Общи и частни решения на рекурентни отношения. Повтарящи се отношения

Рекурсивна релация (уравнение, рекурентна формула) е релация на формата

което ви позволява да изчислите всички членове на редицата а 0 ,а 1 , а 2 ,.., ако е първият к членове.

ке редът на рекурентното уравнение.

Примери. 1)а н +1 = а н + д- аритметична прогресия.

2) а н +1 = р ∙ а н- геометрична прогресия.

3) а н +2 = а н + а н +1 е последователност от числа на Фибоначи.

1.4.2. Решение на линейно хомогенно рекурентно уравнение

В случая, когато рекурсивното уравнение е линейно и хомогенно, т.е. връзката на формата

Последователност а 0 , а 1 , а 2 ,.. удовлетворяващ това уравнение се нарича връщаем.

Полином

Наречен характерен полиномза връщащата последователност.

Корените на този полином се наричат ​​характерни. Множеството от всички последователности, удовлетворяващи рекурентното уравнение (1), се нарича негово общо решение.

Общото решение на хомогенно линейно рекурентно уравнение има аналогия с решението на линейно диференциално уравнение. А именно, теоремите са верни.

Теорема 1. Позволявам е коренът на характеристичния полином (2), след това последователността
, където ° Се производна константа, удовлетворява уравнение (1).

Теорема 2. Ако
са прости корени на характеристичния полином (2), тогава общо решениерекурентното уравнение (1) има формата:

където ° С 1 ,° С 2 ,..,° С кса произволни константи.

Теорема 3. Ако - корен на множественост (аз = 1,2,..,с) на характеристичния полином (2), тогава общото решение на рекурентното уравнение (1) има формата:

където ° С ij са произволни константи.

Познаване на общото решение на рекурентното уравнение (1), според началните условия а 0 ,а 1 ,..,а к -1 , могат да се намерят недефинирани константи ° С ij, и по този начин да се получи конкретно уравнение (1) с дадените условия.

Пример. Намерете последователност ( а н), удовлетворяващи рекурсивното уравнение

Характеристичен полином

1(2).4.3. Решение на линейно нееднородно рекурентно уравнение

Разгледайте линейното нехомогенно рекурсивно уравнение

а n+k +стр 1 а n+k-1 + … + стр к а н = f(n), (n = 0, 1, 2,…)(3)

Позволявам ( b н) е общото решение на хомогенното уравнение (1). ( ° С н) е частно (конкретно) решение на нехомогенното уравнение (3).

Тогава последователността ( b н +° С н) образува общо решение на уравнение (3). Следователно теоремата е вярна.

Теорема 4. Общото решение на линейно нехомогенно рекурентно уравнение се представя като сума от общото решение на съответното линейно хомогенно рекурентно уравнение и някакво конкретно решение на нехомогенното уравнение.

В резултат на това проблемът за намиране на общо решение на нехомогенното уравнение (3) се свежда до намирането на неговото конкретно решение. В някои случаи има рецепти за намиране на определено решение.

1) Ако f(н) = β н, (където β не е корен на характеристичното уравнение), тогава определено решение трябва да се търси във формата ° С н = ° Сβ н . След това, замествайки го в (3), получаваме:

В резултат конкретното решение се дава от формулата

2) Нека f(н) – полином на степен r от променлива н, а числото 1 не е характерен корен. Тогава конкретното решение трябва да се търси и във формата

Заместване ° С н в (3) вместо а н, получаваме

Сравнявайки коефициентите на лявата и дясната част на полученото равенство, намираме съотношенията на числата д азкоето позволява да се определят тези числа.

Пример. Намерете решение на рекурсивно уравнение

с начално състояние.

Решение.Разгледайте характеристичния полином на даденото рекурентно уравнение

Коренът му. След това, съгласно теорема 1, общото решение на съответното хомогенно рекурентно уравнение се дава с формулата , където е произволна константа.

Тъй като , т.е. единица не е корен на характеристичния полином, а дясната страна е полином от първа степен, тогава се търси конкретно решение на нехомогенното уравнение под формата на полином от първа степен с неопределени коефициенти , където и са неизвестни коефициенти. Замествайки вместо това в оригиналното уравнение, получаваме или . Приравнявайки коефициентите на лявата и дясната част на последното равенство, получаваме система от уравнения за определяне на неизвестните и .

Анотация: Разположения без повторение. Пермутации. Комбинации. Повтарящи се отношения. Друг доказателствен метод. Процесът на последователни дялове. Задача: „Трудност на майордомото“.

Разположения без повторение

Има различни предмети. Колко от тях могат да се направят – съзвездия? В този случай две подредби се считат за различни, ако се различават една от друга поне с един елемент или се състоят от едни и същи елементи, но подредени в различен ред. Такива договорености се наричат разположения без повторение, а броят им е означен с . Когато съставяме разположения без повторения на елементи, трябва да направим избор. На първата стъпка можете да изберете всеки от наличните елементи. Ако този избор вече е направен, тогава във втората стъпка трябва да изберете от останалите елементи. На - m стъпка елементи. Следователно, съгласно правилото за произведение, получаваме, че броят на -локациите без повторения от обекти се изразява, както следва:

Пермутации

При съставянето на аранжименти без повторения от елементи po получихме аранжименти, които се различават един от друг както по композиция, така и по реда на елементите. Но ако вземем подредби, които включват всички елементи, тогава те могат да се различават една от друга само по реда на елементите, включени в тях. Такива договорености се наричат пермутации на n елемента, или накратко чрез пермутации.

Комбинации

В случаите, когато не се интересуваме от реда на елементите в една комбинация, а се интересуваме само от нейния състав, говорим за комбинации. И така, - всички видове комбинации от елементи се наричат ​​- подредби, съставени от тези елементи и различаващи се една от друга по състав, но не и по реда на елементите. Броят на -комбинациите, които могат да бъдат съставени от елементи, се означава с .

Формулата за броя на комбинациите се извлича от формулата за броя на разположенията. Всъщност първо ще съставим всичко - комбинации от елементи, а след това ще пренаредим елементите, включени във всяка комбинация, по всички възможни начини. В този случай се оказва, че всички - местоположения на елементи и всеки само веднъж. Но от всяко - могат да се правят комбинации! пермутации, а броят на тези комбинации е . Така че формулата е валидна

От тази формула намираме това

Повтарящи се отношения

При решаването на много комбинаторни задачи те използват метода за свеждане на дадена задача до задача, която засяга по-малък брой обекти. Извиква се методът за свеждане до подобен проблем за по-малък брой обекти метод на рекурентната връзка(от латинското "recurrere" - "да се върна").

Нека илюстрираме концепцията за рекурентните отношения с класически проблем, поставен около 1202 г. от Леонардо от Пиза, известен като Фибоначи. Значението на числата на Фибоначи за анализа на комбинаторни алгоритми прави този пример много подходящ.

Фибоначи постави проблема под формата на история за темпа на растеж на популацията на зайци при следните допускания. Всичко започва с една двойка зайци. Всяка двойка става плодородна след месец, след което всяка двойка ражда нова двойка зайци всеки месец. Зайците никога не умират и размножаването им никога не спира.

Нека - броят на двойките зайци в популацията след месеци и нека тази популация се състои от двойки потомство и "стари" двойки, т.е. Така през следващия месец ще се случат следните събития: . Старото население към момента ще се увеличи с броя на ражданията в момента. . Всяка стара двойка в даден момент произвежда двойка потомство в даден момент. Следващият месец този модел се повтаря:

Комбинирайки тези равенства, получаваме следната рекурентна връзка:

(7.1)

Изборът на началните условия за редицата на Фибоначи не е важен; основното свойство на тази последователност се определя от рекурентната връзка. Ще приемем (понякога ).

Нека погледнем този проблем малко по-различно..

Двойка зайци веднъж месечно носи потомство от два зайца (женски и мъжки), а новородените зайци вече носят потомство два месеца след раждането. Колко зайци ще се появят за една година, ако в началото на годината е имало една двойка зайци?

От условието на задачата следва, че след месец ще има две двойки зайци. След два месеца само първата двойка зайци ще даде потомство и ще се получат 3 двойки. И след месец както оригиналната двойка зайци, така и двойката зайци, появила се преди два месеца, ще дадат потомство. Следователно ще има общо 5 двойки зайци. Означава се с броя на двойките зайци след месеците от началото на годината. Ясно е, че след месеци ще има тези двойки и толкова новородени двойки зайци, колкото са били в края на месеца, тоест повече двойки зайци. С други думи, има връзка на повторение

(7.2)

Тъй като, по условие, и , Ние последователно намираме

По-специално, .

Извикват се номерата Числата на Фибоначи. Те имат редица прекрасни свойства. Сега извеждаме израза на тези числа чрез . За да направим това, установяваме връзка между числата на Фибоначи и следната комбинаторна задача.

Намерете броя на последователностите от 0 и 1, в които нито една 1 не е последователна.

За да установим тази връзка, ние вземаме всяка такава последователност и я свързваме с чифт зайци според следващото правило: единиците съответстват на месеците на раждане на една от двойките "предци" на тази двойка (включително първоначалния), а нулите - на всички останали месеци. Например, последователността 010010100010 установява следната "генеалогия": самата двойка се е появила в края на 11-ия месец, нейните родители - в края на 7-ия месец, "дядо" - в края на 5-ия месец и "велико -дядо” – в края на втория месец. След това оригиналната двойка зайци се криптира с последователността 000000000000.

Ясно е, че в този случай две единици подред не могат да бъдат в каквато и да е последователност - двойка, която току-що се появи, не може по условие да донесе потомство след месец. Освен това, съгласно посоченото правило, различните двойки зайци отговарят на различни последователности и обратното, две различни двойки зайци винаги имат различна "генеалогия", тъй като по условие женският заек ражда, състояща се само от една двойка на зайци.

Установената връзка показва, че броят на -последователностите с посоченото свойство е равен на .

Нека сега докажем това

(7.3)

Къде , ако е нечетно и , ако е четно. С други думи, - цяла частчисла (по-нататък ще обозначаваме цялата част от числото с ; по този начин, ).

Всъщност това е броят на всички последователности от 0 и 1, в които няма две 1 съседни. Броят на такива последователности, които включват точно 1s и 0s, е равен на . Тъй като това трябва да се направи

Общо решениерекурентна релация (1) е множеството от всички последователности, удовлетворяващи тази релация.

Частно решениерелация (1) се нарича една от последователностите, удовлетворяващи тази релация.

Пример 1¢.Последователност a n=а 0 +nd a n=a n - 1 +д. Това е общата формула на термина аритметична прогресияс разлика ди с началния член на прогресията а 0 .

Пример 2¢.Последователност b n=b 0 × q nе общо решение на релацията b n=b n - 1 ×q. Това е общата формула на термина геометрична прогресиясъс знаменател р№0 и с началния член на прогресията b 0 .

Пример 3¢.Т.нар Формулата на Биней н= е конкретно решение на отношението j н=й н-2+j н- 1 за j 0 =j 1 =1.

3. Линейни рекурентни отношения.Коефициент на изглед

a n + к+стр 1 a n + к - 1 +…+p k a n=ч(н) (2)

където ч(н) е функция на числото , и , е наречен линейна рекурентна връзка.

Линейната рекурентна връзка се нарича хомогенен, ако f(н)=0:

a n + к+стр 1 a n + к - 1 +…+p k a n=0. (3)

Полином x k+стр 1 x k - 1 +…+p k - 1 х+p kНаречен Характеристиказа отношение (2).

просто, ако се дели на, но не се дели на .

Корен a на полинома се нарича многократни, ако се дели на, но не се дели на , .

Номерът се нарича множественосткорен .

Основна теорема на алгебрата: полином от степен с комплексни коефициенти има комплексни корени, предвид тяхната множественост.

Теорема 1 нпрости корени a 1 , …, a н

, (4)

където ° С 1 ,…,c kÎ ° С.

Доказателство. Лесно е да проверим следните две твърдения.

(а) Подпоследователност cx n, където ° СÎ ° С, е решение на рекурентната връзка (3).

(b) Ако последователностите a nи b nса решения на релация (3), тогава последователността a n+b nсъщо е решение на релация (3).

от ( а) и ( b) следва, че всяка последователност от вида (4) е решение на релация (3).

Обратно, всяко решение на отношение (3) има формата (4).

При н=0,1,…,к-1, от равенство (4) получаваме системата линейни уравненияотносително ° С 1 ,…,c k:

(5)

Детерминантата на система (5) е известната в алгебрата детерминанта на Вандермонд:

.

От прости корени х 1 ,…,x kпо двойки различни, след това D¹0. Следователно системата (5) има (уникално) решение.

Задача 1.Намерете общия член на геометрична прогресия, като използвате формула (4).

Решение b n=qb n- 1 изглежда като . Ето защо .

Задача 2.Намерете общото решение на съотношението на Фибоначи a n + 2 =a n+a n + 1 .

Решение. Характеристичен полином на рекурентната връзка a n + 2 =a n+a n+ 1 има формата . Ето защо .

Даваме без доказателство следното обобщение на теорема 1.

Теорема 2. Нека характеристичният полином на хомогенната линейна рекурентна връзка (3) има ккорени: a 1 кратности , …, a кмножествености, , . Тогава общото решение на рекурентната връзка (3) има следния вид:

Задача 3.Намерете общото решение на релацията.

Решение.Характеристичен полином има корен 2 от кратност 3. Следователно .

Коментирайте. Общото решение на нехомогенната линейна връзка (2) може да се намери като сума от общото решение на хомогенната линейна зависимост (3) и частното решение на нехомогенната линейна зависимост (2).

4. Пораждащи функции.Официална серия а 0 +а 1 х+а 2 х 2 +…+a k x k+… се обади генерираща функция на редицата a 0 ,а 1 ,а 2 ,…,a k,…

Генериращата функция е или конвергентен ред, или дивергентен ред. Две различни серии могат да бъдат равни като функции, но да бъдат генерирани функции от различни последователности. Например редове 1+2 х+2 2 х 2 +…+2k x k+… и 1+3 х+3 2 х 2 +…+3k x k+... дефинирайте същата функция (равна на 1 в точката х=1, неопределен в точки х>1), но генерират функции на различни последователности.

Свойства на генериращи функции на последователности:

сума (разлика) на генериращи функции на последователности a nи b nе равна на генериращата функция на сумата (разликата) на последователностите a n+b n;

продукт на генериращи функции на последователности a nи b nе генериращата функция на конволюция на последователност a nи b n:

c n=а 0 b n+а 1 b n - 1 +…+a n - 1 b 1 +a n b 0 .

Пример 1функция се генерира за последователността

Пример 2функция се генерира за последователността 1, 1, 1, …

Рекурентната връзка има поръчка k , ако позволява изразяване на f(n+k) чрез f(n), f(n+1), …, f(n+k-1).

Пример.

f(n+2)=f(n)f(n+1)-3f 2 (n+1)+1 е рекурентна връзка от втори ред.

f(n+3)=6f(n)f(n+2)+f(n+1) е рекурентна връзка от трети ред.

Ако е дадена рекурсивна релация от k-ти ред, тогава безкрайно много последователности могат да я удовлетворят, тъй като първите k елемента на последователността могат да бъдат зададени произволно - между тях няма релации. Но ако са дадени първите k членове, тогава всички останали елементи са еднозначно определени.

Използвайки рекурентната връзка и началните членове, можем да изпишем членовете на редицата един по един и рано или късно ще получим някой от нейните членове. Ако обаче трябва да знаете само един конкретен член на последователността, тогава не е рационално да изчислявате всички предишни. В този случай е по-удобно да имате формула за изчисляване на n-тия член.

Решението на рекурентната връзкасе нарича всяка последователност, за която дадената релация е валидна идентично.

Пример. Последователността 2, 4, 8, …, 2 n е решението за връзката f(n+2)=3∙f(n+1) – 2∙f(n).

Доказателство. Общият член на редицата е f(n)=2 n. Така че f(n+2)= 2n+2, f(n+1)= 2n+1. За всяко n е в сила идентичността 2 n+2 =3∙2 n+1 – 2∙2 n. Следователно, при заместване на редицата 2 n във формулата f(n+2)=3f(n+1) – 2f(n), връзката се изпълнява идентично. Следователно 2 n е решението на посочената връзка.

Решение на рекурентната връзка k-ти ред се извиква общ, ако зависи от k произволни константи α 1 , α 2 , … α k и чрез избиране на тези константи може да се получи всяко решение на тази връзка.

Пример. Дадена е рекурентната връзка: f(n+2)=5f(n+1)-6f(n). Нека докажем, че общото му решение има вида: f(n)= α 2 n + β3 n .

1. Първо доказваме, че редицата f(n)=α 2 n + β3 n е решение на рекурентната връзка. Заместете тази последователност в рекурентната връзка.

f(n)= α 2 n + β 3 n, така че f(n+1)= (α 2 n+1 + β 3 n +1), f(n+2)= α 2 n+2 + β 3 n +2 , тогава

5f(n+1)-6f(n)=5∙(α 2 n+1 + β 3 n +1)-6∙(α 2 n + β 3 n)= α (5 2 n+1 –6 2 n)+ β (5 3 n +1 –6 3 n)= =α2 n ∙(10–6)+ β 3 n ∙(15 – 6)= α 2 n+2 + β 3 n +2 = f( n+2).

Рекурентната връзка е в сила, следователно, α 2 n + β 3 n е решението на тази рекурентна връзка.

2. Нека докажем, че всяко решение на връзката f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) може да бъде записано като f(n)= α 2 n + β 3 n . Но всяко решение на рекурентната връзка от втори ред се определя еднозначно от стойностите на първите два члена на последователността. Следователно е достатъчно да се покаже, че за всяко a=f(1) и b=f(2) има α и β, така че 2 α +3 β =a и 4 α +9 β =b. Лесно е да се види, че системата от уравнения има решение за всякакви стойности на a и b.

Така f(n)= α 2 n + β 3 n е общото решение на рекурентната връзка f(n+2)=5f(n+1)–6f(n).

Линейни рекурентни отношения с постоянни коефициенти

За решаване на рекурентни отношения Общи правилане, но има често срещан клас рекурентни отношения, за които е известен алгоритъм за решаването им. Това са линейни рекурентни отношения с постоянни коефициенти, т.е. тип съотношения:

f(n+k)=c 1 f(n+k-1)+c 2 f(n+k-2)+...+c k f(n).

Нека намерим решението на общата линейна рекурентна връзка с постоянни коефициенти от първи ред.

Линейна рекурентна връзка с постоянни коефициенти от първи ред има формата: f(n+1)=c f(n).

Нека f(1)=a, тогава f(2)=c∙f(1)=c∙a, f(3)=c∙f(2)=c 2 ∙a, подобно на f(4)=c 3 ∙a и така нататък, имайте предвид, че f(n)=c n -1 ∙f(1).

Нека докажем, че последователността c n -1 ∙f(1) е решението на рекурентната връзка от първи ред. f(n)=c n -1 ∙f(1), така че f(n+1)=c n f(1). Замествайки този израз във връзката, получаваме тъждеството c n f(1)=с∙ c n -1 ∙f(1).

Нека сега разгледаме по-подробно линейни рекурентни отношения с постоянни коефициенти от втори ред , тоест отношения на формата

f(n+2)=C 1 ∙f(n+1)+C 2 ∙f(n). (*).

Обърнете внимание, че всички съображения са валидни и за връзки от по-висок ред.

Свойства на разтвора:

1) Ако редицата x n е решение (*), тогава редицата a∙x n също е решение.

Доказателство.

x n е решение на (*), следователно x n +2 =C 1 x n +1 +C 2 x n. Умножаваме двете страни на равенството по a. Получаваме a∙x n +2 =a∙(С 1 ∙x n +1 +С 2 ∙x n)= С 1 ∙a∙x n +1 +С 2 ∙a∙x n . Това означава, че ax n е решението (*).

2) Ако редицата x n и y n са решения (*), тогава редицата x n +y n също е решение.

Доказателство.

x n и y n са решения, така че са валидни следните идентичности:

x n +2 \u003d C 1 x n +1 + C 2 x n.

y n +2 =C 1 y n +1 +C 2 y n .

Нека добавим двете равенства член по член:

x n +2 + y n +2 \u003d C 1 ∙ x n +1 + C 2 ∙ x n + C 1 ∙ y n +1 + C 2 ∙ y n \u003d C 1 ∙ (x n +1 + y n + 1) + C 2 ∙ (x n + yn). Това означава, че x n +y n е решението на (*).

3) Ако r 1 е решение на квадратното уравнение r 2 =С 1 r+С 2 , то редицата (r 1) n е решение на връзката (*).

r 1 е решението на квадратното уравнение r 2 =C 1 r+C 2 , така че (r 1) 2 =C 1 r 1 +C 2 . Нека умножим двете страни на равенството по (r 1) n . Вземете

r 1 2 r 1 n \u003d (C 1 r 1 + C 2) r n.

r 1 n +2 \u003d C 1 r 1 n +1 + C 2 r 1 n.

Това означава, че последователността (r 1) n е решението на (*).

От тези свойства следва начин на решениелинейни рекурентни отношения с постоянни коефициенти от втори ред:

1. Съставете характеристичното (квадратно) уравнение r 2 =C 1 r+C 2 . Нека намерим неговите корени r 1, r 2. Ако корените са различни, тогава общото решение е f(n)= ar 1 n +βr 2 n .

2. Намерете коефициентите a и β. Нека f(0)=a, f(1)=b. Система от уравнения

има решение за всяко a и b. Тези решения са

Задача . Нека намерим формула за общия член на редицата на Фибоначи.

Решение . Характеристичното уравнение има формата x 2 \u003d x + 1 или x 2 -x-1 \u003d 0, неговите корени са числа, което означава, че общото решение има формата f (n) \u003d . Както е лесно да се види, от началните условия f(0)=0, f(1)=1 следва, че a=-b=1/Ö5 и, следователно, общото решение на редицата на Фибоначи има формата :

.

Изненадващо, този израз приема цели числа за всички естествени стойности на n.

препис

1 РЕШЕНИЕ НА РЕКУРЕНТНИ УРАВНЕНИЯ Означаваме със стойността на някакъв израз, когато в него се замества цяло число. Тогава зависимостта на член на последователност от членовете на последователността F F с по-малки стойности на аргумента се нарича рекурентно уравнение. Пример може да бъде уравнение във формата: F Рекурентно уравнение има ред, ако позволява изразяване на член на редицата F чрез членове F F По този начин уравнението има ред и уравнението F 3 6 има ред 3 е показано решението на рекурентното уравнение на фиг. Обърнете внимание, че уравнението описва така наречената последователност от числа на Фибоначи: 3 F 4 3 F 5 5 F F 8 дадено уравнениение изчисляваме следващия член на редицата Действайки по този начин, рано или късно ще получим който и да е член на редицата Въпреки това, в този случай ще трябва да изчислим всички предишни членове. В много случаи е по-удобно да имаме изрична формула за th член на редицата нейното последно уравнение се превръща в тъждество.Например редицата 4 8 е едно от решенията на рекурентното уравнение 3 Наистина, общият член на тази редица има формата Но за всеки, идентичността приема място So 3 Следователно, това е решение на рекурентното уравнение Решението на рекурентното уравнение се нарича общо, ако зависи от произволни константи C C и като изберете тези константи, можете да получите всяко решение на това уравнение. Например, за уравнение 5 6, общото решение ще бъде F C C 3 3 Лесно е да се провери дали последователността 3 се превръща в идентичност бойното решение може да бъде представено във формата 3 Но всеки

2 решението се определя еднозначно от стойностите и Следователно е необходимо да се покаже, че за всякакви числа и има такива и C, че F C C 3C C 3 C Детерминантата на системата е За всяко и системата има решение Следователно , 3 наистина е решение на F; F; I: FFF; FF; FF; F Фиг. Алгоритъм за генериране на поредица от числа на Фибоначи

3 ЛИНЕЙНИ РЕКУРЕНТНИ УРАВНЕНИЯ Няма общи правила за решаване на произволни рекурентни уравнения. Въпреки това има много често срещан клас уравнения, които могат да бъдат решени с единен метод. Това са рекурентни уравнения във формата f 4, където са някои числа постоянни коефициентии f е някаква функция на Такива уравнения се наричат ​​линейни, тъй като елементите на последователността F са свързани с линейна зависимост. Ако, в допълнение, функцията f, тогава уравненията от тази форма се наричат ​​хомогенни или хомогенни уравнения с постоянни коефициенти В противен случай , уравненията се наричат ​​нехомогенни ЛИНЕЙНИ ХОМОГЕННИ РЕКУРЕНТНИ УРАВНЕНИЯ Линейните хомогенни рекурентни уравнения с постоянни коефициенти са във формата F 5 където - някои числа Очевидно последователността винаги ще бъде решение на всяко хомогенно уравнение.Такова решение се нарича тривиално решение. Първо, помислете как се решават такива уравнения, т.е. ние изучаваме уравнения във формата F 6. Решението на тези уравнения се основава на следните две твърдения: Ако F и F са решения на рекурсивното уравнение 6, тогава за всякакви числа A и B редицата F AF BF също е решение на това уравнение Наистина чрез условието F F F F Умножете тези равенства по идентичности В резултат на това получаваме: A и F F B съответно и добавете полученото [ AF BF ] [ AF BF ] AF BF И това означава, че F AF BF е решение на уравнение 6 Ако числото е корен на уравнението

4 тогава последователността е решение на рекурсивното уравнение F Нека докажем това твърдение Нека тогава и Замествайки тези стойности в 6 получаваме равенството или Това е вярно, защото по условието For имаме тривиално решение всяка последователност от формата, където Забележете, че заедно с редицата ( ) е и решение на уравнение 6. За да докажете този факт, е достатъчно да използвате твърдението, като зададете A B в него.От твърденията и следва следното правило за решаване на линейни хомогенни рекурентни уравнения от втори ред , Нека е дадено рекурентно уравнение 6 F. Съставете квадратно уравнение 7, което се нарича характеристично уравнение на това рекурентно уравнение. Уравнение 6 има формата C C Нека докажем това твърдение Първо отбелязваме, че според твърдението на последователността и са решения на даденото рекурентно F F уравнение A тогава от твърдението и C C е неговото решение Трябва само да покажем, че всяко е решено Уравнение 6 може да бъде написано в тази форма. Но всяко решение на уравнение от втори ред се определя от стойностите и Следователно е достатъчно да се покаже, че системата от уравнения C C C C има решение за всяко и Очевидно тези решения са За C F C, системата винаги има решение Разгледайте пример Както вече беше споменато, последователността от числа на Фибоначи 3583 може да бъде получена с помощта на рекурсивното уравнение F 8 За него характеристичното уравнение има формата Корените на това квадратно уравнение са числата

5 5 5 и Следователно общото решение на уравнението на Фибоначи има формата 5 5 C C 9 Началните условия са стойностите на F F В съответствие с тези начални условия получаваме за и C системата от уравнения C C C 5 C C Решаване тази система от уравнения, намираме, че C C и следователно F 5 По този начин този израз приема цели числа за всички естествени стойности СЛУЧАЙ НА РАВНИ КОРЕНИ НА ХАРАКТЕРИСТИЧНОТО УРАВНЕНИЕ. Разгледайте случая, когато корените характеристично уравнениесъвпадат: В този случай изразът C C вече няма да бъде общо решение Тъй като това решение може да бъде написано във формата C C C В резултат на това остава само една константа C и я изберете така, че уравнението да отговаря на две начални условия и, общо казано, е невъзможно Следователно е необходимо да се намери някакво друго решение, различно от Такова решение е Наистина, ако квадратно уравнение F има два съвпадащи корена, тогава по теоремата на Vieta a Следователно уравнението се записва, както следва: И тогава повтарящото се уравнението има формата Нека проверим дали F идентичността F F наистина е неговото решение Замествайки стойностите на F в уравнението, получаваме очевидното И така - това е решението на нашето повтарящо се уравнение Така вече знаем две решения на това повтарящо се уравнение: и Тогава общото решение може да се запише по следния начин: F F C C C C Сега коефициентите C и C могат да бъдат избрани така, че да са изпълнени всеки две начални условия за F

6 C C C C Линейни рекурентни уравнения от порядък по-голям от два се решават по същия начин.Нека уравнението има формата F. Съставете характеристичното уравнение. Ако всички корени на това алгебрично уравнение от та степен са различни, тогава общото решение на уравнението има формата F C C C уравнение В общото решение този корен съответства на частта C C C Съставяйки такива изрази за всички корени и добавяйки ги, получаваме общото решение на уравнението s P където е кратността на корена s е числото от различни корени P е полином със степен по отношение на Пример има формата C C C C Съставяме система от уравнения за намиране и C: C C C C 4 Решавайки системата, получаваме, че C и C По този начин решението на рекурентното уравнение има форма

7 ТЪРСЕНЕ НА КОРЕНИ НА ПОЛИНОМ Когато се намират корените на характеристично уравнение, доста често е необходимо да се решават уравнения със степен по-голяма.За да решите този проблем, можете да използвате метода за избор и да вземете произволно число и да проверите дали е коренът на даден полином.В този случай можете доста бързо да попаднете на корен и никога да не намерите В крайна сметка е невъзможно да проверите всички числа, тъй като има безкрайно много от тях.Друго нещо е, ако успяхме да стесните областта на търсене, например, да знаете, че желаните корени са, например, сред тридесет посочени числа A за тридесет числа, можете да проверите A във връзка с това, твърдението е важно Теорема Ако несъкратима дроб / integers е коренът на полинома F x с цели коефициенти, тогава водещият коефициент на този полином се дели на и свободният член на Всъщност, ако x x x x са цели числа и / е неговият корен, тогава F / тези / / / Умножете и двете страни на равенството от получаваме, следва, че е очевидно, че цяло число се дели на Но / е несъкратима дроб, тези числа са взаимно прости и тогава, както е известно от теорията за делимостта на цели числа, числата и също са взаимно прости. Така че, то се дели на и е взаимно просто с, така че се дели на По същия начин, това е доказа, че се дели на Доказаната теорема ни позволява значително да стесним областта на търсене на рационални корени на полином с цели коефициенти. Нека демонстрираме това с конкретен пример. Нека намерим рационалните корени на полинома 4 3 F x 6x 3x 4x 8x 8 Съгласно доказаната теорема рационалните корени на този полином са сред несъкратимите дроби на формата / отрицателен, тогава знакът - ще се позоваваме на неговия числител. Например, това означава, че можем да кажем, че делителят на числото 8 a е положителен делител на числото 6 Тъй като делителите на числото 8 са ± 48, а положителните делители на числото 6 ще бъдат 36, тогава рационалните корени на разглеждания многочлен са сред числата ± / / 3 / 6 / 344 / 388/ 3 Отстраняеми дроби. Така имаме двадесет числа, които са „кандидати" за корени. Остава само да проверим всяко от тях и да изберем онези, които наистина са корени. Но отново ще трябва да се направят доста проверки. Следващата теорема опростява тази работа

8 Теорема Ако несъкратимата дроб / е коренът на полинома F x с цели коефициенти, тогава F се дели на за всяко цяло число, при условие че За да докажем тази теорема, разделяме F x на x с остатък. Получаваме F x x s x Тъй като x е полином с цели коефициенти, тогава същото е и s x a е цяло число Нека s x b x b x b x b Тогава x x b x b x b x b В това равенство поставяме x / Като вземем предвид, че F / получаваме / b b b b Умножете двете страни на последното равенство по: b b b b и следователно F се дели на Теоремата е доказана. Нека сега се върнем към нашия пример и използвайки тази теорема ще стесним още повече търсенето на рационални корени. Нека приложим теоремата за стойности и тези, ако несъкратимата дроб е коренът на полинома x, тогава тя се дели на и F се дели на Очевидно в нашия случай F 5 a 5 Забележете, че в същото време изключихме единицата от разглеждане. Така че рационалните корени на нашия полином трябва да се търсят в средата di числа / / 3 / 6 / / 3 8 8/3 Помислете / / Тогава F 5 също се дели на това число Тогава 3 и 5 също се делят на 3 Така че дробта / остава сред кандидатите за корени Нека сега / / В този случай 3 и F 5 не се дели на -3 Това означава, че дробта / не може да бъде корен на този полином.След проверка за всяка от дробите, написани по-горе, получаваме, че желаните корени са сред числата / / 3 4 По този начин, използвайки доста прост трик, успяхме значително да стесним областта на търсене на рационални корени на разглеждания полином След като проверихме 4 3 оставащи кандидата, ще се уверим, че полиномът x 6x 3x 4x 8x 8 има два рационални корена / и / 3 Методът, описан по-горе, ви позволява да намерите само рационални корени на полином с цели коефициенти. Междувременно полиномът може да има и ирационални корени. Например, полиномът, разглеждан в примера, има още два корена: ± 5 това са корените на полинома x x 4 Обърнете внимание, че когато тестваме кандидати за корени, използвайки последната теорема, обикновено разглеждаме случая ± ако / е кандидат за корените, тогава те проверяват дали и F се делят съответно на и. Но може да се случи, че например тази единица е корен и тогава се дели на произволно число и нашата проверка губи смисъл , В този случай трябва да разделим x на x и да получим x x s x и да направим тестове за полинома sx В този случай не трябва да забравяме, че един корен x корен x вече е намерен

9 В някои случаи, когато характеристичното уравнение се отнася до уравненията специален виднеговите корени могат да бъдат намерени чрез заместване Такива уравнения включват например симетрични и реципрочни уравнения Симетричното е уравнение на степен - дори от формата x bx cx cx bx 3 Симетричните уравнения са специален случай на реципрочни уравнения Реципрочните уравнения включват уравнения на формата x bx cx / c x / / b x където - някакъв коефициент Да разгледаме например решението на симетрични и реципрочни уравнения от четвърта степен. Нека е дадено симетричното уравнение 4 x 3 bx cx bx. Първо, намаляваме неговото степен чрез разделяне на двете части на x. като се има предвид, че t x / x израз 4 може да се запише като t bt c 6 Решавайки уравнение 6 като обикновено квадратно уравнение, получаваме два корена t и t Сега замествайки последователно корените t и t в уравнение 5, ние получаваме две квадратни уравнения x tx x t x 7 Решаването на уравнения 7 ни дава всичките четири корена на първоначалното уравнение 3 По този начин решението на симетричното уравнение от четвърта степен намалява за решаване на три квадратни уравненияОбратните уравнения се решават по подобен начин.Ако уравнението от четвърта степен може да бъде представено като 4 x 3 bx cx bx 8, тогава неговото решение може да се получи чрез заместване на t x / x 9 Както в предишния случай, намаляваме степента на уравнението с разделяйки двете части на x За полученото уравнение x bx c b / x / x използваме заместване 9 Тогава уравнението може да бъде пренаписано като t bt c Точно както в предишния пример, решаваме уравнението и получаваме два корена t и t Сега, замествайки последователно корените t и t в уравнение 9, получаваме две квадратни уравнения x tx x t x

10 РЕШЕНИЕ НА НЕХОМОГЕННИ ЛИНЕЙНИ РЕКУРЕНТНИ УРАВНЕНИЯ Линейно рекурсивно уравнение се нарича нехомогенно, ако може да бъде представено в следната форма: f 3 където f е някаква функция на Въвеждаме хомогенно линейно рекурентно уравнение OLRU, съответстващо на нехомогенно линейно рекурентно уравнение NLRU 3 F 4 и обозначаваме общото му решение с FO По аналогия с методите за решаване на диференциални уравнения, първо пренебрегваме началните условия и приемаме, че едно решение на уравнение 3 вече е намерено. Нека наречем това решение частно и го обозначим с Нека потърсим общо решение на CLRS под формата на сумата F на неговото конкретно решение и общото решение на съответния OLRS F 5 3 O Покажете, че 5 наистина е решение на RLSR 3 Нека заместим 5 в F F F F O O F F F F f O O, но това уравнение е идентичност, тъй като FO FO F O F F F F F f където b е цяло число числова константа Ще търсим конкретно решение на уравнение 6 под формата на константа F c 7 т.е. c също е цяло число Заместете 7 в 6 c c c c b b c 8 Константата ще бъде конкретно решение на уравнение 6 при условие, че знаменателят на формула 8 не е равно на нула, че Уравнение 6 има конкретно решение

b F h b F h h Пример Решете уравнение 5 с F 35 Съставете RLRS F Съставете характеристичното уравнение h 3 Решете характеристичното уравнение 4 Напишете общото решение на RLRS F C C C C 5 Намерете конкретното решение на RLRS 5 F 5 h, тъй като h 6 Напишете общото решение на RLRS F F C C 5 7 Като вземем предвид началните условия, намираме коефициенти в решението на NLRU

12 C C 5 C C 5 35 получаваме C C 8 Записваме решението на NLRU F 5 Така че получихме изрична формула за изчисляване на -тия член на редицата В заключение, изчисляваме самата редица: степен както вдясно страна на F c 34 Замествайки 34 в 33, получаваме правилото за изчисляване на коефициентите на полинома j c j b 35 j Приравнявайки коефициентите от лявата и дясната страна на членовете, съдържащи, получаваме Останалите коефициенти c c b b c при h h се намират по подобен начин чрез приравняване коефициентите при при 35 Ако е коренът на характеристичното уравнение h на множествеността, тогава определено решение на NLRT трябва да се търси във формата F c РЕШЕНИЕ на NLRT под ПОКАЗИТЕЛНАТА ФУНКЦИЯ Ще търсим конкретно решение на NLRT F bα 37 във формата 36 Като заместим 38 в 37, имаме

13 bα F h α ако α не е корен на характеристичното уравнение h Ако α е корен на характеристичното уравнение за множественост, тогава определено решение 37 трябва да се търси във формата F dα където d е някаква константа броят на итерациите в конструирайки контролната матрица на кода M M 4 3 с M 7 следователно, предложеното специално решение е дефинирано неправилно, тъй като коренът на характеристичното уравнение Сега променяме формата на конкретното решение на M d e Като го заместим в оригиналното уравнение, имаме e 3 d Така M C 3 и като се вземат предвид началните условия C 3 So решението на първоначалното уравнение M 3 3 уравнения, различни от линейни рекурентни уравнения с постоянни коефициенти нямат общ метод на решение Те могат да бъдат решени, например, чрез проба и грешка F F b b b при;

14 b b b F F при 3 Сега можем да приемем, че решението на уравнение 39 е 4 og b F, където Замествайки 4 в 39 имаме og og og b b b b b F F og og j j b b Така че 4 наистина е решение на уравнение 39

СИСТЕМИ ОТ ЛИНЕЙНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННИ КОЕФИЦИЕНТИ Свеждане до едно уравнение от ти порядък От практическа гледна точка линейните системи с постоянни коефициенти са много важни

Тема 14 " Алгебрични уравненияи системи от нелинейни уравнения "Полином от степен n е полином от формата P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, където a 0, a 1, a n-1 , a n са дадени числа, a 0,

Лекция Диференциални уравнения от ти ред (DE-) Обща формадиференциално уравнение от ред n ще бъде написано: (n) F, = 0 () Уравнението от ти ред (n =) ще приеме формата F(,) = 0 Подобни уравнения

ПРАКТИКА Интегриране на рационални дроби Рационална дробсе нарича дроб от вида P Q, където P и Q са полиноми.Рационална дроб се нарича правилна, ако степента на полинома P е по-ниска от степента

10 клас основно ниво Задача 1 Вариант 0 (демонстрация, с решения) Задочна математическа гимназия 009/010 академична година 1 Напишете израза като полином със стандартна форма и го намерете

Професия. Степен с произволен реален показател, нейните свойства. Степенна функция, нейните свойства, графики .. Припомнете си свойствата на степен с рационален показател. a a a a a за естествени времена

федерална агенцияпо образование Томск Държавен университетСистеми за управление и радиоелектроника Катедра по висша математика (HM) Prikhodovsky M.A. ЛИНЕЙНИ ОПЕРАТОРИ И КВАДРАТИЧНИ ФОРМИ Практически

ЛЕКЦИЯ N Диференциални уравнения от по-висок ред, методи за решаване на задача на Коши Линейни диференциални уравнения от по-висок ред Хомогенни линейни уравнения Диференциални уравнения от по-висок ред,

ОБИКНОВЕНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ОТ ПЪРВИ РЯД. Основни понятия диференциално уравнениеУравнение се нарича уравнение, в което неизвестна функция влиза под знака на производна или диференциал.

Тема 7 Ранг на матрицата Базис минор Теорема за ранг на матрицата и нейните следствия Системи от m линейни уравнения с неизвестни Теорема на Кронекер-Капели Фундаментална система от решения хомогенна системалинеен

Министерство на образованието Руска федерацияРуски държавен университет за нефт и газ Губкин VI Иванов Насокикъм изучаването на темата "ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ" (за студенти

РЪКОВОДСТВО ПО МАТЕМАТИКА 5 ​​9 клас МОСКВА "ВАКО" 201 УДК 32.851 BBK 4.262.22 C4 6+ Изданието е одобрено за използване в учебен процесвъз основа на заповед на Министерството на образованието и науката на Руската федерация

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Общи понятия Диференциалните уравнения имат многобройни и много разнообразни приложения в механиката, физиката, астрономията, технологиите и в други клонове на висшата математика (напр.

ПРИЛОЖНА АЛГЕБРА. Част I: Крайни полета или полета на Галоа. II 1 / 78 Част I Крайни или Галоа полета. II ПРИЛОЖНА АЛГЕБРА. Част I: Крайни полета или полета на Галоа. II 2 / 78 Модулни остатъчни полета

ПРИЛОЖНА АЛГЕБРА. Част I: Крайни полета (полета на Галоа). II 1 / 78 Част I Крайни полета (полета на Галоа). II ПРИЛОЖНА АЛГЕБРА. Част I: Крайни полета (полета на Галоа). II 2 / 78 Остатъчни полета прости по модул

Лекция 7 2 Уравнения на Фредхолм от 2-ри род с изродени ядра Този случай се различава по това, че решението на интегралното уравнение се свежда до решение на линейна алгебрична система и може лесно да се получи

8 ЛИНЕЙНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ОТ ВТОРИ РЕД С ПРОМЕНЛИВИ КОЕФИЦИЕНТИ 8 Основни понятия Линейно диференциално уравнение от ти порядък с променливи коефициенти е уравнение

Лекция ИНТЕГРИРАНЕ НА РАЦИОНАЛНИ ДРОБИ Рационални дроби Интегриране на прости рационални дроби Разлагане на рационална дроб на прости дроби Интегриране на рационални дроби Рационално

Лекции -6 Глава Обикновени диференциални уравнения Основни понятия Различни проблеми на природонаучното инженерство на икономиката водят до решаването на уравнения, в които неизвестното е функция на

Лекция. Елементи от теорията на полиномите. Полином (малко основна информация) Функция на формата: 1 P (x) a0x a1x... a 1x a = + + + + (1) където естествено число a i (i = 01...) постоянни коефициенти

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ образователна институция висше образование"ЮЖЕН УРАЛСКИ ДЪРЖАВЕН ХУМАНИТАРЕН И ПЕДАГОГИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ"

Урок 4 Интегриране на рационални функции (продължение) Рационална функция (или просто дроб) е съотношението на два полинома, тоест функция от формата R() = f() g() = a 0 m + a m +...+

Тема 1-8: Комплексни числаА. Я. Овсянников Уралски федерален университетИнститут по математика и компютърни науки Департамент по алгебра и дискретна математика Алгебра и геометрия за механика (1 семестър)

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Санкт Петербургски държавен университет по архитектура и строителство V B SMIRNOV, L E MOROZOV ОБИКНОВЕНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Образователни

Федерална агенция за образование GOU VPO „Уралска държава Технически университет UPI» Н. М. Кравченко Диференциални уравнения и редове Учебно помагалоНаучен редактор доц. д.ф.н.

Ирационални уравнения и неравенства Съдържание Ирационални уравнения Метод за повдигане на двете страни на уравнение на еднаква степен ирационално уравнениесмесен

Тема 2-19: Билинейни и квадратични форми А. Я. Овсянников Уралски федерален университет Институт по математика и компютърни науки Департамент по алгебра и дискретна математика Алгебра и геометрия за механика

I вариант 8Б клас 4 октомври 007 г. 1 Въведете пропуснатите думи: Определение 1 Аритметика корен квадратенот числото на което a е равно на числото a (a 0) се означава по следния начин: с израза Действието на намиране

Теореми на "Питагоровите тройки" Мурсеев Михаил Петрович Съществува различни методидефиниции на варианти на "Питагорови триъгълници" Понякога те се наричат ​​"Питагорови тройки" или "Египетски триъгълници" K

Тема Неопределен интеграл Основни методи на интегриране Интегриране по части Нека u и v са две диференцируеми функции на един и същ аргумент. Известно е, че d(u v) udv vdu (77) Вземете от двете

Тема 4. ЧИСЛЕНО РЕШАВАНЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ -1- Тема 4. ЧИСЛЕНО РЕШАВАНЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ 4.0. Постановка на проблема Проблемът с намирането на корени нелинейно уравнениепод формата y=f() често се среща в научните

Изследователска работа Тема "Разлагане на полином от пета степен на квадратни множители с помощта на интерполационния полином на Лагранж" Изпълнено от: ученик Шабуневич Едуард Олегович

~ ~ Диференциални уравнения Главна информацияотносно диференциалните уравнения Задачата за писане на диференциални уравнения Определение: Диференциалното уравнение е уравнение, което

Глава Неопределен интеграл Директно интегриране Функция F() се нарича първоизводна за функция f(), ако равенството F"() f() Наборът от всички първоизводни на дадена функция f()

МИНИСТЕРСТВО НА НАУКАТА И ОБРАЗОВАНИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ РЯЗАНСКА ДЪРЖАВНА РАДИОТЕХНИЧЕСКА АКАДЕМИЯ Г. С. ЛУКЯНОВА АЙНОВИКОВ РАЦИОНАЛНИ И ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязанско министерство

Лекция 9 Линеаризация на диференциални уравнения Линейни диференциални уравнения от по-високи редове Хомогенни уравнениясвойства на техните разтвори Свойства на разтворите нехомогенни уравненияОпределение 9 Линеен

Помислете за първия начин за решаване на SLE според правилото на Крамър за система от три уравнения с три неизвестни: Отговорът се изчислява с помощта на формулите на Крамър: D, D1, D2, D3 са детерминанти

Лекция 3 Екстремум на функция на няколко променливи Нека функция на няколко променливи u = f (x, x) е дефинирана в областта D и точката x (x, x) = принадлежи на тази област Функцията u = f ( x, x) има

Алгебрични полиноми. 1 Алгебрични полиноми от степен n върху поле K Определение 1.1 Полином от степен n, n N (0), в променлива z върху числово поле K е израз на формата: fz = a n z n

Решения на задачи от шестата студентска олимпиада по алгебра Задача 1 Докажете, че ако всички елементи на реална квадратна матрица от порядък по-голям от две са различни от нула, тогава те могат да бъдат умножени по положителни

Тема 1 Реални числа и действия върху тях 4 часа 11 Развитие на понятието число 1 Първоначално числата се разбираха само като естествени числа, които са достатъчни за преброяване на отделни обекти.

КАЗАНСКИ ФЕДЕРАЛЕН УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ПО МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА ИМ. N.I.LOBACHEVSKY Катедра по теория и технологии на обучението по математика и информатика Falileeva M.V. Първи стъпки в решаването на уравнения и

95 Билинейни и квадратични функцииБилинейна функция Дефиниция Билинейна функция (билинейна форма) върху линейно пространство L е функция на два вектора от L, която е линейна във всеки от своите

Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше образование професионално образование"Новосибирски национален изследователски държавен университет" СИСТЕМИ НА ЛИНЕЙНИ ДИФЕРЕНЦИАЛИ

НАРЪЧНИК Някои признаци на делимост естествени числаЕстествените числа са числата, използвани за броене: Естествените числа образуват набор, наречен набор от естествени числа.

57 Да разгледаме интегрирането на най-простата рационална дроб от четвърти тип (M N) d () p q p Нека направим промяна на променлива, като зададем d. където a p q. Тогава интегралът M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

1 УДК 517 96 1. Решение на уравнението на Рикати и приложението му към линейни уравнения от втори ред Чочиев Тимофей Захарович, кандидат на физико-математическите науки, ст.н.с.

Системи диференциални уравнения Въведение Както и обикновените диференциални уравнения, системите диференциални уравнения се използват за описание на много процеси в реалния живот.

Московски държавен технически университет на името на N.E. Бауман Факултет по фундаментални науки Департамент по математическо моделиране А.Н. Канатников,

МЕТОДИЧЕСКИ УКАЗАНИЯ ЗА ИЗЧИСЛИТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО КУРСА ПО ВИСША МАТЕМАТИКА "ОБИКНОВЕНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ПОРЕДИЦА ОТ МНОЖЕСТВО ИНТЕГРАЛИ" ЧАСТ III ТЕМА ОБИКНОВЕНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ СЪДЪРЖАНИЕ

Министерство на общото и професионалното образование на Руската федерация РОСТОВСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ Е. Я. Фин

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМИ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ ДЕТЕРМИНАНТИ НА МАЛКИ ПОРЯДИ 1 ЕКВИВАЛЕНТНОСТ НА ЛИНЕЙНИ СИСТЕМИ Нека ни бъде дадена още една линейна системасъщият размер a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

{ общи понятия- Теорема на Коши - Линеен диференциален оператор - Основни теореми - Линейна независимост на решенията - Детерминант на Wronsky - Wronskian на хомогенно линейно диференциално уравнение

Математически анализРаздел: Неопределен интеграл Тема: Интегриране на рационални дроби Лектор Пахомова Е.Г. 0 5. Интегриране на рационални дроби ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рационалната дроб се нарича

Глава ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Основни понятия и дефиниции Диференциалното уравнение е уравнение, свързващо независимата променлива x с желаната функция (y f (x и производни на желаната функция

Метод на разделяне на променливи (метод на Фурие) Общи принципи на метода на разделяне на променливи За най-простото частично диференциално уравнение разделянето на променливи е търсенето на решения на формата само от t. u (x, t

Тема: Обща теория на системите от линейни уравнения А. Я. Овсянников Уралски федерален университет Институт по математика и компютърни науки Катедра по алгебра и дискретна математика Алгебра и геометрия за

ЗА РЕШЕНИЕТО В ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА НА УРАВНЕНИЯ ОТ ФОРМАТА В диофантовия анализ уравненията от вида са сред тези, които са трудни за решаване. В момента неизвестен общ метод цялостно решениедори най-простите уравнения на това

Алгебра: 7 клас. Урок 2. Числови изрази. Изрази с променливи Добър ден, момчета! В миналия урок преговорихме темите, изучавани в 6. клас. Спомнихте си как да извършвате действия с обикновени и

ГЛАВА 2 ВЕКТОРНИ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторно пространство над поле 91 Аксиоматика Нека е дадено поле P, чиито елементи ще наричаме скалари, и някакво множество V, чиито елементи ще наричаме

Непрекъснати дроби Крайни непрекъснати дроби Определение Израз от формата a 0 + a + a + + a m, където a 0 Z a a m N a m N/() се нарича непрекъсната дроб и m е дължината на непрекъснатата дроб a 0 a a m ще бъде наречени коефициенти на непрекъснатата дроб

Съдържание Елементарна теория на грешките. SLAU решение. 4. Норми в крайномерни пространства... 4. Кондициониране на SLAE.................. 5.3 Итеративни методи за решаване на линейни системи......... ........... ...

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Уралски държавен икономически университет Ю. Б. Мелников поле. Разширения на полета Раздел електронен учебникза придружаване на лекции Изд. 4th, rev. и допълнителни

Министерство на образованието и науката на Руската федерация НАЦИОНАЛЕН ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИ МОСКОВСКИ ДЪРЖАВЕН СТРОИТЕЛЕН УНИВЕРСИТЕТ Катедра по приложна механика и математика ОБИКНОВЕН ДИФЕРЕНЦИАЛ

Глава 7 Концепцията за асимптотични методи Лекция Редовно и единично смущаващи проблеми При конструирането на математически модели на физически обекти, характеризиращи се с различни мащаби в пространството,