बर्नौली समीकरणसबसे प्रसिद्ध में से एक है प्रथम कोटि के अरैखिक अवकल समीकरण. फॉर्म में लिखा है

कहाँ पे एक(एक्स) तथा बी(एक्स) − निरंतर कार्य. यदि एक एम= 0, तब बर्नौली समीकरण एक रैखिक अवकल समीकरण बन जाता है। मामले में जब एम= 1, समीकरण वियोज्य चरों वाले समीकरण में बदल जाता है। सामान्य तौर पर, जब एम 0, 1, बर्नौली समीकरण प्रतिस्थापन का उपयोग करके एक रैखिक अंतर समीकरण में कम हो गया है

फ़ंक्शन के लिए नया अंतर समीकरण जेड(एक्स) का रूप है

और पेज पर वर्णित तरीकों से हल किया जा सकता है रैखिक विभेदक समीकरणपहले के आदेश।

बर्नौली विधि।

विचाराधीन समीकरण को बर्नौली विधि द्वारा हल किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम दो कार्यों के उत्पाद के रूप में मूल समीकरण के समाधान की तलाश कर रहे हैं: जहां आप, वो- से कार्य करता है एक्स. अंतर करें: मूल समीकरण में स्थानापन्न करें (1): (2) अस वीसमीकरण का कोई शून्येतर हल लें: (3) समीकरण (3) एक वियोज्य चर समीकरण है। इसका विशेष समाधान मिलने के बाद वी = वी (एक्स), हम इसे (2) में प्रतिस्थापित करते हैं। चूँकि यह समीकरण (3) को संतुष्ट करता है, कोष्ठकों में व्यंजक लुप्त हो जाता है। हम पाते हैं: यह एक वियोज्य चर समीकरण भी है। इसे खोजें सामान्य निर्णय, और इसके साथ मूल समीकरण का हल वाई = यूवी.

64. कुल अंतर में समीकरण। एकीकृत कारक। समाधान के तरीके

फॉर्म का प्रथम-क्रम अंतर समीकरण

बुलाया में समीकरण कुल अंतर , यदि इसका बायां भाग किसी फ़ंक्शन के कुल अंतर का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात।

प्रमेय।समीकरण (1) के लिए कुल अंतर में एक समीकरण होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि चर के भिन्नता और स्थिति के कुछ सरल रूप से जुड़े क्षेत्र में

समीकरण (1) के सामान्य समाकल का रूप है या

उदाहरण 1 विभेदक समीकरण को हल करें।

समाधान। आइए देखें कि यह समीकरण कुल अंतरों में एक समीकरण है:

तो यानी शर्त (2) संतुष्ट है। इस प्रकार, यह समीकरण कुल अंतरों में एक समीकरण है और

तो, जहां एक अपरिभाषित कार्य है।

एकीकरण, हमें मिलता है। पाए गए फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न बराबर होना चाहिए, जो कि कहां से आज तक देता है, ताकि इस प्रकार,।

मूल अवकल समीकरण का सामान्य समाकलन।

कुछ अवकल समीकरणों को समाकलित करते समय, पदों को इस प्रकार समूहित करना संभव है कि आसानी से समाकलनीय संयोजन प्राप्त हो जाएं।

65. उच्च क्रम के साधारण अंतर रैखिक समीकरण: सजातीय और अमानवीय। रैखिक अंतर ऑपरेटर, इसके गुण (सबूत के साथ)।

रैखिक अंतर ऑपरेटर और इसके गुण।अंतराल पर होने वाले कार्यों का सेट ( एक , बी ) कम से कम एन व्युत्पन्न, एक रैखिक स्थान बनाता है। ऑपरेटर पर विचार करें ली एन (आप ) जो फ़ंक्शन प्रदर्शित करता है आप (एक्स ) जिसमें एक फ़ंक्शन में डेरिवेटिव होता है जिसमें क - एन डेरिवेटिव।

पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण
और बर्नौली समीकरण

एक प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण एक ऐसा समीकरण है जो किसी अज्ञात फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न के संबंध में रैखिक होता है। ऐसा लग रहा है

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

जहाँ p(x) और q(x) को x के ऐसे फलन दिए गए हैं जो उस क्षेत्र में निरंतर हैं जिसमें समीकरण (1) को एकीकृत करने की आवश्यकता है।

अगर q(x)\equiv0 , तो समीकरण (1) कहा जाता है रैखिक सजातीय. यह वियोज्य चर के साथ एक समीकरण है और इसका एक सामान्य समाधान है

y=C\exp\!\बाएं(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

अमानवीय समीकरण का सामान्य हल पाया जा सकता है एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि समीकरण (1) का हल फॉर्म में मांगा गया है

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), जहां C(x) x का एक नया अज्ञात फलन है।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें y"+2xy=2xe^(-x^2).

समाधान।हम एक स्थिरांक की भिन्नता की विधि लागू करते हैं। एक समांगी समीकरण पर विचार करें y"+2xy=0 इस अमानवीय समीकरण के अनुरूप। यह वियोज्य चर के साथ एक समीकरण है। इसका सामान्य समाधान y=Ce^(-x^2) है।

हम y=C(x)e^(-x^2) रूप में अमानवीय समीकरण के सामान्य समाधान की तलाश कर रहे हैं, जहां C(x) x का एक अज्ञात कार्य है। प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं C "(x)=2x , जहां से C(x)=x^2+C । तो, अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान होगा y=(x^2+C)e^(-x^2), जहां C एकीकरण का स्थिरांक है।

टिप्पणी।यह पता चल सकता है कि अंतर समीकरण y के कार्य के रूप में x में रैखिक है। ऐसे समीकरण का सामान्य रूप

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

उदाहरण 2प्रश्न हल करें \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

समाधान।यह समीकरण रैखिक है यदि हम x को y का एक फलन मानते हैं:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

हम एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि लागू करते हैं। सबसे पहले, हम इसी सजातीय समीकरण को हल करते हैं

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

जो एक वियोज्य चर समीकरण है। इसका सामान्य समाधान है x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

हम इस रूप में समीकरण के सामान्य हल की तलाश कर रहे हैं, जहां C(y) y का एक अज्ञात फलन है। प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

सी"(वाई)ई^(\sin(y))=\sin2yया सी"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

इसलिए, भागों द्वारा एकीकृत, हमारे पास है

\begin(गठबंधन)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(गठबंधन)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

मूल समीकरण को निम्नानुसार भी एकीकृत किया जा सकता है। हमें यकीन है

वाई = यू (एक्स) वी (एक्स),

जहां u(x) और v(x) x के अज्ञात फलन हैं, जिनमें से एक, उदाहरण के लिए, v(x) को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है।

y=u(x)v(x) को में बदलने पर, परिवर्तन के बाद हम प्राप्त करते हैं

vu"+(pv+v")u=q(x).

v(x) को शर्त v"+pv=0 से निर्धारित करने पर, हम पाते हैं . vu"+(pv+v")u=q(x)फलन u(x) , और इसलिए समीकरण का हल y=uv \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x) के रूप में कोई भी समीकरण का लगातार हल ले सकता है v"+pv=0,~v\not\equiv0.

उदाहरण 3कॉची की समस्या का समाधान : x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

समाधान।हम y=u(x)v(x) के रूप में समीकरण का एक सामान्य हल ढूंढ रहे हैं; हमारे पास y"=u"v+uv" है। y और y" के व्यंजक को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)या x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

हम स्थिति x(x-1)v"+v=0 से फ़ंक्शन v=v(x) पाते हैं। अंतिम समीकरण का कोई विशेष समाधान लेना, उदाहरण के लिए v=\frac(x)(x-1) , और इसे प्रतिस्थापित करने पर, हम समीकरण u"=2x-1 प्राप्त करते हैं, जिससे हम फलन u(x)=x^2-x+C पाते हैं। इसलिए, समीकरण का सामान्य हल x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)होगा

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),या y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

प्रारंभिक शर्त y|_(x=2)=4 का उपयोग करके, हम C . खोजने के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, जहां से सी = 0; तो बताई गई कौची समस्या का समाधान y=x^2 फलन होगा।

उदाहरण 4यह ज्ञात है कि प्रतिरोध R और स्व-प्रेरण L वाले सर्किट में वर्तमान ताकत i और इलेक्ट्रोमोटिव बल E के बीच एक संबंध है E=Ri+L\frac(di)(dt), जहां R और L अचर हैं। यदि हम E को समय t का एक फलन मानते हैं, तो हमें एक रैखिक प्राप्त होता है अमानवीय समीकरणवर्तमान के लिए मैं:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

मामले के लिए वर्तमान i(t) खोजें जब ई=ई_0=\पाठ(स्थिरांक)और मैं(0)=I_0 ।

समाधान।हमारे पास है \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. इस समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). प्रारंभिक स्थिति (13) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं C=I_0-\frac(E_0)(R), तो वांछित समाधान होगा

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

इससे पता चलता है कि t\to+\infty पर वर्तमान ताकत i(t) की प्रवृत्ति होती है नियत मान\frac(E_0)(R) ।

उदाहरण 5एक परिवार C_\alpha एक रेखीय अमानवीय समीकरण y"+p(x)y=q(x) के अभिन्न वक्रों का दिया गया है।

दिखाएँ कि रैखिक समीकरण द्वारा परिभाषित C_\alpha वक्रों के संगत बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (चित्र 13)।

समाधान।बिंदु M(x,y) पर कुछ वक्र C_\alpha के स्पर्शरेखा पर विचार करें। बिंदु M(x,y) पर स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है

\eta-q(x)(\xi-x)=y, जहां \xi,\eta स्पर्शरेखा बिंदु के वर्तमान निर्देशांक हैं।

परिभाषा के अनुसार, संबंधित बिंदुओं पर, x स्थिर है और y परिवर्तनशील है। लाइनों के लिए किन्हीं दो स्पर्शरेखाओं को लेते हुए C_\alpha संगत बिंदुओं पर, उनके प्रतिच्छेदन के बिंदु S के निर्देशांक के लिए, हम प्राप्त करते हैं

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

इससे पता चलता है कि वक्रों के सभी स्पर्शरेखा C_\alpha संगत बिंदुओं पर (x निश्चित है) एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

सिस्टम में तर्क x को हटाकर, हम बिंदुओं के स्थान का समीकरण प्राप्त करते हैं एस \colon f(\xi,\eta)=0.

उदाहरण 6समीकरण का हल खोजें y"-y=\cos(x)-\sin(x), जो इस शर्त को पूरा करता है: y y\to+\infty पर घिरा है।

समाधान।इस समीकरण का सामान्य हल है y=Ce^x+\sin(x) । C\ne0 के सामान्य समाधान से प्राप्त समीकरण का कोई भी हल असीमित होगा, क्योंकि x\to+\infty के लिए फ़ंक्शन \sin(x) परिबद्ध है, जबकि e^x\to+\infty । यह इस प्रकार है कि इस समीकरण में है केवल निर्णय y=\sin(x) , x\to+\infty पर घिरा है, जो C=0 पर सामान्य समाधान से प्राप्त होता है।

बर्नौली समीकरण

बर्नौली अंतर समीकरणरूप है

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, जहां n\ne0;1 (n=0 और n=1 के लिए यह समीकरण रैखिक है)।

चर बदलने से z=\frac(1)(y^(n-1))बर्नौली समीकरण को एक रैखिक समीकरण में घटाया जाता है और एक रैखिक के रूप में एकीकृत किया जाता है।

उदाहरण 7बर्नौली समीकरण को हल करें y"-xy=-xy^3 ।

समाधान।समीकरण के दोनों पक्षों को y^3 से विभाजित करें:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

परिवर्तनशील परिवर्तन करना \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", कहाँ पे \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). प्रतिस्थापन के बाद, अंतिम समीकरण बन जाता है रेखीय समीकरण

-\frac(z")(2)-xz=-xया z"+2xz=2x , जिसका सामान्य हल z=1+Ce^(-x^2) है।

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)या y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

टिप्पणी।बर्नौली समीकरण को एक स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा भी एकीकृत किया जा सकता है, जैसे एक रैखिक समीकरण, और प्रतिस्थापन y(x)=u(x)v(x) का उपयोग करके।

उदाहरण 8बर्नौली समीकरण को हल करें xy"+y=y^2\ln(x). .

समाधान।हम एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि लागू करते हैं। समरूप समीकरण xy"+y=0 के सामान्य हल का रूप y=\frac(C)(x) है। हम y=\frac(C(x) के रूप में समीकरण के सामान्य हल की तलाश कर रहे हैं। )(x) , जहां C(x) - नया अज्ञात फलन मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है

सी"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

फ़ंक्शन C(x) को खोजने के लिए, हम वियोज्य चर के साथ एक समीकरण प्राप्त करते हैं, जिसमें से, चर को अलग करने और एकीकृत करने से, हम पाते हैं

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+सीएक्स+\ln(x))।

अतः मूल समीकरण का व्यापक हल y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

कुछ अरेखीय समीकरणपहले क्रम के, चर के एक अच्छी तरह से पाए गए परिवर्तन की मदद से, रैखिक समीकरणों या बर्नौली के समीकरणों में कम हो जाते हैं।

उदाहरण 9प्रश्न हल करें y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

समाधान।हम इस समीकरण को रूप में लिखते हैं y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

समीकरण के दोनों पक्षों को से भाग देने पर 2\cos^2\frac(y)(2), हम पाते हैं \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

प्रतिस्थापन \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))इस समीकरण को एक रैखिक में लाता है \frac(dz)(dx)+z=-x, जिसका सामान्य हल है z=1-x+Ce^(-x) ।

z को y के पदों में व्यंजक से प्रतिस्थापित करने पर, हम दिए गए समीकरण का व्यापक समाकल प्राप्त करते हैं \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

कुछ समीकरणों में वांछित फलन y(x) अभिन्न चिह्न के अंतर्गत हो सकता है। इन मामलों में, कभी-कभी दिए गए समीकरण को विभेदन द्वारा एक विभेदक में कम करना संभव होता है।

उदाहरण 10प्रश्न हल करें x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

समाधान।इस समीकरण के दोनों पक्षों को x के सन्दर्भ में अवकलित करने पर हमें प्राप्त होता है

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (एक्स)या \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x)।

x के संबंध में फिर से अवकलन करते हुए, हमारे पास y(x)\colon के संबंध में एक रैखिक सजातीय समीकरण होगा

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)या x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

चर को अलग करना और एकीकृत करना, हम पाते हैं y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). यह समाधान, जैसा कि जांचना आसान है, मूल समीकरण को संतुष्ट करता है।

बर्नौली का अवकल समीकरण, रूप का एक समीकरण है

जहां n≠0,n≠1.

प्रतिस्थापन का उपयोग करके इस समीकरण को बदला जा सकता है

एक रैखिक समीकरण में

व्यवहार में, बर्नौली का अंतर समीकरण आमतौर पर एक रैखिक एक की ओर नहीं ले जाता है, लेकिन एक रैखिक समीकरण के समान तरीकों से तुरंत हल किया जाता है - या तो बर्नौली की विधि द्वारा या एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा।

विचार करें कि y=uv (बर्नौली की विधि) के प्रतिस्थापन का उपयोग करके बर्नौली के अंतर समीकरण को कैसे हल किया जाए। समाधान योजना - जैसा कि .

उदाहरण। समीकरण हल करें:

1) y'x + y \u003d -xy²।

यह बर्नौली का अवकल समीकरण है। आइए इसे मानक रूप में लाएं। ऐसा करने के लिए, हम दोनों भागों को x: y'+y/x=-y² से विभाजित करते हैं। यहाँ p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2 है। लेकिन समाधान के लिए हमें मानक दृष्टिकोण की आवश्यकता नहीं है। हम कंडीशन में दिए गए नोटेशन के फॉर्म के साथ काम करेंगे।

1) प्रतिस्थापन y=uv, जहां u=u(x) और v=v(x) x के कुछ नए फलन हैं। तब y'=(uv)'=u'v+v'u. हम परिणामी व्यंजकों को इस स्थिति में प्रतिस्थापित करते हैं: (u'v+v'u)x+uv=-xu²v²।

2) आइए कोष्ठकों का विस्तार करें: u'vx+v'ux+uv=-xu²v²। अब आइए शर्तों को v: v + v'ux \u003d -xu²v² (I) के साथ समूहित करें (हम डिग्री v के साथ शब्द को स्पर्श नहीं करते हैं, जो समीकरण के दाईं ओर है)। अब हम चाहते हैं कि कोष्ठक में व्यंजक शून्य के बराबर हो: u'x+u=0. और यह वियोज्य चर u और x के साथ एक समीकरण है। इसे हल करके हम आपको पाएंगे। हम u=du/dx को प्रतिस्थापित करते हैं और चरों को अलग करते हैं: x du/dx=-u. हम समीकरण के दोनों पक्षों को dx से गुणा करते हैं और xu≠0 से विभाजित करते हैं:

(जब आपको ज्ञात करते हैं, तो हम शून्य के बराबर लेते हैं)।

3) समीकरण (I) में हम =0 और पाए गए फलन u=1/x को प्रतिस्थापित करते हैं। हमारे पास समीकरण है: v' (1/x) x=-x (1/x²) v²। सरलीकरण के बाद: v'=-(1/x) v²। यह वियोज्य चर v और x के साथ एक समीकरण है। हम v'=dv/dx को प्रतिस्थापित करते हैं और वेरिएबल्स को अलग करते हैं: DV/dx=-(1/x) v²। समीकरण के दोनों पक्षों को dx से गुणा करें और v²≠0 से भाग दें:

(हमने -C दोनों भागों को -1 से गुणा करके माइनस से छुटकारा पाने के लिए लिया)। तो, (-1) से गुणा करें:

(सी नहीं, बल्कि ln│C│ लेना संभव होगा, और इस मामले में यह v=1/ln│Cx│ होगा)।

2) 2y'+2y=xy².

आइए सुनिश्चित करें कि यह बर्नौली समीकरण है। दोनों भागों को 2 से भाग देने पर हमें y'+y=(x/2) y² प्राप्त होता है। यहाँ p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. हम बर्नौली विधि द्वारा समीकरण को हल करते हैं।

1) प्रतिस्थापन y=uv, y'=u'v+v'u. हम इन अभिव्यक्तियों को मूल स्थिति में प्रतिस्थापित करते हैं: 2(u'v+v'u)+2uv=xu²v².

2) कोष्ठक खोलें: 2u'v+2v'u+2uv=xu²v²। अब आइए v: +2v'u=xu²v² (II) वाले पदों को समूहित करें। हम चाहते हैं कि कोष्ठक में व्यंजक शून्य के बराबर हो: 2u'+2u=0, इसलिए u'+u=0. यह u और x के लिए वियोज्य समीकरण है। आइए इसे हल करें और आपको खोजें। हम u'=du/dx को प्रतिस्थापित करते हैं, जहां से du/dx=-u. समीकरण के दोनों पक्षों को dx से गुणा करने पर और u≠0 से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है: du/u=-dx। हम एकीकृत करते हैं:

3) (II) =0 और . में प्रतिस्थापित करें

अब हम v'=dv/dx को प्रतिस्थापित करते हैं और वेरिएबल्स को अलग करते हैं:

हम एकीकृत करते हैं:

समानता का बायाँ भाग एक सारणीबद्ध समाकलन है, दायीं ओर का समाकलन-दर-भाग सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:

भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण के अनुसार पाए गए v और du को प्रतिस्थापित करना, हमारे पास है:

और तबसे

आइए C=-C बनाते हैं:

4) चूँकि y=uv, हम पाए गए फलनों u और v को प्रतिस्थापित करते हैं:

3) समीकरण x²(x-1)y'-y²-x(x-2)y=0 को एकीकृत करें।

समीकरण के दोनों पक्षों को x²(x-1)≠0 से विभाजित करें और y² वाले पद को दाईं ओर ले जाएं:

यह बर्नौली समीकरण है

1) प्रतिस्थापन y=uv, y'=u'v+v'u. हमेशा की तरह, इन अभिव्यक्तियों को मूल स्थिति में प्रतिस्थापित किया जाता है: x²(x-1)(u'v+v'u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) इसलिए x²(x-1)u'v+x²(x-1)v'u-x(x-2)uv=u²v²। हम उन शब्दों को समूहित करते हैं जिनमें v (v² - स्पर्श न करें) शामिल हैं:

v+x²(x-1)v'u=u²v² (III)। अब हमें कोष्ठकों में व्यंजक की आवश्यकता शून्य के बराबर है: x²(x-1)u'-x(x-2)u=0, इसलिए x²(x-1)u'=x(x-2)u। समीकरण में, हम चर u और x, u'=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u को अलग करते हैं। हम समीकरण के दोनों पक्षों को dx से गुणा करते हैं और x²(x-1)u≠0 से विभाजित करते हैं:

समीकरण के बाईं ओर एक सारणीबद्ध समाकलन है। तर्कसंगत अंशदाईं ओर सरल अंशों में विघटित होना आवश्यक है:

x=1: 1-2=A 0+B 1 के लिए, जहां से B=-1.

x=0 के लिए: 0-2=A(0-1)+B 0, जहां से A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│। लघुगणक के गुणों के अनुसार: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, जहां से u=x²/(x-1)।

3) समानता (III) में हम =0 और u=x²/(x-1) को प्रतिस्थापित करते हैं। हमें मिलता है: 0+x²(x-1)v'u=u²v²,

v'=dv/dx, स्थानापन्न:

सी के बजाय, हम - सी लेते हैं, ताकि दोनों भागों को (-1) से गुणा करके, हमें कमियों से छुटकारा मिल जाए:

अब हम दायीं ओर के व्यंजकों को एक उभयनिष्ठ हर में लाते हैं और v पाते हैं:

4) चूँकि y=uv, पाए गए फलनों u और v को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

स्व-परीक्षण के उदाहरण:

1) आइए सुनिश्चित करें कि यह बर्नौली समीकरण है। दोनों भागों को x से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है:

1) y=uv बदलें, जहां से y'=u'v+v'u। ये y और y' मूल स्थिति में प्रतिस्थापित हैं:

2) हम शब्दों को v के साथ समूहित करते हैं:

अब हम चाहते हैं कि कोष्ठक में व्यंजक शून्य के बराबर हो और इस शर्त से u ज्ञात करें:

हम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हैं:

3) समीकरण (*) में हम =0 और u=1/x² को प्रतिस्थापित करते हैं:

हम परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हैं।

बर्नौली समीकरण की विशेषता

परिभाषा 1

मानक फॉर्म का पहला-क्रम अंतर समीकरण $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)\cdot y^(n)$, जहां $P\left(x \right )$ और $Q\left(x\right)$ निरंतर कार्य हैं, और $n$ कुछ संख्या है, जिसे जैकब बर्नौली का अंतर समीकरण कहा जाता है।

इस मामले में, $n$ नंबर पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए गए हैं:

• $n\ne 0$, क्योंकि $n = 0$ के लिए अंतर समीकरण एक रैखिक अमानवीय है, और इस मामले में कुछ अन्य विशेष समाधान विधि की आवश्यकता नहीं है;
• $n\ne 1$, क्योंकि यदि हमारे पास $n$ के रूप में एकता है, तो अवकल समीकरण एक रैखिक सजातीय है, जिसकी समाधान विधि भी ज्ञात है।

इसके अलावा, बर्नौली अंतर समीकरण $y=0$ के विशेष रूप से तुच्छ समाधान पर विचार नहीं किया जाता है।

गणितज्ञ जैकब बर्नौली के अंतर समीकरण को बर्नौली के कानून के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जिसका नाम उनके भतीजे के चाचा के नाम पर रखा गया है, जिसे डैनियल बर्नौली के नाम से जाना जाता है।

टिप्पणी 1

डैनियल बर्नौली - भौतिक विज्ञानी, उन्होंने पाया कि सबसे प्रसिद्ध पैटर्न द्रव प्रवाह वेग और दबाव के बीच संबंध का वर्णन करने में है। बरनौली का नियम लामिना गैस के प्रवाह पर भी लागू होता है। सामान्य तौर पर, इसका उपयोग हाइड्रोलिक्स और हाइड्रोडायनामिक्स में किया जाता है।

एक रैखिक अमानवीय में कमी करके बर्नौली समीकरण का समाधान

बर्नौली अंतर समीकरण को हल करने की मुख्य विधि यह है कि, परिवर्तनों के माध्यम से, इसे एक रैखिक अमानवीय में घटा दिया जाता है। ये परिवर्तन हैं:

1. समीकरण को $y^(-n) $ से गुणा करें और $y^(-n) \cdot y"+P\left(x\right)\cdot y^(1-n) =Q\left(x\) प्राप्त करें सही) $।
2. हम प्रतिस्थापन $z=y^(1-n) $ लागू करते हैं और इस समानता को एक जटिल के रूप में अलग करते हैं ऊर्जा समीकरण; हमें $z"=\left(1-n\right)\cdot y^(-n) \cdot y"$ मिलता है, जहां से $\frac(z")(1-n) =y^(-n) \ सीडीओटी वाई"$.
3. इस अंतर समीकरण में $y^(1-n) $ और $y^(-n) \cdot y"$ के मानों को प्रतिस्थापित करें और $\frac(z")(1-n) +P\left प्राप्त करें (x\दाएं)\cdot z=Q\left(x\right)$ या $z"+\left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot z=\left(1 -n\दाएं)\cdot Q\बाएं(x\दाएं)$.

परिणामी अंतर समीकरण $z$ फ़ंक्शन के संबंध में रैखिक अमानवीय है, जिसे हम निम्नानुसार हल करते हैं:

1. अभिन्न $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $ की गणना करें, विशेष समाधान $v\left(x\right)= के रूप में लिखें e ^(-I_(1) ) $, ट्रांसफॉर्मेशन को आसान बनाएं और $v\left(x\right)$ के लिए सबसे सरल नॉनजेरो वैरिएंट चुनें।
2. इंटीग्रल की गणना करें $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, के बाद जो व्यंजक को $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$ के रूप में लिखते हैं।
3. हम रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के सामान्य समाधान को $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ के रूप में लिखते हैं।
4. हम $y$ फ़ंक्शन पर लौटते हैं, $z$ को $y^(1-n) $ से बदलते हैं, और यदि आवश्यक हो तो सरलीकृत परिवर्तन करते हैं।

उदाहरण:

अवकल समीकरण $\frac(dy)(dx) +\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$ का सामान्य हल ज्ञात कीजिए। एक विशेष समाधान लिखें जो $x=1$ के लिए प्रारंभिक शर्त $y=1$ को संतुष्ट करता है।

इस मामले में, हमारे पास मानक रूप में प्रस्तुत अंतर बर्नौली समीकरण है।

इसके अलावा, $n=2$, $P\left(x\right)=\frac(1)(x) $, $Q\left(x\right)=4-x^(2) $।

हम इसे $z$ के प्रतिस्थापन के संबंध में रूप में प्रस्तुत करते हैं:

$z"+\बाएं(1-2\दाएं)\cdot \frac(1)(x) \cdot z=\left(1-2\right)\cdot \left(4-x^(2) \right )$ या $z"-\frac(1)(x) \cdot z=-\left(4-x^(2) \right)$।

परिणामी अंतर समीकरण $z$ फ़ंक्शन के संबंध में रैखिक अमानवीय है, जिसे ऊपर वर्णित विधि द्वारा हल किया जाता है।

अभिन्न $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $ की गणना करें।

हमारे पास $I_(1) =\int \left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot dx =-\ln \left|x\right|$ है।

हम $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ के रूप में एक विशेष समाधान लिखते हैं और सरल परिवर्तन करते हैं: $v\left(x\right)=e^(\ln \left|x \ सही|)$; $\ln v\बाएं(x\दाएं)=\ln \बाएं|x\दाएं|$; $v\बाएं(x\दाएं)=\बाएं|x\दाएं|$.

हम $v\left(x\right)$ के लिए सबसे सरल गैर-शून्य संस्करण चुनते हैं: $v\left(x\right)=x$।

अभिन्न $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $ की गणना करें।

हम व्यंजक को $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$, यानी $u\left(x,C\right)=\frac(x^(2) )(2) के रूप में लिखते हैं -4\cdot \ln \बाएं|x\दाएं|+सी$।

अंत में, हम फ़ंक्शन $z$ के संबंध में रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ के रूप में लिखते हैं, अर्थात। $z=\frac(x^ (3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$।

अब हम $y$ फ़ंक्शन पर लौटते हैं, $z$ को $y^(1-n) $ से बदल देते हैं:

$y^(1-2) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$ या $\frac(1) (y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$।

यह निहित रूप में लिखे गए बर्नौली अवकल समीकरण का सामान्य हल है।

किसी विशेष समाधान की खोज के लिए, हम दी गई प्रारंभिक शर्त $y=1$ का उपयोग $x=1$ के लिए करते हैं:

इसलिए, विशेष समाधान है: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac(x )(2) $.

प्रतिस्थापन विधि द्वारा बर्नौली अंतर समीकरण का समाधान

बर्नौली समीकरण का दूसरा संभावित समाधान प्रतिस्थापन विधि है।

उदाहरण:

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके अंतर समीकरण $y"+\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$ का सामान्य समाधान खोजें।

हम प्रतिस्थापन $y=u\cdot v$ लागू करते हैं।

विभेदन के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

हम समीकरण $v"+\frac(v)(x) =0$ से फ़ंक्शन $v\left(x\right)$ पाते हैं, इसके लिए हम दूसरे पद को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं।

हम पाते हैं:

$\frac(dv)(dx)=-\frac(v)(x)$;

अलग चर $\frac(dv)(v) =-\frac(dx)(x) $;

हम $\ln \left|v\right|=-\ln \left|x\right|$ एकीकृत करते हैं, जहां से $v=\frac(1)(x) $।

फ़ंक्शन $u\left(x\right)$ समीकरण से पाया जाता है $u"\cdot \frac(1)(x) =u^(2) \cdot \frac(1)(x^(2) ) \cdot \ left(4-x^(2) \right)$, जो $v=\frac(1)(x) $ और $v"+\frac(v)(x) =0$ को ध्यान में रखता है।

सरल परिवर्तनों के बाद, हमें मिलता है: $u"=u^(2) \cdot \frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)$।

अलग चर: $\frac(du)(u^(2) ) =\frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)\cdot dx$।

एकीकृत करना: $-\frac(1)(u) =4\cdot \ln \left|x\right|-\frac(x^(2) )(2) +C$ या $\frac(1)(u ) =\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \left|x\right|+C$।

हम पुराने चर पर लौटते हैं। हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि $y=u\cdot v$ या $y=u\cdot \frac(1)(x) $, जहां से $u=x\cdot y$।

हमें इस अंतर समीकरण का सामान्य समाधान मिलता है: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C \cdot x $.

अंतर समीकरण y "+a 0 (x)y=b(x)y n कहा जाता है बर्नौली समीकरण.
चूंकि n=0 के साथ एक रैखिक समीकरण प्राप्त होता है, और n=1 - वियोज्य चर के साथ, तो हम मानते हैं कि n 0 और n 1. (1) के दोनों भागों को y n से विभाजित करें। फिर रखना, हमारे पास है। इस व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं , या, समकक्ष, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x)। यह एक रैखिक समीकरण है जिसे हम हल करना जानते हैं।

सेवा असाइनमेंट. ऑनलाइन कैलकुलेटरसमाधान का परीक्षण करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है बर्नौली अंतर समीकरण.

उदाहरण 1 । समीकरण y" + 2xy = 2xy 3 का सामान्य हल ज्ञात कीजिए। यह n=3 के लिए बर्नौली का समीकरण है। समीकरण के दोनों पक्षों को y 3 से विभाजित करने पर हमें प्रतिस्थापन प्राप्त होता है और इसलिए समीकरण को -z के रूप में फिर से लिखा जाता है। + 4xz = 4x। इस समीकरण को एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं कहाँ पे या, जो वही है, .

उदाहरण 2। y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2

y 2 . से विभाजित करें
वाई"/वाई 2 + 1/वाई = -1

एक प्रतिस्थापन बनाना:
z=1/y n-1 , अर्थात। z = 1/y 2-1 = 1/y
जेड = 1/y
z"= -y"/y 2

हम पाते हैं: -z" + z = -1 या z" - z = 1

उदाहरण 3। xy'+2y+x 5 y 3 e x =0
समाधान।
ए) बर्नौली समीकरण के माध्यम से समाधान।
आइए इसे इस प्रकार निरूपित करें: xy'+2y=-x 5 y 3 e x । यह n=3 के लिए बर्नौली समीकरण है। समीकरण के दोनों भागों को y 3 से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है: xy "/y 3 +2/y 2 = -x 5 e x। हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: z=1/y 2. फिर z"=-2/y 3 और इसलिए समीकरण को फिर से लिखा जाता है: -xz"/2+2z=-x 5 e x । यह एक अमानवीय समीकरण है। संबंधित समरूप समीकरण पर विचार करें: -xz"/2+2z=0
1. इसे हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं: z"=4z/x

एकीकरण, हम प्राप्त करते हैं:
एलएन (जेड) = 4 एलएन (जेड)
जेड = एक्स 4। अब हम इस रूप में मूल समीकरण का हल ढूंढ रहे हैं: y (x) \u003d C (x) x 4, y "(x) \u003d C (x)" x 4 + C (x) (x 4 ) "
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x या C(x)" = 2e x । समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं: C(x) = 2e x dx = 2e x +C
शर्त y(x)=C(x)y से, हम प्राप्त करते हैं: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) या y = Cx 4 +2x 4 e x । चूँकि z=1/y 2 , हमें प्राप्त होता है: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x