किसी फ़ंक्शन की सीमा दो उल्लेखनीय सीमाएँ हैं। ऑनलाइन कैलकुलेटर। हल करने की सीमा
सबूत:
आइए हम पहले अनुक्रम के मामले के लिए प्रमेय को सिद्ध करें 
न्यूटन के द्विपद सूत्र के अनुसार:
मान लीजिए हमें मिलता है
इस समानता (1) से यह पता चलता है कि जैसे-जैसे n बढ़ता है, दाईं ओर धनात्मक पदों की संख्या बढ़ती है। इसके अलावा, जैसे-जैसे n बढ़ता है, संख्या घटती जाती है, इसलिए मात्राएँ 
बढ़ोतरी। इसलिए क्रम 
बढ़ रहा है, जबकि (2)* आइए दिखाते हैं कि यह परिबद्ध है। आइए समानता के दाईं ओर प्रत्येक कोष्ठक को एक से बदलें, दाहिना भागबढ़ता है, हमें असमानता मिलती है
हम परिणामी असमानता को मजबूत करते हैं, 3,4,5 को प्रतिस्थापित करते हैं, ..., अंशों के हर में खड़े होकर, संख्या 2 के साथ: हम शब्दों के योग के सूत्र का उपयोग करके कोष्ठक में योग पाते हैं ज्यामितीय अनुक्रम: इसीलिए 
(3)*
इस प्रकार, अनुक्रम ऊपर से घिरा हुआ है, जबकि असमानताएँ (2) और (3) हैं: 
इसलिए, वीयरस्ट्रास प्रमेय (अनुक्रम के अभिसरण के लिए एक मानदंड) के आधार पर, अनुक्रम 
नीरस रूप से बढ़ता है और बंधा हुआ है, जिसका अर्थ है कि इसकी एक सीमा है, जिसे अक्षर ई द्वारा दर्शाया गया है। वे। 
यह जानते हुए कि x के प्राकृतिक मूल्यों के लिए दूसरी उल्लेखनीय सीमा सत्य है, हम वास्तविक x के लिए दूसरी उल्लेखनीय सीमा सिद्ध करते हैं, अर्थात हम यह सिद्ध करते हैं कि 
. दो मामलों पर विचार करें:
1. मान लीजिए कि x का प्रत्येक मान दो धनात्मक पूर्णांकों के बीच परिबद्ध है: , जहाँ है पूरा हिस्साएक्स। => =>
यदि, तो इसलिए, सीमा के अनुसार 
अपने पास
साइन द्वारा (सीमा के बारे में मध्यवर्ती समारोह) सीमाओं का अस्तित्व 
2. चलो । आइए एक प्रतिस्थापन करें - x = t, फिर
इन दो मामलों से यह इस प्रकार है 
असली एक्स के लिए
नतीजे:
9 .) इनफिनिटिमल्स की तुलना। लिमिट में इनफिनिटिमल्स को समकक्ष वाले द्वारा बदलने पर प्रमेय और इनफिनिटिमल्स के प्रमुख भाग पर प्रमेय।
माना फलन a( एक्स) और बी( एक्स) - बी.एम. पर एक्स ® एक्स 0 .
परिभाषाएँ।
1) एक ( एक्स) बुलाया असीम रूप से छोटा अधिक उच्च स्तरकैसे बी (एक्स) अगर
नीचे लिखें: ए ( एक्स) = ओ (बी ( एक्स)) .
2) एक ( एक्स) औरबी( एक्स)बुलाया एक ही क्रम के अनंत, अगर
जहां सीℝ और सी¹ 0 .
नीचे लिखें: ए ( एक्स) = हे(बी( एक्स)) .
3) एक ( एक्स) औरबी( एक्स) बुलाया बराबर , अगर
नीचे लिखें: ए ( एक्स) ~ बी ( एक्स).
4) एक ( एक्स) के संबंध में एक अपरिमेय क्रम k कहा जाता है
बहुत ही अपरिमेयबी( एक्स),
यदि अतिसूक्ष्मए( एक्स)और(बी( एक्स)) क एक ही क्रम है, अर्थात् अगर
जहां सीℝ और सी¹ 0 .
प्रमेय 6 (इनफिनिटिमल्स के समतुल्य द्वारा प्रतिस्थापन पर)।
होने देनाए( एक्स), बी( एक्स), एक 1 ( एक्स), बी 1 ( एक्स)- बी.एम. एक्स पर ® एक्स 0 . अगरए( एक्स) ~ एक 1 ( एक्स), बी( एक्स) ~ बी 1 ( एक्स),
वह 
उपपत्ति : मान लीजिए a( एक्स) ~ एक 1 ( एक्स), बी( एक्स) ~ बी 1 ( एक्स), तब
प्रमेय 7 (असीम रूप से छोटे के मुख्य भाग के बारे में)।
होने देनाए( एक्स)औरबी( एक्स)- बी.एम. एक्स पर ® एक्स 0 , औरबी( एक्स)- बी.एम. से उच्च क्रमए( एक्स).
= , ए चूंकि बी ( एक्स) - एक से उच्च क्रम ( एक्स), फिर, यानी 
से यह स्पष्ट है कि ए ( एक्स) + बी ( एक्स) ~ ए ( एक्स)
10) एक बिंदु पर कार्य निरंतरता (एप्सिलॉन-डेल्टा सीमा, ज्यामितीय की भाषा में) एक तरफा निरंतरता। एक खंड पर, एक अंतराल पर निरंतरता। निरंतर कार्यों के गुण।
1. मूल परिभाषाएँ
होने देना एफ(एक्स) बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है एक्स 0 .
परिभाषा 1। समारोह च(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 यदि समानता सत्य है
टिप्पणियां.
1) §3 के प्रमेय 5 के अनुसार, समानता (1) को इस रूप में लिखा जा सकता है
शर्त (2) - एक तरफा सीमा की भाषा में एक बिंदु पर एक समारोह की निरंतरता की परिभाषा.
2) समानता (1) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
वे कहते हैं: "यदि कोई कार्य किसी बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 है, तो सीमा के चिह्न और फलन को आपस में बदला जा सकता है।
परिभाषा 2 (भाषा ई-डी में)।
समारोह च(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 अगर"ई>0 $d>0 ऐसा, क्या
अगर एक्सओ यू ( एक्स 0, डी) (यानी, | एक्स – एक्स 0 | < d),
फिर एफ(एक्स) ओ यू ( एफ(एक्स 0), ई) (यानी | एफ(एक्स) – एफ(एक्स 0) | < e).
होने देना एक्स, एक्स 0 Î डी(एफ) (एक्स 0 - निश्चित, एक्स-मनमाना)
निरूपित करें: डी एक्स= एक्स-एक्स 0 – तर्क वृद्धि
डी एफ(एक्स 0) = एफ(एक्स) – एफ(एक्स 0) – बिंदु x पर कार्य वृद्धि 0
परिभाषा 3 (ज्यामितीय)।
समारोह च(एक्स) पर बुलाया एक बिंदु पर निरंतर
एक्स 0
यदि इस बिंदु पर तर्क की एक अतिसूक्ष्म वृद्धि फ़ंक्शन की एक अतिसूक्ष्म वृद्धि से मेल खाती है, अर्थात।
समारोह होने दें एफ(एक्स) अंतराल पर परिभाषित किया गया है [ एक्स 0 ; एक्स 0 + डी) (अंतराल पर ( एक्स 0 - डी; एक्स 0 ]).
परिभाषा। समारोह च(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर
एक्स 0 दायी ओर
(बाएं
), यदि समानता सत्य है
जाहिर है कि एफ(एक्स) बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 Û एफ(एक्स) बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 दाएँ और बाएँ।
परिभाषा। समारोह च(एक्स) बुलाया निरंतर प्रति अंतराल इ ( ए; बी) अगर यह इस अंतराल के हर बिंदु पर निरंतर है.
समारोह च(एक्स) खंड पर निरंतर कहा जाता है [ए; बी] अगर यह अंतराल पर निरंतर है (ए; बी) और सीमा बिंदुओं पर एकतरफा निरंतरता है(यानी बिंदु पर निरंतर एसही, बिंदु बी- बाईं तरफ)।
11) विराम बिंदु, उनका वर्गीकरण
परिभाषा। अगर समारोह एफ(एक्स) बिंदु x के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है 0 , लेकिन उस बिंदु पर निरंतर नहीं है एफ(एक्स) बिंदु x पर विच्छिन्न कहा जाता है 0 , लेकिन बिंदु एक्स 0 ब्रेकिंग पॉइंट कहा जाता है कार्य एफ(एक्स) .
टिप्पणियां.
1) एफ(एक्स) बिंदु के अधूरे पड़ोस में परिभाषित किया जा सकता है एक्स 0 .
फिर फ़ंक्शन की संगत एकतरफा निरंतरता पर विचार करें।
2) z की परिभाषा से, बिंदु एक्स 0 फ़ंक्शन का विराम बिंदु है एफ(एक्स) दो मामलों में:
ए) यू ( एक्स 0 , डी)एन डी(एफ) , लेकिन के लिए एफ(एक्स) समानता संतुष्ट नहीं है
बी) यू * ( एक्स 0 , डी)एन डी(एफ) .
प्रारंभिक कार्यों के लिए, केवल स्थिति b) संभव है।
होने देना एक्स 0 - फ़ंक्शन का विराम बिंदु एफ(एक्स) .
परिभाषा। बिंदु एक्स 0 बुलाया अत्यंत तनावग्रस्त स्थिति मैं दयालु अगर समारोह एफ(एक्स)इस बिंदु पर बाएँ और दाएँ पर परिमित सीमाएँ हैं.
यदि, इसके अलावा, ये सीमाएँ समान हैं, तो बिंदु x 0 बुलाया विराम बिंदु , अन्यथा - कूदने का बिंदु .
परिभाषा। बिंदु एक्स 0 बुलाया अत्यंत तनावग्रस्त स्थिति द्वितीय दयालु यदि फ़ंक्शन f की एकतरफा सीमाओं में से कम से कम एक(एक्स)इस बिंदु पर बराबर है¥ या मौजूद नहीं है.
12) एक खंड पर निरंतर कार्यों के गुण (वीयरस्ट्रैस (बिना प्रमाण के) और कॉची के प्रमेय
वीयरस्ट्रास प्रमेय
फलन f(x) को खंड पर निरंतर होने दें, फिर
1)f(x) तक सीमित है
2)f(x) अंतराल पर इसका सबसे छोटा मान लेता है और उच्चतम मूल्य
परिभाषा: किसी x ∈ D(f) के लिए फलन m=f का मान न्यूनतम कहलाता है यदि m≤f(x)।
किसी भी x ∈ D(f) के लिए m≥f(x) होने पर फलन m=f का मान अधिकतम कहलाता है।
फ़ंक्शन सेगमेंट के कई बिंदुओं पर सबसे छोटा \ सबसे बड़ा मान ले सकता है।
f(x 3)=f(x 4)=अधिकतम
कॉची की प्रमेय।
फलन f(x) को खंड पर निरंतर होने दें और x f(a) और f(b) के बीच संलग्न संख्या हो, तो कम से कम एक बिंदु x 0 € ऐसा है कि f(x 0)= g
यह लेख: "द सेकेंड रिमार्केबल लिमिट" प्रजातियों की अनिश्चितताओं के भीतर प्रकटीकरण के लिए समर्पित है:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ और $ ^\infty $।
साथ ही, इस तरह की अनिश्चितताओं को घातीय-शक्ति फ़ंक्शन के लघुगणक का उपयोग करके प्रकट किया जा सकता है, लेकिन यह एक अन्य समाधान विधि है, जिसे किसी अन्य लेख में शामिल किया जाएगा।
सूत्र और परिणाम
FORMULAदूसरा अद्भुत सीमाइस प्रकार लिखा जाता है: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( जहाँ ) e \लगभग 2.718 $$
सूत्र से अनुसरण करें नतीजे, जो सीमा के साथ उदाहरणों को हल करने के लिए बहुत सुविधाजनक हैं: k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दूसरी उल्लेखनीय सीमा हमेशा एक घातीय-शक्ति समारोह पर लागू नहीं की जा सकती है, लेकिन केवल उन मामलों में जहां आधार एकता की ओर जाता है। ऐसा करने के लिए, पहले मन में आधार की सीमा की गणना करें और फिर निष्कर्ष निकालें। यह सब उदाहरण समाधान में चर्चा की जाएगी।
समाधान उदाहरण
प्रत्यक्ष सूत्र और उसके परिणामों का उपयोग करके समाधानों के उदाहरणों पर विचार करें। हम उन मामलों का भी विश्लेषण करेंगे जिनमें सूत्र की आवश्यकता नहीं है। केवल तैयार उत्तर लिखना ही काफी है।
| उदाहरण 1 |
| सीमा $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ खोजें |
| समाधान |
|
अनंत को सीमा में प्रतिस्थापित करना और अनिश्चितता को देखते हुए: \frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ आधार की सीमा ज्ञात कीजिए: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac( 4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ हमें एक के बराबर आधार मिला है, जिसका अर्थ है कि आप पहले से ही दूसरी अद्भुत सीमा लागू कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन के आधार को घटाकर और एक जोड़कर सूत्र में फ़िट करेंगे: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ हम दूसरे परिणाम को देखते हैं और उत्तर लिखते हैं: $$ \lim_(x\to\infty) \big(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = ई $$ यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते हैं, तो उसे हमें भेजें। हम प्रदान करेंगे विस्तृत समाधान. आप गणना की प्रगति से खुद को परिचित कर सकेंगे और जानकारी एकत्र कर सकेंगे। इससे आपको समय पर शिक्षक से क्रेडिट प्राप्त करने में मदद मिलेगी! |
| उत्तर |
| $$ \lim_(x\to\infty) \big(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = ई $$ |
| उदाहरण 4 |
| हल सीमा $ |
| समाधान |
|
हम आधार की सीमा पाते हैं और देखते हैं कि $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, इसलिए हम दूसरी अद्भुत सीमा लागू कर सकते हैं। एक मानक के रूप में, योजना के अनुसार, हम डिग्री के आधार से एक को जोड़ते और घटाते हैं: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ हम दूसरे नोट के सूत्र के तहत अंश को समायोजित करते हैं। सीमा: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ अब डिग्री एडजस्ट करें। घातांक में आधार $ \frac(3x^2-2)(6) $ के हर के बराबर एक अंश होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, डिग्री को इससे गुणा और विभाजित करें, और हल करना जारी रखें: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ पर शक्ति में स्थित सीमा है: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $। इसलिए, हमारे पास जो समाधान है उसे जारी रखें: |
| उत्तर |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
आइए उन मामलों का विश्लेषण करें जब समस्या दूसरी उल्लेखनीय सीमा के समान है, लेकिन इसके बिना हल हो जाती है।
लेख में: "दूसरी उल्लेखनीय सीमा: समाधान के उदाहरण", सूत्र का विश्लेषण किया गया, इसके परिणाम और इस विषय पर लगातार प्रकार की समस्याएं दी गईं।
उपरोक्त लेख से आप जान सकते हैं कि सीमा क्या है और इसके साथ क्या खाया जाता है - यह बहुत महत्वपूर्ण है। क्यों? आप समझ नहीं सकते कि निर्धारक क्या हैं और उन्हें सफलतापूर्वक हल करें, हो सकता है कि आप यह न समझें कि व्युत्पन्न क्या है और उन्हें "पांच" पर खोजें। लेकिन अगर आप यह नहीं समझते हैं कि सीमा क्या है, तो व्यावहारिक कार्यों को हल करना कठिन हो जाएगा। साथ ही, निर्णयों के डिजाइन के नमूने और डिजाइन के लिए मेरी सिफारिशों के साथ खुद को परिचित करना अनिवार्य नहीं होगा। सभी सूचनाओं को सरल और सुलभ तरीके से प्रस्तुत किया गया है।
और इस पाठ के प्रयोजनों के लिए, हमें निम्नलिखित पद्धति संबंधी सामग्रियों की आवश्यकता है: उल्लेखनीय सीमाएँऔर त्रिकोणमितीय सूत्र. उन्हें पेज पर पाया जा सकता है। मैनुअल प्रिंट करना सबसे अच्छा है - यह बहुत अधिक सुविधाजनक है, इसके अलावा, उन्हें अक्सर ऑफ़लाइन एक्सेस करना पड़ता है।
अद्भुत सीमाओं के बारे में उल्लेखनीय क्या है? इन सीमाओं की उल्लेखनीयता इस तथ्य में निहित है कि वे प्रसिद्ध गणितज्ञों के महानतम दिमागों द्वारा सिद्ध किए गए थे, और आभारी वंशजों को त्रिकोणमितीय कार्यों, लघुगणकों और डिग्री के ढेर के साथ भयानक सीमाओं से पीड़ित नहीं होना पड़ता है। यही है, जब हम सीमा का पता लगाते हैं, तो हम तैयार किए गए परिणामों का उपयोग करेंगे जो सैद्धांतिक रूप से सिद्ध हो चुके हैं।
कई उल्लेखनीय सीमाएँ हैं, लेकिन व्यवहार में, 95% मामलों में अंशकालिक छात्रों की दो उल्लेखनीय सीमाएँ हैं: पहली अद्भुत सीमा, दूसरी अद्भुत सीमा. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ये ऐतिहासिक रूप से स्थापित नाम हैं, और जब, उदाहरण के लिए, वे "पहली उल्लेखनीय सीमा" के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब यह एक बहुत ही विशिष्ट चीज है, न कि छत से ली गई कुछ यादृच्छिक सीमा।
पहली अद्भुत सीमा
निम्नलिखित सीमा पर विचार करें: (मूल अक्षर "he" के बजाय मैं उपयोग करूंगा ग्रीक अक्षर"अल्फ़ा", यह सामग्री की प्रस्तुति के संदर्भ में अधिक सुविधाजनक है)।
सीमा खोजने के हमारे नियम के अनुसार (लेख देखें सीमा। समाधान उदाहरण) हम फ़ंक्शन में शून्य को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं: अंश में हमें शून्य मिलता है (शून्य की साइन शून्य है), भाजक में, जाहिर है, शून्य भी। इस प्रकार, हमें फॉर्म की अनिश्चितता का सामना करना पड़ता है, जो सौभाग्य से, खुलासा करने की आवश्यकता नहीं है। मुझे पता है गणितीय विश्लेषण, यह सिद्ध होता है कि:
यह गणितीय तथ्य कहलाता है पहली अद्भुत सीमा. मैं सीमा का विश्लेषणात्मक प्रमाण नहीं दूंगा, लेकिन यहाँ यह है ज्यामितीय भावआइए सबक पर एक नजर डालते हैं अतिसूक्ष्म कार्य.
अक्सर व्यावहारिक कार्यों में, कार्यों को अलग तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है, इससे कुछ भी नहीं बदलता है:
- वही पहली अद्भुत सीमा।
लेकिन आप अंश और भाजक को स्वयं पुनर्व्यवस्थित नहीं कर सकते हैं! यदि रूप में एक सीमा दी गई है, तो उसे बिना कुछ पुनर्व्यवस्थित किए उसी रूप में हल किया जाना चाहिए।
व्यवहार में, न केवल एक चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य कर सकता है, बल्कि एक प्राथमिक कार्य भी हो सकता है। जटिल समारोह. यह केवल महत्वपूर्ण है कि यह शून्य हो जाता है.
उदाहरण:
, , 
, 
यहाँ , , , 
, और सब कुछ गूंज रहा है - पहली अद्भुत सीमा लागू होती है।
और यहाँ अगली प्रविष्टि है - पाषंड:
क्यों? क्योंकि बहुपद की प्रवृत्ति शून्य की ओर नहीं, इसकी प्रवृत्ति पाँच की ओर होती है।
वैसे तो सवाल बैकफिलिंग का है, लेकिन लिमिट क्या है 
? उत्तर पाठ के अंत में पाया जा सकता है।
व्यवहार में, सब कुछ इतना सहज नहीं है, लगभग कभी भी एक छात्र को मुफ्त सीमा हल करने और आसान क्रेडिट प्राप्त करने की पेशकश नहीं की जाएगी। हम्म्... मैं इन पंक्तियों को लिख रहा हूं, और एक बहुत महत्वपूर्ण विचार दिमाग में आया - आखिरकार, "मुफ्त" गणितीय परिभाषाओं और सूत्रों को याद रखना बेहतर लगता है, यह परीक्षा में अमूल्य मदद हो सकती है, जब मुद्दा "दो" और "तीन" के बीच तय किया जाएगा, और शिक्षक छात्र से कुछ सरल प्रश्न पूछने या हल करने की पेशकश करने का फैसला करता है सबसे सरल उदाहरण("शायद वह (ए) अभी भी जानता है क्या?")।
आइए विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं व्यावहारिक उदाहरण:
उदाहरण 1
सीमा का पता लगाएं
यदि हम सीमा में साइन देखते हैं, तो इससे हमें तुरंत पहली उल्लेखनीय सीमा लागू करने की संभावना के बारे में सोचना चाहिए।
सबसे पहले, हम सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति में 0 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं (हम इसे मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर करते हैं):
तो, हमारे पास फॉर्म की अनिश्चितता है, इसकी इंगित करना सुनिश्चित करेंनिर्णय लेने में। सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति पहली अद्भुत सीमा की तरह दिखती है, लेकिन यह काफी नहीं है, यह ज्या के नीचे है, लेकिन भाजक में है।
ऐसे मामलों में, हमें कृत्रिम उपकरण का उपयोग करके पहली अद्भुत सीमा को स्वयं व्यवस्थित करने की आवश्यकता है। तर्क की रेखा इस प्रकार हो सकती है: "हमारे पास साइन के तहत, जिसका अर्थ है कि हमें भी भाजक में आने की आवश्यकता है"।
और यह बहुत सरलता से किया जाता है:
यही है, इस मामले में भाजक को कृत्रिम रूप से 7 से गुणा किया जाता है और उसी सात से विभाजित किया जाता है। अब रिकॉर्ड ने जाना-पहचाना रूप ले लिया है।
जब कार्य हाथ से तैयार किया जाता है, तो पहली उल्लेखनीय सीमा को चिह्नित करने की सलाह दी जाती है एक साधारण पेंसिल के साथ:
क्या हुआ? वास्तव में, परिचालित अभिव्यक्ति एक इकाई में बदल गई है और उत्पाद में गायब हो गई है: 
अब यह केवल तीन मंजिला अंश से छुटकारा पाने के लिए बनी हुई है: 
बहुमंजिला अंशों के सरलीकरण को कौन भूल गया है, कृपया संदर्भ पुस्तक में सामग्री को ताज़ा करें हॉट स्कूल गणित सूत्र .
तैयार। अंतिम उत्तर:
यदि आप पेंसिल के निशान का उपयोग नहीं करना चाहते हैं, तो समाधान को इस प्रकार स्वरूपित किया जा सकता है:
“
हम पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करते हैं 
“
उदाहरण 2
सीमा का पता लगाएं
फिर से हम सीमा में एक अंश और एक ज्या देखते हैं। हम अंश और भाजक में शून्य को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:
वास्तव में, हमारे पास अनिश्चितता है और इसलिए, हमें पहली उल्लेखनीय सीमा को व्यवस्थित करने का प्रयास करने की आवश्यकता है। सबक पर सीमा। समाधान उदाहरणहमने इस नियम पर विचार किया कि जब हमारे पास अनिश्चितता होती है, तब हमें अंश और हर को गुणनखण्ड करने की आवश्यकता होती है। यहाँ - एक ही बात, हम डिग्री को एक उत्पाद (गुणक) के रूप में प्रस्तुत करेंगे:
इसी तरह पिछले उदाहरण के लिए, हम एक पेंसिल के साथ अद्भुत सीमाएँ रेखांकित करते हैं (यहाँ उनमें से दो हैं), और इंगित करते हैं कि वे एक की ओर प्रवृत्त हैं:
दरअसल, जवाब तैयार है:
निम्नलिखित उदाहरणों में, मैं पेंट में कला नहीं करूंगा, मुझे लगता है कि नोटबुक में समाधान को सही तरीके से कैसे तैयार किया जाए - आप पहले ही समझ चुके हैं।
उदाहरण 3
सीमा का पता लगाएं
हम सीमा चिह्न के अंतर्गत व्यंजक में शून्य प्रतिस्थापित करते हैं:
एक अनिश्चितता प्राप्त हुई है जिसका खुलासा करने की आवश्यकता है। यदि सीमा में कोई स्पर्शरेखा है, तो यह लगभग हमेशा प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सूत्र के अनुसार साइन और कोसाइन में परिवर्तित हो जाती है (वैसे, वे कॉटैंजेंट के साथ भी ऐसा ही करते हैं, नीचे देखें)। पद्धतिगत सामग्री गर्म त्रिकोणमितीय सूत्रपेज पर गणितीय सूत्र, टेबल और संदर्भ सामग्री).
इस मामले में:
शून्य का कोज्या एक के बराबर है, और इससे छुटकारा पाना आसान है (यह चिन्हित करना न भूलें कि यह एक की ओर जाता है):
इस प्रकार, यदि सीमा में कोज्या गुणक है, तो, मोटे तौर पर बोलते हुए, इसे एक इकाई में बदल दिया जाना चाहिए, जो उत्पाद में गायब हो जाता है।
यहाँ सब कुछ सरल हो गया, बिना किसी गुणा और भाग के। पहली उल्लेखनीय सीमा भी एकता में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:
फलस्वरूप अनंत की प्राप्ति होती है, ऐसा होता है।
उदाहरण 4
सीमा का पता लगाएं
हम अंश और भाजक में शून्य को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:
प्राप्त अनिश्चितता (शून्य का कोज्या, जैसा कि हमें याद है, एक के बराबर है)
हम उपयोग करते हैं त्रिकोणमितीय सूत्र. नोट करें! किसी कारण से, इस सूत्र का उपयोग करने वाली सीमाएँ बहुत सामान्य हैं।
हम सीमा चिह्न से परे निरंतर गुणक निकालते हैं:
आइए पहली उल्लेखनीय सीमा को व्यवस्थित करें:
यहां हमारे पास केवल एक अद्भुत सीमा है, जो एक में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:
आइए तीन मंजिला से छुटकारा पाएं:
सीमा वास्तव में हल हो गई है, हम इंगित करते हैं कि शेष साइन शून्य हो जाता है:
उदाहरण 5
सीमा का पता लगाएं 
यह उदाहरण अधिक जटिल है, इसे स्वयं समझने का प्रयास करें:
चर को बदलकर कुछ सीमाओं को पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जा सकता है, आप इसके बारे में लेख में थोड़ी देर बाद पढ़ सकते हैं हल करने के तरीके सीमित करें.
दूसरी अद्भुत सीमा
गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत में यह सिद्ध होता है कि:
यह तथ्य कहा जाता है दूसरी उल्लेखनीय सीमा.
संदर्भ: 
एक अपरिमेय संख्या है।
न केवल एक चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य कर सकता है, बल्कि एक जटिल कार्य भी कर सकता है। यह केवल महत्वपूर्ण है कि यह अनंत के लिए प्रयास करता है.
उदाहरण 6
सीमा का पता लगाएं
जब सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति शक्ति में होती है - यह पहला संकेत है कि आपको दूसरी अद्भुत सीमा को लागू करने का प्रयास करने की आवश्यकता है।
लेकिन पहले, हमेशा की तरह, हम अंतहीन स्थानापन्न करने की कोशिश करते हैं बड़ी संख्याअभिव्यक्ति में, यह किस सिद्धांत द्वारा किया जाता है, इसका पाठ में विश्लेषण किया गया था सीमा। समाधान उदाहरण.
यह देखना आसान है कि कब डिग्री का आधार, और प्रतिपादक - , अर्थात्, प्रपत्र की अनिश्चितता है:
यह अनिश्चितता सिर्फ दूसरी उल्लेखनीय सीमा की मदद से सामने आई है। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, दूसरी अद्भुत सीमा चांदी की थाली में नहीं होती है, और इसे कृत्रिम रूप से व्यवस्थित किया जाना चाहिए। आप निम्नानुसार तर्क कर सकते हैं: इस उदाहरण में, पैरामीटर का अर्थ है कि हमें सूचक में व्यवस्थित करने की भी आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम आधार को एक शक्ति तक बढ़ाते हैं, और ताकि अभिव्यक्ति न बदले, हम इसे एक शक्ति तक बढ़ाते हैं:
जब कार्य हाथ से तैयार किया जाता है, तो हम एक पेंसिल से चिह्नित करते हैं:
लगभग सब कुछ तैयार है, भयानक डिग्री एक सुंदर पत्र में बदल गई है:
उसी समय, लिमिट आइकन को ही इंडिकेटर में ले जाया जाता है:
उदाहरण 7
सीमा का पता लगाएं
ध्यान! इस प्रकार की सीमा बहुत सामान्य है, कृपया इस उदाहरण को बहुत ध्यान से पढ़ें।
हम सीमा चिन्ह के तहत अभिव्यक्ति में एक असीम रूप से बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:
परिणाम एक अनिश्चितता है। लेकिन दूसरी उल्लेखनीय सीमा फॉर्म की अनिश्चितता पर लागू होती है। क्या करें? आपको डिग्री के आधार को बदलने की जरूरत है। हम इस तरह तर्क देते हैं: हमारे पास भाजक में, जिसका अर्थ है कि हमें अंश में व्यवस्थित करने की भी आवश्यकता है।
कई अद्भुत सीमाएँ हैं, लेकिन सबसे प्रसिद्ध पहली और दूसरी अद्भुत सीमाएँ हैं। इन सीमाओं के बारे में उल्लेखनीय बात यह है कि इनका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और कई समस्याओं में सामने आने वाली अन्य सीमाओं को खोजने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है। इस पाठ के व्यावहारिक भाग में हम यही करेंगे। पहली या दूसरी उल्लेखनीय सीमा को कम करके समस्याओं को हल करने के लिए, उनमें निहित अनिश्चितताओं का खुलासा करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि इन सीमाओं के मूल्यों को महान गणितज्ञों द्वारा लंबे समय से घटाया गया है।
पहली उल्लेखनीय सीमारेडियन माप में व्यक्त एक ही चाप के अनंत रूप से छोटे चाप के साइन के अनुपात की सीमा कहा जाता है:
आइए पहली उल्लेखनीय सीमा पर समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ें। नोट: यदि एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन सीमा चिह्न के अंतर्गत है, तो यह लगभग एक निश्चित संकेत है कि इस अभिव्यक्ति को पहली उल्लेखनीय सीमा तक घटाया जा सकता है।
उदाहरण 1सीमा का पता लगाएं।
समाधान। बदले में प्रतिस्थापन एक्सशून्य अनिश्चितता की ओर ले जाता है:
.
भाजक साइन है, इसलिए अभिव्यक्ति को पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जा सकता है। आइए परिवर्तन शुरू करें:
.
भाजक में - तीन x की ज्या, और अंश में केवल एक x है, जिसका अर्थ है कि आपको अंश में तीन x प्राप्त करने की आवश्यकता है। किसलिए? पेश करना 3 एक्स = एऔर अभिव्यक्ति प्राप्त करें।
और हम पहली उल्लेखनीय सीमा की भिन्नता पर आते हैं:
क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इस सूत्र में X के बजाय कौन सा अक्षर (चर) है।
हम x को तीन से गुणा करते हैं और तुरंत विभाजित करते हैं:
.
विख्यात प्रथम उल्लेखनीय सीमा के अनुसार, हम भिन्नात्मक व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हैं:
अब हम अंततः इस सीमा को हल कर सकते हैं:
.
उदाहरण 2सीमा का पता लगाएं।
समाधान। प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन फिर से "शून्य से विभाजित शून्य" अनिश्चितता की ओर जाता है:
.
पहली उल्लेखनीय सीमा प्राप्त करने के लिए, यह आवश्यक है कि अंश में ज्या चिह्न के नीचे x और भाजक में सिर्फ x समान गुणांक के साथ हो। इस गुणांक को 2 के बराबर होने दें। ऐसा करने के लिए, नीचे x पर वर्तमान गुणांक की कल्पना करें, अंशों के साथ क्रियाएं करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
.
उदाहरण 3सीमा का पता लगाएं।
समाधान। प्रतिस्थापित करते समय, हम फिर से अनिश्चितता "शून्य से विभाजित शून्य" प्राप्त करते हैं:
.
आप शायद पहले से ही समझ गए हैं कि मूल अभिव्यक्ति से आप पहली अद्भुत सीमा को पहली अद्भुत सीमा से गुणा कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम अंश में x के वर्गों और भाजक में ज्या को समान कारकों में विघटित करते हैं, और x और ज्या के लिए समान गुणांक प्राप्त करने के लिए, हम x को अंश में 3 से विभाजित करते हैं और तुरंत 3 से गुणा करें। हमें मिलता है:
.
उदाहरण 4सीमा का पता लगाएं।
समाधान। फिर से हमें अनिश्चितता "शून्य से विभाजित शून्य" मिलती है:
.
हम पहली दो उल्लेखनीय सीमाओं का अनुपात प्राप्त कर सकते हैं। हम अंश और हर दोनों को x से विभाजित करते हैं। फिर, ज्या और x पर गुणकों के संयोग के लिए, हम ऊपरी x को 2 से गुणा करते हैं और तुरंत 2 से विभाजित करते हैं, और निचले x को 3 से गुणा करते हैं और तुरंत 3 से विभाजित करते हैं। हमें मिलता है:
उदाहरण 5सीमा का पता लगाएं।
समाधान। और फिर, "शून्य से विभाजित शून्य" की अनिश्चितता:
हमें त्रिकोणमिति से याद है कि स्पर्शरेखा साइन से कोसाइन का अनुपात है, और शून्य का कोसाइन एक के बराबर है। हम परिवर्तन करते हैं और प्राप्त करते हैं:
.
उदाहरण 6सीमा का पता लगाएं।
समाधान। सीमा चिन्ह के तहत त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन फिर से पहली उल्लेखनीय सीमा को लागू करने का विचार सुझाता है। हम इसे साइन से कोसाइन के अनुपात के रूप में दर्शाते हैं।
जरूरत पड़ने पर यह ऑनलाइन गणित कैलकुलेटर आपकी मदद करेगा कार्य सीमा की गणना करें. कार्यक्रम सीमा समाधानन केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि नेतृत्व भी करता है स्पष्टीकरण के साथ विस्तृत समाधान, अर्थात। सीमा गणना की प्रगति प्रदर्शित करता है।
यह कार्यक्रम हाई स्कूल के छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है सामान्य शिक्षा विद्यालयतैयारी के लिए नियंत्रण कार्यऔर परीक्षा, परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, माता-पिता गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करते हैं। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप इसे जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।
इस तरह, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाइयों या बहनों का प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।
एक फ़ंक्शन अभिव्यक्ति दर्ज करेंसीमा की गणना करें
यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट्स को लोड नहीं किया गया था, और प्रोग्राम शायद काम न करे।
आपके पास एडब्लॉक सक्षम हो सकता है।
इस स्थिति में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।
समाधान के प्रकट होने के लिए जावास्क्रिप्ट सक्षम होना चाहिए।
यहां आपके ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को सक्षम करने के निर्देश दिए गए हैं।
क्योंकि ऐसे बहुत से लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतारबद्ध है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...
अगर आप समाधान में त्रुटि देखी, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
भूलना नहीं कौन सा कार्य बताएंआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.
हमारे खेल, पहेलियाँ, एमुलेटर:
थोड़ा सिद्धांत।
x-> x 0 पर फ़ंक्शन की सीमा
फ़ंक्शन f(x) को कुछ सेट X पर परिभाषित किया जाना चाहिए और बिंदु \(x_0 \in X \) या \(x_0 \notin X \)
X से x 0 के अलावा अन्य बिंदुओं का एक क्रम लें:
एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3, ..., एक्स एन, ... (1)
x* में परिवर्तित हो रहा है। इस अनुक्रम के बिंदुओं पर फ़ंक्शन मान भी एक संख्यात्मक अनुक्रम बनाते हैं
एफ(एक्स 1), एफ(एक्स 2), एफ(एक्स 3), ..., एफ(एक्स एन), ... (2)
और कोई इसकी सीमा के अस्तित्व पर सवाल खड़ा कर सकता है।
परिभाषा. संख्या A को बिंदु x \u003d x 0 (या x -> x 0) पर फ़ंक्शन f (x) की सीमा कहा जाता है, यदि तर्क x के मानों के किसी अनुक्रम (1) के लिए जो x 0 में परिवर्तित होता है, x 0 से भिन्न होता है, मान फ़ंक्शन का संगत क्रम (2) संख्या A में परिवर्तित होता है।
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
फलन f(x) की बिंदु x 0 पर केवल एक सीमा हो सकती है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि अनुक्रम
(f(x n)) की केवल एक सीमा है।
फ़ंक्शन की सीमा की एक और परिभाषा है।
परिभाषासंख्या A को बिंदु x = x 0 पर फलन f(x) की सीमा कहा जाता है यदि किसी संख्या \(\varepsilon > 0 \) के लिए एक संख्या \(\delta > 0 \) मौजूद है जैसे कि सभी के लिए \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) असमानता को संतुष्ट करने वाले \(|x-x_0| तार्किक प्रतीकों का उपयोग करते हुए, इस परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| नोट करें कि असमानताएँ \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| पहली परिभाषा एक सीमा की धारणा पर आधारित है संख्या अनुक्रम, यही कारण है कि इसे अक्सर "अनुक्रम भाषा" परिभाषा के रूप में संदर्भित किया जाता है। दूसरी परिभाषा को "भाषा \(\varepsilon - \delta \)" परिभाषा कहा जाता है।
किसी फ़ंक्शन की सीमा की ये दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं, और आप इनमें से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं, जो भी किसी विशेष समस्या को हल करने के लिए अधिक सुविधाजनक हो।
ध्यान दें कि एक फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा "अनुक्रमों की भाषा में" को हेइन के अनुसार एक फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा भी कहा जाता है, और एक फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा "भाषा में \(\varepsilon - \delta\)" को कॉची के अनुसार किसी फलन की सीमा की परिभाषा भी कहा जाता है।
फ़ंक्शन सीमा x->x 0 - और x->x 0 + पर
निम्नलिखित में, हम एक फलन की एकतरफा सीमाओं की अवधारणाओं का उपयोग करेंगे, जिन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है।
परिभाषासंख्या A को बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f (x) की दाईं (बाईं) सीमा कहा जाता है यदि किसी अनुक्रम (1) के लिए x 0 में परिवर्तित हो रहा है, जिसके तत्व x n x 0 से अधिक (कम) हैं, इसी अनुक्रम (2) A में परिवर्तित होता है।
प्रतीकात्मक रूप से इसे इस प्रकार लिखा गया है:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \बाएं(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$
"भाषा \(\varepsilon - \delta \)" में एक फ़ंक्शन की एकतरफा सीमाओं की समतुल्य परिभाषा दे सकते हैं:
परिभाषासंख्या A को बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f(x) की दाईं (बाईं) सीमा कहा जाता है यदि किसी \(\varepsilon > 0 \) के लिए मौजूद है \(\delta > 0 \) ऐसा कि सभी x संतोषजनक के लिए असमानताएँ \(x_0 प्रतीकात्मक प्रविष्टियाँ:
लोड हो रहा है...