لگاریتم ها انواع مختلفی از حل آنها هستند. معادله لگاریتمی: فرمول ها و تکنیک های اساسی

عبارات لگاریتمی، حل مثال ها. در این مقاله به بررسی مسائل مربوط به حل لگاریتم می پردازیم. تکالیف پرسش از یافتن ارزش عبارت را مطرح می کند. لازم به ذکر است که مفهوم لگاریتم در بسیاری از کارها استفاده می شود و درک معنای آن بسیار مهم است. در مورد USE، لگاریتم در حل معادلات، در مسائل کاربردی و همچنین در کارهای مربوط به مطالعه توابع استفاده می شود.

در اینجا مثال هایی برای درک معنای لگاریتم آورده شده است:

هویت لگاریتمی پایه:

خواص لگاریتم که همیشه باید به خاطر بسپارید:

*لگاریتم محصول برابر با مجموع استلگاریتم عوامل

* * *

* لگاریتم ضریب (کسری) برابر است با اختلاف لگاریتم عوامل.

* * *

* لگاریتم درجه برابر است با حاصل ضرب توان و لگاریتم پایه آن.

* * *

* انتقال به پایگاه جدید

* * *

خواص بیشتر:

* * *

محاسبه لگاریتم ارتباط نزدیکی با استفاده از ویژگی‌های توان دارد.

ما تعدادی از آنها را فهرست می کنیم:

ماهیت این خاصیت این است که هنگام انتقال صورت به مخرج و بالعکس، علامت توان به مخالف تغییر می کند. مثلا:

پیامد این خاصیت:

* * *

هنگام افزایش توان به توان، پایه ثابت می ماند، اما توان ها ضرب می شوند.

* * *

همانطور که می بینید، مفهوم لگاریتم ساده است. نکته اصلی این است که تمرین خوب مورد نیاز است، که مهارت خاصی را می دهد. مسلما دانش فرمول ها واجب است. اگر مهارت در تبدیل لگاریتم های ابتدایی شکل نگیرد، هنگام حل کارهای ساده، به راحتی می توان اشتباه کرد.

تمرین کنید، ابتدا ساده ترین مثال های درس ریاضی را حل کنید، سپس به سراغ نمونه های پیچیده تر بروید. در آینده ، من قطعا نشان خواهم داد که چگونه لگاریتم های "زشت" حل می شوند ، چنین مواردی در امتحان وجود نخواهد داشت ، اما آنها جالب هستند ، آن را از دست ندهید!

همین! موفق باشی!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ

P.S: اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی بگویید ممنون می شوم.

لگاریتم ها مانند هر عددی را می توان به هر طریق ممکن اضافه، تفریق و تبدیل کرد. اما از آنجایی که لگاریتم ها اعداد کاملاً معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اساسی.

این قوانین باید شناخته شوند - هیچ مشکل لگاریتمی جدی بدون آنها قابل حل نیست. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - همه چیز را می توان در یک روز یاد گرفت. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم را در نظر بگیرید همان زمینه ها: ورود آ ایکسو وارد شوید آ y. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. ورود به سیستم آ ایکس+log آ y= ورود آ (ایکس · y);
2. ورود به سیستم آ ایکس-ورود آ y= ورود آ (ایکس : y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر با لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی در اینجا این است - همین زمینه ها. اگر پایه ها متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول ها به شما کمک می کند محاسبه کنید بیان لگاریتمیحتی زمانی که بخش های جداگانه آن در نظر گرفته نمی شود (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

log 6 4 + log 6 9.

از آنجایی که پایه های لگاریتم یکسان است، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 − log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 − log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه در نظر گرفته نمی شوند. اما پس از تبدیل، اعداد کاملاً عادی به دست می‌آیند. بر اساس این واقعیت، بسیاری از اوراق تست. بله، کنترل - عبارات مشابه با جدیت تمام (گاهی اوقات - تقریباً بدون تغییر) در امتحان ارائه می شود.

حذف توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر درجه ای در پایه یا آرگومان لگاریتم وجود داشته باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر لگاریتم ODZ رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: آ > 0, آ ≠ 1, ایکس> 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید، یعنی. می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

یک وظیفه. مقدار عبارت log 7 49 6 را بیابید.

بیایید طبق فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

[شرح تصویر]

توجه داشته باشید که مخرج لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 2 4 ; 49 = 72. ما داریم:

[شرح تصویر]

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه فقط با مخرج کار می کنیم. آنها پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به صورت درجه ارائه کردند و شاخص ها را بیرون آوردند - آنها یک کسری "سه طبقه" گرفتند.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج عدد یکسانی دارند: log 2 7. از آنجایی که log 2 7 ≠ 0، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد که انجام شد. نتیجه این است که: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر پایه ها متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به کمک می آیند. ما آنها را در قالب یک قضیه تنظیم می کنیم:

اجازه دهید لگاریتم ثبت شود آ ایکس. سپس برای هر عددی جبه طوری که ج> 0 و ج≠ 1، برابری درست است:

[شرح تصویر]

به ویژه اگر قرار دهیم ج = ایکس، ما گرفتیم:

[شرح تصویر]

از فرمول دوم برمی‌آید که امکان مبادله مبنا و آرگومان لگاریتم وجود دارد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج است.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، وظایفی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید یکی دو مورد از این موارد را در نظر بگیریم:

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 log 2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را برگردانیم:

[شرح تصویر]

از آنجایی که حاصلضرب از جایگشت عوامل تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس لگاریتم ها را فهمیدیم.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 9 100 lg 3.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید آن را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

[شرح تصویر]

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

[شرح تصویر]

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول ها به ما کمک می کنند:

در مورد اول، شماره nمبدل برهان می شود. عدد nمی تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به آن هویت لگاریتمی پایه می گویند.

در واقع، چه اتفاقی خواهد افتاد اگر تعداد ببالا بردن به قدرت به طوری که بتا این حد یک عدد می دهد آ? درست است: این همان عدد است آ. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم روی آن "آویزان" هستند.

مانند فرمول های جدید تبدیل پایه، هویت لگاریتمی پایه گاهی تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

[شرح تصویر]

توجه داشته باشید که log 25 64 = log 5 8 - فقط مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم خارج کرد. با توجه به قوانین ضرب توان ها با پایه یکسان، به دست می آوریم:

[شرح تصویر]

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از امتحان بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه می دهم که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه اینها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات یافت می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. ورود به سیستم آ آ= 1 واحد لگاریتمی است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه آاز این پایه خود برابر با یک است.
2. ورود به سیستم آ 1 = 0 صفر لگاریتمی است. پایه آمی تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان یک باشد، لگاریتم صفر است! زیرا آ 0 = 1 نتیجه مستقیم تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

با این ویدیو، من یک سری درس طولانی در مورد معادلات لگاریتمی شروع می کنم. اکنون سه مثال در یک زمان دارید که بر اساس آنها بیشتر حل کردن را یاد خواهیم گرفت کارهای ساده، که نامیده می شوند تک یاخته ها.

log 0.5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

به شما یادآوری می کنم که ساده ترین معادله لگاریتمی به صورت زیر است:

log a f(x) = b

مهم است که متغیر x فقط در داخل آرگومان وجود داشته باشد، یعنی فقط در تابع f(x). و اعداد a و b فقط اعداد هستند و در هیچ موردی توابعی حاوی متغیر x نیستند.

روش های اصلی راه حل

راه های زیادی برای حل چنین ساختارهایی وجود دارد. به عنوان مثال، اکثر معلمان در مدرسه این راه را پیشنهاد می کنند: فوراً تابع f (x) را با استفاده از فرمول بیان کنید. f( x) = الف ب . یعنی هنگامی که با ساده ترین ساخت و ساز روبرو می شوید، می توانید بلافاصله بدون اقدامات و ساخت و سازهای اضافی به راه حل بروید.

بله، البته، تصمیم درست خواهد بود. با این حال، مشکل این فرمول این است که اکثر دانش آموزان نمی فهمم، از کجا می آید و چرا دقیقاً حرف a را به حرف b می آوریم.

در نتیجه، من اغلب خطاهای بسیار توهین آمیزی را مشاهده می کنم، مثلاً وقتی این حروف با هم عوض می شوند. این فرمول یا باید درک شود یا حفظ شود، و روش دوم منجر به خطا در نامناسب ترین و حساس ترین لحظات می شود: در امتحانات، تست ها و غیره.

به همین دلیل است که به همه دانش آموزانم پیشنهاد می کنم فرمول مدرسه استاندارد را کنار بگذارند و از روش دوم برای حل معادلات لگاریتمی استفاده کنند که همانطور که احتمالاً از نام آن حدس زدید به نام شکل متعارف.

ایده شکل متعارف ساده است. بیایید دوباره به وظیفه خود نگاه کنیم: در سمت چپ ما log a داریم، در حالی که حرف a دقیقاً به معنای عدد است و در هیچ موردی تابع حاوی متغیر x نیست. بنابراین، این نامه مشمول تمام محدودیت هایی است که بر اساس لگاریتم اعمال می شود. برای مثال:

1 ≠ a > 0

از طرف دیگر، از همان معادله، می بینیم که لگاریتم باید برابر با عدد b باشد و هیچ محدودیتی برای این حرف اعمال نمی شود، زیرا می تواند هر مقداری را بگیرد - اعم از مثبت و منفی. همه چیز به مقادیری بستگی دارد که تابع f(x) می گیرد.

و در اینجا قانون شگفت انگیز خود را به یاد می آوریم که هر عدد b را می توان به صورت لگاریتمی در پایه a از a به توان b نشان داد:

b = ورود a a b

چگونه این فرمول را به خاطر بسپاریم؟ بله خیلی ساده بیایید ساختار زیر را بنویسیم:

b = b 1 = b log a a

البته در این مورد تمام محدودیت هایی که در ابتدا یادداشت کردیم به وجود می آید. و حالا بیایید از ویژگی اصلی لگاریتم استفاده کنیم و ضریب b را به عنوان توان a وارد کنیم. ما گرفتیم:

b = b 1 = b log a a = log a a b

در نتیجه معادله اصلی به شکل زیر بازنویسی می شود:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

همین. ویژگی جدیددیگر شامل لگاریتم نیست و با تکنیک های استاندارد جبری حل می شود.

البته، اکنون کسی اعتراض خواهد کرد: چرا اصلاً لازم بود که نوعی فرمول متعارف ارائه شود، چرا دو مرحله غیر ضروری اضافی انجام شود، اگر امکان داشت بلافاصله از ساخت اولیه به فرمول نهایی برود؟ بله، فقط به این دلیل که اکثر دانش‌آموزان نمی‌دانند این فرمول از کجا آمده است و در نتیجه مرتباً هنگام استفاده از آن اشتباه می‌کنند.

اما چنین دنباله ای از اقدامات، متشکل از سه مرحله، به شما امکان می دهد معادله لگاریتمی اصلی را حل کنید، حتی اگر متوجه نباشید که فرمول نهایی از کجا آمده است. به هر حال، این ورودی فرمول متعارف نامیده می شود:

log a f(x) = log a a b

راحتی شکل متعارف نیز در این واقعیت نهفته است که می توان از آن برای حل یک کلاس بسیار گسترده از معادلات لگاریتمی استفاده کرد، و نه فقط ساده ترین آنها را که امروز در نظر می گیریم.

نمونه های راه حل

حالا بیایید به نمونه های واقعی نگاه کنیم. پس بیایید تصمیم بگیریم:

log 0.5 (3x - 1) = -3

بیایید آن را اینگونه بازنویسی کنیم:

log 0.5 (3x − 1) = log 0.5 0.5 −3

بسیاری از دانش آموزان عجله دارند و سعی می کنند بلافاصله عدد 0.5 را به توانی که از مشکل اصلی به ما رسیده است، برسانند. و در واقع، هنگامی که در حل چنین مشکلاتی به خوبی آموزش دیده اید، می توانید بلافاصله این مرحله را انجام دهید.

با این حال، اگر اکنون تازه شروع به مطالعه این موضوع کرده اید، بهتر است در جایی عجله نکنید تا مرتکب اشتباهات توهین آمیز نشوید. بنابراین ما شکل متعارف را داریم. ما داریم:

3x - 1 = 0.5 -3

این دیگر یک معادله لگاریتمی نیست، بلکه یک معادله خطی با توجه به متغیر x است. برای حل آن ابتدا به عدد 0.5 به توان 3- می پردازیم. توجه داشته باشید که 0.5 برابر 1/2 است.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

وقتی معادله لگاریتمی را حل می کنید، تمام اعشار را به کسری تبدیل کنید.

بازنویسی می کنیم و می گیریم:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

همه ما جواب گرفتیم تکلیف اول حل شد.

وظیفه دوم

بریم سراغ کار دوم:

همانطور که می بینید، این معادله دیگر ساده ترین معادله نیست. اگر فقط به این دلیل که تفاوت در سمت چپ است و نه یک لگاریتم در یک پایه.

بنابراین، شما باید به نحوی از شر این تفاوت خلاص شوید. در این مورد، همه چیز بسیار ساده است. بیایید نگاهی دقیق تر به پایه ها بیندازیم: در سمت چپ عدد زیر ریشه است:

توصیه کلی: در تمام معادلات لگاریتمی سعی کنید از شر رادیکال ها یعنی ورودی های دارای ریشه خلاص شوید و به ادامه مطلب بروید. توابع قدرت، صرفاً به این دلیل که نماهای این توان ها به راحتی از علامت لگاریتم خارج می شوند و در نهایت چنین نمادی محاسبات را بسیار ساده و سرعت می بخشد. بیایید آن را اینگونه بنویسیم:

اکنون ویژگی قابل توجه لگاریتم را به یاد می آوریم: از استدلال، و همچنین از پایه، می توانید درجه ها را بردارید. در مورد پایه ها، موارد زیر رخ می دهد:

log a k b = 1/k loga b

به عبارت دیگر عددی که در درجه پایه ایستاده است جلو آمده و در عین حال برگردانده می شود یعنی به صورت متقابل عدد می شود. در مورد ما، درجه ای از پایه با شاخص 1/2 وجود داشت. بنابراین، می توانیم آن را به عنوان 2/1 خارج کنیم. ما گرفتیم:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

لطفا توجه داشته باشید: به هیچ وجه نباید در این مرحله از لگاریتم خلاص شوید. به ریاضی کلاس 4-5 و ترتیب عملکردها فکر کنید: ابتدا ضرب انجام می شود و تنها پس از آن جمع و تفریق انجام می شود. در این حالت یکی از همان عناصر را از 10 عنصر کم می کنیم:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

اکنون معادله ما به نظر می رسد که باید باشد. این ساده ترین ساخت است و ما آن را با استفاده از فرم متعارف حل می کنیم:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

همین. مشکل دوم حل شد.

مثال سوم

بریم سراغ کار سوم:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

فرمول زیر را به خاطر بیاورید:

log b = log 10 b

اگر به دلایلی با نوشتن lg b گیج شده اید، پس هنگام انجام تمام محاسبات، می توانید به سادگی log 10 b را بنویسید. می‌توانید با لگاریتم‌های اعشاری مانند سایرین کار کنید: قدرت‌ها را بردارید، اضافه کنید و هر عددی را به صورت lg 10 نشان دهید.

دقیقاً از این خصوصیات است که اکنون برای حل مسئله استفاده خواهیم کرد، زیرا ساده ترین موردی که در همان ابتدای درس خود نوشتیم نیست.

برای شروع، توجه داشته باشید که ضریب 2 قبل از lg 5 را می توان وارد کرد و به توان پایه 5 تبدیل می شود. علاوه بر این، عبارت آزاد 3 نیز می تواند به عنوان یک لگاریتم نمایش داده شود - مشاهده این از نماد ما بسیار آسان است.

خودتان قضاوت کنید: هر عددی را می توان به عنوان log به پایه 10 نشان داد:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

بیایید با در نظر گرفتن تغییرات دریافتی، مشکل اصلی را بازنویسی کنیم:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

قبل از ما دوباره شکل متعارف است و ما آن را با دور زدن مرحله تبدیل ها به دست آوردیم، یعنی ساده ترین معادله لگاریتمی در جایی به دست نیامد.

این همان چیزی بود که من در همان ابتدای درس صحبت می کردم. شکل متعارف امکان حل یک کلاس وسیع تری از مسائل را نسبت به فرمول استاندارد مدرسه، که توسط اکثر معلمان مدرسه ارائه می شود، می دهد.

این همه است، ما از شر علامت لگاریتم اعشاری خلاص می شویم و یک ساختار خطی ساده می گیریم:

x + 3 = 25000
x = 24997

همه! مشکل حل شد.

یادداشتی در مورد دامنه

در اینجا می خواهم یک نکته مهم را در مورد حوزه تعریف بیان کنم. مطمئناً اکنون دانش آموزان و معلمانی هستند که می گویند: "وقتی عبارات را با لگاریتم حل می کنیم، لازم است به یاد داشته باشیم که آرگومان f (x) باید بزرگتر از صفر باشد!" در این راستا، یک سوال منطقی مطرح می شود: چرا در هیچ یک از مسائل در نظر گرفته شده، نیاز به ارضای این نابرابری نداشتیم؟

نگران نباش. هیچ ریشه اضافی در این موارد ظاهر نمی شود. و این یک ترفند عالی دیگر است که به شما امکان می دهد راه حل را سرعت بخشید. فقط بدانید که اگر در مشکل، متغیر x فقط در یک مکان (به طور دقیق تر، در آرگومان واحد و تنها لگاریتم یک و تنها)، و در هیچ جای دیگری در مورد ما، متغیر x رخ نمی دهد، دامنه را بنویسید. نیازی نیستزیرا به طور خودکار اجرا می شود.

خودتان قضاوت کنید: در معادله اول، ما دریافتیم که 3x - 1، یعنی آرگومان باید برابر با 8 باشد. این به طور خودکار به این معنی است که 3x - 1 بزرگتر از صفر خواهد بود.

با همین موفقیت، می‌توانیم بنویسیم که در حالت دوم، x باید برابر با 5 2 باشد، یعنی قطعاً بزرگ‌تر از صفر است. و در مورد سوم، که در آن x + 3 = 25000، یعنی دوباره، آشکارا بزرگتر از صفر است. به عبارت دیگر، دامنه خودکار است، اما تنها در صورتی که x فقط در آرگومان یک لگاریتم رخ دهد.

این تنها چیزی است که برای حل مشکلات ساده باید بدانید. این قانون به تنهایی، همراه با قوانین تبدیل، به شما امکان می دهد تا طبقه بسیار گسترده ای از مسائل را حل کنید.

اما بیایید صادق باشیم: برای درک نهایی این تکنیک، برای یادگیری نحوه اعمال فرم متعارف معادله لگاریتمی، فقط تماشای یک درس ویدیویی کافی نیست. بنابراین همین حالا گزینه های یک راه حل مستقل را که ضمیمه این فیلم آموزشی است دانلود کنید و شروع به حل حداقل یکی از این دو کار مستقل کنید.

فقط چند دقیقه طول می کشد. اما تأثیر چنین آموزشی در مقایسه با تماشای این فیلم آموزشی بسیار بیشتر خواهد بود.

امیدوارم این درس به شما در درک معادلات لگاریتمی کمک کند. فرم متعارف را اعمال کنید، عبارات را با استفاده از قوانین کار با لگاریتم ها ساده کنید - و از هیچ کاری نمی ترسید. و این تمام چیزی است که برای امروز دارم.

در نظر گرفتن محدوده

حالا بیایید در مورد دامنه صحبت کنیم تابع لگاریتمیو همچنین چگونگی تأثیر این امر بر حل معادلات لگاریتمی. ساختاری از فرم را در نظر بگیرید

log a f(x) = b

چنین عبارتی ساده ترین نامیده می شود - فقط یک تابع دارد و اعداد a و b فقط اعداد هستند و در هیچ موردی تابعی نیستند که به متغیر x بستگی دارد. خیلی ساده حل میشه شما فقط باید از فرمول استفاده کنید:

b = ورود a a b

این فرمول یکی از ویژگی‌های کلیدی لگاریتم است و هنگام جایگزینی با عبارت اصلی، موارد زیر را دریافت می‌کنیم:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

این یک فرمول آشنا از کتاب های درسی مدرسه. احتمالاً بسیاری از دانش‌آموزان این سؤال را خواهند داشت: از آنجایی که تابع f (x) در عبارت اصلی زیر علامت log است، محدودیت‌های زیر بر روی آن اعمال می‌شود:

f(x) > 0

این محدودیت معتبر است زیرا لگاریتم اعداد منفی وجود ندارد. بنابراین، شاید به دلیل این محدودیت، باید یک چک برای پاسخ معرفی کنید؟ شاید باید آنها را در منبع جایگزین کرد؟

خیر، در ساده ترین معادلات لگاریتمی، بررسی اضافی غیرضروری است. و به همین دلیل. به فرمول نهایی ما نگاهی بیندازید:

f(x) = a b

واقعیت این است که عدد a در هر صورت بزرگتر از 0 است - این الزام نیز توسط لگاریتم اعمال می شود. عدد a پایه است. در این صورت محدودیتی برای عدد b اعمال نمی شود. اما این مهم نیست، زیرا هر درجه ای که یک عدد مثبت را افزایش دهیم، باز هم در خروجی یک عدد مثبت خواهیم داشت. بنابراین، شرط f (x) > 0 به طور خودکار برآورده می شود.

چیزی که واقعا ارزش بررسی دارد محدوده عملکرد زیر علامت گزارش است. طرح‌های کاملاً پیچیده‌ای می‌تواند وجود داشته باشد، و در روند حل آنها، باید حتماً آنها را دنبال کنید. اجازه بدید ببینم.

وظیفه اول:

مرحله اول: کسر سمت راست را تبدیل کنید. ما گرفتیم:

ما از شر علامت لگاریتم خلاص می شویم و معادله غیرمنطقی معمول را بدست می آوریم:

از ریشه های به دست آمده، فقط اولین مورد مناسب ما است، زیرا ریشه دوم کمتر از صفر است. تنها جواب عدد 9 خواهد بود. همین، مشکل حل شد. هیچ بررسی اضافی که عبارت زیر علامت لگاریتم بزرگتر از 0 است، مورد نیاز نیست، زیرا نه تنها بزرگتر از 0 است، بلکه با شرط معادله برابر با 2 است. بنابراین، شرط "بزرگتر از صفر" به طور خودکار انجام می شود. راضی.

بریم سراغ کار دوم:

اینجا همه چیز یکسان است. ما ساخت و ساز را بازنویسی می کنیم و سه گانه را جایگزین می کنیم:

از شر علائم لگاریتم خلاص می شویم و یک معادله غیرمنطقی می گیریم:

هر دو قسمت را با در نظر گرفتن محدودیت ها مربع می کنیم و به دست می آوریم:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16-4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

معادله حاصل را از طریق تفکیک حل می کنیم:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

اما x = −6 برای ما مناسب نیست، زیرا اگر این عدد را با نامساوی خود جایگزین کنیم، به دست می‌آییم:

−6 + 4 = −2 < 0

در مورد ما، لازم است که بزرگتر از 0 یا در موارد شدید، برابر باشد. اما x = -1 برای ما مناسب است:

−1 + 4 = 3 > 0

تنها پاسخ در مورد ما x = -1 است. این همه راه حل است. بیایید به همان ابتدای محاسبات خود برگردیم.

نتیجه اصلی از این درس این است که نیازی به بررسی حدود یک تابع در ساده ترین معادلات لگاریتمی نیست. زیرا در فرآیند حل تمامی محدودیت ها به صورت خودکار اجرا می شوند.

با این حال، این به هیچ وجه به این معنی نیست که شما می توانید تأیید را به طور کلی فراموش کنید. در فرآیند کار بر روی یک معادله لگاریتمی، ممکن است به یک معادله غیرمنطقی تبدیل شود، که محدودیت ها و الزامات خاص خود را برای سمت راست خواهد داشت، که امروز در دو مثال مختلف دیده ایم.

با خیال راحت چنین مشکلاتی را حل کنید و اگر ریشه ای در بحث وجود دارد، به ویژه مراقب باشید.

معادلات لگاریتمی با پایه های مختلف

ما به مطالعه معادلات لگاریتمی ادامه می دهیم و دو ترفند نسبتا جالب دیگر را تجزیه و تحلیل می کنیم که با آنها حل ساختارهای پیچیده تر مد است. اما ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که چگونه ساده ترین کارها حل می شوند:

log a f(x) = b

در این نماد a و b فقط اعداد هستند و در تابع f (x) باید متغیر x وجود داشته باشد و فقط در آنجا، یعنی x باید فقط در آرگومان باشد. ما چنین معادلات لگاریتمی را با استفاده از فرم متعارف تبدیل خواهیم کرد. برای این، ما توجه می کنیم که

b = ورود a a b

و a b فقط یک استدلال است. بیایید این عبارت را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

log a f(x) = log a a b

این دقیقاً همان چیزی است که ما سعی می کنیم به آن برسیم، به طوری که هم در سمت چپ و هم در سمت راست لگاریتمی به پایه a وجود دارد. در این صورت، می‌توانیم به‌طور مجازی، نشانه‌های لاگ را خط بزنیم و از دیدگاه ریاضیات، می‌توانیم بگوییم که استدلال‌ها را به سادگی برابر می‌کنیم:

f(x) = a b

در نتیجه، یک عبارت جدید دریافت می کنیم که بسیار راحت تر حل می شود. بیایید این قانون را امروز در وظایف خود اعمال کنیم.

بنابراین اولین طرح:

اول از همه، توجه می کنم که کسری در سمت راست وجود دارد که مخرج آن log است. هنگامی که عبارتی مانند این را می بینید، ارزش دارد که خاصیت شگفت انگیز لگاریتم ها را به خاطر بسپارید:

ترجمه به روسی، به این معنی است که هر لگاریتمی را می توان به عنوان ضریب دو لگاریتمی با هر پایه c نشان داد. البته 0< с ≠ 1.

بنابراین: این فرمول یک مورد خاص فوق العاده دارد که متغیر c برابر با متغیر باشد ب در این مورد، ساختاری از فرم دریافت می کنیم:

این ساختاری است که ما از علامت سمت راست در معادله خود مشاهده می کنیم. بیایید این ساختار را با log a b جایگزین کنیم، دریافت می کنیم:

به عبارت دیگر، در مقایسه با تکلیف اصلی، آرگومان و پایه لگاریتم را عوض کرده ایم. در عوض، باید کسر را برگردانیم.

یادآوری می کنیم که طبق قانون زیر می توان هر مدرکی را از پایه خارج کرد:

به عبارت دیگر ضریب k که درجه پایه است به صورت کسر معکوس خارج می شود. بیایید آن را به صورت کسری معکوس دربیاوریم:

ضریب کسری را نمی توان در جلو رها کرد، زیرا در این صورت نمی توانیم این مدخل را به عنوان یک شکل متعارف نشان دهیم (در نهایت، در شکل متعارف، هیچ عامل اضافی در مقابل لگاریتم دوم وجود ندارد). بنابراین، کسری 1/4 را در استدلال به عنوان توان قرار می دهیم:

حال استدلال هایی را که مبانی آنها یکسان است (و ما واقعاً پایه های یکسانی داریم) یکسان می کنیم و می نویسیم:

x + 5 = 1

x = -4

همین. جواب معادله لگاریتمی اول را گرفتیم. توجه کنید: در مسئله اصلی، متغیر x فقط در یک log وجود دارد و در آرگومان آن وجود دارد. بنابراین، نیازی به بررسی دامنه نیست، و عدد x = -4 ما در واقع پاسخ است.

حالا بریم سراغ عبارت دوم:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

در اینجا، علاوه بر لگاریتم های معمول، باید با lg f (x) کار کنیم. چگونه می توان چنین معادله ای را حل کرد؟ ممکن است برای یک دانش آموز ناآماده به نظر برسد که این نوعی قلع است، اما در واقع همه چیز به طور ابتدایی حل می شود.

به اصطلاح lg 2 log 2 7 با دقت نگاه کنید. در مورد آن چه می توانیم بگوییم؟ مبانی و آرگومان های log و lg یکسان است و این باید سرنخ هایی به دست دهد. بیایید یک بار دیگر به یاد بیاوریم که چگونه درجات از زیر علامت لگاریتم خارج می شوند:

log a b n = n log a b

به عبارت دیگر، قدرت عدد b در آرگومان به عاملی در مقابل خود log تبدیل می شود. بیایید این فرمول را برای عبارت lg 2 log 2 7 اعمال کنیم. از lg 2 نترسید - این رایج ترین عبارت است. می توانید آن را به این صورت بازنویسی کنید:

برای او، تمام قوانینی که برای هر لگاریتم دیگری اعمال می شود معتبر است. به ویژه عامل پیش رو را می توان به قدرت استدلال وارد کرد. بیا بنویسیم:

خیلی اوقات، دانش آموزان نقطه خالی این عمل را نمی بینند، زیرا خوب نیست که یک گزارش را زیر علامت دیگری وارد کنید. در واقع هیچ جرمی در این مورد وجود ندارد. علاوه بر این، اگر یک قانون مهم را به خاطر داشته باشید، فرمولی دریافت می کنیم که محاسبه آن آسان است:

این فرمول را می توان هم به عنوان تعریف و هم به عنوان یکی از ویژگی های آن در نظر گرفت. در هر صورت، اگر معادله لگاریتمی را تبدیل می کنید، باید این فرمول را مانند نمایش هر عددی به صورت log بدانید.

ما به وظیفه خود برمی گردیم. ما آن را با در نظر گرفتن این واقعیت بازنویسی می کنیم که اولین عبارت سمت راست علامت مساوی به سادگی برابر با lg 7 خواهد بود.

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

بیایید lg 7 را به سمت چپ حرکت دهیم، دریافت می کنیم:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

عبارات سمت چپ را کم می کنیم زیرا پایه یکسانی دارند:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

حالا بیایید به معادله ای که داریم نگاهی دقیق بیندازیم. این عملاً شکل متعارف است، اما ضریب -3 در سمت راست وجود دارد. بیایید آن را در آرگومان مناسب lg قرار دهیم:

lg 8 = lg (x + 4) −3

قبل از ما شکل متعارف معادله لگاریتمی است، بنابراین علائم lg را خط زده و استدلال ها را برابر می کنیم:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

همین! معادله لگاریتمی دوم را حل کردیم. در این مورد، هیچ بررسی اضافی مورد نیاز نیست، زیرا در مسئله اصلی x تنها در یک آرگومان وجود داشت.

بگذارید نکات کلیدی این درس را مرور کنم.

فرمول اصلی که در تمام دروس این صفحه که به حل معادلات لگاریتمی اختصاص داده شده است، فرم متعارف است. و از این واقعیت که اکثر کتاب های درسی مدرسه به شما یاد می دهند که چگونه این نوع مشکلات را متفاوت حل کنید، ناامید نشوید. این ابزار بسیار کارآمد عمل می کند و به شما امکان می دهد کلاس بسیار گسترده تری از مسائل را نسبت به ساده ترین مواردی که در همان ابتدای درس مطالعه کردیم حل کنید.

علاوه بر این، برای حل معادلات لگاریتمی، دانستن خواص پایه مفید خواهد بود. برای مثال:

1. فرمول انتقال به یک پایه و یک مورد خاص وقتی لاگ را برگردانیم (این در کار اول برای ما بسیار مفید بود).
2. فرمول وارد کردن و خارج کردن نیروها از زیر علامت لگاریتم. در اینجا، بسیاری از دانش‌آموزان گیر می‌کنند و نقطه خالی نمی‌بینند که برق خارج‌شده و وارد شده خود می‌تواند حاوی log f (x) باشد. ایرادی ندارد. می‌توانیم یک لاگ را با توجه به علامت دیگری معرفی کنیم و در عین حال حل مسئله را به طور قابل توجهی ساده کنیم، چیزی که در مورد دوم مشاهده می‌کنیم.

در خاتمه اضافه می کنم که در هر یک از این موارد نیازی به بررسی دامنه نیست، زیرا در همه جا متغیر x تنها در یک علامت log وجود دارد و در عین حال در آرگومان آن قرار دارد. در نتیجه، تمام الزامات دامنه به طور خودکار برآورده می شوند.

مشکلات با پایه متغیر

امروز معادلات لگاریتمی را در نظر خواهیم گرفت که برای بسیاری از دانش‌آموزان غیراستاندارد به نظر می‌رسند، اگر نگوییم کاملاً غیرقابل حل. این در مورد استدر مورد عبارات مبتنی بر اعداد، بلکه بر اساس متغیرها و توابع زوج. ما چنین ساختارهایی را با استفاده از تکنیک استاندارد خود، یعنی از طریق فرم متعارف حل خواهیم کرد.

برای شروع، بیایید به یاد بیاوریم که چگونه ساده ترین مسائل، که بر اساس اعداد معمولی هستند، حل می شوند. بنابراین، ساده ترین ساخت و ساز نامیده می شود

log a f(x) = b

برای حل چنین مشکلاتی می توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

b = ورود a a b

ما عبارت اصلی خود را بازنویسی می کنیم و دریافت می کنیم:

log a f(x) = log a a b

سپس آرگومان ها را برابر می کنیم، یعنی می نویسیم:

f(x) = a b

بنابراین، ما از شر علامت ورود به سیستم خلاص می شویم و مشکل معمول را حل می کنیم. در این صورت، ریشه های به دست آمده در محلول، ریشه های معادله لگاریتمی اصلی خواهند بود. علاوه بر این، رکورد، زمانی که هر دو سمت چپ و راست روی یک لگاریتم با پایه یکسان باشند، شکل متعارف نامیده می شود. به این رکورد است که سعی خواهیم کرد ساخت و سازهای امروزی را کاهش دهیم. پس بزن بریم.

وظیفه اول:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1 را با log x − 2 (x − 2) 1 جایگزین کنید. درجه ای که در استدلال مشاهده می کنیم، در واقع عدد b است که در سمت راست علامت مساوی قرار داشت. پس بیایید بیان خود را بازنویسی کنیم. ما گرفتیم:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

ما چه می بینیم؟ پیش از ما شکل متعارف معادله لگاریتمی است، بنابراین می توانیم با خیال راحت استدلال ها را معادل سازی کنیم. ما گرفتیم:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

اما راه حل به همین جا ختم نمی شود، زیرا این معادله معادل معادله اصلی نیست. از این گذشته، ساختار حاصل از توابعی تشکیل شده است که در کل خط اعداد تعریف شده اند و لگاریتم های اصلی ما در همه جا و نه همیشه تعریف شده اند.

بنابراین باید حوزه تعریف را جداگانه بنویسیم. بیایید عاقل تر نباشیم و ابتدا همه الزامات را بنویسیم:

ابتدا آرگومان هر یک از لگاریتم ها باید بزرگتر از 0 باشد:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

ثانیا، پایه نه تنها باید بزرگتر از 0 باشد، بلکه باید با 1 نیز متفاوت باشد:

x − 2 ≠ 1

در نتیجه، سیستم را دریافت می کنیم:

اما نگران نباشید: هنگام پردازش معادلات لگاریتمی، چنین سیستمی می تواند تا حد زیادی ساده شود.

خودتان قضاوت کنید: از یک طرف ما نیاز داریم که تابع درجه دوم بزرگتر از صفر باشد و از طرف دیگر این تابع درجه دوم معادل مقداری عبارت خطی است که همچنین لازم است بزرگتر از صفر باشد.

در این صورت، اگر x − 2 > 0 را بخواهیم، ​​آنگاه شرط 2x 2 − 13x + 18 > 0 به‌طور خودکار برآورده می‌شود. بنابراین، می‌توانیم با خیال راحت نابرابری حاوی تابع درجه دوم. بنابراین، تعداد عبارات موجود در سیستم ما به سه کاهش می یابد.

البته ممکن است ما هم خط بکشیم نابرابری خطی، یعنی x − 2 > 0 را خط بزنید و به 2x 2 − 13x + 18 > 0 نیاز داشته باشید. اما باید قبول کنید که حل ساده‌ترین نابرابری خطی بسیار سریع‌تر و آسان‌تر از این سیستم است که همان ریشه‌ها را دریافت می‌کنیم.

به طور کلی سعی کنید تا حد امکان محاسبات را بهینه کنید. و در مورد معادلات لگاریتمی، سخت ترین نابرابری ها را خط بزنید.

بیایید سیستم خود را بازنویسی کنیم:

در اینجا چنین سیستمی از سه عبارت وجود دارد که ما در واقع دو مورد از آنها را قبلاً کشف کرده ایم. بیایید جداگانه بنویسیم معادله درجه دومو حلش کن:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 - 7x + 10 = 0

قبل از ما یک مثلث مربع کاهش یافته است و بنابراین، می توانیم از فرمول های Vieta استفاده کنیم. ما گرفتیم:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

اکنون، به سیستم خود بازگردیم، متوجه می‌شویم که x = 2 برای ما مناسب نیست، زیرا ما باید x را به شدت بزرگتر از 2 داشته باشیم.

اما x \u003d 5 به خوبی برای ما مناسب است: عدد 5 بزرگتر از 2 است و در عین حال 5 برابر با 3 نیست. تنها راه حلاین سیستم x=5 خواهد بود.

همه چیز، کار حل شده است، از جمله با در نظر گرفتن ODZ. بریم سراغ معادله دوم. در اینجا ما منتظر محاسبات جالب و معنادارتری هستیم:

مرحله اول: مانند دفعه قبل، همه این تجارت را به شکل متعارفی درآوریم. برای این کار می توانیم عدد 9 را به صورت زیر بنویسیم:

پایه با ریشه را نمی توان لمس کرد، اما بهتر است استدلال را تغییر دهید. بیایید از ریشه به سمت قدرت با یک توان منطقی حرکت کنیم. بیا بنویسیم:

اجازه دهید کل معادله لگاریتمی بزرگ خود را بازنویسی نکنم، بلکه بلافاصله آرگومان ها را معادل سازی کنم:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

قبل از ما یک مثلث مربع کاهش یافته است، از فرمول های Vieta استفاده می کنیم و می نویسیم:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

بنابراین، ما ریشه ها را به دست آوردیم، اما هیچکس به ما تضمین نداد که آنها با معادله لگاریتمی اصلی مطابقت دارند. پس از همه، علائم ورود به سیستم محدودیت های اضافی را اعمال می کنند (در اینجا ما باید سیستم را یادداشت کنیم، اما به دلیل دست و پا گیر بودن کل ساختار، تصمیم گرفتم دامنه تعریف را جداگانه محاسبه کنم).

اول از همه، به یاد داشته باشید که آرگومان ها باید بزرگتر از 0 باشند، یعنی:

اینها الزامات تحمیل شده توسط حوزه تعریف هستند.

ما فوراً متذکر می شویم که از آنجایی که دو عبارت اول سیستم را با یکدیگر یکسان می کنیم، می توانیم هر یک از آنها را خط بزنیم. بیایید اولی را خط بکشیم زیرا از دومی خطرناک تر به نظر می رسد.

علاوه بر این، توجه داشته باشید که راه حل های نابرابری های دوم و سوم یکسان خواهد بود (مکعب برخی از اعداد بزرگتر از صفر است، اگر این عدد خود بزرگتر از صفر باشد؛ به طور مشابه با ریشه درجه سوم - این نامساوی ها عبارتند از کاملاً مشابه است، بنابراین می توانیم یکی از آنها را خط بزنیم).

اما با نابرابری سوم، این کار نخواهد کرد. بیایید از علامت رادیکال در سمت چپ خلاص شویم، که برای آن هر دو قسمت را به یک مکعب بالا می بریم. ما گرفتیم:

بنابراین ما شرایط زیر را دریافت می کنیم:

−2 ≠ x > −3

کدام یک از ریشه های ما: x 1 = -3 یا x 2 = -1 این الزامات را برآورده می کند؟ بدیهی است که فقط x = -1 است، زیرا x = -3 نابرابری اول را برآورده نمی کند (زیرا نابرابری ما شدید است). در مجموع، با بازگشت به مسئله خود، یک ریشه دریافت می کنیم: x = -1. همین، مشکل حل شد

یک بار دیگر نکات کلیدی این کار:

1. به راحتی می توانید معادلات لگاریتمی را با استفاده از فرم متعارف اعمال و حل کنید. دانش‌آموزانی که چنین رکوردی ایجاد می‌کنند و مستقیماً از مسئله اصلی به ساختاری مانند log a f ( x) = b نمی‌روند، نسبت به کسانی که در جایی عجله دارند و از مراحل میانی محاسبات می‌گذرند، خطاهای بسیار کمتری مرتکب می‌شوند.
2. به محض اینکه یک پایه متغیر در لگاریتم ظاهر شد، مشکل از ساده‌ترین حالت خود خارج می‌شود. بنابراین، هنگام حل آن، باید دامنه تعریف را در نظر گرفت: آرگومان ها باید بزرگتر از صفر باشند و مبناها نه تنها نباید بزرگتر از 0 باشند، بلکه نباید برابر با 1 باشند.

شما می توانید آخرین الزامات را به روش های مختلف بر پاسخ های نهایی تحمیل کنید. به عنوان مثال، می توان یک سیستم کامل را که شامل تمام الزامات دامنه است، حل کرد. از طرف دیگر، می توانید ابتدا خود مشکل را حل کنید و سپس دامنه تعریف را به خاطر بسپارید، آن را به طور جداگانه در قالب یک سیستم کار کنید و روی ریشه های به دست آمده اعمال کنید.

اینکه کدام راه را هنگام حل یک معادله لگاریتمی خاص انتخاب کنید به شما بستگی دارد. در هر صورت پاسخ یکسان خواهد بود.

برگرفته از تعریف آن و به این ترتیب لگاریتم عدد ببا دلیل آبه عنوان توانی تعریف می شود که یک عدد باید به آن افزایش یابد آبرای دریافت شماره ب(لگاریتم فقط برای اعداد مثبت وجود دارد).

از این فرمول نتیجه می شود که محاسبه x=log a b، معادل حل معادله است تبر = ب.مثلا، گزارش 2 8 = 3زیرا 8 = 2 3 . فرمول لگاریتم این امکان را فراهم می کند که اگر b=a c، سپس لگاریتم عدد ببا دلیل آبرابر است با. همچنین مشخص است که مبحث لگاریتم ارتباط تنگاتنگی با مبحث توان یک عدد دارد.

با لگاریتم، مانند هر اعداد دیگری، می توانید انجام دهید عملیات جمع، تفریقو به هر طریق ممکن متحول شود. اما با توجه به این واقعیت که لگاریتم ها اعداد کاملاً معمولی نیستند، قوانین خاص خود را در اینجا اعمال می کنند که به آنها گفته می شود. خواص اساسی.

جمع و تفریق لگاریتم ها.

دو لگاریتم با پایه یکسان بگیرید: ورود به سیستم xو ورود به سیستم یک y. سپس حذف انجام عملیات جمع و تفریق امکان پذیر است:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ورود به سیستم a(ایکس 1 . ایکس 2 . ایکس 3 ... x k) = ورود به سیستم x 1 + ورود به سیستم x 2 + ورود به سیستم x 3 + ... + ورود به سیستم x k.

از جانب قضایای لگاریتم ضریبیک ویژگی دیگر از لگاریتم را می توان به دست آورد. به خوبی شناخته شده است که ورود به سیستم آ 1 = 0، بنابراین،

ورود به سیستم آ 1 /ب= ورود آ 1 - ورود به سیستم a ب= -log a ب.

بنابراین یک برابری وجود دارد:

log a 1 / b = - log a b.

لگاریتم های دو عدد متقابلبر همین اساس تنها در علامت با یکدیگر متفاوت خواهند بود. بنابراین:

Log 3 9 = - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

بنابراین، ما دو قدرت داریم. اگر عدد را از خط پایین بگیرید، به راحتی می توانید قدرتی را پیدا کنید که برای به دست آوردن این عدد باید دو را بالا ببرید. به عنوان مثال، برای به دست آوردن 16، باید دو را به توان چهارم ببرید. و برای گرفتن 64 باید دو را به توان ششم برسانید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون - در واقع، تعریف لگاریتم:

لگاریتم به پایه a آرگومان x توانی است که عدد a باید به آن افزایش یابد تا عدد x به دست آید.

علامت گذاری: log a x \u003d b، جایی که a پایه است، x آرگومان است، b در واقع همان چیزی است که لگاریتم برابر است.

برای مثال، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (لگاریتم پایه 2 از 8 سه است زیرا 2 3 = 8 است). همچنین می تواند 2 64 = 6 را ثبت کند زیرا 2 6 = 64 .

عملیات یافتن لگاریتم یک عدد به یک پایه معین را لگاریتم می گویند. بنابراین بیایید یک ردیف جدید به جدول خود اضافه کنیم:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
گزارش 2 2 = 1	گزارش 2 4 = 2	گزارش 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

متأسفانه همه لگاریتم ها به این راحتی در نظر گرفته نمی شوند. برای مثال، سعی کنید log 2 5 را پیدا کنید. عدد 5 در جدول نیست، اما منطق حکم می کند که لگاریتم در جایی از قطعه قرار گیرد. زیرا 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند: اعداد بعد از نقطه اعشار را می توان به طور نامحدود نوشت و هرگز تکرار نمی شود. اگر لگاریتم غیرمنطقی است، بهتر است آن را به این صورت رها کنید: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

درک این نکته مهم است که لگاریتم عبارتی است با دو متغیر (پایه و آرگومان). در ابتدا، بسیاری از مردم اشتباه می‌کنند که مبنا کجاست و بحث کجاست. برای جلوگیری سوء تفاهم های تاسف بارفقط به تصویر نگاه کنید:

در مقابل ما چیزی بیش از تعریف لگاریتم نیست. یاد آوردن: لگاریتم قدرت است، که برای دریافت استدلال باید پایه را به آن بالا ببرید. این پایه ای است که به یک قدرت بالا می رود - در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است. معلوم می شود که پایه همیشه در پایین است! من این قانون فوق العاده را در همان درس اول به دانش آموزانم می گویم - و هیچ سردرگمی وجود ندارد.

ما تعریف را فهمیدیم - باید یاد بگیریم که چگونه لگاریتم ها را بشماریم، یعنی. از شر علامت "log" خلاص شوید. برای شروع، متذکر می شویم که دو واقعیت مهم از این تعریف به دست می آید:

1. آرگومان و مبنا باید همیشه بزرگتر از صفر باشد. این از تعریف درجه توسط یک توان گویا، که تعریف لگاریتم به آن تقلیل می یابد، به دست می آید.
2. پایه باید با وحدت متفاوت باشد، زیرا یک واحد به هر قدرتی هنوز یک واحد است. به همین دلیل، این سوال که "برای بدست آوردن دو تا چه قدرتی باید بالا رفت" بی معنی است. چنین مدرکی وجود ندارد!

چنین محدودیت هایی نامیده می شود محدوده معتبر(ODZ). معلوم می شود که ODZ لگاریتم به این صورت است: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

توجه داشته باشید که هیچ محدودیتی بر روی عدد b (مقدار لگاریتم) اعمال نمی شود. به عنوان مثال، لگاریتم ممکن است منفی باشد: log 2 0.5 \u003d -1، زیرا 0.5 = 2-1.

با این حال، اکنون ما فقط عبارات عددی را در نظر می گیریم، جایی که نیازی به دانستن ODZ لگاریتم نیست. تمام محدودیت ها قبلاً توسط کامپایلرهای مشکلات در نظر گرفته شده است. اما وقتی معادلات لگاریتمی و نابرابری ها وارد عمل شوند، الزامات DHS اجباری خواهند شد. در واقع، در مبنا و استدلال می‌تواند ساختارهای بسیار قوی داشته باشد که لزوماً با محدودیت‌های فوق مطابقت ندارد.

اکنون طرح کلی برای محاسبه لگاریتم را در نظر بگیرید. از سه مرحله تشکیل شده است:

1. پایه a و آرگومان x را به صورت توانی با کوچکترین پایه ممکن بزرگتر از یک بیان کنید. در طول راه، بهتر است از کسری اعشاری خلاص شوید.
2. معادله متغیر b را حل کنید: x = a b ;
3. عدد b به دست آمده پاسخ خواهد بود.

همین! اگر لگاریتم غیرمنطقی باشد، این در مرحله اول دیده می شود. این شرط که پایه بزرگتر از یک باشد بسیار مرتبط است: این امر احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. شبیه به اعداد اعشاری: اگر بلافاصله آنها را به معمولی ترجمه کنید، چندین برابر خطاهای کمتری وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم این طرح با مثال های خاص چگونه کار می کند:

یک وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25

1. بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان پنج نشان دهیم: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. پاسخ دریافت کرد: 2.

یک وظیفه. محاسبه لگاریتم:

یک وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 4 64

1. بیایید پایه و آرگومان را به صورت توان دو نشان دهیم: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. پاسخ دریافت شد: 3.

یک وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 16 1

1. بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو نشان دهیم: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. پاسخ دریافت کرد: 0.

یک وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 7 14

1. بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان هفت نشان دهیم: 7 = 7 1 ; 14 به عنوان توان هفت نشان داده نمی شود، زیرا 7 1< 14 < 7 2 ;
2. از پاراگراف قبل بر می آید که لگاریتم در نظر گرفته نمی شود.
3. پاسخ هیچ تغییری نیست: log 7 14.

یک نکته کوچک در مورد آخرین مثال. چگونه مطمئن شویم که یک عدد توان دقیق عدد دیگری نیست؟ بسیار ساده - فقط آن را به فاکتورهای اصلی تجزیه کنید. اگر حداقل دو عامل متمایز در انبساط وجود داشته باشد، عدد یک توان دقیق نیست.

یک وظیفه. دریابید که آیا توان های دقیق عدد عبارتند از: 8; 48; 81; 35; چهارده .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - درجه دقیق، زیرا فقط یک ضریب وجود دارد.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 توان دقیقی نیست زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - درجه دقیق؛
35 = 7 5 - باز هم درجه دقیقی نیست.
14 \u003d 7 2 - دوباره یک درجه دقیق نیست.

ما همچنین توجه داشته باشید که ما اعداد اولهمیشه قدرت های دقیق خودشان هستند.

لگاریتم اعشاری

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که نام و نام خاصی دارند.

لگاریتم اعشاری آرگومان x، لگاریتم پایه 10 است، یعنی. توانی که باید عدد 10 را به آن ببرید تا عدد x را بدست آورید. نامگذاری: lg x.

به عنوان مثال، log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - و غیره

از این به بعد وقتی عبارتی مانند Find lg 0.01 در کتاب درسی ظاهر شد، بدانید که این اشتباه تایپی نیست. آی تی لگاریتم اعشاری. با این حال، اگر به چنین تعیینی عادت ندارید، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
log x = log 10 x

هر چیزی که برای لگاریتم های معمولی صادق است برای اعشار نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

لگاریتم دیگری وجود دارد که نماد خاص خود را دارد. به یک معنا، حتی مهمتر از اعشاری است. این لگاریتم طبیعی است.

لگاریتم طبیعی x پایه e لگاریتم است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن عدد x باید عدد e را به آن افزایش داد. نامگذاری: ln x.

بسیاری خواهند پرسید: عدد e دیگر چیست؟ این یک عدد غیر منطقی است ارزش دقیقیافتن و ثبت ناممکن است. در اینجا فقط اعداد اول هستند:
e = 2.718281828459...

ما به این نخواهیم پرداخت که این عدد چیست و چرا به آن نیاز است. فقط به یاد داشته باشید که e پایه لگاریتم طبیعی است:
ln x = log e x

بنابراین ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - و غیره. از طرف دیگر، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی، لگاریتم طبیعی هر عدد گویا غیر منطقی است. به جز، البته، وحدت: ln 1 = 0.

برای لگاریتم های طبیعی، تمام قوانینی که برای لگاریتم های معمولی صادق هستند، معتبر هستند.