Межі за правилом лопіталю приклади рішення. Обчислення меж функцій онлайн
Уявіть зграю горобців з витріщеними очима. Ні, це не грім, не ураган і навіть не маленький хлопчик із рогаткою в руках. Просто в саму гущу пташенят летить величезне-величезне гарматне ядро. Саме так правила Лопіталярозправляються з межами, у яких має місце невизначеність або .
Правила Лопіталя – дуже потужний метод, що дозволяє швидко та ефективно усунути зазначені невизначеності, не випадково у збірниках завдань, контрольні роботи, Заліки часто зустрічається стійкий штамп: «обчислити межу, не користуючись правилом Лопіталя». Виділену жирним шрифтом вимогу можна з чистою совістю приписати і до будь-якої межі уроків Межі. Приклади рішень, Чудові межі. Методи розв'язання меж, Чудові еквівалентності, де зустрічається невизначеність «нуль на нуль» чи «нескінченність на нескінченність». Навіть якщо завдання сформульовано коротко – «обчислити межі», то негласно мається на увазі, що ви користуватиметеся всім, що завгодно, але не правилами Лопіталя.
Усього правил два, і вони дуже схожі один на одного як по суті, так і за способом застосування. Крім безпосередніх прикладів на тему, ми вивчимо і додатковий матеріал, який буде корисним у ході подальшого вивчення математичного аналізу.
Відразу обмовлюся, що правила будуть наведені в лаконічному «практичному» вигляді, і якщо вам належить складати теорію, рекомендую звернутися до підручника за суворішими викладками.
Перше правило Лопіталя
Розглянемо функції, які нескінченно малив деякій точці. Якщо існує межа їхніх відносин, то з метою усунення невизначеності можна взяти дві похідні– від чисельника та від знаменника. При цьому: , тобто .
Примітка : межа теж має існувати, інакше правило не застосовується.
Що випливає з вищесказаного?
По-перше, необхідно вміти знаходити похідні функцій, і чим краще – тим краще =)
По-друге, похідні беруться окремо від чисельника і окремо від знаменника. Будь ласка, не плутайте із правилом диференціювання приватного !!!
І, по-третє, «ікс» може прагнути куди завгодно, зокрема, до нескінченності – аби була невизначеність.
Повернемося до Прикладу 5 першої статті про межі, В якому був отриманий наступний результат:
До невизначеності 0:0 застосуємо перше правило Лопіталя:
Як бачите, диференціювання чисельника та знаменника привело нас до відповіді з півоберту: знайшли дві прості похідні, підставили в них «двійку», і виявилося, що невизначеність безвісти зникла!
Не рідкість, коли правила Лопіталя доводиться застосовувати послідовно два або більша кількістьраз (це відноситься і до другого правила). Витягнемо на ретро-вечір Приклад 2 уроку про чудові межі:
На двоярусному ліжку знову прохолоджуються два бублики. Застосуємо правило Лопіталя:
Зверніть увагу, що на першому кроці у знаменнику береться похідна складної функції. Після цього проводимо ряд проміжних спрощень, зокрема, позбавляємося косинуса, вказуючи, що він прагне одиниці. Невизначеність не усунена, тому застосовуємо правило Лопіталя ще раз (другий рядок).
Я спеціально підібрав не найпростіший приклад, щоб ви провели невелике самотестування. Якщо не зовсім зрозуміло, як знайдено похідні, слід посилити свою техніку диференціювання, якщо не зрозумілий фокус із косинусом, будь ласка, поверніться до чудовим межам. Не бачу особливого сенсу в покрокових коментарях, оскільки про похідні та межі я вже розповів досить докладно. Новизна статті полягає у самих правилах та деяких технічних прийомах рішення.
Як зазначалося, здебільшого правила Лопіталя використовувати не потрібно, але їх часто доцільно застосовувати для чорнової перевірки рішення. Найчастіше, але далеко не завжди. Так, наприклад, щойно розглянутий приклад значно вигідніше перевірити через чудові еквівалентності.
Друге правило Лопіталя
Брат-2 бореться з двома сплячими вісімками. Аналогічно:
Якщо існує межа відношення нескінченно великиху точці функцій: , то з метою усунення невизначеності можна взяти дві похідні- окремо від чисельника і окремо від знаменника. При цьому: , тобто при диференціюванні чисельника та знаменника значення межі не змінюється.
Примітка : межа повинна існувати
Знову ж таки, в різних практичні приклади значення може бути різним, зокрема, нескінченним. Важливо, щоб була невизначеність.
Перевіримо Приклад №3 першого уроку: . Використовуємо друге правило Лопіталя:
Коли мова зайшла про велетнів, розберемо дві канонічні межі:
Приклад 1
Обчислити межу
Отримати відповідь "звичайними" методами непросто, тому для розкриття невизначеності "нескінченність на нескінченність" використовуємо правило Лопіталя:
Таким чином, лінійна функціявищого порядку зростання , ніж логарифм з основою більшою одиниці( і т.д.). Зрозуміло, «ікси» у старших ступенях теж «перетягуватимуть» такі логарифми. Справді, функція зростає досить повільно та її графікє пологішим щодо того ж «ікса».
Приклад 2
Обчислити межу
Ще один кадр, що примелькався. З метою усунення невизначеності використовуємо правило Лопіталя, причому, двічі поспіль:
Показова функція, з основою, більшою за одиницю( і т.д.) вищого порядку зростання, ніж статечна функціяз позитивним ступенем.
Подібні межі зустрічаються в ході повного дослідження функції, а саме, при знаходженні асимптот графіків. Також помічаються вони і в деяких завданнях теорії ймовірностей. Раджу взяти на замітку два розглянуті приклади, це один із небагатьох випадків, коли краще диференціювання чисельника та знаменника нічого немає.
Далі за текстом я не розмежуватиму перше і друге правило Лопіталя, це було зроблено лише з метою структурування статті. Взагалі, на мою думку, дещо шкідливо зайве нумерувати математичні аксіоми, теореми, правила, властивості, оскільки фрази на кшталт «згідно з наслідком 3 за теоремою 19…» інформативні лише в рамках того чи іншого підручника. В іншому джерелі інформації те саме буде «наслідком 2 і теоремою 3». Такі висловлювання формальні та зручні хіба що самим авторам. В ідеалі краще посилатися на суть математичного факту. Виняток – історично усталені терміни, наприклад, перша чудова межаабо друга чудова межа.
Продовжуємо розробляти тему, яку підкинув нам член Паризької академії наук маркіз Гійом Франсуа де Лопіталь. Стаття набуває яскраво вираженого практичного забарвлення і в досить поширеному завданні потрібно:
Для розминки розберемося з парою невеликих горобців:
Приклад 3
Межу можна попередньо спростити, позбавившись косинуса, проте виявимо повагу до умови і відразу продиференціюємо чисельник і знаменник:
У самому процесі знаходження похідних немає чогось нестандартного, так, у знаменнику використано звичайне правило диференціюваннятвори .
Розглянутий приклад розрулюється і через чудові межі, схожий випадок розібрано наприкінці статті Складні межі .
Приклад 4
Обчислити межу за правилом Лопіталя
Це приклад самостійного рішення. Нормально пожартував =)
Типова ситуація, коли після диференціювання виходять три- або чотириповерхові дроби:
Приклад 5
Обчислити межу, використовуючи правило Лопіталя
Напрошується застосування чудової еквівалентності, але шлях жорстко визначений за умовою:
Після диференціювання настійно рекомендую позбавлятися багатоповерхів дробу і проводити максимальні спрощення. Звісно, більш підготовлені студенти можуть пропустити останній крокі відразу записати: але в деяких межах заплутаються навіть відмінники.
Приклад 6
Обчислити межу, використовуючи правило Лопіталя
Приклад 7
Обчислити межу, використовуючи правило Лопіталя
Це приклади самостійного рішення. У Прикладі 7 можна нічого не спрощувати, занадто простий виходить після диференціювання дріб. А ось у Прикладі 8 після застосування правила Лопіталя вкрай бажано позбавитися триповерховості, оскільки обчислення будуть не найзручнішими. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. Якщо виникли труднощі – тригонометрична таблицяв допомогу.
І, спрощення абсолютно необхідні, коли після диференціювання невизначеність не усунута.
Приклад 8
Обчислити межу, використовуючи правило Лопіталя
Поїхали:
Цікаво, що початкова невизначеність після першого диференціювання перетворилася на невизначеність, і правило Лопіталя незворушно застосовується далі. Також зауважте, як після кожного підходу усувається чотириповерховий дріб, а константи виносяться за знак межі. У більш простих прикладахконстанти зручніше не виносити, але коли межа складна, спрощуємо все-все-все. Підступність вирішеного прикладу полягає ще й у тому, що за , А тому в ході ліквідації синусів не дивно заплутатися в знаках. У передостанньому рядку синуси можна було й не вбивати, але приклад досить важкий, можна пробачити.
Днями мені трапилося цікаве завдання:
Приклад 9
Якщо чесно, трохи засумнівався, чому дорівнюватиме ця межа. Як демонструвалося вище, «ікс» більше високого порядкузростання, ніж логарифм, але чи «перетягне» він логарифм у кубі? Намагайтеся з'ясувати самостійно, за ким буде перемога.
Так, правила Лопіталя - це не тільки пальба по горобцях з гармати, але ще й копітка робота.
З метою застосування правил Лопіталя до бубликів або втомлених вісімок зводяться невизначеності виду.
Розправу з невизначеністю докладно розібрано в Прикладах №№9-13 уроку Методи розв'язання меж. Давайте для проформи ще один:
Приклад 10
Обчислити межу функції, використовуючи правило Лопіталя
На першому кроці наводимо вираз до спільного знаменника, трансформуючи тим самим невизначеність на невизначеність. А потім заряджаємо правило Лопіталя:
Тут, до речі, той випадок, коли чотириповерховий вираз чіпатиме безглуздо.
Невизначеність теж не пручається перетворенню на або :
Приклад 11
Обчислити межу функції за допомогою правила Лопіталю
Межа тут одностороння, і про такі межі вже йшлося в методичці Графіки та властивості функцій. Як ви пам'ятаєте, графіка «класичного» логарифму не існує ліворуч від осі, таким чином ми можемо наближатися до нуля тільки праворуч.
Правила Лопіталя для односторонніх меж працюють, але спочатку необхідно розібратися з невизначеністю. На першому кроці робимо дріб триповерховим, отримуючи невизначеність, далі рішення йде за шаблонною схемою:
Після диференціювання чисельника та знаменника позбавляємося чотириповерхового дробу, щоб провести спрощення. В результаті намалювалася невизначеність. Повторюємо трюк: знову робимо дріб триповерховим і до отриманої невизначеності застосовуємо правило Лопіталя ще раз:
Готово.
Вихідна межа можна було спробувати звести до двох бубликів:
Але, по-перше, похідна у знаменнику важче, а по-друге, нічого хорошого з цього не вийде.
Таким чином, перед рішенням подібних прикладів слід проаналізувати(Усно або на чернетці), До якої невизначеності вигідніше звести - до «нуля на нуль» або до «нескінченності на нескінченність».
У свою чергу на вогник підтягуються товариші по чарці і більш екзотичні товариші. Метод трансформації простий та стандартний.
Рішення меж функції онлайн. Знайти граничне значення функції чи функціональної послідовності у точці, обчислити граничнезначення функції на нескінченності. визначити збіжність числового ряду і багато іншого можна виконати завдяки нашому онлайн-сервісу. Ми дозволяємо знаходити ліміти функцій онлайн швидко та безпомилково. Ви самі вводите змінну функції та межу, до якої вона прагне, анаш сервіс проводить усі обчислення за вас, надаючи точну та просту відповідь. Причому для знаходження межі онлайнви можете вводити як числові ряди, так і аналітичні функції, що містять константи у буквеному виразі. У цьому випадку знайдена межа функції міститиме ці константи як постійні аргументи у виразі. Нашим сервісом вирішуються будь-які складні завдання щодо знаходження меж онлайн, достатньо вказати функцію та точку в якій необхідно обчислити граничне значення функції. Вираховуючи межі онлайн, можна користуватися різними методамита правилами їх вирішення, при цьому звіряючи отриманий результат з рішенням меж онлайнна www.сайт, що призведе до успішного виконання завдання - ви уникнете власних помилок і описок. Або ви повністю можете довіритися нам і використати наш результат у своїй роботі, не витрачаючи зайвих зусиль та часу на самостійні обчислення межі функції. Ми допускаємо введення таких граничних значень, як нескінченність. Необхідно запровадити спільний член числової послідовностіі www.сайтобчислить значення межі онлайнна плюс чи мінус нескінченності.
Одним із основних понять математичного аналізу є ліміт функціїі межа послідовностіу точці та на нескінченності, важливо вміти правильно вирішувати межі. З нашим сервісом це не складе жодних труднощів. Проводиться рішення меж онлайнпротягом кількох секунд, відповідь точна і повна. Вивчення математичного аналізу починається з граничного переходу, межівикористовуються практично у всіх розділах вищої математики, тому корисно мати під рукою сервер рішення лімітів онлайнЯким є сайт.
Ми вже почали розбиратися з межами та їх вирішенням. Продовжимо по гарячих слідах і розберемося з розв'язанням меж за правилом Лопіталя. Цьому простому правилупід силу допомогти Вам вибратися з підступних та складних пасток, які викладачі так люблять використовувати у прикладах на контрольних з вищої математики та матаналізу. Рішення правилом Лопіталя – просте та швидке. Головне – вміти диференціювати.
Правило Лопіталя: історія та визначення
Насправді це не зовсім правило Лопіталя, а правило Лопіталя-Бернуллі. Сформулював його швейцарський математик Йоганн Бернуллі, а француз Гійом Лопітальвперше опублікував у своєму підручнику нескінченно малих у славетному 1696 року. Уявляєте, як людям доводилося вирішувати межі з розкриттям невизначеностей перед тим, як це сталося? Ми – ні.
Перш ніж приступати до розбору правила Лопіталя, рекомендуємо прочитати вступну статтю про методи їх рішень. Часто у завданнях зустрічається формулювання: знайти межу, не використовуючи правило Лопіталя. Про прийоми, які допоможуть Вам у цьому, також читайте у нашій статті.
Якщо маєш справу з межами дробу двох функцій, будь готовий: скоро зустрінешся з невизначеністю виду 0/0 або нескінченність/нескінченність. Як це розуміти? У чисельнику і знаменнику вирази прагнуть нуля чи нескінченності. Що робити з такою межею, на перший погляд, зовсім незрозуміло. Однак, якщо застосувати правило Лопіталя і трохи подумати, все стає на свої місця.
Але сформулюємо правило Лопіталя-Бернуллі. Якщо бути точними, воно виражається теоремою. Правило Лопіталя, визначення:
Якщо дві функції диференціюються на околиці точки x=a звертаються в нуль у цій точці, і існує межа відношення похідних цих функцій, то при х що прагне до а існує межа відношення самих функцій, що дорівнює межі відносини похідних.
Запишемо формулу, і все одразу стане простіше. Правило Лопіталя, формула:
Оскільки нас цікавить практична сторона питання, не наводитимемо тут доказ цієї теореми. Вам доведеться або повірити нам на слово, або знайти його в будь-якому підручнику з математичного аналізу та переконається, що теорема вірна.
До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на
Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя
У розкритті яких невизначеностей може допомогти правило Лопіталя? Раніше ми говорили здебільшого про невизначеність 0/0 . Однак це далеко не єдина невизначеність, з якою можна зустрітись. Ось інші види невизначеностей:
Розглянемо перетворення, за допомогою яких можна привести ці невизначеності до виду 0/0 або нескінченність/нескінченність. Після перетворення можна буде застосовувати правило Лопіталя-Бернуллі та клацати приклади як горішки.
Невизначеність виду нескінченність/нескінченність зводиться до невизначеності виду 0/0 простим перетворенням:
Нехай є твір двох функцій, одна з яких перша прагнути нуля, а друга – нескінченності. Застосовуємо перетворення, і добуток нуля та нескінченності перетворюється на невизначеність 0/0 :
Для знаходження меж з невизначеністю типу нескінченність мінус нескінченність використовуємо наступне перетворення, що призводить до невизначеності 0/0 :
Для того, щоб користуватися правилом Лопіталя, потрібно вміти брати похідні. Наведемо таблицю похідних елементарних функцій, якою Ви зможете користуватися при вирішенні прикладів, а також правила обчислення похідних складних функцій:
Тепер перейдемо до прикладів.
Приклад 1
Знайти межу за правилом Лопіталя:
Приклад 2
Обчислити з використанням правила Лопіталя:
Важливий момент! Якщо межа других та наступних похідних функцій існує при х що прагне до а , то правило Лопіталя можна застосовувати кілька разів.
Знайдемо межу ( n – натуральне число). Для цього застосуємо правило Лопіталя n разів:
Бажаємо успіхів у освоєнні математичного аналізу. А якщо Вам знадобиться знайти межу, використовуючи правило Лопіталя, написати реферат за правилом Лопіталя, обчислити коріння диференціального рівнянняабо навіть розрахувати тензор інерції тіла, звертайтесь до наших авторів. Вони радо допоможуть розібратися в тонкощах рішення.