Резюме: Производствена функция, свойства, еластичност. Производствена функция на фирмата - абстрактно

Въведение …………………………………………………………………………..3

Глава аз .4

1.1. Производствени фактори………………………………………………………….4

1.2. Производствена функция и нейното икономическо съдържание…………….9

1.3. Еластичност на факторното заместване…………………………………………..13

1.4. Еластичност на производствената функция и възвръщаемост от мащаба………16

1.5. Свойства на производствената функция и основните характеристики на производствената функция…………………………………………………………..19

Глава II. Видове производствени функции………………………………..23

2.1. Дефиниция на линейно хомогенни производствени функции………23

2.2. Видове линейно-хомогенни производствени функции………………..25

2.3. Други видове производствени функции………………………………...28

Приложение………………………………………………………………………..30

Заключение………………………………………………………………………...32

Списък на използваната литература…………………………………………...34

Въведение

В условия модерно обществоникой човек не може да консумира само това, което сам произвежда. За най-пълно задоволяване на своите потребности хората са принудени да обменят това, което произвеждат. Без постоянно производство на блага нямаше да има потребление. Ето защо е от голям интерес да се анализират закономерностите, които действат в процеса на производство на стоки, които по-нататък формират тяхното предлагане на пазара.

Производственият процес е основното и изходно понятие на икономиката. Какво се разбира под производство?

Всеки знае, че производството на стоки и услуги от нулата е невъзможно. За да се произвеждат мебели, храни, дрехи и други стоки, е необходимо да има подходящи суровини, оборудване, помещения, парцел, специалисти, които организират производството. Всичко необходимо за организацията на производствения процес се нарича производствени фактори. Традиционно производствените фактори включват капитал, труд, земя и предприемачество.

За организацията на производствения процес трябва да присъстват в определено количество необходимите производствени фактори. Нарича се зависимостта на максималния обем на произведения продукт от разходите на използваните фактори производствена функция .

Глава аз . Производствени функции, основни понятия и определения .

1.1. Производствени фактори

Материалната основа на всяка икономика се формира от производството. Икономиката на тази страна като цяло зависи от степента, в която е развито производството в дадена страна.

От своя страна източниците на всяко производство са ресурсите, с които разполага едно или друго общество. "Ресурси - наличието на средства за труд, предмети на труда, пари, стоки или хора за използване сега или в бъдеще."

По този начин производствените фактори са комбинация от онези природни, материални, социални и духовни сили (ресурси), които могат да бъдат използвани в процеса на създаване на стоки, услуги и други ценности. С други думи производствените фактори са тези, които имат определено влияние върху самото производство.

AT икономическа теорияРесурсите са разделени на три групи:

1. Труд - съвкупност от физически и умствени способности на човек, които могат да бъдат използвани в процеса на производство на продукт или предоставяне на услуга.

2. Капитал (физически) - сгради, конструкции, машини, оборудване, транспортни средства, необходими за производството.

3. Природни ресурси - земя и нейните недра, водоеми, гори и др. Всичко, което може да се използва в производството в натурален, непреработен вид.

Наличието или отсъствието на производствени фактори в дадена страна определя нейното икономическо развитие. Производствените фактори до известна степен са потенциалът за икономически растеж. Как се използват тези фактори зависи от обща позициядела в икономиката на страната.

По-късно развитието на теорията три фактора” доведе до по-разширено определение на производствените фактори. В момента те включват:

2. земята ( Природни ресурси);

3. капитал;

4. предприемачески способности;

Трябва да се отбележи, че всички тези фактори са тясно свързани помежду си. Например, производителността на труда рязко нараства при използване на резултатите от научно-техническия прогрес.

По този начин производствените фактори са онези фактори, които оказват определено влияние върху самия производствен процес. Така например, чрез увеличаване на капитала чрез придобиване на ново производствено оборудване, можете да увеличите производствените обеми и да увеличите приходите от продажбите на продукти.

Необходимо е да се разгледат по-подробно съществуващите производствени фактори.

Трудът е целенасочена дейност на човека, с помощта на която той преобразува природата и я приспособява за задоволяване на своите потребности. В икономическата теория трудът като производствен фактор се отнася до всички умствени и физически усилия, положени от хората в процеса на икономическа дейност.

Говорейки за труда, е необходимо да се спрем на такива понятия като производителност на труда и интензивност на труда. Интензивността на труда характеризира интензивността на труда, която се определя от степента на изразходване на физическа и психическа енергия за единица време. Интензивността на труда се увеличава с ускоряването на конвейера, увеличаването на броя на едновременно обслужваното оборудване и намаляването на загубата на работно време. Производителността на труда показва колко продукция се произвежда за единица време.

Прогресът на науката и технологиите играе решаваща роля за повишаване на производителността на труда. Например въвеждането на конвейери в началото на 20 век доведе до рязък скок в производителността на труда. Конвейерната организация на производството се основава на принципа на частичното разделение на труда.

Научно-техническата революция доведе до промени в естеството на труда. Трудът стана по-квалифициран физическа работае от по-малко значение в производствения процес.

Говорейки за земята като производствен фактор, те имат предвид не само самата земя, но и вода, въздух и други природни ресурси.

Капиталът като производствен фактор се отъждествява със средствата за производство. Капиталът се състои от дълготрайни стоки, създадени от икономическата система за производство на други стоки. Друго виждане за капитала е свързано с неговата парична форма. Капиталът, когато е въплътен във финанси, които все още не са инвестирани, е парична сума. Във всички тези определения има обща идея, а именно капиталът се характеризира със способността да генерира доход.

Правете разлика между физически или фиксиран, работен и човешки капитал. Физическият капитал е капитал, материализиран в сгради, машини и оборудване, който функционира в производствения процес в продължение на няколко години. Друг вид капитал, включващ суровини, материали, енергийни ресурси, се изразходва в един производствен цикъл. Нарича се оборотен капитал. Парите, изразходвани за оборотен капитал, се връщат напълно на предприемача след продажбата на продуктите. Разходите за постоянен капитал не могат да бъдат възстановени толкова бързо. Човешкият капитал възниква като следствие от образованието, професионално обучениеи поддържане на физическо здраве.

Предприемаческите способности са специален производствен фактор, чрез който други производствени фактори се сглобяват в ефективна комбинация.

Научно-техническият прогрес е важен двигател на икономическия растеж. Той обхваща редица явления, които характеризират усъвършенстването на производствения процес. Научно-техническият прогрес включва усъвършенстване на технологиите, нови методи и форми на управление и организация на производството. Научно-техническият прогрес дава възможност тези ресурси да се комбинират по нов начин, за да се увеличи крайната продукция. В същото време, като правило, възникват нови, по-ефективни отрасли. Нарастването на ефективността на труда става основен фактор на производството.

Но трябва да се разбере, че няма пряка връзка между производствените фактори и обема на продукцията. Например, наемайки нови служители, компанията създава предпоставки за производство на допълнителен обем продукти. Но в същото време всеки привлечен нов служител увеличава разходите за труд за предприятието. Освен това няма гаранция, че пуснатите допълнителни продукти ще бъдат търсени от купувача и че компанията ще получи доход от продажбата на тези продукти.

По този начин, говорейки за връзката между производствените фактори и обема на производството, трябва да се разбере, че тази връзка се определя от разумна комбинация от тези фактори, като се вземе предвид съществуващото търсене на произведени продукти.

Важна роля за разбирането на проблема с комбинирането на производствените фактори играе така наречената теория за пределната полезност и пределните разходи, чиято същност е, че всяка допълнителна единица от същия вид стока носи все по-малко ползи за потребителя. и изисква увеличение на разходите от производителя. Съвременната производствена теория се основава на концепцията за намаляваща възвръщаемост или пределен продукти вярва, че всички производствени фактори са взаимозависими въвлечени в създаването на продукт.

Основната цел на всеки бизнес е да максимизира печалбата. Един от начините да се постигне това е чрез разумна комбинация от производствени фактори. Но кой може да определи какви пропорции на производствените фактори са приемливи за това или онова предприятие, този или онзи отрасъл? Въпросът е колко и какви производствени фактори трябва да се използват за получаване на максимална възможна печалба.

Именно този проблем е един от проблемите, решавани от математическата икономика, и начинът за решаването му е да се идентифицира математическата връзка между използваните производствени фактори и обема на продукцията, тоест при конструирането на производствената функция.

1.2. Производствена функция и нейното икономическо съдържание

Какво е функция от гледна точка на математическата наука?

Функция е зависимостта на една променлива от друга (други) променливи, изразена по следния начин:

където хе независима променлива и г- зависи от хфункция.

Промяна на променлива хводи до промяна във функцията г .

Функцията на две променливи се изразява чрез зависимостта: z = f(x, y). Три променливи: Q = f(x,y,z) и т.н.

Например площта на кръг: С ( r )=π r 2 - е функция на неговия радиус и колкото по-голям е радиусът, толкова по-голяма е площта на кръга.

Получаваме, че производствената функция е математическа зависимостмежду максималния обем продукция за единица време и съвкупността от фактори, които го създават, предвид съвременното ниво на знания и технологии. В същото време основната задача на математическата икономика от практическа гледна точка е да идентифицира тази зависимост, тоест да изгради производствена функция за определена индустрия или конкретно предприятие.

В производствената теория те използват главно двуфакторна производствена функция, която в общ изгледсе записва по следния начин:

Q = f ( К , Л ), (1.1)

В същото време фактори като технологичен прогрес и предприемачески способности се считат за непроменени за относително кратък период от време и не влияят върху обема на продукцията, а факторът "земя" се разглежда заедно с "капитал".

Производствената функция определя връзката между продукцията Q и производствените фактори: капитал K, труд L. Производствената функция описва набор от технически ефективни начини за производство на даден обем продукция. Техническата ефективност на производството се характеризира с използването на най-малко ресурси за даден обем продукция. Например, един начин на производство се счита за по-ефективен, ако включва използването на поне един ресурс в по-малко, а всички останали не в Повече ▼отколкото други начини. Ако един метод включва използването на някои ресурси в повече и други в по-малко количество от другия метод, тогава тези методи не са сравними по отношение на техническа ефективност. В този случай и двата метода се считат за технически ефективни, а икономическата ефективност се използва за сравнение. Най-рентабилният начин за производство на даден обем продукция е този, при който разходите за използване на ресурсите са минимални.

Графично всеки метод може да бъде представен чрез точка, чиито координати характеризират минималното количество ресурси L и K, а производствената функция може да бъде представена чрез линия с равен резултат или изокванта. Всяка изокванта представлява набор от технически ефективни начини за производство на определено количество продукция. Колкото по-далече от началната изокванта е разположена, толкова повече продукция осигурява. Фигура 1.1. дадени са три изокванти, съответстващи на продукцията от 100, 200 и 300 единици продукция, така че можем да кажем, че за продукцията от 200 единици е необходимо да вземем или K 1 единици капитал и L 1 единици труд, или K 2 единици капитал и L 2 единици труд или някаква комбинация от тях, предоставена от изоквантата Q 2 =200.

Q 3 \u003d 300

Фигура 1.1. Изокванти, представляващи различни нива на продукция

Необходимо е да се дефинират такива понятия като изокванта и изокоста.

Изокванта - крива, представяща всички възможни комбинации от две разходи, които осигуряват даден постоянен обем на производството (на фигура 1.1. представена с плътна линия).

Isocost - линия, образувана от набор от точки, показваща колко комбинирани производствени фактори или ресурси могат да бъдат закупени с налични средства (фигура 1.1. представя пунктирана линияе допирателната към изоквантата в точката на комбиниране на ресурси).

Допирната точка на изокванта и изокост е оптималната комбинация от фактори за конкретно предприятие. Допирната точка се намира чрез решаване на система от две уравнения, изразяващи изоквантата и изокостата.

Основните свойства на производствената функция са:

1. Непрекъснатостта на функцията, т.е. нейната графика е плътна, непрекъсната линия;

2. Производството не е възможно при липса на поне един от факторите;

3. Увеличаването на разходите на някой от факторите при непроменени количества на другия води до увеличаване на продукцията;

4. Можете да поддържате изхода постоянен, като замените някакво количество от един фактор допълнителна употребадруг. Тоест намаляването на използването на труд може да бъде компенсирано чрез допълнително използване на капитал (например чрез закупуване на ново производствено оборудване, което се обслужва от по-малко работници).

1.3. Еластичност на факторното заместване

Въз основа на гореизложеното можем да заключим, че основният въпрос на производствената функция е въпросът за правилната комбинация от производствени фактори, при която нивото на продукцията ще бъде оптимално, тоест ще носи най-голяма печалба. За да се намери оптималната комбинация, е необходимо да се отговори на въпроса: С колко трябва да се увеличат разходите на един фактор, като се намалят разходите на друг за единица. Въпросът за съотношението на разходите на производствените фактори, които се заменят взаимно, се решава чрез въвеждането на такова понятие като

Мярка за взаимозаменяемостта на производствените фактори е пределната норма на техническа замяна MRTS (пределна норма на техническа замяна), която показва колко единици може да бъде намален един от факторите чрез увеличаване на другия фактор с единица, запазвайки продукцията непроменена.

Пределната норма на техническо заместване се характеризира с наклона на изоквантите. По-стръмният наклон на изоквантата показва, че с нарастването на количеството труд на единица ще трябва да се откажат няколко единици капитал, за да се спестят дадено нивопроизводство. MRTS се изразява по формулата:

MRTS L, K = –DK/DL

Изоквантите могат да имат различни конфигурации.

Линейната изокванта на Фигура 1.2(a) предполага, че вложените ресурси са напълно заменими, т.е. дадена продукция може да бъде произведена само с труд, само с капитал или комбинация от тези ресурси.

Изоквантата, представена на Фигура 1.2(b), е типична за случая на стриктно допълване на ресурсите. В този случай само един технически известен ефективен методпроизводство. Такава изокванта понякога се нарича изокванта от типа на Леонтиев (виж по-долу), след икономиста V.V. Леонтиев, който предложи този тип изокванта. Фигура 1.2(c) показва прекъсната изокванта, което предполага множество производствени методи (P). В този случай пределната скорост на техническо заместване намалява при движение по изоквантата отгоре надолу. Изокванта с подобна конфигурация се използва в линейното програмиране - методът икономически анализ. Прекъснатата изокванта реалистично представя производствените възможности на съвременните индустрии. И накрая, Фигура 1.2(d) представя изокванта, предполагаща възможността за непрекъснато, но не перфектно заместване на ресурсите.

K a) KQ 2 b)

Фигура 1.2. Възможни конфигурации на изокванти.

1.4. Еластичност на производствената функция и възвръщаемост от мащаба.

Пределният продукт на даден ресурс характеризира абсолютната промяна в продукцията на продукта за единица промяна в потреблението на този ресурс, като промените се приемат за малки. За производствена функция пределният продукт на i-тия ресурс е равен на частната производна: .

Влиянието на относителната промяна в потреблението на i-тия фактор върху производството на даден продукт, също представено в относителна форма, се характеризира с частичната еластичност на производството по отношение на разходите за този продукт:

За простота ще обозначим. Частичната еластичност на производствената функция е равна на отношението на пределния продукт на даден ресурс към неговия среден продукт.

Нека разгледаме специален случай, когато еластичността на производствената функция по отношение на някакъв аргумент е постоянна стойност.

Ако по отношение на първоначалните стойности на аргументите x 1 , x 2 ,…,x n един от аргументите (i-ти) се промени веднъж, а останалите останат на същите нива, тогава промяната в изхода на продуктът е описан степенна функция: . Ако приемем, че I=1, намираме, че A=f(x 1 ,…,x n) и следователно .

AT общ случай, когато еластичността е променлива стойност, равенството (1) е приблизително за стойности на I близки до единица, т.е. за I=1+e и колкото по-точно е, толкова по-близо е/до нула.

Нека сега разходите за всички ресурси са се променили I пъти. Прилагайки последователно току-що описаната техника към x 1 , x 2 ,…,x n , можем да видим, че сега

Сумата от частичните еластичности на определена функция върху всички нейни аргументи се нарича обща еластичност на функцията. Като въведем нотацията за пълна еластичност на производствената функция, можем да представим получения резултат във формата

Уравнение (2) показва, че пълната еластичност на производствената функция ви позволява да дадете възвръщаемост на мащаба като цифров израз. Нека потреблението на всички ресурси леко се увеличи при запазване на всички пропорции (I>1). Ако E>1, тогава продукцията се е увеличила повече от I пъти (увеличава се възвръщаемостта на мащаба), а ако E<1, то меньше, чем в I раз. При E=1 выпуск продукции изменится в той же самой пропорции, что и затраты всех ресурсов (постоянная отдача).

Разпределението на кратки и дълги периоди при описание на характеристиките на производството е груба схематизация. Промяната в обема на потреблението на различни ресурси - енергия, материали, труд, машини, сгради и др. - изисква различно време. Да приемем, че ресурсите са преномерирани в низходящ ред на мобилност: x 1 е най-бързият за промяна, след това x 2 и т.н., а x n отнема най-много време за промяна. Възможно е да се отдели ултра-кратък или нулев период, когато нито един фактор не може да се промени; 1-ви период, когато се променя само x 1; 2-ри период, позволяващ промяна x 1 и x 2 и т.н.; накрая, дълъг или n-ти период, през който обемите на всички ресурси могат да се променят. Следователно има n+1 различни периода.

Като се има предвид някакъв междинен по стойност k-ти период, можем да говорим за съответстваща на този период възвръщаемост от мащаба, което означава пропорционална промяна в обемите на тези ресурси, които могат да се променят през този период, т. x 1 , x 2 ,…, x k . Обемите x k +1, x n, следователно запазват фиксирани стойности. Съответното възвръщаемост към мащаба е e 1 +e 2 +…+e k .

Удължавайки периода, добавяме следните членове към тази сума, докато получим стойността на E за дългия период.

Тъй като производствената функция нараства с всеки аргумент, всички частични еластичности e 1 са положителни. От това следва, че колкото по-дълъг е периодът, толкова по-голяма е възвръщаемостта от мащаба.

1.5. Свойства на производствената функция

За всеки тип производство може да се изгради собствена производствена функция, но всяка от тях ще има следните основни свойства:

1. Има ограничение за растежа на производството, което се постига чрез увеличаване на използването на един ресурс при равни други условия. Пример за това е невъзможността за увеличаване на обема на производството (при достигане на определена стойност) в определено предприятие чрез привличане на нови служители с определени дълготрайни активи. Възможно е да се стигне до точка, в която всеки отделен работник няма да бъде осигурен със средства за работа, работно място, присъствието му ще бъде пречка за останалите служители и увеличението на производството от наемането на този маргинален работник ще се доближи до нулата или дори да станат отрицателни.

2. Съществува известно взаимно допълване (комплементарност) на производствените фактори, но без намаляване на обема на производството е възможно и известно взаимно заместване. Например, за получаване на дадена култура, определено количество посевна площ може да се обработва от голям брой работници ръчно, без използването на торове и съвременни средства за производство. В една и съща зона могат да работят няколко работници, за да произведат необходимото количество реколта, като използват сложни машини и различни торове. Трябва да се отбележи, че при условие на допълване нито един от традиционните ресурси (земя, труд, капитал) не може да бъде напълно заменен с други (няма да има допълване). Механизмът на взаимно заместване работи на противоположната предпоставка: определен вид ресурс може да бъде заменен с друг. Взаимното допълване и взаимното заместване имат обратна посока. Ако допълването изисква задължително присъствие на всички ресурси, то заместването в екстремна форма може да доведе до пълно изключване на някои от тях.

Анализът на производствената функция предполага необходимостта от разграничаване на краткосрочни и дългосрочни периоди от време. В първия случай имаме предвид такъв интервал от време, през който обемът на производството може да се регулира само чрез промяна на броя на използваните променливи фактори, докато постоянните разходи остават непроменени. Производствени фактори, чиито разходи са постоянни краткосроченвремето се наричат константи.

Съответно факторите на производство, чийто размер се променя в краткосрочен план - променливи. Дългосрочният период от време се разглежда като интервал, достатъчен за предприятието да промени разходите на всички производствени фактори. Това означава, че в този случай няма ограничения за растежа на производството и всички фактори стават променливи. В най-общ вид разликите между краткосрочните и дългосрочните интервали могат да се сведат до следното.

Първо, това се отнася до условията на управление. В краткосрочен план значително разширяване на производството е невъзможно, ограничено от наличния производствен капацитет на компанията. В дългосрочен план фирмата има повече свобода да увеличава производството, тъй като всички производствени фактори стават променливи.

На второ място, необходимо е да се вземе предвид спецификата на производствените разходи. Краткосрочният период се характеризира с наличието както на постоянни, така и на променливи производствени разходи, в дългосрочен план всички разходи стават фиксирани.

Трето, краткосрочният план предполага постоянство на фирмите в индустрията. В дългосрочен план има реална възможност за навлизане или навлизане на нови конкуренти в индустрията.

Четвърто, необходимо е да се определят възможностите за извличане на икономическа печалба през разглежданите периоди. В дългосрочен план икономическата печалба е нула. В краткосрочен план икономическата печалба може да бъде положителна или отрицателна.

PF отговаря на следния набор от свойства:

1) няма изход без ресурси, т.е. f(0,0,a)=0;

2) при липса на поне един от ресурсите няма изход, т.е. ;

3) с увеличаване на цената на поне един ресурс, обемът на продукцията се увеличава;

4) с увеличаване на цената на един ресурс с постоянно количество на друг ресурс, обемът на продукцията се увеличава, т.е. ако x>0 тогава ;

5) с увеличаване на разходите за един ресурс с постоянно количество друг ресурс, стойността на увеличението на продукцията за всеки допълнителна единица i-тият ресурс не расте (законът за намаляваща ефективност), т.е. ако тогава;

6) с нарастването на един ресурс се увеличава пределната ефективност на друг ресурс, т.е. ако x>0 тогава ;

7) PF е хомогенна функция, т.е. ; при p>1 имаме повишаване на ефективността на производството поради увеличаването на мащаба на производството; на стр<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.

Глава II . Видове производствени функции

2.1. Дефиницията е линейна - хомогенни производствени функции

Казва се, че производствената функция е с хомогенна степен n, ако, когато ресурсите се умножат по определено число k, получената продукция ще бъде kn пъти различна от първоначалната. Условията за хомогенност на производствената функция се записват, както следва:

Q = f (kL, kK) = knQ

Например на ден се изразходват 9 часа труд (L) и 9 часа машинна работа (K). Нека при дадена комбинация от фактори L и K фирмата може да произвежда продукти на стойност 200 хиляди рубли на ден. В този случай производствената функция Q = F(L,K) ще бъде представена от следното равенство:

Q = F(9; 9) = 200 000, където F е определен вид алгебрична формула, в която се заместват стойностите на L и T.

Да предположим, че една компания реши да удвои работата на капитала и използването на труда, което води до увеличаване на обема на продукцията до 600 хиляди рубли. Получаваме, че умножаването на производствените фактори по 2 води до увеличаване на обема на производството 3 пъти, т.е. при използване на условията за хомогенност на производствената функция:

Q = f (kL, kK) = knQ, получаваме:

Q \u003d f (2L, 2K) \u003d 2 × 1,5 × Q, т.е. в този случай имаме работа с хомогенна производствена функция от степен 1,5.

Показателят n се нарича степен на хомогенност.

Ако n = 1, тогава функцията се нарича хомогенна от първа степен или линейно хомогенна. Линейно хомогенната производствена функция представлява интерес, тъй като се характеризира с постоянна възвръщаемост, т.е. с увеличаване на производствените фактори обемът на продукцията постоянно се увеличава по същия начин.

Ако n>1, тогава производствената функция показва нарастваща възвращаемост, т.е. нарастването на производствените фактори води до още по-голямо увеличение на обема на производството (например: удвояването на факторите води до увеличение на обема 2 пъти; 3 пъти - до увеличение от 6 пъти; 4 пъти - до увеличение от 12 пъти и т.н.) Ако n<1, то производственная функция демонстрирует убывающую отдачу, то есть, рост факторов производства ведёт к уменьшению отдачи по росту объёмов производства (например: увеличение факторов в 2 раза – ведёт к увеличению объемов в 2 раза; увеличение факторов в 3 раза – к увеличению объёмов в 1,5 раз; увеличение факторов в 4 раза – к увеличению объёмов в 1,2 раза и т.д.).

2.2. Видове линейно еднородни производствени функции

Примери за линейно хомогенни производствени функции са производствената функция на Коб-Дъглас и производствената функция на постоянната еластичност на заместването.

Производствената функция е изчислена за първи път през 20-те години на миналия век за производствената индустрия на САЩ от икономистите Коб и Дъглас. Изследванията на Пол Дъглас в производствената индустрия в Съединените щати и последващата им обработка от Чарлз Коб доведоха до появата на математически израз, описващ влиянието на използването на труда и капитала върху производството на продукти в производствената индустрия, под формата на уравнение:

Ln(Q) = Ln(1,01) + 0,73×Ln(L) + 0,27×Ln(K)

Най-общо производствената функция на Коб-Дъглас има формата:

Q = AK α L β ν

lnQ = lnA + α lnK + βlnL + инв

Ако α + β<1, то наблюдается убывающая отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.в). Если α+β=1, то существует постоянная отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.а). Если α+β>1, тогава има нарастваща възвръщаемост на мащаба на използване на производствените фактори (фиг. 1.2.б).

В производствената функция на Коб-Дъглас коефициентите на мощност α и β се сумират, за да изразят степента на хомогенност на производствената функция:

Пределната норма на техническо заместване на капитала с труд при тази технология се определя по формулата:

׀MRTS L , K ׀ =

Ако внимателно разгледаме функцията на Коб-Дъглас за производствената индустрия на САЩ, изчислена през 20-те години на миналия век, можем отново, използвайки конкретен пример, да отбележим, че производствената функция е математически израз (чрез определена алгебрична форма) на зависимостта на производствените обеми (Q) върху обемите на използване на производствените фактори (L и K). По този начин, чрез присвояване на конкретни стойности на променливите L и K, може да се определи очакваната продукция (Q) за производствената индустрия на САЩ през 20-те години на миналия век.

Еластичността на заместването в производствената функция на Коб-Дъглас винаги е 1.

Но производствената функция на Cobb-Douglas имаше някои недостатъци. За да се преодолее ограничението на функцията на Коб-Дъглас, която винаги е хомогенна на първа степен, през 1961 г. няколко икономисти (К. Ароу, Х. Ченери, Б. Минхас и Р. Солоу) предлагат производствена функция с постоянна еластичност на заместването . Това е линейно хомогенна производствена функция с постоянна еластичност на заместване на ресурсите. По-късно беше предложена и производствена функция с променлива еластичност на заместване. Това е обобщение на производствена функция с постоянна еластичност на заместване, което позволява еластичността на заместване да се променя със съотношението на вложените ресурси.

Линейно хомогенна производствена функция с постоянна еластичност на заместването на ресурсите има следния вид:

Q \u003d a -1 / b,

Еластичността на факторното заместване за дадена производствена функция се дава от:

2.3. Други видове производствени функции

Друг вид производствена функция е линейната производствена функция, която има следната форма:

Q(L,K) = aL + bK

Тази производствена функция е хомогенна от първа степен, следователно има постоянна възвръщаемост от мащаба. Графично дадена функцияпоказано на фигура 1.2, а.

икономически смисълЛинейната производствена функция е, че описва производство, в което факторите са взаимозаменяеми, тоест няма значение дали се използва само труд или само капитал. Но в истинския животтакава ситуация е практически невъзможна, тъй като всяка машина все още се обслужва от човек.

Коефициентите a и b на функцията, които са в променливите L и K, показват пропорциите, в които един фактор може да бъде заменен с друг. Например, ако a=b=1, това означава, че 1 час труд може да бъде заменен с 1 час машинно време, за да се произведе същото количество продукция.

Трябва да се отбележи, че в някои стопанска дейносттрудът и капиталът изобщо не могат да се заменят и трябва да се използват във фиксирана пропорция: 1 работник - 2 машини, 1 автобус - 1 шофьор. В този случай еластичността на факторното заместване е нула и производствената технология е представена от производствената функция на Леонтиев:

Q(L,K) = min(;),

Ако например на всеки автобус голямо разстояниетрябва да има двама шофьори, тогава ако има 50 автобуса и 90 шофьори в автобусния парк, само 45 маршрута могат да бъдат обслужвани едновременно:
min(90/2;50/1) = 45.

Приложение

Примери за решаване на проблеми с помощта на производствени функции

Задача 1

Речна транспортна фирма използва превозвач (L) и фериботи (K). Производствената функция има формата . Цената на единица капитал е 20, цената на единица труд е 20. Какъв ще бъде наклонът на изокостата? Колко труд и капитал трябва да привлече фирмата, за да направи 100 пратки?

3. капитал;

4. предприемачески способности;

5. научно-технически прогрес.

Всички тези фактори са тясно свързани помежду си.

Производствената функция е математическа зависимост между максималната продукция за единица време и комбинацията от фактори, които я създават, предвид текущото ниво на знания и технологии. В същото време основната задача на математическата икономика от практическа гледна точка е да идентифицира тази зависимост, тоест да изгради производствена функция за определена индустрия или конкретно предприятие.

В производствената теория те използват главно двуфакторна производствена функция, която най-общо изглежда така:

Q = f ( К , Л ), където Q е обемът на производството; К - капитал; L - труд.

Въпросът за съотношението на разходите на производствените фактори, които се заменят взаимно, се решава с помощта на такава концепция като еластичност на заместването на производствените фактори.

Еластичността на заместването е съотношението на разходите за заместване на факторите на производство при постоянна продукция. Това е вид коефициент, който показва степента на ефективност при замяната на един производствен фактор с друг.

Мярка за взаимозаменяемостта на производствените фактори е пределната норма на техническа замяна MRTS, която показва колко единици може да бъде намален един от факторите чрез увеличаване на другия фактор с единица, запазвайки продукцията непроменена.

Изоквантата е крива, представяща всички възможни комбинации от две разходи, които осигуряват дадена постоянна продукция.

Финансирането обикновено е ограничено. Линия, образувана от набор от точки, показващи колко комбинирани производствени фактори или ресурси могат да бъдат закупени с наличните пари, се нарича изоцена. По този начин оптималната комбинация от фактори за конкретно предприятие е общо решениеуравнения на изокост и изокванти. Графично това е точката на контакт на линиите на изокостата и изоквантата.

Производствената функция може да бъде написана в различни алгебрични форми. По правило икономистите работят с линейно хомогенни производствени функции.

Документът също така разглежда конкретни примери за решаване на проблеми с помощта на производствени функции, което позволява да се заключи, че те са големи практическо значениев стопанска дейноствсяко предприятие.

Библиография

1. Дохърти К. Въведение в иконометрията. - М.: Финанси и статистика, 2001.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемних Ю.П. Математически методипо икономика: Учебник. – М.: Изд. "ДИС", 1997г.

3. Курс на икономическата теория: учебник. - Киров: АСА, 1999.

4. Микроикономика. Изд. проф. Яковлева Е.Б. – М.: СПб. Търсене, 2002.

5. Салманов О. Математическа икономика. – М.: BHV, 2003.

6. Чураков Е.П. Математически методи за обработка на експериментални данни в икономиката. - М.: Финанси и статистика, 2004 г.

7. Шелобаев С.И. Математически методи и модели в икономиката, финансите, бизнеса. – М.: Единство-Дана, 2000.

Голям търговски речник./Ред. от Рябова Т.Ф. - М .: Война и мир, 1996. С. 241.

ВСИЧКОРУСКИ КОРЕСПОНДЕНЦИЕН ФИНАНСОВО-ИКОНОМИЧЕСКИ ИНСТИТУТ

СЕКЦИЯ ИКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИ МЕТОДИ И МОДЕЛИ

иконометрия

Производствени функции

(Материали за лекцията)

Изготвен от доцент от катедрата

Филонова Е.С. (клон в Орел)

Текстът на лекцията на тема "Производствени функции"

по дисциплина "Иконометрия"

план:

Въведение

Концепцията за производствена функция на една променлива

Производствени функции на няколко променливи

Свойства и основни характеристики на производствените функции

Примери за използване на производствени функции в проблемите на икономическия анализ, прогнозиране и планиране

Основни изводи

Контролни тестове за обучение

Литература

Въведение

В условията на съвременното общество никой не може да консумира само това, което сам произвежда. За най-пълно задоволяване на своите потребности хората са принудени да обменят това, което произвеждат. Без постоянно производство на блага нямаше да има потребление. Ето защо е от голям интерес да се анализират закономерностите, които действат в процеса на производство на стоки, които по-нататък формират тяхното предлагане на пазара.

Производственият процес е основното и изходно понятие на икономиката. Какво се разбира под производство?

Концепцията за производствена функция на една променлива

Разглеждането на понятието "производствена функция" ще започне с най-простия случай, когато производството се дължи само на един фактор. В такъв случай Ппроизводствена функция -това е функция, чиято независима променлива приема стойностите на използвания ресурс (фактор на производство), а зависимата променлива - стойностите на обема на продукцията

В тази формула y е функция на една променлива x. В тази връзка производствената функция (ПФ) се нарича едноресурсна или еднофакторна. Неговата област на дефиниране е множеството от неотрицателни реални числа. Символът f е характеристика на производствената система, която преобразува ресурс в продукция. В микроикономическата теория е общоприето, че y е максималната възможна продукция, ако ресурсът се изразходва или използва в размер на x единици. В макроикономиката това разбиране не е съвсем правилно: възможно е при различно разпределение на ресурсите между структурните единици на икономиката производството да бъде по-голямо. В този случай PF е статистически стабилна връзка между входа и изхода на ресурса. По-правилна е символиката

където a е векторът на PF параметрите.

Пример 1. Вземете PF f във формата f(x)=ax b , където x е стойността на изразходвания ресурс (например работно време), f(x) е обемът на продукцията (например броят на хладилници, готови за изпращане). Величините a и b са параметри на PF f. Тук a и b са положителни числа, а числото b1, параметърният вектор е двумерен вектор (a,b). PF y=ax b е типичен представител на широк клас еднофакторни PF.

PF графиката е показана на фигура 1

Графиката показва, че с увеличаването на стойността на изразходвания ресурс, y нараства. но в същото време всяка допълнителна единица от ресурса дава все по-малко увеличение на обема y на продукцията. Отбелязаното обстоятелство (увеличаване на обема на y и намаляване на увеличаването на обема на y с увеличаване на стойността на x) отразява фундаменталното положение на икономическата теория (добре потвърдено от практиката), наречено закон за намаляване ефективност (намаляване на производителността или намаляване на възвръщаемостта).

Като прост пример, нека вземем еднофакторна производствена функция, която характеризира производството на селскостопански продукт от фермер. Нека всички производствени фактори, като например количеството земя, притежанието на фермера върху селскостопанска техника, семена, количеството труд, инвестиран в производството на даден продукт, остават постоянни от година на година. Променя се само един фактор - количеството на внесения тор. В зависимост от това се променя стойността на получения продукт. Първо, с нарастването на променливия фактор, той се увеличава доста бързо, след това растежът на общия продукт се забавя и започвайки от определени обеми на приложените торове, стойността на получения продукт започва да намалява. По-нататъшното увеличаване на променливия фактор не увеличава продукта.

PF могат да имат различни области на използване. Принципът вход-изход може да се прилага както на микро-, така и на макроикономическо ниво. Нека първо се съсредоточим върху микроикономическото ниво. PF y=ax b , разгледан по-горе, може да се използва за описание на връзката между стойността на изразходвания или използван ресурс x през годината в отделно предприятие (фирма) и годишната продукция на това предприятие (фирма). Ролята на производствената система тук се играе от отделно предприятие (фирма) - имаме микроикономически PF (MIPF). На микроикономическо ниво една индустрия, междусекторен производствен комплекс, също може да действа като производствена система. MIPF се изграждат и използват главно за решаване на проблеми на анализа и планирането, както и проблеми с прогнозирането.

PF може да се използва за описание на връзката между годишния вложен труд на даден регион или държава като цяло и годишната крайна продукция (или доход) на този регион или държава като цяло. Тук регионът или страната като цяло действа като производствена система - имаме макроикономическо ниво и макроикономически PF (MAPF). МЗГФ се изграждат и активно използват за решаване и на трите вида проблеми (анализ, планиране и прогнозиране).

Точната интерпретация на понятията изразходван или използван ресурс и продукция, както и изборът на единици за тяхното измерване, зависят от естеството и мащаба на производствената система, характеристиките на решаваните задачи и наличието на първоначални данни. На микроикономическо ниво вложените ресурси и продукцията могат да бъдат измерени както в натурални, така и в разходни единици (показатели). Годишните разходи за труд могат да бъдат измерени в човекочасове или в рубли платени заплати; продукцията може да бъде представена в части или в други натурални единици или под формата на нейната стойност.

На макроикономическо ниво входовете и продукцията се измерват, като правило, по отношение на разходите и представляват агрегати на разходите, т.е. общите стойности на продуктите на обемите изразходвани ресурси и продуктите, произведени по техните цени.

Производствени функции на няколко променливи

Сега се обръщаме към разглеждането на производствените функции на няколко променливи.

Производствена функция на няколко променливие функция, чиито независими променливи приемат стойностите на обемите изразходвани или използвани ресурси (броят на променливите n е равен на броя на ресурсите), а стойността на функцията има значението на стойностите на изхода томове:

y=f(x)=f(x 1 ,…,х n). (2)

Във формула (2) y (y 0) е скалар, а x е векторна величина, x 1 ,…,х n са координатите на вектора x, т.е. f(x 1 ,…,х n) е числова функция на няколко променливи x 1 ,…,х n . В тази връзка PF f(x 1 ,…,х n) се нарича многоресурен или многофакторен. По-правилна е следната символика f(x 1 ,…,х n ,a), където a е векторът на PF параметрите.

Според икономическия смисъл всички променливи на тази функция са неотрицателни, следователно областта на дефиниране на многофакторната PF е множеството от n-мерни вектори x, всички координати x 1 ,…, x n от които са неотрицателни числа.

За отделно предприятие (фирма), произвеждащо хомогенен продукт, PF f(x 1 ,…,х n) може да свърже обема на продукцията с разходите за работно време за различни видове трудова дейност, различни видове суровини, компоненти , енергетика, основен капитал. PF от този тип характеризират текущата технология на предприятието (фирмата).

Когато се конструира PF за регион или държава като цяло, съвкупният продукт (доход) на региона или страната, обикновено изчислен по постоянни, а не по текущи цени, често се приема като стойност на годишното производство Y, основният капитал се разглежда като ресурси (x 1 (= K) - обемът на използвания основен капитал през годината) и жив труд (x 2 (= L) - броят единици жив труд, изразходвани през годината), обикновено изчислени в стойностно изражение. Така се изгражда двуфакторен PF Y=f(K,L). От двуфакторни PF преминават към трифакторни. Освен това, ако PF е конструиран от данни от времеви редове, тогава технологичният прогрес може да бъде включен като специален фактор в растежа на производството.

Извиква се PF y=f(x 1 ,x 2). статичен, ако неговите параметри и неговата характеристика f не зависят от времето t, въпреки че обемът на ресурсите и обемът на продукцията могат да зависят от времето t, т.е. те могат да бъдат представени под формата на времеви редове: x 1 (0) , x 1 (1),…, x 1 (T); x 2 (0), x 2 (1), ..., x 2 (T); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). Тук t е номерът на годината, t=0.1,…,Т; t= 0 е базовата година на времевия интервал, обхващащ години 1,2,…,T.

Пример 2За да се моделира конкретен регион или държава като цяло (т.е. да се решат проблеми на макроикономическо, както и на микроикономическо ниво), PF от формата y =
, където а 0 , а 1 , а 2 са параметри на PF. Това са положителни константи (често a 1 и a 2 са такива, че a 1 + a 2 =1). PF на току-що дадената форма се нарича PF на Cobb-Douglas (CPKD) на името на двамата американски икономисти, които предложиха използването му през 1929 г.

PPCD се използва активно за решаване на различни теоретични и приложни проблеми поради своята структурна простота. PFKD принадлежи към класа на така наречените мултипликативни PF (MPF). В приложенията PFKD x 1 \u003d K е равен на обема на използвания основен капитал (обемът на използваните дълготрайни активи - в местната терминология),
- цената на живия труд, тогава PFKD приема формата, често използвана в литературата:

Y=
.

История справка

През 1927 г. Пол Дъглас, икономист по образование, открива, че ако начертаем логаритмите на реалното производство във времето (Y), капиталови инвестиции (K) и разходи за труд (Л), тогава разстоянията от точките на графиката на показателите на продукцията до точките на графиките на показателите на разходите за труд и капитал ще бъдат постоянна пропорция. След това той се обърна към математика Чарлз Коб, за да намери математическа връзка, която има тази характеристика, и Коб предложи следната функция:

Тази функция е предложена около 30 години по-рано от Филип Уикстид, както е посочено от К. Коб и П. Дъглас в тяхната класическа работа (1929), но те са първите, които използват емпирични данни, за да я изградят. Авторите не описват как всъщност са приспособили функцията, но вероятно са използвали форма на регресионен анализ, тъй като са се позовавали на "най-малките квадрати".

Пример 3Линейният PF (LPF) има формата:
(двуфакторни) и (многофакторни). PSF принадлежи към класа на така наречените добавки PF (APF). Преходът от мултипликативната PF към адитивната се извършва с помощта на операцията логаритъм. За двуфакторен мултипликативен PF

този преход изглежда така: . Въвеждайки подходящото заместване, получаваме добавката PF .

Ако сумата от експонентите в PF на Коб-Дъглас е равна на единица, тогава тя може да бъде написана в малко по-различна форма:

тези.
.

дроби
се наричат съответно производителност на труда и капиталоотношение. Използвайки нови символи, получаваме

тези. от двуфакторния PKD получаваме формално еднофакторен PKD. Поради факта, че 0 1

Обърнете внимание, че фракцията се нарича производителност на капитала или капиталова производителност, реципрочните се наричат съответно капиталоемкост и трудоемкост на продукцията.

PF се нарича динамичен, ако:

времето t се явява като независима променлива (сякаш независим производствен фактор), влияеща върху обема на продукцията;

параметрите на ПФ и неговата характеристика f зависят от времето t.

Обърнете внимание, че ако параметрите на PF бяха оценени от данни от времеви редове (обеми ресурси и продукция) с продължителност години, тогава екстраполационните изчисления за такъв PF трябва да се извършват не повече от 1/3 години напред.

При конструирането на PF научно-техническият прогрес (STP) може да бъде взет предвид чрез въвеждане на множителя STP
, където параметърът р (р>0) характеризира скоростта на нарастване на производството под влияние на научно-техническия прогрес:

(t=0,1,…,T).

Този PF е най-простият пример за динамичен PF; включва неутрален, тоест технически прогрес, който не е материализиран в един от факторите. В по-сложни случаи техническият прогрес може пряко да повлияе върху производителността на труда или възвръщаемостта на капитала: Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) или Y(t)=f(A(t) )× K(t), L(t)). Нарича се съответно трудоспестяващ или капиталоспестяващ НТП.

Пример 4Ето един вариант на PFKD, като се вземе предвид NTP

Изчисляването на числените стойности на параметрите на такава функция се извършва с помощта на корелационен и регресионен анализ.

Избор на аналитична форма на PF
е продиктувано преди всичко от теоретични съображения, които следва да отчитат особеностите на връзката между конкретни ресурси или икономически модели. Параметрите на PF обикновено се оценяват с помощта на метода на най-малките квадрати.

Свойства и основни характеристики на производствените функции

За производството на конкретен продукт е необходима комбинация от различни фактори. Въпреки това различните производствени функции споделят редица общи свойства.

За определеност се ограничаваме до производствените функции на две променливи
. На първо място, трябва да се отбележи, че такава производствена функция е дефинирана в неотрицателен ортант на двумерната равнина, т.е. PF отговаря на следния набор от свойства:

Като равна линия целева функцияоптимизационен проблем, има и подобна концепция за PF. PF ниво линияе наборът от точки, върху които PF заема постоянна стойност. Понякога линиите на нивото се наричат изокванти PF. Увеличаването на един фактор и намаляването на друг може да възникне по такъв начин, че общият обем на производството да остане на същото ниво. Изоквантите просто определят всички възможни комбинации от производствени фактори, необходими за постигане на дадено ниво на производство.

Фигура 2 показва, че продукцията е постоянна по протежение на изоквантата, тоест няма увеличение на продукцията. Математически това означава, че общият диференциал на PF върху изоквантата е равен на нула:

Изоквантите имат следното Имоти:

Изоквантите не се пресичат.

По-голямото разстояние на изоквантата от началото съответства на по-високо ниво на продукция.

Изоквантите са низходящи криви с отрицателен наклон.

Изоквантите са подобни на кривите на безразличие с единствената разлика, че отразяват ситуацията не в сферата на потреблението, а в сферата на производството.

Отрицателният наклон на изоквантите се обяснява с факта, че увеличаването на използването на един фактор при определена сумаосвобождаването на даден продукт винаги ще бъде придружено от намаляване на количеството на друг фактор. Наклонът на изоквантата се характеризира с пределна норма на технологично заместване на производствените фактори (MRTS) . Разгледайте тази стойност, като използвате примера на двуфакторна производствена функция Q(y,x). Пределната норма на технологично заместване се измерва чрез съотношението на промяната във фактора y към промяната във фактора x. Тъй като факторите са обърнати, тогава математически изразИндикаторът MRTS се приема със знак минус:

Фигура 3 показва една от изоквантите на PF Q(y,x)

Ако вземем произволна точка от тази изокванта, например точка А и начертаем допирателна KM към нея, тогава тангентата на ъгъла ще ни даде стойността на MRTS:

Може да се отбележи, че в горната част на изоквантата ъгълът ще бъде доста голям, което показва, че е необходима значителна промяна на фактора y, за да се промени факторът x с единица. Следователно в тази част от кривата стойността на MRTS ще бъде голяма. Докато се движите надолу по изоквантата, стойността на пределната норма на технологично заместване постепенно ще намалява. Това означава, че за да се увеличи факторът x с единица, е необходимо леко намаляване на фактора y. При пълно заместване на факторите изоквантите от кривите се трансформират в прави линии.

Един от най-интересните примери за използването на PF изокванти е изследването икономии от мащаба (виж свойство 7).

Какво е по-ефективно за икономиката: един голям завод или няколко малки предприятия? Отговорът на този въпрос не е толкова прост. Плановата икономика отговори недвусмислено, давайки приоритет на индустриалните гиганти. С прехода към пазарна икономика започна широкото разпадане на създадените по-рано сдружения. Къде е златната среда? Базиран на доказателства отговор на този въпрос може да бъде получен чрез изследване на ефекта от мащаба в производството.

Представете си, че във фабрика за обувки ръководството реши да насочи значителна част от получените печалби към развитието на производството, за да увеличи обема на производството. Да приемем, че капиталът (оборудване, машини, производствени площи) е удвоен. В същата пропорция нараства и броят на служителите. Възниква въпросът какво ще се случи в този случай с обема на продукцията?

От анализа на фигура 5

следват три отговора:

Броят на продуктите ще се удвои (постоянна възвръщаемост към мащаба);

Ще се увеличи повече от два пъти (увеличаване на възвръщаемостта от мащаба);

Ще се увеличи, но по-малко от два пъти (намаляването се връща към мащаба).

Постоянната възвръщаемост на мащаба се обяснява с хомогенността на променливите фактори. При пропорционално увеличаване на капитала и труда в такова производство средната и пределната производителност на тези фактори ще останат непроменени. В този случай няма значение дали ще работи едно голямо предприятие или вместо това ще бъдат създадени две малки.

При намаляваща възвръщаемост от мащаба е нерентабилно да се създава широкомащабно производство. Причината за ниската ефективност в този случай, като правило, са допълнителните разходи, свързани с управлението на такова производство, трудността при координиране на мащабното производство.

Увеличаването на възвръщаемостта от мащаба, като правило, е характерно за онези отрасли, където е възможна широка автоматизация на производствените процеси, използването на производствени и конвейерни линии. Но с тенденцията за увеличаване на възвръщаемостта от мащаба, човек трябва да бъде много внимателен. Рано или късно тя се превръща в константа, а след това в намаляваща възвращаемост от мащаба.

Нека се спрем на някои характеристики на производствените функции, които са най-важни за икономическия анализ. Нека ги разгледаме на примера на PF на формата
.

Както беше отбелязано по-горе, съотношението
(i=1,2) се нарича средна производителност на i-тия ресурс или средна производителност на i-тия ресурс. Първа частична производна на PF
(i=1,2) се нарича пределна производителност на i-тия ресурс или пределна продукция на i-тия ресурс. Тази гранична стойност понякога се интерпретира, като се използва съотношението на малки крайни стойности, близки до нея
. Приблизително той показва с колко единици ще се увеличи обемът на продукцията y, ако обемът на разходите от i-тия ресурс ще се увеличи с една (достатъчно малка) единица при същите обеми на друг изразходван ресурс.

Например в PFKD за средната производителност на основния капитал y / K и труда y / L се използват съответно термините възвръщаемост на капитала и производителност на труда:

Нека дефинираме пределната производителност на факторите за тази функция:

По този начин, ако
, тогава
(i=1,2), т.е. пределната производителност на i-тия ресурс не е по-голяма от средната производителност на този ресурс. Коефициент на пределна производителност
i-ти фактор спрямо средната му производителност се нарича еластичност на продукцията по отношение на i-тия производствен фактор

или приблизително

По този начин еластичността на продукцията (обема на производството) по отношение на някакъв фактор (коефициент на еластичност) се определя приблизително като съотношението на темпа на растеж y към темпа на растеж на този фактор, т.е. показва с колко процента ще се увеличи продукцията y, ако разходите за i-тия ресурс се увеличат с един процент при непроменени обеми на другия ресурс.

Сума +=днаречена еластичност на производството. Например за PFCD = , и E=.

Производствените функции ни позволяват да анализираме количествено най-важните икономически зависимости в сферата на производството. Те позволяват да се оцени средната и пределната ефективност на различните производствени ресурси, еластичността на продукцията за различни ресурси, пределните нива на заместване на ресурсите, ефектът от производствения мащаб и много други.

Пример 1Да приемем, че производственият процес се описва от изходната функция

Нека да оценим основните характеристики на тази функция за метод на производство, при който K=400 и L=200.

Решение.

Фактори на пределната производителност.

За да изчислим тези стойности, определяме частните производни на функцията по отношение на всеки от факторите:

Така пределната производителност на фактора труд е четири пъти по-висока от тази на фактора капитал.

производствена еластичност.

Еластичността на производството се определя от сумата на еластичностите на продукцията за всеки фактор, т.е.

Пределната норма на заместване на ресурсите.

По-горе в текста тази стойност беше отбелязана
и беше равно на
. Така в нашия пример

това означава, че четири единици капиталови ресурси са необходими, за да заменят единица труд в този момент.

Изоквантното уравнение.

За да се определи формата на изоквантата, е необходимо да се фиксира стойността на изхода (Y). Нека например Y=500. За удобство приемаме L като функция на K, след което изоквантното уравнение приема формата

Пределната норма на заместване на ресурсите определя тангенса на наклона на тангентата към изоквантата в съответната точка. Използвайки резултатите от т. 3, можем да кажем, че точката на допиране се намира в горната част на изокваната, тъй като ъгълът е достатъчно голям.

Пример 2Разгледайте функцията на Коб-Дъглас в общ вид

Да предположим, че K и L са удвоени. По този начин новото изходно ниво (Y) ще бъде записано, както следва:

Нека определим ефекта от мащаба на производството в случаите, когато
>1, =1 и

Ако например =1,2 и
=2.3, тогава Y нараства повече от два пъти; ако =1, a =2, тогава удвояването на K и L води до удвояване на Y; ако \u003d 0,8 и \u003d 1,74, тогава Y се увеличава с по-малко от два пъти.

Така в пример 1 може да има постоянен ефект върху мащаба на производството.

История справка

В първата си статия Ч. Коб и П. Дъглас първоначално приемат постоянна възвращаемост от мащаба. Впоследствие те смекчиха това предположение, предпочитайки да оценят степента на възвръщаемост от мащаба на производството.

Основната задача на производствените функции обаче е да осигурят изходен материал за най-ефективни управленски решения. Нека илюстрираме въпроса за вземане на оптимални решения въз основа на използването на производствени функции.

Пример 3Нека е дадена производствена функция, която свързва продукцията на предприятието с броя на работниците , производствени активи и обема на използваните машиночасове

откъдето получаваме решението
, където y=2. Тъй като например точката (0,2,0) принадлежи на допустимата област и y=0 в нея, заключаваме, че точката (1,1,1) е глобалната максимална точка. Икономическите последици от полученото решение са очевидни.

В заключение отбелязваме, че производствените функции могат да се използват за екстраполиране на икономическия ефект от производството в даден период от бъдещето. Както в случая с конвенционалните иконометрични модели, икономическата прогноза започва с оценка на прогнозираните стойности на производствените фактори. В този случай може да се използва методът на икономическо прогнозиране, който е най-подходящ за всеки отделен случай.

Основни изводи

Тестове за проверка на усвоения материал

Изберете верният отговор.

Каква е производствената функция?

А) общото количество използвани производствени ресурси;

Б) най-ефективният начин за технологична организация на производството;

В) връзката между разходите и максималния обем на продукцията;

Г) начин за минимизиране на печалбите при минимизиране на разходите.

Кое от следните уравнения е уравнението на производствената функция на Коб-Дъглас?

D) y=
.

3. Какво характеризира производствената функция с един променлив фактор?

А) зависимостта на обема на производството от цената на фактора,

Б) зависимост, при която факторът x се променя, а всички останали остават постоянни,

В) връзка, при която всички фактори се променят, а факторът x остава постоянен,

Г) връзката между факторите x и y.

4. Изоквантната карта е:

А) набор от изокванти, показващи продукцията за определена комбинация от фактори;

Б) произволен набор от изокванти, показващи пределната норма на производителност на променливи фактори;

В) комбинации от линии, характеризиращи пределната норма на технологично заместване.

Верни или грешни са твърденията?

Производствената функция отразява връзката между използваните производствени фактори и съотношението на пределната производителност на труда на тези фактори.

Функцията на Коб-Дъглас е производствена функция, която показва максималното количество продукт при използване на труд и капитал.

Няма ограничение за растежа на продукта, произведен с един променлив фактор на производство.

Изоквантата е крива на равен продукт.

Изоквантата показва всички възможни комбинации от използване на два променливи фактора за получаване на максимален продукт.

Литература

Dougherty K. Въведение в иконометрията. - М.: Финанси и статистика, 2001.

Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемних Ю.П. Математически методи в икономиката: Учебник. – М.: Изд. "ДИС", 1997г.

Курсът на икономическата теория: учебник. - Киров: АСА, 1999.

Микроикономика / Ред. проф. Яковлева Е.Б. – М.: СПб. Търсене, 2002.

Световна икономика. Варианти за класна работа за учители. – М.: ВЗФЕИ, 2001.

Овчинников G.P. Микроикономика. - Санкт Петербург: Издателство им. Володарски, 1997 г.

Политическа икономика; икономическа енциклопедия. – М.: Изд. „Сови. Енциклопедия“, 1979 г.

производствени функции наречено свързване на икономико-математически модели променливиразходи с продукцията. Понятията "разходи" и "резултат" са свързани, като правило, с производствения процес; това обяснява произхода на името на този тип модели. Ако се разглежда икономиката на даден регион или страна като цяло, тогава се развиват агрегирани производствени функции, при които продукцията е показател за общия обществен продукт. Частни случаи на производствени функции са функции на освобождаване (зависимост на обема на производството от наличието или потреблението на ресурси), функции на разходите (връзката между обема на производството и производствените разходи), функции на капиталовите разходи (зависимост на капиталовите инвестиции от производствен капацитетустановени предприятия) и др.

Мултипликативните форми на представяне на производствените функции са широко използвани. В най-общия си вид мултипликативната производствена функция се записва по следния начин:

Ето коефициента НО определя размерността на количествата и зависи от избраните единици за измерване на разходите и продукцията. Фактори х i представляват влияещи фактори и могат да имат различно икономическо съдържание в зависимост от факторите, които влияят на продукцията Р. Параметрите на мощността α, β, ..., γ показват дела в растежа на крайния продукт, който допринася всеки от факторите; те се наричат коефициенти на еластичност на производството по отношение на разходите от съответния ресурс и покажете с какъв процент се увеличава продукцията при увеличение на цената на този ресурс с един процент.

Сумата от коефициентите на еластичност има важностза характеризиране на свойствата на производствената функция. Да предположим, че разходите за всички видове ресурси нарастват к веднъж. Тогава стойността на изхода в съответствие с (7.16) ще бъде

Следователно, ако , тогава с увеличаване на разходите в да се пъти продукцията също се увеличава к веднъж; производствената функция в този случай е линейно хомогенна. При E > 1 същото увеличение на разходите ще доведе до увеличение на продукцията с повече от да се пъти и при д < 1 – менее чем в да се пъти (т.нар. мащабен ефект).

Пример за мултипликативни производствени функции е добре известната производствена функция на Коб-Дъглас:

н - национален доход;

НО – коефициент на размерност;

Л, К - съответно обемът на вложения труд и основен капитал;

α и β са коефициенти на еластичност на националния доход спрямо труда Л и капитал ДА СЕ.

Тази функция е използвана от американски изследователи при анализа на развитието на икономиката на САЩ през 30-те години на миналия век.

Ефективността на използването на ресурсите се характеризира с два основни показателя: средно аритметично (абсолютен ) ефективност ресурс

и пределна ефективност ресурс

Икономическият смисъл на μi е очевиден; в зависимост от вида на ресурса, той характеризира такива показатели като производителност на труда, производителност на капитала и др. v i показва незначителното увеличение на продукцията на продукта с увеличаване на цената на i-тия ресурс с "малка единица" (с 1 рубла, с 1 стандартен час и т.н.).

Много точки н -дименсионално пространство на производствените фактори (ресурси), които отговарят на условието за постоянство на продукцията Р (х ) = C, Наречен изокванта. Най-важните свойства на изоквантите са следните: изоквантите не се пресичат една с друга; по-голямосвобождаването съответства на изоквантата, която е по-отдалечена от произхода; ако всички ресурси са абсолютно необходими за производството, тогава изоквантите нямат общи точкис координатни хиперравнини и с координатни оси.

В материалното производство голямо значениепридобива понятието взаимозаменяемост на ресурсите. В теорията на производствените функции възможностите за заместване на ресурсите характеризират производствената функция от гледна точка на различни комбинации от вложени ресурси, които водят до едно и също ниво на продукция. Нека обясним това в условен пример. Нека производството на определено количество селскостопански продукти изисква 10 работници и 2 тона тор, а ако само 1 тон тор се приложи в почвата, ще са необходими 12 работници за получаване на същата реколта. Тук 1 тон тор (първият ресурс) се заменя с труда на двама работници (вторият ресурс).

От равенството следват условията за еквивалентна взаимозаменяемост на ресурсите в определен момент dP = 0:

Оттук пределна норма на заместване (еквивалентна заменимост) на всеки два ресурса к и л дадено от формулата

(7.20)

Пределната норма на заместване като индикатор за производствената функция характеризира относителната ефективност на взаимозаменяемите производствени фактори при движение по изоквантата. Например, за функцията на Коб-Дъглас, пределната норма на заместване на разходите за труд с капиталови разходи, т.е. производствените активи има формата

(7.21)

Знакът минус от дясната страна на формули (7.20) и (7.21) означава, че при фиксиран обем на производството увеличението на един от взаимозаменяемите ресурси съответства на намаление на другия.

Пример 7.1.Да разгледаме пример за производствената функция на Коб-Дъглас, за която са известни коефициентите на еластичност на продукцията за труд и капитал: α = 0,3; β = 0,7, както и разходите за труд и капитал: Л = 30 хиляди души; Да се = 490 милиона рубли. При тези условия пределната норма на заместване производствени активиразходите за труд е

Така, в този условен пример, в тези точки на двумерното пространство ( Л, К ), където трудовите и капиталовите ресурси са взаимозаменяеми, намаляване на производствените активи със 7 хиляди рубли. може да се компенсира от увеличаване на разходите за труд на човек и обратно.

Свързано с понятието пределна норма на заместване е понятието еластичност на заместването на ресурсите. Коефициентът на еластичност на заместване характеризира съотношението на относителната промяна в съотношението на разходите за ресурси к и л до относителна промяна в пределната норма на заместване на тези ресурси:

Този коефициент показва с какъв процент трябва да се промени съотношението между взаимозаменяемите ресурси, за да се промени пределната норма на заместване на тези ресурси с 1%. Колкото по-висока е еластичността на заместването на ресурсите, толкова по-широко те могат да се заменят взаимно. При безкрайната еластичност () няма граници за взаимозаменяемостта на ресурсите. При нулева еластичност на заместване () няма възможност за заместване; в този случай ресурсите се допълват взаимно и трябва да се използват в определено съотношение.

Помислете, в допълнение към функцията на Коб-Дъглас, някои други производствени функции, широко използвани като иконометрични модели. Линейна производствена функция има формата

са оценените параметри на модела;

, - производствени фактори, взаимозаменяеми във всякакви пропорции (еластичност на заместване).

Изоквантите на тази производствена функция образуват семейство от успоредни хиперравнини в неотрицателен ортант н -дименсионално пространство на факторите.

Много изследвания използват производствени функции с постоянна еластичност на заместване.

(7.23)

Производствената функция (7.23) е хомогенна функция на степента П. Всички еластичности на заместване на ресурсите са равни една на друга:

Следователно тази функция се нарича функция с постоянна еластичност на заместване (CES функция ). Ако , еластичността на заместването е по-малка от единица; ако , стойността е по-голяма от едно; когато , функцията CES се трансформира в мултипликативна функция за производство на мощност (7.16).

Двуфакторна функция CES има формата

При n = 1 и p = 0, тази функция се трансформира във функция от типа на функцията на Коб-Дъглас (7.17).

Освен производствени функции с постоянни коефициентиеластичността на продукцията от ресурсите и постоянната еластичност на заместването на ресурсите в икономическия анализ и прогнозиране се използват и функции от по-обща форма. Пример е функцията

Тази функция се различава от функцията на Коб-Дъглас с фактора , където z = K/L- съотношение капитал-труд (съотношение капитал-труд) на труда и в него еластичността на заместването отнема различни значенияв зависимост от съотношението капитал-труд. В това отношение тази функция принадлежи към типа производствени функции с променлива еластичност на заместване (VES функции ).

Нека се обърнем към разглеждането на редица въпроси на практическото използване на производствените функции в икономиката.

химичен анализ. Макроикономическите производствени функции се използват като инструмент за прогнозиране на обема на брутната продукция, крайния продукт и националния доход, за анализ на сравнителната ефективност на производствените фактори. По този начин важно условие за растежа на производството и производителността на труда е увеличаването на съотношението капитал-труд на труда. Ако за функцията на Коб-Дъглас

постави условие линейна равномерност, то от съотношението между производителността на труда ( P/L ) и съотношението капитал-труд ( К/Л )

(7.24)

следва, че производителността на труда нараства по-бавно от съотношението капитал-труд, тъй като . Това заключение, подобно на много други резултати от анализи, базирани на производствени функции, винаги е валидно за статични производствени функции, които не отчитат подобряването на техническите средства на труда и качествените характеристики на използваните ресурси, т. независимо от технологичния прогрес. За да се оценят параметрите на модела (7.24), той се линеаризира, като се вземе логаритъм:

Наред с количественото увеличение на количеството използвани ресурси ( трудови ресурси, производствени активи и др.) Най-важният фактор за растежа на производството е научно-техническият прогрес, който се състои в подобряване на техническите средства и технологии, повишаване на квалификацията на работниците и подобряване на организацията на управлението на производството. Статичните иконометрични модели, включително статичните производствени функции, не отчитат фактора на техническия прогрес, поради което се използват динамични макроикономически производствени функции, чиито параметри се определят от времеви редове за обработка. Технологичният прогрес обикновено се отразява в производствените функции под формата на зависима от времето тенденция в развитието на производството.

Например функцията на Коб-Дъглас, като се вземе предвид факторът на технологичния прогрес, приема следната форма:

В модел (7.25) факторът отразява тенденцията в развитието на производството, свързана с научно-техническия прогрес. В този множител T е времето, а λ е скоростта на нарастване на продукцията, дължаща се на технически прогрес. При практическото използване на модел (7.25), за оценка на неговите параметри, линеаризацията се извършва чрез вземане на логаритми, подобно на модел (7.24):

Специално трябва да се отбележи, че при конструирането на производствените функции, както при всички многофакторни иконометрични модели, много важен момент е правилният подбор на влияещите фактори. По-специално, необходимо е да се отървем от явленията на мултиколинеарност на факторите и явленията на автокорелация във всеки от тях. Този проблем е описан подробно в параграф 7.1 от тази глава. При оценка на параметрите на производствените функции въз основа на статистически наблюдения, включително времеви редове, основният метод е методът на най-малките квадрати.

Разгледайте приложението на производствените функции за икономически анализ и прогнозиране на условен пример от областта на икономиката на труда.

Пример 7.2. Нека производството на индустрията се характеризира с производствена функция от типа на Коб-Дъглас:

Р - обемът на продукцията (милиони рубли);

T - броят на служителите в индустрията (хиляди души);

Е - средната годишна цена на дълготрайните производствени активи (млн. рубли).

Да предположим, че параметрите на тази производствена функция са известни и равни: a = 0,3; р = 0,7; коефициент на размерност А = = 0,6 (хиляда рубли/човек) 0,3. Известна е и стойността на средногодишната себестойност на дълготрайните производствени активи Е = 900 милиона рубли. Тези условия изискват:

1) определя броя на служителите в индустрията, необходими за производството на продукти в размер на 300 милиона рубли;
2) разберете как ще се промени производството с увеличаване на броя на служителите с 1% и същите обеми производствени активи;
3) оценява взаимозаменяемостта на материалните и трудовите ресурси.

За да отговорим на въпроса от първата задача, ние линеаризираме тази производствена функция, като вземем логаритъм в естествена основа;

откъдето следва, че

Заменяйки първоначалните данни, получаваме

Следователно (хиляда души).

Да разгледаме втората задача. Тъй като , тази производствена функция е линейно хомогенна; в съответствие с това коефициентите AIR са коефициентите на еластичност на продукцията съответно за труд и средства. Следователно увеличаването на броя на заетите в индустрията с 1% при постоянен обем на производствените активи ще доведе до увеличение на продукцията с 0,3%, т.е. емисията ще възлиза на 300,9 милиона рубли.

Обръщайки се към третата задача, изчисляваме пределната норма на заместване на производствените активи с трудови ресурси. По формула (7.21)

По този начин, при спазване на взаимозаменяемостта на ресурсите, за да се осигури постоянството на продукцията (т.е. при движение по изоквантата), производствените активи на индустрията намаляват с 3,08 хиляди рубли. може да се компенсира с увеличаване на трудовите ресурси с 1 човек и обратно.

Друг вид производствена функция е линейната производствена функция, която има следната форма:

Q(L,K) = aL + bK

Тази производствена функция е хомогенна от първа степен, следователно има постоянна възвръщаемост от мащаба. Графично тази функция е показана на фигура 1.2, а.

Икономическият смисъл на линейната производствена функция е, че тя описва производство, в което факторите са взаимозаменяеми, тоест няма значение дали се използва само труд или само капитал. Но в реалния живот подобна ситуация е практически невъзможна, тъй като всяка машина все още се обслужва от човек.

Трябва да се отбележи, че в някои видове икономическа дейност трудът и капиталът изобщо не могат да се заменят взаимно и трябва да се използват във фиксирана пропорция: 1 работник - 2 машини, 1 автобус - 1 шофьор. В този случай еластичността на факторното заместване е нула и производствената технология е представена от производствената функция на Леонтиев:

Q(L,K) = min(;),

Ако, например, всеки автобус на дълги разстояния трябва да има двама шофьори, тогава ако има 50 автобуса и 90 шофьори в автобусния парк, само 45 маршрута могат да бъдат обслужвани едновременно:
min(90/2;50/1) = 45.

Приложение

Примери за решаване на проблеми с помощта на производствени функции

Задача 1

Решение

Изокостът се дава от уравнението:

където C е общата цена (някаква константа). Оттук:

тези. наклонът на тази права е -1.

Оптималното количество труд и капитал за 100 пратки се определя като допирна точка на изоквантата и изокост при някои C . Решавайки изоквантното уравнение, получаваме:

√(L×K) = 100/10 = 10, тогава .

Тогава . Тъй като общите разходи в този случай трябва да бъдат минимални, тогава, минимизирайки C по отношение на L, намираме количеството труд L: и . Размерът на капитала се намира по формулата .

Отговор: За изпълнението на 100 превоза фирмата трябва да привлече 10 единици труд и 10 единици капитал.

Задача 2

Производствената функция има формата , където Y- брой продукти на ден, Л- работни часове К- машиночасове. Да приемем, че на ден се изразходват 9 часа труд и 9 часа машинна работа.

Какво е максимална сумапроизведени продукти на ден? Да предположим, че фирмата удвоява цената и на двата фактора. Определете икономиите от мащаба на производството.

Решение

В условията на задачата на ден се прави производствени единици. Ако разходите и на двата фактора се удвоят, тогава продукцията става равна на , т.е. също се удвоява. Тогава ефектът от изменението на мащаба на производството, определен от условието , е равен на единица.

Задача 3

В краткосрочен период производствената функция на фирмата има формата: , където L е броят на работниците. При какво ниво на заетост общото производство ще бъде максимизирано?

Решение

За да отговорите на въпроса на задачата, трябва да намерите максималната точка на функцията Y(L) . Ние го диференцираме по отношение на L и приравняваме производната на нула: . Получаваме квадратно уравнение, чийто дискриминант е , и корените . Тъй като един от корените е отрицателен, вземаме . Броят на работниците е цяло число, следователно, закръглявайки нагоре, получаваме .

Заключение

Ресурсите в икономиката действат като производствени фактори, които включват:

2. земя (природни ресурси);

3. капитал;

4. предприемачески способности;

5. научно-технически прогрес.

Всички тези фактори са тясно свързани помежду си.

Q = f (K, L),където Q е обемът на производството; К - капитал; L - труд.

Финансирането обикновено е ограничено. Линия, образувана от набор от точки, показващи колко комбинирани производствени фактори или ресурси могат да бъдат закупени с наличните пари, се нарича изоцена. По този начин оптималната комбинация от фактори за конкретно предприятие е общото решение на уравненията на изокост и изокванта. Графично това е точката на контакт на линиите на изокостата и изоквантата.

Производствената функция може да бъде записана в различни алгебрични форми. По правило икономистите работят с линейно хомогенни производствени функции.

Документът също така разглежда конкретни примери за решаване на проблеми с помощта на производствени функции, което позволява да се заключи, че те са от голямо практическо значение в икономическата дейност на всяко предприятие.

Библиография

1. Дохърти К. Въведение в иконометрията. - М.: Финанси и статистика, 2001.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемних Ю.П. Математически методи в икономиката: Учебник. – М.: Изд. "ДИС", 1997г.

3. Курс на икономическата теория: учебник. - Киров: АСА, 1999.

4. Микроикономика. Изд. проф. Яковлева Е.Б. – М.: СПб. Търсене, 2002.

5. Салманов О. Математическа икономика. – М.: BHV, 2003.

7. Шелобаев С.И. Математически методи и модели в икономиката, финансите, бизнеса. – М.: Единство-Дана, 2000.

1 Голям търговски речник./Ред. Рябова Т.Ф. - М .: Война и мир, 1996. С. 241.

В условията на съвременното общество никой не може да консумира само това, което сам произвежда. Всеки индивид действа на пазара в две роли: като потребител и като производител. Без постоянно производство на стокинямаше да има консумация. На добре познатия въпрос "Какво да произвеждаме?" потребителите на пазара реагират, като „гласуват“ със съдържанието на портфейла си за онези стоки, от които наистина се нуждаят. На въпроса "Как да произвеждам?" трябва да отговорят тези фирми, които произвеждат стоки на пазара.

В икономиката има два вида стоки: потребителски стоки и производствени фактори (ресурси) - това са стоките, необходими за организиране на производствения процес.

Неокласическата теория традиционно приписва капитала, земята и труда на производствените фактори.

През 70-те години 19 векАлфред Маршал откроява четвъртия фактор на производството - организацията. Освен това Йозеф Шумпетер нарича този фактор предприемачество.

По този начин, производството е процесът на комбиниране на фактори като капитал, труд, земя и предприемачество, за да се получат нови стоки и услуги, необходими на потребителите.

За организацията на производствения процес трябва да присъстват в определено количество необходимите производствени фактори.

Зависимостта на максималния обем на произведения продукт от разходите на използваните фактори се нарича производствена функция:

където Q е максималният обем на продукт, който може да бъде произведен при дадена технология и определени производствени фактори; К - капиталови разходи; L - разходи за труд; M - разходите за суровини, материали.

За обобщен анализ и прогнозиране се използва производствена функция, наречена функция на Коб-Дъглас:

Q = k K L M ,

където Q е максималният обем на продукта за дадени производствени фактори; K, L, M - съответно разходите за капитал, труд, материали; k - коефициент на пропорционалност или мащаб; , , , - показатели за еластичността на обема на производството, съответно за капитал, труд и материали, или коефициенти на растеж Q, за 1% от растежа на съответния фактор:

+ + = 1

Въпреки факта, че за производството на определен продукт е необходима комбинация от различни фактори, производствената функция има редица общи свойства:

производствените фактори се допълват. Това означава, че този производствен процес е възможен само при набор от определени фактори. Липсата на един от тези фактори ще направи невъзможно производството на планирания продукт.

има известна взаимозаменяемост на факторите. В процеса на производство един фактор може да бъде заменен в определено съотношение с друг. Взаимозаменяемостта не означава възможност за пълно елиминиране на всеки фактор от производствения процес.

Прието е да се разглеждат 2 разновидности на производствената функция: с един променлив фактор и с два променливи фактора.

а) производство с един променлив фактор;

Да приемем, че в най-общ вид производствената функция с един променлив фактор има формата:

където y е const, x е стойността на променливия фактор.

За да се отрази влиянието на променлив фактор върху производството, се въвеждат понятията общ (общ), среден и пределен продукт.

общ продукт (TP) - е количеството икономическо благо, произведено с помощта на известно количество променлив фактор.Това общо количество произведен продукт се променя с увеличаване на използването на променливия фактор.

Среден продукт (AP) (средна производителност на ресурси)е отношението на общия продукт към количеството променлив фактор, използван в производството:

пределен продукт (MP) (пределна производителност на ресурсите) обикновено се определя като увеличението на общия продукт в резултат на безкрайно малко увеличение на количеството на използвания променлив фактор:

Графиката показва съотношението на MP, AP и TP.

Общият продукт (Q) ще нараства с увеличаването на използването на променливия фактор (x) в производството, но този растеж има определени граници в рамките на дадена технология. На първия етап от производството (ОА) увеличаването на разходите за труд допринася за все по-пълното използване на капитала: пределната и общата производителност на труда нарастват. Това се изразява в нарастване на пределния и средния продукт, докато MP > АР. В точка А "пределният продукт достига своя максимум. На втория етап (AB) стойността на пределния продукт намалява и в точка B" става равна на средния продукт (MP = AP). Ако в първия етап (0A) общият продукт нараства по-бавно от количеството на използвания променлив фактор, тогава във втория етап (AB) общият продукт нараства по-бързо от количеството на използвания променлив фактор (фиг. 5-1a). ). На третия етап на производство (BV) MP< АР, в результате чего совокупный продукт растет медленнее затрат переменного фактора и, наконец, наступает четвертая стадия (после точки В), когда MP < 0. В результате прирост переменного фактора х приводит к уменьшению выпуска совокупной продукции. В этом и заключается закон убывающей предельной производительности. Той твърди, че с увеличаване на използването на който и да е производствен фактор (докато останалите остават непроменени), рано или късно се достига точка, при която допълнителното използване на променлив фактор води до намаляване на относителния и допълнително абсолютен обем на изход.

б) производство с два променливи фактора.

Да приемем, че в най-общ вид производствената функция с два променливи фактора има формата:

където x и y са стойностите на променливия фактор.

По правило се разглеждат 2 едновременно допълващи се и взаимозаменяеми фактора: труд и капитал.

Тази функция може да бъде представена графично с помощта на изокванти :

Изоквантата или кривата на равен продукт представлява всички възможни комбинации от два фактора, които могат да бъдат използвани за производството на дадено количество продукт.

С увеличаване на обема на използваните променливи фактори става възможно производството на по-голям обем продукти. Изоквантата, която отразява производството на по-голям обем продукт, ще бъде разположена вдясно и над предишната изокванта.

Броят на използваните фактори x и y може постоянно да се променя, съответно максималната производителност на продукта ще намалява или нараства. Следователно може да има набор от изокванти, съответстващи на различни обеми продукция, които образуват изоквантна карта.

Изоквантите са подобни на кривите на безразличие с единствената разлика, че отразяват ситуацията не в сферата на потреблението, а в сферата на производството. Тоест изоквантите имат свойства, подобни на кривите на безразличие.

Отрицателният наклон на изоквантите се обяснява с факта, че увеличаването на използването на един фактор при определен обем на продукцията на продукта винаги ще бъде придружено от намаляване на количеството на друг фактор.

Точно както кривите на безразличие, разположени на различни разстояния от началото, характеризират различни нива на полезност за потребителя, така и изоквантите предоставят информация за различни ниваизход на продукта.

Проблемът със заменяемостта на един фактор с друг може да бъде решен чрез изчисляване на пределната норма на технологично заместване (MRTS xy или MRTS LK).

Пределната норма на технологично заместване се измерва чрез съотношението на промяната във фактора y към промяната във фактора x. Тъй като факторите се заменят по обратния начин, математическият израз за MRTS индикатора x,y се приема със знак минус:

MRTS x,y = илиMRTS LK=

Ако вземем която и да е точка от изоквантата, например точка A и начертаем допирателна KM към нея, тогава тангентата на ъгъла ще ни даде стойността на MRTS x,y:

Може да се отбележи, че в горната част на изоквантата ъгълът ще бъде доста голям, което показва, че са необходими значителни промени във фактора y, за да се промени факторът x с единица. Следователно в тази част от кривата стойността на MRTS x,y ще бъде голяма.

Докато се движите надолу по изоквантата, стойността на пределната норма на технологично заместване постепенно ще намалява. Това означава, че за да се увеличи факторът x с единица, е необходимо леко намаляване на фактора y.

В реалните производствени процеси има два изключителни случая в конфигурацията на изоквантата:

Това е ситуация, при която два променливи фактора са напълно взаимозаменяеми, с пълна заменимост на производствените фактори MRTS x,y = const. Подобна ситуация може да си представим и с възможността за пълна автоматизация на производството. Тогава в точка А целият производствен процес ще се състои от капиталови вложения. В точка B всички машини ще бъдат заменени от работещи ръце, а в точки C и D капиталът и трудът ще се допълват взаимно.

В ситуация със строго допълване на факторите пределната норма на технологично заместване ще бъде равна на 0 (MRTS x,y = 0). Ако вземем модерен таксиметров парк с постоянен брой автомобили (y 1), които изискват определен брой шофьори (x 1), тогава можем да кажем, че броят на обслужените пътници през деня няма да се увеличи, ако увеличим броя на драйверите до x 2, x 3, ... x n. Обемът на произведения продукт ще се увеличи от Q 1 на Q 2 само ако броят на употребяваните автомобили в таксиметровия парк и броят на шофьорите се увеличат.

Всеки производител, придобивайки фактори за организация на производството, има определени ограничения в средствата.

Нека приемем, че трудът (фактор x) и капиталът (фактор y) действат като променливи фактори. Те имат определени цени, които остават постоянни за периода на анализ (P x , P y - const).

Производителят може да закупи необходимите фактори в определена комбинация, която не надхвърля бюджетните му възможности. Тогава неговата цена за придобиване на фактора x ще бъде P x · x, цената на фактора y, съответно, ще бъде P y · y. Общите разходи (C) ще бъдат:

C = P x X + P y Y или
.

За труд и капитал:

или

Извиква се графичното представяне на функцията на разходите (C). isocost (преки равни разходи, т.е. това са всички комбинации от ресурси, чието използване води до едни и същи разходи, изразходвани за производство).Тази права линия се конструира по две точки подобно на бюджетната линия (в равновесието на потребителя).

Наклонът на тази права линия се определя от:

С увеличаване на средствата за закупуване на променливи фактори, тоест с намаляване на бюджетните ограничения, линията на изокост ще се измести надясно и нагоре:

C 1 \u003d P x X 1 + P y Y 1.

Графично изокостите изглеждат по същия начин като бюджетната линия на потребителя. При постоянни цени изокостите са прави успоредни линии с отрицателен наклон. Колкото по-големи са бюджетните възможности на производителя, толкова по-далече от началото на координатите е изокостът.

Графиката на изокост в случай на намаляване на цената на фактора x ще се движи по абсцисата от точката x 1 до x 2 в съответствие с увеличаването на използването на този фактор в производствения процес (фиг. а).

И ако цената на фактора y се увеличи, производителят ще може да привлече по-малко количество от този фактор в производството. Графиката на изокост по оста y ще се премести от точка y 1 до y 2 .

Като се имат предвид производствените възможности (изоквантите) и бюджетните ограничения на производителя (изоразходите), може да се определи равновесие. За да направим това, ние комбинираме картата на изоквантите с изокостите. Тази изокванта, по отношение на която изокостът заема позицията на допирателна, ще определи най-големия обем на производството при възможностите на бюджета. Допирната точка на изоквантата на изокоста ще бъде точката на най-рационалното поведение на производителя.

При анализа на изоквантата установихме, че нейният наклон във всяка точка се определя от наклона на тангентата или скоростта на технологично заместване:

MRTS x,y =

Изокостът в точка E съвпада с тангентата. Наклонът на изокостата, както определихме по-рано, е равен на наклона . Въз основа на това е възможно да се определи точка на равновесие на потребителя като равенство на съотношенията между цените на производствените фактори и изменението на тези фактори.

или

Привеждайки това равенство към показателите на пределния продукт на променливия фактор на производство, в този случай това е MP x и MP y , получаваме:

или

Това е равновесието на производителя или правилото за най-малката цена..

За труда и капитала равновесието на производителя ще изглежда така:

Да приемем, че цените на ресурсите остават постоянни, докато бюджетът на производителя постоянно се увеличава. Свързвайки пресечните точки на изоквантите с изокостите, получаваме линията OS - "пътят на развитие" (подобно на линията на стандарта на живот в теорията на потребителското поведение). Този ред показва скоростта на нарастване на съотношението между факторите в процеса на разширяване на производството. На фигурата например трудът в хода на развитието на производството се използва в по-голяма степен от капитала. Формата на кривата на "пътя на развитие" зависи, първо, от формата на изоквантите и, второ, от цените на ресурсите (съотношението между които определя наклона на изокантите). Линията на "пътя на развитие" може да бъде права или извита от началото.

Ако разстоянията между изоквантите намаляват, това показва, че има нарастваща икономия от мащаба, т.е. увеличение на продукцията се постига с относителна икономия на ресурси. И компанията трябва да увеличи обема на производството, тъй като това води до относителна икономия на наличните ресурси.

Ако разстоянията между изоквантите се увеличават, това показва намаляващи икономии от мащаба. Намаляването на икономиите от мащаба показва, че минималният ефективен размер на предприятието вече е достигнат и по-нататъшното увеличаване на производството не е препоръчително.

Когато увеличаването на производството изисква пропорционално увеличение на ресурсите, се говори за постоянни икономии от мащаба.

По този начин анализът на продукцията с помощта на изокванти дава възможност да се определи техническата ефективност на производството. Пресичането на изоквантите с изокостите дава възможност да се определи не само технологичната, но и икономическата ефективност, т.е. да се избере технология (спестяваща труд или капитал, спестяваща енергия или материали и т.н.), която позволява да се осигури максимална производство на продукти с наличните средства производителят да организира производството.