प्रयोगात्मक डेटा का अनुमान। कम से कम वर्ग विधि

पाठ्यक्रम कार्य

अनुशासन: सूचना विज्ञान

विषय: किसी विधि द्वारा किसी फ़ंक्शन का अनुमान कम से कम वर्गों

परिचय

1. समस्या का विवरण

2. गणना सूत्र

द्वारा बनाई गई तालिकाओं का उपयोग करके गणना माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल

एल्गोरिथम योजना

मैथकैड में गणना

रैखिक परिणाम

रेखांकन के रूप में परिणामों की प्रस्तुति

परिचय

उद्देश्य टर्म परीक्षाकंप्यूटर विज्ञान में ज्ञान को गहरा करना, माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल स्प्रेडशीट प्रोसेसर और मैथकैड सॉफ्टवेयर उत्पाद के साथ काम करने में कौशल का विकास और समेकन और अनुसंधान से संबंधित विषय क्षेत्र से कंप्यूटर का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए उनका अनुप्रयोग है।

सन्निकटन (लैटिन "अनुमानित" - "दृष्टिकोण" से) - किसी भी गणितीय वस्तुओं की अनुमानित अभिव्यक्ति (उदाहरण के लिए, संख्याएं या कार्य) अन्य सरल, उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक या बस अधिक प्रसिद्ध के माध्यम से। वैज्ञानिक अनुसंधान में, सन्निकटन का उपयोग अनुभवजन्य परिणामों का वर्णन, विश्लेषण, सामान्यीकरण और आगे उपयोग करने के लिए किया जाता है।

जैसा कि ज्ञात है, मानों के बीच एक सटीक (कार्यात्मक) कनेक्शन हो सकता है, जब तर्क का एक मान एक विशिष्ट मान से मेल खाता है, और एक कम सटीक (सहसंबंध) कनेक्शन, जब तर्क का एक विशिष्ट मान अनुमानित मूल्य से मेल खाता है या फ़ंक्शन मानों का कुछ सेट जो कमोबेश एक-दूसरे के करीब हैं। प्रशासन करते समय वैज्ञानिक अनुसंधान, किसी अवलोकन या प्रयोग के परिणामों को संसाधित करना आमतौर पर दूसरे विकल्प से निपटना होता है।

विभिन्न संकेतकों की मात्रात्मक निर्भरता का अध्ययन करते समय, जिनमें से मूल्यों को अनुभवजन्य रूप से निर्धारित किया जाता है, एक नियम के रूप में, कुछ परिवर्तनशीलता होती है। यह आंशिक रूप से निर्जीव और विशेष रूप से, जीवित प्रकृति की अध्ययन की गई वस्तुओं की विविधता और आंशिक रूप से सामग्री के अवलोकन और मात्रात्मक प्रसंस्करण की त्रुटि से निर्धारित होता है। अंतिम घटक को पूरी तरह से समाप्त करना हमेशा संभव नहीं होता है; इसे केवल पर्याप्त शोध पद्धति और कार्य की सटीकता के सावधानीपूर्वक चयन से ही कम किया जा सकता है। इसलिए, किसी भी शोध कार्य को करते समय, अध्ययन किए गए संकेतकों की निर्भरता की वास्तविक प्रकृति की पहचान करने में समस्या उत्पन्न होती है, यह या वह डिग्री परिवर्तनशीलता की उपेक्षा से नकाबपोश होती है: मूल्य। इसके लिए, सन्निकटन का उपयोग किया जाता है - एक उपयुक्त कार्यात्मक निर्भरता समीकरण द्वारा चर के सहसंबंध निर्भरता का अनुमानित विवरण जो निर्भरता की मुख्य प्रवृत्ति (या इसकी "प्रवृत्ति") को बताता है।

सन्निकटन चुनते समय, किसी को अध्ययन के विशिष्ट कार्य से आगे बढ़ना चाहिए। आमतौर पर, सन्निकटन के लिए उपयोग किया जाने वाला समीकरण जितना सरल होता है, निर्भरता का प्राप्त विवरण उतना ही अधिक अनुमानित होता है। इसलिए, यह पढ़ना महत्वपूर्ण है कि परिणामी प्रवृत्ति से विशिष्ट मूल्यों के विचलन कितने महत्वपूर्ण और क्या कारण हैं। अनुभवजन्य रूप से निर्धारित मूल्यों की निर्भरता का वर्णन करते समय, कुछ अधिक जटिल, बहु-पैरामीट्रिक समीकरण का उपयोग करके बहुत अधिक सटीकता प्राप्त की जा सकती है। हालांकि, अधिकतम सटीकता के साथ अनुभवजन्य डेटा की विशिष्ट श्रृंखला में मूल्यों के यादृच्छिक विचलन को व्यक्त करने का प्रयास करने का कोई मतलब नहीं है। सामान्य पैटर्न को पकड़ना बहुत अधिक महत्वपूर्ण है, जो इस मामले में सबसे तार्किक और स्वीकार्य सटीकता के साथ दो-पैरामीटर समीकरण द्वारा सटीक रूप से व्यक्त किया गया है। ऊर्जा समीकरण. इस प्रकार, एक सन्निकटन विधि का चयन करते समय, शोधकर्ता हमेशा एक समझौता करता है: वह तय करता है कि इस मामले में किस हद तक "बलिदान" करना उचित और उपयुक्त है और तदनुसार, तुलनात्मक चर की निर्भरता को कैसे सामान्यीकृत किया जाना चाहिए। प्रच्छन्न पैटर्न की पहचान करने के साथ-साथ यादृच्छिक विचलनसामान्य पैटर्न से अनुभवजन्य डेटा, सन्निकटन आपको कई अन्य महत्वपूर्ण समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है: पाया निर्भरता को औपचारिक रूप देना; आश्रित चर के अज्ञात मूल्यों को प्रक्षेप द्वारा या, यदि लागू हो, एक्सट्रपलेशन द्वारा खोजें।

प्रत्येक कार्य में, कार्य की शर्तें, प्रारंभिक डेटा, परिणाम जारी करने के लिए प्रपत्र तैयार किए जाते हैं, मुख्य गणितीय निर्भरताइस समस्या को हल करने के लिए। समस्या को हल करने की विधि के अनुसार, एक समाधान एल्गोरिथ्म विकसित किया जाता है, जिसे चित्रमय रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

1. समस्या का विवरण

1. कम से कम वर्गों की विधि का उपयोग करते हुए, तालिका में दिए गए फलन का अनुमान लगाएं:

ए) पहली डिग्री का बहुपद;

बी) दूसरी डिग्री का बहुपद;

ग) घातीय निर्भरता।

प्रत्येक निर्भरता के लिए, नियतत्ववाद के गुणांक की गणना करें।

सहसंबंध गुणांक की गणना करें (केवल मामले में)।

प्रत्येक निर्भरता के लिए एक प्रवृत्ति रेखा बनाएं।

LINEST फ़ंक्शन का उपयोग करके गणना करें संख्यात्मक विशेषताएंइस पर निर्भर करते हुए।

LINEST फ़ंक्शन का उपयोग करके प्राप्त परिणामों के साथ अपनी गणनाओं की तुलना करें।

तय करें कि कौन सा सूत्र सबसे अच्छा तरीकाफ़ंक्शन का अनुमान लगाता है।

प्रोग्रामिंग भाषाओं में से एक में एक प्रोग्राम लिखें और ऊपर प्राप्त परिणामों के साथ गणना परिणामों की तुलना करें।

विकल्प 3. फ़ंक्शन तालिका में दिया गया है। एक।

तालिका एक।

xyxyxyxyxy0.281.052.349.113.3329.434.2386.445.55187.540.872.872.6516.863.4137.454.8390.856.32200.451.656.432.7717.973.5542.444.9299.066.66212.971.998.962.8318.993.8556.945.14120.457.1327. 25321.43

2. गणना सूत्र

अक्सर, अनुभवजन्य डेटा का विश्लेषण करते समय, x और y के मूल्यों के बीच एक कार्यात्मक संबंध खोजना आवश्यक हो जाता है, जो अनुभव या माप के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है।

Xi (स्वतंत्र मूल्य) प्रयोगकर्ता द्वारा निर्धारित किया जाता है, और yi, जिसे अनुभवजन्य या प्रयोगात्मक मूल्य कहा जाता है, प्रयोग के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है।

कार्यात्मक संबंध का विश्लेषणात्मक रूप जो x और y के बीच मौजूद है, आमतौर पर अज्ञात है, इसलिए, एक व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण कार्य उत्पन्न होता है - एक अनुभवजन्य सूत्र खोजने के लिए

(जहां पैरामीटर हैं), जिनमें से मान संभवतः प्रयोगात्मक मूल्यों से बहुत कम भिन्न होंगे।

न्यूनतम वर्ग विधि के अनुसार सबसे अच्छा मौकाउन पर विचार किया जाता है जिनके लिए दिए गए फ़ंक्शन के मानों से पाए गए अनुभवजन्य फ़ंक्शन के वर्ग विचलन का योग न्यूनतम होगा।

कई चर के एक फ़ंक्शन के चरम के लिए आवश्यक शर्त का उपयोग करना - आंशिक डेरिवेटिव के शून्य की समानता, गुणांक का एक सेट पाया जाता है जो सूत्र (2) द्वारा परिभाषित न्यूनतम फ़ंक्शन प्रदान करता है और गुणांक निर्धारित करने के लिए एक सामान्य प्रणाली प्राप्त की जाती है :

इस प्रकार, गुणांक खोजने से सिस्टम को हल करना कम हो जाता है (3)।

प्रणाली का प्रकार (3) अनुभवजन्य सूत्रों के वर्ग पर निर्भर करता है जिससे हम निर्भरता की तलाश कर रहे हैं (1)। एक रैखिक निर्भरता के मामले में, सिस्टम (3) रूप लेगा:

द्विघात निर्भरता के मामले में, सिस्टम (3) रूप लेगा:

कुछ मामलों में, एक अनुभवजन्य सूत्र के रूप में, एक फ़ंक्शन लिया जाता है जिसमें अनिश्चित गुणांक गैर-रैखिक रूप से प्रवेश करते हैं। इस मामले में, कभी-कभी समस्या को रैखिक किया जा सकता है, अर्थात। रैखिक को कम करें। ऐसी निर्भरता के बीच घातीय निर्भरता है

जहां a1 और a2 अपरिभाषित गुणांक हैं।

समानता (6) का लघुगणक लेकर रैखिककरण प्राप्त किया जाता है, जिसके बाद हम संबंध प्राप्त करते हैं

निरूपित करें और, क्रमशः, द्वारा और, फिर निर्भरता (6) को उस रूप में लिखा जा सकता है जो हमें सूत्र (4) को a1 द्वारा और द्वारा प्रतिस्थापित करने की अनुमति देता है।

माप (xi, yi), i=1,2,…,n के परिणामों के आधार पर बहाल कार्यात्मक निर्भरता y(x) के ग्राफ को प्रतिगमन वक्र कहा जाता है। प्रयोग के परिणामों के साथ निर्मित प्रतिगमन वक्र के समझौते की जांच करने के लिए, निम्नलिखित संख्यात्मक विशेषताओं को आमतौर पर पेश किया जाता है: सहसंबंध गुणांक (रैखिक निर्भरता), सहसंबंध संबंधऔर नियतत्ववाद का गुणांक।

सहसंबंध गुणांक आश्रितों के बीच रैखिक संबंध का एक माप है यादृच्छिक चर: यह दर्शाता है कि औसतन, एक मात्रा को दूसरे के रैखिक फलन के रूप में कितनी अच्छी तरह दर्शाया जा सकता है।

सहसंबंध गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

औसत कहाँ है अंकगणितीय मानक्रमशः x, y में।

यादृच्छिक चरों के बीच सहसंबंध गुणांक निरपेक्ष मान में 1 से अधिक नहीं होता है। 1 के करीब, x और y के बीच रैखिक संबंध जितना करीब होगा।

गैर-रैखिक सहसंबंध के मामले में, सशर्त औसत मान घुमावदार रेखा के पास स्थित होते हैं। इस मामले में, कनेक्शन की ताकत की विशेषता के रूप में एक सहसंबंध अनुपात का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है, जिसकी व्याख्या अध्ययन के तहत निर्भरता के प्रकार पर निर्भर नहीं करती है।

सहसंबंध अनुपात की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

जहां एक अंश बिना शर्त औसत के आसपास सशर्त औसत के फैलाव की विशेषता है।

हमेशा से रहा है। समानता = यादृच्छिक असंबद्ध चर से मेल खाती है; = अगर और केवल अगर x और y के बीच एक सटीक कार्यात्मक संबंध है। x पर y की रैखिक निर्भरता के मामले में, सहसंबंध अनुपात सहसंबंध गुणांक के वर्ग के साथ मेल खाता है। मान का उपयोग रैखिकता से प्रतिगमन के विचलन के संकेतक के रूप में किया जाता है।

सहसंबंध अनुपात किसी भी रूप में सहसंबंध y c x का एक माप है, लेकिन एक विशेष रूप में अनुभवजन्य डेटा की निकटता की डिग्री का विचार नहीं दे सकता है। यह पता लगाने के लिए कि निर्मित वक्र अनुभवजन्य डेटा को कितनी सटीक रूप से दर्शाता है, एक और विशेषता पेश की जाती है - नियतत्व का गुणांक।

जहाँ Sres = - सैद्धांतिक डेटा से प्रायोगिक डेटा के विचलन को दर्शाने वाले वर्गों का अवशिष्ट योग। कुल - वर्गों का कुल योग, जहाँ औसत मान yi।

डेटा के प्रसार को दर्शाने वाले वर्गों का प्रतिगमन योग।

की तुलना में वर्गों का अवशिष्ट योग जितना छोटा होगा पूरी राशिवर्ग, नियतत्ववाद r2 के गुणांक का मान जितना अधिक होगा, जो दर्शाता है कि का उपयोग करके प्राप्त समीकरण कितना अच्छा है प्रतिगमन विश्लेषण, चर के बीच संबंधों की व्याख्या करता है। यदि यह 1 के बराबर है, तो मॉडल के साथ पूर्ण सहसंबंध होता है, अर्थात। वास्तविक और अनुमानित y मानों के बीच कोई अंतर नहीं है। अन्यथा, यदि नियतत्ववाद का गुणांक 0 है, तो प्रतिगमन समीकरण y मानों की भविष्यवाणी करने में विफल रहता है।

नियतत्ववाद का गुणांक हमेशा सहसंबंध अनुपात से अधिक नहीं होता है। मामले में जब समानता संतुष्ट होती है, तो हम मान सकते हैं कि निर्मित अनुभवजन्य सूत्र सबसे सटीक रूप से अनुभवजन्य डेटा को दर्शाता है।

3. Microsoft Excel का उपयोग करके बनाई गई तालिकाओं का उपयोग करके गणना

गणना के लिए, स्प्रेडशीट Microsoft Excel का उपयोग करके डेटा को तालिका 2 के रूप में व्यवस्थित करने की सलाह दी जाती है।

तालिका 2

ABCDEFGHI10,281,050,07840,2940,0219520,0061470,082320,048790,01366120,872,870,75692,49690,6585030,5728982,1723031,0543120,91725131,656,432,722510,60954,4921257,41200617, 998,963,960117,83047,88059915,6823935,48252,192774,36361352,088,084,326416,80648,99891218,7177434,957312,0893924,34593562,349,115,475621,317412,812929,982249,35,169932,209 867,022544,67918,6096349,31551118,39942,8249447,48610182,7717,977,672949,776921,2539358,87339137,8822,8887048,00170992,8318,998,008953,741722,6651964,14243913852,0892 331272103,0623,759,363672,67528,6526287,677222,38553,1675839,692803113,3329,4311,088998,001936,92604122,9637326,34633,38201511,26211123,4137,4511,6281127,704539,65182 47233,62300712,35445133,5542,4412,6025150,66244,73888158,823534,85013,74809113,30572143,8556,9414,8225219,21957,06663219,7065843,99324,04199815,56169154,0175,0816,0801301,070864,0801301,0 4812258,56961207,2944,31855417,3174164,2386,4417,8929365,641275,68697320,15591546,6624,45945 118,86348174,8390,8523,3289438,8055112,6786544,23762119,4314,5092121,77948184,9299,0624,2064487,3752119,095585,94982397,8864,59572622,61097195,14120,4526,4196619,113,135,113 99533182,2414,79123524,62695205,23139,6527,3529730,3695143,0557748,18113819,8324,93913925,8317215,55187,5430,80251040,847170,9539948,7945776,7015,23399229,04866226,04866226, 844252,4361595,3958006,4545,30056533,49957236,66212,9744,35561418,38295,40831967,4199446,4125,36115135,70527247,13275,7450,83691966,026362,46712584,3914017,775,619458 4352.56252330.368381.07812762.81616895.165.7727841.852652695.932089.99453.310511850.652417.56813982.9971327.3490.97713415.0797 आइए हम बताते हैं कि तालिका 2 को कैसे संकलित किया जाता है।

चरण 1. कक्ष A1:A25 में हम xi मान दर्ज करते हैं।

चरण 2. कक्ष B1:B25 में हम yi के मान दर्ज करते हैं।

चरण 3. सेल C1 में, सूत्र = A1 ^ 2 दर्ज करें।

चरण 4। यह सूत्र कोशिकाओं C1:C25 में कॉपी किया गया है।

चरण 5. सेल D1 में, सूत्र = A1 * B1 दर्ज करें।

चरण 6. इस सूत्र को कक्षों D1:D25 में कॉपी किया गया है।

चरण 7. सेल F1 में, सूत्र = A1 ^ 4 दर्ज करें।

चरण 8. कक्षों F1:F25 में, इस सूत्र की प्रतिलिपि बनाई जाती है।

चरण 9. सेल G1 में, सूत्र दर्ज करें =A1^2*B1.

चरण 10. यह सूत्र कोशिकाओं G1:G25 में कॉपी किया गया है।

चरण 11. सेल H1 में, सूत्र = LN (B1) दर्ज करें।

चरण 12. यह सूत्र कोशिकाओं H1:H25 में कॉपी किया गया है।

चरण 13. सेल I1 में, सूत्र = A1 * LN (B1) दर्ज करें।

चरण 14. यह सूत्र कक्ष I1:I25 में कॉपी किया गया है।

हम ऑटोसमेशन का उपयोग करके निम्नलिखित चरण करते हैं एस .

चरण 15. सेल A26 में, सूत्र = SUM (A1: A25) दर्ज करें।

चरण 16. सेल B26 में, सूत्र = SUM (B1: B25) दर्ज करें।

चरण 17. सेल C26 में, सूत्र = SUM (C1: C25) दर्ज करें।

चरण 18. सेल D26 में, सूत्र = SUM (D1: D25) दर्ज करें।

चरण 19. सेल E26 में, सूत्र = SUM (E1: E25) दर्ज करें।

चरण 20. सेल F26 में, सूत्र = SUM (F1: F25) दर्ज करें।

चरण 21. सेल G26 में, सूत्र = SUM (G1: G25) दर्ज करें।

चरण 22. सेल H26 में, सूत्र = SUM(H1:H25) दर्ज करें।

चरण 23. सेल I26 में, सूत्र = SUM(I1:I25) दर्ज करें।

हम फ़ंक्शन का अनुमान लगाते हैं रैखिक प्रकार्य. गुणांक निर्धारित करने के लिए और हम सिस्टम (4) का उपयोग करते हैं। कक्ष A26, B26, C26 और D26 में स्थित तालिका 2 के योग का उपयोग करते हुए, हम सिस्टम (4) को इस प्रकार लिखते हैं

जिसे हल करना, हमें मिलता है और।

सिस्टम को क्रैमर विधि द्वारा हल किया गया था। जिसका सार इस प्रकार है। एन बीजीय की एक प्रणाली पर विचार करें रेखीय समीकरण n अज्ञात के साथ:

सिस्टम निर्धारक सिस्टम मैट्रिक्स निर्धारक है:

निरूपित - निर्धारक जो प्रणाली के निर्धारक से प्राप्त किया जाएगा स्तंभ के साथ j-वें स्तंभ को प्रतिस्थापित करके

इस प्रकार, रैखिक सन्निकटन का रूप है

हम Microsoft Excel टूल का उपयोग करके सिस्टम (11) को हल करते हैं। परिणाम तालिका 3 में प्रस्तुत हैं।

टेबल तीन

ABCDE282595.932089.992995.93453.310511850.653031

तालिका 3 में, कक्ष A32:B33 में सूत्र (=MOBR(A28:B29)) है।

कक्ष E32:E33 में सूत्र (=MULTI(A32:B33),(C28:C29)) होता है।

अगला, हम फ़ंक्शन का अनुमान लगाते हैं द्विघात फंक्शन. गुणांक a1, a2, और a3 निर्धारित करने के लिए, हम सिस्टम (5) का उपयोग करते हैं। कक्ष A26, B26, C26, D26, E26, F26, G26 में स्थित तालिका 2 के योग का उपयोग करते हुए, हम सिस्टम (5) को इस प्रकार लिखते हैं

जिसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है a1=10.663624, and

इस प्रकार, द्विघात सन्निकटन का रूप है

हम Microsoft Excel टूल का उपयोग करके सिस्टम (16) को हल करते हैं। टेबल चार में परिणामों को दिया गया हैं।

तालिका 4

ABCDEF362595,93453,31052089,993795,93453,31052417,56811850,65538453,31052417,56813982,9971327,3453940Обратная матрица410,632687-0,314390,033846a1=10,66362442-0,314390,033846a1=10,66362442-0,3 924512430.033846-0.02171.002728ए3=8.0272305

तालिका 4 में, कक्ष A41:C43 में सूत्र (=MOBR(A36:C38)) होता है।

कक्ष F41:F43 में सूत्र (=MMULT(A41:C43),(D36:D38)) होता है।

अब हम फ़ंक्शन का अनुमान लगाते हैं घातांक प्रकार्य. गुणांक निर्धारित करने और मानों का लघुगणक लेने के लिए और, A26, C26, H26 और I26 कोशिकाओं में स्थित तालिका 2 के योग का उपयोग करके, हम सिस्टम प्राप्त करते हैं

समाधान प्रणाली (18), हम प्राप्त करते हैं और।

पोटेंशिएशन के बाद, हमें मिलता है

इस प्रकार, घातीय सन्निकटन का रूप है

हम Microsoft Excel टूल का उपयोग करके सिस्टम (18) को हल करते हैं। परिणाम तालिका 5 में प्रस्तुत किए गए हैं।

तालिका 5

बीसीडीईएफ462595.9390.977134795.93453.3105415.07974849 उलटा मैट्रिक्स=0.667679 500.212802-0.04503a2=0.774368 51-0.045030.011736a1=1.949707

कक्ष A50:B51 में सूत्र (=MOBR(A46:B47)) है।

सेल E51 में सूत्र = EXP (E49) है।

अंकगणितीय माध्य और सूत्रों द्वारा परिकलित करें:

गणना परिणाम और Microsoft Excel उपकरण तालिका 6 में प्रस्तुत किए गए हैं।

तालिका 6

BC54Xav=3.837255Yav=83.5996

सेल B54 में सूत्र =A26/25 है।

सेल B55 में सूत्र है = B26/25

तालिका 7

ABJKLMNO10,281,05293,645412,653676814,4365987,97624,444081,88177520,872,87239,54098,8042766517,2682774,7226,7334610,91071731,656,43168,78534,7838445955,147448,035726,147448,035726, 998,96137,87433,4121485571,0770,7358817,368220,02062652,088,08132,7033,0877525703,2112,138714,2039422,82478262,349,11111,52582,2416085548,70151,488211,4985816,99584272,70151,488211,4985816,99584272, 8679,233251,4094444454,174178,5730,000622,83382582,7717,9770,039911,1389164307,244311,46313,4777091,73059692,8318,9965,074791,0144524174,4373,4915,7914362,382273103,0623,7546, 515110,604043581,975620,344117,375498,423061113,3329,4327,474820,2572522934,346983,819852,2462113,94466123,4137,4519,715110,18252129,786725,90914,090409102,2541133,5542,4411,4411,4411 0824841694,113797,89844,861044143,3219143,8556,94-0,341240,000164710,7343741,750,023142342,3946154,0175,08-1,472190,0298672,58358265,3212126,0007996,9257164,2386,441, 1157090.1542928.067872219.6288148.75781214.778174.8390.857 1,172456239,0241103,718163,9776121,868195,14120,4548,00871,6972881357,952471,908425,17881258,6007205,23139,6578,0671,9398923141,64743,1629470,45155769,9408215,55187,54178 - 931944,47565,1469344766,92257,25321,43811,667611,647256563,37121,842677,966445516,82695,932089,93830,94585,207919964427404,823786,286115678,1С रैखिक वर्ग जोखिम

आइए बताते हैं इसे कैसे बनाया जाता है।

कक्ष A1:A26 और B1:B26 पहले से ही भरे हुए हैं।

चरण 1. सेल J1 में, सूत्र दर्ज करें = (A1-$B$54)*(B1-$B$55)।

चरण 2. इस सूत्र को कक्षों J2:J25 में कॉपी किया गया है।

चरण 3. सेल K1 में, सूत्र दर्ज करें = (A1-$B$54)^2।

चरण 4। यह सूत्र कोशिकाओं k2:K25 में कॉपी किया गया है।

चरण 5. सेल L1 में, सूत्र = (B1-$B$55)^2 दर्ज करें।

चरण 6. यह सूत्र कोशिकाओं L2:L25 में कॉपी किया गया है।

चरण 7. सेल M1 में, सूत्र = ($E$32+$E$33*A1-B1)^2 दर्ज करें।

चरण 8. यह सूत्र कोशिकाओं M2:M25 में कॉपी किया गया है।

चरण 9. सेल N1 में, सूत्र दर्ज करें = ($F$41+$F$42*A1+$F$43*A1^2-B1)^2।

चरण 10. कक्षों N2:N25 में, इस सूत्र की प्रतिलिपि बनाई जाती है।

चरण 11. सेल O1 में, सूत्र दर्ज करें = ($E$51*EXP($E$50*A1)-B1)^2।

चरण 12. कक्षों O2:O25 में, इस सूत्र की प्रतिलिपि बनाई जाती है।

हम ऑटो समन का उपयोग करके निम्नलिखित चरण करते हैं एस .

चरण 13. सेल J26 में, सूत्र = SUM (J1: J25) दर्ज करें।

चरण 14. सेल K26 में, सूत्र = SUM (K1: K25) दर्ज करें।

चरण 15. सेल L26 में, सूत्र = SUM (L1: L25) दर्ज करें।

चरण 16. सेल M26 में, सूत्र = SUM(M1:M25) दर्ज करें।

चरण 17. सेल N26 में, सूत्र = SUM(N1:N25) दर्ज करें।

चरण 18. सेल O26 में, सूत्र = SUM (O1: O25) दर्ज करें।

अब आइए सूत्र (8) (केवल रैखिक सन्निकटन के लिए) और सूत्र (10) का उपयोग करके नियतत्ववाद गुणांक का उपयोग करके सहसंबंध गुणांक की गणना करें। Microsoft Excel का उपयोग करके गणना के परिणाम तालिका 8 में प्रस्तुत किए गए हैं।

तालिका 8

AB57 सहसंबंध गुणांक 0.92883358 नियतत्ववाद का गुणांक (रैखिक सन्निकटन) 0.8627325960 नियतत्ववाद का गुणांक (द्विघात सन्निकटन) 0.9810356162 नियतत्ववाद का गुणांक (घातीय सन्निकटन) 0.42057863 सेल E57 में सूत्र है =J26/(K26*L26)^(1/2)।

सेल E59 में सूत्र = 1-M26/L26 है।

सेल E61 में सूत्र = 1-N26/L26 है।

सेल E63 में सूत्र = 1-O26/L26 है।

गणना परिणामों के विश्लेषण से पता चलता है कि द्विघात सन्निकटन प्रयोगात्मक डेटा का सबसे अच्छा वर्णन करता है।

एल्गोरिथम योजना

चावल। 1. गणना कार्यक्रम के लिए एल्गोरिथ्म की योजना।

5. MathCad में गणना

रेखीय प्रतिगमन

· रेखा (x, y) - गुणांक के दो-तत्व वेक्टर (बी, ए) रेखीय प्रतिगमनबी+कुल्हाड़ी;

· x तर्क के वास्तविक डेटा का सदिश है;

· y एक ही आकार के वास्तविक डेटा मानों का एक वेक्टर है।

चित्र 2।

बहुपद प्रतिगमन का अर्थ है डेटा (x1, y1) को बहुपद के साथ फ़िट करना के-वें डिग्री k=i के लिए, बहुपद एक सीधी रेखा है, k=2 के लिए यह एक परवलय है, k=3 के लिए यह एक घन परवलय है, इत्यादि। एक नियम के रूप में, k<5.

· प्रतिगमन (एक्स, वाई, के) - बहुपद डेटा प्रतिगमन के निर्माण के लिए गुणांक के वेक्टर;

· इंटरप (एस, एक्स, वाई, टी) - बहुपद प्रतिगमन का परिणाम;

· एस = वापसी (एक्स, वाई, के);

· x वास्तविक तर्क डेटा का एक वेक्टर है, जिसके तत्वों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है;

· y एक ही आकार के वास्तविक डेटा मानों का एक वेक्टर है;

· k प्रतिगमन बहुपद (एक धनात्मक पूर्णांक) की घात है;

· t प्रतिगमन बहुपद के तर्क का मान है।

चित्र तीन

उन लोगों के अलावा, कई और प्रकार के तीन-पैरामीटर रिग्रेशन को मैथकैड में बनाया गया है, उनका कार्यान्वयन उपरोक्त रिग्रेशन विकल्पों से कुछ अलग है, जिसमें उनके लिए डेटा सरणी के अलावा, कुछ प्रारंभिक मान सेट करना आवश्यक है। गुणांक ए, बी, सी। उपयुक्त प्रकार के प्रतिगमन का उपयोग करें यदि आपको इस बात का अच्छा अंदाजा है कि निर्भरता आपके डेटा सरणी का क्या वर्णन करती है। जब प्रतिगमन का प्रकार डेटा के अनुक्रम को अच्छी तरह से प्रतिबिंबित नहीं करता है, तो इसका परिणाम अक्सर असंतोषजनक होता है और प्रारंभिक मूल्यों की पसंद के आधार पर बहुत भिन्न भी होता है। प्रत्येक फ़ंक्शन परिष्कृत पैरामीटर a, b, c का एक वेक्टर उत्पन्न करता है।

LINEST परिणाम

LINEST फ़ंक्शन के उद्देश्य पर विचार करें।

यह फ़ंक्शन उपलब्ध डेटा के लिए सबसे उपयुक्त सीधी रेखा की गणना करने के लिए कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करता है।

फ़ंक्शन एक सरणी देता है जो परिणामी रेखा का वर्णन करता है। एक सीधी रेखा के लिए समीकरण है:

M1x1 + m2x2 + ... + b या y = mx + b,

एल्गोरिथम सारणीबद्ध माइक्रोसॉफ्ट सॉफ्टवेयर

परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको एक स्प्रेडशीट सूत्र बनाना होगा जो 5 पंक्तियों और 2 स्तंभों तक फैला होगा। इस अंतराल को वर्कशीट पर कहीं भी रखा जा सकता है। इस अंतराल में, आपको LINEST फ़ंक्शन दर्ज करना होगा।

परिणामस्वरूप, अंतराल A65:B69 के सभी कक्षों को भरा जाना चाहिए (जैसा कि तालिका 9 में दिखाया गया है)।

तालिका 9

АВ6544,95997-88,9208663,73946615,92346670,86273234,5183168144,55492369172239,227404,82

आइए तालिका 9 में स्थित कुछ राशियों के उद्देश्य की व्याख्या करें।

कोशिकाओं A65 और B65 में स्थित मान क्रमशः ढलान और बदलाव की विशेषता रखते हैं। - नियतत्ववाद का गुणांक। - एफ-मनाया मूल्य। - स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या।

रेखांकन के रूप में परिणामों की प्रस्तुति

चावल। 4. रैखिक सन्निकटन का ग्राफ

चावल। 5. द्विघात सन्निकटन का ग्राफ

चावल। 6. घातीय सन्निकटन का प्लॉट

निष्कर्ष

आइए प्राप्त आंकड़ों के परिणामों के आधार पर निष्कर्ष निकालें।

गणना परिणामों के विश्लेषण से पता चलता है कि द्विघात सन्निकटन प्रयोगात्मक डेटा का सबसे अच्छा वर्णन करता है, क्योंकि इसके लिए ट्रेंड लाइन इस क्षेत्र में फ़ंक्शन के व्यवहार को सबसे सटीक रूप से दर्शाती है।

LINEST फ़ंक्शन का उपयोग करके प्राप्त परिणामों की तुलना करते हुए, हम देखते हैं कि वे ऊपर की गई गणनाओं से पूरी तरह मेल खाते हैं। यह इंगित करता है कि गणना सही है।

MathCad प्रोग्राम का उपयोग करके प्राप्त किए गए परिणाम ऊपर दिए गए मानों से पूरी तरह मेल खाते हैं। यह गणना की शुद्धता को इंगित करता है।

ग्रन्थसूची

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पाठ्यक्रम कार्य

कम से कम वर्गों की विधि द्वारा किसी फलन का सन्निकटन

परिचय

अनुभवजन्य गणित सन्निकटन

कोर्स वर्क का उद्देश्य कंप्यूटर विज्ञान के ज्ञान को गहरा करना, स्प्रेडशीट माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल और मैथकैड के साथ काम करने में कौशल विकसित करना और समेकित करना है। अनुसंधान से संबंधित विषय क्षेत्र से कंप्यूटर की सहायता से समस्याओं को हल करने के लिए उनका आवेदन।

प्रत्येक कार्य में, समस्या की स्थिति, प्रारंभिक डेटा, परिणाम जारी करने के लिए प्रपत्र तैयार किए जाते हैं, समस्या को हल करने के लिए मुख्य गणितीय निर्भरताएं इंगित की जाती हैं। नियंत्रण गणना आपको कार्यक्रम के सही संचालन को सत्यापित करने की अनुमति देती है।

सन्निकटन की अवधारणा कुछ गणितीय वस्तुओं (उदाहरण के लिए, संख्याओं या कार्यों) की एक अनुमानित अभिव्यक्ति है जो दूसरों के माध्यम से सरल, उपयोग करने में अधिक सुविधाजनक या बस बेहतर ज्ञात है। वैज्ञानिक अनुसंधान में, सन्निकटन का उपयोग अनुभवजन्य परिणामों का वर्णन, विश्लेषण, सामान्यीकरण और आगे उपयोग करने के लिए किया जाता है।

जैसा कि ज्ञात है, मानों के बीच एक सटीक (कार्यात्मक) कनेक्शन हो सकता है, जब तर्क का एक मान एक विशिष्ट मान से मेल खाता है, और एक कम सटीक (सहसंबंध) कनेक्शन, जब तर्क का एक विशिष्ट मान अनुमानित मूल्य से मेल खाता है या फ़ंक्शन मानों का कुछ सेट जो कमोबेश एक-दूसरे के करीब हैं। वैज्ञानिक अनुसंधान करते समय, किसी अवलोकन या प्रयोग के परिणामों को संसाधित करते समय, आपको आमतौर पर दूसरे विकल्प से निपटना होता है। विभिन्न संकेतकों की मात्रात्मक निर्भरता का अध्ययन करते समय, जिनमें से मूल्यों को अनुभवजन्य रूप से निर्धारित किया जाता है, एक नियम के रूप में, कुछ परिवर्तनशीलता होती है। यह आंशिक रूप से निर्जीव और विशेष रूप से जीवित प्रकृति की अध्ययन की गई वस्तुओं की विविधता से निर्धारित होता है, आंशिक रूप से सामग्री के अवलोकन और मात्रात्मक प्रसंस्करण की त्रुटि के कारण। अंतिम घटक को पूरी तरह से समाप्त करना हमेशा संभव नहीं होता है; इसे केवल पर्याप्त शोध पद्धति और कार्य की सटीकता के सावधानीपूर्वक चयन से ही कम किया जा सकता है।

तकनीकी प्रक्रियाओं और प्रस्तुतियों के स्वचालन के क्षेत्र में विशेषज्ञ बड़ी मात्रा में प्रायोगिक डेटा से निपटते हैं, जिसके प्रसंस्करण के लिए कंप्यूटर का उपयोग किया जाता है। प्रारंभिक डेटा और गणना के प्राप्त परिणाम स्प्रेडशीट प्रोसेसर (स्प्रेडशीट) और विशेष रूप से एक्सेल का उपयोग करके सारणीबद्ध रूप में प्रस्तुत किए जा सकते हैं। कंप्यूटर विज्ञान में कोर्सवर्क छात्र को व्यावसायिक गतिविधि के क्षेत्र में समस्याओं को हल करने में बुनियादी कंप्यूटर प्रौद्योगिकियों की मदद से काम करने के कौशल को समेकित और विकसित करने की अनुमति देता है। - कंप्यूटर एडेड डिजाइन सिस्टम की कक्षा से एक कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली, तैयारी पर केंद्रित गणना और दृश्य समर्थन के साथ इंटरैक्टिव दस्तावेज़ों का उपयोग करना और टीम वर्क के लिए आवेदन करना आसान है।

1. सामान्य जानकारी

बहुत बार, विशेष रूप से अनुभवजन्य डेटा का विश्लेषण करते समय, मात्राओं के बीच कार्यात्मक संबंध को स्पष्ट रूप से खोजना आवश्यक हो जाता है एक्सतथा पर, जो माप के परिणामस्वरूप प्राप्त होते हैं।

दो मात्राओं x और y के बीच संबंध के एक विश्लेषणात्मक अध्ययन में, टिप्पणियों की एक श्रृंखला बनाई जाती है और परिणाम मूल्यों की एक तालिका है:

xx1 एक्स1 एक्समैंएक्सएनY y1 आप1 आपमैंयूएन

यह तालिका आमतौर पर कुछ प्रयोगों के परिणामस्वरूप प्राप्त की जाती है जिसमें एक्स,(स्वतंत्र मान) प्रयोगकर्ता द्वारा निर्धारित किया जाता है, और वाई,अनुभव के फलस्वरूप प्राप्त होता है। इसलिए, ये मान वाई,अनुभवजन्य या प्रायोगिक मूल्य कहलाएंगे।

मान x और y के बीच एक कार्यात्मक संबंध है, लेकिन इसका विश्लेषणात्मक रूप आमतौर पर अज्ञात है, इसलिए एक व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण कार्य उत्पन्न होता है - एक अनुभवजन्य सूत्र खोजने के लिए

वाई =एफ (एक्स; ए 1, एक 2,…, पूर्वाह्न ), (1)

(कहाँ पे एक1 , एक2 ,…, एकएम- पैरामीटर), जिनमें से मान पर एक्स = एक्स,शायद प्रयोगात्मक मूल्यों से थोड़ा अलग होगा वाई, (मैं = 1,2,…, पी).

आमतौर पर कार्यों के वर्ग को इंगित करें (उदाहरण के लिए, रैखिक, शक्ति, घातीय, आदि का एक सेट) जिसमें से फ़ंक्शन का चयन किया जाता है एफ (एक्स), और फिर मापदंडों का सर्वोत्तम मान निर्धारित किया जाता है।

यदि अनुभवजन्य सूत्र में (1) हम प्रारंभिक को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स,तब हमें सैद्धांतिक मूल्य मिलते हैं

यूटीमैं= एफ (एक्समैं; एक 1, एक 2……एकएम) , कहाँ पे मैं = 1,2,…, एन.

मतभेद आपमैंटी- परमैं, विचलन कहलाते हैं और बिंदुओं से लंबवत दूरी का प्रतिनिधित्व करते हैं एममैंअनुभवजन्य कार्य के ग्राफ के लिए।

कम से कम वर्ग विधि के अनुसार, सर्वोत्तम गुणांक एक1 , एक2 ,…, एकएमउन पर विचार किया जाता है जिनके लिए फ़ंक्शन के दिए गए मानों से पाए गए अनुभवजन्य फ़ंक्शन के वर्ग विचलन का योग होता है

न्यूनतम होगा।

आइए हम सबसे छोटे वर्ग विधि के ज्यामितीय अर्थ की व्याख्या करें।

संख्याओं की प्रत्येक जोड़ी ( एक्समैं, आपमैं) स्रोत तालिका से एक बिंदु परिभाषित करता है एममैंसतह पर एक्सओवाई।गुणांकों के विभिन्न मानों के लिए सूत्र (1) का उपयोग करना एक1 , एक2 ,…, एकएमवक्रों की एक श्रृंखला बनाना संभव है जो फ़ंक्शन (1) के ग्राफ़ हैं। समस्या गुणांक निर्धारित करने की है एक1 , एक2 ,…, एकएमताकि बिंदुओं से लंबवत दूरी के वर्गों का योग एममैं (एक्समैं, आपमैं) फलन के ग्राफ में (1) सबसे छोटा था (चित्र 1)।

एक अनुभवजन्य सूत्र के निर्माण में दो चरण होते हैं: इस सूत्र के सामान्य रूप का पता लगाना और इसके सर्वोत्तम मापदंडों का निर्धारण करना।

यदि दी गई मात्राओं x और के बीच संबंध की प्रकृति आप, तो अनुभवजन्य निर्भरता का रूप मनमाना है। सरल सूत्रों को अच्छी सटीकता के साथ वरीयता दी जाती है। एक अनुभवजन्य सूत्र का सफल चुनाव काफी हद तक विषय क्षेत्र में शोधकर्ता के ज्ञान पर निर्भर करता है, जिसके उपयोग से वह सैद्धांतिक विचारों से कार्यों के वर्ग को इंगित कर सकता है। कार्टेशियन या विशेष समन्वय प्रणालियों (सेमिलोगैरिदमिक, लॉगरिदमिक, आदि) में प्राप्त डेटा का बहुत महत्व है। बिंदुओं की स्थिति के आधार पर, निर्मित ग्राफ और ज्ञात वक्रों के नमूनों के बीच समानता स्थापित करके निर्भरता के सामान्य रूप का अनुमान लगाया जा सकता है।

सर्वोत्तम बाधाओं का निर्धारण एक1 , एक2,…, एकएमप्रसिद्ध विश्लेषणात्मक विधियों द्वारा निर्मित अनुभवजन्य सूत्र में शामिल।

गुणांक का एक सेट खोजने के लिए एक1 , एक2 …..एकएम, जो सूत्र (2) द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन S का न्यूनतम प्रदान करते हैं, हम कई चर के एक फ़ंक्शन के चरम के लिए आवश्यक शर्त का उपयोग करते हैं - आंशिक डेरिवेटिव के शून्य की समानता।

नतीजतन, हम गुणांक निर्धारित करने के लिए एक सामान्य प्रणाली प्राप्त करते हैं एकमैं(मैं = 1,2,…, एम):

इस प्रकार, गुणांक ज्ञात करना एकमैंसमाधान प्रणाली (3) को कम करता है। यदि अनुभवजन्य सूत्र (1) मापदंडों के संबंध में रैखिक है तो यह प्रणाली सरल हो जाती है एकमैं, तो सिस्टम (3) रैखिक होगा।

1.1 रैखिक संबंध

प्रणाली का विशिष्ट रूप (3) अनुभवजन्य सूत्रों के वर्ग पर निर्भर करता है जिससे हम निर्भरता की तलाश कर रहे हैं (1)। रैखिक संबंध के मामले में वाई = ए1 + ए2 एक्ससिस्टम (3) फॉर्म लेगा:

इस रैखिक प्रणाली को किसी भी ज्ञात विधि (गॉस विधि, सरल पुनरावृत्तियों, क्रैमर के सूत्र) द्वारा हल किया जा सकता है।

1.2 द्विघात निर्भरता

द्विघात निर्भरता के मामले में वाई = ए1 + ए2 एक्स + ए3एक्स 2सिस्टम (3) फॉर्म लेगा:

1.3 घातीय निर्भरता

कुछ मामलों में, एक अनुभवजन्य सूत्र के रूप में, एक फ़ंक्शन लिया जाता है जिसमें अनिश्चित गुणांक गैर-रैखिक रूप से प्रवेश करते हैं। इस मामले में, कभी-कभी समस्या को रैखिक किया जा सकता है, अर्थात। रैखिक को कम करें। ऐसी निर्भरता के बीच घातीय निर्भरता है

वाई = ए1 *इa2x (6)

जहाँ एक 1तथा एक 2, अपरिभाषित गुणांक।

समानता (6) का लघुगणक लेकर रैखिककरण प्राप्त किया जाता है, जिसके बाद हम संबंध प्राप्त करते हैं

एलएन वाई = एलएन ए 1+ए 2एक्स (7)

निरूपित करें ln परऔर ln एकएक्सक्रमशः . के माध्यम से टीतथा सी, तब निर्भरता (6) को इस प्रकार लिखा जा सकता है टी = ए1 + ए2 एक्स, जो हमें प्रतिस्थापन के साथ सूत्र (4) लागू करने की अनुमति देता है एक1 पर सीतथा परमैंपर टीमैं

1.4 सहसंबंध सिद्धांत के तत्व

बहाल कार्यात्मक निर्भरता का प्लॉट वाई (एक्स)माप के परिणामों के अनुसार (x मैं, परमैं),मैं = 1.2, के, एनप्रतिगमन वक्र कहा जाता है। प्रयोग के परिणामों के साथ निर्मित प्रतिगमन वक्र के समझौते की जांच करने के लिए, निम्नलिखित संख्यात्मक विशेषताओं को आमतौर पर पेश किया जाता है: सहसंबंध गुणांक (रैखिक निर्भरता), सहसंबंध अनुपात और नियतत्ववाद का गुणांक। इस मामले में, परिणाम आमतौर पर समूहीकृत होते हैं और सहसंबंध तालिका के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं। इस तालिका के प्रत्येक सेल में संख्याएँ दी गई हैं एनमैं - वे जोड़े (एक्स, वाई), जिनके घटक प्रत्येक चर के लिए संगत समूह अंतराल में आते हैं। समूह अंतरालों की लंबाई (प्रत्येक चर के लिए) एक दूसरे के बराबर मानते हुए, केंद्रों का चयन करें x मैं(क्रमश परमैं) इन अंतरालों और संख्या . के एनमैं- गणना के आधार के रूप में।

सहसंबंध गुणांक आश्रित यादृच्छिक चर के बीच रैखिक संबंध का एक उपाय है: यह दर्शाता है कि औसतन, एक चर को दूसरे के रैखिक कार्य के रूप में कितनी अच्छी तरह से दर्शाया जा सकता है।

सहसंबंध गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

जहाँ, और क्रमशः अंकगणितीय माध्य हैं एक्सतथा पर.

यादृच्छिक चरों के बीच सहसंबंध गुणांक निरपेक्ष मान में 1 से अधिक नहीं होता है 1 से, x और . के बीच रैखिक संबंध जितना निकट होगा वाई

गैर-रैखिक सहसंबंध के मामले में, सशर्त औसत मान घुमावदार रेखा के पास स्थित होते हैं। इस मामले में, कनेक्शन की ताकत की विशेषता के रूप में एक सहसंबंध अनुपात का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है, जिसकी व्याख्या अध्ययन के तहत निर्भरता के प्रकार पर निर्भर नहीं करती है।

सहसंबंध अनुपात की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

कहाँ पे एनमैं = , एनएफ= , और अंश सशर्त औसत के फैलाव को दर्शाता है वाई,बिना शर्त माध्य के बारे में आप.

हमेशा से रहा है। समानता = 0 असंबद्ध यादृच्छिक चर से मेल खाती है; = 1 यदि और केवल तभी, जब के बीच एक सटीक कार्यात्मक संबंध हो आपऔर एक्स. रैखिक संबंध के मामले में आप x से, सहसंबंध अनुपात सहसंबंध गुणांक के वर्ग के साथ मेल खाता है। मूल्य - ? 2 का उपयोग रैखिकता से प्रतिगमन के विचलन के संकेतक के रूप में किया जाता है।

सहसंबंध अनुपात सहसंबंध का एक उपाय है आपसाथ एक्सकिसी भी रूप में, लेकिन एक विशेष रूप में अनुभवजन्य डेटा के सन्निकटन की डिग्री का विचार नहीं दे सकता। यह पता लगाने के लिए कि निर्मित वक्र अनुभवजन्य डेटा को कितनी सटीक रूप से दर्शाता है, एक और विशेषता पेश की जाती है - नियतत्ववाद का गुणांक।

इसका वर्णन करने के लिए, निम्नलिखित मात्राओं पर विचार करें। वर्गों का कुल योग है, माध्य कहाँ है।

हम निम्नलिखित समानता सिद्ध कर सकते हैं:

पहला पद Sres = के बराबर है और इसे वर्गों का अवशिष्ट योग कहा जाता है। यह सैद्धांतिक लोगों से प्रयोगात्मक के विचलन की विशेषता है।

दूसरा पद Sreg = 2 के बराबर है और इसे वर्गों का प्रतिगमन योग कहा जाता है और यह डेटा के प्रसार की विशेषता है।

यह स्पष्ट है कि निम्नलिखित समानता S पूर्ण = एस ओस्ट + एस reg

नियतत्ववाद का गुणांक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

वर्गों के कुल योग की तुलना में वर्गों का अवशिष्ट योग जितना छोटा होगा, नियतत्ववाद के गुणांक का मान उतना ही अधिक होगा आर2 , जो दर्शाता है कि प्रतिगमन विश्लेषण द्वारा उत्पन्न समीकरण कितनी अच्छी तरह चर के बीच संबंधों की व्याख्या करता है। यदि यह 1 के बराबर है, तो मॉडल के साथ पूर्ण सहसंबंध होता है, अर्थात। वास्तविक और अनुमानित y मानों के बीच कोई अंतर नहीं है। अन्यथा, यदि नियतत्ववाद का गुणांक 0 है, तो प्रतिगमन समीकरण y मानों की भविष्यवाणी करने में विफल रहता है

नियतत्ववाद का गुणांक हमेशा सहसंबंध अनुपात से अधिक नहीं होता है। मामले में जब समानता आर 2 = तब हम मान सकते हैं कि निर्मित अनुभवजन्य सूत्र अनुभवजन्य डेटा को सबसे सटीक रूप से दर्शाता है।

2. समस्या का विवरण

1. कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके, तालिका में निर्दिष्ट फ़ंक्शन अनुमानित है

ए) पहली डिग्री का बहुपद;

बी) दूसरी डिग्री का बहुपद;

ग) घातीय निर्भरता।

प्रत्येक निर्भरता के लिए, नियतत्ववाद के गुणांक की गणना करें।

सहसंबंध गुणांक की गणना करें (केवल मामले में)।

प्रत्येक निर्भरता के लिए एक प्रवृत्ति रेखा बनाएं।

LINEST फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए, निर्भरता की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें।

LINEST फ़ंक्शन का उपयोग करके प्राप्त परिणामों के साथ अपनी गणनाओं की तुलना करें।

निष्कर्ष निकालें कि प्राप्त सूत्रों में से कौन सा फ़ंक्शन फ़ंक्शन का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है।

प्रोग्रामिंग भाषाओं में से एक में एक प्रोग्राम लिखें और ऊपर प्राप्त परिणामों के साथ गणना परिणामों की तुलना करें।

3. प्रारंभिक डेटा

फ़ंक्शन चित्र 1 में दिया गया है।

4. स्प्रेडशीट एक्सेल में सन्निकटन की गणना

गणना के लिए, Microsoft Excel स्प्रेडशीट का उपयोग करना उचित है। और डेटा को चित्र 2 में दर्शाए अनुसार व्यवस्थित करें।

इसके लिए हम दर्ज करते हैं:

· कक्ष A6:A30 में हम xi . के मान दर्ज करते हैं .

· कोशिकाओं B6:B30 में हम ui . के मान दर्ज करते हैं .

· सेल C6 में सूत्र दर्ज करें =A6^ 2.

· यह सूत्र कोशिकाओं C7:C30 में कॉपी किया गया है।

· सेल D6 में, सूत्र =A6*B6 दर्ज करें।

· यह सूत्र कक्ष D7:D30 में कॉपी किया गया है।

· सेल F6 में, सूत्र =A6^4 दर्ज करें।

· यह सूत्र कोशिकाओं F7:F30 में कॉपी किया गया है।

· सेल G6 में हम सूत्र =A6^2*B6 दर्ज करते हैं।

· यह सूत्र कोशिकाओं G7:G30 में कॉपी किया गया है।

· सेल H6 में, सूत्र =LN(B6) दर्ज करें।

· यह सूत्र कोशिकाओं H7:H30 में कॉपी किया गया है।

· सेल I6 में सूत्र दर्ज करें =A6*LN(B6)।

· यह सूत्र I7:I30 कक्षों में कॉपी किया गया है। हम ऑटोसमेशन का उपयोग करके निम्नलिखित चरण करते हैं

· कक्ष A33 में, सूत्र = SUM (A6: A30) दर्ज करें।

· सेल B33 में, सूत्र = SUM (B6: B30) दर्ज करें।

· सेल C33 में, सूत्र = SUM (C6: C30) दर्ज करें।

· सेल D33 में, सूत्र = SUM (D6: D30) दर्ज करें।

· सेल E33 में, सूत्र =SUM (E6:E30) दर्ज करें।

· सेल F33 में, सूत्र = SUM (F6: F30) दर्ज करें।

· सेल G33 में, सूत्र = SUM (G6: G30) दर्ज करें।

· सेल H33 में, सूत्र = SUM (H6: H30) दर्ज करें।

· सेल I33 में सूत्र = SUM (I6: I30) दर्ज करें।

हम फ़ंक्शन का अनुमान लगाते हैं वाई = एफ(एक्स) रैखिक कार्य वाई = ए1 + ए2एक्स। गुणांक निर्धारित करने के लिए a 1और एक 2हम सिस्टम (4) का उपयोग करते हैं। सेल A33, B33, C33 और D33 में स्थित तालिका 2 के योग का उपयोग करते हुए, हम सिस्टम (4) को इस प्रकार लिखते हैं

जिसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है 1= -24.7164 और a2 = 11,63183

इस प्रकार, रैखिक सन्निकटन का रूप है y= -24.7164 + 11.63183x (12)

सिस्टम (11) को Microsoft Excel का उपयोग करके हल किया गया था। परिणाम चित्र 3 में प्रस्तुत किए गए हैं:

तालिका में, कक्ष A38:B39 में सूत्र (=NBR (A35:B36)) होता है। कक्ष E38:E39 में सूत्र होता है (=MULTI(A38:B39, C35:C36))।

अगला, हम फ़ंक्शन का अनुमान लगाते हैं वाई = एफ(x) द्विघात फलन वाई = ए1 + ए2 एक्स + ए3 एक्स2. गुणांक निर्धारित करने के लिए a 1, एक 2और एक 3हम सिस्टम (5) का उपयोग करते हैं। कक्ष A33, B33, C33, D33, E33, F33 और G33 में स्थित तालिका 2 के योग का उपयोग करते हुए, हम सिस्टम (5) को इस प्रकार लिखते हैं:

जिसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है a 1= 1.580946, ए 2= -0.60819 और a3 = 0,954171 (14)

इस प्रकार, द्विघात सन्निकटन का रूप है:

वाई \u003d 1.580946 -0.60819x + 0.954171 x2

सिस्टम (13) को माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल का उपयोग करके हल किया गया था। परिणाम चित्र 4 में प्रस्तुत किए गए हैं।

तालिका में, कक्ष A46:C48 में सूत्र (=NBR (A41:C43)) होता है। कक्ष F46:F48 में सूत्र होता है (=MULTI(A41:C43, D46:D48))।

अब हम फ़ंक्शन का अनुमान लगाते हैं वाई = एफ(एक्स) घातीय कार्य वाई = ए1 इa2x. गुणांक निर्धारित करने के लिए एक1 तथा एक2 मानों का लघुगणक लें आपमैंऔर कोशिकाओं A26, C26, H26 और I26 में स्थित तालिका 2 के योग का उपयोग करके, हमें सिस्टम मिलता है:

कहाँ पे एस = एलएन (ए1 ).

समाधान प्रणाली (10) हम पाते हैं सी =0.506435, ए2 = 0.409819.

पोटेंशिएशन के बाद, हमें मिलता है a1 = 1,659365.

इस प्रकार, घातीय सन्निकटन का रूप है वाई = 1.659365*ई0.4098194x

सिस्टम (15) को माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल का उपयोग करके हल किया गया था। परिणाम चित्र 5 में दिखाए गए हैं।

तालिका में, कक्ष A55:B56 में सूत्र (=NBR (A51:B52)) होता है। कक्ष E54:E56 में सूत्र है (= MULTIPLE(A51:B52, C51:C52))। सेल E56 में सूत्र =EXP(E54) है।

सूत्रों का उपयोग करके x और y के अंकगणितीय माध्य की गणना करें:

गणना परिणाम x और आपMicrosoft Excel उपकरण चित्र 6 में दिखाए गए हैं।

सेल B58 में सूत्र =A33/25 है। सेल B59 में सूत्र =B33/25 है।

तालिका 2

आइए हम बताते हैं कि चित्र 7 की तालिका कैसे संकलित की जाती है।

कक्ष A6:A33 और B6:B33 पहले से ही भरे हुए हैं (चित्र 2 देखें)।

· सेल J6 में, सूत्र दर्ज करें =(A6-$B$58)*(B6-$B$59)।

· यह सूत्र कोशिकाओं J7:J30 में कॉपी किया गया है।

· सेल K6 में, सूत्र दर्ज करें =(A6-$B$58)^ 2.

· यह सूत्र K7: K30 कक्षों में कॉपी किया गया है।

· सेल L6 में, सूत्र दर्ज करें =(B1-$B$59)^2।

· यह सूत्र कोशिकाओं L7:L30 में कॉपी किया गया है।

· सेल M6 में सूत्र दर्ज करें =($E$38+$E$39*A6-B6)^2।

· यह सूत्र कोशिकाओं M7:M30 में कॉपी किया गया है।

· सेल N6 में, सूत्र दर्ज करें =($F$46 +$F$47*A6 +$F$48*A6 L6-B6)^2।

· यह सूत्र कोशिकाओं N7:N30 में कॉपी किया गया है।

· सेल O6 में, सूत्र दर्ज करें =($E$56*EXP ($E$55*A6) - B6)^2।

· यह सूत्र कक्षों O7:O30 में कॉपी किया गया है।

अगले चरण ऑटोसमेशन का उपयोग करके किए जाते हैं।

· सेल J33 में, सूत्र =CYMM (J6:J30) दर्ज करें।

· कक्ष K33 में, सूत्र = SUM (K6: K30) दर्ज करें।

· सेल L33 में, सूत्र दर्ज करें =CYMM (L6:L30)।

· सेल M33 में सूत्र = SUM (M6: M30) दर्ज करें।

· सेल N33 में सूत्र = SUM (N6: N30) दर्ज करें।

· कक्ष O33 में, सूत्र = SUM (06:030) दर्ज करें।

अब आइए सूत्र (8) (केवल रैखिक सन्निकटन के लिए) और सूत्र (10) का उपयोग करके नियतत्ववाद गुणांक का उपयोग करके सहसंबंध गुणांक की गणना करें। Microsoft Excel का उपयोग करके गणना के परिणाम चित्र 7 में दिखाए गए हैं।

तालिका 8 में, सेल B61 में सूत्र =J33/(K33*L33^(1/2) है। सेल B62 में सूत्र = 1 - M33/L33 है। सेल B63 में सूत्र = 1 - N33/L33 है। सेल B64 में शामिल है सूत्र = 1 - O33/L33।

गणना परिणामों के विश्लेषण से पता चलता है कि द्विघात सन्निकटन प्रयोगात्मक डेटा का सबसे अच्छा वर्णन करता है।

4.1 एक्सेल में रेखांकन

आइए सेल A1:A25 का चयन करें, उसके बाद हम चार्ट विजार्ड की ओर रुख करेंगे। आइए एक स्कैटर प्लॉट चुनें। चार्ट बनने के बाद, चार्ट की लाइन पर राइट-क्लिक करें और एक ट्रेंड लाइन (क्रमशः दूसरी डिग्री के रैखिक, घातीय, शक्ति और बहुपद) जोड़ने के लिए चुनें।

रैखिक सन्निकटन प्लॉट

द्विघात सन्निकटन प्लॉट

घातीय फिट प्लॉट।

5. MathCAD का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का अनुमान लगाना

आंकड़ों का अनुमान उनके सांख्यिकीय मापदंडों को ध्यान में रखते हुए प्रतिगमन समस्याओं को संदर्भित करता है। वे आम तौर पर प्रक्रियाओं या भौतिक घटनाओं के माप के परिणामस्वरूप प्राप्त प्रयोगात्मक डेटा के प्रसंस्करण के दौरान उत्पन्न होते हैं जो प्रकृति में सांख्यिकीय होते हैं (जैसे रेडियोमेट्री और परमाणु भूभौतिकी में माप), या उच्च स्तर के हस्तक्षेप (शोर)। प्रतिगमन विश्लेषण का कार्य गणितीय सूत्रों का चयन है जो प्रयोगात्मक डेटा का सबसे अच्छा वर्णन करते हैं।

.1 रैखिक प्रतिगमन

Mathcad प्रणाली में रैखिक प्रतिगमन तर्क के वैक्टर पर किया जाता है एक्सऔर रीडिंग यूकार्य:

अवरोधन (एक्स, वाई)- पैरामीटर की गणना करता है एक1 , प्रतिगमन रेखा की ऊर्ध्वाधर पारी (अंजीर देखें।)

ढलान (एक्स, वाई)- पैरामीटर की गणना करता है एक2 , प्रतिगमन रेखा का ढलान (चित्र देखें)

y(x) = a1+a2*x

समारोह corr(y, y(x))गणना पियर्सन का सहसंबंध गुणांक।वह जितना करीब है 1, अधिक सटीक रूप से संसाधित किया जा रहा डेटा एक रैखिक संबंध के अनुरूप होता है (चित्र देखें।)

.2 बहुपद प्रतिगमन

एक-आयामी बहुपद प्रतिगमन बहुपद की मनमानी डिग्री n के साथ और Mathcad में मनमाने ढंग से नमूना निर्देशांक के साथ कार्यों द्वारा किया जाता है:

वापसी (एक्स, वाई, एन)- एक वेक्टर की गणना करता है एस,जिसमें गुणांक होते हैं ऐबहुपद एनवें डिग्री;

गुणांक मान ऐवेक्टर से निकाला जा सकता है एससमारोह सबमैट्रिक्स (एस, 3, लंबाई (एस) - 1, 0, 0)।

गुणांक के प्राप्त मूल्यों का उपयोग प्रतिगमन समीकरण में किया जाता है

y(x) = a1+a2*x+a3*x2 (तस्वीर देखें।)

.3 अरेखीय प्रतिगमन

साधारण विशिष्ट सन्निकटन फ़ार्मुलों के लिए, कई गैर-रेखीय प्रतिगमन फ़ंक्शन प्रदान किए जाते हैं, जिसमें फ़ंक्शन पैरामीटर का चयन Mathcad प्रोग्राम द्वारा किया जाता है।

उनमें से समारोह है एक्सफ़िट (एक्स, वाई, एस),जो गुणांक वाले वेक्टर को लौटाता है ए1, ए2तथा ए3घातांक प्रकार्य

y(x) = a1 ^ क्स्प (a2 .)एक्स) + ए 3।वी वेक्टर एसगुणांक के प्रारंभिक मान दर्ज किए गए हैं ए1, ए2तथा ए3पहला सन्निकटन।

निष्कर्ष

गणना परिणामों के विश्लेषण से पता चलता है कि रैखिक सन्निकटन प्रयोगात्मक डेटा का सबसे अच्छा वर्णन करता है।

MathCAD प्रोग्राम का उपयोग करके प्राप्त परिणाम एक्सेल का उपयोग करके प्राप्त मूल्यों से पूरी तरह मेल खाते हैं। यह गणना की शुद्धता को इंगित करता है।

ग्रन्थसूची

1. सूचना विज्ञान: पाठ्यपुस्तक / एड। प्रो एन.वी. मकारोवा. एम.: वित्त और सांख्यिकी 2007
2. सूचना विज्ञान: कंप्यूटर प्रौद्योगिकी पर कार्यशाला / के तहत। ईडी। प्रो एन.वी. मकारोवा. एम वित्त और सांख्यिकी, 2011।
3. एन.एस. पिस्कुनोव। डिफरेंशियल एंड इंटीग्रल कैलकुलस, 2010।
4. सूचना विज्ञान, कम से कम वर्गों की विधि द्वारा सन्निकटन, दिशानिर्देश, सेंट पीटर्सबर्ग, 2009।

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कम से कम विधि द्वारा एक समारोह का अनुमान

वर्ग

1. कार्य का उद्देश्य

2. दिशानिर्देश

2.2 समस्या का विवरण

2.3 एक सन्निकटन फलन चुनने की विधि

2.4 सामान्य समाधान तकनीक

2.5 सामान्य समीकरणों को हल करने की तकनीक

2.7 व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए विधि

3. मैनुअल खाता

3.1 प्रारंभिक डेटा

3.2 सामान्य समीकरणों की प्रणाली

3.3 व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि द्वारा सिस्टम को हल करना

4. एल्गोरिदम की योजना

5. कार्यक्रम पाठ

6. मशीन गणना के परिणाम

1. कार्य का उद्देश्य

यह पाठ्यक्रम कार्य "कम्प्यूटेशनल गणित और प्रोग्रामिंग" अनुशासन का अंतिम खंड है और इसके कार्यान्वयन की प्रक्रिया में छात्र को निम्नलिखित कार्यों को हल करने की आवश्यकता होती है:

ए) लागू सूचना विज्ञान के विशिष्ट कम्प्यूटेशनल तरीकों का व्यावहारिक विकास; बी) एक उच्च स्तरीय भाषा में एल्गोरिदम विकसित करने और कार्यक्रमों के निर्माण के कौशल में सुधार करना।

पाठ्यक्रम कार्य के व्यावहारिक कार्यान्वयन में मैट्रिक्स बीजगणित के तरीकों का उपयोग करके डेटा प्रोसेसिंग की विशिष्ट इंजीनियरिंग समस्याओं को हल करना, संख्यात्मक एकीकरण के रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली को हल करना शामिल है। पाठ्यक्रम कार्य को पूरा करने की प्रक्रिया में अर्जित कौशल पाठ्यक्रम और स्नातक परियोजनाओं में बाद के सभी विषयों के अध्ययन की प्रक्रिया में अनुप्रयुक्त गणित और प्रोग्रामिंग तकनीकों के कम्प्यूटेशनल तरीकों के उपयोग के लिए आधार हैं।

2. दिशानिर्देश

2.2 समस्या का विवरण

मात्राओं के बीच निर्भरता का अध्ययन करते समय, एक महत्वपूर्ण कार्य एक उपयुक्त तरीके से चुने गए ज्ञात कार्यों या उनके संयोजनों का उपयोग करके इन निर्भरताओं का अनुमानित प्रतिनिधित्व (अनुमान) होता है। इस तरह की समस्या के लिए दृष्टिकोण और इसे हल करने के लिए विशिष्ट विधि उपयोग किए गए सन्निकटन गुणवत्ता मानदंड की पसंद और प्रारंभिक डेटा की प्रस्तुति के रूप से निर्धारित होती है।

2.3 एक सन्निकटन फलन चुनने की विधि

सन्निकटन फलन को कार्यों के एक निश्चित परिवार से चुना जाता है जिसके लिए फलन का रूप दिया जाता है, लेकिन इसके पैरामीटर अपरिभाषित रहते हैं (और निर्धारित किया जाना चाहिए), अर्थात।

सन्निकटन फलन की परिभाषा को दो मुख्य चरणों में विभाजित किया गया है:

एक उपयुक्त प्रकार के फ़ंक्शन का चयन;

कम से कम वर्ग मानदंड के अनुसार इसके मापदंडों का पता लगाना।

फ़ंक्शन के प्रकार का चुनाव एक जटिल समस्या है जिसे परीक्षण और क्रमिक सन्निकटन द्वारा हल किया जाता है। ग्राफिकल रूप में प्रस्तुत प्रारंभिक डेटा (बिंदुओं या वक्रों के परिवार) की तुलना आमतौर पर सन्निकटन उद्देश्यों के लिए उपयोग किए जाने वाले कई विशिष्ट कार्यों के ग्राफ़ के परिवार से की जाती है। टर्म पेपर में प्रयुक्त कुछ प्रकार के फंक्शन तालिका 1 में दिखाए गए हैं।

सन्निकटन समस्याओं में उपयोग किए जा सकने वाले कार्यों के व्यवहार के बारे में अधिक विस्तृत जानकारी संदर्भ साहित्य में पाई जा सकती है। पाठ्यक्रम कार्य के अधिकांश कार्यों में सन्निकटन फलन का प्रकार दिया गया है।

2.4 सामान्य समाधान तकनीक

सन्निकटन फ़ंक्शन के प्रकार को चुनने के बाद (या यह फ़ंक्शन सेट किया गया है) और इसलिए, कार्यात्मक निर्भरता (1) निर्धारित की जाती है, मापदंडों के मूल्यों को खोजना आवश्यक है सी 1 , सी 2 , ... , सी एम एलएसएम की आवश्यकताओं के अनुसार। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, मापदंडों को इस तरह से निर्धारित किया जाना चाहिए कि प्रत्येक विचार की गई समस्या में मानदंड का मूल्य मापदंडों के अन्य संभावित मूल्यों के लिए इसके मूल्य की तुलना में सबसे छोटा है।

समस्या को हल करने के लिए, हम व्यंजक (1) को संगत व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं और समन या समाकलन (I के प्रकार के आधार पर) की आवश्यक संक्रियाएँ करते हैं। नतीजतन, मान I, जिसे इसके बाद सन्निकटन मानदंड के रूप में संदर्भित किया जाता है, वांछित मापदंडों के एक फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है

चर k के इस फलन का न्यूनतम ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित को घटाया गया है; मूल्यों का निर्धारण C k =C k * , k=1,m, इस तत्व I के अनुरूप है, और समस्या को हल करने का लक्ष्य है।

फ़ंक्शन प्रकार तालिका 1

समारोह प्रकार	समारोह का नाम
वाई = सी 1 +सी 2 एक्स	रैखिक
वाई \u003d सी 1 + सी 2 एक्स + सी 3 एक्स 2	द्विघात (परवलयिक)
वाई =	परिमेय(nth डिग्री का बहुपद)
वाई = सी 1 + सी 2	व्युत्क्रमानुपाती
वाई = सी 1 + सी 2	शक्ति भिन्नात्मक परिमेय
वाई =	भिन्नात्मक-तर्कसंगत (पहली डिग्री का)
वाई=सी 1 +सी 2 एक्स सी3	शक्ति
वाई=सी 1 +सी 2 ए सी3 एक्स	प्रदर्शन
Y=C 1 +C 2 लॉग a x	लघुगणक
वाई \u003d सी 1 + सी 2 एक्स एन (0	अपरिमेय, बीजीय
Y=C 1 sinx+C 2 cosx	त्रिकोणमितीय फलन (और उनके प्रतिलोम)

इस समस्या को हल करने के लिए निम्नलिखित दो दृष्टिकोण संभव हैं: कई चर के न्यूनतम फ़ंक्शन के लिए ज्ञात स्थितियों का उपयोग करना या किसी भी संख्यात्मक तरीकों से सीधे फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु खोजना।

इनमें से पहले दृष्टिकोण को लागू करने के लिए, हम कई चर के फ़ंक्शन (1) के लिए आवश्यक न्यूनतम शर्त का उपयोग करते हैं, जिसके अनुसार इस फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न इसके सभी तर्कों के संबंध में न्यूनतम बिंदु पर शून्य के बराबर होना चाहिए

परिणामी m समानता को वांछित 1 , С 2 ,…, m के संबंध में समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जाना चाहिए। कार्यात्मक निर्भरता के एक मनमाना रूप के लिए (1), समीकरण (3) सी के मूल्यों के संबंध में गैर-रैखिक हो जाता है, और उनके समाधान के लिए अनुमानित संख्यात्मक विधियों के उपयोग की आवश्यकता होती है।

समानता का उपयोग (3) केवल आवश्यक, लेकिन न्यूनतम (2) के लिए अपर्याप्त शर्तें देता है। इसलिए, यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि क्या पाया गया मान C k * बिल्कुल न्यूनतम फ़ंक्शन प्रदान करता है . सामान्य स्थिति में, ऐसा परिशोधन इस पाठ्यक्रम कार्य के दायरे से बाहर है, और पाठ्यक्रम कार्य के लिए प्रस्तावित कार्यों का चयन किया जाता है ताकि सिस्टम (3) का पाया गया समाधान न्यूनतम I से बिल्कुल मेल खाता हो। हालांकि, के मूल्य के बाद से I गैर-ऋणात्मक है (वर्गों के योग के रूप में) और इसकी निचली सीमा 0 (I = 0) है, तो यदि सिस्टम (3) का एक अनूठा समाधान है, तो यह न्यूनतम I के ठीक से मेल खाता है।

जब सन्निकटन फलन को सामान्य व्यंजक (1) द्वारा निरूपित किया जाता है, तो संगत सामान्य समीकरण (3) वांछित सी सी के संबंध में गैर-रैखिक हो जाते हैं। उनका समाधान महत्वपूर्ण कठिनाइयों से जुड़ा हो सकता है। ऐसे मामलों में, न्यूनतम फ़ंक्शन की सीधे खोज करना बेहतर होता है अपने तर्कों के संभावित मूल्यों की सीमा में सी के, संबंधों के उपयोग से संबंधित नहीं (3)। इस तरह की खोज का सामान्य विचार यह है कि तर्कों के मानों को C में बदलें और प्रत्येक चरण पर फ़ंक्शन I के संबंधित मान को न्यूनतम या इसके पर्याप्त करीब परिकलित करें।

2.5 सामान्य समीकरणों को हल करने की तकनीक

सन्निकटन मानदंड (2) को कम करने के संभावित तरीकों में से एक में सामान्य समीकरणों (3) की प्रणाली को हल करना शामिल है। जब वांछित पैरामीटर के एक रैखिक कार्य को अनुमानित फ़ंक्शन के रूप में चुना जाता है, तो सामान्य समीकरण रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली होती है।

सामान्य रूप के n रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली:

(4) मैट्रिक्स नोटेशन का उपयोग करके निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है: ए एक्स = बी,

; ; (5)

वर्ग मैट्रिक्स ए कहा जाता है सिस्टम मैट्रिक्स, और सदिश X और B, क्रमशः अज्ञात प्रणालियों का स्तंभ वेक्टरतथा इसके मुक्त सदस्यों का स्तंभ वेक्टर .

मैट्रिक्स रूप में, n रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली को निम्नानुसार भी लिखा जा सकता है:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान कॉलम वेक्टर (x i) के तत्वों के मूल्यों को खोजने के लिए कम किया जाता है, जिसे सिस्टम की जड़ें कहा जाता है। इस प्रणाली के लिए एक अद्वितीय समाधान होने के लिए, इसका n समीकरण रैखिक रूप से स्वतंत्र होना चाहिए। इसके लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि निकाय का निर्धारक शून्य के बराबर न हो, अर्थात। =detA≠0.

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म को प्रत्यक्ष और पुनरावृत्त में विभाजित किया गया है। व्यवहार में कोई भी तरीका अनंत नहीं हो सकता। एक सटीक समाधान प्राप्त करने के लिए, पुनरावृत्त विधियों के लिए अनंत संख्या में अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है। व्यवहार में, इस संख्या को परिमित के रूप में लिया जाना चाहिए, और इसलिए समाधान, सिद्धांत रूप में, कुछ त्रुटि है, भले ही हम अधिकांश गणनाओं के साथ आने वाली गोलाई त्रुटियों की उपेक्षा करते हैं। प्रत्यक्ष तरीकों के लिए, यहां तक ​​​​कि सीमित संख्या में संचालन के साथ, वे सिद्धांत रूप में, एक सटीक समाधान दे सकते हैं, यदि यह मौजूद है।

प्रत्यक्ष और परिमित विधियाँ एक सीमित संख्या में चरणों में समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजना संभव बनाती हैं। यह समाधान सटीक होगा यदि सभी गणना अंतराल सीमित सटीकता के साथ किए जाते हैं।

2.7 व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए विधि

रैखिक समीकरणों (4) की प्रणाली को हल करने के तरीकों में से एक, हम मैट्रिक्स फॉर्म ए · एक्स = बी में लिखते हैं, उलटा मैट्रिक्स ए -1 के उपयोग से जुड़ा हुआ है। इस मामले में, समीकरणों की प्रणाली का समाधान रूप में प्राप्त किया जाता है

जहां ए -1 एक मैट्रिक्स है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

मान लीजिए A एक n x n वर्ग आव्यूह है जिसमें शून्येतर सारणिक detA≠0 है। फिर एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स R=A -1 स्थिति A R=E द्वारा परिभाषित किया गया है,

जहां एक पहचान मैट्रिक्स है, जिसके मुख्य विकर्ण के सभी तत्व I के बराबर हैं, और इस विकर्ण के बाहर के तत्व -0, = हैं, जहां i एक कॉलम वेक्टर है। आव्यूह K एक वर्ग आव्यूह है जिसका आकार n x n है।

जहां आरजे एक कॉलम वेक्टर है।

इसके पहले कॉलम R=(r 11 , r 21 ,…, r n 1) T पर विचार करें, जहां T का अर्थ स्थानान्तरण है। यह जांचना आसान है कि गुणनफल A·R पहले स्तंभ E 1 =(1, 0, ..., 0) T के बराबर है, पहचान मैट्रिक्स E के, अर्थात। वेक्टर आर 1 को रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में माना जा सकता है ए आर 1 =ई 1। इसी तरह, मैट्रिक्स आर, आरएम, 1≤ एम ≤ एन का एम-स्तंभ, समीकरण ए आरएम का समाधान है =Em, जहाँ Em=(0, …, 1, 0) T m सर्वसमिका आव्यूह का स्तंभ है।

इस प्रकार, व्युत्क्रम मैट्रिक्स R रैखिक समीकरणों के n सिस्टम के समाधान का एक सेट है

ए आरएम = एम , 1≤ एम ≤ एन।

इन प्रणालियों को हल करने के लिए, बीजीय समीकरणों को हल करने के लिए विकसित किसी भी तरीके को लागू किया जा सकता है। हालाँकि, गॉस विधि इन सभी n प्रणालियों को एक साथ हल करना संभव बनाती है, लेकिन एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से। दरअसल, समीकरणों की ये सभी प्रणालियाँ केवल दाईं ओर भिन्न होती हैं, और गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम की प्रक्रिया में किए जाने वाले सभी परिवर्तन पूरी तरह से गुणांक के मैट्रिक्स (मैट्रिक्स ए) के तत्वों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इसलिए, एल्गोरिदम की योजनाओं में, केवल वेक्टर बी के परिवर्तन से जुड़े ब्लॉक परिवर्तन के अधीन हैं। हमारे मामले में, एन वैक्टर एम, 1 एम ≤ एन, एक साथ रूपांतरित हो जाएंगे। समाधान का परिणाम भी एक वेक्टर नहीं होगा, बल्कि n वैक्टर Rm, 1≤ m n होगा।

3. मैनुअल खाता

3.1 प्रारंभिक डेटा

क्सी	0,3	0,5	0,7	0,9	1,1
यी	1,2	0,7	0,3	-0,3	-1,4

3.2 सामान्य समीकरणों की प्रणाली

3.3 व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि द्वारा सिस्टम को हल करना

सन्निकटन वर्ग फलन रैखिक समीकरण

5 3,5 2,6 0,5 5 3,5 2,6 0,5

3,5 2,85 2,43 -0,89 0 0,4 0,61 -1,24

2,56 2,43 2,44 -1,86 0 0,638 1,109 -2,116

0 0,4 0,61 -1,24

0 0 0,136 -0,138

गणना परिणाम:

सी 1 = 1.71; सी 2 = -1.552; सी 3 \u003d -1.015;

सन्निकटन समारोह:

4 . कार्यक्रम पाठ

द्रव्यमान = वास्तविक की सरणी;

mass1 = वास्तविक की सरणी;

mass2 = वास्तविक की सरणी;

एक्स, वाई, ई, वाई 1, डेल्टा: द्रव्यमान;

बड़ा, आर, योग, अस्थायी, अधिकतम डी, क्यू: असली;

मैं, जे, के, एल, संख्या: बाइट;

प्रक्रियावीओडी(वर ई: मास);

मैं के लिए: = 1 से 5 करो

फ़ंक्शन FI (i, k: पूर्णांक): वास्तविक;

अगर मैं = 1 तो एफआई: = 1;

अगर i=2 तो FI:=Sin(x[k]);

अगर i=3 तो FI:=Cos(x[k]);

प्रक्रिया PEREST(i:integer;var a:mass1;var b:mass2);

l के लिए:= i से 3 do

अगर पेट (ए)> बड़ा तो

बड़ा: = ए; राइटलन (बड़ा: 6: 4);

writeln ("समीकरण समीकरण");

अगर संख्या<>मैं फिर

j के लिए:=i से 3 do

ए: = ए;

writeln ("एक्स मान दर्ज करें");

राइटलन ("__________________");

writeln ("‚ Y मान दर्ज करें");

राइटलन ("___________________");

मैं के लिए: = 1 से 3 करो

j के लिए:=1 से 3 do

कश्मीर के लिए: = 1 से 5 करो

ए शुरू करें: = ए + एफआई (आई, के) * एफआई (जे, के); लिखें (ए: 7: 5); समाप्त;

राइटलन ("________________________");

writeln ("गुणांक मैट्रिक्स एआई, जे");

मैं के लिए: = 1 से 3 करो

j के लिए:=1 से 3 do

लिखें (ए: 5: 2, "");

मैं के लिए: = 1 से 3 करो

j के लिए:=1 से 5 do

बी [i]: = बी [i] + वाई [जे] * एफआई (आई, जे);

राइटलन ("_____________");

writeln ('गुणांक मैट्रिक्स द्वि');

मैं के लिए: = 1 से 3 करो

राइट (बी [i]: 5: 2, "");

मैं के लिए: = 1 से 2 करो

k:=i+1 to 3 do . के लिए

प्रश्न: = ए / ए; राइटलन ("जी =", क्यू);

j:=i+1 to 3 do . के लिए

ए: = ए-क्यू * ए; राइटलन ("ए =", ए);

बी [के]: = बी [के]-क्यू * बी [i]; राइटलन ("बी =", बी [के]);

x1[n]:=b[n]/a;

i:=2 से 1 do . के लिए

j:=i+1 to 3 do . के लिए

योग: = योग-ए * x1 [जे];

x1[i]:=योग/ए;

राइटलन ("_____________");

writeln ("गुणांक का मान");

राइटलन ("_________________________");

मैं के लिए: = 1 से 3 करो

राइटलन ("सी", आई, "=", एक्स 1 [आई]);

मैं के लिए: = 1 से 5 करो

y1[i]:= x1[k]*FI(k,i) + x1*FI(k+1,i) + x1*FI(k+2,i);

डेल्टा [i]: = ABS (y [i] -y1 [i]);

राइटलन (y1 [i]);

मैं के लिए: = 1 से 3 करो

राइट (X1 [i]: 7: 3);

मैं के लिए: = 1 से 5 करो

अगर डेल्टा [i]> मैक्सडी तो मैक्सडी: = डेल्टा;

writeln ("अधिकतम डेल्टा =", मैक्सडी: 5: 3);

5 . मशीन गणना परिणाम

सी 1 \u003d 1.511; सी 2 = -1.237; सी 3 = -1.11;

निष्कर्ष

पाठ्यक्रम के काम के दौरान, मैंने व्यावहारिक रूप से अनुप्रयुक्त गणित की विशिष्ट कम्प्यूटेशनल विधियों में महारत हासिल की, एल्गोरिदम विकसित करने और उच्च-स्तरीय भाषाओं में कार्यक्रमों के निर्माण में अपने कौशल में सुधार किया। प्राप्त कौशल जो पाठ्यक्रम और स्नातक परियोजनाओं में बाद के सभी विषयों के अध्ययन की प्रक्रिया में लागू गणित और प्रोग्रामिंग तकनीकों के कम्प्यूटेशनल तरीकों के उपयोग के लिए आधार हैं।

प्रयोगात्मक डेटा का अनुमान एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के साथ प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त डेटा के प्रतिस्थापन के आधार पर एक विधि है जो प्रारंभिक मूल्यों (प्रयोग या प्रयोग के दौरान प्राप्त डेटा) के साथ नोडल बिंदुओं पर सबसे निकट से गुजरता है या मेल खाता है। विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए वर्तमान में दो तरीके हैं:

एक एन-डिग्री इंटरपोलेशन बहुपद का निर्माण करके जो गुजरता है सीधे सभी बिंदुओं के माध्यम सेडेटा की दी गई सरणी। इस मामले में, सन्निकटन फलन को इस प्रकार दर्शाया जाता है: लैग्रेंज रूप में एक प्रक्षेप बहुपद या न्यूटन रूप में एक प्रक्षेप बहुपद।

एक n-डिग्री सन्निकटन बहुपद का निर्माण करके जो गुजरता है अंक के करीबदिए गए डेटा सरणी से। इस प्रकार, अनुमानित कार्य प्रयोग के दौरान होने वाले सभी यादृच्छिक शोर (या त्रुटियों) को सुचारू करता है: प्रयोग के दौरान मापा गया मान यादृच्छिक कारकों पर निर्भर करता है जो अपने स्वयं के यादृच्छिक कानूनों (माप या उपकरण त्रुटियों, अशुद्धि या प्रयोगात्मक) के अनुसार उतार-चढ़ाव करते हैं। त्रुटियां)। इस मामले में, सन्निकटन फ़ंक्शन कम से कम वर्ग विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

कम से कम वर्ग विधि(अंग्रेजी साहित्य में साधारण कम से कम वर्ग, ओएलएस) एक अनुमानित कार्य की परिभाषा के आधार पर एक गणितीय विधि है, जो प्रयोगात्मक डेटा के दिए गए सरणी से बिंदुओं के निकटतम निकटता में बनाया गया है। प्रारंभिक और अनुमानित कार्यों की निकटता F(x) एक संख्यात्मक माप द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात्: अनुमानित वक्र F(x) से प्रयोगात्मक डेटा के वर्ग विचलन का योग सबसे छोटा होना चाहिए।

कम से कम वर्ग विधि द्वारा निर्मित फिटिंग वक्र

कम से कम वर्ग विधि का उपयोग किया जाता है:

समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से अधिक होने पर समीकरणों की अतिनिर्धारित प्रणालियों को हल करने के लिए;

समीकरणों के साधारण (अतिनिर्धारित नहीं) गैर-रेखीय प्रणालियों के मामले में समाधान खोजने के लिए;

कुछ अनुमानित फ़ंक्शन द्वारा बिंदु मानों को अनुमानित करने के लिए।

कम से कम वर्ग विधि द्वारा अनुमानित कार्य प्रयोगात्मक डेटा के दिए गए सरणी से परिकलित सन्निकटन फ़ंक्शन के वर्ग विचलन के न्यूनतम योग की स्थिति से निर्धारित होता है। न्यूनतम वर्ग विधि का यह मानदंड निम्नलिखित व्यंजक के रूप में लिखा गया है:

नोडल बिंदुओं पर परिकलित सन्निकटन फलन के मान,

नोडल बिंदुओं पर प्रयोगात्मक डेटा की निर्दिष्ट सरणी।

द्विघात मानदंड में कई "अच्छे" गुण हैं, जैसे कि भिन्नता, बहुपद सन्निकटन कार्यों के साथ सन्निकटन समस्या का एक अनूठा समाधान प्रदान करना।

समस्या की स्थितियों के आधार पर, सन्निकटन फलन घात m . का एक बहुपद है

सन्निकटन फ़ंक्शन की डिग्री नोडल बिंदुओं की संख्या पर निर्भर नहीं करती है, लेकिन इसका आयाम हमेशा प्रयोगात्मक डेटा के दिए गए सरणी के आयाम (अंकों की संख्या) से कम होना चाहिए।

यदि सन्निकटन फलन की घात m=1 है, तो हम एक सीधी रेखा (रैखिक प्रतिगमन) के साथ तालिका फलन का अनुमान लगाते हैं।

यदि सन्निकटन फलन की घात m=2 है, तो हम एक द्विघात परवलय (द्विघात सन्निकटन) के साथ तालिका फलन का अनुमान लगाते हैं।

यदि सन्निकटन फलन की घात m=3 है, तो हम तालिका फलन को घन परवलय (घन सन्निकटन) के साथ सन्निकटित करते हैं।

सामान्य स्थिति में, जब दिए गए सारणीबद्ध मानों के लिए घात m का एक सन्निकट बहुपद बनाना आवश्यक होता है, तो सभी नोडल बिंदुओं पर वर्ग विचलन के न्यूनतम योग की शर्त को निम्न रूप में फिर से लिखा जाता है:

- डिग्री एम के अनुमानित बहुपद के अज्ञात गुणांक;

निर्दिष्ट तालिका मानों की संख्या।

किसी फ़ंक्शन के न्यूनतम अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त अज्ञात चर के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न के शून्य की समानता है . नतीजतन, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

आइए समीकरणों की परिणामी रैखिक प्रणाली को रूपांतरित करें: कोष्ठक खोलें और मुक्त पदों को व्यंजक के दाईं ओर ले जाएं। परिणामस्वरूप, रैखिक बीजीय व्यंजकों की परिणामी प्रणाली निम्नलिखित रूप में लिखी जाएगी:

रैखिक बीजीय व्यंजकों की इस प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

नतीजतन, आयाम एम + 1 के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त हुई, जिसमें एम + 1 अज्ञात शामिल हैं। इस प्रणाली को रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करने के लिए किसी भी विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, गॉस विधि)। समाधान के परिणामस्वरूप, अनुमानित फ़ंक्शन के अज्ञात पैरामीटर पाए जाएंगे जो मूल डेटा से अनुमानित फ़ंक्शन के वर्ग विचलन का न्यूनतम योग प्रदान करते हैं, यानी। सर्वोत्तम संभव द्विघात सन्निकटन। यह याद रखना चाहिए कि यदि प्रारंभिक डेटा का एक भी मान बदलता है, तो सभी गुणांक अपने मूल्यों को बदल देंगे, क्योंकि वे प्रारंभिक डेटा द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होते हैं।

रैखिक निर्भरता द्वारा प्रारंभिक डेटा का अनुमान

(रेखीय प्रतिगमन)

एक उदाहरण के रूप में, सन्निकटन फलन को निर्धारित करने की विधि पर विचार करें, जिसे रैखिक संबंध के रूप में दिया गया है। न्यूनतम वर्ग विधि के अनुसार, वर्ग विचलनों के न्यूनतम योग की शर्त इस प्रकार लिखी जाती है:

तालिका के नोडल बिंदुओं के निर्देशांक;

सन्निकटन फलन के अज्ञात गुणांक, जो रैखिक संबंध के रूप में दिए गए हैं।

किसी फ़ंक्शन के न्यूनतम अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त अज्ञात चर के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न के शून्य की समानता है। नतीजतन, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

आइए हम समीकरणों की परिणामी रैखिक प्रणाली को रूपांतरित करें।

हम रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करते हैं। विश्लेषणात्मक रूप में अनुमानित कार्य के गुणांक निम्नानुसार निर्धारित किए जाते हैं (क्रैमर की विधि):

ये गुणांक दिए गए सारणीबद्ध मानों (प्रायोगिक डेटा) से अनुमानित फ़ंक्शन के वर्गों के योग को कम करने के मानदंड के अनुसार एक रैखिक सन्निकटन फ़ंक्शन का निर्माण प्रदान करते हैं।

कम से कम वर्गों की विधि को लागू करने के लिए एल्गोरिदम

1. प्रारंभिक डेटा:

माप की संख्या के साथ प्रयोगात्मक डेटा की एक सरणी को देखते हुए N

सन्निकट बहुपद (m) की घात दी गई है

2. गणना एल्गोरिथ्म:

2.1. आयाम के साथ समीकरणों की एक प्रणाली के निर्माण के लिए गुणांक निर्धारित किए जाते हैं

समीकरणों की प्रणाली के गुणांक (समीकरण के बाईं ओर)

- समीकरणों की प्रणाली के वर्ग मैट्रिक्स के स्तंभ संख्या का सूचकांक

रैखिक समीकरणों की प्रणाली के मुक्त सदस्य (समीकरण के दाईं ओर)

- समीकरणों की प्रणाली के वर्ग मैट्रिक्स की पंक्ति संख्या का सूचकांक

2.2. आयाम के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का गठन।

2.3. घात m के सन्निकट बहुपद के अज्ञात गुणांक ज्ञात करने के लिए रैखिक समीकरणों के निकाय का हल।

2.4 सभी नोडल बिंदुओं पर प्रारंभिक मूल्यों से अनुमानित बहुपद के वर्ग विचलन के योग का निर्धारण

वर्ग विचलन के योग का पाया गया मान न्यूनतम संभव है।

अन्य कार्यों के साथ सन्निकटन

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कम से कम वर्ग विधि के अनुसार प्रारंभिक डेटा का अनुमान लगाते समय, एक लॉगरिदमिक फ़ंक्शन, एक घातीय फ़ंक्शन, और एक पावर फ़ंक्शन को कभी-कभी अनुमानित फ़ंक्शन के रूप में उपयोग किया जाता है।

लॉग सन्निकटन

उस मामले पर विचार करें जब फॉर्म के लॉगरिदमिक फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित कार्य दिया जाता है:

सन्निकटन (लैटिन "अनुमानित" - "दृष्टिकोण" से) - किसी भी गणितीय वस्तुओं की अनुमानित अभिव्यक्ति (उदाहरण के लिए, संख्या या कार्य) अन्य सरल, उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक या बस अधिक प्रसिद्ध के माध्यम से। वैज्ञानिक अनुसंधान में, सन्निकटन का उपयोग अनुभवजन्य परिणामों का वर्णन, विश्लेषण, सामान्यीकरण और आगे उपयोग करने के लिए किया जाता है।

जैसा कि ज्ञात है, मानों के बीच एक सटीक (कार्यात्मक) संबंध हो सकता है, जब एक विशिष्ट मान तर्क के एक मान से मेल खाता है।

सन्निकटन चुनते समय, किसी को अध्ययन के विशिष्ट कार्य से आगे बढ़ना चाहिए। आमतौर पर, सन्निकटन के लिए उपयोग किया जाने वाला समीकरण जितना सरल होता है, निर्भरता का प्राप्त विवरण उतना ही अधिक अनुमानित होता है। इसलिए, यह पढ़ना महत्वपूर्ण है कि परिणामी प्रवृत्ति से विशिष्ट मूल्यों के विचलन कितने महत्वपूर्ण और क्या कारण हैं। अनुभवजन्य रूप से निर्धारित मूल्यों की निर्भरता का वर्णन करते समय, कुछ अधिक जटिल, बहु-पैरामीटर समीकरण का उपयोग करके बहुत अधिक सटीकता प्राप्त की जा सकती है। हालांकि, अधिकतम सटीकता के साथ अनुभवजन्य डेटा की विशिष्ट श्रृंखला में मूल्यों के यादृच्छिक विचलन को व्यक्त करने का प्रयास करने का कोई मतलब नहीं है। सन्निकटन विधि का चयन करते समय, शोधकर्ता हमेशा एक समझौता करता है: वह तय करता है कि इस मामले में किस हद तक "बलिदान" करना उचित और उपयुक्त है और तदनुसार, तुलनात्मक चर की निर्भरता को कैसे सामान्यीकृत किया जाना चाहिए। सामान्य पैटर्न से यादृच्छिक विचलन द्वारा छिपे हुए अनुभवजन्य डेटा के पैटर्न को प्रकट करने के साथ, सन्निकटन कई अन्य महत्वपूर्ण समस्याओं को हल करने की भी अनुमति देता है: पाया निर्भरता को औपचारिक रूप देना; आश्रित चर के अज्ञात मूल्यों को प्रक्षेप द्वारा या, यदि लागू हो, एक्सट्रपलेशन द्वारा खोजें।

इस पाठ्यक्रम कार्य का उद्देश्य न्यूनतम वर्ग विधि द्वारा सारणीबद्ध फलन के सन्निकटन के सैद्धांतिक आधारों का अध्ययन करना और सैद्धांतिक ज्ञान का उपयोग करते हुए सन्निकट बहुपदों का पता लगाना है। इस पाठ्यक्रम कार्य के ढांचे में सन्निकटन बहुपदों का पता लगाने के बाद पास्कल में एक प्रोग्राम लिखा जाता है जो अनुमानित बहुपद के गुणांकों को खोजने के लिए विकसित एल्गोरिथम को लागू करता है, और मैथकैड का उपयोग करके उसी समस्या को हल करता है।

इस कोर्स वर्क में पास्कल प्रोग्राम को पास्कलएबीसी शेल वर्जन 1.0 बीटा में विकसित किया गया है। MathCad वातावरण में समस्या का समाधान Mathcad संस्करण 14.0.0.163 में किया गया था।

समस्या का निरूपण

इस कोर्सवर्क में, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

1. प्रपत्र के तीन सन्निकट बहुपदों (बहुपदों) के गुणांक ज्ञात करने के लिए एक एल्गोरिथम विकसित करें

सारणीबद्ध फलन y=f(x) के लिए:

बहुपदों की घात n=2, 4, 5 के लिए

2. एल्गोरिथम का ब्लॉक आरेख बनाइए।

3. एक पास्कल प्रोग्राम बनाएं जो विकसित एल्गोरिथम को लागू करता है।

5. एक निर्देशांक प्रणाली में 3 प्राप्त सन्निकटन फलनों के आलेखों की रचना कीजिए। ग्राफ में शुरुआती बिंदु भी होने चाहिए। (एक्स मैं , यी ) .

6. MathCAD का उपयोग करके समस्या का समाधान करें।

पास्कल भाषा में बनाए गए प्रोग्राम का उपयोग करके समस्या को हल करने के परिणाम और मैथकैड वातावरण में पाए गए गुणांक का उपयोग करके निर्मित तीन बहुपदों के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए; अंक xi और मानक विचलन पर पाए गए बहुपदों का उपयोग करके प्राप्त फ़ंक्शन के मानों वाली एक तालिका।

कम से कम वर्ग विधि द्वारा अनुभवजन्य सूत्रों का निर्माण

बहुत बार, विशेष रूप से अनुभवजन्य डेटा का विश्लेषण करते समय, माप के परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाले मानों x और y के बीच कार्यात्मक संबंध को स्पष्ट रूप से खोजना आवश्यक हो जाता है।

दो मात्राओं x और y के बीच संबंध के एक विश्लेषणात्मक अध्ययन में, टिप्पणियों की एक श्रृंखला बनाई जाती है और परिणाम मूल्यों की एक तालिका है:

एक्स			¼		¼
आप			¼		¼

यह तालिका आमतौर पर कुछ प्रयोगों के परिणामस्वरूप प्राप्त की जाती है जिसमें