حل نابرابری های حاوی یک ماژول. روش بازه ای یک روش جهانی برای حل نابرابری ها با مدول است

شماره مدولخود این عدد اگر غیر منفی باشد یا همان عدد با علامت مقابل اگر منفی باشد نامیده می شود.

مثلاً مدول 6 برابر با 6 است و مدول 6- نیز 6 است.

یعنی مدول یک عدد به عنوان یک مقدار مطلق درک می شود، قدر مطلق این عدد بدون در نظر گرفتن علامت آن.

به صورت زیر مشخص می شود: |6|، | ایکس|, |آ| و غیره.

(برای جزئیات بیشتر به بخش "ماژول شماره" مراجعه کنید).

معادلات مدولو

مثال 1 . معادله را حل کنید|10 ایکس - 5| = 15.

راه حل.

مطابق قانون، معادله معادل ترکیب دو معادله است:

10ایکس - 5 = 15
10ایکس - 5 = -15

ما تصمیم گرفتیم:

10ایکس = 15 + 5 = 20
10ایکس = -15 + 5 = -10

ایکس = 20: 10
ایکس = -10: 10

ایکس = 2
ایکس = -1

پاسخ: ایکس 1 = 2, ایکس 2 = -1.

مثال 2 . معادله را حل کنید|2 ایکس + 1| = ایکس + 2.

راه حل.

از آنجایی که مدول یک عدد غیر منفی است، پس ایکس+ 2 ≥ 0. بر این اساس:

ایکس ≥ -2.

دو معادله می سازیم:

2ایکس + 1 = ایکس + 2
2ایکس + 1 = -(ایکس + 2)

ما تصمیم گرفتیم:

2ایکس + 1 = ایکس + 2
2ایکس + 1 = -ایکس - 2

2ایکس - ایکس = 2 - 1
2ایکس + ایکس = -2 - 1

ایکس = 1
ایکس = -1

هر دو عدد بزرگتر از 2- هستند. بنابراین هر دو ریشه معادله هستند.

پاسخ: ایکس 1 = -1, ایکس 2 = 1.

مثال 3 . معادله را حل کنید

|ایکس + 3| - 1
————— = 4
ایکس - 1

راه حل.

اگر مخرج برابر با صفر نباشد معادله معنا دارد - پس اگر ایکس≠ 1. بیایید این شرط را در نظر بگیریم. اولین اقدام ما ساده است - ما نه تنها از شر کسری خلاص می شویم، بلکه آن را به گونه ای تغییر می دهیم که ماژول را به خالص ترین شکل آن تبدیل کنیم:

|ایکس+ 3| - 1 = 4 ( ایکس - 1),

|ایکس + 3| - 1 = 4ایکس - 4,

|ایکس + 3| = 4ایکس - 4 + 1,

|ایکس + 3| = 4ایکس - 3.

اکنون فقط عبارت زیر مدول سمت چپ معادله را داریم. حرکت کن.
مدول یک عدد یک عدد غیر منفی است - یعنی باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد. بر این اساس، نابرابری را حل می کنیم:

4ایکس - 3 ≥ 0

4ایکس ≥ 3

ایکس ≥ 3/4

بنابراین، یک شرط دوم داریم: ریشه معادله باید حداقل 3/4 باشد.

طبق قانون، مجموعه ای از دو معادله را می سازیم و آنها را حل می کنیم:

ایکس + 3 = 4ایکس - 3
ایکس + 3 = -(4ایکس - 3)

ایکس + 3 = 4ایکس - 3
ایکس + 3 = -4ایکس + 3

ایکس - 4ایکس = -3 - 3
ایکس + 4ایکس = 3 - 3

ایکس = 2
ایکس = 0

ما دو پاسخ دریافت کردیم. بیایید بررسی کنیم که آیا آنها ریشه های معادله اصلی هستند یا خیر.

ما دو شرط داشتیم: ریشه معادله نمی تواند برابر با 1 باشد و باید حداقل 3/4 باشد. به این معنا که ایکس ≠ 1, ایکس≥ 3/4. هر دوی این شرایط تنها با یکی از دو پاسخ دریافت شده مطابقت دارند - عدد 2. بنابراین، فقط آن ریشه معادله اصلی است.

پاسخ: ایکس = 2.

نابرابری با مدول.

مثال 1 . نابرابری را حل کنید| ایکس - 3| < 4

راه حل.

قانون ماژول می گوید:

|آ| = آ، اگر آ ≥ 0.

|آ| = -آ، اگر آ < 0.

مدول می تواند هم عدد غیر منفی و هم عدد منفی داشته باشد. پس باید هر دو مورد را در نظر بگیریم: ایکس- 3 ≥ 0 و ایکس - 3 < 0.

1) چه زمانی ایکس- 3 ≥ 0 نابرابری اصلی ما فقط بدون علامت مدول باقی می ماند:
ایکس - 3 < 4.

2) چه زمانی ایکس - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(ایکس - 3) < 4.

با باز کردن پرانتزها دریافت می کنیم:

-ایکس + 3 < 4.

بنابراین، از این دو شرط، به اتحاد دو نظام نابرابری رسیده ایم:

ایکس - 3 ≥ 0
ایکس - 3 < 4

ایکس - 3 < 0
-ایکس + 3 < 4

بیایید آنها را حل کنیم:

ایکس ≥ 3
ایکس < 7

ایکس < 3
ایکس > -1

بنابراین، در پاسخ ما اتحاد دو مجموعه را داریم:

3 ≤ ایکس < 7 U -1 < ایکس < 3.

ما کوچکترین و را تعیین می کنیم بزرگترین ارزش. اینها -1 و 7 هستند. در همان زمان ایکسبزرگتر از -1 اما کمتر از 7.
بعلاوه، ایکس≥ 3. بنابراین، راه حل نابرابری کل مجموعه اعداد از 1- تا 7 است، به استثنای این اعداد شدید.

پاسخ: -1 < ایکس < 7.

یا: ایکس ∈ (-1; 7).

افزونه ها.

1) یک راه ساده تر و کوتاهتر برای حل نابرابری ما وجود دارد - گرافیکی. برای این کار یک محور افقی رسم کنید (شکل 1).

بیان | ایکس - 3| < 4 означает, что расстояние от точки ایکسبه نقطه 3 کمتر از چهار واحد. روی محور عدد 3 را علامت می زنیم و 4 تقسیم را در سمت چپ و راست آن می شماریم. در سمت چپ به نقطه -1 خواهیم رسید، در سمت راست - به نقطه 7. بنابراین، نقاط ایکسما فقط بدون محاسبه آنها را دیدیم.

علاوه بر این، با توجه به شرط نابرابری، 1- و 7 خود در مجموعه راه حل ها قرار نمی گیرند. به این ترتیب به جواب می رسیم:

1 < ایکس < 7.

2) اما راه حل دیگری وجود دارد که حتی ساده تر است روش گرافیکی. برای انجام این کار، نابرابری ما باید به شکل زیر ارائه شود:

4 < ایکس - 3 < 4.

بالاخره طبق قاعده ماژول اینطور است. عدد غیر منفی 4 و عدد منفی مشابه -4 مرزهای حل نابرابری هستند.

4 + 3 < ایکس < 4 + 3

1 < ایکس < 7.

مثال 2 . نابرابری را حل کنید| ایکس - 2| ≥ 5

راه حل.

این مثال تفاوت قابل توجهی با نمونه قبلی دارد. سمت چپ بزرگتر از 5 یا مساوی 5 است نقطه هندسیاز نظر، راه حل نابرابری همه اعدادی هستند که در فاصله 5 واحد یا بیشتر از نقطه 2 قرار دارند (شکل 2). نمودار نشان می دهد که اینها همه اعدادی هستند که کوچکتر یا مساوی 3- و بزرگتر یا مساوی 7 هستند. بنابراین، ما قبلاً پاسخ را دریافت کرده ایم.

پاسخ: -3 ≥ ایکس ≥ 7.

در طول مسیر، همان نابرابری را با مرتب کردن مجدد عبارت آزاد به چپ و راست با علامت مخالف حل می کنیم:

5 ≥ ایکس - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ ایکس ≥ 5 + 2

پاسخ یکسان است: -3 ≥ ایکس ≥ 7.

یا: ایکس ∈ [-3; 7]

مثال حل شد

مثال 3 . نابرابری را حل کنید 6 ایکس 2 - | ایکس| - 2 ≤ 0

راه حل.

عدد ایکسمی تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. بنابراین، ما باید هر سه شرایط را در نظر بگیریم. همانطور که می دانید، آنها در دو نابرابری در نظر گرفته می شوند: ایکس≥ 0 و ایکس < 0. При ایکس≥ 0، فقط بدون علامت مدول، نابرابری اصلی خود را همانطور که هست بازنویسی می کنیم:

6x 2 - ایکس - 2 ≤ 0.

حال برای مورد دوم: اگر ایکس < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6ایکس 2 - (-ایکس) - 2 ≤ 0.

گسترش براکت ها:

6ایکس 2 + ایکس - 2 ≤ 0.

بنابراین، ما دو سیستم معادلات را دریافت کردیم:

6ایکس 2 - ایکس - 2 ≤ 0
ایکس ≥ 0

6ایکس 2 + ایکس - 2 ≤ 0
ایکس < 0

ما باید نابرابری ها را در سیستم ها حل کنیم - به این معنی که باید ریشه های دو معادله درجه دوم را پیدا کنیم. برای این کار، سمت چپ نابرابری ها را با صفر برابر می کنیم.

بیایید با اولی شروع کنیم:

6ایکس 2 - ایکس - 2 = 0.

چگونه یک معادله درجه دوم را حل کنیم - به بخش "معادله چهارگانه" مراجعه کنید. ما بلافاصله پاسخ را نام می بریم:

ایکس 1 \u003d -1/2، x 2 \u003d 2/3.

از اولین سیستم نابرابری ها، دریافتیم که راه حل نابرابری اصلی، کل مجموعه اعداد از 1/2- تا 2/3 است. ما اتحاد راه حل ها را برای ایکس ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

حالا معادله درجه دوم را حل می کنیم:

6ایکس 2 + ایکس - 2 = 0.

ریشه های آن:

ایکس 1 = -2/3, ایکس 2 = 1/2.

نتیجه گیری: چه زمانی ایکس < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

بیایید این دو پاسخ را با هم ترکیب کنیم و پاسخ نهایی را به دست آوریم: راه حل کل مجموعه اعداد از 2/3- تا 2/3 است که شامل این اعداد شدید است.

پاسخ: -2/3 ≤ ایکس ≤ 2/3.

یا: ایکس ∈ [-2/3; 2/3].

تفاهم نامه "خواستویچسکایا مدرسه راهنمایی»

"روش فواصل حل معادلات و نامساوی با چند ماژول"

کار تحقیقی در ریاضیات

انجام:

دانش آموز کلاس 10 "ب".

گولیشوا اوگنیا

سرپرست:

معلم ریاضی

Shapenskaya E.N.

مقدمه………………………………………………………………………………………….3 فصل 1. روشهای حل مسائل با چندین ماژول……………… ………............4 1.1. تعریف ماژول. حل بر اساس تعریف…………………………………………………………………………………4 1.2 حل معادلات با چندین ماژول با استفاده از روش فواصل………………… …………5 1.3. وظایف با چندین ماژول روش های حل………………………………….7 1.4. روش فواصل در مسائل مربوط به ماژول ها……………………………………………….۹ فصل ۲. معادلات و نامساوی های حاوی ماژول………………………………… .…. 11 2.1 حل معادلات با چند ماژول با استفاده از روش فاصله…….11 2.2 حل نامساوی با مدول های متعدد با استفاده از روش بازه… 13 نتیجه…………………………………………… …………………………………………15 ادبیات…………………………………………………………………………………………….. 16

مقدمه

مفهوم قدر مطلق یکی از مهم ترین ویژگی های یک عدد است، چه در حوزه واقعی و چه در حوزه اعداد مختلط. این مفهوم نه تنها در بخش‌های مختلف درس ریاضیات مدرسه، بلکه در دروس عالی ریاضیات، فیزیک و علوم فنی که در دانشگاه‌ها تحصیل می‌شوند، به‌طور گسترده مورد استفاده قرار می‌گیرد. مشکلات مربوط به قدر مطلق اغلب در مواجه می شوند المپیادهای ریاضی، آزمون ورودی دانشگاه ها و آزمون.

موضوع:"روش بازه ای برای حل معادلات و نامعادلات با چند ماژول به روش بازه".

حوزه هدف:ریاضی.

موضوع مطالعه:حل معادلات و نابرابری ها با ماژول.

موضوع مطالعه:روش فاصله ای برای حل چند ماژول

هدف مطالعه:کارایی حل معادلات و نابرابری ها با چندین ماژول را به روش بازه ای نشان می دهد.

فرضیه:اگر از روش بازه ای برای حل نابرابری ها و معادلات با چندین ماژول استفاده کنید، می توانید کار خود را تا حد زیادی تسهیل کنید.

روش های کار:جمع آوری اطلاعات و تجزیه و تحلیل آن

وظایف:

ادبیات مربوط به این موضوع را مطالعه کنید.

راه حل های نابرابری ها و معادلات را با چندین ماژول در نظر بگیرید.

بیشترین را آشکار کند روش موثرراه حل ها

جهت گیری عملی پروژه:

از این کار می توان به عنوان استفاده کرد راهنمای مطالعهبرای دانش آموزان و کتابچه راهنمای روش شناختیبرای معلم

فصل 1.

1.1 تعریف ماژول. راه حل با تعریف

طبق تعریف، مدول یا قدر مطلق یک عدد غیر منفی a همان عدد خود است و مدول یک عدد منفی برابر با عدد مقابل است، یعنی a:

مدول یک عدد همیشه غیر منفی است. نمونه هایی را در نظر بگیرید.

مثال 1حل معادله |–x| = -3.

در اینجا نیازی به تجزیه و تحلیل موارد نیست، زیرا قدر مطلق عدد همیشه غیر منفی است، یعنی این معادله هیچ راه حلی ندارد.

اجازه دهید حل این ساده ترین معادلات را در آن بنویسیم نمای کلی:

مثال 2حل معادله |x| = 2 - x.

راه حل. برای x 0 معادله x = 2 – x را داریم، یعنی. x = 1. از آنجایی که 1 0، x = 1 ریشه معادله اصلی است. در حالت دوم (x

پاسخ: x = 1.

مثال 3حل معادله 3|x – 3| + x = -1.

راه حل. در اینجا تقسیم به موارد با علامت عبارت x – 3 مشخص می شود. برای x – 3 ³ 0 3x – 9 + x = –1 Û x = 2 داریم. اما 2 – 3 0.

پاسخ: معادله ریشه ندارد.

مثال 4حل معادله |x – 1| = 1 - x.

راه حل. از 1 - x \u003d - (x - 1)، مستقیماً از تعریف ماژول نتیجه می‌شود که آن‌ها و فقط آن‌هایی که x برای آنها x - 1 0 معادله را برآورده می‌کنند. این معادله به یک نابرابری کاهش یافته است و پاسخ یک بازه کامل (پرتو) است.

پاسخ: x 1.

1.2. حل معادلات با یک ماژول با استفاده از سیستم ها.

مثال‌هایی که قبلاً تحلیل شد به ما امکان می‌دهد قوانین معافیت از علامت مدول را در معادلات فرموله کنیم. برای معادلات فرم |f(x)| = g(x) دو قانون از این قبیل وجود دارد:

قانون اول: |f(x)| = g(x) w (1)
قانون دوم: |f(x)| = g(x) Û (2)

اجازه دهید نماد استفاده شده در اینجا را توضیح دهیم. براکت های مجعد نشان دهنده سیستم ها و براکت های مربع نشان دهنده مجموعه ها هستند.

راه حل های یک سیستم معادلات مقادیر یک متغیر است که به طور همزمان تمام معادلات سیستم را برآورده می کند.

جواب های مجموعه معادلات همگی مقادیر متغیر هستند که هر کدام ریشه حداقل یکی از معادلات مجموعه هستند.

دو معادله در صورتی معادل هستند که هر یک از آنها راه حل دیگری نیز باشد، به عبارت دیگر اگر مجموعه راه حل های آنها یکی باشد.

اگر معادله شامل چندین ماژول باشد، می توانید به نوبه خود با استفاده از قوانین بالا از شر آنها خلاص شوید. اما معمولاً میانبرهایی وجود دارد. بعداً با آنها آشنا می شویم، اما اکنون حل ساده ترین این معادلات را در نظر می گیریم:

|f(x)| = |g(x)| Û

این هم ارزی از این واقعیت بدیهی ناشی می شود که اگر مدول های دو عدد برابر باشند، خود اعداد یا مساوی یا مخالف هستند.

مثال 1. حل معادله |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
راه حل. بیایید به دو روشی که در بالا توضیح داده شد از شر ماژول خلاص شویم:

1 راه: 2 راه:

همانطور که می بینید، در هر دو مورد نیاز به حل همان دو معادله درجه دوم است، اما در حالت اول آنها با نابرابری های مربع، و در دوم - خطی. بنابراین، روش دوم برای این معادله ساده تر است. با حل معادلات درجه دوم، ریشه های اول را پیدا می کنیم، هر دو ریشه نابرابری را برآورده می کنند. ممیز معادله دوم منفی است، بنابراین معادله ریشه ندارد.

پاسخ: .
مثال 2. حل معادله |x 2 – x – 6| = |2x2 + x – 1|.

راه حل. ما قبلاً می دانیم که لازم نیست (به تعداد 4) انواع توزیع علائم عبارات زیر ماژول ها را در نظر بگیریم: این معادله معادل مجموعه ای از دو معادله درجه دوم بدون هیچ گونه نابرابری اضافی است: که معادل: اولی است. معادله مجموعه ای از راه حل ها ندارد (تمایز کننده آن منفی است)، دومی معادله دو ریشه دارد.

1.3. وظایف با چندین ماژول روش های حل.

گسترش متوالی ماژول ها

دو رویکرد اصلی برای حل معادلات و نابرابری ها شامل چندین ماژول وجود دارد. می توانید آنها را «سریال» و «موازی» بنامید. حال بیایید با اولین آنها آشنا شویم.

ایده او این است که ابتدا یکی از ماژول ها در بخشی از معادله (یا نابرابری) جدا شده و با یکی از روش هایی که قبلا توضیح داده شد آشکار می شود. سپس همین کار با هر یک از معادلات به دست آمده با ماژول ها تکرار می شود و به همین ترتیب تا زمانی که از شر همه ماژول ها خلاص شویم.

مثال 1.معادله + را حل کنید

راه حل. ماژول دوم را جدا کرده و با استفاده از روش اول باز می کنیم، یعنی به سادگی با تعیین مقدار مطلق:

روش دوم آزادسازی از ماژول را به دو معادله به دست آمده اعمال می کنیم:

در نهایت چهار حاصل را حل می کنیم معادلات خطیو ریشه هایی را انتخاب کنید که نابرابری های مربوطه را برآورده کنند. در نتیجه فقط دو مقدار باقی می ماند: x = –1 و .

پاسخ 1؛ .

گسترش موازی ماژول ها

می‌توانید همه ماژول‌ها را به یکباره در یک معادله یا نابرابری حذف کنید و همه ترکیب‌های ممکن از نشانه‌های عبارات زیر ماژول را بنویسید. اگر n ماژول در معادله وجود داشته باشد، 2 n گزینه وجود خواهد داشت، زیرا هر یک از n عبارت زیر ماژول، هنگام حذف ماژول، می تواند یکی از دو علامت - مثبت یا منفی را دریافت کند. اساسا، ما باید تمام 2 n معادله (یا نابرابری) آزاد شده از ماژول ها را حل کنیم. اما راه‌حل‌های آنها تنها در صورتی راه‌حل‌های مسئله اصلی خواهند بود که در مناطقی قرار داشته باشند که معادله (نابرابری) مربوطه با معادله اصلی منطبق باشد. این مناطق با علائم بیانی در زیر ماژول ها تعریف می شوند. ما قبلاً نابرابری زیر را حل کرده ایم، بنابراین می توانید رویکردهای مختلف را برای حل مقایسه کنید.

مثال 2.+
راه حل.

بیایید 4 مجموعه کاراکتر ممکن از عبارات را در زیر ماژول ها در نظر بگیریم.

فقط اولین و سومین ریشه‌ها نابرابری‌های مربوطه را برآورده می‌کنند و از این رو معادله اصلی است.

پاسخ 1؛ .

به طور مشابه، می توانید هر مشکلی را با چندین ماژول حل کنید. اما مثل همه روش جهانی، این راه حل همیشه بهینه نیست. در زیر خواهیم دید که چگونه می توان آن را بهبود بخشید.

1.4. روش فواصل در مسائل با ماژول ها

نگاه دقیق تر به شرایط انواع مختلفتوزیع نشانه های عبارات زیر ماژول در راه حل قبلی، خواهیم دید که یکی از آنها، 1 - 3x

تصور کنید ما در حال حل معادله ای هستیم که دارای سه مدول عبارات خطی است. به عنوان مثال، |x – a| + |x – b| + |x – c| = متر

مدول اول x - a برای x ³ a و a - x برای x b و x است

آنها چهار شکاف را تشکیل می دهند. در هر یک از آنها، هر یک از عبارات زیر ماژول ها علامت خود را حفظ می کند، بنابراین، معادله به عنوان یک کل، پس از گسترش ماژول ها، در هر بازه یک شکل دارد. بنابراین، از 8 گزینه از نظر تئوری ممکن برای باز کردن ماژول ها، تنها 4 مورد برای ما کافی بود!

همچنین می توانید هر مشکلی را با چندین ماژول حل کنید. یعنی محور عددی به فواصل علامت ثابت تمام عبارات زیر ماژول ها تقسیم می شود و سپس بر روی هر یک از آنها معادله یا نابرابری حل می شود که مسئله داده شده روی این بازه تبدیل می شود. به طور خاص، اگر تمام عبارات زیر ماژول ها منطقی باشند، کافی است ریشه های آنها را روی محور و همچنین نقاطی که در آنها تعریف نشده اند، یعنی ریشه های مخرج آنها مشخص کنیم. نقاط علامت گذاری شده و فواصل مورد نیاز ثبات علامت را تنظیم کنید. به همین ترتیب هنگام حل نابرابری های گویا با روش فواصل عمل می کنیم. و روشی که برای حل مسائل با ماژول ها توضیح دادیم به همین نام است.

مثال 1. معادله را حل کنید.

راه حل. صفرهای تابع را بیابید، از کجا. ما در هر بازه مشکل را حل می کنیم:

بنابراین این معادله هیچ راه حلی ندارد.

مثال 2. معادله را حل کنید.

راه حل. صفرهای تابع را پیدا کنید. ما در هر بازه مشکل را حل می کنیم:

1) (بدون راه حل)؛

مثال 3. معادله را حل کنید.

راه حل. عبارات زیر علامت قدر مطلق در . بر این اساس، لازم است سه مورد را در نظر بگیریم:

2) - ریشه معادله.

3) ریشه این معادله است.

فصل 2. معادلات و نابرابری های حاوی ماژول.

2.1 حل معادلات با چندین ماژول با استفاده از روش فواصل.

مثال 1

معادله را حل کنید:

|x+2| = |x-1|+x-3

-(x+2) = -(x-1) + x-3

X-2=-x+1+x-3

x=2 - راضی نمی کند

شرط x

بدون راه حل

2. اگر -2≤x

x+2 = -(x-1)+x-3

راضی می کند

شرایط -2

3. اگر x≥1، پس

پاسخ: x=6

مثال 2

معادله را حل کنید:

1) صفر عبارات زیر ماژول را بیابید

صفر عبارات زیر ماژول محور عددی را به چندین بازه می شکند. علائم عبارات زیر ماژول را در این فواصل مرتب کنید.

در هر بازه، ماژول ها را باز می کنیم و معادله حاصل را حل می کنیم. پس از یافتن ریشه، بررسی می کنیم که متعلق به بازه ای است که در حال حاضر روی آن کار می کنیم.

1. :

- مناسب است

2. :

- مناسب نیست.

3. :

– مناسب است.

4. :

- مناسب نیست. پاسخ:

2.2 حل نابرابری ها با چند ماژول با استفاده از روش فاصله.

مثال 1

حل نابرابری:

|x-1| + |x-3| چهار

-(x-1) - (x-3) 4

2. اگر 1≤x

x-1– (x-3) 4

24 اشتباه است

بدون راه حل

3. اگر x≥3، پس

پاسخ: xЄ (-∞؛ 0) U (4؛ + ∞)

مثال 2

بیایید نابرابری را حل کنیم

راه حل. نقاط و (ریشه عبارات زیر ماژول) کل محور عددی را به سه بازه تقسیم می کنند که در هر یک از آنها ماژول ها باید گسترش یابند.

1) وقتی ارضا می شود و نابرابری به شکل است یعنی . در این مورد، پاسخ این است.

2) هنگامی که ، نابرابری شکل ، یعنی . این نابرابری برای هر مقدار از متغیر صادق است و با توجه به اینکه آن را در مجموعه حل می کنیم، در حالت دوم پاسخ می گیریم.

3) هنگامی که، نابرابری به تبدیل می شود، و راه حل در این مورد است. تصمیم مشترکنابرابری ها --- یک انجمنسه پاسخ دریافت شد

بنابراین، برای حل معادلات و نابرابری های حاوی چندین ماژول، استفاده از روش فاصله مناسب است. برای انجام این کار، شما باید صفرهای تمام توابع زیر مدولار را پیدا کنید، آنها را بر روی DDE معادلات و نابرابری ها نشان دهید.

نتیجه

AT اخیرادر ریاضیات، روش ها به طور گسترده ای برای ساده کردن حل مسائل مورد استفاده قرار می گیرند، به ویژه روش بازه ای، که سرعت محاسبات را به میزان قابل توجهی امکان پذیر می کند. بنابراین، مطالعه روش بازه ای برای حل معادلات و نابرابری ها با چندین ماژول مرتبط است.

در روند کار بر روی موضوع "حل معادلات و نامعادله های حاوی مجهول تحت علامت مدول به روش بازه ای" من: ادبیات مربوط به این موضوع را مطالعه کردم، با رویکرد جبری و گرافیکی برای حل معادلات و نامعادلات حاوی تحت علامت مدول ناشناخته بود و به این نتیجه رسید:

در برخی موارد، هنگام حل معادلات با مدول، می توان معادلات را طبق قوانین حل کرد و گاهی اوقات استفاده از روش فاصله ای راحت تر است.

هنگام حل معادلات و نابرابری های حاوی مدول، روش بازه ای بصری تر و نسبتاً ساده تر است.

در جریان نوشتن کار پژوهشیمن مشکلات زیادی را آشکار کرده ام که با استفاده از روش فاصله قابل حل هستند. مهمترین کار حل معادلات و نابرابری ها با چندین ماژول است.

در طول کارم در مورد حل نابرابری ها و معادلات با چندین ماژول با استفاده از روش فاصله، متوجه شدم که سرعت حل مسائل دو برابر شده است. این به شما امکان می دهد تا به طور قابل توجهی سرعت کار را افزایش دهید و هزینه های زمانی را کاهش دهید. بنابراین، فرضیه من "اگر از روش بازه ای برای حل نابرابری ها و معادلات با چندین ماژول استفاده کنید، می توانید تا حد زیادی کار خود را تسهیل کنید" تأیید شد. در روند کار بر روی مطالعه، در حل معادلات و نابرابری ها با چندین ماژول تجربه کسب کردم. فکر می کنم دانشی که به دست آورده ام به من این امکان را می دهد که هنگام حل کردن از اشتباه اجتناب کنم.

ادبیات

http://padabum.com

http://yukhym.com
http://www.tutoronline.ru
http://fizmat.by
http://diffur.kemsu.ru
http://solverbook.com
Zelensky A.S., Panfilov. حل معادلات و نابرابری ها با I.I. م.: انتشارات فاکتوریال، 1388.- 112 ص.
Olehnik S.N. پوتاپوف M.K معادلات و نابرابری ها. روش های حل غیر استاندارد م.: انتشارات فاکتوریال، 1376. - 219ص.
سوریوکوف P.F.، اسمولیاکوف A.N. معادلات و نابرابری ها با ماژول ها و روش های حل آنها. م.: انتشارات خانه روشنگری 2005. - 112 ص.
Sadovnichiy Yu.V. استفاده کنید. تمرین در ریاضیات. حل معادلات و نابرابری ها. تبدیل عبارات جبری. مسکو: انتشارات لژیون 2015 - 128 ص.
Shevkin A.V. نابرابری های درجه دوم. روش فاصله M.: LLC " کلمه روسی– کتاب آموزشی، 1382. – 32 ص.

راه های مختلفی برای حل نابرابری های حاوی مدول وجود دارد. بیایید برخی از آنها را در نظر بگیریم.

1) حل نابرابری با استفاده از ویژگی هندسی ماژول.

بگذارید به شما یادآوری کنم که چیست خاصیت هندسیمدول: مدول x فاصله مبدا تا مختصات x است.

در مسیر حل نابرابری ها از این طریق، 2 مورد ممکن است پیش بیاید:

1. |x| ≤ ب،

و نابرابری با مدول بدیهی است که به یک سیستم دو نابرابری کاهش می یابد. در اینجا علامت می تواند سخت باشد، در این صورت نقاط در تصویر "پانچ شده" می شوند.

2. |x| ≥ ب،سپس تصویر راه حل به صورت زیر است:

و نابرابری با مدول آشکارا به مجموعه دو نابرابری کاهش می یابد. در اینجا علامت می تواند سخت باشد، در این صورت نقاط در تصویر "پانچ شده" می شوند.

مثال 1

حل نابرابری |4 – |x|| ≥ 3.

راه حل.

این نابرابری معادل مجموعه زیر است:

U [-1;1] U

مثال 2

حل نابرابری ||x+2| – 3| ≤ 2.

راه حل.

این نابرابری معادل سیستم زیر است.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

اولین نابرابری سیستم را جداگانه حل می کنیم. معادل مجموعه زیر است:

U[-1; 3].

2) حل نابرابری ها با استفاده از تعریف ماژول.

بگذارید یادآوری کنم که شروع کنید تعریف ماژول

|a| = a اگر a ≥ 0 و |a| = -a اگر a< 0.

به عنوان مثال، |34| = 34، |-21| = -(-21) = 21.

مثال 1

حل نابرابری 3|x – 1| ≤ x + 3.

راه حل.

با استفاده از تعریف ماژول، دو سیستم دریافت می کنیم:

(x - 1 ≥ 0
(3 (x – 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3(x - 1) ≤ x + 3.

با حل سیستم اول و دوم به طور جداگانه، به دست می آوریم:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(ایکس< 1
(x ≥ 0.

راه حل نابرابری اصلی همه راه حل های سیستم اول و همه راه حل های سیستم دوم خواهد بود.

پاسخ: x €.

3) حل نابرابری ها با مربع.

مثال 1

حل نابرابری |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

راه حل.

بیایید دو طرف نابرابری را مربع کنیم. متذکر می شوم که دو طرف نابرابری تنها در صورتی امکان پذیر است که هر دو مثبت باشند. در این حالت، ماژول هایی در سمت چپ و راست داریم، بنابراین می توانیم این کار را انجام دهیم.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

حالا بیایید از ویژگی ماژول زیر استفاده کنیم: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x(x - 2) (2x - 1)< 0.

ما با روش فاصله حل می کنیم.

پاسخ: x € (-∞؛ 0) U (1/2؛ 2)

4) حل نابرابری ها به روش تغییر متغیرها.

مثال.

حل نابرابری (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

راه حل.

توجه داشته باشید که (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . سپس نابرابری را دریافت می کنیم

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

بیایید تغییر y = |2x + 3| را انجام دهیم.

اجازه دهید نابرابری خود را با در نظر گرفتن جایگزینی بازنویسی کنیم.

y 2 - y ≤ 30،

y 2 – y – 30 ≤ 0.

مثلث مربع سمت چپ را فاکتور می کنیم.

y1 = (1 + 11) / 2،

y2 = (1 - 11) / 2،

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

با روش بازه حل می کنیم و می گیریم:

بازگشت به جایگزینی:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

این نابرابری مضاعف معادل سیستم نابرابری ها است:

(| 2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

هر یک از نابرابری ها را جداگانه حل می کنیم.

اولی معادل سیستم است

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

حلش کنیم

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

نابرابری دوم آشکارا برای همه x صادق است، زیرا مدول طبق تعریف یک عدد مثبت است. از آنجایی که راه حل سیستم تمام x است که به طور همزمان نابرابری اول و دوم سیستم را برآورده می کند، پس حل سیستم اصلی حل نابرابری مضاعف اول آن خواهد بود (بالاخره، دومی برای همه x صادق است).

پاسخ: x € [-4.5; 1.5].

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

روش‌ها (قوانین) برای آشکار کردن نابرابری‌ها با ماژول‌ها شامل افشای متوالی ماژول‌ها، در حالی که از فواصل علامت ثابت توابع زیرماژول استفاده می‌کنند. در نسخه نهایی، چندین نابرابری به دست می آید که از آنها فواصل یا بازه هایی را پیدا می کنند که شرط مسئله را برآورده می کند.

بیایید به سراغ حل مثال هایی برویم که در عمل رایج هستند.

نابرابری های خطی با ماژول ها

منظور از خطی معادلاتی است که متغیر به صورت خطی وارد معادله می شود.

مثال 1. راه حلی برای نابرابری بیابید

راه حل:
از شرط مسئله نتیجه می شود که ماژول ها در x=-1 و x=-2 به صفر تبدیل می شوند. این نقاط محور عددی را به فواصل تقسیم می کنند

در هر یک از این بازه ها، نابرابری داده شده را حل می کنیم. برای انجام این کار، اول از همه، نقشه های گرافیکی مناطق علامت ثابت توابع زیر مدولار را ترسیم می کنیم. آنها به عنوان مناطقی با نشانه هایی از هر یک از عملکردها به تصویر کشیده می شوند.

یا فواصل با علائم همه عملکردها.

در اولین فاصله، ماژول ها را باز کنید

هر دو قسمت را در منهای یک ضرب می کنیم، در حالی که علامت در نابرابری به عکس تغییر می کند. اگر عادت کردن به این قانون برای شما سخت است، می توانید برای خلاص شدن از شر منهای، هر یک از قسمت ها را فراتر از علامت حرکت دهید. در پایان دریافت خواهید کرد

تقاطع مجموعه x>-3 با مساحتی که معادلات در آن حل شده اند، بازه (-3;-2) خواهد بود. برای کسانی که پیدا کردن راه حل ها به صورت گرافیکی راحت تر است، می توانید تقاطع این مناطق را ترسیم کنید

تقاطع عمومی مناطق راه حل خواهد بود. با ناهمواری شدید، لبه ها شامل نمی شوند. اگر غیر محدود با تعویض بررسی شود.

در بازه دوم، دریافت می کنیم

بخش فاصله زمانی (-2؛ -5/3) خواهد بود. از نظر گرافیکی، راه حل به نظر می رسد

در بازه سوم، دریافت می کنیم

این شرایط در ناحیه مورد نیاز راه حل نمی دهد.

از آنجایی که دو راه حل یافت شده (-3;-2) و (-2;-5/3) با نقطه x=-2 هم مرز هستند، آن را نیز بررسی می کنیم.

بنابراین نقطه x=-2 راه حل است. راه حل کلی با در نظر گرفتن این موضوع به صورت (-3;5/3) خواهد بود.

مثال 2. راه حلی برای نابرابری بیابید
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

راه حل:
صفرهای توابع زیرماژول، نقاط x=2، x=3، x=4 خواهند بود. وقتی مقادیر آرگومان ها کمتر از این نقاط باشد، توابع زیر ماژول منفی و زمانی که مقادیر بزرگ هستند، مثبت هستند.

نقاط، محور واقعی را به چهار بازه تقسیم می کنند. ماژول ها را با توجه به فواصل ثابت علامت باز می کنیم و نابرابری ها را حل می کنیم.

1) در بازه اول، تمام توابع ساب مدولار منفی هستند، بنابراین، هنگام گسترش ماژول ها، علامت را به عکس تغییر می دهیم.

محل تلاقی مقادیر x یافت شده با بازه در نظر گرفته شده، مجموعه نقاط خواهد بود

2) در فاصله بین نقاط x=2 و x=3 تابع زیرماژول اول مثبت و دوم و سوم منفی است. با گسترش ماژول ها، دریافت می کنیم

نابرابری که در تقاطع با بازه ای که در آن حل می کنیم، یک جواب می دهد - x=3.

3) در فاصله بین نقاط x=3 و x=4 تابع زیرماژول اول و دوم مثبت و سومی منفی است. بر این اساس می گیریم

این شرط نشان می دهد که کل بازه نابرابری با ماژول ها را برآورده می کند.

4) برای مقادیر x>4، همه توابع علامت مثبت هستند. هنگام گسترش ماژول ها، علامت آنها را تغییر نمی دهیم.

شرط یافت شده در تقاطع با بازه مجموعه ای از راه حل های زیر را به دست می دهد

از آنجایی که نابرابری در تمام بازه‌ها حل می‌شود، یافتن مقدار مشترک همه مقادیر x یافت شده باقی می‌ماند. راه حل دو بازه است

این مثال حل شده است.

مثال 3. راه حلی برای نابرابری بیابید
||x-1|-5|>3-2x

راه حل:
ما یک نابرابری با یک ماژول از یک ماژول داریم. چنین نابرابری‌هایی با تودرتو شدن ماژول‌ها آشکار می‌شوند و با مواردی که عمیق‌تر قرار می‌گیرند شروع می‌شود.

تابع زیرماژول x-1 در نقطه x=1 به صفر تبدیل می شود. برای مقادیر کوچکتر فراتر از 1 منفی و برای x>1 مثبت است. بر این اساس ماژول داخلی را باز می کنیم و نابرابری را در هر یک از بازه ها در نظر می گیریم.

ابتدا فاصله منهای بی نهایت تا یک را در نظر بگیرید

تابع زیرماژول در نقطه x=-4 صفر است. برای مقادیر کوچکتر مثبت و برای مقادیر بزرگتر منفی است. ماژول را برای x گسترش دهید<-4:

در تقاطع با منطقه ای که در نظر می گیریم، مجموعه ای از راه حل ها را به دست می آوریم

مرحله بعدی گسترش ماژول در بازه (-4; 1) است.

با در نظر گرفتن منطقه گسترش ماژول، فاصله راه حل ها را به دست می آوریم

به یاد داشته باشید: اگر در چنین بی نظمی هایی با ماژول ها دو فاصله دریافت کنید که در مرز یک نقطه مشترک قرار دارند، به عنوان یک قاعده، این نیز یک راه حل است.

برای انجام این کار، فقط باید بررسی کنید.

در این صورت نقطه x=-4 را جایگزین می کنیم.

بنابراین x=-4 راه حل است.
ماژول داخلی را برای x>1 گسترش دهید

تابع زیر ماژول برای x منفی است<6.
با گسترش ماژول، دریافت می کنیم

این شرط در بخش با فاصله (1;6) مجموعه ای خالی از راه حل ها را به دست می دهد.

برای x>6 نابرابری را دریافت می کنیم

همچنین با حل کردن، یک مجموعه خالی گرفتیم.
با توجه به تمامی موارد فوق، تنها راه حلنابرابری با ماژول ها بازه بعدی خواهد بود.

نابرابری با ماژول های حاوی معادلات درجه دوم

مثال 4. راه حلی برای نابرابری بیابید
|x^2+3x|>=2-x^2

راه حل:
تابع زیرماژول در نقاط x=0، x=-3 ناپدید می شود. با جایگزینی ساده منهای یک

ما تعیین می کنیم که در بازه (3-; 0) کمتر از صفر و فراتر از آن مثبت باشد.
ماژول را در مناطقی که تابع زیر ماژول مثبت است گسترش دهید

باقی مانده است که مناطقی که در آن قرار دارند مشخص شود تابع مربعمثبت برای این کار ریشه ها را تعریف می کنیم معادله درجه دوم

برای راحتی، نقطه x=0 را که به بازه (-2;1/2) تعلق دارد، جایگزین می کنیم. تابع در این بازه منفی است، بنابراین جواب مجموعه های زیر x خواهد بود

در اینجا، براکت‌ها لبه‌های نواحی را با محلول نشان می‌دهند؛ این کار به عمد و با در نظر گرفتن قانون زیر انجام شد.

به یاد داشته باشید: اگر نابرابری با ماژول ها، یا یک نابرابری ساده سخت باشد، یال های نواحی یافت شده جواب نیستند، اما اگر نابرابری ها دقیق نباشند ()، آنگاه یال ها راه حل هستند (با کروشه نشان داده می شوند).

این قانون توسط بسیاری از معلمان استفاده می شود: اگر یک نابرابری دقیق داده شود، و شما یک کروشه ([،]) در راه حل در طول محاسبات بنویسید، آنها به طور خودکار این را یک پاسخ نادرست در نظر می گیرند. همچنین، هنگام آزمایش، اگر یک نابرابری غیر دقیق با ماژول ها مشخص شده است، در بین راه حل ها، به دنبال مناطقی با براکت مربع باشید.

در بازه (-3؛ 0)، با گسترش ماژول، علامت تابع را به عکس تغییر می دهیم

با در نظر گرفتن دامنه افشای نابرابری، راه حل شکل خواهد داشت

همراه با منطقه قبلی، این دو نیم فاصله ایجاد می کند

مثال 5. راه حلی برای نابرابری بیابید
9x^2-|x-3|>=9x-2

راه حل:
یک نابرابری غیر دقیق داده می شود که تابع زیرماژول آن در نقطه x=3 برابر با صفر است. در مقادیر کوچکتر منفی و در مقادیر بزرگتر مثبت است. ماژول را در بازه x گسترش می دهیم<3.

پیدا کردن ممیز معادله

و ریشه ها

با جایگزینی نقطه صفر، متوجه می شویم که در بازه [-1/9؛ 1] تابع درجه دوم منفی است، بنابراین بازه یک راه حل است. بعد، ماژول را برای x>3 باز کنید

چگونه مردم بیشتریمی فهمد، میل به درک قوی تر است

توماس آکویناس

روش بازه به شما امکان می دهد هر معادله ای را که دارای مدول است حل کنید. ماهیت این روش تقسیم محور عددی به چند بخش (فاصله) است و باید محور را با صفر عبارات موجود در ماژول ها تقسیم کرد. سپس، در هر یک از بخش های حاصل، هر عبارت زیرماژول یا مثبت یا منفی است. بنابراین، هر یک از ماژول ها را می توان یا با علامت منفی یا با علامت مثبت گسترش داد. پس از این اقدامات، تنها حل هر یک از موارد به دست آمده باقی می ماند معادلات سادهدر فاصله در نظر گرفته شده و ترکیب پاسخ های دریافتی.

در نظر گرفتن این روشدر یک مثال خاص

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x - 6.

1) صفر عبارات موجود در ماژول ها را بیابید. برای این کار آنها را با صفر برابر می کنیم و معادلات حاصل را حل می کنیم.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) نقاط به دست آمده را به ترتیب دلخواه روی خط مختصات بچینید. آنها کل محور را به چهار بخش تقسیم می کنند.

3) بیایید در هر یک از بخش های به دست آمده علائم عبارات موجود در ماژول ها را تعیین کنیم. برای انجام این کار، ما هر عددی را از فواصل مورد علاقه خود در آنها جایگزین می کنیم. اگر نتیجه محاسبه یک عدد مثبت باشد، در جدول "+" و اگر عدد منفی باشد، "-" را قرار می دهیم. این را می توان به شکل زیر تصویر کرد:

4) حالا معادله را در هر چهار بازه حل می کنیم و ماژول ها را با علائمی که در جدول هستند باز می کنیم. بنابراین، فاصله اول را در نظر بگیرید:

فاصله من (-∞؛ -3). روی آن، همه ماژول ها با علامت "-" باز می شوند. معادله زیر را بدست می آوریم:

-(x + 1) - (2x - 4) - (-(x + 3)) \u003d 2x - 6. ما عبارات مشابهی را ارائه می دهیم که قبلاً پرانتزها را در معادله حاصل باز کرده ایم:

X - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6

پاسخ دریافتی در بازه زمانی در نظر گرفته نشده است، بنابراین نوشتن آن در پاسخ نهایی ضروری نیست.

فاصله دوم [-3; -یک). در این فاصله در جدول علائم "-"، "-"، "+" وجود دارد. به این ترتیب ماژول های معادله اصلی را آشکار می کنیم:

-(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. با گسترش براکت ها ساده کنید:

X - 1 - 2x + 4 - x - 3 \u003d 2x - 6. ما در معادله حاصل موارد زیر را ارائه می دهیم:

x = 6/5. عدد حاصل به بازه مورد نظر تعلق ندارد، بنابراین ریشه معادله اصلی نیست.

فاصله III [-1; 2). ماژول های معادله اصلی را با علائمی که در شکل در ستون سوم هستند باز می کنیم. ما گرفتیم:

(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. از براکت ها خلاص شوید، عبارت های حاوی متغیر x را به سمت چپ معادله و غیر حاوی x را به سمت راست منتقل کنید. . خواهد داشت:

x + 1 - 2x + 4 - x - 3 = 2x - 6

عدد 2 در بازه در نظر گرفته نشده است.

فاصله IV)