प्राकृतिक लघुगणक द्वारा जटिल उदाहरणों को हल करना। लघुगणक व्यंजक

हम लघुगणक का अध्ययन जारी रखते हैं। इस लेख में हम बात करेंगे लघुगणक की गणना, इस प्रक्रिया को कहा जाता है लोगारित्म. सबसे पहले, हम परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना से निपटेंगे। इसके बाद, विचार करें कि लॉगरिदम के मूल्यों को उनके गुणों का उपयोग करके कैसे पाया जाता है। उसके बाद, हम अन्य लघुगणक के प्रारंभिक रूप से दिए गए मानों के माध्यम से लघुगणक की गणना पर ध्यान देंगे। अंत में, आइए जानें कि लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग कैसे करें। संपूर्ण सिद्धांत विस्तृत समाधान के साथ उदाहरणों के साथ प्रदान किया गया है।

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परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना

सरलतम मामलों में, जल्दी और आसानी से प्रदर्शन करना संभव है परिभाषा के अनुसार लघुगणक ज्ञात करना. आइए विस्तार से देखें कि यह प्रक्रिया कैसे होती है।

इसका सार संख्या b को a c के रूप में निरूपित करना है, जहाँ से, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, संख्या c लघुगणक का मान है। अर्थात्, परिभाषा के अनुसार, लघुगणक ज्ञात करना समानता की निम्नलिखित श्रृंखला से मेल खाता है: log a b=log a c =c ।

तो, लघुगणक की गणना, परिभाषा के अनुसार, ऐसी संख्या c खोजने के लिए नीचे आती है कि a c \u003d b, और संख्या c स्वयं लघुगणक का वांछित मान है।

पिछले अनुच्छेदों की जानकारी को देखते हुए, जब लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या लघुगणक के आधार के कुछ अंश द्वारा दी जाती है, तो आप तुरंत संकेत कर सकते हैं कि लघुगणक किसके बराबर है - यह के बराबरडिग्री। आइए उदाहरण दिखाते हैं।

उदाहरण।

log 2 2 −3 खोजें और e 5.3 का प्राकृत लघुगणक भी परिकलित करें।

समाधान।

लघुगणक की परिभाषा हमें तुरंत यह कहने की अनुमति देती है कि लघुगणक 2 2 −3 = −3 । वास्तव में, लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या आधार 2 से −3 घात के बराबर होती है।

इसी तरह, हम दूसरा लघुगणक पाते हैं: lne 5.3 =5.3।

उत्तर:

log 2 2 −3 = −3 और lne 5.3 =5.3 ।

यदि लॉगरिदम के चिन्ह के तहत संख्या b को लघुगणक के आधार की शक्ति के रूप में नहीं दिया गया है, तो आपको ध्यान से विचार करने की आवश्यकता है कि क्या संख्या b का प्रतिनिधित्व a c के रूप में करना संभव है। अक्सर यह प्रतिनिधित्व काफी स्पष्ट होता है, खासकर जब लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या 1, या 2, या 3 की शक्ति के आधार के बराबर होती है ...

उदाहरण।

लघुगणक की गणना करें लॉग 5 25 , और .

समाधान।

यह देखना आसान है कि 25=5 2 , यह आपको पहले लघुगणक की गणना करने की अनुमति देता है: log 5 25=log 5 5 2 =2 ।

हम दूसरे लघुगणक की गणना के लिए आगे बढ़ते हैं। एक संख्या को 7 की शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है: (यदि आवश्यक हो तो देखें)। फलस्वरूप, .

आइए तीसरे लघुगणक को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखें। अब आप देख सकते हैं कि , जहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि . इसलिए, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार .

संक्षेप में, समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उत्तर:

लॉग 5 25=2 , तथा .

जब लॉगरिदम के चिह्न के तहत पर्याप्त रूप से बड़ा मान होता है प्राकृतिक संख्या, तो इसे प्रमुख कारकों में विघटित करने में कोई दिक्कत नहीं होती है। यह अक्सर लघुगणक के आधार की कुछ शक्ति के रूप में ऐसी संख्या का प्रतिनिधित्व करने में मदद करता है, और इसलिए, परिभाषा के अनुसार इस लघुगणक की गणना करने के लिए।

उदाहरण।

लघुगणक का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान।

लघुगणक के कुछ गुण आपको लघुगणक के मान को तुरंत निर्दिष्ट करने की अनुमति देते हैं। इन गुणों में एक के लघुगणक का गुण और आधार के बराबर किसी संख्या के लघुगणक का गुण शामिल होता है: log 1 1=log a a 0 =0 और log a=log a 1 =1 । अर्थात्, जब संख्या 1 या संख्या a, लघुगणक के चिह्न के नीचे, लघुगणक के आधार के बराबर होती है, तो इन मामलों में लघुगणक क्रमशः 0 और 1 होते हैं।

उदाहरण।

लघुगणक और lg10 क्या हैं?

समाधान।

चूँकि , यह लघुगणक की परिभाषा का अनुसरण करता है .

दूसरे उदाहरण में, लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या 10 इसके आधार के साथ मेल खाती है, इसलिए दस का दशमलव लघुगणक एक के बराबर है, अर्थात lg10=lg10 1 =1 ।

उत्तर:

और एलजी 10 = 1।

ध्यान दें कि परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना (जिसकी हमने पिछले पैराग्राफ में चर्चा की थी) का तात्पर्य समानता लॉग a p =p के उपयोग से है, जो लघुगणक के गुणों में से एक है।

व्यवहार में, जब लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या और लघुगणक के आधार को आसानी से किसी संख्या की शक्ति के रूप में दर्शाया जाता है, तो सूत्र का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है , जो लघुगणक के गुणों में से एक से मेल खाती है। इस सूत्र के उपयोग को दर्शाने वाले लघुगणक को खोजने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

के लघुगणक की गणना करें।

समाधान।

उत्तर:

ऊपर वर्णित लघुगणक के गुण भी गणना में उपयोग किए जाते हैं, लेकिन हम इसके बारे में निम्नलिखित पैराग्राफ में बात करेंगे।

अन्य ज्ञात लघुगणक के संदर्भ में लघुगणक ढूँढना

इस अनुच्छेद की जानकारी उनकी गणना में लघुगणक के गुणों का उपयोग करने के विषय को जारी रखती है। लेकिन यहां मुख्य अंतर यह है कि लघुगणक के गुणों का उपयोग मूल लघुगणक को दूसरे लघुगणक के रूप में व्यक्त करने के लिए किया जाता है, जिसका मूल्य ज्ञात होता है। आइए स्पष्टीकरण के लिए एक उदाहरण लेते हैं। मान लें कि हम जानते हैं कि लॉग 2 3≈1.584963 , तो हम उदाहरण के लिए, लॉगरिदम के गुणों का उपयोग करके थोड़ा परिवर्तन करके लॉग 2 6 पा सकते हैं: लॉग 2 6=लॉग 2 (2 3)=लॉग 2 2+लॉग 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

उपरोक्त उदाहरण में, हमारे लिए उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करना पर्याप्त था। हालांकि, दिए गए लोगों के संदर्भ में मूल लॉगरिदम की गणना करने के लिए आपको अक्सर लॉगरिदम के गुणों के व्यापक शस्त्रागार का उपयोग करना पड़ता है।

उदाहरण।

27 से आधार 60 के लघुगणक की गणना करें यदि यह ज्ञात हो कि लघुगणक 60 2=a और लघुगणक 60 5=b है।

समाधान।

तो हमें लॉग 60 27 खोजने की जरूरत है। यह देखना आसान है कि 27=3 3 , और मूल लघुगणक, डिग्री के लघुगणक के गुण के कारण, 3·log 60 3 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

अब देखते हैं कि लॉग 60 3 को ज्ञात लघुगणक के रूप में कैसे व्यक्त किया जा सकता है। आधार के बराबर किसी संख्या के लघुगणक का गुण आपको समानता लॉग 60 60=1 लिखने की अनुमति देता है। दूसरी ओर, लघुगणक 60 60=log60(2 2 3 5)= लॉग 60 2 2 +लॉग 60 3+लॉग 60 5= 2 लॉग 60 2+लॉग 60 3+लॉग 60 5 . इस तरह, 2 लॉग 60 2+लॉग 60 3+लॉग 60 5=1. फलस्वरूप, लॉग 60 3=1−2 लॉग 60 2−लॉग 60 5=1−2 a−b.

अंत में, हम मूल लघुगणक की गणना करते हैं: लघुगणक 60 27=3 लघुगणक 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

उत्तर:

लॉग 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

अलग-अलग, यह प्रपत्र के लघुगणक के एक नए आधार पर संक्रमण के सूत्र के अर्थ का उल्लेख करने योग्य है . यह आपको किसी भी आधार के साथ लघुगणक से एक विशिष्ट आधार के साथ लघुगणक में जाने की अनुमति देता है, जिसके मूल्य ज्ञात हैं या उन्हें खोजना संभव है। आमतौर पर, मूल लघुगणक से, संक्रमण सूत्र के अनुसार, वे आधार 2, ई या 10 में से किसी एक में लघुगणक पर स्विच करते हैं, क्योंकि इन आधारों के लिए लघुगणक की तालिकाएँ होती हैं जो उन्हें एक निश्चित डिग्री सटीकता के साथ गणना करने की अनुमति देती हैं। अगले भाग में, हम दिखाएंगे कि यह कैसे किया जाता है।

लघुगणक की सारणी, उनका उपयोग

लघुगणक के मूल्यों की अनुमानित गणना के लिए, कोई उपयोग कर सकता है लघुगणक सारणी. सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला आधार 2 लघुगणक तालिका, प्राकृतिक लघुगणक तालिका और दशमलव लघुगणक तालिका है। दशमलव संख्या प्रणाली में काम करते समय, आधार दस के लिए लघुगणक की एक तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इसकी सहायता से हम लघुगणक के मान ज्ञात करना सीखेंगे।

प्रस्तुत तालिका 1.000 से 9.999 (तीन दशमलव स्थानों के साथ) के दशमलव लघुगणक के मानों को खोजने के लिए, एक दस-हज़ारवें की सटीकता के साथ अनुमति देती है। हम एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके दशमलव लघुगणक की तालिका का उपयोग करके लघुगणक के मूल्य को खोजने के सिद्धांत का विश्लेषण करेंगे - यह स्पष्ट है। आइए खोजें lg1,256 ।

दशमलव लघुगणक की तालिका के बाएँ स्तंभ में हमें 1.256 संख्या के पहले दो अंक मिलते हैं, अर्थात्, हम 1.2 पाते हैं (यह संख्या स्पष्टता के लिए नीले रंग में परिक्रमा करती है)। संख्या 1.256 (संख्या 5) का तीसरा अंक दोहरी रेखा के बाईं ओर पहली या अंतिम पंक्ति में पाया जाता है (यह संख्या लाल रंग में परिक्रमा करती है)। मूल संख्या 1.256 (नंबर 6) का चौथा अंक दोहरी रेखा के दाईं ओर पहली या अंतिम पंक्ति में पाया जाता है (यह संख्या हरे रंग में परिक्रमा करती है)। अब हम चिह्नित पंक्ति और चिह्नित स्तंभों के चौराहे पर लघुगणक तालिका के कक्षों में संख्याएँ पाते हैं (इन संख्याओं को हाइलाइट किया गया है) संतरा) अंकित संख्याओं का योग दशमलव लघुगणक के चौथे दशमलव स्थान तक का वांछित मान देता है, अर्थात्, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

क्या उपरोक्त तालिका का उपयोग करके, दशमलव बिंदु के बाद तीन से अधिक अंकों वाली संख्याओं के दशमलव लघुगणक के मान ज्ञात करना और 1 से 9.999 तक की सीमा से आगे जाना संभव है? हाँ आप कर सकते हैं। आइए दिखाते हैं कि यह एक उदाहरण के साथ कैसे किया जाता है।

आइए lg102.76332 की गणना करें। सबसे पहले आपको लिखना होगा मानक रूप में संख्या: 102.76332=1.0276332 10 2। उसके बाद, मंटिसा को दशमलव के तीसरे स्थान तक गोल किया जाना चाहिए, हमारे पास 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, जबकि मूल दशमलव लघुगणक परिणामी संख्या के लघुगणक के लगभग बराबर है, अर्थात, हम lg102.76332≈lg1.028·10 2 लेते हैं। अब लघुगणक के गुण लागू करें: एलजी1.028 10 2 =एलजी1.028+एलजी10 2 =एलजी1.028+2. अंत में, हम दशमलव लघुगणक की तालिका lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 के अनुसार लघुगणक lg1.028 का मान पाते हैं। नतीजतन, लघुगणक की गणना की पूरी प्रक्रिया इस तरह दिखती है: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

अंत में, यह ध्यान देने योग्य है कि दशमलव लघुगणक की तालिका का उपयोग करके, आप किसी भी लघुगणक के अनुमानित मूल्य की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, दशमलव लघुगणक पर जाने, तालिका में उनके मान खोजने और शेष गणना करने के लिए संक्रमण सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, आइए log 2 3 की गणना करें। लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण के सूत्र के अनुसार, हमारे पास . दशमलव लघुगणक की तालिका से हम lg3≈0.4771 और lg2≈0.3010 पाते हैं। इस तरह, .

ग्रंथ सूची।

कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शैक्षिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक।
गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।

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एक धनात्मक संख्या b का आधार a (a>0, a 1 के बराबर नहीं है) का लघुगणक एक संख्या c है जैसे a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a 1, b > 0)

ध्यान दें कि एक गैर-धनात्मक संख्या का लघुगणक परिभाषित नहीं है। साथ ही, लघुगणक का आधार एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए, न कि 1 के बराबर। उदाहरण के लिए, यदि हम -2 का वर्ग करते हैं, तो हमें संख्या 4 प्राप्त होती है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि 4 का आधार -2 लघुगणक 2 है।

मूल लघुगणकीय पहचान

एक लॉग ए बी = बी (ए> 0, ए ≠ 1) (2)

यह महत्वपूर्ण है कि इस सूत्र के दाएं और बाएं भागों की परिभाषा के डोमेन अलग-अलग हों। बाईं ओर केवल b>0, a>0 और a 1 के लिए परिभाषित किया गया है। दायां भागकिसी भी b के लिए परिभाषित किया गया है, लेकिन a पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं है। इस प्रकार, समीकरणों और असमानताओं को हल करने में मूल लघुगणकीय "पहचान" के अनुप्रयोग से डीपीवी में परिवर्तन हो सकता है।

लघुगणक की परिभाषा के दो स्पष्ट परिणाम

लॉग ए ए = 1 (ए> 0, ए ≠ 1) (3)
लॉग ए 1 = 0 (ए> 0, ए ≠ 1) (4)

दरअसल, संख्या को पहली शक्ति तक बढ़ाने पर, हमें वही संख्या मिलती है, और जब इसे शून्य शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो हमें एक मिलता है।

उत्पाद का लघुगणक और भागफल का लघुगणक

लॉग ए (बी सी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0) (5)

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0) (6)

मैं स्कूली बच्चों को लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय इन सूत्रों के विचारहीन उपयोग के खिलाफ चेतावनी देना चाहता हूं। जब उनका उपयोग "बाएं से दाएं" किया जाता है, तो ODZ संकुचित हो जाता है, और जब लघुगणक के योग या अंतर से उत्पाद या भागफल के लघुगणक की ओर बढ़ते हैं, तो ODZ फैलता है।

वास्तव में, व्यंजक लॉग a (f (x) g (x)) को दो स्थितियों में परिभाषित किया गया है: जब दोनों फलन पूर्णतः धनात्मक हों या जब f(x) और g(x) दोनों शून्य से कम हों।

इस व्यंजक को योग लॉग a f (x) + log a g (x) में बदलने पर, हम स्वयं को केवल उस स्थिति तक सीमित रखने के लिए बाध्य होते हैं जब f(x)>0 और g(x)>0। स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का एक संकुचन है, और यह स्पष्ट रूप से अस्वीकार्य है, क्योंकि इससे समाधान का नुकसान हो सकता है। इसी तरह की समस्या सूत्र (6) के लिए मौजूद है।

डिग्री को लघुगणक के चिन्ह से निकाला जा सकता है

लॉग ए बी पी = पी लॉग ए बी (ए> 0, ए 1, बी> 0) (7)

और फिर से मैं सटीकता के लिए कॉल करना चाहूंगा। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

लॉग ए (एफ (एक्स) 2 = 2 लॉग ए एफ (एक्स)

समानता के बाईं ओर शून्य को छोड़कर f(x) के सभी मानों के लिए स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। दायां पक्ष केवल f(x)>0 के लिए है! लघुगणक से शक्ति निकालते हुए, हम ODZ को फिर से संकीर्ण करते हैं। रिवर्स प्रक्रिया स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के विस्तार की ओर ले जाती है। ये सभी टिप्पणियां न केवल 2 की शक्ति पर लागू होती हैं, बल्कि किसी भी शक्ति पर भी लागू होती हैं।

नए आधार पर जाने का फॉर्मूला

लॉग ए बी = लॉग सी बी लॉग सी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0, सी ≠ 1) (8)

वह दुर्लभ मामला जब रूपांतरण के दौरान ODZ नहीं बदलता है। यदि आपने आधार c को बुद्धिमानी से चुना है (सकारात्मक और 1 के बराबर नहीं), तो नए आधार पर जाने का सूत्र पूरी तरह से सुरक्षित है।

यदि हम संख्या b को नए आधार c के रूप में चुनते हैं, तो हमें सूत्र (8) का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला प्राप्त होता है:

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, बी ≠ 1) (9)

लघुगणक के साथ कुछ सरल उदाहरण

उदाहरण 1 गणना करें: lg2 + lg50।
समाधान। lg2 + lg50 = lg100 = 2. हमने लघुगणक (5) के योग और दशमलव लघुगणक की परिभाषा के लिए सूत्र का उपयोग किया।

उदाहरण 2 परिकलित करें: lg125/lg5.
समाधान। lg125/lg5 = log 5 125 = 3. हमने नए आधार संक्रमण सूत्र (8) का उपयोग किया।

लघुगणक से संबंधित सूत्रों की तालिका

एक लॉग ए बी = बी (ए> 0, ए ≠ 1)

लॉग ए ए = 1 (ए> 0, ए ≠ 1)

लॉग ए 1 = 0 (ए> 0, ए ≠ 1)

लॉग ए (बी सी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0)

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0)

लॉग ए बी पी = पी लॉग ए बी (ए> 0, ए 1, बी> 0)

लॉग ए बी = लॉग सी बी लॉग सी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0, सी ≠ 1)

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, बी ≠ 1)

इस वीडियो के साथ, मैं लघुगणकीय समीकरणों के बारे में पाठों की एक लंबी श्रृंखला शुरू करता हूँ। अब आपके पास एक साथ तीन उदाहरण हैं, जिनके आधार पर हम सबसे ज्यादा हल करना सीखेंगे सरल कार्य, जिन्हें कहा जाता है प्रोटोजोआ.

लॉग 0.5 (3x - 1) = -3

एलजी (एक्स + 3) = 3 + 2 एलजी 5

मैं आपको याद दिला दूं कि सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण निम्नलिखित है:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

यह महत्वपूर्ण है कि चर x केवल तर्क के अंदर मौजूद है, अर्थात केवल फलन f(x) में। और संख्याएँ a और b केवल संख्याएँ हैं, और किसी भी स्थिति में चर x वाले फलन नहीं हैं।

मूल समाधान के तरीके

ऐसी संरचनाओं को हल करने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, स्कूल के अधिकांश शिक्षक इस तरह से सुझाव देते हैं: सूत्र का उपयोग करके फ़ंक्शन f (x) को तुरंत व्यक्त करें एफ( एक्स) = एक ख। यही है, जब आप सबसे सरल निर्माण को पूरा करते हैं, तो आप अतिरिक्त कार्यों और निर्माणों के बिना तुरंत समाधान के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

हां, निश्चित तौर पर फैसला सही साबित होगा। हालाँकि, इस फॉर्मूले के साथ समस्या यह है कि अधिकांश छात्र समझ में नहीं आता, यह कहाँ से आता है और हम अक्षर a को अक्षर b तक क्यों बढ़ाते हैं।

नतीजतन, मैं अक्सर बहुत आक्रामक त्रुटियों का निरीक्षण करता हूं, उदाहरण के लिए, इन पत्रों को आपस में बदल दिया जाता है। इस सूत्र को या तो समझा जाना चाहिए या याद रखना चाहिए, और दूसरी विधि सबसे अनुचित और सबसे महत्वपूर्ण क्षणों में त्रुटियों की ओर ले जाती है: परीक्षा, परीक्षण आदि में।

इसलिए मैं अपने सभी छात्रों को मानक स्कूल फॉर्मूले को छोड़ने और लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए दूसरे दृष्टिकोण का उपयोग करने का सुझाव देता हूं, जैसा कि आप शायद नाम से अनुमान लगाते हैं, कहा जाता है कानूनी फॉर्म.

विहित रूप का विचार सरल है। आइए अपने कार्य को फिर से देखें: बाईं ओर हमारे पास लॉग a है, जबकि अक्षर a का अर्थ बिल्कुल संख्या है, और किसी भी स्थिति में चर x युक्त फ़ंक्शन नहीं है। इसलिए, यह पत्र उन सभी प्रतिबंधों के अधीन है जो लघुगणक के आधार पर लगाए गए हैं। अर्थात्:

1 ए > 0

दूसरी ओर, उसी समीकरण से, हम देखते हैं कि लघुगणक संख्या b के बराबर होना चाहिए, और इस पत्र पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है, क्योंकि यह कोई भी मान ले सकता है - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि f(x) फ़ंक्शन क्या मान लेता है।

और यहाँ हम अपने अद्भुत नियम को याद करते हैं कि किसी भी संख्या b को आधार a से b की घात तक एक लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है:

बी = लॉग ए ए बी

इस सूत्र को कैसे याद रखें? हाँ, बहुत सरल। आइए निम्नलिखित निर्माण लिखें:

बी = बी 1 = बी लॉग ए ए

बेशक, इस मामले में, सभी प्रतिबंध जो हमने शुरुआत में लिखे थे, उत्पन्न होते हैं। और अब हम लघुगणक के मूल गुण का उपयोग करते हैं, और गुणनखंड b को a की घात के रूप में दर्ज करते हैं। हम पाते हैं:

बी = बी 1 = बी लॉग ए ए = लॉग ए ए बी

परिणामस्वरूप, मूल समीकरण को निम्न रूप में फिर से लिखा जाएगा:

लॉग a f (x) = log a a b → f (x) = a b

बस इतना ही। नयी विशेषताअब इसमें कोई लघुगणक नहीं है और इसे मानक बीजगणितीय तकनीकों द्वारा हल किया जाता है।

बेशक, अब कोई आपत्ति करेगा: किसी प्रकार के विहित सूत्र के साथ आना क्यों आवश्यक था, दो अतिरिक्त अनावश्यक कदम क्यों उठाएं, यदि मूल निर्माण से अंतिम सूत्र तक तुरंत जाना संभव था? हां, यदि केवल इसलिए कि अधिकांश छात्र यह नहीं समझते हैं कि यह सूत्र कहाँ से आता है और परिणामस्वरूप, इसे लागू करते समय नियमित रूप से गलतियाँ करते हैं।

लेकिन क्रियाओं का ऐसा क्रम, जिसमें तीन चरण होते हैं, आपको मूल लघुगणकीय समीकरण को हल करने की अनुमति देता है, भले ही आप यह न समझें कि वह अंतिम सूत्र कहाँ से आता है। वैसे, इस प्रविष्टि को विहित सूत्र कहा जाता है:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

विहित रूप की सुविधा इस तथ्य में भी निहित है कि इसका उपयोग लॉगरिदमिक समीकरणों के एक बहुत व्यापक वर्ग को हल करने के लिए किया जा सकता है, न कि केवल सबसे सरल जिन्हें हम आज विचार कर रहे हैं।

समाधान उदाहरण

अब आइए वास्तविक उदाहरण देखें। तो चलिए तय करते हैं:

लॉग 0.5 (3x - 1) = -3

आइए इसे इस तरह फिर से लिखें:

लॉग 0.5 (3x - 1) = लॉग 0.5 0.5 -3

बहुत से छात्र जल्दी में हैं और मूल समस्या से हमारे पास आने वाली शक्ति को तुरंत 0.5 की संख्या बढ़ाने की कोशिश करते हैं। और वास्तव में, जब आप ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए पहले से ही अच्छी तरह से प्रशिक्षित हैं, तो आप तुरंत यह कदम उठा सकते हैं।

हालाँकि, यदि आप अभी इस विषय का अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं, तो बेहतर है कि कहीं भी जल्दबाजी न करें ताकि आपत्तिजनक गलतियाँ न हों। तो हमारे पास विहित रूप है। हमारे पास है:

3x - 1 = 0.5 -3

यह अब एक लघुगणकीय समीकरण नहीं है, बल्कि चर x के संबंध में एक रैखिक समीकरण है। इसे हल करने के लिए, आइए पहले −3 की घात के लिए 0.5 की संख्या से निपटें। ध्यान दें कि 0.5 1/2 है।

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

सभी दशमलवजब आप एक लघुगणकीय समीकरण को हल करते हैं तो सामान्य में परिवर्तित हो जाते हैं।

हम फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

3x - 1 = 8
3x=9
एक्स = 3

हमें सबका जवाब मिल गया। पहला कार्य हल हो गया है।

दूसरा कार्य

आइए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह समीकरण अब सबसे सरल नहीं है। यदि केवल इसलिए कि अंतर बाईं ओर है, और एक आधार में एक भी लघुगणक नहीं है।

इसलिए, आपको किसी तरह इस अंतर से छुटकारा पाने की जरूरत है। इस मामले में, सब कुछ बहुत सरल है। आइए आधारों पर करीब से नज़र डालें: बाईं ओर जड़ के नीचे की संख्या है:

सामान्य अनुशंसा: सभी लघुगणकीय समीकरणों में, मूलांकों से छुटकारा पाने का प्रयास करें, अर्थात, जड़ों वाली प्रविष्टियाँ, और आगे बढ़ें शक्ति कार्य, केवल इसलिए कि इन शक्तियों के प्रतिपादकों को लॉगरिदम के चिन्ह से आसानी से निकाल लिया जाता है, और अंत में, ऐसा संकेतन गणनाओं को बहुत सरल और गति प्रदान करता है। आइए इसे इस तरह लिखें:

अब हम लघुगणक की उल्लेखनीय संपत्ति को याद करते हैं: तर्क से, साथ ही आधार से, आप डिग्री निकाल सकते हैं। आधारों के मामले में, निम्नलिखित होता है:

लॉग a k b = 1/k लोगा b

दूसरे शब्दों में, जो संख्या आधार की डिग्री में खड़ी होती है उसे आगे लाया जाता है और साथ ही पलट दिया जाता है, यानी संख्या का व्युत्क्रम हो जाता है। हमारे मामले में, 1/2 के संकेतक के साथ आधार की डिग्री थी। इसलिए, हम इसे 2/1 के रूप में निकाल सकते हैं। हम पाते हैं:

5 2 लघुगणक 5 x - लघुगणक 5 x = 18
10 लघुगणक 5 x - लघुगणक 5 x = 18

कृपया ध्यान दें: किसी भी स्थिति में आपको इस चरण में लघुगणक से छुटकारा नहीं मिलना चाहिए। ग्रेड 4-5 गणित और संचालन के क्रम पर विचार करें: पहले गुणा किया जाता है, और उसके बाद ही जोड़ और घटाव किया जाता है। इस मामले में, हम 10 तत्वों में से एक ही तत्व को घटाते हैं:

9 लघुगणक 5 x = 18
लॉग 5 x = 2

अब हमारा समीकरण वैसा ही दिखता है जैसा होना चाहिए। यह सबसे सरल निर्माण है, और हम इसे विहित रूप का उपयोग करके हल करते हैं:

लघुगणक 5 x = लघुगणक 5 5 2
एक्स = 5 2
एक्स = 25

बस इतना ही। दूसरी समस्या हल हो गई है।

तीसरा उदाहरण

आइए तीसरे कार्य पर चलते हैं:

एलजी (एक्स + 3) = 3 + 2 एलजी 5

निम्नलिखित सूत्र को याद करें:

लॉग बी = लॉग 10 बी

अगर किसी कारण से आप lg b लिखकर भ्रमित हैं, तो सभी गणना करते समय, आप बस लॉग 10 b लिख सकते हैं। आप दशमलव लॉगरिदम के साथ उसी तरह काम कर सकते हैं जैसे दूसरों के साथ: शक्तियों को बाहर निकालें, जोड़ें, और एलजी 10 के रूप में किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करें।

यह ठीक ये गुण हैं जिनका उपयोग अब हम समस्या को हल करने के लिए करेंगे, क्योंकि यह सबसे सरल नहीं है जिसे हमने अपने पाठ की शुरुआत में लिखा था।

शुरू करने के लिए, ध्यान दें कि एलजी 5 से पहले कारक 2 डाला जा सकता है और आधार 5 की शक्ति बन जाता है। इसके अलावा, मुक्त शब्द 3 को लॉगरिदम के रूप में भी दर्शाया जा सकता है - यह हमारे नोटेशन से निरीक्षण करना बहुत आसान है।

अपने लिए न्यायाधीश: किसी भी संख्या को आधार 10 के लॉग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

3 = लघुगणक 10 10 3 = लघुगणक 10 3

आइए प्राप्त परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए मूल समस्या को फिर से लिखें:

एलजी (एक्स - 3) = एलजी 1000 + एलजी 25
एलजी (एक्स - 3) = एलजी 1000 25
एलजी (एक्स - 3) = एलजी 25 000

इससे पहले कि हम फिर से विहित रूप हैं, और हमने इसे परिवर्तनों के चरण को दरकिनार करते हुए प्राप्त किया, अर्थात, सबसे सरल लघुगणक समीकरण हमारे साथ कहीं भी नहीं आया।

यही मैं पाठ की शुरुआत में ही बात कर रहा था। विहित रूप मानक स्कूल फॉर्मूले की तुलना में समस्याओं के एक व्यापक वर्ग को हल करने की अनुमति देता है, जो कि अधिकांश स्कूल शिक्षकों द्वारा दिया जाता है।

बस इतना ही, हम दशमलव लघुगणक के चिह्न से छुटकारा पाते हैं, और हमें एक सरल रैखिक निर्माण मिलता है:

एक्स + 3 = 25,000
एक्स = 24997

सभी! समस्या हल हो गई।

दायरे के बारे में एक नोट

यहां मैं परिभाषा के क्षेत्र के बारे में एक महत्वपूर्ण टिप्पणी करना चाहूंगा। निश्चित रूप से अब ऐसे छात्र और शिक्षक हैं जो कहेंगे: "जब हम लघुगणक के साथ व्यंजकों को हल करते हैं, तो यह याद रखना अनिवार्य है कि तर्क f (x) शून्य से बड़ा होना चाहिए!" इस संबंध में, एक तार्किक प्रश्न उठता है: किसी भी विचाराधीन समस्या में हमें इस असमानता को संतुष्ट करने की आवश्यकता क्यों नहीं थी?

चिंता मत करो। इन मामलों में कोई अतिरिक्त जड़ें नहीं दिखाई देंगी। और यह एक और बढ़िया ट्रिक है जो आपको समाधान में तेजी लाने की अनुमति देती है। बस यह जान लें कि यदि समस्या में चर x केवल एक ही स्थान पर होता है (अधिक सटीक रूप से, केवल और केवल लघुगणक के एक और एकमात्र तर्क में), और हमारे मामले में कहीं और चर x नहीं होता है, तो डोमेन लिखें कोई ज़रुरत नहीं हैक्योंकि यह स्वचालित रूप से चलेगा।

अपने लिए जज करें: पहले समीकरण में, हमें वह 3x - 1 मिला, यानी, तर्क 8 के बराबर होना चाहिए। इसका स्वचालित रूप से मतलब है कि 3x - 1 शून्य से बड़ा होगा।

उसी सफलता के साथ, हम लिख सकते हैं कि दूसरे मामले में, x को 5 2 के बराबर होना चाहिए, अर्थात यह निश्चित रूप से शून्य से बड़ा है। और तीसरे मामले में, जहां x + 3 = 25,000, यानी, फिर से, स्पष्ट रूप से शून्य से अधिक है। दूसरे शब्दों में, दायरा स्वचालित है, लेकिन केवल अगर x केवल एक लॉगरिदम के तर्क में होता है।

साधारण समस्याओं को हल करने के लिए आपको बस इतना ही पता होना चाहिए। केवल यह नियम, परिवर्तन नियमों के साथ, आपको बहुत व्यापक वर्ग की समस्याओं को हल करने की अनुमति देगा।

लेकिन आइए ईमानदार रहें: अंततः इस तकनीक से निपटने के लिए, यह जानने के लिए कि विहित रूप को कैसे लागू किया जाए लघुगणक समीकरणकेवल एक वीडियो ट्यूटोरियल देखना पर्याप्त नहीं है। इसलिए, अभी, एक स्वतंत्र समाधान के विकल्प डाउनलोड करें जो इस वीडियो ट्यूटोरियल से जुड़े हैं और इन दो स्वतंत्र कार्यों में से कम से कम एक को हल करना शुरू करें।

इसमें आपको बस कुछ ही मिनट लगेंगे। लेकिन इस तरह के प्रशिक्षण का प्रभाव इस वीडियो ट्यूटोरियल को देखने की तुलना में बहुत अधिक होगा।

मुझे आशा है कि यह पाठ आपको लघुगणकीय समीकरणों को समझने में मदद करेगा। विहित रूप लागू करें, लघुगणक के साथ काम करने के नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं - और आप किसी भी कार्य से डरेंगे नहीं। और मेरे पास आज के लिए बस इतना ही है।

दायरा विचार

अब बात करते हैं दायरे की लॉगरिदमिक फ़ंक्शन, साथ ही यह लघुगणकीय समीकरणों के समाधान को कैसे प्रभावित करता है। फॉर्म के निर्माण पर विचार करें

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

इस तरह की अभिव्यक्ति को सबसे सरल कहा जाता है - इसमें केवल एक फ़ंक्शन होता है, और संख्याएं ए और बी केवल संख्याएं होती हैं, और किसी भी मामले में एक फ़ंक्शन नहीं होता है जो चर x पर निर्भर करता है। इसे बहुत सरलता से हल किया जाता है। आपको बस सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

बी = लॉग ए ए बी

यह सूत्र लघुगणक के प्रमुख गुणों में से एक है, और जब हमारी मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

एफ (एक्स) = एक बी

यह एक परिचित सूत्र है स्कूल की पाठ्यपुस्तकें. कई छात्रों के पास शायद एक प्रश्न होगा: चूंकि मूल अभिव्यक्ति में फ़ंक्शन f ( x ) लॉग साइन के तहत है, इस पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए गए हैं:

एफ (एक्स)> 0

यह प्रतिबंध मान्य है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं का लघुगणक मौजूद नहीं है। तो, शायद इस सीमा के कारण, आपको उत्तरों के लिए एक चेक पेश करना चाहिए? शायद उन्हें स्रोत में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है?

नहीं, सरल लघुगणकीय समीकरणों में, एक अतिरिक्त जाँच अनावश्यक है। और यही कारण है। हमारे अंतिम सूत्र पर एक नज़र डालें:

एफ (एक्स) = एक बी

तथ्य यह है कि किसी भी मामले में संख्या 0 से अधिक है - यह आवश्यकता लॉगरिदम द्वारा भी लगाई जाती है। संख्या a आधार है। इस मामले में, संख्या बी पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि हम चाहे कितनी भी सकारात्मक संख्या बढ़ा लें, फिर भी हमें आउटपुट पर एक सकारात्मक संख्या मिलेगी। इस प्रकार, आवश्यकता f (x) > 0 स्वतः ही पूरी हो जाती है।

वास्तव में जाँच के लायक क्या है लॉग साइन के तहत फ़ंक्शन का दायरा। काफी जटिल डिजाइन हो सकते हैं, और उन्हें हल करने की प्रक्रिया में, आपको निश्चित रूप से उनका पालन करना चाहिए। आइए देखते हैं।

पहला काम:

पहला चरण: भिन्न को दाईं ओर रूपांतरित करें। हम पाते हैं:

हम लघुगणक के चिन्ह से छुटकारा पाते हैं और सामान्य अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:

प्राप्त जड़ों में से केवल पहला हमें सूट करता है, क्योंकि दूसरी जड़ शून्य से कम है। इसका एकमात्र उत्तर 9 नंबर होगा। बस, समस्या हल हो गई है। कोई अतिरिक्त जाँच नहीं है कि लघुगणक चिह्न के तहत अभिव्यक्ति 0 से अधिक है, क्योंकि यह केवल 0 से अधिक नहीं है, लेकिन समीकरण की स्थिति से यह 2 के बराबर है। इसलिए, आवश्यकता "शून्य से अधिक" स्वचालित रूप से है पूरा किया।

आइए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

यहॉं सब कुछ वैसा ही है। हम ट्रिपल की जगह, निर्माण को फिर से लिखते हैं:

हम लघुगणक के संकेतों से छुटकारा पाते हैं और एक अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:

हम प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए दोनों भागों को चौकोर करते हैं, और हम प्राप्त करते हैं:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

हम परिणामी समीकरण को विवेचक के माध्यम से हल करते हैं:

डी \u003d 49 - 24 \u003d 25

एक्स 1 = -1

एक्स 2 \u003d -6

लेकिन x = −6 हमें शोभा नहीं देता, क्योंकि यदि हम इस संख्या को अपनी असमानता में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

−6 + 4 = −2 < 0

हमारे मामले में, यह आवश्यक है कि यह 0 से अधिक हो या चरम मामलों में बराबर हो। लेकिन x = −1 हमें सूट करता है:

−1 + 4 = 3 > 0

हमारे मामले में एकमात्र उत्तर x = -1 है। वह सब समाधान है। आइए अपनी गणनाओं की शुरुआत में वापस जाएं।

इस पाठ से मुख्य निष्कर्ष यह है कि सरल लघुगणकीय समीकरणों में किसी फ़ंक्शन के लिए सीमाओं की जांच करने की आवश्यकता नहीं है। क्योंकि समाधान की प्रक्रिया में सभी बाधाओं को स्वचालित रूप से निष्पादित किया जाता है।

हालांकि, इसका मतलब यह नहीं है कि आप सत्यापन के बारे में पूरी तरह से भूल सकते हैं। एक लघुगणकीय समीकरण पर काम करने की प्रक्रिया में, यह एक अपरिमेय समीकरण में बदल सकता है, जिसकी दाईं ओर की अपनी सीमाएँ और आवश्यकताएं होंगी, जिसे हमने आज दो अलग-अलग उदाहरणों में देखा है।

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें और यदि तर्क में कोई जड़ है तो विशेष रूप से सावधान रहें।

विभिन्न आधारों के साथ लघुगणक समीकरण

हम लॉगरिदमिक समीकरणों का अध्ययन करना जारी रखते हैं और दो और दिलचस्प तरकीबों का विश्लेषण करते हैं जिनके साथ अधिक जटिल संरचनाओं को हल करना फैशनेबल है। लेकिन पहले, आइए याद रखें कि सबसे सरल कार्यों को कैसे हल किया जाता है:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

इस संकेतन में, a और b केवल संख्याएँ हैं, और फ़ंक्शन f (x) में चर x मौजूद होना चाहिए, और केवल वहाँ, यानी x केवल तर्क में होना चाहिए। हम विहित रूप का उपयोग करके ऐसे लघुगणकीय समीकरणों को रूपांतरित करेंगे। इसके लिए हम ध्यान दें कि

बी = लॉग ए ए बी

और ए बी सिर्फ एक तर्क है। आइए इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखें:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

ठीक यही हम हासिल करने की कोशिश कर रहे हैं, ताकि बाईं ओर और दाईं ओर आधार के लिए एक लघुगणक हो। इस मामले में, हम लाक्षणिक रूप से, लॉग के संकेतों को पार कर सकते हैं, और गणित के दृष्टिकोण से, हम कह सकते हैं कि हम केवल तर्कों को समान करते हैं:

एफ (एक्स) = एक बी

नतीजतन, हमें एक नई अभिव्यक्ति मिलती है जिसे बहुत आसान तरीके से हल किया जाएगा। आइए आज इस नियम को अपने कार्यों पर लागू करें।

तो पहला डिजाइन:

सबसे पहले, मैं ध्यान देता हूं कि दाईं ओर एक अंश है, जिसका हर लॉग है। जब आप इस तरह की अभिव्यक्ति देखते हैं, तो यह लॉगरिदम की अद्भुत संपत्ति को याद रखने योग्य है:

रूसी में अनुवादित, इसका मतलब है कि किसी भी लघुगणक को किसी भी आधार c के साथ दो लघुगणक के भागफल के रूप में दर्शाया जा सकता है। बेशक, 0< с ≠ 1.

तो: इस सूत्र में एक अद्भुत विशेष मामला है जब चर c चर के बराबर है बी। इस मामले में, हमें फॉर्म का निर्माण मिलता है:

यह वह निर्माण है जिसे हम अपने समीकरण में दाईं ओर के चिह्न से देखते हैं। आइए इस निर्माण को log a b से बदलें, हमें मिलता है:

दूसरे शब्दों में, मूल कार्य की तुलना में, हमने तर्क और लघुगणक के आधार की अदला-बदली की है। इसके बजाय, हमें भिन्न को पलटना पड़ा।

हमें याद है कि निम्नलिखित नियम के अनुसार किसी भी डिग्री को आधार से निकाला जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, गुणांक k, जो कि आधार की डिग्री है, को उल्टे भिन्न के रूप में निकाला जाता है। आइए इसे एक उल्टे अंश के रूप में निकालते हैं:

भिन्नात्मक कारक को सामने नहीं छोड़ा जा सकता है, क्योंकि इस मामले में हम इस प्रविष्टि को विहित रूप के रूप में प्रस्तुत नहीं कर पाएंगे (आखिरकार, विहित रूप में, दूसरे लघुगणक के सामने कोई अतिरिक्त कारक नहीं है)। इसलिए, आइए तर्क में अंश 1/4 को एक शक्ति के रूप में रखें:

अब हम उन तर्कों की बराबरी करते हैं जिनके आधार समान हैं (और हमारे पास वास्तव में समान आधार हैं), और लिखें:

एक्स + 5 = 1

एक्स = −4

बस इतना ही। हमें पहले लघुगणक समीकरण का उत्तर मिला। ध्यान दें: मूल समस्या में, चर x केवल एक लॉग में होता है, और यह इसके तर्क में होता है। इसलिए, डोमेन की जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, और हमारी संख्या x = −4 वास्तव में इसका उत्तर है।

अब दूसरी अभिव्यक्ति पर चलते हैं:

लघुगणक 56 = लघुगणक 2 लघुगणक 2 7 - 3 लघुगणक (x + 4)

यहां, सामान्य लघुगणक के अलावा, हमें lg f (x) के साथ काम करना होगा। ऐसे समीकरण को कैसे हल करें? यह एक अप्रस्तुत छात्र को लग सकता है कि यह किसी प्रकार का टिन है, लेकिन वास्तव में सब कुछ प्राथमिक रूप से हल हो गया है।

शब्द एलजी 2 लॉग 2 7 को ध्यान से देखें। हम इसके बारे में क्या कह सकते हैं? लॉग और एलजी के आधार और तर्क समान हैं, और इससे कुछ सुराग मिलना चाहिए। आइए एक बार फिर याद करें कि लघुगणक के चिह्न के नीचे से डिग्री कैसे निकाली जाती हैं:

लॉग ए बी एन = एन लॉग ए बी

दूसरे शब्दों में, तर्क में संख्या b की शक्ति क्या थी, लॉग के सामने ही एक कारक बन जाता है। आइए इस सूत्र को अभिव्यक्ति lg 2 log 2 7 पर लागू करें। lg 2 से डरो मत - यह सबसे सामान्य अभिव्यक्ति है। आप इसे इस तरह फिर से लिख सकते हैं:

उसके लिए, किसी अन्य लघुगणक पर लागू होने वाले सभी नियम मान्य हैं। विशेष रूप से, सामने वाले कारक को तर्क की शक्ति में पेश किया जा सकता है। चलो लिखते है:

बहुत बार, छात्र बिंदु ब्लैंक इस क्रिया को नहीं देखते हैं, क्योंकि एक लॉग को दूसरे के साइन के तहत दर्ज करना अच्छा नहीं है। दरअसल, इसमें कुछ भी क्रिमिनल नहीं है। इसके अलावा, हमें एक सूत्र मिलता है जिसकी गणना करना आसान है यदि आपको एक महत्वपूर्ण नियम याद है:

इस सूत्र को परिभाषा के रूप में और इसके गुणों में से एक के रूप में माना जा सकता है। किसी भी स्थिति में, यदि आप एक लघुगणकीय समीकरण को रूपांतरित करते हैं, तो आपको इस सूत्र को उसी प्रकार जानना चाहिए जैसे किसी संख्या का लघुगणक के रूप में निरूपण।

हम अपने काम पर लौट आते हैं। हम इसे इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए फिर से लिखते हैं कि बराबर चिह्न के दायीं ओर पहला पद केवल एलजी 7 के बराबर होगा। हमारे पास है:

एलजी 56 = एलजी 7 - 3 एलजी (एक्स + 4)

आइए एलजी 7 को बाईं ओर ले जाएं, हमें मिलता है:

एलजी 56 - एलजी 7 = -3 एलजी (एक्स + 4)

हम बाईं ओर के व्यंजकों को घटाते हैं क्योंकि उनका आधार समान है:

एलजी (56/7) = -3 एलजी (एक्स + 4)

अब आइए हम उस समीकरण पर करीब से नज़र डालें जो हमें मिला है। यह व्यावहारिक रूप से विहित रूप है, लेकिन दाईं ओर एक कारक -3 है। आइए इसे सही एलजी तर्क में रखें:

एलजी 8 = एलजी (एक्स + 4) −3

लॉगरिदमिक समीकरण का विहित रूप हमारे सामने है, इसलिए हम lg के संकेतों को पार करते हैं और तर्कों को समान करते हैं:

(एक्स + 4) -3 = 8

एक्स + 4 = 0.5

बस इतना ही! हमने दूसरा लघुगणक समीकरण हल किया है। इस मामले में, कोई अतिरिक्त जांच की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि मूल समस्या में x केवल एक तर्क में मौजूद था।

मुझे इस पाठ के मुख्य बिंदुओं का पुनर्कथन करना चाहिए।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित इस पृष्ठ के सभी पाठों में अध्ययन किया जाने वाला मुख्य सूत्र विहित रूप है। और इस तथ्य से विचलित न हों कि अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकें आपको सिखाती हैं कि इस प्रकार की समस्याओं को अलग तरीके से कैसे हल किया जाए। यह उपकरण बहुत कुशलता से काम करता है और आपको हमारे पाठ की शुरुआत में अध्ययन की गई सबसे सरल समस्याओं की तुलना में बहुत व्यापक वर्ग की समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

इसके अलावा, लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए मूल गुणों को जानना उपयोगी होगा। अर्थात्:

जब हम लॉग फ्लिप करते हैं तो एक आधार और एक विशेष मामले में जाने का सूत्र (यह पहले कार्य में हमारे लिए बहुत उपयोगी था);
लघुगणक के चिन्ह के नीचे से शक्तियाँ लाने और निकालने का सूत्र। यहां, कई छात्र फंस जाते हैं और बिंदु-रिक्त नहीं देखते हैं कि निकाली गई और लाई गई शक्ति में स्वयं लॉग f (x) हो सकता है। कुछ गलत नहीं है उसके साथ। हम एक लॉग को दूसरे के संकेत के अनुसार पेश कर सकते हैं और साथ ही समस्या के समाधान को काफी सरल बना सकते हैं, जिसे हम दूसरे मामले में देखते हैं।

अंत में, मैं यह जोड़ना चाहूंगा कि इनमें से प्रत्येक मामले में दायरे की जांच करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि हर जगह चर x लॉग के केवल एक संकेत में मौजूद है, और साथ ही साथ इसके तर्क में भी है। परिणामस्वरूप, सभी डोमेन आवश्यकताएँ स्वचालित रूप से पूरी हो जाती हैं।

परिवर्तनीय आधार के साथ समस्याएं

आज हम लघुगणकीय समीकरणों पर विचार करेंगे, जो कई छात्रों के लिए गैर-मानक प्रतीत होते हैं, यदि पूरी तरह से अघुलनशील नहीं हैं। हम उन भावों के बारे में बात कर रहे हैं जो संख्याओं पर नहीं, बल्कि चर और यहां तक कि कार्यों पर आधारित हैं। हम अपनी मानक तकनीक का उपयोग करके ऐसे निर्माणों को हल करेंगे, अर्थात् विहित रूप के माध्यम से।

आरंभ करने के लिए, आइए याद करें कि साधारण संख्याओं पर आधारित सरलतम समस्याओं को कैसे हल किया जाता है। अतः सरलतम रचना कहलाती है

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

बी = लॉग ए ए बी

हम अपनी मूल अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

फिर हम तर्कों की बराबरी करते हैं, अर्थात हम लिखते हैं:

एफ (एक्स) = एक बी

इस प्रकार, हम लॉग साइन से छुटकारा पाते हैं और सामान्य समस्या को हल करते हैं। इस स्थिति में, समाधान में प्राप्त मूल मूल लघुगणकीय समीकरण के मूल होंगे। इसके अलावा, जब बाएँ और दाएँ दोनों एक ही आधार के साथ एक ही लघुगणक पर होते हैं, तो रिकॉर्ड को विहित रूप कहा जाता है। यह इस रिकॉर्ड के लिए है कि हम आज के निर्माणों को कम करने का प्रयास करेंगे। तो चलते हैं।

पहला काम:

लघुगणक x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1 को लघुगणक x - 2 (x - 2) 1 से बदलें। तर्क में हम जो डिग्री देखते हैं, वह वास्तव में संख्या b है, जो बराबर चिह्न के दाईं ओर थी। तो चलिए अपने एक्सप्रेशन को फिर से लिखते हैं। हम पाते हैं:

लघुगणक x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = लघुगणक x - 2 (x - 2)

हम क्या देखते हैं? हमारे सामने लॉगरिदमिक समीकरण का विहित रूप है, इसलिए हम सुरक्षित रूप से तर्कों की बराबरी कर सकते हैं। हम पाते हैं:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

लेकिन समाधान यहीं खत्म नहीं होता है, क्योंकि यह समीकरण मूल समीकरण के बराबर नहीं है। आखिरकार, परिणामी निर्माण में ऐसे कार्य होते हैं जो संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित होते हैं, और हमारे मूल लघुगणक हर जगह परिभाषित नहीं होते हैं और हमेशा नहीं।

इसलिए, हमें परिभाषा के क्षेत्र को अलग से लिखना चाहिए। आइए समझदार न बनें और पहले सभी आवश्यकताओं को लिखें:

सबसे पहले, प्रत्येक लघुगणक का तर्क 0 से बड़ा होना चाहिए:

2x 2 - 13x + 18 > 0

एक्स -2 > 0

दूसरे, आधार न केवल 0 से बड़ा होना चाहिए, बल्कि 1 से भी भिन्न होना चाहिए:

एक्स -2 1

नतीजतन, हमें सिस्टम मिलता है:

लेकिन चिंतित न हों: लॉगरिदमिक समीकरणों को संसाधित करते समय, ऐसी प्रणाली को बहुत सरल बनाया जा सकता है।

अपने लिए जज करें: एक ओर, हमें यह आवश्यक है कि द्विघात फलन शून्य से बड़ा हो, और दूसरी ओर, यह द्विघात फलन कुछ रैखिक व्यंजक के बराबर होता है, जिसके लिए यह भी आवश्यक है कि यह शून्य से बड़ा हो।

इस स्थिति में, यदि हमें उस x − 2 > 0 की आवश्यकता है, तो आवश्यकता 2x 2 − 13x + 18 > 0 स्वतः ही संतुष्ट हो जाएगी। द्विघात फंक्शन. इस प्रकार, हमारे सिस्टम में निहित अभिव्यक्तियों की संख्या घटकर तीन हो जाएगी।

बेशक, हम भी पार कर सकते हैं रैखिक असमानता, यानी x − 2 > 0 को काट दें और इसके लिए 2x 2 − 13x + 18 > 0 की आवश्यकता होती है। लेकिन आपको इस बात से सहमत होना चाहिए कि इस प्रणाली की तुलना में सरल रैखिक असमानता को हल करना बहुत तेज और आसान है, हमें समान जड़ें मिलती हैं।

सामान्य तौर पर, जब भी संभव हो, गणनाओं को अनुकूलित करने का प्रयास करें। और लघुगणक समीकरणों के मामले में, सबसे कठिन असमानताओं को पार करें।

आइए अपने सिस्टम को फिर से लिखें:

यहां तीन अभिव्यक्तियों की एक ऐसी प्रणाली है, जिनमें से दो, वास्तव में, हम पहले ही समझ चुके हैं। आइए अलग से लिखें द्विघात समीकरणऔर इसे हल करें:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 - 7x + 10 = 0

हमारे सामने एक छोटा वर्ग त्रिपद है और इसलिए, हम Vieta सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। हम पाते हैं:

(एक्स - 5)(एक्स - 2) = 0

एक्स 1 = 5

x2 = 2

अब, हमारे सिस्टम पर वापस, हम पाते हैं कि x = 2 हमें शोभा नहीं देता, क्योंकि हमारे लिए x का 2 से अधिक होना आवश्यक है।

लेकिन x \u003d 5 हमें काफी सूट करता है: संख्या 5 2 से अधिक है, और साथ ही 5 3 के बराबर नहीं है। इसलिए, एकमात्र समाधानइस प्रणाली का x = 5 होगा।

ODZ को ध्यान में रखते हुए, सब कुछ, कार्य हल हो गया है। आइए दूसरे समीकरण पर चलते हैं। यहां हम और अधिक रोचक और सार्थक गणनाओं की प्रतीक्षा कर रहे हैं:

पहला कदम: साथ ही पिछली बार, हम इस सभी व्यवसाय को एक विहित रूप में लाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 9 को इस प्रकार लिख सकते हैं:

जड़ के साथ आधार को छुआ नहीं जा सकता है, लेकिन तर्क को बदलना बेहतर है। आइए एक तर्कसंगत घातांक के साथ जड़ से घात की ओर बढ़ते हैं। चलो लिखते है:

मुझे अपने पूरे बड़े लॉगरिदमिक समीकरण को फिर से नहीं लिखना चाहिए, लेकिन तुरंत तर्कों की बराबरी करनी चाहिए:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

एक्स 2 + 4x + 3 = 0

इससे पहले कि हम फिर से कम किया गया वर्ग ट्रिनोमियल हो, हम Vieta सूत्रों का उपयोग करेंगे और लिखेंगे:

(एक्स + 3)(एक्स + 1) = 0

एक्स 1 = -3

एक्स 2 = -1

तो, हमें जड़ें मिल गईं, लेकिन किसी ने हमें गारंटी नहीं दी कि वे मूल लघुगणक समीकरण में फिट होंगे। आखिरकार, लॉग संकेत अतिरिक्त प्रतिबंध लगाते हैं (यहां हमें सिस्टम को लिखना होगा, लेकिन पूरे निर्माण की बोझिलता के कारण, मैंने अलग से परिभाषा के डोमेन की गणना करने का निर्णय लिया)।

सबसे पहले, याद रखें कि तर्क 0 से अधिक होने चाहिए, अर्थात्:

ये परिभाषा के क्षेत्र द्वारा लगाई गई आवश्यकताएं हैं।

हम तुरंत ध्यान देते हैं कि चूंकि हम सिस्टम के पहले दो भावों को एक दूसरे के समान करते हैं, हम उनमें से किसी को भी पार कर सकते हैं। आइए पहले वाले को पार करें क्योंकि यह दूसरे की तुलना में अधिक खतरनाक दिखता है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि दूसरी और तीसरी असमानताओं के समाधान समान सेट होंगे (कुछ संख्या का घन शून्य से बड़ा है, यदि यह संख्या स्वयं शून्य से अधिक है, इसी तरह तीसरी डिग्री की जड़ के साथ - ये असमानताएं हैं पूरी तरह से समान है, इसलिए उनमें से एक को हम पार कर सकते हैं)।

लेकिन तीसरी असमानता के साथ, यह काम नहीं करेगा। आइए बाईं ओर रेडिकल के चिन्ह से छुटकारा पाएं, जिसके लिए हम दोनों भागों को एक क्यूब में बढ़ाते हैं। हम पाते हैं:

तो हमें निम्नलिखित आवश्यकताएं मिलती हैं:

−2 ≠ x > −3

हमारी कौन सी जड़ें: x 1 = -3 या x 2 = -1 इन आवश्यकताओं को पूरा करती हैं? जाहिर है, केवल x = −1, क्योंकि x = −3 पहली असमानता को संतुष्ट नहीं करता है (क्योंकि हमारी असमानता सख्त है)। कुल मिलाकर, अपनी समस्या पर लौटने पर, हमें एक मूल मिलता है: x = -1। बस इतना ही, समस्या हल हो गई।

एक बार फिर, इस कार्य के प्रमुख बिंदु:

विहित रूप का उपयोग करके लॉगरिदमिक समीकरणों को लागू करने और हल करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। जो छात्र इस तरह का रिकॉर्ड बनाते हैं, और मूल समस्या से सीधे लॉग a f ( x ) = b जैसे निर्माण पर नहीं जाते हैं, उन लोगों की तुलना में बहुत कम त्रुटियां करते हैं जो कहीं जल्दी में हैं, गणना के मध्यवर्ती चरणों को छोड़ देते हैं;
जैसे ही लघुगणक में एक चर आधार प्रकट होता है, समस्या सबसे सरल हो जाती है। इसलिए, इसे हल करते समय, परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखना आवश्यक है: तर्क शून्य से अधिक होना चाहिए, और आधार न केवल 0 से अधिक होना चाहिए, बल्कि यह भी 1 के बराबर नहीं होना चाहिए।

आप अंतिम आवश्यकताओं को अंतिम उत्तरों पर विभिन्न तरीकों से लागू कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, सभी डोमेन आवश्यकताओं वाले पूरे सिस्टम को हल करना संभव है। दूसरी ओर, आप पहले समस्या को स्वयं हल कर सकते हैं, और फिर परिभाषा के क्षेत्र के बारे में याद रख सकते हैं, इसे सिस्टम के रूप में अलग से काम कर सकते हैं और इसे प्राप्त जड़ों पर लागू कर सकते हैं।

किसी विशेष लॉगरिदमिक समीकरण को हल करते समय कौन सा तरीका चुनना है, यह आप पर निर्भर है। किसी भी मामले में, जवाब वही होगा।

लघुगणक के मुख्य गुण, लघुगणक का आलेख, परिभाषा का क्षेत्र, मानों का समुच्चय, मूल सूत्र, वृद्धि और ह्रास दिए गए हैं। लघुगणक का व्युत्पन्न ढूँढना माना जाता है। साथ ही अभिन्न, शक्ति श्रृंखला विस्तार और जटिल संख्याओं के माध्यम से प्रतिनिधित्व।

लघुगणक की परिभाषा

आधार a . के साथ लघुगणकवाई फ़ंक्शन है (एक्स) = लॉग एक्स, आधार a: x . के साथ घातांकीय फलन के व्युत्क्रम (वाई) = एक वाई.

दशमलव लघुगणकसंख्या के आधार का लघुगणक है 10 : लॉग एक्स लॉग 10 एक्स.

प्राकृतिकई के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स ≡ लॉग ई एक्स.

2,718281828459045... ;
.

लघुगणक का ग्राफ घातांकीय फलन के ग्राफ से प्राप्त होता है दर्पण प्रतिबिंबसीधी रेखा y = x के सापेक्ष। बाईं ओर फ़ंक्शन y . के ग्राफ़ हैं (एक्स) = लॉग एक्सचार मूल्यों के लिए लघुगणक के आधार:ए= 2 , ए = 8 , ए = 1/2 और एक = 1/8 . ग्राफ दर्शाता है कि a > . के लिए 1 लघुगणक नीरस रूप से बढ़ रहा है। जैसे-जैसे x बढ़ता है, वृद्धि काफी धीमी हो जाती है। पर 0 < a < 1 लघुगणक नीरस रूप से घट रहा है।

लघुगणक के गुण

डोमेन, मानों का सेट, आरोही, अवरोही

लॉगरिदम एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है। लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।


कार्यक्षेत्र	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
मूल्यों की श्रृंखला	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
एक लय	एकरसता से बढ़ता है	नीरस रूप से घटता है
शून्य, y= 0	एक्स = 1	एक्स = 1
y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0	नहीं	नहीं
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

निजी मूल्य

आधार 10 लघुगणक कहलाता है दशमलव लघुगणकऔर इस तरह चिह्नित किया गया है:

आधार लघुगणक इबुलाया प्राकृतिक :

मूल लघुगणक सूत्र

व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा से निम्नलिखित लघुगणक के गुण:

लघुगणक की मुख्य संपत्ति और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

लोगारित्मलघुगणक लेने की गणितीय संक्रिया है। लॉगरिदम लेते समय, कारकों के उत्पादों को शर्तों के योग में बदल दिया जाता है।

क्षमतालॉगरिदम के विपरीत गणितीय ऑपरेशन है। पोटेंशियेटिंग करते समय, दिए गए आधार को उस अभिव्यक्ति की शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है जिस पर पोटेंशिएशन किया जाता है। इस मामले में, शर्तों के योग कारकों के उत्पादों में परिवर्तित हो जाते हैं।

लघुगणक के मूल सूत्रों का प्रमाण

लघुगणक से संबंधित सूत्र घातीय कार्यों के लिए सूत्रों से और व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा से अनुसरण करते हैं।

घातीय फ़ंक्शन की संपत्ति पर विचार करें
.
फिर
.
घातांक फ़ंक्शन की संपत्ति लागू करें
:
.

आइए हम आधार परिवर्तन सूत्र को सिद्ध करें।
;
.
c = b सेट करना, हमारे पास है:

उलटा काम करना

आधार का व्युत्क्रम एक लघुगणक है घातांक प्रकार्यघातांक के साथ ए.

तो अगर

लघुगणक का व्युत्पन्न

लघुगणक मॉड्यूल x का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

एक लघुगणक के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, इसे आधार तक घटाया जाना चाहिए इ.
;
.

अभिन्न

लघुगणक के समाकलन की गणना भागों द्वारा समाकलन करके की जाती है : .
इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक

सम्मिश्र संख्या फलन पर विचार करें जेड:
.
अभिव्यक्त करना जटिल संख्या जेडमॉड्यूल के माध्यम से आरऔर तर्क φ :
.
फिर, लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
या

हालांकि, तर्क φ स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं। अगर हम डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,
तो यह भिन्न के लिए समान संख्या होगी एन.

इसलिए, एक जटिल चर के एक समारोह के रूप में लघुगणक, एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति श्रृंखला विस्तार

के लिए, विस्तार होता है:

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।