l'Hospital नियम के अनुसार सीमाएं समाधान के उदाहरण। ऑनलाइन फंक्शन लिमिट कैलकुलेशन
उभरी हुई आँखों वाली गौरैयों के झुंड की कल्पना करें। नहीं, यह गड़गड़ाहट नहीं है, तूफान नहीं है, और यहां तक कि एक छोटा लड़का भी नहीं है जिसके हाथों में गुलेल है। यह सिर्फ इतना है कि एक विशाल, विशाल तोप का गोला चूजों की मोटी में उड़ जाता है। बिल्कुल लोपिटल नियमउन सीमाओं से निपटें जिनमें अनिश्चितता है या .
L'Hopital के नियम एक बहुत ही शक्तिशाली तरीका है जो आपको इन अनिश्चितताओं को जल्दी और प्रभावी ढंग से समाप्त करने की अनुमति देता है, यह कोई संयोग नहीं है कि समस्याओं के संग्रह में, नियंत्रण कार्य, ऑफ़सेट, एक स्थिर स्टैम्प अक्सर पाया जाता है: "सीमा की गणना करें, एल अस्पताल के नियम का उपयोग किए बिना". बोल्ड टाइप में आवश्यकता को स्पष्ट विवेक के साथ पाठ की किसी भी सीमा के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है सीमाएं। समाधान उदाहरण, उल्लेखनीय सीमाएं. हल करने के तरीके सीमित करें, उल्लेखनीय तुल्यता, जहां अनिश्चितता "शून्य से शून्य" या "अनंत से अनंत" होती है। भले ही कार्य संक्षेप में तैयार किया गया हो - "सीमाओं की गणना करें", तो यह स्पष्ट रूप से समझा जाता है कि आप अपनी पसंद की किसी भी चीज़ का उपयोग करेंगे, लेकिन L'Hospital के नियमों का नहीं।
कुल मिलाकर दो नियम हैं, और वे एक-दूसरे से बहुत मिलते-जुलते हैं, दोनों ही सार में और जिस तरह से उन्हें लागू किया जाता है। विषय पर प्रत्यक्ष उदाहरणों के अलावा, हम अध्ययन करेंगे और अतिरिक्त सामग्री, जो आगे के अध्ययन के दौरान उपयोगी होगा गणितीय विश्लेषण.
मैं तुरंत आरक्षण कर दूंगा कि नियम संक्षिप्त "व्यावहारिक" रूप में दिए जाएंगे, और यदि आपको सिद्धांत पास करना है, तो मेरा सुझाव है कि आप अधिक कठोर गणनाओं के लिए पाठ्यपुस्तक की ओर रुख करें।
एल अस्पताल का पहला नियम
उन कार्यों पर विचार करें जो असीम रूप से छोटाकिन्हीं बिंदुओं पर। अगर उनके रिश्ते की कोई सीमा है, तो अनिश्चितता को खत्म करने के लिए हम ले सकते हैं दो डेरिवेटिव- अंश से और हर से। जिसमें: , वह है ।
टिप्पणी : सीमा भी मौजूद होनी चाहिए, अन्यथा नियम लागू नहीं होता है।
ऊपर से क्या होता है?
सबसे पहले, आपको खोजने में सक्षम होने की आवश्यकता है कार्यों के व्युत्पन्नऔर बेहतर, बेहतर =)
दूसरा, डेरिवेटिव को अंश से अलग और हर से अलग से लिया जाता है। कृपया भागफल के विभेदीकरण के नियम से भ्रमित न हों !!!
और, तीसरा, "x" अनंत सहित कहीं भी प्रवृत्त हो सकता है - यदि केवल अनिश्चितता थी।
आइए पहले लेख के उदाहरण 5 पर वापस जाएं सीमा के बारे में, जिसने निम्नलिखित परिणाम दिया:
अनिश्चितता 0:0 के लिए, हम L'Hospital का पहला नियम लागू करते हैं:
जैसा कि आप देख सकते हैं, अंश और हर के अंतर ने हमें आधे मोड़ के साथ उत्तर की ओर अग्रसर किया: हमें दो सरल व्युत्पन्न मिले, उनमें "दो" को प्रतिस्थापित किया गया, और यह पता चला कि अनिश्चितता बिना किसी निशान के गायब हो गई!
यह असामान्य नहीं है जब L'Hopital के नियमों को क्रमिक रूप से दो या लागू करना पड़ता है बड़ी मात्राटाइम्स (यह दूसरे नियम पर भी लागू होता है)। आइए इसे एक रेट्रो शाम के लिए निकालें उदाहरण 2 पाठ अद्भुत सीमाओं के बारे में:
दो बैगेल चारपाई पर फिर से ठिठुर रहे हैं। आइए L'Hospital का नियम लागू करें:
कृपया ध्यान दें कि पहले चरण में हर लिया जाता है एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न. उसके बाद, हम कई मध्यवर्ती सरलीकरण करते हैं, विशेष रूप से, हम कोसाइन से छुटकारा पाते हैं, यह दर्शाता है कि यह एकता की ओर जाता है। अनिश्चितता को समाप्त नहीं किया गया है, इसलिए हम L'Hopital नियम को फिर से लागू करते हैं (दूसरी पंक्ति)।
मैंने विशेष रूप से आपके लिए थोड़ा आत्म-परीक्षण करने के लिए सबसे आसान उदाहरण नहीं चुना। यदि यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि वे कैसे पाए गए डेरिवेटिव, आपको अपनी विभेदन तकनीक को मजबूत करना चाहिए, यदि आप कोसाइन ट्रिक को नहीं समझते हैं, तो कृपया वापस जाएं अद्भुत सीमाएं. मैं चरण-दर-चरण टिप्पणियों में अधिक बिंदु नहीं देखता, क्योंकि मैंने पहले ही डेरिवेटिव और सीमाओं के बारे में पर्याप्त विस्तार से बात की है। लेख की नवीनता स्वयं नियमों और कुछ तकनीकी समाधानों में निहित है।
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, ज्यादातर मामलों में L'Hopital के नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन अक्सर समाधान की किसी न किसी जांच के लिए उनका उपयोग करने की सलाह दी जाती है। अक्सर, लेकिन हमेशा नहीं। इसलिए, उदाहरण के लिए, उस उदाहरण की जांच करना अधिक लाभदायक है जिसे अभी उपयोग करने पर विचार किया गया है अद्भुत समकक्ष.
ल'अस्पताल का दूसरा नियम
भाई-2 दो सोते हुए आठों से लड़ता है। इसी तरह:
रिश्तों की सीमा हो तो असीम रूप से बड़ाफलन बिंदु पर: , तो अनिश्चितता को समाप्त करने के लिए, हम ले सकते हैं दो व्युत्पन्न- अंश से अलग करें और हर से अलग करें। जिसमें: , वह है अंश और हर में अंतर करते समय, सीमा का मान नहीं बदलता है.
टिप्पणी : सीमा मौजूद होनी चाहिए
फिर से, विभिन्न . में व्यावहारिक उदाहरण मूल्य अलग हो सकता हैअनंत सहित। यह महत्वपूर्ण है कि अनिश्चितता हो।
आइए पहले पाठ का उदाहरण #3 देखें: . हम L'Hospital के दूसरे नियम का उपयोग करते हैं:
चूंकि हम दिग्गजों के बारे में बात कर रहे हैं, आइए दो विहित सीमाओं का विश्लेषण करें:
उदाहरण 1
सीमा की गणना करें
"साधारण" विधियों द्वारा उत्तर प्राप्त करना आसान नहीं है, इसलिए, अनिश्चितता "अनंत से अनंत" को प्रकट करने के लिए, हम L'Hopital नियम का उपयोग करते हैं:
इस तरह, रैखिक प्रकार्यएक से अधिक आधार वाले लघुगणक की तुलना में वृद्धि का एक उच्च क्रम( आदि।)। बेशक, उच्च शक्तियों में "x" भी ऐसे लघुगणक को "खींच" देगा। वास्तव में, फलन काफी धीमी गति से बढ़ता है और इसका अनुसूचीसमान "x" के सापेक्ष अधिक कोमल है।
उदाहरण 2
सीमा की गणना करें
एक और फीका फ्रेम। अनिश्चितता को खत्म करने के लिए, हम L'Hopital नियम का उपयोग करते हैं, इसके अलावा, लगातार दो बार:
घातांक प्रकार्य, एक से अधिक आधार के साथ( आदि।) की तुलना में विकास का उच्च क्रम ऊर्जा समीकरणसकारात्मक डिग्री के साथ.
इसी तरह की सीमाओं का सामना करना पड़ता है पूर्ण कार्य अध्ययन, अर्थात्, खोजते समय रेखांकन का स्पर्शोन्मुख. कुछ टास्क में ये भी नजर आते हैं सिद्धांत संभावना. मैं आपको दो उदाहरणों पर विचार करने की सलाह देता हूं, यह उन कुछ मामलों में से एक है जब अंश और हर को अलग करने से बेहतर कुछ नहीं है।
आगे पाठ में, मैं L'Hopital के पहले और दूसरे नियम के बीच अंतर नहीं करूँगा, यह केवल लेख की संरचना के उद्देश्य से किया गया था। सामान्य तौर पर, मेरे दृष्टिकोण से, यह अधिक संख्या वाले गणितीय स्वयंसिद्धों, प्रमेयों, नियमों, गुणों के लिए कुछ हद तक हानिकारक है, क्योंकि "प्रमेय 19 के अनुसार कोरोलरी 3 के अनुसार ..." जैसे वाक्यांश केवल एक के ढांचे के भीतर सूचनात्मक हैं। या कोई अन्य पाठ्यपुस्तक। सूचना के एक अन्य स्रोत में, वही "अनुपालन 2 और प्रमेय 3" होगा। इस तरह के बयान केवल लेखकों के लिए ही औपचारिक और सुविधाजनक होते हैं। आदर्श रूप से, गणितीय तथ्य के सार को संदर्भित करना बेहतर है। अपवाद ऐतिहासिक रूप से स्थापित शब्द हैं, उदाहरण के लिए, पहली अद्भुत सीमाया दूसरी अद्भुत सीमा.
हम उस विषय को विकसित करना जारी रखते हैं, जिसे पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य, मार्क्विस गुइल्यूम फ्रेंकोइस डी लोपिटल ने हमारे सामने रखा था। लेख एक स्पष्ट व्यावहारिक रंग प्राप्त करता है और काफी सामान्य कार्य में इसकी आवश्यकता होती है:
वार्म अप करने के लिए, आइए कुछ छोटी गौरैयों से निपटें:
उदाहरण 3
कोसाइन से छुटकारा पाकर सीमा को प्रारंभिक रूप से सरल बनाया जा सकता है, लेकिन हम इस शर्त के लिए सम्मान दिखाएंगे और तुरंत अंश और हर में अंतर करेंगे:
व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया में, गैर-मानक कुछ भी नहीं है, उदाहरण के लिए, सामान्य भाजक का उपयोग किया जाता है विभेदीकरण नियमकाम करता है .
माना गया उदाहरण नष्ट हो जाता है और अद्भुत सीमाएं, इसी तरह के एक मामले पर लेख कॉम्प्लेक्स लिमिट्स के अंत में चर्चा की गई है।
उदाहरण 4
एल अस्पताल के नियम के अनुसार सीमा की गणना करें
यह स्वयं का उदाहरण है। अच्छा मजाक =)
एक विशिष्ट स्थिति तब होती है, जब विभेदन के बाद, तीन या चार मंजिला भिन्न प्राप्त होते हैं:
उदाहरण 5
L'Hospital के नियम का उपयोग करके सीमा की गणना करें
आवेदन के लिए भीख मांगना उल्लेखनीय तुल्यता, लेकिन पथ शर्त द्वारा हार्ड-कोडित है:
विभेदीकरण के बाद, मैं बहु-मंजिला अंश से छुटकारा पाने और अधिकतम सरलीकरण करने की दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं. बेशक, अधिक उन्नत छात्र छोड़ सकते हैं अंतिम चरणऔर तुरंत लिखें: , लेकिन कुछ सीमाओं में उत्कृष्ट छात्र भी भ्रमित हो जाएंगे।
उदाहरण 6
L'Hospital के नियम का उपयोग करके सीमा की गणना करें
उदाहरण 7
L'Hospital के नियम का उपयोग करके सीमा की गणना करें
ये स्वयं सहायता उदाहरण हैं। उदाहरण 7 में, आप किसी भी चीज़ को सरल नहीं कर सकते, भिन्न में अंतर करने पर यह बहुत सरल हो जाती है। लेकिन उदाहरण 8 में, L'Hopital नियम को लागू करने के बाद, तीन मंजिला संरचना से छुटकारा पाना अत्यधिक वांछनीय है, क्योंकि गणना सबसे सुविधाजनक नहीं होगी। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। अगर आपको कोई परेशानी है - त्रिकोणमितीय तालिकाकी मदद।
और, सरलीकरण नितांत आवश्यक है, जब विभेदीकरण के बाद, अनिश्चितता सफाया नहीं.
उदाहरण 8
L'Hospital के नियम का उपयोग करके सीमा की गणना करें
जाओ:
दिलचस्प बात यह है कि पहले भेदभाव के बाद की प्रारंभिक अनिश्चितता अनिश्चितता में बदल गई, और L'Hôpital का नियम आगे भी लागू होता है। यह भी ध्यान दें कि प्रत्येक "दृष्टिकोण" के बाद चार मंजिला अंश कैसे समाप्त हो जाता है, और स्थिरांक को सीमा चिह्न से बाहर कर दिया जाता है। अधिक में सरल उदाहरणस्थिरांक न निकालना अधिक सुविधाजनक है, लेकिन जब सीमा जटिल होती है, तो हम सब कुछ-सब कुछ-सब कुछ सरल कर देते हैं। हल किए गए उदाहरण की कपटपूर्णता इस तथ्य में भी निहित है कि जब लेकिन, इसलिए, साइनस को खत्म करने के दौरान, संकेतों में भ्रमित होना आश्चर्यजनक नहीं है। अंतिम पंक्ति में, साइनस को नहीं मारा जा सकता था, लेकिन उदाहरण बल्कि भारी, क्षम्य है।
दूसरे दिन मेरे सामने एक दिलचस्प काम आया:
उदाहरण 9
सच कहूं तो मुझे थोड़ा शक हुआ कि यह सीमा किसके बराबर होगी। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, "x" अधिक है उच्च स्तरलघुगणक की तुलना में वृद्धि, लेकिन क्या यह घन लघुगणक से अधिक होगा? कौन जीतेगा, यह खुद जानने की कोशिश करें।
हाँ, ल'होपिटल के नियम न केवल तोप से गौरैयों पर गोली चलाना है, बल्कि श्रमसाध्य कार्य भी है ....
बैगेल्स या थके हुए आठों पर ल'होपिटल के नियमों को लागू करने के लिए, फॉर्म की अनिश्चितता कम हो जाती है।
अनिश्चितता से निपटने के बारे में पाठ के उदाहरण #9-13 में विस्तार से चर्चा की गई है। हल करने के तरीके सीमित करें. आइए इसके लिए एक और लें:
उदाहरण 10
L'Hopital के नियम का उपयोग करके किसी फलन की सीमा ज्ञात कीजिए
पहले चरण में, हम व्यंजक को एक सामान्य हर में लाते हैं, जिससे अनिश्चितता अनिश्चितता में बदल जाती है। और फिर हम L'Hopital नियम को चार्ज करते हैं:
यहाँ, वैसे, यह मामला है जब चार मंजिला अभिव्यक्ति को छूना व्यर्थ है।
अनिश्चितता भी या में बदलने का विरोध नहीं करती है:
उदाहरण 11
L'Hopital के नियम का उपयोग करके किसी फलन की सीमा ज्ञात कीजिए
यहां सीमा एकतरफा है, और इस तरह की सीमाओं पर पहले ही मैनुअल में चर्चा की जा चुकी है कार्यों के रेखांकन और गुण. जैसा कि आपको याद है, "शास्त्रीय" लघुगणक का ग्राफ अक्ष के बाईं ओर मौजूद नहीं है, इसलिए हम केवल दाईं ओर से शून्य तक पहुंच सकते हैं।
L'Hôpital के एक तरफा सीमा के नियम काम करते हैं, लेकिन अनिश्चितता से पहले निपटने की जरूरत है। पहले चरण में, हम अनिश्चितता प्राप्त करते हुए अंश को तीन मंजिला बनाते हैं, फिर समाधान टेम्पलेट योजना का अनुसरण करता है:
अंश और हर में अंतर करने के बाद, हम सरलीकरण करने के लिए चार मंजिला अंश से छुटकारा पाते हैं। नतीजतन, अनिश्चितता सामने आई। हम चाल को दोहराते हैं: हम फिर से भिन्न को तीन मंजिला बनाते हैं और परिणामी अनिश्चितता पर फिर से L'Hopital नियम लागू करते हैं:
तैयार।
कोई प्रारंभिक सीमा को दो डोनट्स तक कम करने का प्रयास कर सकता है:
लेकिन, सबसे पहले, हर में व्युत्पन्न अधिक कठिन है, और दूसरी बात, इससे कुछ भी अच्छा नहीं होगा।
इस तरह, समान उदाहरणों को हल करने से पहले, आपको विश्लेषण करने की आवश्यकता है(मौखिक रूप से या मसौदे पर) किस अनिश्चितता को कम करना अधिक लाभदायक है - "शून्य से शून्य" या "अनंत से अनंत" तक।
बदले में, पीने वाले साथी और अधिक विदेशी साथियों को प्रकाश में खींच लिया जाता है। परिवर्तन विधि सरल और मानक है।
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गणितीय विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है कार्य सीमातथा अनुक्रम सीमाएक बिंदु पर और अनंत पर, सही ढंग से हल करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है सीमाएं. हमारी सेवा के साथ यह मुश्किल नहीं होगा। एक निर्णय किया जा रहा है सीमा ऑनलाइनसेकंड के भीतर, उत्तर सटीक और पूर्ण है। पथरी का अध्ययन शुरू होता है सीमा के लिए मार्ग, सीमाएंउच्च गणित के लगभग सभी वर्गों में उपयोग किया जाता है, इसलिए सर्वर को हाथ में रखना उपयोगी होता है समाधान ऑनलाइन सीमित करेंजो साइट है।
हमने पहले ही सीमाओं और उनके समाधान से निपटना शुरू कर दिया है। आइए तेजी से पीछा करते रहें और सीमाओं के समाधान से निपटें ल'होपिटल के नियम के अनुसार. इस सरल नियमउच्च गणित और गणितीय विश्लेषण में परीक्षाओं के उदाहरणों में शिक्षकों द्वारा उपयोग किए जाने वाले कपटी और कठिन जाल से बाहर निकलने में आपकी मदद करने में सक्षम है। L'Hopital के नियम द्वारा समाधान सरल और तेज़ है। मुख्य बात अंतर करने में सक्षम होना है।
ल'होपिटल का नियम: इतिहास और परिभाषा
वास्तव में, यह बिल्कुल L'Hopital का नियम नहीं है, बल्कि नियम है ल'अस्पताल-बर्नौली. एक स्विस गणितज्ञ द्वारा तैयार किया गया जोहान बर्नौली, और फ्रेंच गिलौम लोपिटालपहली बार उनकी पाठ्यपुस्तक में इनफिनिटिमल्स इन द ग्लोरियस में प्रकाशित हुआ 1696 साल। क्या आप कल्पना कर सकते हैं कि ऐसा होने से पहले लोगों को अनिश्चितताओं के प्रकटीकरण के साथ सीमाओं को कैसे सुलझाना पड़ा? हम नहीँ हे।
एल अस्पताल नियम के विश्लेषण के साथ आगे बढ़ने से पहले, हम उन्हें हल करने के तरीकों के बारे में परिचयात्मक लेख पढ़ने की सलाह देते हैं। अक्सर कार्यों में एक शब्द होता है: L'Hopital नियम का उपयोग किए बिना सीमा का पता लगाएं। आप हमारे लेख में उन तकनीकों के बारे में भी पढ़ सकते हैं जो इसमें आपकी मदद करेंगी।
यदि आप दो कार्यों के एक अंश की सीमाओं से निपट रहे हैं, तो तैयार रहें: आप जल्द ही फॉर्म 0/0 या अनंत/अनंत की अनिश्चितता से मिलेंगे। इसका क्या मतलब है? अंश और हर में, व्यंजक शून्य या अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं। पहली नज़र में ऐसी सीमा का क्या करना है, यह पूरी तरह से समझ से बाहर है। हालाँकि, यदि आप L'Hopital के नियम को लागू करते हैं और थोड़ा सोचते हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है।
लेकिन आइए L'Hospital-बर्नौली नियम तैयार करें। पूरी तरह से सटीक होने के लिए, यह एक प्रमेय द्वारा व्यक्त किया जाता है। एल अस्पताल का नियम, परिभाषा:
यदि किसी बिंदु के पड़ोस में दो कार्य अवकलनीय हैं एक्स = ए इस बिंदु पर गायब हो जाते हैं, और इन कार्यों के डेरिवेटिव के अनुपात की एक सीमा होती है, फिर के लिए एक्स के इच्छुक एक स्वयं कार्यों के अनुपात की एक सीमा होती है, जो कि व्युत्पन्नों के अनुपात की सीमा के बराबर होती है।
आइए सूत्र लिखें, और सब कुछ तुरंत आसान हो जाएगा। ल'होपिटल का नियम, सूत्र:
चूँकि हम मुद्दे के व्यावहारिक पक्ष में रुचि रखते हैं, हम यहाँ इस प्रमेय का प्रमाण प्रस्तुत नहीं करेंगे। आपको या तो इसके लिए हमारा शब्द लेना होगा, या इसे किसी कैलकुलस पाठ्यपुस्तक में खोजना होगा और सुनिश्चित करना होगा कि प्रमेय सही है।
वैसे! हमारे पाठकों के लिए अब 10% की छूट है
एल अस्पताल के नियम के अनुसार अनिश्चितताओं का प्रकटीकरण
L'Hospital का नियम किन अनिश्चितताओं को उजागर करने में मदद कर सकता है? पहले हम मुख्य रूप से अनिश्चितता के बारे में बात करते थे 0/0 . हालांकि, यह एकमात्र अनिश्चितता से दूर है जिसका सामना किया जा सकता है। यहाँ अन्य प्रकार की अनिश्चितताएँ हैं:
आइए उन परिवर्तनों पर विचार करें जिनका उपयोग इन अनिश्चितताओं को 0/0 या अनंत/अनंत के रूप में लाने के लिए किया जा सकता है। परिवर्तन के बाद, L'Hospital-बर्नौली नियम लागू करना और नट्स जैसे उदाहरणों पर क्लिक करना संभव होगा।
प्रजाति अनिश्चितता अनंत/अनंत फॉर्म की अनिश्चितता को कम करता है 0/0 सरल परिवर्तन:
दो कार्यों का एक उत्पाद होने दें, जिनमें से पहला शून्य पर जाता है, और दूसरा - अनंत तक। हम परिवर्तन लागू करते हैं, और शून्य और अनंत का गुणनफल अनिश्चितता में बदल जाता है 0/0 :
प्रकार की अनिश्चितताओं के साथ सीमाएं खोजने के लिए इन्फिनिटी माइनस इन्फिनिटी हम अनिश्चितता की ओर ले जाने वाले निम्नलिखित परिवर्तन का उपयोग करते हैं: 0/0 :
L'Hopital के नियम का उपयोग करने के लिए, आपको डेरिवेटिव लेने में सक्षम होना चाहिए। नीचे प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की एक तालिका है जिसका उपयोग आप उदाहरणों को हल करते समय कर सकते हैं, साथ ही जटिल कार्यों के डेरिवेटिव की गणना के लिए नियम:
अब आइए उदाहरणों पर चलते हैं।
उदाहरण 1
L'Hospital के नियम द्वारा सीमा ज्ञात कीजिए:
उदाहरण 2
एल अस्पताल के नियम का उपयोग करके गणना करें:
महत्वपूर्ण बिंदु! यदि कार्यों के दूसरे और बाद के डेरिवेटिव की सीमा मौजूद है एक्स के इच्छुक एक , तो L'Hopital का नियम कई बार लागू किया जा सकता है।
आइए जानें सीमा ( एन – प्राकृतिक संख्या) ऐसा करने के लिए, L'Hospital का नियम लागू करें एन एक बार:
हम आपको गणितीय विश्लेषण में महारत हासिल करने के लिए शुभकामनाएं देते हैं। और यदि आपको L'Hopital नियम का उपयोग करके सीमा ज्ञात करने की आवश्यकता है, L'Hopital नियम के अनुसार एक सार लिखें, जड़ों की गणना करें अंतर समीकरणया यहां तक कि एक शरीर की जड़ता टेंसर की गणना करें, कृपया हमारे लेखकों से संपर्क करें। समाधान की पेचीदगियों का पता लगाने में आपकी मदद करने में उन्हें खुशी होगी।