Отговор

Предприемачите придобиват производствени фактори на пазарите, организират производството и произвеждат продукти. производствена функция- това е технологична връзка между броя на използваните производствени фактори и максимално възможната продукция, произведена за определен период от време. Такава технологична връзка съществува за всяко конкретно ниво на технологично развитие. Производствената функция изразява максималната продукция за всяка комбинация от производствени фактори. Функцията може да бъде представена като таблица, графика или аналитично като уравнение.

Ако целият набор от ресурси, необходими за производството, се представи като разходи за труд, капитал и материали, тогава производствената функция ще приеме следната форма:

Q \u003d F (T, K, M),

където Q е максималният обем продукти, произведени по тази технология в дадено съотношение: труд - T, капитал - K, материали - M.

Производствената функция показва връзката между факторите и дава възможност да се определи дела на всеки от тях в създаването на стоки и услуги.

Графично връзката между производствените фактори може да се изобрази като изокванта. Изоквантата е крива, която отразява различни опциикомбинации от ресурси, които могат да бъдат използвани за производство на определено количество продукция. Наборът от изокванти образува изоквантна карта, която показва алтернативи на производствената функция. Изоквантите имат следните свойства:

Изоквантите не могат да се пресичат, т.к са геометричното място на равни изходи;

Изоквантите са строго изпъкнали спрямо началото и имат отрицателен наклон;

Колкото по-високо и вдясно от изоквантата, толкова по-голям обем продукция характеризира.

Производствената функция може да се определи само емпирично (експериментално), т.е. чрез измервания, базирани на действителното представяне.

Въпрос 7. Производствени възможности на икономиката

Отговор

Общото свойство на икономическите ресурси е тяхното ограничено количество, така че икономиката постоянно е изправена пред въпроса за алтернативен избор: увеличаването на производството на един продукт (стоков пакет) означава отказ от производството на част от друг. Обществото се стреми да осигури пълна заетост и пълно производство, за да задоволи максимално нуждите си. концепция пълен работен денхарактеризира икономически целесъобразното използване на всички ресурси. Под изцялопроизводството предполага ефективно разпределение на ресурсите, осигуряващо най-голяма продукция.

Алтернативен изборв икономиката може да се характеризира с крива на производствените възможности,всяка точка от които отразява максималната възможна продукция на два продукта с дадени ресурси. Обществото определя коя комбинация от тези продукти избира. Функционирането на икономиката на границата на производствените възможности свидетелства за нейната ефективност и правилния избор на метода за производство на стоки. Точките извън кривата на производствените възможности противоречат на приетото условие.

Броят на другите продукти, които трябва да бъдат пожертвани, за да се получи каквото и да е количество от този продукт, се нарича алтернативен ( условни) производствени разходитози продукт. Необходимо е да се прави разлика между алтернативните разходи на допълнителна единица стоки и общите (или общите) алтернативни разходи. Установена е липсата на перфектна еластичност или взаимозаменяемост на ресурсите. От това следва, че при превключване на ресурсите от производството на един продукт към друг всеки допълнителна единицапродукт ще изисква участието на всички Повече ▼допълнителни продукти. Това явление е наименувано законът за нарастващите алтернативни разходи.По този начин, право на алтернативните разходиотразява процеса на постоянно нарастване на алтернативните разходи.

Теорията на алтернативните разходи и кривата на производствените възможности се използват при обосновката на инвестиционни програми и проекти, както и при формирането на оптималната продуктова структура, изучаването на потребителското поведение и при решаването на други въпроси, които изискват преразпределение на ресурсите.

Въпрос 8

Отговор

Производствените фактори (средства или капитал) преминават през три етапа: закупуване на производствени фактори; производствения процес, при който се осъществява съчетаването на средствата за производство и работната сила; продажба на стоки и печалба.

Непрекъснато повтарящият се производствен процес се нарича размножаване. Разграничете прост (намаляващ)и разширено възпроизвеждане.Простото възпроизвеждане гарантира повторно създаване по-рано достигнато състояниеикономиката е производство в непроменен мащаб. Намаляващото производство е характерно за кризисните условия на икономиката. При него се намалява мащабът на производството. Разширеното производство се характеризира с постоянно нарастване на мащаба на производството. Разграничете интензивни и екстензивни видове разширено възпроизвеждане. При интензивентип, разширяването на мащаба на производството се постига чрез качествено подобряване и по-добро използване на производствените фактори, използването на по-ефективни технологии и повишаване на производителността на труда. Обширентип се характеризира с количествено нарастване на производствените фактори.

Последователното преминаване на производствените средства (капитала) през три етапа формира оборот на производствени активи.Обръщението на производствените активи, разглеждано като непрекъснато повтарящ се процес, се нарича оборот на средства (капитал).Времето за оборот на средствата се състои от време за производствои време на обръщение.Оборотът на средствата (капитала) завършва, когато в процеса на продажба на стоки собственикът на средствата възстанови напълно капитала, авансиран във факторите на производство.

В зависимост от спецификата на оборота производствените активи се делят на основен,служители дълго време, и по договаряне,които се консумират по време на един производствен цикъл.

Разграничете физическии остаряванедълготрайни производствени активи. Процесът на компенсиране на амортизацията на дълготрайните производствени активи чрез постепенно включване на тяхната стойност в разходите за производство на създадените стоки се нарича амортизация.Съотношението на размера на годишно прехвърлените амортизационни отчисления към цената на средствата за труд като процент се нарича норма на амортизация.

оборотни средствапредприятия включва готова продукция и парични активи на предприятието. Заедно с оборотни производствени активите образуват оборотен капиталпредприятия. Обръщаемостта на оборотните средства е важен показател за ефективността на тяхното използване.

Производствена ефективност вкато цяло се определя от съотношението на ефекта (резултата) и причината, която го предизвиква. Най-важните показатели за ефективност на производството са: производителност на труда, трудоемкост, капиталоемкост, капиталоемкост, капиталоемкост.

Въпрос 9. Продукт като резултат от производството

Отговор

Продукте резултат от целесъобразната дейност на хората - труд (вещ или услуга) и в същото време действа като условие за протичане на трудовия процес. Продуктът осигурява възпроизвеждането на лични и материални производствени фактори.

Правете разлика между материалните и социалните аспекти на продукта. Естествено истинскистрана на продукта е комбинацията от неговите свойства (механични, химични, физични и т.н.), които правят този продукт полезно нещо, което може да задоволи човешката нужда. Това свойство на продукта се нарича потребителска стойност. обществена странапродукт се крие във факта, че всеки продукт, бидейки резултат от човешкия труд, акумулира определено количество от този труд.

Продукт, произведен от отделен производител, действа като единични или индивидуалнипродукт. Резултатът от цялото обществено производство е публиченпродукт, който представлява цялата маса потребителски ценности, създадени в обществото и служи като основа на неговия материален и духовен живот.

Според своята естествено-веществена форма общественият продукт се разделя на средства за производство и предмети на лично потребление. Средства за производствовърнат по време на производството. Те служат за подмяна на износените производствени фондове и за тяхното увеличаване (разширяване). Стоки за лична консумациянакрая напускат сферата на производството и влизат в сферата на потреблението. Разделянето на обществения продукт на средства за производство и предмети за лично потребление дава възможност цялото материално производство да се раздели на два основни подраздела: производство на средства за производство(1 дивизия) и производство на потребителски стоки(2 дивизия).

В условията на стоково стопанство общественият продукт има стойност, чието външно проявление е цена. Цената на даден продукт се определя от общите (кумулативни) разходи за неговото производство, т.е. разходите за минал (реифициран) труд и разходите за жив труд. В западната литература често се използва терминът "добро" вместо термина "продукт".

I. ИКОНОМИЧЕСКА ТЕОРИЯ

10. Производствена функция. Закон за намаляващата възвръщаемост. ефект на мащаба

производствена функция е връзката между набор от производствени фактори и максималния възможен обем продукт, произведен с помощта на този набор от фактори.

Производствената функция винаги е конкретна, т.е. предназначени за тази технология. Нова технологияе нова функция за продуктивност.

Производствената функция определя минималното количество вложени ресурси, необходими за производството на дадено количество продукт.

Производствените функции, независимо какъв вид производство изразяват, имат следните общи свойства:

1) Увеличаването на производството поради увеличаване на разходите само за един ресурс има лимит (не можете да наемете много работници в едно помещение - не всички ще имат места).

2) Производствените фактори могат да бъдат допълващи (работници и инструменти) и взаимозаменяеми (автоматизация на производството).

В най-общия си вид производствената функция изглежда така:

къде е обемът на продукцията;
К- капитал (оборудване);
M - суровини, материали;
Т - технология;
N - предприемачески способности.

Най-простият е двуфакторният модел на производствената функция на Коб-Дъглас, който разкрива връзката между труд (L) и капитал (K). Тези фактори са взаимозаменяеми и допълващи се.

,

където А е производствен коефициент, показващ пропорционалността на всички функции и промени при промяна на основната технология (след 30-40 години);

К, Л- капитал и труд;

Коефициенти на еластичност на продукцията за вложения капитал и труд.

Ако = 0,25, тогава 1% увеличение на капиталовите разходи увеличава продукцията с 0,25%.

Въз основа на анализа на коефициентите на еластичност в производствената функция на Коб-Дъглас можем да различим:
1) пропорционално нарастваща производствена функция, когато ( ).
2) непропорционално - нарастващ);
3) намаляваща.

Нека разгледаме кратък период от дейността на фирмата, в който трудът е променливата на два фактора. В такава ситуация фирмата може да увеличи производството, като използва повече трудови ресурси. Графиката на производствената функция на Коб-Дъглас с една променлива е показана на фиг. 10.1 (крива TP n).

AT краткосроченважи законът за намаляващата пределна производителност.

Законът за намаляващата пределна производителност действа в краткосрочен план, когато един производствен фактор остава непроменен. Действието на закона предполага непроменено състояние на технологията и производствената технология, ако в производствения процес се прилагат най-новите изобретения и други технически подобрения, тогава може да се постигне увеличение на продукцията, като се използват същите производствени фактори. Тоест, технологичният прогрес може да промени границите на закона.

Ако капиталът е постоянен фактор, а трудът е променлив фактор, тогава фирмата може да увеличи производството, като наема повече работна ръка. Но на законът за намаляваща пределна производителност, последователно увеличаване на променливия ресурс, докато останалите остават непроменени, води до намаляваща възвръщаемост на този фактор, тоест до намаляване на пределния продукт или пределната производителност на труда. Ако наемането на работници продължи, тогава в крайна сметка те ще си пречат един на друг (пределната производителност ще стане отрицателна) и производството ще намалее.

Пределната производителност на труда (marginal product of labor - MP L) е увеличението на продукцията от всяка следваща единица труд

тези. увеличение на производителността спрямо общия продукт (TP L)

По подобен начин се определя пределният капиталов продукт MP K.

Въз основа на закона за намаляваща производителност анализираме връзката между общата (TP L), средната (AP L) и маргинални продукти(MP L) (фиг. 10.1).

Има три етапа в движението на кривата на общия продукт (TP). На етап 1 той нараства с ускоряваща скорост, тъй като пределният продукт (MP) нараства (всеки нов работник носи повече продукция от предишния) и достига максимум в точка А, т.е. скоростта на растеж на функцията е максимална . След точка А (етап 2), поради закона за намаляващата възвръщаемост, кривата MP пада, т.е. всеки нает работник дава по-малък ръст в общия продукт в сравнение с предходния, така че темпът на растеж на TP след TS се забавя надолу. Но докато MP е положителен, TP все още ще се увеличава и достига пик при MP=0.

Ориз. 10.1. Динамика и съотношение на общите средни и пределни продукти

На етап 3, когато броят на работниците стане излишен по отношение на основния капитал (машини), MR придобива отрицателно значение, така че TP започва да намалява.

Конфигурацията на кривата на средния продукт AR също се определя от динамиката на кривата MP. На етап 1 и двете криви растат, докато нарастването на продукцията от новонаетите работници стане по-голямо от средната производителност (AP L) на предишно наетите работници. Но след точка А (макс. MP), когато четвъртият работник добавя по-малко към общия продукт (TP) от третия, MP намалява, така че средната продукция на четирима работници също намалява.

ефект на мащаба

1. Проявява се в изменение на дългосрочните средни производствени разходи (LATC).

2. Кривата LATC е обвивката на минималните краткосрочни средни разходи за единица продукция на фирмата (Фигура 10.2).

3. Дългосрочният период в дейността на фирмата се характеризира с промяна в броя на всички използвани производствени фактори.

Ориз. 10.2. Крива на дългосрочните и средните разходи на фирмата

Реакцията на LATC към промяна в параметрите (мащаба) на фирмата може да бъде различна (фиг. 10.3).

Ориз. 10.3. Динамика на дългосрочните средни разходи

Етап I: положителен ефект от мащаба	Увеличаването на производството е придружено от намаляване на LATC, което се обяснява с ефекта на спестяванията (например поради задълбочаването на специализацията на труда, използването на нови технологии, ефективно използванеотпадъци).
Етап II: постоянна възвращаемост от мащаба	Когато обемът се промени, разходите остават непроменени, тоест увеличаването на количеството използвани ресурси с 10% доведе до увеличаване на обема на производството също с 10%.
Етап III: отрицателен ефект на мащаба	Увеличаването на производството (например със 7%) води до увеличение на LATC (с 10%). Причината за щетите от мащаба могат да бъдат технически фактори (неоправдани гигантски размери на предприятието), организационни причини (разрастване и негъвкавост на административния и управленския апарат).

Производството е основната сфера на дейност на компанията. Фирмите използват производствени фактори, които също се наричат ​​входни (входящи) производствени фактори.

Производствената функция е връзката между набор от производствени фактори и максимално възможното количество продукт, произведен от даден набор от фактори.

Производствената функция може да бъде представена чрез много изокванти, свързани с различни нива на продукция. Този тип функция, когато се установи явна зависимост на обема на производството от наличността или потреблението на ресурси, се нарича функция на изхода.

По-специално, изходните функции се използват широко в селското стопанство, където се използват за изследване на влиянието върху добивите на такива фактори като например различни видове и състави на торове, методи на обработка на почвата. Наред с аналогичните производствени функции се използват и обратните функции на производствените разходи. Те характеризират зависимостта на разходите за ресурси от обемите на продукцията (строго погледнато, те са обратни само на PF с взаимозаменяеми ресурси). Специални случаи на PF могат да се считат за функцията на разходите (връзката между обема на производството и производствените разходи), инвестиционната функция: зависимостта на необходимата инвестиция от производствен капацитетбъдещо предприятие.

Има голямо разнообразие от алгебрични изрази, които могат да се използват за представяне на производствени функции. Най-простият моделе частен случай на общия модел за производствен анализ. Ако само една дейност е достъпна за фирмата, тогава производствената функция може да бъде представена чрез правоъгълни изокванти с постоянна възвращаемост от мащаба. Няма възможност за промяна на съотношението на производствените фактори и еластичността на заместването със сигурност е нула. Това е високоспециализирана производствена функция, но нейната простота обяснява широкото й използване в много модели.

Математически производствените функции могат да бъдат представени в различни форми - от такива прости като линейната зависимост на резултата от производството от един изследван фактор, до много сложни системи от уравнения, в т.ч. повтарящи се отношения, които свързват състоянията на изследвания обект в различни периоди от време ..

Производствената функция е графично представена чрез семейство изокванти. Колкото по-далеч се намира изоквантата от началото, толкова по-голям обем на производството отразява. За разлика от кривата на безразличие, всяка изокванта характеризира количествено количество продукция.

Фигура 2 _ Изокванти, съответстващи на различни обеми на производство

На фиг. 1 показва три изокванти, съответстващи на производствен обем от 200, 300 и 400 единици. Може да се каже, че за производството на 300 единици продукция са необходими K 1 единици капитал и L 1 единици труд или K 2 единици капитал и L 2 единици труд, или всяка друга комбинация от тях от представения набор чрез изоквантата Y 2 = 300.

В общия случай в набора X от възможни набори от производствени фактори се разпределя подмножество X c, наречено изокванта на производствената функция, което се характеризира с факта, че за всеки вектор равенството

Така за всички набори от ресурси, съответстващи на изоквантата, обемите на продукцията са еднакви. По същество изоквантата е описание на възможността за взаимно заместване на факторите в процеса на производство на стоки, осигурявайки постоянен обем на производството. В тази връзка е възможно да се определи коефициентът на взаимно заместване на ресурсите, като се използва диференциалната връзка по всяка изокванта

Следователно коефициентът на еквивалентно заместване на двойка фактори j и k е равен на:

Полученото съотношение показва, че ако производствените ресурси се заменят в съотношение, равно на съотношението на нарастващата производителност, тогава количеството на продукцията остава непроменено. Трябва да се каже, че познаването на производствената функция позволява да се характеризира степента на възможността за извършване на взаимна подмяна на ресурсите при ефективни технологични методи. За постигането на тази цел се използва коефициентът на еластичност на заместването на ресурсите за продукти.

която се изчислява по изоквантата при постоянно ниво на разходите на други производствени фактори. Стойността sjk е характеристика на относителното изменение на коефициента на взаимно заместване на ресурсите при промяна на съотношението между тях. Ако съотношението на взаимозаменяемите ресурси се промени с sjk процента, тогава коефициентът на взаимно заместване sjk ще се промени с един процент. В случай на линейна производствена функция, коефициентът на взаимно заместване остава непроменен за всяко съотношение на използваните ресурси и следователно можем да приемем, че еластичността s jk = 1. Съответно, големите стойности на sjk показват, че е възможна по-голяма свобода в заместване на производствените фактори по изоквантата и в същото време производствената функция на основните характеристики (производителност, фактор на обмен) ще се промени много малко.

За функциите за производство на мощност за всяка двойка взаимозаменяеми ресурси е вярно равенството s jk = 1.

Представянето на ефективен технологичен набор с помощта на скаларна производствена функция е недостатъчно в случаите, когато е невъзможно да се управлява с един показател, описващ резултатите от дейността производствена база, но е необходимо да се използват няколко (М) изходни индикатора (Фигура 3).

Фигура 3_ Различни поводиизоквантно поведение

При тези условия може да се използва векторната производствена функция

Важната концепция за пределна (диференциална) производителност се въвежда от връзката

Всички други основни характеристики на скаларните PF допускат подобно обобщение.

Подобно на кривите на безразличие, изоквантите също се класифицират в различни типове.

За линейна производствена функция на формата

където Y е обемът на производството; A , b 1 , b 2 параметри; K , L разходи за капитал и труд и пълното заместване на един ресурс с друг изоквант ще има линейна форма (Фигура 4, а).

За функцията за производство на енергия

Тогава изоквантите ще изглеждат като криви (Фигура 4, b).

Ако изоквантата отразява само един технологичен метод за производство на даден продукт, тогава трудът и капиталът се комбинират в единствената възможна комбинация (фигура 4, в).

г) Нарушени изокванти

Фигура 4 - Различни варианти на изоквантите

Такива изокванти понякога се наричат ​​изокванти от типа на Леонтиев след американския икономист W.V. Леонтиев, който постави този тип изокванти като основа на разработения от него входно-изходен метод.

Прекъснатата изокванта предполага наличието на ограничен брой технологии F (Фигура 4, d).

Изоквантите на тази конфигурация се използват в линейното програмиране, за да обосноват теорията оптимално разпределениересурси. Прекъснатите изокванти най-реалистично представят технологичните възможности на много производствени съоръжения. В икономическата теория обаче традиционно се използват изоквантни криви, които се получават от прекъснати линии с увеличаване на броя на технологиите и съответно увеличаване на точките на прекъсване.

Най-широко използвани са мултипликативно-степенните форми на представяне на производствените функции. Тяхната особеност е следната: ако един от факторите е равен на нула, резултатът изчезва. Лесно се вижда, че това реалистично отразява факта, че в повечето случаи всички анализирани първични ресурси участват в производството и без нито един от тях производството е невъзможно. В обща форма(нарича се канонична) тази функция се записва така:

Тук коефициентът А пред знака за умножение отчита размерността, зависи от избраната единица за измерване на разходите и продукцията. Факторите от първи до n-ти могат да имат различно съдържание в зависимост от това какви фактори влияят върху общия резултат (продукция). Например в PF, който се използва за изучаване на икономиката като цяло, е възможно като показател за ефективноствземете обема на крайния продукт, а факторите - броя на заетите хора x1, сумата от основните и револвиращи средства x2, използвана площ на земята x3. Има само два фактора във функцията на Коб-Дъглас, с помощта на които беше направен опит да се оцени връзката на фактори като труд и капитал с нарастването на националния доход на САЩ през 20-30-те години. ХХ век:

N = A Lb Kv,

където N е националният доход; L и K - съответно обемът на вложения труд и капитал (за подробности вижте; функция на Коб-Дъглас).

Енергийните коефициенти (параметри) на мултипликативната функция за производство на мощност показват дела в процентното увеличение на крайния продукт, който допринася всеки от факторите (или с какъв процент ще се увеличи продуктът, ако разходите за съответния ресурс се увеличат с един процент ); те са коефициенти на еластичност на производството по отношение на разходите за съответния ресурс. Ако сумата на коефициентите е 1, това означава хомогенност на функцията: тя нараства пропорционално на увеличаването на количеството ресурси. Но такива случаи са възможни и когато сумата от параметрите е по-голяма или по-малка от единица; това показва, че увеличаването на разходите води до непропорционално голямо или непропорционално малко увеличение на продукцията – икономии от мащаба.

В динамичния вариант нанесете различни формипроизводствена функция. Например, в случая с 2 фактора: Y(t) = A(t) Lb(t) Kv(t), където факторът A(t) обикновено се увеличава с течение на времето, отразявайки общото увеличение на ефективността на производствените фактори в динамика.

Като се вземе логаритъм и след това се диференцира горната функция по отношение на t, може да се получат съотношенията между темповете на растеж на крайния продукт (национален доход) и растежа на производствените фактори (темповете на растеж на променливите обикновено се описват тук като проценти) .

По-нататъшното „динамизиране“ на PF може да се състои в използването на променливи коефициенти на еластичност.

Описаните PF връзки са статистически по природа, т.е. те се появяват само средно, в голяма масанаблюдения, тъй като в действителност резултатът от производството се влияе не само от анализираните фактори, но и от много неотчетени. В допълнение, прилаганите показатели както за разходите, така и за резултатите неизбежно са продукти на сложно агрегиране (например обобщен показател за разходите за труд в макроикономическа функция включва разходи за труд с различна производителност, интензивност, квалификация и т.н.).

Специален проблем е отчитането на фактора на техническия прогрес в макроикономическите ПФ (за повече подробности вижте статията „Научни и технически прогрес“). С помощта на PF се изучава и еквивалентната взаимозаменяемост на производствените фактори (виж Еластичността на заместването на ресурсите), която може да бъде постоянна или променлива (т.е. зависима от обема на ресурсите). Съответно функциите се разделят на два вида: с постоянна еластичност на заместване (CES - Constant Elasticity of Substitution) и с променлива (VES - Variable Elasticity of Substitution) (виж по-долу).

В практиката се използват три основни метода за определяне на параметрите на макроикономическите ПФ: въз основа на обработката на динамични редове, въз основа на данни за структурните елементи на агрегатите и на базата на разпределението на националния доход. Последният метод се нарича разпределение.

При конструирането на производствена функция е необходимо да се отървете от явленията на мултиколинеарност на параметрите и автокорелация - в противен случай грубите грешки са неизбежни.

Ето някои важни производствени функции.

Линейна производствена функция:

P = a1x1 + ... + anxn,

където a1, ..., an са оценените параметри на модела: тук факторите на производство се заместват във всякакви пропорции.

Характеристика на CES:

P \u003d A [(1 - b) K-b + bL-b] -c / b,

в този случай еластичността на заместването на ресурсите не зависи нито от K, нито от L и следователно е постоянна:

От тук идва името на функцията.

Функцията CES, подобно на функцията на Cobb-Douglas, предполага постоянно намаляване на пределната норма на заместване на използваните ресурси. Междувременно еластичността на заместването на капитала с труд и, обратно, на труда с капитал във функцията на Коб-Дъглас, която е равна на единица, тук може да вземе различни значения, не е равно на единица, въпреки че е константа. И накрая, за разлика от функцията на Коб-Дъглас, логаритъмът на функцията CES не я води до линейна форма, което налага използването на по-сложни методи на нелинеен регресионен анализ за оценка на параметрите.

Производствената функция винаги е конкретна, т.е. предназначени за тази технология. Нова технология - нова производствена функция. Производствената функция определя минималното количество вложени ресурси, необходими за производството на дадено количество продукт.

Производствените функции, независимо какъв вид производство изразяват, имат следните общи свойства:

• 1) Увеличаването на производството поради увеличаване на разходите само за един ресурс има лимит (не можете да наемете много работници в едно помещение - не всички ще имат места).
• 2) Производствените фактори могат да бъдат допълващи (работници и инструменти) и взаимозаменяеми (автоматизация на производството).

В най-общия си вид производствената функция изглежда така:

къде е обемът на продукцията;

К- капитал (оборудване);

M - суровини, материали;

Т - технология;

N - предприемачески способности.

Най-простият е двуфакторният модел на производствената функция на Коб-Дъглас, който разкрива връзката между труд (L) и капитал (K).

Тези фактори са взаимозаменяеми и допълващи се. Още през 1928 г. американски учени - икономистът П. Дъглас и математикът К. Коб - създадоха макроикономически модел, който позволява да се оцени приносът различни факторипроизводство в увеличение на производството или националния доход. Тази функция има следната форма:

където А е коефициент на производство, показващ пропорционалността на всички функции и промени с промяна на основната технология (след 30-40 години);

К, Л- капитал и труд;

b, c - коефициенти на еластичност на обема на производството за капиталови и трудови разходи.

Ако b = 0,25, тогава 1% увеличение на капиталовите разходи увеличава продукцията с 0,25%.

Въз основа на анализа на коефициентите на еластичност в производствената функция на Коб-Дъглас можем да различим:

1) пропорционално нарастваща производствена функция, когато

2) непропорционално - нарастващ

3) намаляваща

Нека разгледаме кратък период от дейността на фирмата, в който трудът е променливата на два фактора. В такава ситуация фирмата може да увеличи производството, като използва повече трудови ресурси (Фигура 5).

Фигура 5_ Динамика и връзка на общите средни и пределни продукти

Фигура 5 показва графика на производствената функция на Cobb-Douglas с една променлива - кривата TRn.

Функцията на Коб-Дъглас имаше дълга и успешен животбез сериозни съперници, но напоследък е силен конкурент нова функция Arrow, Chenery, Minhasa и Solow, които ще наричаме накратко SMAC. (Браун и Де Кани също разработиха тази функция независимо). Основната разлика на функцията SMAC е, че е въведена еластичността на константата на заместване y, която е различна от единица (както при функцията на Коб-Дъглас) и нула: както при входно-изходния модел.

Разнообразието от пазарни и технологични условия, които съществуват в днешната икономика, предполага невъзможността да се задоволят основните изисквания за разумно агрегиране, освен може би за отделни фирми в една и съща индустрия или ограничени сектори на икономиката.

Така в икономическите и математическите модели на производството всяка технология може да бъде графично представена с точка, чиито координати отразяват минимално необходимите разходи на ресурси K и L за производството на даден обем продукция. Много такива точки образуват линия с равен изход или изокванта. Тоест, производствената функция е графично представена чрез семейство изокванти. Колкото по-далеч се намира изоквантата от началото, толкова по-голям обем на производството отразява. За разлика от кривата на безразличие, всяка изокванта характеризира количествено количество продукция. Обикновено в микроикономиката се анализира двуфакторна производствена функция, отразяваща зависимостта на продукцията от количеството на използвания труд и капитал.

производствонаречен всякакъв човешка дейноствърху превръщането на ограничени ресурси - материални, трудови, природни - в готови продукти. Производствената функция характеризира връзката между количеството на използваните ресурси (фактори на производството) и максималната възможна продукция, която може да бъде постигната, при условие че всички налични ресурси се използват по най-рационалния начин.

Производствената функция има следните свойства:

1 Има ограничение за увеличаване на производството, което може да бъде достигнато чрез увеличаване на един ресурс и поддържане на други ресурси постоянни. Ако, например, количеството труд в селското стопанство се увеличи с постоянни количества капитал и земя, тогава рано или късно настъпва момент, когато производството спира да расте.

2 Ресурсите се допълват взаимно, но в определени граници е възможна и тяхната взаимозаменяемост без намаляване на продукцията. Ръчният труд, например, може да бъде заменен с използването на повече машини и обратно.

Производството не може да създава продукти от нищото. Производственият процес е свързан с потреблението на различни ресурси. Броят на ресурсите включва всичко, което е необходимо за производствената дейност - суровини, енергия, труд, оборудване и пространство.

За да се опише поведението на една фирма, е необходимо да се знае каква част от продукта може да произведе, използвайки ресурси в различни обеми. Ще изхождаме от предположението, че компанията произвежда хомогенен продукт, чието количество се измерва в натурални единици - тонове, парчета, метри и т.н. Зависимостта на количеството продукт, което една компания може да произведе от обема на разходите за ресурси е наречен производствена функция.

Но едно предприятие може да извършва производствения процес по различни начини, използвайки различни технологични методи, различни вариантиорганизация на производството, така че количеството продукт, получено при едно и също влагане на ресурси, може да бъде различно. Мениджърите на фирмите трябва да отхвърлят производствени опции, които дават по-нисък добив на продукта, ако при една и съща вложеност на всеки вид ресурс може да се получи по-голям добив. По същия начин те трябва да отхвърлят опции, които изискват повече влагане на поне един ресурс, без да увеличават добива на продукта и да намаляват цената на други ресурси. Отхвърлените по тези причини опции се извикват технически неефективни.

Да приемем, че вашата компания произвежда хладилници. За производството на кутията трябва да изрежете ламарина. В зависимост от това как е маркиран и изрязан стандартният железен лист, от него могат да бъдат изрязани повече или по-малко части; съответно за производството на определен брой хладилници ще са необходими по-малко или повече стандартни листове желязо. В същото време потреблението на всички останали материали, труд, оборудване, електроенергия ще остане непроменено. Такава производствена опция, която може да бъде подобрена чрез по-рационално рязане на желязо, трябва да бъде призната за технически неефективна и отхвърлена.

технически ефективнасе наричат ​​производствени опции, които не могат да бъдат подобрени нито чрез увеличаване на производството на продукт, без да се увеличи потреблението на ресурси, нито чрез намаляване на разходите за който и да е ресурс, без намаляване на продукцията и без увеличаване на разходите за други ресурси. Производствената функция взема предвид само технически ефективни опции. Значението му е най великколичеството продукт, което предприятието може да произведе при обема на потреблението на ресурси.

Разгледайте първо най-простия случай: едно предприятие произвежда един вид продукт и консумира един вид ресурс. Пример за такова производство е доста трудно да се намери в действителност. Дори ако разгледаме предприятие, предоставящо услуги по домовете на клиентите без използването на каквото и да е оборудване и материали (масаж, обучение) и изразходвайки само труда на работниците, трябва да приемем, че работниците обикалят клиентите пеша (без да използват транспортни услуги ) и преговаряйте с клиенти без помощта на поща и телефон.

производствена функция- показва зависимостта на количеството продукт, който фирмата може да произведе от обема на разходите на използваните фактори

Q= f(x1, x2…xn)

Q= f(К, Л),

където Q- изходен обем

x1, x2…xn– обеми на прилаганите фактори

К- обем на капиталовия фактор

Л- фактор обем на труда

И така, предприятието, изразходващо ресурс в размер х, може да произвежда продукт в количество р. производствена функция

ВСИЧКОРУСКИ КОРЕСПОНДЕНЦИЕН ФИНАНСОВО-ИКОНОМИЧЕСКИ ИНСТИТУТ

СЕКЦИЯ ИКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИ МЕТОДИ И МОДЕЛИ

иконометрия

Производствени функции

(Материали за лекцията)

Изготвен от доцент от катедрата

Филонова Е.С. (клон в Орел)

Текстът на лекцията на тема "Производствени функции"

по дисциплина "Иконометрия"

план:

Въведение

Концепцията за производствена функция на една променлива

Производствени функции на няколко променливи

Свойства и основни характеристики на производствените функции

Примери за използване на производствени функции в проблемите на икономическия анализ, прогнозиране и планиране

Основни изводи

Контролни тестове за обучение

Литература

Въведение

В условия модерно обществоникой човек не може да консумира само това, което сам произвежда. За най-пълно задоволяване на своите потребности хората са принудени да обменят това, което произвеждат. Без постоянно производство на блага нямаше да има потребление. Ето защо е от голям интерес да се анализират закономерностите, които действат в процеса на производство на стоки, които по-нататък формират тяхното предлагане на пазара.

Производственият процес е основното и изходно понятие на икономиката. Какво се разбира под производство?

Всеки знае, че производството на стоки и услуги от нулата е невъзможно. За да се произвеждат мебели, храни, дрехи и други стоки, е необходимо да има подходящи суровини, оборудване, помещения, парцел, специалисти, които организират производството. Всичко необходимо за организацията на производствения процес се нарича производствени фактори. Традиционно производствените фактори включват капитал, труд, земя и предприемачество.

За организацията на производствения процес трябва да присъстват в определено количество необходимите производствени фактори. Нарича се зависимостта на максималния обем на произведения продукт от разходите на използваните фактори производствена функция.

Концепцията за производствена функция на една променлива

Разглеждането на понятието "производствена функция" ще започне с най-простия случай, когато производството се дължи само на един фактор. В такъв случай Ппроизводствена функция -това е функция, чиято независима променлива приема стойностите на използвания ресурс (фактор на производство), а зависимата променлива - стойностите на обема на продукцията

В тази формула y е функция на една променлива x. В тази връзка производствената функция (ПФ) се нарича едноресурсна или еднофакторна. Неговата област на дефиниране е множеството от неотрицателни реални числа. Символът f е характеристика на производствената система, която преобразува ресурс в продукция. В микроикономическата теория е общоприето, че y е максималната възможна продукция, ако ресурсът се изразходва или използва в размер на x единици. В макроикономиката това разбиране не е съвсем правилно: възможно е при различно разпределение на ресурсите между структурните звена на икономиката продукцията да е по-голяма. В този случай PF е статистически стабилна връзка между входа и изхода на ресурса. По-правилна е символиката

където a е векторът на PF параметрите.

Пример 1. Вземете PF f във формата f(x)=ax b , където x е стойността на изразходвания ресурс (например работни часове), f(x) е обемът на продукцията (например броят на хладилници, готови за изпращане). Величините a и b са параметри на PF f. Тук a и b са положителни числа, а числото b1, параметърният вектор е двумерен вектор (a,b). PF y=ax b е типичен представител на широк клас еднофакторни PF.

PF графиката е показана на фигура 1

Графиката показва, че с увеличаването на стойността на изразходвания ресурс, y нараства. но в същото време всяка допълнителна единица от ресурса дава все по-малко увеличение на обема y на продукцията. Отбелязаното обстоятелство (увеличаване на обема на y и намаляване на увеличаването на обема на y с увеличаване на стойността на x) отразява фундаменталното положение на икономическата теория (добре потвърдено от практиката), наречено закон за намаляване ефективност (намаляване на производителността или намаляване на възвръщаемостта).

Като прост пример, нека вземем еднофакторна производствена функция, която характеризира производството на селскостопански продукт от фермер. Нека всички производствени фактори, като количеството земя, притежанието на фермера върху селскостопански машини, семена, количеството труд, инвестиран в производството на даден продукт, остават постоянни от година на година. Променя се само един фактор - количеството на внесения тор. В зависимост от това се променя стойността на получения продукт. Първо, с нарастването на променливия фактор, той се увеличава доста бързо, след това растежът на общия продукт се забавя и започвайки от определени обеми на приложените торове, стойността на получения продукт започва да намалява. По-нататъшното увеличаване на променливия фактор не увеличава продукта.

PF могат да имат различни области на използване. Принципът вход-изход може да се прилага както на микро-, така и на макроикономическо ниво. Нека първо се съсредоточим върху микроикономическото ниво. PF y=ax b , разгледан по-горе, може да се използва за описание на връзката между стойността на изразходвания или използван ресурс x през годината в отделно предприятие (фирма) и годишната продукция на това предприятие (фирма). Ролята на производствената система тук се играе от отделно предприятие (фирма) - имаме микроикономически PF (MIPF). На микроикономическо ниво една индустрия, междусекторен производствен комплекс, също може да действа като производствена система. MIPF се изграждат и използват главно за решаване на проблеми на анализа и планирането, както и проблеми с прогнозирането.

PF може да се използва за описание на връзката между годишните разходи за труд на регион или държава като цяло и годишната крайна продукция (или доход) на този регион или държава като цяло. Тук регионът или страната като цяло действа като производствена система - имаме макроикономическо ниво и макроикономически PF (MAPF). МЗГФ се изграждат и активно използват за решаване и на трите вида проблеми (анализ, планиране и прогнозиране).

Точната интерпретация на понятията изразходван или използван ресурс и продукция, както и изборът на единици за тяхното измерване, зависят от характера и мащаба на производствената система, характеристиките на решаваните задачи и наличието на първоначални данни. На микроикономическо ниво вложените ресурси и продукцията могат да бъдат измерени както в натурални, така и в разходни единици (показатели). Годишните разходи за труд могат да бъдат измерени в човекочасове или в рубли платени заплати; продукцията може да бъде представена в части или в други натурални единици или под формата на нейната стойност.

На макроикономическо ниво входовете и продукцията се измерват, като правило, по отношение на стойността и представляват агрегати на разходите, т.е. общите стойности на продуктите от обемите на изразходваните ресурси и продуктите, произведени по техните цени.

Производствени функции на няколко променливи

Сега се обръщаме към разглеждането на производствените функции на няколко променливи.

Производствена функция на няколко променливие функция, чиито независими променливи приемат стойностите на обемите изразходвани или използвани ресурси (броят на променливите n е равен на броя на ресурсите), а стойността на функцията има значението на стойностите на изхода томове:

y=f(x)=f(x 1 ,…,х n). (2)

Във формула (2) y (y 0) е скалар, а x е векторна величина, x 1 ,…,x n са координатите на вектора x, тоест f(x 1 ,…,x n) е числова функцияняколко променливи x 1 ,…,х n . В тази връзка PF f(x 1 ,…,х n) се нарича многоресурен или многофакторен. По-правилна е следната символика f(x 1 ,…,х n ,a), където a е векторът на PF параметрите.

от икономически смисълвсички променливи на тази функция са неотрицателни, следователно областта на дефиниране на многофакторната PF е множеството от n-мерни вектори x, всички координати x 1 ,…, x n от които са неотрицателни числа.

За отделно предприятие (фирма), произвеждащо хомогенен продукт, PF f(x 1 ,…,х n) може да свърже обема на продукцията с разходите за работно време за различни видове трудова дейност, различни видове суровини, компоненти , енергетика, основен капитал. PF от този тип характеризират текущата технология на предприятието (фирмата).

Когато се конструира PF за регион или държава като цяло, съвкупният продукт (доход) на региона или страната, обикновено изчислен в постоянни, а не в текущи цени, се приема като стойност на годишното производство Y, обикновено основен капитал (x 1 (= K) се разглежда като ресурс - обемът на използвания основен капитал през годината) и жив труд (x 2 (= L) - броят единици жив труд, изразходван през годината), обикновено изчислен в стойностно изражение. Така се изгражда двуфакторен PF Y=f(K,L). От двуфакторни PF преминават към трифакторни. Освен това, ако PF е конструиран от данни от времеви редове, тогава технологичният прогрес може да бъде включен като специален фактор в растежа на производството.

Извиква се PF y=f(x 1 ,x 2). статичен, ако неговите параметри и неговата характеристика f не зависят от времето t, въпреки че обемът на ресурсите и обемът на продукцията могат да зависят от времето t, т.е. те могат да бъдат представени под формата на времеви редове: x 1 (0) , x 1 (1),…, x 1 (T); x 2 (0), x 2 (1), ..., x 2 (T); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). Тук t е номерът на годината, t=0.1,…,Т; t= 0 е базовата година на времевия интервал, обхващащ години 1,2,…,T.

Пример 2За да се моделира конкретен регион или държава като цяло (т.е. да се решат проблеми на макроикономическо, както и на микроикономическо ниво), PF от формата y =
, където а 0 , а 1 , а 2 са параметри на PF. Това са положителни константи (често a 1 и a 2 са такива, че a 1 + a 2 =1). PF на току-що дадената форма се нарича PF на Cobb-Douglas (CPKD) на името на двамата американски икономисти, които предложиха използването му през 1929 г.

PPCD се използва активно за решаване на различни теоретични и приложни проблеми поради своята структурна простота. PFKD принадлежи към класа на така наречените мултипликативни PF (MPF). В приложенията PFKD x 1 \u003d K е равен на обема на използвания основен капитал (обемът на използваните дълготрайни активи - в местната терминология),
- цената на живия труд, тогава PFKD приема формата, често използвана в литературата:

Y=
.

История справка

През 1927 г. Пол Дъглас, икономист по образование, открива, че ако начертаем логаритмите на реалното производство във времето (Y), капиталови инвестиции (K) и разходи за труд (Л), тогава разстоянията от точките на графиката на показателите на продукцията до точките на графиките на показателите на разходите за труд и капитал ще бъдат постоянна пропорция. След това той се обърна към математика Чарлз Коб, за да намери математическа връзка, която има тази характеристика, и Коб предложи следната функция:

Тази функция е предложена около 30 години по-рано от Филип Уикстид, както е посочено от К. Коб и П. Дъглас в тяхната класическа работа (1929), но те са първите, които използват емпирични данни, за да я изградят. Авторите не описват как всъщност са приспособили функцията, но вероятно са използвали форма на регресионен анализ, тъй като са се позовавали на "най-малките квадрати".

Пример 3Линейният PF (LPF) има формата:
(двуфакторни) и (многофакторни). PSF принадлежи към класа на така наречените добавки PF (APF). Преходът от мултипликативната PF към адитивната се извършва с помощта на операцията логаритъм. За двуфакторен мултипликативен PF

този преход изглежда така: . Въвеждайки подходящото заместване, получаваме добавката PF .

Ако сумата от експонентите в PF на Коб-Дъглас е равна на единица, тогава тя може да бъде написана в малко по-различна форма:

тези.
.

дроби
се наричат ​​съответно производителност на труда и капиталоотношение. Използвайки нови символи, получаваме

,

тези. от двуфакторния PKD получаваме формално еднофакторен PKD. Поради факта, че 0 1

Обърнете внимание, че фракцията наречена производителност на капитала или възвръщаемост на капитала, реципрочни дроби
се наричат ​​съответно капиталоемкост и трудоемкост на продукцията.

PF се нарича динамичен, ако:

времето t се явява като независима променлива (сякаш независим производствен фактор), влияеща върху обема на продукцията;

параметрите на ПФ и неговата характеристика f зависят от времето t.

Обърнете внимание, че ако параметрите на PF бяха оценени от данни от времеви редове (обеми ресурси и продукция) с продължителност години, тогава екстраполационните изчисления за такъв PF трябва да се извършват не повече от 1/3 години напред.

При конструирането на PF научно-техническият прогрес (STP) може да се вземе предвид чрез въвеждане на STP множител , където параметърът p (p>0) характеризира скоростта на растеж на продукцията под влияние на STP:

(t=0,1,…,T).

Този PF е най-простият пример за динамичен PF; включва неутрален, тоест технически прогрес, който не е материализиран в един от факторите. В по-сложни случаи техническият прогрес може пряко да повлияе върху производителността на труда или възвръщаемостта на капитала: Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) или Y(t)=f(A(t) )× K(t), L(t)). Нарича се съответно трудоспестяващ или капиталоспестяващ НТП.

Пример 4Ето един вариант на PFKD, като се вземе предвид NTP

Изчисляването на числените стойности на параметрите на такава функция се извършва с помощта на корелационен и регресионен анализ.

Избор на аналитична форма на PF
е продиктувано преди всичко от теоретични съображения, които следва да отчитат особеностите на връзката между конкретни ресурси или икономически модели. Параметрите на PF обикновено се оценяват с помощта на метода на най-малките квадрати.

Свойства и основни характеристики на производствените функции

За производството на конкретен продукт е необходима комбинация от различни фактори. Въпреки това различните производствени функции споделят редица общи свойства.

За определеност се ограничаваме до производствените функции на две променливи
. На първо място, трябва да се отбележи, че такава производствена функция е дефинирана в неотрицателен ортант на двумерната равнина, т.е. PF отговаря на следния набор от свойства:

Като равна линия целева функцияоптимизационен проблем, има и подобна концепция за PF. PF ниво линияе наборът от точки, върху които PF заема постоянна стойност. Понякога линиите на нивото се наричат изокванти PF. Увеличаването на един фактор и намаляването на друг може да възникне по такъв начин, че общият обем на производството да остане на същото ниво. Изоквантите просто определят всички възможни комбинации от производствени фактори, необходими за постигане на дадено ниво на производство.

Фигура 2 показва, че продукцията е постоянна по протежение на изоквантата, тоест няма увеличение на продукцията. Математически това означава, че общият диференциал на PF върху изоквантата е равен на нула:

.

Изоквантите имат следното Имоти:

Изоквантите не се пресичат.

По-голямото разстояние на изоквантата от началото съответства на по-високо ниво на продукция.

Изоквантите са низходящи криви с отрицателен наклон.

Изоквантите са подобни на кривите на безразличие с единствената разлика, че отразяват ситуацията не в сферата на потреблението, а в сферата на производството.

Отрицателният наклон на изоквантите се обяснява с факта, че увеличаването на използването на един фактор при определен обем на продукцията на продукта винаги ще бъде придружено от намаляване на количеството на друг фактор. Наклонът на изоквантата се характеризира с пределна норма на технологично заместване на производствените фактори (MRTS) . Разгледайте тази стойност, като използвате примера на двуфакторна производствена функция Q(y,x). Пределната норма на технологично заместване се измерва чрез съотношението на промяната във фактора y към промяната във фактора x. Тъй като факторите са обърнати, тогава математически изразИндикаторът MRTS се приема със знак минус:

Фигура 3 показва една от изоквантите на PF Q(y,x)

Ако вземем произволна точка от тази изокванта, например точка А и начертаем допирателна KM към нея, тогава тангентата на ъгъла ще ни даде стойността на MRTS:

.

Може да се отбележи, че в горната част на изоквантата ъгълът ще бъде доста голям, което показва, че са необходими значителни промени във фактора y, за да се промени факторът x с единица. Следователно в тази част от кривата стойността на MRTS ще бъде голяма. Докато се движите надолу по изоквантата, стойността на пределната норма на технологично заместване постепенно ще намалява. Това означава, че за да се увеличи факторът x с единица, е необходимо леко намаляване на фактора y. При пълно заместване на факторите изоквантите от кривите се трансформират в прави линии.

Един от най-интересните примери за използването на PF изокванти е изследването икономии от мащаба (виж свойство 7).

Какво е по-ефективно за икономиката: един голям завод или няколко малки предприятия? Отговорът на този въпрос не е толкова прост. Плановата икономика отговори недвусмислено, давайки приоритет на индустриалните гиганти. С прехода към пазарна икономика започна широкото разпадане на създадените по-рано сдружения. Къде е златната среда? Базиран на доказателства отговор на този въпрос може да бъде получен чрез изследване на ефекта от мащаба в производството.

Представете си, че във фабрика за обувки ръководството реши да насочи значителна част от получените печалби към развитието на производството, за да увеличи обема на производството. Да приемем, че капиталът (оборудване, машини, производствени площи) е удвоен. В същата пропорция нараства и броят на служителите. Възниква въпросът какво ще се случи в този случай с обема на продукцията?

От анализа на фигура 5

следват три отговора:

Броят на продуктите ще се удвои (постоянна възвръщаемост към мащаба);

Ще се увеличи повече от два пъти (увеличаване на възвръщаемостта от мащаба);

Ще се увеличи, но по-малко от два пъти (намаляването се връща към мащаба).

Постоянната възвръщаемост на мащаба се обяснява с хомогенността на променливите фактори. При пропорционално увеличаване на капитала и труда в такова производство средната и пределната производителност на тези фактори ще останат непроменени. В този случай няма значение дали ще работи едно голямо предприятие или вместо това ще бъдат създадени две малки.

При намаляваща възвръщаемост от мащаба е нерентабилно да се създава широкомащабно производство. Причината за ниската ефективност в този случай, като правило, са допълнителните разходи, свързани с управлението на такова производство, трудността при координиране на мащабното производство.

Увеличаването на възвръщаемостта от мащаба, като правило, е типично за онези отрасли, където е възможна широка автоматизация на производствените процеси, използването на производствени и конвейерни линии. Но с тенденцията за увеличаване на възвръщаемостта от мащаба, човек трябва да бъде много внимателен. Рано или късно тя се превръща в константа, а след това в намаляваща възвращаемост от мащаба.

Нека се спрем на някои характеристики на производствените функции, които са най-важни за икономическия анализ. Нека ги разгледаме на примера на PF на формата
.

Както беше отбелязано по-горе, съотношението
(i=1,2) се нарича средна производителност на i-тия ресурс или средна производителност на i-тия ресурс. Първа частична производна на PF
(i=1,2) се нарича пределна производителност на i-тия ресурс или пределна продукция на i-тия ресурс. Тази гранична стойност понякога се интерпретира, като се използва съотношението на малки крайни стойности, близки до нея
. Приблизително той показва с колко единици ще се увеличи обемът на продукцията y, ако обемът на разходите на i-тия ресурс се увеличи с една (достатъчно малка) единица при непроменени обеми на другия ресурс.

Например в PFKD за средната производителност на основния капитал y / K и труда y / L се използват съответно термините възвръщаемост на капитала и производителност на труда:

Нека дефинираме пределната производителност на факторите за тази функция:

и
.

По този начин, ако
, тогава
(i=1,2), т.е. пределната производителност на i-тия ресурс не е по-голяма от средната производителност на този ресурс. Коефициент на пределна производителност
i-ти фактор спрямо средната му производителност се нарича еластичност на продукцията по отношение на i-тия производствен фактор

или приблизително

По този начин еластичността на продукцията (продукцията) по отношение на някакъв фактор (коефициент на еластичност) се определя приблизително като съотношението на темпа на растеж y към темпа на растеж на този фактор, т.е. показва с колко процента ще се увеличи продукцията y, ако разходите за i-тия ресурс се увеличат с един процент при непроменени обеми на другия ресурс.

Сума +=днаречена еластичност на производството. Например за PFCD = , и E=.

Примери за използване на производствени функции в проблемите на икономическия анализ, прогнозиране и планиране

Производствените функции ни позволяват да анализираме количествено най-важните икономически зависимости в сферата на производството. Те позволяват да се оцени средната и пределната ефективност на различните производствени ресурси, еластичността на продукцията за различни ресурси, пределните нива на заместване на ресурсите, ефектът от производствения мащаб и много други.

Пример 1Да приемем, че производственият процес се описва от изходната функция

.

Нека да оценим основните характеристики на тази функция за метод на производство, при който K=400 и L=200.

Решение.

Фактори на пределната производителност.

За да изчислим тези стойности, определяме частните производни на функцията по отношение на всеки от факторите:

Така пределната производителност на фактора труд е четири пъти по-висока от тази на фактора капитал.

производствена еластичност.

Еластичността на производството се определя от сумата на еластичностите на продукцията за всеки фактор, т.е.

Пределната норма на заместване на ресурсите.

По-горе в текста тази стойност беше отбелязана
и беше равно на
. Така в нашия пример

това означава, че четири единици капиталови ресурси са необходими, за да заменят единица труд в този момент.

Изоквантното уравнение.

За да се определи формата на изоквантата, е необходимо да се фиксира стойността на изхода (Y). Нека например Y=500. За удобство приемаме L като функция на K, след което изоквантното уравнение приема формата

Пределната норма на заместване на ресурсите определя тангенса на наклона на тангентата към изоквантата в съответната точка. Използвайки резултатите от т. 3, можем да кажем, че точката на допиране се намира в горната част на изокваната, тъй като ъгълът е достатъчно голям.

Пример 2Разгледайте функцията на Коб-Дъглас в общ вид

.

Да предположим, че K и L са удвоени. По този начин новото изходно ниво (Y) ще бъде записано, както следва:

Нека определим ефекта от мащаба на производството в случаите, когато
>1, =1 и

Ако например =1,2 и
=2.3, тогава Y нараства повече от два пъти; ако =1, a =2, тогава удвояването на K и L води до удвояване на Y; ако \u003d 0,8 и \u003d 1,74, тогава Y се увеличава с по-малко от два пъти.

Така в пример 1 може да има постоянен ефект върху мащаба на производството.

История справка

В първата си статия Ч. Коб и П. Дъглас първоначално приемат постоянна възвращаемост от мащаба. Впоследствие те смекчиха това предположение, предпочитайки да оценят степента на възвръщаемост от мащаба на производството.

Основната задача на производствените функции обаче е да осигурят изходен материал за най-ефективни управленски решения. Нека илюстрираме въпроса за вземане на оптимални решения въз основа на използването на производствени функции.

Пример 3Нека е дадена производствена функция, която свързва продукцията на предприятието с броя на работниците , производствени активи и обема на използваните машиночасове

откъдето получаваме решението
, където y=2. Тъй като например точката (0,2,0) принадлежи на допустимата област и y=0 в нея, заключаваме, че точката (1,1,1) е глобалната максимална точка. Икономическите последици от полученото решение са очевидни.

В заключение отбелязваме, че производствените функции могат да се използват за екстраполиране на икономическия ефект от производството в даден период от бъдещето. Както в случая с конвенционалните иконометрични модели, икономическата прогноза започва с оценка на прогнозираните стойности на производствените фактори. В този случай може да се използва методът на икономическо прогнозиране, който е най-подходящ за всеки отделен случай.

Основни изводи

Тестове за проверка на усвоения материал

Изберете верният отговор.

Каква е производствената функция?

А) общото количество използвани производствени ресурси;

Б) най-ефективният начин за технологична организация на производството;

В) връзката между разходите и максималния обем на продукцията;

Г) начин за минимизиране на печалбите при минимизиране на разходите.

Кое от следните уравнения е уравнението на производствената функция на Коб-Дъглас?

D) y=
.

3. Какво характеризира производствената функция с един променлив фактор?

А) зависимостта на обема на производството от цената на фактора,

Б) зависимост, при която факторът x се променя, а всички останали остават постоянни,

В) връзка, при която всички фактори се променят, а факторът x остава постоянен,

Г) връзката между факторите x и y.

4. Изоквантната карта е:

А) набор от изокванти, показващи продукцията за определена комбинация от фактори;

Б) произволен набор от изокванти, показващи пределната норма на производителност на променливи фактори;

В) комбинации от линии, характеризиращи пределната норма на технологично заместване.

Верни или грешни са твърденията?

Производствената функция отразява връзката между използваните производствени фактори и съотношението на пределната производителност на труда на тези фактори.

Функцията на Коб-Дъглас е производствена функция, която показва максималното количество продукт при използване на труд и капитал.

Няма ограничение за растежа на продукта, произведен с един променлив фактор на производство.

Изоквантата е крива на равен продукт.

Изоквантата показва всички възможни комбинации от използване на два променливи фактора за получаване на максимален продукт.

Литература

Dougherty K. Въведение в иконометрията. - М.: Финанси и статистика, 2001.

Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемних Ю.П. Математически методипо икономика: Учебник. – М.: Изд. "ДИС", 1997г.

Курсът на икономическата теория: учебник. - Киров: АСА, 1999.

Микроикономика / Ред. проф. Яковлева Е.Б. – М.: СПб. Търсене, 2002.

Световна икономика. Варианти за класна работа за учители. – М.: ВЗФЕИ, 2001.

Овчинников G.P. Микроикономика. - Санкт Петербург: Издателство им. Володарски, 1997 г.

Политическа икономика; икономическа енциклопедия. – М.: Изд. „Сови. Енциклопедия“, 1979 г.