Вирішення меж лопіталю. Калькулятор онлайн.Рішення меж
Уявіть зграю горобців з витріщеними очима. Ні, це не грім, не ураган і навіть не маленький хлопчик із рогаткою в руках. Просто в саму гущу пташенят летить величезне-величезне гарматне ядро. Саме так правила Лопіталярозправляються з межами, у яких має місце невизначеність або .
Правила Лопіталя – дуже потужний метод, що дозволяє швидко та ефективно усунути зазначені невизначеності, не випадково у збірниках завдань, контрольні роботи, Заліки часто зустрічається стійкий штамп: «обчислити межу, не користуючись правилом Лопіталя». Виділену жирним шрифтом вимогу можна з чистою совістю приписати і до будь-якої межі уроків Межі. Приклади рішень, Чудові межі. Методи розв'язання меж, Чудові еквівалентності, де зустрічається невизначеність «нуль на нуль» чи «нескінченність на нескінченність». Навіть якщо завдання сформульовано коротко – «обчислити межі», то негласно мається на увазі, що ви користуватиметеся всім, що завгодно, але не правилами Лопіталя.
Усього правил два, і вони дуже схожі один на одного як по суті, так і за способом застосування. Крім безпосередніх прикладів на тему, ми вивчимо і додатковий матеріал, який буде корисним у ході подальшого вивчення математичного аналізу.
Відразу обмовлюся, що правила будуть наведені в лаконічному «практичному» вигляді, і якщо вам належить складати теорію, рекомендую звернутися до підручника за суворішими викладками.
Перше правило Лопіталя
Розглянемо функції, які нескінченно малив деякій точці. Якщо існує межа їхніх відносин, то з метою усунення невизначеності можна взяти дві похідні– від чисельника та від знаменника. При цьому: 
, тобто .
Примітка : межа теж має існувати, інакше правило не застосовується.
Що випливає з вищесказаного?
По-перше, необхідно вміти знаходити похідні функцій, і чим краще – тим краще =)
По-друге, похідні беруться окремо від чисельника і окремо від знаменника. Будь ласка, не плутайте із правилом диференціювання приватного 
!!!
І, по-третє, «ікс» може прагнути куди завгодно, зокрема, до нескінченності – аби була невизначеність.
Повернемося до Прикладу 5 першої статті про межі, В якому був отриманий наступний результат: 
До невизначеності 0:0 застосуємо перше правило Лопіталя:
Як бачите, диференціювання чисельника та знаменника привело нас до відповіді з півоберту: знайшли дві прості похідні, підставили в них «двійку», і виявилося, що невизначеність безвісти зникла!
Не рідкість, коли правила Лопіталя доводиться застосовувати послідовно два або більша кількістьраз (це відноситься і до другого правила). Витягнемо на ретро-вечір Приклад 2 уроку про чудові межі:
На двоярусному ліжку знову прохолоджуються два бублики. Застосуємо правило Лопіталя: 
Зверніть увагу, що на першому кроці у знаменнику береться похідна складної функції. Після цього проводимо ряд проміжних спрощень, зокрема, позбавляємося косинуса, вказуючи, що він прагне одиниці. Невизначеність не усунена, тому застосовуємо правило Лопіталя ще раз (другий рядок).
Я спеціально підібрав не найпростіший приклад, щоб ви провели невелике самотестування. Якщо не зовсім зрозуміло, як знайдено похідні, слід посилити свою техніку диференціювання, якщо не зрозумілий фокус із косинусом, будь ласка, поверніться до чудовим межам. Не бачу особливого сенсу в покрокових коментарях, оскільки про похідні та межі я вже розповів досить докладно. Новизна статті полягає у самих правилах та деяких технічних прийомах рішення.
Як зазначалося, здебільшого правила Лопіталя використовувати не потрібно, але їх часто доцільно застосовувати для чорнової перевірки рішення. Найчастіше, але далеко не завжди. Так, наприклад, щойно розглянутий приклад значно вигідніше перевірити через чудові еквівалентності.
Друге правило Лопіталя
Брат-2 бореться з двома сплячими вісімками. Аналогічно:
Якщо існує межа відношення нескінченно великиху точці функцій: , то з метою усунення невизначеності можна взяти дві похідні- окремо від чисельника і окремо від знаменника. При цьому: 
, тобто при диференціюванні чисельника та знаменника значення межі не змінюється.
Примітка : межа повинна існувати
Знову ж таки, в різних практичні приклади значення може бути різним, зокрема, нескінченним. Важливо, щоб була невизначеність.
Перевіримо Приклад №3 першого уроку: 
. Використовуємо друге правило Лопіталя:
Коли мова зайшла про велетнів, розберемо дві канонічні межі:
Приклад 1
Обчислити межу
Отримати відповідь "звичайними" методами непросто, тому для розкриття невизначеності "нескінченність на нескінченність" використовуємо правило Лопіталя: 
Таким чином, лінійна функціявищого порядку зростання , ніж логарифм з основою більшою одиниці( і т.д.). Зрозуміло, «ікси» у старших ступенях теж «перетягуватимуть» такі логарифми. Справді, функція зростає досить повільно та її графікє пологішим щодо того ж «ікса».
Приклад 2
Обчислити межу
Ще один кадр, що примелькався. З метою усунення невизначеності використовуємо правило Лопіталя, причому, двічі поспіль:
Показова функція, з основою, більшою за одиницю( і т.д.) вищого порядку зростання, ніж статечна функціяз позитивним ступенем.
Подібні межі зустрічаються в ході повного дослідження функції, а саме, при знаходженні асимптот графіків. Також помічаються вони і в деяких завданнях теорії ймовірностей. Раджу взяти на замітку два розглянуті приклади, це один із небагатьох випадків, коли краще диференціювання чисельника та знаменника нічого немає.
Далі за текстом я не розмежуватиму перше і друге правило Лопіталя, це було зроблено лише з метою структурування статті. Взагалі, на мою думку, дещо шкідливо зайве нумерувати математичні аксіоми, теореми, правила, властивості, оскільки фрази на кшталт «згідно з наслідком 3 за теоремою 19…» інформативні лише в рамках того чи іншого підручника. В іншому джерелі інформації те саме буде «наслідком 2 і теоремою 3». Такі висловлювання формальні та зручні хіба що самим авторам. В ідеалі краще посилатися на суть математичного факту. Виняток – історично усталені терміни, наприклад, перша чудова межаабо друга чудова межа.
Продовжуємо розробляти тему, яку підкинув нам член Паризької академії наук маркіз Гійом Франсуа де Лопіталь. Стаття набуває яскраво вираженого практичного забарвлення і в досить поширеному завданні потрібно:
Для розминки розберемося з парою невеликих горобців:
Приклад 3
Межу можна попередньо спростити, позбавившись косинуса, проте виявимо повагу до умови і відразу продиференціюємо чисельник і знаменник: 
У самому процесі знаходження похідних немає чогось нестандартного, так, у знаменнику використано звичайне правило диференціюваннятвори 
.
Розглянутий приклад розрулюється і через чудові межі, схожий випадок розібрано наприкінці статті Складні межі .
Приклад 4
Обчислити межу за правилом Лопіталя 
Це приклад самостійного рішення. Нормально пожартував =)
Типова ситуація, коли після диференціювання виходять три- або чотириповерхові дроби:
Приклад 5
Обчислити межу, використовуючи правило Лопіталя
Напрошується застосування чудової еквівалентності, але шлях жорстко визначений за умовою:
Після диференціювання настійно рекомендую позбавлятися багатоповерхів дробу і проводити максимальні спрощення. Звісно, більш підготовлені студенти можуть пропустити останній крокі відразу записати: 
але в деяких межах заплутаються навіть відмінники.
Приклад 6
Обчислити межу, використовуючи правило Лопіталя
Приклад 7
Обчислити межу, використовуючи правило Лопіталя
Це приклади самостійного рішення. У Прикладі 7 можна нічого не спрощувати, занадто простий виходить після диференціювання дріб. А ось у Прикладі 8 після застосування правила Лопіталя вкрай бажано позбавитися триповерховості, оскільки обчислення будуть не найзручнішими. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. Якщо виникли труднощі – тригонометрична таблицяв допомогу.
І, спрощення абсолютно необхідні, коли після диференціювання невизначеність не усунута.
Приклад 8
Обчислити межу, використовуючи правило Лопіталя
Поїхали: 
Цікаво, що початкова невизначеність після першого диференціювання перетворилася на невизначеність, і правило Лопіталя незворушно застосовується далі. Також зауважте, як після кожного підходу усувається чотириповерховий дріб, а константи виносяться за знак межі. У більш простих прикладахконстанти зручніше не виносити, але коли межа складна, спрощуємо все-все-все. Підступність вирішеного прикладу полягає ще й у тому, що за 
, А тому в ході ліквідації синусів не дивно заплутатися в знаках. У передостанньому рядку синуси можна було й не вбивати, але приклад досить важкий, можна пробачити.
Днями мені трапилося цікаве завдання:
Приклад 9
Якщо чесно, трохи засумнівався, чому дорівнюватиме ця межа. Як демонструвалося вище, «ікс» більше високого порядкузростання, ніж логарифм, але чи «перетягне» він логарифм у кубі? Намагайтеся з'ясувати самостійно, за ким буде перемога.
Так, правила Лопіталя - це не тільки пальба по горобцях з гармати, але ще й копітка робота.
З метою застосування правил Лопіталя до бубликів або втомлених вісімок зводяться невизначеності виду.
Розправу з невизначеністю докладно розібрано в Прикладах №№9-13 уроку Методи розв'язання меж. Давайте для проформи ще один:
Приклад 10
Обчислити межу функції, використовуючи правило Лопіталя 
На першому кроці наводимо вираз до спільного знаменника, трансформуючи тим самим невизначеність на невизначеність. А потім заряджаємо правило Лопіталя: 
Тут, до речі, той випадок, коли чотириповерховий вираз чіпатиме безглуздо.
Невизначеність теж не пручається перетворенню на або :
Приклад 11
Обчислити межу функції за допомогою правила Лопіталю
Межа тут одностороння, і про такі межі вже йшлося в методичці Графіки та властивості функцій. Як ви пам'ятаєте, графіка «класичного» логарифму не існує ліворуч від осі, таким чином ми можемо наближатися до нуля тільки праворуч.
Правила Лопіталя для односторонніх меж працюють, але спочатку необхідно розібратися з невизначеністю. На першому кроці робимо дріб триповерховим, отримуючи невизначеність, далі рішення йде за шаблонною схемою: 
Після диференціювання чисельника та знаменника позбавляємося чотириповерхового дробу, щоб провести спрощення. В результаті намалювалася невизначеність. Повторюємо трюк: знову робимо дріб триповерховим і до отриманої невизначеності застосовуємо правило Лопіталя ще раз:
Готово.
Вихідна межа можна було спробувати звести до двох бубликів: 
Але, по-перше, похідна у знаменнику важче, а по-друге, нічого хорошого з цього не вийде.
Таким чином, перед рішенням подібних прикладів слід проаналізувати(Усно або на чернетці), До якої невизначеності вигідніше звести - до «нуля на нуль» або до «нескінченності на нескінченність».
У свою чергу на вогник підтягуються товариші по чарці і більш екзотичні товариші. Метод трансформації простий та стандартний.
- Правило Лопіталя та розкриття невизначеностей
- Розкриття невизначеностей видів "нуль ділити на нуль" і "нескінченність ділити на нескінченність"
- Розкриття невизначеностей виду "нуль помножити на нескінченність"
- Розкриття невизначеностей видів "нуль у ступені нуль", "нескінченність у ступені нуль" та "один у ступені нескінченність"
- Розкриття невизначеностей виду "нескінченність мінус нескінченність"
Правило Лопіталя та розкриття невизначеностей
Розкриття невизначеностей виду 0/0 або ∞/∞ та деяких інших невизначеностей значно спрощується за допомогою правила Лопіталя.
Суть правила Лопіталя полягає в тому, що у випадку, коли обчислення межі відносин двох функцій дає невизначеності видів 0/0 або ∞/∞, межу відношення двох функцій можна замінити межею відношення їх похідних і, таким чином, отримати певний результат.
Взагалі, під правилами Лопіталя розуміються кілька теорем, які можуть бути передані у наступному одному формулюванні.
Правило Лопіталя. Якщо функції f(x) та g(x) диференційовані в деякій околиці точки , за винятком, можливо, самої точки , причому в цій околиці
(1)
Іншими словами, для невизначеностей виду 0/0 або ∞/∞ межа відношення двох функцій дорівнює межі відношення їх похідних, якщо останній існує (кінцевий або нескінченний).
У рівності (1) величина , до якої прагне змінна, може бути кінцевим числом, або нескінченністю, або мінус нескінченністю.
До невизначеності видів 0/0 та ∞/∞ можуть бути зведені і невизначеності інших видів.
Розкриття невизначеностей видів "нуль ділити на нуль" і "нескінченність ділити на нескінченність"
приклад 1.Обчислити
x=2 призводить до невизначеності виду 0/0. Тому застосуємо правило Лопіталя:
приклад 2.Обчислити
Рішення. Підстановка в задану функціюзначення x
приклад 3.Обчислити
Рішення. Підстановка у задану функцію значення x=0 призводить до невизначеності виду 0/0. Тому застосуємо правило Лопіталя:
приклад 4.Обчислити
Рішення. Підстановка в задану функцію значення ікса, що дорівнює плюсу нескінченності, призводить до невизначеності виду ∞/∞. Тому застосуємо правило Лопіталя:
Зауваження. Якщо межа відносини похідних є невизначеність виду 0/0 чи ∞/∞, можна знову застосувати правило Лопиталя, тобто. перейти до межі відносини других похідних і т.д.
Приклад 5.Обчислити
Рішення. Знаходимо
Тут правило Лопіталя застосовано двічі, оскільки і межа відношення функцій, і межа відношення похідних дають невизначеність виду ∞/∞.
Приклад 6.Обчислити
Правило Лопіталя (п. л.) полегшує обчислення меж функцій. Наприклад, треба знайти межу функції, яка є ставленням функцій, що прагнуть нуля. Тобто. Відношення функцій – це невизначеність 0/0. Розкрити її допоможе. У межі відношення функцій можна замінити відношенням похідних цих функцій. Тобто. треба похідну чисельника розділити на похідну знаменника і від цього дробу взяти межу.
1. Невизначеність 0/0. Перше п.л.
Якщо = 0, то 
якщо останній існує.
2. Невизначеність виду ∞/∞ Друге п. л.
Знаходження меж такого типу називається розкриттям невизначеностей.
Якщо = ∞, то якщо останній існує.
3. Невизначеності 0⋅∞, ∞- ∞, 1 ∞ та 0 0 зводяться до невизначеностей 0/0 та ∞/∞ шляхом перетворень. Такий запис служить для короткого вказівки випадку при знайденні межі. Кожна невизначеність розкривається своїм. Правило Лопіталя можна застосовувати кілька разів, поки не позбудемося невизначеності. Застосування правила Лопіталя приносить користь тоді, коли відношення похідних вдається перетворити більш зручному виду легше, ніж відношення функцій.
- 0⋅∞ добуток двох функцій, перша прагне нуля, друга до нескінченності;
- ∞- ∞ різниця функцій, які прагнуть нескінченності;
- 1 ∞ ступінь, її основа прагне одиниці, а показник до нескінченності;
- ∞ 0 ступінь, її основа прагне нескінченності, а ступінь до нуля;
- 0 0 ступінь, її основа прагне 0 і показник теж прагнуть нуля.
Приклад 1. У цьому прикладі невизначеність 0/0 
Приклад 2. Тут ∞/∞ 
У цих прикладах похідні чисельника ділимо на похідні знаменника і підставляємо граничне значення замість х.
Приклад 3. Вид невизначеності 0⋅∞ 
.
Невизначеність 0⋅∞ перетворимо до ∞/∞, для цього х переносимо у знаменник у вигляді дробу 1/x, у чисельнику пишемо похідну від чисельника, а в знаменнику похідну від знаменника.
Приклад 4 Обчислити межу функції
Тут невизначеність виду ∞ 0 Спочатку логарифмуємо функцію, потім знайдемо від неї межу
Для отримання відповіді треба звести в ступінь -1, отримаємо e -1 .
Приклад 5. Обчислити межу якщо x → 0
Рішення. Вигляд невизначеності ∞ -∞ Привівши дріб до спільного знаменника перейдемо від ∞-∞ до 0/0. Застосуємо правило Лопіталя, проте знову отримаємо невизначеність 0/0, тому п. л. треба застосувати вдруге. Рішення має вигляд:
= 
= 
= 
=
= 
= 
Приклад 6 Вирішити
Рішення. Вид невизначеності ∞/∞, розкривши її отримаємо
У випадках 3), 4), 5) спочатку логарифмують функцію і знаходять межу логарифму, а потім шукану межу зводимо в отриманий ступінь.
Приклад 7. Обчислити межу
Рішення. Тут вид невизначеності 1 ∞. Позначимо A =
Тоді lnA = 
= = = 2.
Підстава логарифму є, тому для отримання відповіді треба її звести в квадрат, отримаємо e 2 .
Іноді бувають випадки, коли відношення функцій має межу, на відміну від похідних, яке не має його.
Розглянемо приклад:
Т.к. sinx обмежений, а х необмежено зростає, другий член дорівнює 0.
Ця функція немає межі, т.к. вона постійно коливається між 0 і 2, до цього прикладу не застосовується п. л.
Інструкція
Невизначеність виду [∞-∞], розкривається, якщо мають на увазі різницю будь-яких дробів. Привівши цю різницю до спільного знаменника, отримайте деяке відношення до функцій.
Невизначеності типу 0^∞, 1^∞, ∞^0 виникають при обчисленні типу p(x)^q(x). У цьому випадку застосовують попереднє диференціювання. Тоді шуканої межі А набуде вигляду твору, можливо, що з готовим знаменником. Якщо ні, можна використовувати методику прикладу 3. Головне не забути записати остаточну відповідь як е^А (див. рис.5).
Відео на тему
Джерела:
- обчислити межу функції не користуючись правилом лопіталю в 2019
Інструкція
Межею називається деяке число, якого прагне змінна змінна чи значення висловлювання. Зазвичай змінні або функції прагнуть або нуля, або нескінченності. За межі, нулю, величина вважається нескінченно малою. Іншими словами, нескінченно малими називаються величини, які змінні та наближаються до нуля. Якщо прагне нескінченності, його називають нескінченним межею. Зазвичай він записується як:
lim x=+∞.
Є ряд властивостей, деякі з яких є . Нижче представлені основні їх.
- одна величина має лише одну межу;
Межа постійної величини дорівнює величині цієї постійної;
Межа суми дорівнює сумімеж: lim(x+y)=lim x + lim y;
Межа твору дорівнює твору меж: lim(xy)=lim x * lim y
Постійний множник може бути винесений за межі знак: lim(Cx) = C * lim x, де C=const;
Межа частки дорівнює приватній межі: lim(x/y)=lim x / lim y.
У задачах з межами зустрічаються як числові вирази, так і цих виразів. Це може виглядати, зокрема, так:
lim xn=a (при n→∞).
Нижче представлений нескладної межі:
lim 3n +1 /n+1
n→∞.
Для вирішення цієї межі поділіть усі вирази на n одиниць. Відомо, що якщо одиниця ділиться на деяку величину n→∞, то межа 1/n дорівнює нулю. Справедливе та протилежне: якщо n→0, то 1/0=∞. Поділивши весь приклад на n, запишіть його в поданому нижче вигляді та отримайте:
lim 3+1/n/1+1/n=3
При вирішенні межі можуть виникати результати, які називаються невизначеностями. У таких випадках застосовують правила Лопіталю. Для цього виконують повторне функції, яке наведе приклад у таку форму, в якій можна було вирішити. Існують два типи невизначеностей: 0/0 та ∞/∞. Приклад з невизначеністю може виглядати, зокрема, наступним зверненням:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8
Відео на тему
Розрахунок меж функцій- фундамент математичного аналізу, якому присвячено чимало сторінок у підручниках. Проте часом незрозуміло як визначення, а й сама суть межі. Говорячи простою мовою, межа - це наближення однієї змінної величинияка залежить від іншої, до якогось конкретного значення в міру зміни цієї іншої величини. Для успішного обчислення достатньо пам'ятати простий алгоритм рішення.
Завантаження...