सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें। त्रिकोणमितीय समीकरण

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उदाहरण:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें:

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को निम्न में से किसी एक प्रकार से घटाया जाना चाहिए:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

जहाँ \(t\) x के साथ एक व्यंजक है, \(a\) एक संख्या है। ऐसा त्रिकोणमितीय समीकरणबुलाया प्रोटोजोआ. उन्हें () या विशेष सूत्रों का उपयोग करके हल करना आसान है:

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\)।
समाधान:

उत्तर: \(\बाएं[ \शुरू (इकट्ठा)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(एकत्रित)\दाएं।\) \(के,एन∈जेड\)

त्रिकोणमितीय समीकरणों की जड़ों के सूत्र में प्रत्येक प्रतीक का क्या अर्थ है, देखें।

ध्यान!समीकरण \(\sin⁡x=a\) और \(\cos⁡x=a\) का कोई हल नहीं है अगर \(a (-∞;-1)∪(1;∞)\)। क्योंकि किसी भी x के लिए ज्या और कोज्या \(-1\) से अधिक या उसके बराबर और \(1\) से कम या बराबर है:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

उदाहरण . समीकरण को हल करें \(\cos⁡x=-1,1\)।
समाधान: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
उत्तर : कोई समाधान नहीं।

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण tg\(⁡x=1\) को हल करें।
समाधान:

एक संख्या वृत्त का उपयोग करके समीकरण को हल करें। इसके लिए:
1) आइए एक सर्कल बनाएं)
2) कुल्हाड़ियों \(x\) और \(y\) और स्पर्शरेखाओं की धुरी की रचना करें (यह अक्ष \(y\) के समानांतर बिंदु \((0;1)\) से होकर गुजरती है।
3) स्पर्शरेखा के अक्ष पर, बिंदु \(1\) को चिह्नित करें।
4) इस बिंदु और मूल बिंदु को जोड़ो - एक सीधी रेखा।
5) इस रेखा और संख्या वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर ध्यान दें।
6) आइए इन बिंदुओं के मूल्यों पर हस्ताक्षर करें: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) इन बिंदुओं के सभी मान लिख लें। चूंकि वे एक दूसरे से बिल्कुल अलग \(π\) हैं, इसलिए सभी मानों को एक सूत्र में लिखा जा सकता है:

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\)।

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\)।
समाधान:

आइए फिर से नंबर सर्कल का उपयोग करें।
1) आइए एक वृत्त, कुल्हाड़ियों \(x\) और \(y\) का निर्माण करें।
2) कोज्या अक्ष पर (अक्ष \(x\)) चिह्न \(0\)।
3) इस बिंदु से कोज्या अक्ष पर एक लंब खींचिए।
4) लंब और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।
5) आइए इन बिंदुओं के मूल्यों पर हस्ताक्षर करें: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) आइए इन बिंदुओं का संपूर्ण मान लिखें और उन्हें कोसाइन (जो कोसाइन के अंदर है) के बराबर करें।

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) हमेशा की तरह, हम \(x\) को समीकरणों में व्यक्त करेंगे।
संख्याओं को \(π\) के साथ-साथ \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), आदि के साथ व्यवहार करना याद रखें। ये अन्य सभी के समान संख्याएँ हैं। कोई संख्यात्मक भेदभाव नहीं!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\)\(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\)।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को सरलतम समीकरणों में कम करना एक रचनात्मक कार्य है, यहाँ आपको समीकरणों को हल करने के लिए दोनों और विशेष विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता है:
- विधि (परीक्षा में सबसे लोकप्रिय)।
- तरीका।
- सहायक तर्कों की विधि।

वर्ग-त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
समाधान:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	आइए परिवर्तन करें \(t=\cos⁡x\)।

	हमारा समीकरण विशिष्ट हो गया है। से हल कर सकते हैं।
\(डी=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	हम एक प्रतिस्थापन करते हैं।
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	हम पहले समीकरण को एक संख्या वृत्त का उपयोग करके हल करते हैं। दूसरे समीकरण का कोई हल नहीं है क्योंकि \(\cos⁡x∈[-1;1]\) और किसी भी x के लिए दो के बराबर नहीं हो सकता।
	आइए हम इन बिंदुओं पर पड़ी सभी संख्याओं को लिख लें।

उत्तर: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)।

ODZ के अध्ययन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने का एक उदाहरण:

उदाहरण (उपयोग) . त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	एक अंश है और एक कोटैंजेंट है - इसलिए आपको लिखने की जरूरत है। मैं आपको याद दिला दूं कि कोटैंजेंट वास्तव में एक भिन्न है: सीटीजी\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) इसलिए, ctg\(x\) के लिए DPV: \(\sin⁡x≠0\)।
ओडीजेड: सीटीजी\(एक्स ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(के,एन∈जेड\)	संख्या चक्र पर "गैर-समाधान" नोट करें।

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	आइए समीकरण में हर को ctg\(x\) से गुणा करके उससे छुटकारा पाएं। हम ऐसा इसलिए कर सकते हैं क्योंकि हमने उस ctg\(x ≠0\) के ऊपर लिखा है।
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	ज्या के लिए द्विकोण सूत्र लागू करें: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\)।
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	यदि आपके हाथ कोसाइन द्वारा विभाजित करने के लिए पहुँचे हैं - तो उन्हें वापस खींच लें! यदि आप निश्चित रूप से शून्य के बराबर नहीं हैं, तो आप एक चर के साथ एक अभिव्यक्ति से विभाजित कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, जैसे: \(x^2+1,5^x\))। इसके बजाय, हम कोष्ठक से \(\cos⁡x\) निकालते हैं।
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	आइए समीकरण को दो में विभाजित करें।
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	हम पहले समीकरण को एक संख्या वृत्त का उपयोग करके हल करते हैं। दूसरे समीकरण को \(2\) से विभाजित करें और \(\sin⁡x\) को दाईं ओर ले जाएं।

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)। \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	जो जड़ें निकलीं, वे ODZ में शामिल नहीं हैं। इसलिए, हम उन्हें प्रतिक्रिया में नहीं लिखेंगे। दूसरा समीकरण विशिष्ट है। इसे \(\sin⁡x\) से विभाजित करें (\(\sin⁡x=0\) समीकरण का समाधान नहीं हो सकता क्योंकि इस मामले में \(\cos⁡x=1\) या \(\cos⁡ x = -1\))।
	फिर से हम एक सर्कल का उपयोग करते हैं।
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	इन जड़ों को ODZ द्वारा बाहर नहीं रखा गया है, इसलिए इन्हें प्रतिक्रिया के रूप में लिखा जा सकता है।

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)।

एक बार मैंने दो आवेदकों के बीच बातचीत देखी:

- आपको कब 2πn जोड़ने की आवश्यकता है, और कब - πn? मुझे याद नहीं आ रहा है!

- और मुझे भी यही समस्या है।

मैं उनसे कहना चाहता था: "यह याद रखना जरूरी नहीं है, लेकिन समझना है!"

यह लेख मुख्य रूप से हाई स्कूल के छात्रों को संबोधित है और, मुझे आशा है, उन्हें सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए "समझने" में मदद मिलेगी:

नंबर सर्कल

एक संख्या रेखा की अवधारणा के साथ-साथ एक संख्या वृत्त की अवधारणा भी है। जैसा कि हम जानते हैं, एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, जिस वृत्त का केंद्र बिंदु (0; 0) पर होता है और 1 की त्रिज्या होती है, उसे इकाई वृत्त कहा जाता है।एक पतले धागे के साथ एक संख्या रेखा की कल्पना करें और इसे इस सर्कल के चारों ओर घुमाएं: संदर्भ बिंदु (बिंदु 0), यूनिट सर्कल के "दाएं" बिंदु से जुड़ा हुआ है, सकारात्मक अर्ध-अक्ष को वामावर्त लपेटें, और नकारात्मक अर्ध-अक्ष में दिशा (चित्र 1)। ऐसे एकांक वृत्त को संख्या वृत्त कहते हैं।

संख्या चक्र गुण

प्रत्येक वास्तविक संख्या संख्या वृत्त पर एक बिंदु पर होती है।
संख्या वृत्त के प्रत्येक बिंदु पर अपरिमित रूप से अनेक वास्तविक संख्याएँ होती हैं। चूँकि इकाई वृत्त की लंबाई 2π है, वृत्त के एक बिंदु पर किन्हीं दो संख्याओं का अंतर ±2π में से एक संख्या के बराबर होता है; ±4π; ±6π; …

आइए निष्कर्ष निकालें: बिंदु A की किसी एक संख्या को जानकर, हम बिंदु A की सभी संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं.

आइए AC का व्यास (चित्र 2) खींचते हैं। चूँकि x_0 बिंदु A की संख्याओं में से एक है, तो संख्याएँ x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... और केवल वे ही बिंदु C की संख्याएँ होंगी। आइए इनमें से किसी एक संख्या को चुनें, मान लीजिए, x_0+π, और बिंदु C की सभी संख्याओं को लिखने के लिए इसका उपयोग करें: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ जेड ध्यान दें कि अंक ए और सी पर संख्याओं को एक सूत्र में जोड़ा जा सकता है: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (k = 0 के लिए; ±2; ±4; ... बिंदु A, और k = ±1, ±3, ±5, ... के लिए बिंदु C की संख्याएं हैं)।

आइए निष्कर्ष निकालें: व्यास AC के किसी एक बिंदु A या C पर किसी एक संख्या को जानकर, हम इन बिंदुओं पर सभी संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं।

दो विपरीत संख्याएं वृत्त के उन बिंदुओं पर स्थित होती हैं जो भुज अक्ष के सममित होते हैं।

आइए एक ऊर्ध्वाधर जीवा AB खींचते हैं (चित्र 2)। चूंकि अंक ए और बी ऑक्स अक्ष के बारे में सममित हैं, संख्या -x_0 बिंदु बी पर स्थित है और इसलिए, बिंदु बी की सभी संख्याएं सूत्र द्वारा दी गई हैं: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z। हम अंक ए और बी पर एक सूत्र के साथ संख्या लिखते हैं: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z। आइए निष्कर्ष निकालें: ऊर्ध्वाधर जीवा AB के बिंदु A या B में से किसी एक संख्या को जानने के बाद, हम इन बिंदुओं पर सभी संख्याएँ पा सकते हैं। क्षैतिज जीवा AD पर विचार कीजिए और बिंदु D की संख्याएँ ज्ञात कीजिए (चित्र 2)। चूँकि BD व्यास है और संख्या -x_0 बिंदु B से संबंधित है, तो -x_0 + π बिंदु D की संख्याओं में से एक है और इसलिए, इस बिंदु की सभी संख्याएँ सूत्र द्वारा दी गई हैं x_D=-x_0+π+2πk , k∈Z. अंक A और D पर संख्याओं को एक सूत्र का उपयोग करके लिखा जा सकता है: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z । (के = 0; ± 2; ± 4; ... के लिए हमें बिंदु ए की संख्या मिलती है, और के = ± 1; ± 3; ± 5; ... के लिए - बिंदु डी की संख्या)।

आइए निष्कर्ष निकालें: क्षैतिज जीवा AD के बिंदु A या D में से किसी एक संख्या को जानने के बाद, हम इन बिंदुओं पर सभी संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं।

संख्या वृत्त के सोलह मुख्य बिंदु

व्यवहार में, अधिकांश सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल वृत्त के सोलह बिंदुओं से जुड़ा होता है (चित्र 3)। ये डॉट्स क्या हैं? लाल, नीले और हरे रंग के बिंदु वृत्त को 12 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। चूंकि अर्धवृत्त की लंबाई π है, चाप A1A2 की लंबाई π/2 है, चाप A1B1 की लंबाई π/6 है, और चाप A1C1 की लंबाई π/3 है।

अब हम बिंदुओं पर एक संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं:

/3 1 और . पर

नारंगी वर्ग के कोने प्रत्येक तिमाही के चापों के मध्य बिंदु हैं, इसलिए चाप A1D1 की लंबाई π/4 के बराबर है, और इसलिए π/4 बिंदु D1 की संख्याओं में से एक है। संख्या वृत्त के गुणों का उपयोग करके, हम अपने वृत्त के सभी चिन्हित बिंदुओं पर सभी संख्याओं को सूत्रों का उपयोग करके लिख सकते हैं। आंकड़ा इन बिंदुओं के निर्देशांक भी दिखाता है (हम उनके अधिग्रहण के विवरण को छोड़ देते हैं)।

उपरोक्त जानने के बाद, अब हमारे पास विशेष मामलों को हल करने के लिए पर्याप्त तैयारी है (संख्या के नौ मानों के लिए एक)सबसे सरल समीकरण।

समीकरण हल करें

1)sinx=1⁄(2).

- हमें क्या चाहिए?

– वे सभी संख्याएँ x ज्ञात कीजिए जिनकी ज्या 1/2 . है.

साइन की परिभाषा याद रखें: sinx - संख्या वृत्त के उस बिंदु की कोटि जिस पर संख्या x स्थित है. वृत्त पर हमारे पास दो बिंदु हैं, जिनकी कोटि 1/2 के बराबर है। ये क्षैतिज जीवा B1B2 के सिरे हैं। इसका मतलब यह है कि आवश्यकता "समीकरण sinx=1⁄2 को हल करें" आवश्यकता के बराबर है "बिंदु B1 पर सभी संख्याएं और बिंदु B2 पर सभी संख्याएं खोजें"।

2)sinx=-√3⁄2 .

हमें सभी अंक C4 और C3 पर खोजने होंगे।

3) sinx=1. वृत्त पर हमारे पास केवल एक बिंदु है जिसकी कोटि 1 - बिंदु A2 है और इसलिए, हमें इस बिंदु की केवल सभी संख्याएँ ज्ञात करने की आवश्यकता है।

उत्तर: x=π/2+2πk , k∈Z ।

4)sinx=-1 .

केवल बिंदु A_4 में कोटि -1 है। इस बिंदु के सभी अंक समीकरण के घोड़े होंगे।

उत्तर: x=-π/2+2πk , k∈Z ।

5) sinx=0 .

वृत्त पर हमारे पास कोटि 0 वाले दो बिंदु हैं - अंक A1 और A3। आप प्रत्येक बिंदु पर अलग-अलग संख्याएँ निर्दिष्ट कर सकते हैं, लेकिन यह देखते हुए कि ये बिंदु पूरी तरह से विपरीत हैं, उन्हें एक सूत्र में संयोजित करना बेहतर है: x=πk ,k∈Z ।

उत्तर: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

कोसाइन की परिभाषा याद रखें: cosx - संख्यात्मक वृत्त के उस बिंदु का भुज जिस पर संख्या x स्थित है।सर्कल पर हमारे पास एब्सिसा √2⁄2 के साथ दो बिंदु हैं - क्षैतिज तार D1D4 के छोर। हमें इन बिंदुओं पर सभी संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है। हम उन्हें एक सूत्र में मिलाकर लिखते हैं।

उत्तर: x=±π/4+2πk , k∈Z ।

7) cosx=-1⁄2 .

हमें अंक C_2 और C_3 पर संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है।

उत्तर: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx = 0 .

केवल अंक A2 और A4 में भुज 0 है, जिसका अर्थ है कि इनमें से प्रत्येक बिंदु पर सभी संख्याएं समीकरण का समाधान होंगी।
.

सिस्टम के समीकरण के समाधान बिंदु B_3 और B_4 पर संख्याएं हैं। असमानता cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
उत्तर: x=-5π/6+2πk , k∈Z ।

ध्यान दें कि x के किसी भी स्वीकार्य मान के लिए, दूसरा कारक सकारात्मक है और इसलिए, समीकरण प्रणाली के बराबर है

सिस्टम समीकरण के समाधान बिंदुओं की संख्या हैं D_2 तथा D_3 । बिंदु की संख्या D_2 असमानता को संतुष्ट नहीं करती है sinx≤0.5, लेकिन बिंदु की संख्या D_3 करते हैं।

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बहुतों को हल करते समय गणित की समस्याये, विशेष रूप से वे जो कक्षा 10 से पहले होते हैं, किए गए कार्यों का क्रम जो लक्ष्य की ओर ले जाएगा, स्पष्ट रूप से परिभाषित है। इस तरह की समस्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक और द्विघात समीकरण, रैखिक और द्विघात असमानताएं, भिन्नात्मक समीकरण और समीकरण जो द्विघात समीकरणों को कम करते हैं। उल्लिखित कार्यों में से प्रत्येक के सफल समाधान का सिद्धांत इस प्रकार है: यह स्थापित करना आवश्यक है कि किस प्रकार का कार्य हल किया जा रहा है, क्रियाओं के आवश्यक अनुक्रम को याद रखें जो वांछित परिणाम की ओर ले जाएगा, अर्थात। उत्तर दें और इन चरणों का पालन करें।

जाहिर है, किसी विशेष समस्या को हल करने में सफलता या विफलता मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि हल किए जा रहे समीकरण का प्रकार कितना सही है, इसके समाधान के सभी चरणों का क्रम कितना सही है। बेशक, इस मामले में, समान परिवर्तन और गणना करने के लिए कौशल होना आवश्यक है।

एक अलग स्थिति होती है त्रिकोणमितीय समीकरण।इस तथ्य को स्थापित करना कठिन नहीं है कि समीकरण त्रिकोणमितीय है। क्रियाओं का क्रम निर्धारित करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं जो सही उत्तर की ओर ले जाती हैं।

कभी-कभी समीकरण की उपस्थिति से इसके प्रकार का निर्धारण करना कठिन होता है। और समीकरण के प्रकार को जाने बिना, कई दर्जन त्रिकोणमितीय सूत्रों में से सही को चुनना लगभग असंभव है।

त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हमें प्रयास करना चाहिए:

1. समीकरण में शामिल सभी कार्यों को "समान कोण" पर लाएं;
2. समीकरण को "समान कार्यों" में लाएं;
3. समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें, आदि।

विचार करना त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके।

I. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में कमी

समाधान योजना

स्टेप 1।त्रिकोणमितीय फलन को ज्ञात घटकों के रूप में व्यक्त कीजिए।

चरण दोसूत्रों का उपयोग करके फ़ंक्शन तर्क खोजें:

कॉस एक्स = ए; x = ±arccos a + 2πn, n Z।

पाप एक्स = ए; x \u003d (-1) n चापएक + n, n Z में।

तन एक्स = ए; एक्स \u003d आर्कटग ए + πn, एन Є जेड।

सीटीजी एक्स = ए; एक्स \u003d आर्कसीटीजी ए + πn, एन Є जेड।

चरण 3एक अज्ञात चर खोजें।

उदाहरण।

2 cos(3x - /4) = -√2।

समाधान।

1) cos(3x - /4) = -√2/2.

2) 3x - /4 = ± (π - π/4) + 2πn, n Z;

3x - π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Z;

एक्स = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, एन Є जेड।

उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Z.

द्वितीय. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

समाधान योजना

स्टेप 1।त्रिकोणमितीय फलनों में से किसी एक के संबंध में समीकरण को बीजीय रूप में लाएं।

चरण दोपरिणामी फलन को चर t द्वारा निरूपित करें (यदि आवश्यक हो, t पर प्रतिबंध लागू करें)।

चरण 3परिणामी बीजीय समीकरण लिखिए और हल कीजिए।

चरण 4एक रिवर्स प्रतिस्थापन करें।

चरण 5सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

समाधान।

1) 2(1 - पाप 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) माना sin (x/2) = t, जहाँ |t| 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

टी = 1 या ई = -3/2 शर्त को पूरा नहीं करता |t| 1.

4) पाप (x/2) = 1.

5) x/2 = /2 + 2πn, n Z;

एक्स = + 4πn, एन Є जेड।

उत्तर: x = + 4πn, n Z।

III. समीकरण क्रम कमी विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।बिजली कटौती सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को एक रैखिक के साथ बदलें:

पाप 2 x \u003d 1/2 (1 - क्योंकि 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x)।

चरण दो I और II विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

cos2x + cos2x = 5/4।

समाधान।

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4।

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + n, n Z.

उत्तर: x = ±π/6 + n, n Z.

चतुर्थ। सजातीय समीकरण

समाधान योजना

स्टेप 1।इस समीकरण को रूप में लाओ

a) a sin x + b cos x = 0 (पहली डिग्री का समांगी समीकरण)

या देखने के लिए

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

चरण दोसमीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें

ए) कॉस एक्स ≠ 0;

बी) cos 2 x 0;

और tg x के लिए समीकरण प्राप्त करें:

ए) ए टीजी एक्स + बी = 0;

बी) ए टीजी 2 एक्स + बी आर्कटीजी एक्स + सी = 0।

चरण 3ज्ञात विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

समाधान।

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

पाप 2 x + 3पाप x cos x -4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x 0.

2) टीजी 2 एक्स + 3 टीजी एक्स - 4 = 0।

3) माना tg x = t, तब

टी 2 + 3टी - 4 = 0;

टी = 1 या टी = -4, तो

टीजी एक्स = 1 या टीजी एक्स = -4।

पहले समीकरण से x = /4 + πn, n Z; दूसरे समीकरण से x = -arctg 4 + k, k Z.

उत्तर: x = π/4 + n, n Z; x \u003d -arctg 4 + k, k Z.

V. त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को बदलने की विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।सभी प्रकार के त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को एक ऐसे समीकरण में लाएं जिसे I, II, III, IV विधियों द्वारा हल किया जा सकता है।

चरण दोज्ञात विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

sinx + sin2x + sin3x = 0.

समाधान।

1) (पाप x + पाप 3x) + पाप 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) पाप 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 या 2cos x + 1 = 0;

पहले समीकरण से 2x = π/2 + πn, n Z; दूसरे समीकरण से x = -1/2।

हमारे पास x = π/4 + πn/2, n Z; दूसरे समीकरण से x = ±(π - π/3) + 2πk, k Z।

नतीजतन, x \u003d / 4 + n / 2, n Z; एक्स = ±2π/3 + 2πk, के जेड।

उत्तर: x \u003d / 4 + n / 2, n Z; एक्स = ±2π/3 + 2πk, के जेड।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की क्षमता और कौशल बहुत हैं महत्वपूर्ण, उनके विकास के लिए छात्र और शिक्षक दोनों की ओर से काफी प्रयास की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के साथ स्टीरियोमेट्री, भौतिकी आदि की कई समस्याएं जुड़ी हुई हैं। इस तरह की समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, जैसे कि त्रिकोणमिति के तत्वों का अध्ययन करते समय प्राप्त किए गए कई ज्ञान और कौशल शामिल हैं।

त्रिकोणमितीय समीकरण सामान्य रूप से गणित पढ़ाने और व्यक्तित्व विकास की प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं।

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विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान"

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हम क्या अध्ययन करेंगे:
1. त्रिकोणमितीय समीकरण क्या हैं?

3. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की दो मुख्य विधियाँ।
4. सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।
5. उदाहरण।

त्रिकोणमितीय समीकरण क्या होते हैं?

दोस्तों, हम पहले ही आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट का अध्ययन कर चुके हैं। आइए अब सामान्य रूप से त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखें।

त्रिकोणमितीय समीकरण - वे समीकरण जिनमें त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के अंतर्गत चर समाहित होता है।

हम सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के रूप को दोहराते हैं:

1) यदि |a|≤ 1, तो समीकरण cos(x) = a का एक हल है:

एक्स = ± आर्ककोस (ए) + 2πk

2) यदि |a|≤ 1, तो समीकरण sin(x) = a का एक हल है:

3) अगर |ए| > 1, तो समीकरण sin(x) = a और cos(x) = a का कोई हल नहीं है 4) समीकरण tg(x)=a का एक हल है: x=arctg(a)+ k

5) समीकरण ctg(x)=a का एक हल है: x=arcctg(a)+ πk

सभी सूत्रों के लिए, k एक पूर्णांक है

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों का रूप है: Т(kx+m)=a, T- कोई भी त्रिकोणमितीय फलन।

उदाहरण।

समीकरण हल करें: a) sin(3x)= √3/2

समाधान:

ए) आइए 3x=t निरूपित करें, फिर हम अपने समीकरण को इस रूप में फिर से लिखेंगे:

इस समीकरण का हल होगा: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn।

मूल्यों की तालिका से हमें मिलता है: t=((-1)^n)×π/3+ πn।

आइए अपने चर पर वापस जाएं: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

फिर x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

उत्तर: x= ((-1)^n)×π/9+ n/3, जहां n एक पूर्णांक है। (-1)^n - n के घात से एक घटा।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के अधिक उदाहरण।

समीकरणों को हल करें: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= 3

समाधान:

ए) इस बार हम सीधे समीकरण की जड़ों की गणना पर जाएंगे:

एक्स/5= ± आर्ककोस(1) + 2πk। तब x/5= k => x=5πk

उत्तर: x=5πk, जहाँ k एक पूर्णांक है।

बी) हम फॉर्म में लिखते हैं: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk। हम जानते हैं कि: arctg(√3)= /3

3x- π/3= /3+ k => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

उत्तर: x=2π/9 + πk/3, जहां k एक पूर्णांक है।

समीकरण हल करें: cos(4x)= 2/2. और खंड पर सभी जड़ों का पता लगाएं।

समाधान:

हम तय करेंगे सामान्य दृष्टि सेहमारा समीकरण: 4x= ± आर्ककोस(√2/2) + 2πk

4x= ± /4 + 2πk;

एक्स = ± /16+ k/2;

अब देखते हैं कि हमारे सेगमेंट पर क्या जड़ें जमाती हैं। k के लिए k=0, x= π/16 के लिए, हम दिए गए खंड में हैं।
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 के साथ, उन्होंने फिर से मारा।
k=2, x= π/16+ π=17π/16 के लिए, लेकिन यहां हमने हिट नहीं किया, जिसका अर्थ है कि हम बड़े k के लिए भी हिट नहीं करेंगे।

उत्तर: x= /16, x= 9π/16

दो मुख्य समाधान विधियां।

हमने सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों पर विचार किया है, लेकिन अधिक जटिल हैं। उन्हें हल करने के लिए, एक नए चर को पेश करने की विधि और गुणन विधि का उपयोग किया जाता है। आइए उदाहरण देखें।

आइए समीकरण को हल करें:

समाधान:
अपने समीकरण को हल करने के लिए, हम एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि का उपयोग करते हैं, जिसे निरूपित किया जाता है: t=tg(x)।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं: t 2 + 2t -1 = 0

आइए जड़ों को खोजें द्विघात समीकरण: टी=-1 और टी=1/3

फिर tg(x)=-1 और tg(x)=1/3, हमें सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण मिला, आइए इसके मूल ज्ञात करें।

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + k.

उत्तर: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + k.

समीकरण हल करने का एक उदाहरण

समीकरण हल करें: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

समाधान:

आइए पहचान का उपयोग करें: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

हमारा समीकरण बन जाता है: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल हैं: t=2 तथा t=-1/2

फिर cos(x)=2 और cos(x)=-1/2.

इसलिये कोसाइन एक से अधिक मान नहीं ले सकता, तो cos(x)=2 का कोई मूल नहीं है।

cos(x)=-1/2 के लिए: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; एक्स = ±2π/3 + 2πk

उत्तर: x= ±2π/3 + 2πk

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।

परिभाषा: a sin(x)+b cos(x) के रूप के समीकरण को प्रथम घात का समघात त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है।

फॉर्म के समीकरण

दूसरी डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।

पहली डिग्री के समरूप त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हम इसे cos(x) से विभाजित करते हैं: शून्य के बराबर होने पर कोसाइन से विभाजित करना असंभव है, आइए सुनिश्चित करें कि ऐसा नहीं है:
चलो cos(x)=0, फिर asin(x)+0=0 => sin(x)=0, लेकिन साइन और कोसाइन एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, हमें एक विरोधाभास मिला है, इसलिए हम सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं शून्य से।

प्रश्न हल करें:
उदाहरण: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

समाधान:

सामान्य गुणनखंड निकालें: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

फिर हमें दो समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है:

cos(x)=0 और cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 के लिए x= π/2 + πk;

समीकरण पर विचार करें cos(x)+sin(x)=0 हमारे समीकरण को cos(x) से विभाजित करें:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

उत्तर: x= π/2 + πk और x= -π/4+πk

दूसरी डिग्री के समरूप त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें?
दोस्तों इन नियमों का हमेशा पालन करें!

1. देखें कि गुणांक a किसके बराबर है, यदि a \u003d 0 तो हमारा समीकरण रूप लेगा cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), जिसके समाधान का एक उदाहरण पिछले पर है फिसल पट्टी

2. यदि a≠0, तो आपको समीकरण के दोनों भागों को वर्ग कोज्या से विभाजित करने की आवश्यकता है, हम प्राप्त करते हैं:

हम चर t=tg(x) का परिवर्तन करते हैं, हमें समीकरण मिलता है: