करण लाभ की राशि है प्राप्त किया।

दूसरा कॉलम आवृत्ति है - अध्ययन के तहत घटना में हमारा संस्करण कितनी बार होता है - हम असाइनमेंट से कॉलम का नाम भी लेते हैं - उद्यमों का वितरण - इसका मतलब है कि हमारी आवृत्ति संबंधित लाभ वाले उद्यमों की संख्या है, में यह मामला इंटरवल में पड़ रहा है।

नतीजतन, हमारी तालिका का लेआउट इस तरह दिखेगा:

जहां i अंतराल का मान या लंबाई है,

Xmax और Xmin - सुविधा का अधिकतम और न्यूनतम मान,

n समस्या की स्थिति के अनुसार समूहों की आवश्यक संख्या है।

आइए हमारे उदाहरण के लिए अंतराल मान की गणना करें। ऐसा करने के लिए, प्रारंभिक डेटा में, हम सबसे बड़ा और सबसे छोटा पाते हैं

23 48 57 12 118 9 16 22 27 48 56 87 45 98 88 63 - अधिकतम मूल्य 118 मिलियन रूबल है, और न्यूनतम 9 मिलियन रूबल है। आइए सूत्र की गणना करें।

गणना में, हमें संख्या 36, (3) अवधि में तीन मिली, ऐसी स्थितियों में, अंतराल के मूल्य को एक बड़े तक गोल किया जाना चाहिए ताकि गणना के बाद अधिकतम डेटा खो न जाए, यही कारण है कि गणना में अंतराल का मूल्य 36.4 मिलियन रूबल है।

1. आइए अब अंतराल बनाते हैं - इस समस्या में हमारे विकल्प। पहला अंतराल न्यूनतम मान से शुरू किया जाता है, इसमें अंतराल का मान जोड़ा जाता है और पहले अंतराल की ऊपरी सीमा प्राप्त की जाती है। फिर पहले अंतराल की ऊपरी सीमा दूसरे अंतराल की निचली सीमा बन जाती है, इसमें अंतराल का मान जोड़ा जाता है और दूसरा अंतराल प्राप्त होता है। और इसी तरह, जितनी बार आवश्यकता हो उतनी बार शर्त के अनुसार अंतराल बनाने के लिए।

आइए ध्यान दें कि यदि हम अंतराल के मान को 36.4 तक नहीं घुमाते हैं, लेकिन इसे 36.3 छोड़ देते हैं, तो अंतिम मूल्यहमें 117.9 मिलेगा। डेटा हानि से बचने के लिए यह आवश्यक है कि अंतराल के मान को बड़े मान में गोल किया जाए।

1. आइए प्रत्येक विशिष्ट अंतराल में आने वाले उद्यमों की संख्या की गणना करें। डेटा को संसाधित करते समय, यह याद रखना चाहिए कि इस अंतराल में अंतराल के ऊपरी मूल्य को ध्यान में नहीं रखा जाता है (इस अंतराल में शामिल नहीं है), लेकिन अगले अंतराल में ध्यान में रखा जाता है (अंतराल की निचली सीमा शामिल है इस अंतराल में, और ऊपरी एक शामिल नहीं है), अंतिम अंतराल को छोड़कर।

डेटा प्रोसेसिंग करते समय, प्रोसेसिंग को आसान बनाने के लिए चयनित डेटा को पारंपरिक आइकन या रंग के साथ इंगित करना सबसे अच्छा है।

23 48 57 12 118 9 16 22

27 48 56 87 45 98 88 63

हम पहले अंतराल को निरूपित करते हैं पीला- और निर्धारित करें कि 9 से 45.4 के अंतराल में कितना डेटा गिरता है, जबकि इस 45.4 को दूसरे अंतराल में ध्यान में रखा जाएगा (बशर्ते कि यह डेटा में हो) - परिणामस्वरूप, हमें पहले अंतराल में 7 उद्यम मिलते हैं। और इसी तरह सभी अंतरालों के लिए।

1. (अतिरिक्त कार्रवाई) आइए प्रत्येक अंतराल के लिए और सामान्य रूप से उद्यमों द्वारा प्राप्त लाभ की कुल राशि की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम चिह्नित डेटा जोड़ते हैं अलग - अलग रंगऔर लाभ का कुल मूल्य प्राप्त करें।

पहले अंतराल के लिए 23 + 12 + 9 + 16 + 22 + 27 + 45 = 154 मिलियन रूबल

दूसरे अंतराल के लिए - 48 + 57 + 48 + 56 + 63 = 272 मिलियन रूबल।

तीसरे अंतराल के लिए - 118 + 87 + 98 + 88 = 391 मिलियन रूबल।

व्यायाम . 30 जमाकर्ताओं, हजार रूबल के बैंक में जमा के आकार पर डेटा है। 150, 120, 300, 650, 1500, 900, 450, 500, 380, 440,

600, 80, 150, 180, 250, 350, 90, 470, 1100, 800,

500, 520, 480, 630, 650, 670, 220, 140, 680, 320

बनाना अंतराल भिन्नता श्रृंखलाजमाकर्ताओं का वितरण, योगदान के आकार के अनुसार, समान अंतराल पर 4 समूहों को हाइलाइट करना। प्रत्येक समूह के लिए, योगदान की कुल राशि की गणना करें।

विषय गणितीय सांख्यिकी. सामान्य और नमूना जनसंख्या।

— गणित के आँकड़े- गणित की एक शाखा जो वैज्ञानिक रूप से आधारित निष्कर्ष प्राप्त करने के लिए सांख्यिकीय डेटा के चयन, समूहीकरण, व्यवस्थितकरण और विश्लेषण के तरीकों का अध्ययन करती है।

— सांख्यिकीय डेटा- यादृच्छिक प्रयोग के परिणामस्वरूप प्राप्त अध्ययन की गई वस्तुओं की मानी गई विशेषता के संख्यात्मक मान।

गणितीय आँकड़े संभाव्यता सिद्धांत से निकटता से संबंधित हैं, लेकिन संभाव्यता सिद्धांत के विपरीत, प्रयोग का गणितीय मॉडल अज्ञात है। गणितीय आंकड़ों में, सांख्यिकीय आंकड़ों के अनुसार, एक अज्ञात संभाव्यता वितरण स्थापित करना या वितरण मापदंडों का निष्पक्ष मूल्यांकन करना आवश्यक है।

गणितीय आँकड़ों के तरीके इष्टतम निर्माण करना संभव बनाते हैं गणितीय मॉडलसामूहिक, आवर्ती घटनाएँ। संभाव्यता के सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी के बीच जोड़ने वाली कड़ी संभाव्यता के सिद्धांत के सीमा प्रमेय हैं।

वर्तमान में सांख्यिकीय पद्धतियांराष्ट्रीय अर्थव्यवस्था की लगभग सभी शाखाओं में उपयोग किया जाता है।

— जनसंख्या- सभी अध्ययन की गई वस्तुओं का सांख्यिकीय डेटा (कभी-कभी - स्वयं वस्तुएं)। अक्सर सामान्य जनसंख्या को RV X माना जाता है।

— नमूना(नमूना सेट) - से यादृच्छिक रूप से चयनित वस्तुओं का सांख्यिकीय डेटा आबादी.

— नमूने का आकार एन(सामान्य जनसंख्या की मात्रा एन) - सामान्य जनसंख्या (सामान्य जनसंख्या में वस्तुओं की संख्या) से अध्ययन के लिए चयनित वस्तुओं की संख्या।

उदाहरण.

एक) सांख्यिकीय डेटाहो सकता है: छात्रों की वृद्धि; एक निश्चित लंबाई के पाठ के पारित होने में क्रियाओं (या भाषण के अन्य भागों) की संख्या; जीपीएप्रमाणपत्र; खुफिया स्तर; डिस्पैचर द्वारा की गई त्रुटियों की संख्या, आदि।

बी) सामान्य जनसंख्याहो सकता है: सभी लोगों की ऊंचाई, सभी कारखाने के श्रमिकों की रैंक, अध्ययन के तहत लेखक के सभी कार्यों में भाषण के एक निश्चित भाग के उपयोग की आवृत्ति, सभी स्नातकों के प्रमाण पत्र का औसत स्कोर, आदि।

में) नमूनाहो सकता है: - 20 छात्रों की ऊंचाई, 500 शब्द उपयोग की लंबाई के साथ यादृच्छिक रूप से चयनित 50 सजातीय पाठ्यांशों में क्रियाओं की संख्या, शहर के स्कूलों से यादृच्छिक रूप से चुने गए 100 स्नातकों के प्रमाण पत्र का औसत स्कोर, आदि।

नमूना कहा जाता है प्रतिनिधि,अगर यह सामान्य आबादी की संपत्ति को सही ढंग से दर्शाता है। नमूने का प्रतिनिधित्व यादृच्छिक चयन द्वारा प्राप्त किया जाता है, जब सामान्य आबादी की सभी वस्तुओं के चुने जाने की समान संभावना होती है।

नमूना प्रतिनिधि होने के लिए, विभिन्न तरीकेअध्ययन की वस्तुओं का चयन।

चयन प्रकार: सरल, यांत्रिक, धारावाहिक, विशिष्ट।

सरल. तत्वों को पूरी आबादी से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है।

यांत्रिक चयन. सामान्य जनसंख्या में से प्रत्येक 10 (25, 30, आदि) वस्तु चुनें।

धारावाहिक. प्रत्येक श्रृंखला में एक अध्ययन किया जाता है (उदाहरण के लिए, 500 शब्दों के उपयोग के 10 मार्ग पाठ - 10 श्रृंखला से चुने गए हैं)।

ठेठ. सामान्य जनसंख्या को एक निश्चित विशेषता के अनुसार विशिष्ट समूहों में विभाजित किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समूह से निकाली गई श्रृंखलाओं की संख्या सामान्य जनसंख्या में इस समूह के अनुपात से निर्धारित होती है।

नमूने का सांख्यिकीय वितरण और उसका ग्राफिक छवि.

मान लीजिए कि SV X (सामान्य जनसंख्या) का अध्ययन किसी विशेषता के संबंध में किया जाता है। की एक संख्या स्वतंत्र परीक्षण. प्रयोगों के परिणामस्वरूप, SV X कुछ मान लेता है। प्राप्त मूल्यों का सेट एक नमूना है, और मान स्वयं सांख्यिकीय डेटा हैं।

प्रारंभ में, नमूने को रैंक किया जाता है - गैर-अवरोही क्रम में नमूने के सांख्यिकीय डेटा की व्यवस्था। हमें एक विविधता श्रृंखला मिलती है।

विविधता श्रृंखला- रैंक नमूना।

अलग सांख्यिकीय श्रृंखला

यदि जनसंख्या एक असतत सीवी है, तो एक असतत सांख्यिकीय श्रृंखला (सांख्यिकीय वितरण) का निर्माण किया जाता है।

मान नमूना समय में प्रकट होने दें,

समय, ..., - समय।

मैं-थाया विकल्पनमूने; - आवृत्ति i-th विकल्प फ़्रीक्वेंसी दिखाता है कि कितनी बार इस विकल्पनमूने में दिखाई दिया।

- सापेक्ष आवृत्तिमैं-वें विकल्प

(दिखाता है कि नमूने का कौन सा हिस्सा है)।

एक सांख्यिकीय वितरण नमूना विकल्पों और उनकी आवृत्तियों या सापेक्ष आवृत्तियों के बीच एक पत्राचार है।

DSV के लिए, सांख्यिकीय वितरण को एक तालिका के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है - आवृत्तियों की एक सांख्यिकीय श्रृंखला या सापेक्ष आवृत्तियों की एक सांख्यिकीय श्रृंखला।

आवृत्तियों की सांख्यिकीय श्रृंखला सांख्यिकीय श्रृंखला

सापेक्ष आवृत्तियों

प्रस्तुति की स्पष्टता के लिए सांख्यिकीय वितरणनमूने सांख्यिकीय वितरण के "रेखांकन" का निर्माण करते हैं: एक बहुभुज और एक हिस्टोग्राम।

आवृत्ति बहुभुज(सापेक्ष आवृत्तियों) - एक असतत सांख्यिकीय श्रृंखला का एक चित्रमय प्रतिनिधित्व - एक टूटी हुई रेखा जो क्रमिक रूप से बिंदुओं को जोड़ती है [ सापेक्ष आवृत्तियों के बहुभुज के लिए]।

उदाहरण।शोधकर्ता गणित में आवेदकों के ज्ञान में रुचि रखता है। 10 आवेदकों का चयन किया जाता है और इस विषय में उनके स्कूल ग्रेड दर्ज किए जाते हैं। निम्नलिखित नमूना प्राप्त हुआ: 5;4;4;3;2;5;4;3;4;5।

ए) नमूना को एक भिन्नता श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करें;

बी) आवृत्तियों और सापेक्ष आवृत्तियों की एक सांख्यिकीय श्रृंखला का निर्माण;

सी) परिणामी श्रृंखला के लिए सापेक्ष आवृत्तियों का बहुभुज बनाएं।

ए) आइए नमूने को रैंक करें, यानी। नमूने के सदस्यों को घटते क्रम में व्यवस्थित करें। हमें एक परिवर्तनशील श्रृंखला मिलती है: 2; 3; 3; चार; चार; चार; चार; 5; 5;5.

बी) हम आवृत्तियों की एक सांख्यिकीय श्रृंखला (नमूना विकल्पों और उनकी आवृत्तियों के बीच पत्राचार) और सापेक्ष आवृत्तियों की एक सांख्यिकीय श्रृंखला (नमूना विकल्पों और उनके सापेक्ष आवृत्तियों के बीच पत्राचार) का निर्माण करते हैं।

आवृत्तियों की सांख्यिकीय श्रृंखला सांख्यिकीय श्रृंखला रिले। आवृत्तियों

1+2+4+3=10=n 0.1+0.2+0.4+0.3=1.

सापेक्ष आवृत्तियों का बहुभुज।

बड़ी मात्रा में सूचनाओं को संसाधित करते समय, जो आधुनिक वैज्ञानिक विकास करते समय विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, शोधकर्ता को प्रारंभिक डेटा को सही ढंग से समूहित करने के गंभीर कार्य का सामना करना पड़ता है। यदि डेटा असतत है, तो, जैसा कि हमने देखा है, कोई समस्या नहीं है - आपको बस प्रत्येक सुविधा की आवृत्ति की गणना करने की आवश्यकता है। यदि अध्ययन के तहत विशेषता है निरंतरचरित्र (जो व्यवहार में अधिक सामान्य है), तो किसी विशेषता को समूहीकृत करने के लिए अंतराल की इष्टतम संख्या का चुनाव किसी भी तरह से एक तुच्छ कार्य नहीं है।

सतत यादृच्छिक चरों को समूहीकृत करने के लिए, संपूर्ण विविधता रेंजसुविधा को कई अंतरालों में विभाजित किया गया है प्रति।

समूहीकृत अंतराल (निरंतर) परिवर्तनशील श्रृंखला सुविधा के मान () द्वारा क्रमबद्ध अंतराल कहा जाता है, जहां संबंधित आवृत्तियों के साथ संकेत दिया जाता है () r "वें अंतराल, या सापेक्ष आवृत्तियों () में गिरने वाले अवलोकनों की संख्या:

बार चार्टतथा संचयी (ओजिवा),पहले से ही हमारे द्वारा विस्तार से चर्चा की गई है, एक उत्कृष्ट डेटा विज़ुअलाइज़ेशन टूल है जो आपको डेटा संरचना की प्राथमिक समझ प्राप्त करने की अनुमति देता है। इस तरह के ग्राफ़ (चित्र। 1.15) निरंतर डेटा के लिए उसी तरह बनाए जाते हैं जैसे असतत डेटा के लिए, केवल इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि निरंतर डेटा किसी भी मान को लेते हुए, इसके संभावित मूल्यों के क्षेत्र को पूरी तरह से भर देता है।

चावल। 1.15.

इसीलिए हिस्टोग्राम और क्यूम्युलेट पर कॉलम संपर्क में होना चाहिए, ऐसे कोई क्षेत्र नहीं हैं जहां विशेषता मान सभी संभव के भीतर नहीं आते हैं(यानी, हिस्टोग्राम और क्यूम्युलेट में एब्सिस्सा अक्ष के साथ "छेद" नहीं होने चाहिए, जिसमें अध्ययन के तहत चर के मान नहीं आते हैं, जैसा कि चित्र 1.16 में है)। बार की ऊंचाई आवृत्ति, दिए गए अंतराल में गिरने वाले अवलोकनों की संख्या, या सापेक्ष आवृत्ति, अवलोकनों के अनुपात से मेल खाती है। अंतराल पार नहीं करना चाहिएऔर आमतौर पर एक ही चौड़ाई के होते हैं।

चावल। 1.16.

हिस्टोग्राम और बहुभुज संभाव्यता घनत्व वक्र (अंतर समारोह) के अनुमान हैं एफ (एक्स)सैद्धांतिक वितरण, संभाव्यता सिद्धांत के पाठ्यक्रम में माना जाता है। इसलिए, उनका निर्माण है महत्त्वप्राथमिक पर सांख्यिकीय प्रसंस्करणमात्रात्मक निरंतर डेटा - उनके रूप से कोई काल्पनिक वितरण कानून का न्याय कर सकता है।

संचयी - अंतराल भिन्नता श्रृंखला की संचित आवृत्तियों (आवृत्तियों) का वक्र। इंटीग्रल डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन के ग्राफ की तुलना क्यूम्युलेट से की जाती है एफ (एक्स), संभाव्यता सिद्धांत के दौरान भी माना जाता है।

मूल रूप से, हिस्टोग्राम और क्यूम्युलेट्स की अवधारणाएं निरंतर डेटा और उनकी अंतराल भिन्नता श्रृंखला के साथ ठीक से जुड़ी हुई हैं, क्योंकि उनके ग्राफ़ क्रमशः संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन और वितरण फ़ंक्शन के अनुभवजन्य अनुमान हैं।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण अंतराल की संख्या निर्धारित करने के साथ शुरू होता है क।और यह कार्य अध्ययन के तहत विषय में शायद सबसे जटिल, महत्वपूर्ण और विवादास्पद है।

अंतरालों की संख्या बहुत छोटी नहीं होनी चाहिए, क्योंकि हिस्टोग्राम बहुत चिकना होगा ( अधिक चिकना),प्रारंभिक डेटा की परिवर्तनशीलता की सभी विशेषताओं को खो देता है - अंजीर में। 1.17 आप देख सकते हैं कि कैसे वही डेटा जिस पर अंजीर के रेखांकन। 1.15 का उपयोग कम अंतराल (बाएं ग्राफ) के साथ हिस्टोग्राम बनाने के लिए किया जाता है।

उसी समय, अंतरालों की संख्या बहुत बड़ी नहीं होनी चाहिए - अन्यथा हम संख्यात्मक अक्ष के साथ अध्ययन के तहत डेटा के वितरण घनत्व का अनुमान नहीं लगा पाएंगे: हिस्टोग्राम कम हो जाएगा (समझदार)अपूर्ण अंतरालों के साथ, असमान (चित्र 1.17, दायां ग्राफ देखें)।

चावल। 1.17.

अंतराल की सबसे पसंदीदा संख्या कैसे निर्धारित करें?

1926 में वापस, हर्बर्ट स्टर्गेस ने अंतराल की संख्या की गणना के लिए एक सूत्र प्रस्तावित किया जिसमें अध्ययन की गई विशेषता के मूल्यों के प्रारंभिक सेट को विभाजित करना आवश्यक है। यह सूत्र वास्तव में बहुत लोकप्रिय हो गया है - अधिकांश सांख्यिकीय पाठ्यपुस्तकें इसे पेश करती हैं, और कई सांख्यिकीय पैकेज डिफ़ॉल्ट रूप से इसका उपयोग करते हैं। क्या यह उचित है और सभी मामलों में यह एक बहुत ही गंभीर प्रश्न है।

तो स्टर्गेस फॉर्मूला किस पर आधारित है?

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