एक यादृच्छिक चर के लिए, मोड इसे दिखाता है। बी14

अपेक्षित मूल्य। गणितीय अपेक्षाअसतत यादृच्छिक चर एक्स, जो मूल्यों की एक सीमित संख्या लेता है एक्समैंसंभावनाओं के साथ आरमैं, योग कहा जाता है:

गणितीय अपेक्षानिरंतर यादृच्छिक चर एक्सइसके मूल्यों के उत्पाद का अभिन्न अंग कहा जाता है एक्ससंभाव्यता वितरण घनत्व पर एफ(एक्स):

(6बी)

अनुचित अभिन्न (6 .) बी) को पूर्ण रूप से अभिसरण माना जाता है (अन्यथा हम कहते हैं कि अपेक्षित मूल्य एम(एक्स) मौजूद नहीं)। गणितीय अपेक्षा की विशेषता है अर्थअनियमित चर एक्स. इसका आयाम एक यादृच्छिक चर के आयाम के साथ मेल खाता है।

गणितीय अपेक्षा के गुण:

फैलाव। फैलावअनियमित चर एक्सनंबर कहा जाता है:

फैलाव है बिखरने की विशेषताएक यादृच्छिक चर के मूल्य एक्सइसके औसत मूल्य के सापेक्ष एम(एक्स) विचरण का आयाम यादृच्छिक चर वर्ग के आयाम के बराबर है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए विचरण (8) और गणितीय अपेक्षा (5) की परिभाषाओं के आधार पर और (6) एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, हम प्रसरण के लिए समान अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

(9)

यहां एम = एम(एक्स).

फैलाव गुण:

मानक विचलन:

(11)

चूंकि मानक विचलन का आयाम यादृच्छिक चर के समान होता है, इसलिए यह फैलाव के माप के रूप में उपयोग किए जाने वाले विचरण से अधिक होता है।

वितरण क्षण। गणितीय अपेक्षा और विचरण की अवधारणाएँ अधिक के विशेष मामले हैं सामान्य सिद्धांतसंख्यात्मक विशेषताओं के लिए यादृच्छिक चर – वितरण क्षण. एक यादृच्छिक चर के वितरण क्षणों को एक यादृच्छिक चर के कुछ सरल कार्यों की गणितीय अपेक्षाओं के रूप में पेश किया जाता है। तो, आदेश का क्षण कबिंदु के सापेक्ष एक्स 0 उम्मीद कहा जाता है एम(एक्स–एक्स 0 )क. उत्पत्ति के सापेक्ष क्षण एक्स= 0 कहा जाता है प्रारंभिक क्षणऔर चिह्नित हैं:

(12)

पहले क्रम का प्रारंभिक क्षण माना यादृच्छिक चर का वितरण केंद्र है:

(13)

वितरण केंद्र के सापेक्ष क्षण एक्स= एमबुलाया केंद्रीय क्षणऔर चिह्नित हैं:

(14)

से (7) यह इस प्रकार है कि पहले क्रम का केंद्रीय क्षण हमेशा शून्य के बराबर होता है:

केंद्रीय क्षण यादृच्छिक चर के मूल्यों की उत्पत्ति पर निर्भर नहीं करते हैं, क्योंकि एक बदलाव के साथ नियत मान सेइसके वितरण के केंद्र को उसी मान से स्थानांतरित कर दिया गया है से, और केंद्र से विचलन नहीं बदलता है: एक्स – एम = (एक्स – से) – (एम – से).
अब यह स्पष्ट है कि फैलाव- ये है दूसरा क्रम केंद्रीय क्षण:

विषमता। तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण:

(17)

मूल्यांकन करने के लिए कार्य करता है वितरण विषमता. यदि वितरण बिंदु के बारे में सममित है एक्स= एम, तो तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर होगा (साथ ही विषम आदेशों के सभी केंद्रीय क्षण)। इसलिए, यदि तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य से भिन्न है, तो वितरण सममित नहीं हो सकता है। विषमता के परिमाण का अनुमान एक आयामहीन का उपयोग करके लगाया जाता है विषमता गुणांक:

(18)

विषमता गुणांक (18) का चिह्न दाएं तरफा या बाएं तरफा विषमता (चित्र 2) को इंगित करता है।

चावल। 2. वितरण की विषमता के प्रकार।

अतिरिक्त। चौथे क्रम का केंद्रीय क्षण:

(19)

तथाकथित का मूल्यांकन करने के लिए कार्य करता है कुकुदता, जो वक्र के संबंध में वितरण केंद्र के पास वितरण वक्र की स्थिरता (बिंदुता) की डिग्री निर्धारित करता है सामान्य वितरण. चूंकि एक सामान्य वितरण के लिए, कर्टोसिस के रूप में ली गई मात्रा है:

(20)

अंजीर पर। 3 वितरण वक्रों के उदाहरण दिखाता है विभिन्न अर्थकर्टोसिस सामान्य वितरण के लिए इ= 0. सामान्य से अधिक शिखर वाले वक्रों में सकारात्मक कर्टोसिस होता है, और अधिक सपाट चोटियों वाले वक्रों में ऋणात्मक कुर्टोसिस होता है।

चावल। 3. वितरण वक्र के साथ बदलती डिग्रियांशीतलता (कुर्टोसिस)।

इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में उच्च क्रम के क्षण गणितीय सांख्यिकीआमतौर पर लागू नहीं होता।

फ़ैशन अलगयादृच्छिक चर इसका सबसे संभावित मूल्य है। फ़ैशन निरंतरएक यादृच्छिक चर इसका वह मान है जिस पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम होता है (चित्र 2)। यदि वितरण वक्र में एक अधिकतम है, तो वितरण कहलाता है यूनिमॉडल. यदि वितरण वक्र में एक से अधिक अधिकतम हों, तो वितरण कहलाता है बहुविध. कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनके वक्र अधिकतम नहीं, बल्कि न्यूनतम होते हैं। इस तरह के वितरण को कहा जाता है प्रतिरूप. पर सामान्य मामलायादृच्छिक चर का बहुलक और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती। किसी विशेष मामले में, के लिए मॉडल, अर्थात। एक मोड, एक सममित वितरण, और बशर्ते कि गणितीय अपेक्षा हो, बाद वाला वितरण के मोड और समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है।

मंझला अनियमित चर एक्सइसका अर्थ है मैं, जिसके लिए समानता है: अर्थात। यह समान रूप से संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सकम या ज्यादा होगा मैं. ज्यामितीय मंझलाउस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र के नीचे का क्षेत्र आधे में विभाजित होता है (चित्र 2)। सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्यिका, बहुलक और माध्य समान होते हैं।

गणितीय अपेक्षा और फैलाव के अलावा, संभाव्यता सिद्धांत में कई संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग किया जाता है, जो वितरण की कुछ विशेषताओं को दर्शाता है।

परिभाषा। एक यादृच्छिक चर X का बहुलक Mo(X) इसका सबसे संभावित मान है(जिसके लिए संभावना आर रया संभाव्यता घनत्व

यदि प्रायिकता या प्रायिकता घनत्व अधिकतम एक पर नहीं, बल्कि कई बिंदुओं पर पहुँचता है, तो वितरण कहलाता है बहुविध(चित्र। 3.13)।

फ़ैशन काई),जिस पर संभावना आर (या संभाव्यता घनत्व (p(x) एक वैश्विक अधिकतम तक पहुँच जाता है, कहलाता है सबसे संभावित मूल्ययादृच्छिक चर (चित्र 3.13 में यह मो (एक्स) 2)।

परिभाषा। एक सतत यादृच्छिक चर X की माध्यिका Me(X) इसका मान है, जिसके लिए

वे। संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्समाध्यिका से कम मान लेता है छाल)या इससे बड़ा, समान और 1/2 के बराबर। ज्यामितीय रूप से लंबवत रेखा एक्स = छाल) के बराबर भुज के साथ एक बिंदु से गुजरना छाल), वितरण वक्र की आकृति के क्षेत्र को दो समान भागों (चित्र। 3.14) में विभाजित करता है। जाहिर है, बिंदु पर एक्स = छाल)वितरण फलन 1/2 के बराबर है, अर्थात। पी (मी (एक्स))= 1/2 (चित्र 3.15)।

यादृच्छिक चर के माध्यिका का एक महत्वपूर्ण गुण नोट करें: स्थिर मान C से यादृच्छिक चर X के विचलन के निरपेक्ष मान की गणितीय अपेक्षा न्यूनतम है तो, जब यह स्थिरांक C माध्यिका Me(X) = m . के बराबर हो, अर्थात।

(संपत्ति गणितीय अपेक्षा से एक यादृच्छिक चर के विचलन के औसत वर्ग की न्यूनतम संपत्ति (3.10") के समान है)।

ओ उदाहरण 3.15। यादृच्छिक चर का बहुलक, माध्यिका और माध्य ज्ञात कीजिए एक्स एस xx के लिए प्रायिकता घनत्व φ(x) = 3x 2।

समाधान।वितरण वक्र अंजीर में दिखाया गया है। 3.16. जाहिर है, संभावना घनत्व φ(x) अधिकतम है एक्स= मो (एक्स) = 1.

मंझला छाल) = बी हम शर्त (3.28) से पाते हैं:

कहाँ पे

गणितीय अपेक्षा की गणना सूत्र (3.25) द्वारा की जाती है:

अंकों की पारस्परिक व्यवस्था एम (एक्स)> मैं (एक्स) तथा काई) एब्सिस्सा के आरोही क्रम में अंजीर में दिखाया गया है। 3.16. ?

ऊपर उल्लिखित संख्यात्मक विशेषताओं के साथ, मात्रात्मक और प्रतिशत अंक की अवधारणा का उपयोग यादृच्छिक चर का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

परिभाषा। स्तर मात्रावाई-क्वांटाइल )

यादृच्छिक चर का ऐसा मान x q कहलाता है , जिस पर इसका वितरण फलन के बराबर मान लेता है मरना।

कुछ मात्राओं को एक विशेष नाम मिला है। जाहिर है, उपरोक्त मंझला यादृच्छिक चर 0.5 स्तर की मात्रा है, अर्थात। मैं (एक्स) \u003d एक्स 05। मात्राओं dg 0 2 5 और x 075 को क्रमशः नामित किया गया है निचला तथा ऊपरी चतुर्थक K

एक मात्रा की अवधारणा से निकटता से संबंधित अवधारणा है फ़ीसदी।नीचे युओउहो-नोई डॉट निहित मात्रा एक्स एक्स (( , वे। यादृच्छिक चर का ऐसा मान एक्स, जिसके अंतर्गत

0 उदाहरण 3.16। उदाहरण 3.15 के अनुसार मात्रा ज्ञात कीजिए एक्स 03 और 30% यादृच्छिक चर बिंदु एक्स।

समाधान। सूत्र (3.23) के अनुसार, वितरण फलन

हम समीकरण (3.29) से मात्रात्मक r 0 z पाते हैं, अर्थात। एक्स$3 \u003d 0.3, जहां से L "oz -0.67। यादृच्छिक चर का 30% बिंदु ज्ञात करें एक्स, या क्वांटाइल x 0 7, समीकरण से एक्स$ 7 = 0.7, जहां से x 0 7 "0.89. ?

एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं में, क्षण - प्रारंभिक और केंद्रीय - का विशेष महत्व है।

परिभाषा। प्रारंभिक क्षणयादृच्छिक चर X के k-वें क्रम को गणितीय अपेक्षा कहा जाता है के-वें डिग्रीयह मान :

परिभाषा। केंद्रीय क्षणयादृच्छिक चर X का k-वें क्रम, यादृच्छिक चर X के गणितीय अपेक्षा से विचलन की k-वें डिग्री की गणितीय अपेक्षा है:

असतत यादृच्छिक चर के लिए क्षणों की गणना के लिए सूत्र (मान लेते हुए एक्स 1 प्रायिकताओं के साथ p,) और सतत (प्रायिकता घनत्व cp(x) के साथ) तालिका में दिए गए हैं। 3.1.

तालिका 3.1

यह देखना आसान है कि कब कश्मीर = 1 यादृच्छिक चर का पहला प्रारंभिक क्षण एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा है, अर्थात्। एच एक्स \u003d एम [एक्स) \u003d ए,पर प्रति= 2 दूसरा केंद्रीय क्षण फैलाव है, अर्थात। पी 2 = टी) (एक्स)।

केंद्रीय क्षण p A को सूत्रों का उपयोग करके प्रारंभिक क्षणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

आदि।

उदाहरण के लिए, सी 3 \u003d M (X-a) * \u003d M (X * -ZaX 2 + Za 2 X-a-\u003e) \u003d M (X *) ~ -ZaM (X 2) + Za 2 M (X) ~ a3 \u003d y 3 -Zy ^ + Zy (y, -y ^ \u003d y 3 - Zy ^ + 2y ^ (व्युत्पन्न करते समय, हमने इसे ध्यान में रखा एक = एम (एक्स)= वी, - गैर-यादृच्छिक मान)। ?

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, गणितीय अपेक्षा एम (एक्स),या पहला प्रारंभिक क्षण, औसत मान या स्थिति को दर्शाता है, एक यादृच्छिक चर के वितरण का केंद्र एक्ससंख्या रेखा पर; फैलाव ओह),या दूसरा केंद्रीय क्षण p 2 , - s ts s - वितरण प्रकीर्णन एक्सअपेक्षाकृत एम (एक्स)।अधिक जानकारी के लिए विस्तृत विवरणवितरण उच्च क्रम के क्षण हैं।

तीसरा केंद्रीय क्षणपी 3 वितरण (तिरछापन) की विषमता को चिह्नित करने का कार्य करता है। इसमें एक यादृच्छिक चर के घन का आयाम है। एक आयाम रहित मान प्राप्त करने के लिए, इसे लगभग 3 से विभाजित किया जाता है, जहाँ a औसत है मानक विचलनअनियमित चर एक्स।प्राप्त मूल्य लेकिनबुलाया एक यादृच्छिक चर की विषमता का गुणांक।

यदि गणितीय अपेक्षा के संबंध में वितरण सममित है, तो विषमता गुणांक A = 0 है।

अंजीर पर। 3.17 दो वितरण वक्र दिखाता है: I और II। वक्र I में एक सकारात्मक (दाहिनी ओर) विषमता (L> 0) है, और वक्र II में एक ऋणात्मक (बाएं-पक्षीय) (L) है

चौथा केंद्रीय क्षण पी 4 वितरण की स्थिरता (शीर्ष या सपाट शीर्ष-पोस्ट की चोटी) को चिह्नित करने का कार्य करता है।

फ़ैशन- प्रेक्षणों के समुच्चय में वह मान जो सबसे अधिक बार होता है

मो \u003d एक्स मो + एच मो * (एफ मो - एफ मो -1) : ((एफ मो - एफ मो -1) + (एफ मो - एफ मो + 1)),

यहाँ X Mo मोडल अंतराल की बाईं सीमा है, h Mo मोडल अंतराल की लंबाई है, f Mo-1 प्रीमॉडल अंतराल की आवृत्ति है, f Mo मोडल अंतराल की आवृत्ति है, f Mo+1 है पोस्टमॉडल अंतराल की आवृत्ति।

फैशन बिल्कुल निरंतर वितरणकिसी भी बिंदु को नाम दें स्थानीय अधिकतमवितरण घनत्व। के लिये असतत वितरणएक फ़ैशन कोई भी मान होता है, जिसकी प्रायिकता p, पड़ोसी मानों की प्रायिकताओं से अधिक होती है

मंझलानिरंतर यादृच्छिक चर एक्सइसका मान मुझे ऐसा कहा जाता है, जिसके लिए यह समान रूप से संभावित है कि यादृच्छिक चर कम होगा या अधिक मैं, अर्थात।

एम ई \u003d (एन + 1) / 2 पी(एक्स < मैं) = पी(एक्स > मैं)

समान रूप से वितरित NEW

समान वितरण।एक सतत यादृच्छिक चर को खंड () पर समान रूप से वितरित कहा जाता है यदि इसका वितरण घनत्व कार्य (चित्र। 1.6, एक) की तरह लगता है:

पदनाम:- एसडब्ल्यू को समान रूप से वितरित किया जाता है।

तदनुसार, खंड पर वितरण कार्य (चित्र। 1.6, बी):

चावल। 1.6. एक यादृच्छिक चर के कार्य समान रूप से वितरित किए जाते हैं [ एक,बी]: एक- प्रायिकता घनत्व एफ(एक्स); बी- वितरण एफ(एक्स)

इस RV की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता व्यंजकों द्वारा निर्धारित की जाती है:

घनत्व फ़ंक्शन की समरूपता के कारण, यह माध्यिका के साथ मेल खाता है। फ़ैशन वर्दी वितरणनहीं है

उदाहरण 4 प्रतिक्रिया के लिए प्रतीक्षा समय फ़ोन कॉल 0 से 2 मिनट की सीमा में एक समान वितरण कानून का पालन करने वाला एक यादृच्छिक चर है। इस यादृच्छिक चर के समाकलन और अवकल वितरण फलन ज्ञात कीजिए।

27. प्रायिकता बंटन का सामान्य नियम

एक सतत यादृच्छिक चर x में मापदंडों के साथ एक सामान्य वितरण होता है: m,s> 0, यदि संभाव्यता वितरण घनत्व का रूप है:

जहाँ: m गणितीय अपेक्षा है, s मानक विचलन है।

जर्मन गणितज्ञ गॉस के बाद सामान्य वितरण को गॉसियन भी कहा जाता है। तथ्य यह है कि एक यादृच्छिक चर का पैरामीटर के साथ सामान्य वितरण होता है: एम, , निम्नानुसार दर्शाया गया है: एन (एम, एस), जहां: एम = ए = एम [एक्स];

अक्सर, सूत्रों में, गणितीय अपेक्षा को द्वारा निरूपित किया जाता है एक . यदि एक यादृच्छिक चर को नियम N(0,1) के अनुसार वितरित किया जाता है, तो इसे सामान्यीकृत या मानकीकृत सामान्य मान कहा जाता है। इसके लिए वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

सामान्य वितरण के घनत्व का ग्राफ, जिसे सामान्य वक्र या गाऊसी वक्र कहा जाता है, चित्र 5.4 में दिखाया गया है।

चावल। 5.4. सामान्य वितरण घनत्व

गुणएक यादृच्छिक चर जिसमें है सामान्य कानूनवितरण।

1. यदि , तो प्रायिकता ज्ञात करने के लिए कि यह मान किसी दिए गए अंतराल में आता है ( एक्स 1; एक्स 2) सूत्र का उपयोग किया जाता है:

2. एक यादृच्छिक चर का उसकी गणितीय अपेक्षा से विचलन, मान (निरपेक्ष मान में) से अधिक नहीं होने की प्रायिकता के बराबर है।

पाठ का उद्देश्य: संख्याओं के एक सेट के माध्यिका के बारे में छात्रों की समझ और सरल संख्यात्मक सेटों के लिए इसकी गणना करने की क्षमता बनाना, संख्याओं के अंकगणितीय माध्य सेट की अवधारणा को ठीक करना।

पाठ का प्रकार: नई सामग्री की व्याख्या।

उपकरण: बोर्ड, पाठ्यपुस्तक, एड। यू.एन ट्यूरिना "संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी", प्रोजेक्टर के साथ कंप्यूटर।

पाठ के विषय को सूचित करें और उसके उद्देश्यों को तैयार करें।

छात्रों के लिए प्रश्न:

• संख्याओं के समुच्चय का अंकगणितीय माध्य क्या है?
• अंकगणितीय माध्य संख्याओं के समूह में कहाँ स्थित होता है?
• संख्याओं के समुच्चय के अंकगणितीय माध्य की क्या विशेषता है?
• संख्याओं के समुच्चय का अंकगणितीय माध्य प्रायः कहाँ प्रयोग किया जाता है?

मौखिक कार्य:

संख्याओं के समुच्चय का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

इंतिहान गृहकार्यप्रोजेक्टर का उपयोग करना ( अनुलग्नक 1):

पाठ्यपुस्तक :: संख्या 12 (बी, डी), संख्या 18 (सी, डी)

पिछले पाठ में, हम संख्याओं के समुच्चय के अंकगणितीय माध्य जैसी सांख्यिकीय विशेषता से परिचित हुए। आज हम एक और सांख्यिकीय विशेषता के लिए एक पाठ समर्पित करेंगे - माध्यिका।

न केवल अंकगणितीय माध्य यह दर्शाता है कि संख्या रेखा पर किसी समुच्चय की संख्याएँ कहाँ स्थित हैं और उनका केंद्र कहाँ है। एक अन्य संकेतक माध्यिका है।

संख्याओं के समुच्चय की माध्यिका वह संख्या होती है जो समुच्चय को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। "मध्य" के बजाय कोई "मध्य" कह सकता है।

सबसे पहले, उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम विश्लेषण करेंगे कि माध्यिका कैसे ज्ञात की जाए, और फिर हम एक सख्त परिभाषा देंगे।

प्रोजेक्टर का उपयोग करते हुए निम्नलिखित मौखिक उदाहरण पर विचार करें ( परिशिष्ट 2)

अंततः स्कूल वर्षसातवीं कक्षा के 11 छात्रों ने 100 मीटर दौड़ने का मानक पास किया। निम्नलिखित परिणाम दर्ज किए गए:

लोगों द्वारा दूरी तय करने के बाद, पेट्या ने शिक्षक से संपर्क किया और पूछा कि उसका परिणाम क्या है।

"अधिकतम औसत: 16.9 सेकंड," शिक्षक ने उत्तर दिया

"क्यों?" पेट्या हैरान थी। - आखिरकार, सभी परिणामों का अंकगणितीय माध्य लगभग 18.3 सेकंड है, और मैं एक सेकंड या अधिक बेहतर तरीके से चला। और सामान्य तौर पर, कात्या का परिणाम (18.4) मेरी तुलना में औसत के बहुत करीब है।"

"आपका परिणाम औसत है क्योंकि पांच लोग आपसे बेहतर और पांच खराब भागे। तो तुम ठीक बीच में हो," शिक्षक ने कहा। [ 2 ]

संख्याओं के समुच्चय की माध्यिका ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम लिखिए:

1. संख्यात्मक सेट का आदेश दें (एक रैंक की गई श्रृंखला लिखें)।
2. साथ ही हम संख्याओं के इस समूह की "सबसे बड़ी" और "सबसे छोटी" संख्याओं को तब तक पार करते हैं जब तक कि एक या दो संख्याएँ न रह जाएँ।
3. यदि केवल एक संख्या है, तो वह माध्यिका है।
4. यदि दो संख्याएँ शेष हैं, तो माध्यिका शेष दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य होगा।

विद्यार्थियों को स्वतंत्र रूप से संख्याओं के समूह की माध्यिका की परिभाषा तैयार करने के लिए आमंत्रित करें, फिर पाठ्यपुस्तक में माध्यिका की दो परिभाषाएँ पढ़ें (पृष्ठ 50), फिर पाठ्यपुस्तक के उदाहरण 4 और 5 का विश्लेषण करें (पीपी। 50-52)

टिप्पणी:

छात्रों का ध्यान एक महत्वपूर्ण परिस्थिति की ओर आकर्षित करें: माध्यिका व्यावहारिक रूप से संख्याओं के सेट के व्यक्तिगत चरम मूल्यों के महत्वपूर्ण विचलन के प्रति असंवेदनशील है। आंकड़ों में, इस संपत्ति को स्थिरता कहा जाता है। एक सांख्यिकीय संकेतक की स्थिरता एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति है, यह हमें यादृच्छिक त्रुटियों और व्यक्तिगत अविश्वसनीय डेटा के खिलाफ बीमा करती है।

पाठ्यपुस्तक से आइटम 11 "माध्यिका" तक की संख्याओं का निर्णय।

संख्याओं का समूह: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

संख्याओं का सेट: 1,3,5,7,14।

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

क) संख्याओं का समूह: 3,4,11,17,21

बी) संख्याओं का सेट: 17,18,19,25,28

ग) संख्याओं का समूह: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

निष्कर्ष: विषम संख्या वाले सदस्यों वाली संख्याओं के समूह की माध्यिका बीच की संख्या के बराबर होती है।

ए) संख्याओं का सेट: 2, 4, 8 , 9.

मैं = (4+8):2=12:2=6

बी) संख्याओं का सेट: 1,3, 5,7 ,8,9.

मैं = (5+7):2=12:2=6

संख्याओं के एक समूह का माध्यिका जिसमें सदस्यों की एक सम संख्या होती है, मध्य में दो संख्याओं के योग का आधा होता है।

छात्र ने तिमाही के दौरान बीजगणित में निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त किए:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

पाना जीपीएऔर इस सेट की माध्यिका। [ 3 ]

आइए संख्याओं का एक सेट ऑर्डर करें: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

केवल 10 संख्याएँ, माध्यिका ज्ञात करने के लिए आपको दो मध्य संख्याएँ लेनी होंगी और उनका आधा योग ज्ञात करना होगा।

मैं = (5+5):2 = 5

छात्रों से प्रश्न: यदि आप एक शिक्षक होते, तो आप इस छात्र को एक चौथाई के लिए क्या ग्रेड देते? उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

कंपनी के अध्यक्ष को 300,000 रूबल का वेतन मिलता है। उनके तीन प्रतिनियुक्तियों को प्रत्येक को 150,000 रूबल, चालीस कर्मचारी - प्रत्येक को 50,000 रूबल मिलते हैं। और एक क्लीनर का वेतन 10,000 रूबल है। कंपनी में वेतन का अंकगणितीय माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए। राष्ट्रपति के लिए विज्ञापन उद्देश्यों के लिए उपयोग करने के लिए इनमें से कौन सी विशेषता अधिक लाभदायक है?

= (300000+3 150000+40 50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333.33 (रूबल)

कार्य 3. (छात्रों को स्वयं हल करने के लिए आमंत्रित करें, प्रोजेक्टर का उपयोग करके कार्य को प्रोजेक्ट करें)

तालिका रूस में सबसे बड़ी झीलों और जलाशयों में पानी की अनुमानित मात्रा को घन मीटर में दिखाती है। किमी. (अनुलग्नक 3) [ 4 ]

ए) इन जलाशयों में पानी की औसत मात्रा का पता लगाएं (अंकगणित माध्य);

बी) जलाशय के औसत आकार (डेटा का माध्य) में पानी की मात्रा का पता लगाएं;

ग) आपकी राय में, इनमें से कौन सी विशेषता - अंकगणितीय माध्य या माध्यिका - एक विशिष्ट बड़े रूसी जलाशय के आयतन का सबसे अच्छा वर्णन करती है? उत्तर स्पष्ट कीजिए।

ए) 2459 घन। किमी

बी) 60 घन। किमी

c) माध्यिका, क्योंकि डेटा में वे मान होते हैं जो अन्य सभी से बहुत भिन्न होते हैं।

कार्य 4. मौखिक रूप से।

ए) सेट में कितनी संख्याएं हैं यदि इसका मध्य इसका नौवां सदस्य है?

B) समुच्चय में कितनी संख्याएँ हैं यदि इसकी माध्यिका 7वें और 8वें पदों का अंकगणितीय माध्य है?

C) सात संख्याओं के एक समूह में, सबसे बड़ी संख्या में 14 की वृद्धि की गई। क्या इससे अंकगणितीय माध्य और माध्यिका दोनों बदल जाएंगे?

D) समुच्चय की प्रत्येक संख्या में 3 की वृद्धि की गई है। समांतर माध्य और माध्यिका का क्या होगा?

दुकान में मिठाइयां वजन के हिसाब से बिकती हैं। यह पता लगाने के लिए कि एक किलोग्राम में कितनी मिठाइयाँ हैं, माशा ने एक कैंडी का वजन खोजने का फैसला किया। उसने कई मिठाइयों का वजन किया और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किए:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

दोनों विशेषताएँ एक कैंडी के वजन का अनुमान लगाने के लिए उपयुक्त हैं, क्योंकि वे एक दूसरे से बहुत अलग नहीं हैं।

इसलिए, सांख्यिकीय जानकारी को चिह्नित करने के लिए, अंकगणितीय माध्य और माध्यिका का उपयोग किया जाता है। कई मामलों में, कुछ विशेषताओं का कोई सार्थक अर्थ नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, यातायात दुर्घटनाओं के समय के बारे में जानकारी होने पर, इन आंकड़ों के अंकगणितीय माध्य के बारे में बात करना शायद ही समझ में आता है)।

1. होमवर्क: पैराग्राफ 11, नंबर 3,4,9,11।
2. सबक परिणाम। प्रतिबिंब।

साहित्य:

1. यू.एन. ट्यूरिन एट अल "संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी", एमसीएनएमओ पब्लिशिंग हाउस, जेएससी "मॉस्को पाठ्यपुस्तक", मॉस्को 2008।
2. ई.ए. बनिमोविच, वी.ए. Bulychev "सांख्यिकी और संभाव्यता के मूल सिद्धांत", DROFA, मास्को 2004।
3. समाचार पत्र "गणित" संख्या 23, 2007।
4. प्रदर्शन के लिए संस्करण नियंत्रण कार्यग्रेड 7, 2007/2008 खाते के लिए संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी पर। साल।

यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं के बीच, सबसे पहले, उन पर ध्यान देना आवश्यक है जो संख्या अक्ष पर एक यादृच्छिक चर की स्थिति को चिह्नित करते हैं, अर्थात। कुछ औसत, अनुमानित मूल्य इंगित करें, जिसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों को समूहीकृत किया जाता है।

एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य एक निश्चित संख्या है, जो कि इसका "प्रतिनिधि" है और इसे अनुमानित अनुमानित गणना में बदल देता है। जब हम कहते हैं "औसत लैंप चलाने का समय 100 घंटे है" या "प्रभाव का मध्य बिंदु लक्ष्य के दाईं ओर 2 मीटर है", तो हम एक निश्चित संकेत दे रहे हैं संख्यात्मक विशेषतायादृच्छिक चर संख्या अक्ष पर अपनी स्थिति का वर्णन करता है, अर्थात। स्थान का विवरण।

संभाव्यता सिद्धांत में एक स्थिति की विशेषताओं में, सबसे महत्वपूर्ण भूमिका एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा द्वारा निभाई जाती है, जिसे कभी-कभी एक यादृच्छिक चर का औसत मान कहा जाता है।

एक असतत यादृच्छिक चर पर विचार करें जिसमें संभावनाओं के साथ संभावित मान हैं। हमें इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इन मूल्यों की अलग-अलग संभावनाएं हैं, हमें एक्स-अक्ष पर यादृच्छिक चर के मानों की स्थिति को कुछ संख्याओं द्वारा चिह्नित करने की आवश्यकता है। इस उद्देश्य के लिए, मूल्यों के तथाकथित "भारित औसत" का उपयोग करना स्वाभाविक है, और इस मूल्य की संभावना के आनुपातिक "वजन" के साथ औसत के दौरान प्रत्येक मूल्य को ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, हम यादृच्छिक चर के माध्य की गणना करेंगे, जिसे हम निम्न द्वारा निरूपित करेंगे:

या, यह देखते हुए,

. (5.6.1)

इस भारित औसत को यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस प्रकार, हमने संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक पर विचार किया - गणितीय अपेक्षा की अवधारणा।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों और इन मूल्यों की संभावनाओं का योग है।

ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्रीकरण में, गणितीय अपेक्षा की परिभाषा मान्य है, सख्ती से बोलना, केवल असतत यादृच्छिक चर के लिए; नीचे, हम इस अवधारणा को निरंतर मात्रा के मामले में सामान्यीकृत करेंगे।

गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को और अधिक स्पष्ट करने के लिए, आइए हम एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण की यांत्रिक व्याख्या की ओर मुड़ें। बता दें कि एब्सिस्सा वाले बिंदु एब्सिसा अक्ष पर स्थित होते हैं, जिसमें द्रव्यमान क्रमशः केंद्रित होते हैं, और . फिर, स्पष्ट रूप से, सूत्र (5.6.1) द्वारा परिभाषित गणितीय अपेक्षा और कुछ नहीं बल्कि भौतिक बिंदुओं की दी गई प्रणाली के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का भुज है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ एक यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के साथ एक अजीब निर्भरता से जुड़ी होती है। यह निर्भरता उसी प्रकार की होती है जैसे आवृत्ति और संभाव्यता के बीच निर्भरता, अर्थात्: बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, एक यादृच्छिक चर दृष्टिकोण (संभाव्यता में अभिसरण) के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य इसकी गणितीय अपेक्षा है। आवृत्ति और संभाव्यता के बीच एक संबंध की उपस्थिति से, एक परिणाम के रूप में अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच एक समान संबंध के अस्तित्व का अनुमान लगाया जा सकता है।

वास्तव में, एक वितरण श्रृंखला द्वारा विशेषता एक असतत यादृच्छिक चर पर विचार करें:

कहाँ पे .

आइए स्वतंत्र प्रयोग करें, जिनमें से प्रत्येक में मात्रा एक निश्चित मूल्य लेती है। मान लीजिए कि मान एक बार दिखाई दिया, मान एक बार दिखाई दिया, सामान्य तौर पर मान एक बार दिखाई दिया। स्पष्टतः,

आइए हम मात्रा के देखे गए मानों के अंकगणितीय माध्य की गणना करें, जो गणितीय अपेक्षा के विपरीत, हम निरूपित करेंगे:

लेकिन किसी घटना की आवृत्ति (या सांख्यिकीय संभावना) से ज्यादा कुछ नहीं है; इस आवृत्ति को कहा जा सकता है। फिर

,

वे। एक यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मूल्यों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की आवृत्तियों के उत्पादों के योग के बराबर है।

प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ, आवृत्तियाँ संगत प्रायिकताओं के निकट (संभाव्यता में अभिसरण) होंगी। नतीजतन, प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ एक यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य इसकी गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंच जाएगा (संभाव्यता में अभिसरण)।

ऊपर दिए गए अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच संबंध कानून के रूपों में से एक की सामग्री का गठन करता है बड़ी संख्या. इस नियम का कठोर प्रमाण हम अध्याय 13 में देंगे।

हम पहले से ही जानते हैं कि बड़ी संख्या के कानून के सभी रूप इस तथ्य को बताते हैं कि कुछ औसत बड़ी संख्या में प्रयोगों पर स्थिर होते हैं। यहां हम समान मान वाले प्रेक्षणों की श्रृंखला से अंकगणित माध्य के स्थायित्व के बारे में बात कर रहे हैं। प्रयोगों की एक छोटी संख्या के साथ, उनके परिणामों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक होता है; प्रयोगों की संख्या में पर्याप्त वृद्धि के साथ, यह "लगभग यादृच्छिक नहीं" हो जाता है और, स्थिर होकर, एक स्थिर मूल्य - गणितीय अपेक्षा तक पहुंच जाता है।

बड़ी संख्या में प्रयोगों के लिए औसत की स्थिरता की संपत्ति को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करना आसान है। उदाहरण के लिए, प्रयोगशाला में किसी पिंड को सटीक पैमानों पर तौलना, तोलने के परिणामस्वरूप हमें हर बार एक नया मान मिलता है; अवलोकन की त्रुटि को कम करने के लिए, हम शरीर को कई बार तौलते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रयोगों (वजन) की संख्या में और वृद्धि के साथ, अंकगणितीय माध्य इस वृद्धि पर कम और कम प्रतिक्रिया करता है, और पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ यह व्यावहारिक रूप से बदलना बंद कर देता है।

गणितीय अपेक्षा के लिए सूत्र (5.6.1) एक असतत यादृच्छिक चर के मामले से मेल खाता है। एक निरंतर मूल्य के लिए, गणितीय अपेक्षा, निश्चित रूप से, अब योग के रूप में नहीं, बल्कि एक अभिन्न के रूप में व्यक्त की जाती है:

, (5.6.2)

मात्रा का वितरण घनत्व कहाँ है।

फॉर्मूला (5.6.2) सूत्र (5.6.1) से प्राप्त होता है, यदि हम इसमें अलग-अलग मानों को लगातार बदलते पैरामीटर x, संबंधित संभावनाओं - एक संभाव्यता तत्व के साथ, और अंतिम योग - एक अभिन्न के साथ प्रतिस्थापित करते हैं। निम्नलिखित में, हम असंतत मात्राओं के लिए व्युत्पन्न सूत्रों को निरंतर मात्राओं के मामले में विस्तारित करने की इस पद्धति का उपयोग करेंगे।

यांत्रिक व्याख्या में, एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक ही अर्थ को बरकरार रखती है - गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के एब्सिस्सा उस स्थिति में जब द्रव्यमान लगातार एब्सिस्सा अक्ष के साथ घनत्व के साथ वितरित किया जाता है। यह व्याख्या अक्सर सरल यांत्रिक विचारों से अभिन्न (5.6.2) की गणना किए बिना गणितीय अपेक्षा को खोजना संभव बनाती है।

ऊपर, हमने मात्रा की गणितीय अपेक्षा के लिए संकेतन की शुरुआत की। कुछ मामलों में, जब किसी मान को एक निश्चित संख्या के रूप में सूत्रों में शामिल किया जाता है, तो इसे एक अक्षर से निरूपित करना अधिक सुविधाजनक होता है। इन मामलों में, हम मूल्य की गणितीय अपेक्षा को निरूपित करेंगे:

सूत्रों के एक या दूसरे अंकन की सुविधा के आधार पर, भविष्य में समानांतर में अंकन और गणितीय अपेक्षा के लिए उपयोग किया जाएगा। आइए हम भी सहमत हों, यदि आवश्यक हो, तो शब्द "गणितीय अपेक्षा" को अक्षर m.o. द्वारा संक्षिप्त करने के लिए।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता - गणितीय अपेक्षा - सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद नहीं है। ऐसे यादृच्छिक चरों के उदाहरण बनाना संभव है जिनके लिए गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है, क्योंकि संबंधित योग या अभिन्न विचलन।

उदाहरण के लिए, वितरण श्रृंखला के साथ एक असंतत यादृच्छिक चर पर विचार करें:

इसे सत्यापित करना आसान है, अर्थात्। वितरण श्रृंखला समझ में आता है; हालांकि, इस मामले में योग अलग हो जाता है और इसलिए, मूल्य की गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है। हालांकि, अभ्यास के लिए, ऐसे मामले महत्वपूर्ण रुचि के नहीं हैं। आमतौर पर, हम जिन यादृच्छिक चर के साथ काम कर रहे हैं, उनमें संभावित मूल्यों की एक सीमित सीमा होती है और निश्चित रूप से, एक अपेक्षा होती है।

ऊपर, हमने क्रमशः असंतत और सतत यादृच्छिक चर के लिए गणितीय अपेक्षा को व्यक्त करते हुए सूत्र (5.6.1) और (5.6.2) दिए।

यदि मात्रा मात्राओं से संबंधित है मिश्रित प्रकार, तो इसकी गणितीय अपेक्षा फॉर्म के एक सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:

, (5.6.3)

जहां योग उन सभी बिंदुओं तक विस्तारित होता है जिन पर वितरण फ़ंक्शन टूट जाता है, और अभिन्न उन सभी वर्गों तक विस्तारित होता है जिन पर वितरण फ़ंक्शन निरंतर होता है।

सबसे महत्वपूर्ण स्थिति विशेषताओं के अलावा - गणितीय अपेक्षा - अन्य स्थिति विशेषताओं का कभी-कभी व्यवहार में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर के मोड और माध्यिका।

यादृच्छिक चर का बहुलक इसका सबसे संभावित मान है। शब्द "सबसे संभावित मूल्य", कड़ाई से बोलते हुए, केवल असंतुलित मात्रा पर लागू होता है; एक सतत मात्रा के लिए, बहुलक वह मान है जिस पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम होता है। हम पत्र के साथ मोड को नामित करने के लिए सहमत हैं। अंजीर पर। 5.6.1 और 5.6.2 क्रमशः असंतत और सतत यादृच्छिक चर के लिए बहुलक दिखाते हैं।

यदि वितरण बहुभुज (वितरण वक्र) में एक से अधिक अधिकतम हैं, तो वितरण को "बहुविध" कहा जाता है (आंकड़े 5.6.3 और 5.6.4)।

कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनमें बीच में अधिकतम नहीं, बल्कि न्यूनतम होता है (चित्र 5.6.5 और 5.6.6)। इस तरह के वितरण को "एंटीमॉडल" कहा जाता है। प्रतिमॉडल वितरण का एक उदाहरण उदाहरण 5, n° 5.1 में प्राप्त वितरण है।

सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का बहुलक और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती। एक विशेष मामले में, जब वितरण सममित और मोडल (यानी एक मोड होता है) और गणितीय अपेक्षा होती है, तो यह वितरण के समरूपता के केंद्र और मोड के साथ मेल खाता है।

स्थिति की एक और विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक यादृच्छिक चर का तथाकथित माध्यिका। यह विशेषता आमतौर पर केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उपयोग की जाती है, हालांकि इसे औपचारिक रूप से एक असंतत चर के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।

एक यादृच्छिक चर का माध्यक उसका मान होता है जिसके लिए

वे। यह समान रूप से संभावना है कि यादृच्छिक चर इससे कम या अधिक होगा। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र से घिरा क्षेत्र आधे में विभाजित होता है (चित्र 5.6.7)।