Четни и нечетни функции. Четни и нечетни функции

Как да вмъкнете математически формули в уебсайт?

Ако някога трябва да добавите една или две математически формули към уеб страница, тогава най-лесният начин да направите това е както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на снимки, които се генерират автоматично от Wolfram Alpha . В допълнение към простотата, този универсален метод ще помогне за подобряване на видимостта на сайта в търсачки. Работи отдавна (и мисля, че ще работи завинаги), но вече е морално остарял.

Ако редовно използвате математически формули на вашия сайт, тогава ви препоръчвам да използвате MathJax - специална JavaScript библиотека, която показва математическа нотация в уеб браузъри, използвайки MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране.

Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) като използвате прост код, можете бързо да свържете MathJax скрипт към вашия уебсайт, който автоматично ще бъде зареден от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) изтеглете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете към всички страници на вашия сайт. Вторият метод - по-сложен и отнемащ време - ще ускори зареждането на страниците на вашия сайт и ако родителският MathJax сървър стане временно недостъпен по някаква причина, това няма да се отрази по никакъв начин на вашия собствен сайт. Въпреки тези предимства избрах първия метод, тъй като е по-прост, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте примера ми и само след 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия сайт.

Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две опции за код, взети от основния уебсайт на MathJax или от страницата с документация:

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте в него първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.

Всеки фрактал се конструира според определено правило, който се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация.

Итеративният алгоритъм за конструиране на гъба на Менгер е доста прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на лицата му, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 куба, съседни на него по стените. Резултатът е комплект, състоящ се от останалите 20 по-малки кубчета. Като направим същото с всяко от тези кубчета, получаваме комплект, състоящ се от 400 по-малки кубчета. Продължавайки този процес безкрайно, получаваме гъба Menger.

Функция се нарича четна (нечетна), ако за всяко и равенството

.

Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста
.

Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.

Пример 6.2. Проверете дали дадена функция е четна или нечетна

1)
; 2)
; 3)
.

Решение.

1) Функцията е дефинирана, когато
. Ще намерим
.

Тези.
. означава, тази функцияе дори.

2) Функцията е дефинирана, когато

Тези.
. Следователно тази функция е странна.

3) функцията е дефинирана за , т.е. За

,
. Следователно функцията не е нито четна, нито нечетна. Нека го наречем функция от общ вид.

3. Изследване на функцията за монотонност.

функция
се нарича нарастваща (намаляваща) на определен интервал, ако в този интервал всяка по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма (по-малка) стойност на функцията.

Функциите, нарастващи (намаляващи) за определен интервал, се наричат ​​монотонни.

Ако функцията
диференцируеми на интервала
и има положителна (отрицателна) производна
, след това функцията
се увеличава (намалява) през този интервал.

Пример 6.3. Намерете интервали на монотонност на функциите

1)
; 3)
.

Решение.

1) Тази функция е дефинирана върху цялата числова ос. Нека намерим производната.

Производната е равна на нула, ако
И
. Областта на дефиниране е числовата ос, разделена на точки
,
на интервали. Нека определим знака на производната във всеки интервал.

В интервала
производната е отрицателна, функцията намалява на този интервал.

В интервала
производната е положителна, следователно функцията нараства през този интервал.

2) Тази функция е дефинирана, ако
или

.

Определяме знака на квадратния трином във всеки интервал.

По този начин областта на дефиниция на функцията

Нека намерим производната
,
, Ако
, т.е.
, Но
. Нека определим знака на производната в интервалите
.

В интервала
производната е отрицателна, следователно функцията намалява на интервала
. В интервала
производната е положителна, функцията нараства през интервала
.

4. Изследване на функцията в екстремума.

Точка
наречена максимална (минимум) точка на функцията
, ако има такава близост на точката това е за всички
от тази съседство неравенството е в сила

.

Максималните и минималните точки на функцията се наричат ​​точки на екстремум.

Ако функцията
в точката има екстремум, то производната на функцията в тази точка е равна на нула или не съществува (необходимо условие за съществуване на екстремум).

Точките, в които производната е нула или не съществува, се наричат ​​критични.

5. Достатъчни условияналичие на екстремум.

Правило 1. Ако при прехода (отляво надясно) през критичната точка производна
променя знака от „+“ на „–“, след това в точката функция
има максимум; ако от "–" до "+", тогава минимумът; Ако
не променя знака, тогава няма екстремум.

Правило 2. Нека в точката
първа производна на функция
равно на нула
, а втората производна съществува и е различна от нула. Ако
, Че – максимална точка, ако
, Че – минимална точка на функцията.

Пример 6.4. Разгледайте максималните и минималните функции:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Решение.

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на интервала
.

Нека намерим производната
и реши уравнението
, т.е.
.Оттук
– критични точки.

Нека определим знака на производната в интервалите ,
.

При преминаване през точки
И
производната променя знака от "–" на "+", следователно, съгласно правило 1
– минимум точки.

При преминаване през точка
производната променя знака от “+” на “–”, така че
– максимална точка.

,
.

2) Функцията е дефинирана и непрекъсната в интервала
. Нека намерим производната
.

След като реши уравнението
, ще намерим
И
– критични точки. Ако знаменателят
, т.е.
, тогава производната не съществува. Така,
– трети критична точка. Нека определим знака на производната в интервали.

Следователно функцията има минимум в точката
, максимум в точки
И
.

3) Функцията е дефинирана и непрекъсната, ако
, т.е. при
.

Нека намерим производната

.

Нека намерим критичните точки:

Околности на точките
не принадлежат към областта на дефиницията, следователно не са екстремуми. Така че, нека разгледаме критичните точки
И
.

4) Функцията е дефинирана и непрекъсната на интервала
. Нека използваме правило 2. Намерете производната
.

Нека намерим критичните точки:

Нека намерим втората производна
и определете знака му в точките

По точки
функция има минимум.

По точки
функцията има максимум.

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели:

• формират концепцията за паритет и нечетност на функция, преподават способността да определят и използват тези свойства, когато функционално изследване, чертане;
• развиват творческата активност на учениците, логично мислене, способност за сравнение, обобщение;
• възпитават трудолюбие и математическа култура; развийте комуникативни умения .

Оборудване: мултимедийна инсталация, интерактивна дъска, Раздаване.

Форми на работа: фронтална и групова с елементи на търсеща и изследователска дейност.

Източници на информация:

1. Алгебра 9 клас А. Г. Мордкович. Учебник.
2. Алгебра 9 клас А. Г. Мордкович. Проблемна книга.
3. Алгебра 9 клас. Задачи за учене и развитие на учениците. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

1. Организационен момент

Поставяне на цели и задачи на урока.

2. Проверка на домашните

№ 10.17 (тетрадка с проблеми за 9 клас. A.G. Mordkovich).

а) при = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 ат х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функцията се увеличава, когато х € [– 2; + ∞)
6. Функцията е ограничена отдолу.
7. при naim = – 3, принаиб не съществува
8. Функцията е непрекъсната.

(Използвали ли сте алгоритъм за изследване на функция?) Пързалка.

2. Нека проверим таблицата, която ви беше зададена от слайда.

Попълнете таблицата
	Домейн	Функционални нули	Интервали на знакопостоянство		Координати на точките на пресичане на графиката с Oy
		x = –5, х = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Актуализиране на знанията

– Дадени са функции.
– Посочете обхвата на дефиницията за всяка функция.
– Сравнете стойността на всяка функция за всяка двойка стойности на аргументи: 1 и – 1; 2 и – 2.
– За кои от тези функции в областта на дефиницията важат равенствата f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (въведете получените данни в таблицата) Слайд

		f(1) и f(– 1)	f(2) и f(– 2)	графики	f(– х) = –f(х)	f(– х) = f(х)
1. f(х) =
2. f(х) = х 3
3. f(х) = | х |
4.f(х) = 2х – 3
5. f(х) =	х ≠ 0
6. f(х)=	х > –1		и не е дефиниран

4. Нов материал

– Докато вършехме тази работа, момчета, идентифицирахме още едно свойство на функцията, непознато за вас, но не по-малко важно от останалите – това е четността и нечетността на функцията. Запишете темата на урока: „Четни и нечетни функции“, нашата задача е да се научим да определяме четността и нечетността на функция, да разберем значението на това свойство при изучаването на функциите и начертаването на графики.
И така, нека намерим определенията в учебника и прочетем (стр. 110) . пързалка

Деф. 1 Функция при = f (х), дефинирана върху множеството X се нарича дори, ако за някаква стойност хЄ X се изпълнява равенство f(–x)= f(x). Дай примери.

Деф. 2 Функция y = f(x), дефинирана върху множеството X се нарича странно, ако за някаква стойност хЄ X е изпълнено равенството f(–х)= –f(х). Дай примери.

Къде срещнахме термините "четно" и "нечетно"?
Коя от тези функции ще бъде четна, според вас? Защо? Кои са странни? Защо?
За всяка функция на формата при= x n, Където н– цяло число, може да се твърди, че функцията е нечетна, когато н– нечетно и функцията е четна, когато н- дори.
– Преглед на функции при= и при = 2х– 3 не са нито четни, нито нечетни, т.к равенствата не са изпълнени f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Изследването на това дали една функция е четна или нечетна се нарича изследване на паритета на функция. пързалка

В дефиниции 1 и 2 говорихме за стойностите на функцията при x и – x, като по този начин се приема, че функцията също е дефинирана при стойността х, и при – х.

Def 3. Ако едно числово множество, заедно с всеки от своите елементи x, съдържа и противоположния елемент –x, тогава множеството хнаречено симетрично множество.

Примери:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) са симетрични множества, а , [–5;4] са асиметрични.

– Дори функциите имат ли област на дефиниция, която е симетрично множество? Странните?
– Ако D( f) е асиметрично множество, тогава каква е функцията?
– По този начин, ако функцията при = f(х) – четно или нечетно, тогава неговият домейн на дефиниция е D( f) е симетрично множество. Вярно ли е обратното твърдение: ако областта на дефиниция на функция е симетрично множество, тогава то четно ли е или нечетно?
– Това означава, че наличието на симетрично множество от областта на дефиниране е необходимо условие, но не е достатъчно.
– И така, как изследвате функция за паритет? Нека се опитаме да създадем алгоритъм.

пързалка

Алгоритъм за изследване на функция за паритет

1. Определете дали областта на дефиниране на функцията е симетрична. Ако не, тогава функцията не е нито четна, нито нечетна. Ако да, тогава преминете към стъпка 2 от алгоритъма.

2. Напишете израз за f(–х).

3. Сравнете f(–х).И f(х):

• Ако f(–х).= f(х), тогава функцията е четна;
• Ако f(–х).= – f(х), тогава функцията е нечетна;
• Ако f(–х) ≠ f(х) И f(–х) ≠ –f(х), тогава функцията не е нито четна, нито нечетна.

Примери:

Разгледайте функция а) за паритет при= x 5 +; б) при= ; V) при= .

Решение.

а) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрично множество.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => функция h(x) = x 5 + нечетно.

б) y =,

при = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), асиметрично множество, което означава, че функцията не е нито четна, нито нечетна.

V) f(х) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Вариант 2

1. Даденото множество симетрично ли е: а) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

А); б) y = x (5 – x 2). 2. Проверете функцията за паритет:

а) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. На фиг. е построена графика при = f(х), за всички х, отговарящи на условието х? 0.
Графика на функцията при = f(х), Ако при = f(х) е четна функция.

3. На фиг. е построена графика при = f(х), за всички x, отговарящи на условието x? 0.
Графика на функцията при = f(х), Ако при = f(х) е странна функция.

Партньорска проверка на слайда.

6. Домашна работа: No 11.11, 11.21, 11.22;

Доказателство за геометричния смисъл на свойството паритет.

***(Присвояване на опцията за единен държавен изпит).

1. Нечетната функция y = f(x) е дефинирана на цялата числова ос. За всяка неотрицателна стойност на променливата x стойността на тази функция съвпада със стойността на функцията g( х) = х(х + 1)(х + 3)(х– 7). Намерете стойността на функцията h( х) = при х = 3.

7. Обобщаване

Които са ви били познати в една или друга степен. Там също беше отбелязано, че запасът от функционални свойства ще бъде постепенно попълван. В този раздел ще бъдат обсъдени две нови свойства.

Определение 1.

Функцията y = f(x), x є X, се извиква дори ако за всяка стойност x от множеството X е изпълнено равенството f (-x) = f (x).

Определение 2.

Функцията y = f(x), x є X, се нарича нечетна, ако за всяка стойност x от множеството X е изпълнено равенството f (-x) = -f (x).

Докажете, че y = x 4 е четна функция.

Решение. Имаме: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Но (-x) 4 = x 4. Това означава, че за всяко x е в сила равенството f(-x) = f(x), т.е. функцията е четна.

По същия начин може да се докаже, че функциите y - x 2, y = x 6, y - x 8 са четни.

Докажете, че y = x 3 ~ нечетна функция.

Решение. Имаме: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Но (-x) 3 = -x 3. Това означава, че за всяко x е в сила равенството f (-x) = -f (x), т.е. функцията е странна.

По същия начин може да се докаже, че функциите y = x, y = x 5, y = x 7 са нечетни.

Ние с вас вече сме се убеждавали неведнъж, че новите термини в математиката най-често имат „земен” произход, т.е. могат да се обяснят по някакъв начин. Такъв е случаят както с четните, така и с нечетните функции. Вижте: y - x 3, y = x 5, y = x 7 са нечетни функции, докато y = x 2, y = x 4, y = x 6 са четни функции. И като цяло, за всяка функция от формата y = x" (по-долу ще проучим специално тези функции), където n е естествено число, можем да заключим: ако n е нечетно число, тогава функцията y = x" е странно; ако n е четно число, тогава функцията y = xn е четно.

Има и функции, които не са нито четни, нито нечетни. Такава например е функцията y = 2x + 3. Действително, f(1) = 5 и f (-1) = 1. Както можете да видите, тук следователно нито идентичността f(-x) = f ( x), нито идентичността f(-x) = -f(x).

И така, една функция може да бъде четна, нечетна или нито една от двете.

Проучване на въпроса дали дадена функциячетно или нечетно обикновено се нарича изследване на функция за паритет.

В определения 1 и 2 ние говорим заотносно стойностите на функцията в точки x и -x. Това предполага, че функцията е дефинирана както в точка x, така и в точка -x. Това означава, че точка -x принадлежи към областта на дефиниране на функцията едновременно с точка x. Ако числово множество X, заедно с всеки от своите елементи x, съдържа и противоположния елемент -x, тогава X се нарича симетрично множество. Да кажем, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) са симетрични множества, докато )