Обемът на въртеливото тяло, използвайки определен интеграл. Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене

плоска фигура около ос

Пример 3

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии , , .

1) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от тези линии.

2) Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

внимание!Дори ако искате да прочетете само втория параграф, първо непременнопрочети първата!

Решение: Задачата се състои от две части. Да започнем с квадрата.

1) Нека изпълним чертежа:

Лесно се вижда, че функцията дефинира горния клон на параболата, а функцията дефинира долния клон на параболата. Пред нас е тривиална парабола, която "лежи на една страна".

Желаната фигура, чиято площ трябва да се намери, е оцветена в синьо.

Как да намерите площта на фигура? Може да се намери по "нормалния" начин. Освен това площта на фигурата се намира като сбор от площите:

- на сегмента ;

- на сегмента.

Ето защо:

Има по-рационално решение: то се състои в преход към обратни функции и интегриране по оста.

Как да преминем към обратни функции? Грубо казано, трябва да изразите "x" чрез "y". Първо, нека се справим с параболата:

Това е достатъчно, но нека се уверим, че същата функция може да бъде извлечена от долния клон:

С права линия всичко е по-лесно:

Сега погледнете оста: моля, периодично накланяйте главата си надясно на 90 градуса, докато обяснявате (това не е шега!). Фигурата, от която се нуждаем, лежи върху сегмента, който е обозначен с червена пунктирана линия. Освен това на сегмента правата линия е разположена над параболата, което означава, че площта на фигурата трябва да се намери с помощта на формулата, която вече ви е позната: . Какво се промени във формулата? Само едно писмо и нищо повече.

! Забележка : Граници на интегриране на оста трябва да се подредятстрого отдолу нагоре !

Намиране на областта:

Следователно на сегмента:

Обърнете внимание как съм извършил интегрирането, това е най-рационалният начин, а в следващия параграф от заданието ще стане ясно защо.

За читателите, които се съмняват в правилността на интеграцията, ще намеря производни:

Получава се оригиналният интегранд, което означава, че интегрирането е извършено правилно.

Отговор:

2) Изчислете обема на тялото, образувани чрез въртенена тази фигура, около оста.

Ще преначертая чертежа в малко по-различен дизайн:

И така, фигурата, оцветена в синьо, се върти около оста. Резултатът е "витаеща пеперуда", която се върти около оста си.

За да намерим обема на тялото на въртене, ще интегрираме по оста. Първо трябва да преминем към обратните функции. Това вече беше направено и описано подробно в предишния параграф.

Сега отново накланяме главата си надясно и изучаваме фигурата си. Очевидно обемът на тялото на въртене трябва да се намери като разликата между обемите.

Завъртаме фигурата, оградена в червено около оста, което води до пресечен конус. Нека обозначим този обем с .

Завъртете кръглата форма в зелено, около оста и се означава с обема на полученото тяло на въртене.

Обемът на нашата пеперуда е равен на разликата в обемите.

Използваме формулата, за да намерим обема на въртящо се тяло:

Как се различава от формулата от предишния параграф? Само с букви.

И ето предимството на интеграцията, за което говорих преди малко, много по-лесно се намира отколкото предварително да повдигнем интегранта на 4-та степен.

Отговор:

Имайте предвид, че ако една и съща плоска фигура се завърти около оста, тогава ще се получи напълно различно тяло на революция, с различен, естествено, обем.

Пример 7

Изчислете обема на тялото, образувано от въртене около оста на фигурата, ограничена от кривите и .

Решение: Да направим рисунка:

По пътя се запознаваме с графиките на някои други функции. Това е толкова интересна диаграма. дори функция ….

За да намерите обема на тялото на въртене, е достатъчно да използвате дясната половина на фигурата, която оцветих в синьо. И двете функции са четни, графиките им са симетрични спрямо оста и нашата фигура също е симетрична. Така че сенчестият дясна част, въртяща се около оста , със сигурност ще съвпадне с лявата негрундирана част.

Както при проблема с намирането на областта, имате нужда от уверени умения за рисуване - това е почти най-важното нещо (тъй като самите интеграли често ще бъдат лесни). Можете да овладеете компетентна и бърза техника за графично използване учебни материалии геометрични графични трансформации. Но всъщност многократно съм говорил за важността на рисунките в урока.

Като цяло в интегралното смятане има много интересни приложения, като се използва определен интегралможете да изчислите площта на фигура, обема на въртящо се тяло, дължината на дъга, повърхността на въртене и много други. Така че ще бъде забавно, моля, бъдете оптимисти!

Представете си някаква самолетна фигура координатна равнина. Представено? ... Чудя се кой какво е представил ... =))) Вече намерихме района му. Но освен това тази фигура може да се върти и то по два начина:

- около абсцисната ос;
- около оста y.

В тази статия ще бъдат разгледани и двата случая. Вторият метод на въртене е особено интересен, той причинява най-големи трудности, но всъщност решението е почти същото като при по-често срещаното въртене около оста x. Като бонус ще се върна към проблемът с намирането на площта на фигура, и да ви кажа как да намерите областта по втория начин - по оста. Дори не е толкова бонус, тъй като материалът се вписва добре в темата.

Нека започнем с най-популярния тип ротация.

плоска фигура около ос

Пример 1

Изчислете обема на тялото, получено чрез завъртане на фигурата, ограничени с линии, около оста .

Решение: Както при проблема с района, решението започва с чертеж на плоска фигура. Тоест, на равнината е необходимо да се изгради фигура, ограничена от линии, , като не забравяме, че уравнението определя оста. Как да направите чертеж по-рационално и по-бързо можете да намерите на страниците Графики и свойства на елементарни функциии Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура. Това е китайско напомняне и аз не спирам до тук.

Чертежът тук е доста прост:

Желаната плоска фигура е оцветена в синьо и именно тази фигура се върти около оста.В резултат на въртене се получава такава леко яйцевидна летяща чиния, която е симетрична спрямо оста. Всъщност тялото има математическо име, но е твърде мързеливо да посочи нещо в справочника, така че продължаваме нататък.

Как да изчислим обема на въртеливото тяло?

Обемът на тялото на въртене може да се изчисли по формулата:

Във формулата трябва да има число преди интеграла. Просто така се случи - всичко, което се върти в живота, е свързано с тази константа.

Как да зададете границите на интеграция "a" и "be", мисля, че е лесно да се познае от завършения чертеж.

Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Плоската фигура е ограничена от параболата отгоре. Това е функцията, която се подразбира във формулата.

В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста. Това не променя нищо - интегрантът във формулата е на квадрат: , следователно интегралът винаги е неотрицателен, което е съвсем логично.

Изчислете обема на тялото на въртене, като използвате тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

Отговор:

В отговора е необходимо да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 "кубчета". Защо точно кубичен единици? Тъй като най-универсалната формулировка. Може да са кубични сантиметри, може Кубични метри, може би кубични километри и т.н., ето колко малки зелени човечета вашето въображение може да побере в една летяща чиния.

Пример 2

Намерете обема на тялото, образувано от въртене около оста на фигурата, ограничена от линиите , ,

Това е пример за „направи си сам“. Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Нека разгледаме два по-сложни проблема, които също често се срещат в практиката.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите , , и

Решение: Начертайте плоска фигура в чертежа, ограничена от линии , , , , като не забравяте, че уравнението определя оста:

Желаната фигура е оцветена в синьо. Когато се завърти около оста, се получава една такава сюрреалистична поничка с четири ъгъла.

Обемът на тялото на въртене се изчислява като разлика в обема на тялото.

Първо, нека разгледаме фигурата, която е оградена в червено. При въртенето му около оста се получава пресечен конус. Нека обозначим обема на този пресечен конус като .

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртите тази фигура около оста, ще получите и пресечен конус, само малко по-малък. Нека обозначим неговия обем с .

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула за намиране на обема на въртящо се тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обемът на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Любопитно е, че в този случай решението може да се провери с помощта на училищната формула за изчисляване на обема на пресечен конус.

Самото решение често се прави по-кратко, нещо подобно:

Сега нека си дадем почивка и да поговорим за геометричните илюзии.

Хората често имат илюзии, свързани с томове, които Перелман (друг) забеляза в книгата Интересна геометрия. Погледнете плоската фигура в решената задача - тя изглежда малка по площ, а обемът на тялото на въртене е малко над 50 кубични единици, което изглежда твърде голямо. Между другото, средностатистическият човек през целия си живот изпива течност с обем на стая с площ 18 квадратни метра, което, напротив, изглежда твърде малко.

Като цяло образователната система в СССР наистина беше най-добрата. Същата книга на Перелман, публикувана през 1950 г., развива много добре, както каза хумористът, разсъждения и ви учи да търсите оригинални нестандартни решения на проблеми. Наскоро препрочетох някои глави с голям интерес, препоръчвам го, достъпно е дори за хуманитаристи. Не, не е нужно да се усмихвате, че предложих безпроблемно забавление, ерудицията и широките перспективи в общуването са страхотно нещо.

След отклонениепросто подходящо за решаване на творческа задача:

Пример 4

Да се изчисли обемът на тяло, образувано от въртене около оста на плоска фигура, ограничена от линиите , , където .

Това е пример за „направи си сам“. Имайте предвид, че всички неща се случват в лентата, с други думи, действително са дадени готови граници на интеграция. Правилно начертайте графики на тригонометрични функции, ще ви напомня материала на урока за геометрични трансформации на графики: ако аргументът се дели на две: , тогава графиките се разтягат по оста два пъти. Желателно е да намерите поне 3-4 точки според тригонометричните таблициза по-точно завършване на чертежа. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене
плоска фигура около ос

Вторият параграф ще бъде още по-интересен от първия. Задачата за изчисляване на обема на въртящо се тяло около оста y също е доста чест гост в контролна работа. В преминаване ще бъдат разгледани проблем за намиране на площта на фигуравторият начин - интеграция по оста, това ще ви позволи не само да подобрите уменията си, но и ще ви научи как да намерите най-изгодното решение. Има и практическо значение! Както моята учителка по методика на преподаване на математика си спомня с усмивка, много възпитаници й благодариха с думите: „Вашият предмет ни помогна много, сега сме ефективни мениджъри и управляваме персонала си оптимално.“ Използвайки случая, аз също изказвам своята голяма благодарност към нея, особено след като използвам придобитите знания по предназначение =).

Препоръчвам го за четене от всички, дори и от пълни манекени. Освен това усвоеният материал от втори параграф ще бъде от безценна помощ при изчисляването на двойни интеграли.

Пример 5

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии , , .

1) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от тези линии.
2) Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

внимание!Дори ако искате да прочетете само втория параграф, първо непременнопрочети първата!

Решение: Задачата се състои от две части. Да започнем с квадрата.

1) Нека изпълним чертежа:

Желаната фигура, чиято площ трябва да се намери, е оцветена в синьо.

Как да намерите площта на фигура? Може да се намери по "обичайния" начин, който беше разгледан в урока. Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура. Освен това площта на фигурата се намира като сбор от площите:
- на сегмента ;
- на сегмента.

Ето защо:

Какво не е наред с обичайното решение в този случай? Първо, има два интеграла. Второ, корените под интегралите и корените в интегралите не са подарък, освен това човек може да се обърка при заместването на границите на интегрирането. Всъщност интегралите, разбира се, не са смъртоносни, но на практика всичко е много по-тъжно, просто взех „по-добри“ функции за задачата.

Има по-рационално решение: то се състои в преход към обратни функции и интегриране по оста.

Това е достатъчно, но нека се уверим, че същата функция може да бъде извлечена от долния клон:

С права линия всичко е по-лесно:

! Забележка: Границите на интегриране по оста трябва да бъдат зададени строго отдолу нагоре!

Намиране на областта:

Следователно на сегмента:

За читателите, които се съмняват в правилността на интеграцията, ще намеря производни:

Получава се оригиналният интегранд, което означава, че интегрирането е извършено правилно.

Отговор:

2) Изчислете обема на тялото, образувано от въртенето на тази фигура около оста.

Ще преначертая чертежа в малко по-различен дизайн:

Завъртаме фигурата, оградена в червено около оста, което води до пресечен конус. Нека обозначим този обем с .

Завъртаме фигурата, оградена в зелено, около оста и я обозначаваме чрез обема на полученото тяло на въртене.

Обемът на нашата пеперуда е равен на разликата в обемите.

Използваме формулата, за да намерим обема на въртящо се тяло:

Как се различава от формулата от предишния параграф? Само с букви.

И ето предимството на интеграцията, за което говорих преди малко, много по-лесно се намира отколкото да повдигнем интегранта на 4-та степен.

Отговор:

Въпреки това, болнава пеперуда.

Пример 6

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии и ос.

1) Отидете на обратни функции и намерете областта на плоска фигура, ограничена от тези линии, като интегрирате върху променливата.
2) Изчислете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

Това е пример за „направи си сам“. Тези, които желаят, могат също да намерят площта на фигурата по "обичайния" начин, като по този начин завършат теста от точка 1). Но ако, повтарям, завъртите плоска фигура около оста, тогава получавате напълно различно тяло на въртене с различен обем, между другото, правилният отговор (също и за тези, които обичат да решават).

Пълното решение на двете предложени точки от задачата в края на урока.

О, и не забравяйте да наклоните главата си надясно, за да разберете ротационните тела и в рамките на интеграцията!

Как да изчислим обема на въртящо се тяло с помощта на определен интеграл?

Освен от намиране на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл най-важното приложение на темата е изчисляване на обема на въртеливото тяло. Материалът е прост, но читателят трябва да бъде подготвен: необходимо е да можете да решите неопределени интеграли средна сложност и приложете формулата на Нютон-Лайбниц в определен интеграл . Както при проблема с намирането на областта, имате нужда от уверени умения за рисуване - това е почти най-важното нещо (тъй като самите интеграли често ще бъдат лесни). Можете да овладеете компетентната и бърза техника за начертаване на графики с помощта на методически материали . Но всъщност многократно съм говорил за важността на рисунките в урока. .

Като цяло има много интересни приложения в интегралното смятане; използвайки определен интеграл, можете да изчислите площта на фигура, обема на въртеливото тяло, дължината на дъгата, площта на повърхността на тялото и много повече. Така че ще бъде забавно, моля, бъдете оптимисти!

Представете си някаква плоска фигура в координатната равнина. Представено? ... Чудя се кой какво е представил ... =))) Вече намерихме района му. Но освен това тази фигура може да се върти и то по два начина:

– около оста x; - около оста y.

В тази статия ще бъдат разгледани и двата случая. Вторият метод на въртене е особено интересен, той причинява най-големи трудности, но всъщност решението е почти същото като при по-често срещаното въртене около оста x. Като бонус ще се върна към проблемът с намирането на площта на фигура , и да ви кажа как да намерите областта по втория начин - по оста. Дори не е толкова бонус, тъй като материалът се вписва добре в темата.

Нека започнем с най-популярния тип ротация.

Пример 1

Да се изчисли обемът на тяло, получено при завъртане на фигура, ограничена с прави около ос.

Решение:Както в проблема с намирането на областта, решението започва с чертеж на плоска фигура. Тоест, на равнина е необходимо да се изгради фигура, ограничена от линии, без да се забравя, че уравнението задава оста. Как да направите чертеж по-рационално и по-бързо можете да намерите на страниците Графики и свойства на елементарни функции и Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура . Това е китайско напомняне и аз не спирам до тук.

Чертежът тук е доста прост:

Желаната плоска фигура е оцветена в синьо, тя е тази, която се върти около оста. В резултат на въртене се получава тази леко яйцевидна летяща чиния, която е симетрична спрямо оста. Всъщност тялото има математическо име, но е твърде мързеливо да погледнем нещо в справочника, така че продължаваме напред.

Как да изчислим обема на въртеливото тяло?

Обемът на въртеливото тяло може да се изчисли по формулата:

Как да зададете границите на интеграция "a" и "be", мисля, че е лесно да се познае от завършения чертеж.

Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Плоската фигура е ограничена от параболичната графика в горната част. Това е функцията, която се подразбира във формулата.

В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста. Това не променя нищо - функцията във формулата е на квадрат: по този начин обемът на тялото на въртене винаги е неотрицателен, което е съвсем логично.

Изчислете обема на тялото на въртене, като използвате тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

Отговор:

В отговора е необходимо да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 "кубчета". Защо точно кубичен единици? Тъй като най-универсалната формулировка. Може да има кубични сантиметри, може да има кубични метри, може да има кубични километри и т.н., ето колко малки зелени човечета въображението ви може да побере в една летяща чиния.

Пример 2

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около оста на фигурата, ограничена от линии,,

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока.

Нека разгледаме два по-сложни проблема, които също често се срещат в практиката.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите ,, и

Решение:Нека изобразим плоска фигура на чертежа, ограничена от линии ,,,, като не забравяме, че уравнението задава оста:

Обемът на тялото на въртене се изчислява като разлика в обема на тялото.

Първо, нека разгледаме фигурата, която е оградена в червено. При въртенето му около оста се получава пресечен конус. Обемът на този пресечен конус се означава с.

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула за намиране на обема на въртящо се тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обемът на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Самото решение често се прави по-кратко, нещо подобно:

Сега нека си дадем почивка и да поговорим за геометричните илюзии.

Хората често имат илюзии, свързани с томове, които Перелман (не същото) забеляза в книгата Интересна геометрия. Погледнете плоската фигура в решената задача - тя изглежда малка по площ, а обемът на тялото на въртене е малко над 50 кубични единици, което изглежда твърде голямо. Между другото, средностатистическият човек през целия си живот пие течност с обем на стая от 18 квадратни метра, което, напротив, изглежда твърде малък обем.

Като цяло образователната система в СССР наистина беше най-добрата. Същата книга на Перелман, написана от него през 1950 г., развива много добре, както каза хумористът, разсъждения и ви учи да търсите оригинални нестандартни решения на проблеми. Наскоро препрочетох някои глави с голям интерес, препоръчвам го, достъпно е дори за хуманитаристи. Не, не е нужно да се усмихвате, че предложих безпроблемно забавление, ерудицията и широките перспективи в общуването са страхотно нещо.

След лирично отклонение е подходящо да решите творческа задача:

Пример 4

Изчислете обема на тяло, образувано от въртене около оста на плоска фигура, ограничена от линиите, където.

Това е пример за „направи си сам“. Моля, имайте предвид, че всички неща се случват в лентата, с други думи, дадени са почти готови ограничения за интеграция. Също така се опитайте да начертаете правилно графиките на тригонометричните функции, ако аргументът е разделен на две:, тогава графиките се разтягат по оста два пъти. Опитайте се да намерите поне 3-4 точки според тригонометричните таблици и направете чертежа по-точен. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртенето на плоска фигура около ос

Вторият параграф ще бъде още по-интересен от първия. Задачата за изчисляване на обема на тяло на въртене около оста y също е доста чест гост в тестовете. В преминаване ще бъдат разгледани проблем за намиране на площта на фигура вторият начин - интеграция по оста, това ще ви позволи не само да подобрите уменията си, но и ще ви научи как да намерите най-изгодното решение. Има и практическо значение! Както моята учителка по методика на преподаване на математика си спомня с усмивка, много възпитаници й благодариха с думите: „Вашият предмет ни помогна много, сега сме ефективни мениджъри и управляваме персонала си оптимално.“ Използвайки случая, аз също изказвам своята голяма благодарност към нея, особено след като използвам придобитите знания по предназначение =).

Пример 5

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии ,,.

1) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от тези линии. 2) Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

внимание!Дори ако искате да прочетете само втория параграф, първо непременнопрочети първата!

Решение:Задачата се състои от две части. Да започнем с квадрата.

1) Нека изпълним чертежа:

Желаната фигура, чиято площ трябва да се намери, е оцветена в синьо.

Как да намерите площта на фигура? Може да се намери по "обичайния" начин, който беше разгледан в урока. Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура . Освен това, площта на фигурата се намира като сбор от площите: - на сегмента ; - на сегмента.

Ето защо:

Има по-рационално решение: то се състои в преход към обратни функции и интегриране по оста.

Това е достатъчно, но нека се уверим, че същата функция може да бъде извлечена от долния клон:

С права линия всичко е по-лесно:

Сега погледнете оста: моля, периодично накланяйте главата си надясно на 90 градуса, докато обяснявате (това не е шега!). Фигурата, от която се нуждаем, лежи върху сегмента, който е обозначен с червена пунктирана линия. В същото време на сегмента правата линия е разположена над параболата, което означава, че площта на фигурата трябва да се намери с помощта на формулата, която вече ви е позната: . Какво се промени във формулата? Само едно писмо и нищо повече.

! Забележка: Границите на интегриране по оста трябва да бъдат зададенистрого отдолу нагоре !

Намиране на областта:

Следователно на сегмента:

За читателите, които се съмняват в правилността на интеграцията, ще намеря производни:

Получава се оригиналният интегранд, което означава, че интегрирането е извършено правилно.

Отговор:

2) Изчислете обема на тялото, образувано от въртенето на тази фигура около оста.

Ще преначертая чертежа в малко по-различен дизайн:

Завъртаме фигурата, оградена в червено около оста, което води до пресечен конус. Нека обозначим този обем с .

Завъртаме фигурата, оградена в зелено, около оста и обозначаваме през обема на полученото тяло на въртене.

Обемът на нашата пеперуда е равен на разликата в обемите.

Използваме формулата, за да намерим обема на въртящо се тяло:

Как се различава от формулата от предишния параграф? Само с букви.

Тема: "Изчисляване на обемите на телата на въртене с помощта на определен интеграл"

Тип урок:комбинирани.

Целта на урока:научете се да изчислявате обемите на телата на въртене с помощта на интеграли.

Задачи:

консолидирайте способността да избирате криволинейни трапеци от ред геометрични формии отработи умение за изчисляване на площите на криволинейни трапеци;

запознават се с понятието триизмерна фигура;

научете се да изчислявате обемите на телата на въртене;

допринасят за развитието логично мислене, компетентна математическа реч, точност при изграждането на чертежи;

да култивира интерес към предмета, да оперира с математически понятия и образи, да култивира волята, независимостта, постоянството в постигането на крайния резултат.

По време на часовете

I. Организационен момент.

Групов поздрав. Съобщение на учениците за целите на урока.

Бих искал да започна днешния урок с една притча. „Имало един мъдър човек, който знаел всичко. Един човек искаше да докаже, че мъдрецът не знае всичко. Стискайки пеперудата в ръцете си, той попита: "Кажи ми, мъдрец, коя пеперуда е в ръцете ми: мъртва или жива?" А самият той си мисли: „Ако каже живата, ще я убия, ако каже мъртвата, ще я пусна.” Мъдрецът, след като помисли, отговори: „Всичко е във вашите ръце“.

Затова нека днес да работим ползотворно, да придобием нов запас от знания и ще приложим придобитите умения и способности в по-късен живот и в практически дейности. „Всичко е във вашите ръце.“

II. Повторение на предварително изучен материал.

Нека си припомним основните моменти от изучения по-рано материал. За да направим това, ще изпълним задачата „Изтриване на допълнителната дума“.

(Учениците казват допълнителна дума.)

Правилно "Диференциал".Опитайте с останалите думи да назовете една обща дума. (Интегрално смятане.)

Нека си припомним основните етапи и концепции, свързани с интегралното смятане.

Упражнение.Възстановяване на пропуски. (Ученикът излиза и пише необходимите думи с маркер.)

Работа в тетрадки.

Формулата на Нютон-Лайбниц е разработена от английския физик Исак Нютон (1643-1727) и немския философ Готфрид Лайбниц (1646-1716). И това не е изненадващо, защото математиката е езикът, на който говори самата природа.

Помислете как тази формула се използва при решаване на практически задачи.

Пример 1: Изчислете площта на фигура, ограничена от линии

Решение:Нека построим върху координатната равнина графиките на функциите . Изберете областта на фигурата, която да намерите.

III. Учене на нов материал.

Обърнете внимание на екрана. Какво е показано на първата снимка? (Фигурата показва плоска фигура.)

Какво е показано на втората снимка? Тази фигура плоска ли е? (Фигурата показва обемна фигура.)

В космоса, на земята и в Ежедневиетосрещаме не само с плоски фигури, но и с триизмерни, но как да изчислим обема на такива тела? Например: обемът на планета, комета, метеорит и др.

Те мислят за обема, когато строят къщи и преливат вода от един съд в друг. Трябваше да възникнат правила и методи за изчисляване на обемите, друго е колко точни и обосновани бяха те.

1612 година е много плодородна за жителите на австрийския град Линц, където е живял тогава известният астроном Йоханес Кеплер, особено за гроздето. Хората приготвяха бъчви за вино и искаха да знаят как на практика да определят обемите им.

Така разглежданите трудове на Кеплер поставят началото на цял поток от изследвания, чиято кулминация е през последната четвърт на 17 век. дизайн в произведенията на И. Нютон и Г.В. Диференциално и интегрално смятане на Лайбниц. Оттогава математиката на величините променливи заема водещо място в системата на математическите знания.

Така че днес ще се занимаваме с такива практически дейности, следователно,

Темата на нашия урок: "Изчисляване на обемите на телата на революция с помощта на определен интеграл."

Ще научите определението за тяло на въртене, като изпълните следната задача.

"Лабиринт".

Упражнение.Намерете изход от конфузната ситуация и запишете определението.

IVИзчисляване на обеми.

Използвайки определен интеграл, можете да изчислите обема на тялото, по-специално на тялото на въртене.

Тялото на въртене е тяло, получено чрез въртене на криволинейния трапец около основата му (фиг. 1, 2)

Обемът на тялото на въртене се изчислява по една от формулите:

1. около оста x.

2. , ако въртенето на криволинейния трапец около оста y.

Учениците записват основните формули в тетрадка.

Учителят обяснява решението на примерите на дъската.

1. Намерете обема на тялото, получено при въртене около оста y на криволинейния трапец, ограничен от линии: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Решение.

Отговор: 1163 cm3.

2. Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на параболичен трапец около абсцисната ос y = , x = 4, y = 0.

Решение.

V. Математически симулатор.

2. Множеството от всички първоизводни на дадена функция се нарича

А) неопределен интеграл

Б) функция,

Б) диференциация.

7. Намерете обема на тялото, получено чрез въртене около оста на абсцисата на криволинейния трапец, ограничен от линии:

D/Z. Фиксиране на нов материал

Изчислете обема на тялото, образувано от въртенето на венчелистчето около оста x y=x2, y2=x.

Нека начертаем графиките на функцията. y=x2, y2=x. Графиката y2 = x се трансформира във вида y = .

Имаме V = V1 - V2 Нека изчислим обема на всяка функция:

Заключение:

Определеният интеграл е своеобразна основа за изучаване на математиката, която има незаменим принос при решаването на проблеми с практическо съдържание.

Темата "Интеграл" нагледно демонстрира връзката между математиката и физиката, биологията, икономиката и технологиите.

развитие съвременна науканемислимо без използването на интеграла. В тази връзка е необходимо да започнете да го изучавате в рамките на средата специално образование!

VI. Класиране.(С коментар.)

Великият Омар Хаям - математик, поет, философ. Той призовава да бъдем господари на съдбата си. Чуйте откъс от творчеството му:

Казвате, че този живот е само миг.
Оценявайте го, черпете вдъхновение от него.
Както го похарчиш, така ще мине.
Не забравяйте: тя е вашето творение.

Обемът на въртеливото тяло, използвайки определен интеграл. Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене

плоска фигура около ос

Как да изчислим обема на въртеливото тяло?

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртенеплоска фигура около ос

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене
плоска фигура около ос