Определени интеграли конвергенция дивергенция как да се реши. Определен интеграл онлайн

Определени интеграли онлайн към сайта за консолидиране на преминатия материал от студенти и ученици. И практикувайте практическите си умения. Цялостното решение на определени интеграли онлайн за вас за няколко минути ще ви помогне да определите всички етапи на процеса Онлайн интеграли - определен интеграл онлайн. Определени онлайн интеграли на сайта за пълно консолидиране на материала, обхванат от студенти и ученици и трениране на техните практически умения. Цялостното решение на определени интеграли онлайн за вас за няколко минути ще ви помогне да определите всички етапи на процеса Онлайн интеграли - определен интеграл онлайн. За нас да вземем определен интеграл онлайн не изглежда нещо супер естествено, след като сме изучавали тази тема от книга на видни автори. Огромни благодарности и изказваме уважение към тези личности. Помага за определяне на определен интеграл онлайн услугавърху изчисляването на такива проблеми за миг. Просто въведете правилните данни и всичко ще бъде Наред! Всеки определен интеграл като решение на задачата ще повиши грамотността на учениците. Това е мечтата на всеки мързеливец и ние не сме изключение, признаваме си го честно. Ако все пак успеете да изчислите определения интеграл онлайн с решението безплатно, моля, напишете адреса на уебсайта на всеки, който иска да го използва. Както се казва, споделете полезна връзка - и ще бъдете благодарни мили хораза подарък. Ще бъде много интересно да анализирате задача, в която определен интеграл ще бъде решен от калкулатора сам, а не за сметка на загуба на вашето ценно време. Те затова са машини за оран на хората. Въпреки това, решаването на определени интеграли онлайн не е трудно за всеки сайт и това е лесно да се провери, а именно достатъчно е да вземете сложен примери се опитайте да го разрешите с всяка такава услуга. Ще усетите разликата в собствената си кожа. Често намирането на определен интеграл онлайн без никакви усилия ще стане доста трудно и отговорът ви ще изглежда нелепо на фона цялостна картинапредставяне на резултата. Би било по-добре първо да вземете курса на млад боец. Всяко решение на неправилни интеграли онлайн се свежда първо до изчисляване на неопределеното, а след това, чрез теорията на границите, до изчисляване, като правило, на едностранни граници от изразите, получени със заместените граници A и B. След като разгледахме определен интеграл онлайн с подробно решение, заключихме, че сте допуснали грешка на петата стъпка, а именно при използването на формулата за промяна на променливата на Чебишев. Бъдете много внимателни при следващото си решение. Ако вашият определен интеграл онлайн калкулаторНе можах да го взема от първия път, тогава преди всичко си струва да проверите отново писмените данни в съответните формуляри на сайта. Уверете се, че всичко е наред и тръгвайте, Go-Go! За всеки студент пречка е изчисляването на неправилни интеграли онлайн пред самия преподавател, тъй като това е или изпит, или колоквиум, или просто тестна чифт.. Веднага щом даденият неправилен интегрален онлайн калкулатор е на ваше разположение, веднага карайте дадена функция, заместител предварително определени границиинтеграция и щракнете върху бутона Решение, след което ще получите пълен подробен отговор. И все пак е добре, когато има такъв прекрасен сайт като сайт, защото той е едновременно безплатен и лесен за използване, освен това съдържа много секции. които студентите използват всеки ден, един от тях е просто определен интеграл онлайн с пълното решение. В същия раздел можете да изчислите неправилния интеграл онлайн с подробно решение за по-нататъшни приложения на отговора както в института, така и в инженерната работа. Изглежда, че не е трудно за всеки да определи определен интеграл онлайн, ако такъв пример е решен предварително без горната и долната граница, тоест не интеграла на Лайбниц, а неопределения интеграл. Но тук ние категорично не сме съгласни с вас, тъй като на пръв поглед може да изглежда така, но има съществена разлика, нека разделим всичко. Решението дава такъв определен интеграл не в явен вид, а в резултат на преобразуването на израза в гранична стойност. С други думи, първо трябва да се реши интегралът със замяната на символните стойности на границите и след това да се изчисли границата или в безкрайност, или в определена точка. От тук изчисляването на определен интеграл онлайн с безплатно решение не означава нищо повече от представяне на точното решение с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц. Ако вземем предвид нашия определен интеграл, калкулаторът ще ви помогне да го изчислите за няколко секунди точно пред очите ви. Такова бързане е необходимо на всеки, който иска да се справи със задачата възможно най-бързо и да се освободи за лични дела. Не трябва да търсите сайтове в Интернет, които ще ви помолят да се регистрирате, след това да попълните пари до баланса и всичко това в името на някой умен човек, който подготвя решението на определени интеграли, уж онлайн. Не забравяйте, че адресът Math24 е безплатна услуга за решаване на множество задачи по математика, включително ние ще ви помогнем да намерите определен интеграл онлайн и за да се уверите в това, моля, проверете нашата декларация на конкретни примери. Въведете интегралната функция в съответното поле, след което посочете или безкрайни гранични стойности (в този случай решението на неправилните интеграли ще бъде изчислено и получено онлайн), или задайте вашите числени или символни граници и определения онлайн интеграл с подробно решение ще се покаже на страницата след щракване върху бутона "Решение". Не е ли така - много е просто, не изисква никакви допълнителни действия от вас, безплатно, което е най-важното, и в същото време ефективно. Можете сами да използвате услугата, така че определеният интегрален онлайн калкулатор да ви донесе максимална полза и да получите удобно състояние, без да се натоварвате от сложността на всички изчислителни процеси, позволете ни да направим всичко за вас и да демонстрираме пълната мощ на компютърната технология модерен свят. Ако се потопите в джунглата на най-сложните формули и изучавате сами изчисляването на неправилни интеграли онлайн, тогава това е похвално и можете да поискате възможността да напишете докторска дисертация, но обратно към реалността Студентски живот. А кой е студент? На първо място, това е млад мъж, енергичен и весел, който иска да има време да се отпусне и да си напише домашните! Затова се погрижихме за студентите, които се опитват да намерят неподходящ интегрален онлайн калкулатор в необятността на глобалната мрежа и ето го на вашето внимание - сайтът е най-полезният онлайн решаващ инструмент за младите хора. Между другото, въпреки че нашата услуга е представена като помощник на студенти и ученици, тя е напълно подходяща за всеки инженер, тъй като можем да изпълняваме всякакви задачи и тяхното решение е представено в професионален формат. Например, ние предлагаме определен интеграл онлайн с решение в пълна форма на етапи, тоест на всеки логически блок (подзадача) се присвоява отделен запис с всички изчисления по време на процеса общо решение. Това, разбира се, опростява възприемането на многоетапни последователни оформления и по този начин е предимството на проекта на сайта пред подобни услуги за намиране на неправилен интеграл онлайн с подробно решение.

Определен интеграл като граница на интегралната сума

може да съществува (т.е. да има определена крайна стойност) само ако условията са изпълнени

Ако поне едно от тези условия е нарушено, тогава определението губи смисъла си. Наистина, в случай на безкраен сегмент, например [ а; ) не може да се раздели на Пчасти с крайна дължина
, което освен това ще клони към нула с увеличаване на броя на сегментите. В случай на неограничен в някакъв момент с[а; b] е нарушено изискването за произволен избор на точка на частични сегменти – не може да се избере =с, тъй като стойността на функцията в този момент е недефинирана. Понятието за определен интеграл обаче може да се обобщи и за тези случаи, като се въведе още един преход до границата. Наричат ​​се интеграли върху безкрайни интервали и от прекъснати (неограничени) функции несобствени.

Определение.

Нека функцията
определен на интервала [ а; ) и е интегрируем на всеки краен интервал [ а; b], т.е. съществува
за всеки b > а. ограничение на изгледа
Наречен неправилен интеграл първи вид (или чрез неправилен интеграл върху безкраен интервал) и означаваме
.

Така, по дефиниция,
=
.

Ако границата отдясно съществува и е крайна, тогава неправилният интеграл
Наречен сближаване . Ако тази граница е безкрайна или изобщо не съществува, тогава се казва, че неправилният интеграл е такъв се разминава .

По подобен начин можем да въведем концепцията за неправилен интеграл на функция
по интервал (–; b]:

=
.

И неправилния интеграл на функцията
в интервала (–; +) се определя като сумата от интегралите, въведени по-горе:

=
+
,

където ае произволна точка. Този интеграл се сближава, ако и двата члена се сближават, и се разминава, ако поне един от членовете се разминава.

От геометрична гледна точка интегралът
,
, определя числената стойност на площта на безкраен криволинеен трапец, ограничен отгоре от графиката на функцията
, ляво - право
, отдолу - оста OX. Конвергенцията на интеграла означава съществуването на крайна площ на такъв трапец и равенството му на границата на площта на криволинейния трапец с движеща се дясна стена
.

За случая на интеграл с безкрайна граница може също да се обобщи Формула на Нютон-Лайбниц:

=
=F( + ) – F( а),

където F( + ) =
. Ако тази граница съществува, тогава интегралът се събира; в противен случай той се разминава.

Разгледахме обобщение на концепцията за определен интеграл за случая на безкраен интервал.

Нека сега разгледаме едно обобщение за случая на неограничена функция.

Определение

Нека функцията
определен на интервала [ а; b), е неограничен в някаква околност на точката b, и е непрекъснат на всеки сегмент
, където >0 (и следователно е интегрируем на този сегмент, т.е.
съществува). ограничение на изгледа
Наречен неправилен интеграл от втори род (или чрез неправилния интеграл на неограничена функция) и се обозначава
.

По този начин неправилният интеграл на неограничен в точка bфункциите са по дефиниция

=
.

Ако границата отдясно съществува и е крайна, тогава се извиква интеграл сближаване. Ако няма крайна граница, тогава се извиква неправилният интеграл разнопосочни.

По подобен начин може да се дефинира неправилен интеграл на функцията
с безкрайно прекъсване в точка а:

=
.

Ако функцията
има безкрайно прекъсване във вътрешна точка с
, тогава неправилният интеграл се дефинира по следния начин

=
+
=
+
.

Този интеграл се сближава, ако и двата члена се сближават, и се разминава, ако поне един член се разминава.

От геометрична гледна точка, неправилният интеграл на неограничена функция също характеризира площта на неограничен криволинеен трапец:

Тъй като неправилният интеграл се получава чрез преминаване към границата от определения интеграл, тогава всички свойства на определения интеграл могат да бъдат прехвърлени (с подходящи уточнения) към неправилните интеграли от първи и втори род.

В много задачи, които водят до неправилни интеграли, не е необходимо да знаете на какво е равен този интеграл, достатъчно е просто да се уверите, че той се събира или се разминава. За тази употреба признаци на конвергенция. Признаци за сходимост на неправилни интеграли:

1) Знак за сравнение.

Нека за всички х

. Тогава ако
се сближава, след това се сближава и
, и

. Ако
се разминава, след това се разминава и
.

2) Ако се сближава
, след това се сближава и
(последният интеграл в този случай се нарича абсолютно конвергентен).

Критериите за сходимост и дивергенция на несобствени интеграли на неограничени функции са подобни на формулираните по-горе.

Примери за решаване на проблеми.

Пример 1

а)
; б)
; в)

G)
; д)
.

Решение.

а) По дефиниция имаме:

.

б) По същия начин

Следователно този интеграл се събира и е равен на .

в) По дефиниция
=
+
, освен това, ае произволно число. Нека поставим в нашия случай
, тогава получаваме:

Този интеграл се събира.

Така че този интеграл се разминава.

д) Помислете
. За да се намери първоизводната на подинтегралната функция, е необходимо да се приложи методът на интегриране по части. Тогава получаваме:

Тъй като нито едно от двете
, нито
не съществуват, тогава не съществуват и

Следователно този интеграл се разминава.

Пример 2

Изследвайте сходимостта на интеграла зависи от П.

Решение.

При
ние имаме:

Ако
, тогава
и. Следователно интегралът се разминава.

Ако
, тогава
, а
, тогава

=,

Следователно интегралът се събира.

Ако
, тогава

следователно интегралът се разминава.

По този начин,

Пример 3

Изчислете неправилния интеграл или задайте неговата дивергенция:

а)
; б)
; в)
.

Решение.

а) Интеграл
е неправилен интеграл от втори род, тъй като интеграндът
не е ограничено в точка

. Тогава, по дефиниция,

.

Интегралът се събира и е равен на .

б) Помислете
. Тук също интегрантът не е ограничен в точката
. Следователно този интеграл е неправилен от втори род и по дефиниция

Следователно интегралът се разминава.

в) Помислете
. Интегранд
страда от безкрайно прекъсване в две точки:
и
, първият от които принадлежи на интервала на интегриране
. Следователно този интеграл е неправилен от втори род. Тогава по дефиниция

=

=

.

Следователно интегралът се събира и е равен на
.

Определен интеграл

\[ I=\int_a^bf(x)dx \]

е конструирана при предположението, че числата $a,\,b$ са крайни и $f(x)$ е непрекъсната функция. Ако едно от тези предположения е нарушено, говорим за неправилни интеграли.

10.1 Неправилни интеграли от 1-ви род

Несобствен интеграл от 1-ви род възниква, когато съгл понеедно от числата $a,\,b$ е безкрайно.

10.1.1 Определение и основни свойства

Нека първо разгледаме ситуацията, когато долната граница на интегриране е крайна, а горната граница е равна на $+\infty$; други опции ще бъдат обсъдени по-късно. За $f(x)$ непрекъснато за всички $x$, които ни интересуват, разгледайте интеграла

\begin(equation) I=\int _a^(+\infty)f(x)dx. \quad(19) \label(inf1) \end(уравнение)

На първо място е необходимо да се установи значението на този израз. За да направим това, въвеждаме функцията

\[ I(N)=\int _a^(N)f(x)dx \]

и разгледайте поведението му като $N\rightarrow +\infty$.

Определение. Нека има граница

\[ A=\lim_(N \rightarrow +\infty)I(N)=\lim_(N \rightarrow +\infty)\int _a^(N)f(x)dx. \]

Тогава неправилният интеграл от 1-ви вид (19) се казва, че е конвергентен и му се приписва стойността $A$, самата функция се нарича интегрируема на интервала $\left[ a, \, +\infty \right) $. Ако посочената граница не съществува или е равна на $\pm \infty$, тогава се казва, че интегралът (19) се разминава.

Сходящите неправилни интеграли от 1-ви род имат всички стандартни свойства на обикновените определени интеграли.

1. Ако $f(x)$, $g(x)$ са интегрируеми на интервала $\left[ a, \, +\infty \right)$, тогава тяхната сума $f(x)+g(x) $ също е интегрируем в този интервал и \[ \int _a^(+\infty)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(+\infty)f(x )dx+\int _a^(+\infty)g(x)dx. \] 2. Ако $f(x)$ е интегрируем в интервала $\left[ a, \, +\infty \right)$, тогава за всяка константа $C$ функцията $C\cdot f(x)$ също е интегрируем на този интервал и \[ \int _a^(+\infty)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 3. Ако $f(x)$ е интегрируем в интервала $\left[ a, \, +\infty \right)$ и $f(x)>0$ в този интервал, тогава \[ \int _a ^ (+\infty) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Ако $f(x)$ е интегрируемо в интервала $\left[ a, \, +\infty \right)$, тогава за всяко $b>a$ интегралът \[ \int _b^(+ \infty) f(x)dx \] се събира и \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx=\int _a^(b) f(x)dx+\int _b^(+\infty ) f( x)dx \] (адитивност на интеграла върху интервала).

Валидни са и формулите за промяна на променлива, интегриране по части и др. (с природни резервати).

Нека сега разгледаме случая, когато долната граница на интегриране е равна на $-\infty$, а горната е крайна, т.е. разгледайте интегралите

\[ I=\int _(-\infty)^af(x)dx. \]

Въпреки това, този вариант може да бъде намален до предишния, ако направим промяната на променливите $x=-s$ и след това разменим границите на интегриране, така че

\[ I=\int _(-a)^(+\infty)g(s)ds, \]

$g(s)=f(-s)$. Нека сега разгледаме случая, когато има две безкрайни граници, т.е. интегрална

\begin(equation) I=\int _(-\infty)^(+\infty)f(x)dx, \quad (21) \label(intr) \end(equation)

където $f(x)$ е непрекъснат за всички $x \in \mathbb(R)$. Нека разделим интервала на две части: вземем $c \in \mathbb(R)$ и разгледаме два интеграла,

\[ I_1=\int _(-\infty)^(c)f(x)dx, \quad I_2=\int _(c)^(+\infty)f(x)dx. \]

Определение. Ако и двата интеграла $I_1$, $I_2$ се събират, тогава интеграл (21) се нарича конвергентен, приписва му се стойността $I=I_1+I_2$ (според интервалната адитивност). Ако поне един от интегралите $I_1$, $I_2$ се разминава, се казва, че интеграл (21) е разминаващ се.

Може да се докаже, че сходимостта на интеграла (21) не зависи от избора на точка $c$.

Неправилни интеграли 1 вид с интервали на интегриране $\left(-\infty, \, c \right]$ или $(-\infty, \, +\infty)$ също имат всички стандартни свойства на определени интеграли (със съответната преформулация, която взема вземете предвид избора на интеграционен интервал).

10.1.2 Критерии за сходимост на неправилни интеграли от 1-ви род

Теорема (първият знак за сравнение). Нека $f(x)$, $g(x)$ са непрекъснати за $x>a$ и нека $0 a$. Тогава

1. Ако интегралът \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx \] се сближава, тогава интегралът \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx също се сближава. \] 2. Ако интегралът \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx \] се разминава, тогава интегралът \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx също се разминава. \]

Теорема (вторият знак за сравнение). Нека $f(x)$, $g(x)$ са непрекъснати и положителни за $x>a$ и нека има крайна граница

\[ \theta = \lim_(x \дясна стрелка +\infty) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

След това интегралите

\[ \int _a^(+\infty)f(x)dx, \quad \int _a^(+\infty)g(x)dx \]

се сближават или разминават едновременно.

тук ли си сега =) Не, не съм се опитвал да плаша никого, просто темата за неправилните интеграли е много добра илюстрация колко е важно да не се върти висша математика и други точни науки. За да овладеете урока на сайта, всичко е там - в подробна и достъпна форма, ще има желание ....

И така, да започваме. Образно казано, неправилният интеграл е „напреднал“ определен интеграл и всъщност няма толкова много трудности с тях, освен това неправилният интеграл има много добро геометрично значение.

Какво означава да се изчисли неправилен интеграл?

Изчислете неправилен интеграл - означава да намериш ЧИСЛО(точно същото като в определения интеграл), или докажете, че се разминава(т.е. завършете с безкрайност вместо число).

Неправилните интеграли са два вида.

Неправилен интеграл с безкрайни граници на интегриране

Понякога такъв неправилен интеграл се нарича неправилен интеграл от първи род. AT общ изгледНеправилен интеграл с безкраен предел най-често изглежда така: . По какво се различава от определен интеграл? В горната граница. Безкраен е:

По-рядко се срещат интеграли с безкрайна долна граница или с две безкрайни граници: , и ще ги разгледаме по-късно - когато усетите вкуса :)

Е, сега нека анализираме най-популярния случай. В по-голямата част от примерите функцията интегранд непрекъснатомежду и този важен факт, който първо трябва да проверите!Защото, ако има пропуски, тогава има допълнителни нюанси. За категоричност приемаме, че и тогава типичният криволинеен трапецще изглежда така:

Обърнете внимание, че е безкраен (не е ограничен отдясно) и неправилен интегралчислено равно на неговата площ. В този случай са възможни следните опции:

1) Първата мисъл, която идва на ум е: „след като фигурата е безкрайна, значи ”, с други думи, площта също е безкрайна. Така че може да бъде.В този случай казваме, че неправилният интеграл се разминава.

2) Но. Колкото и парадоксално да звучи, площта на една безкрайна фигура може да бъде равна на ... крайно число! Например: . Може ли да бъде? лесно. Във втория случай неправилният интеграл се сближава.

3) За третия вариант малко по-късно.

Кога един неправилен интеграл се разминава и кога се събира? Това зависи от интегранта и ние ще разгледаме конкретни примери много скоро.

Но какво се случва, ако безкраен криволинеен трапец е разположен под оста? В този случай неправилният интеграл (разминава се) или е равно на крайно отрицателно число.

По този начин, неправилният интеграл може да бъде отрицателен.

важно!Когато ВСЕКИ неправилен интеграл ви бъде предложен за решаване, тогава, най-общо казано, не се говори за никаква площ и няма нужда да се изгражда чертеж. геометричен смисълРазказах за неправилния интеграл само за да улесня разбирането на материала.

Тъй като неправилният интеграл е много подобен на определения интеграл, тогава си спомняме формулата на Нютон-Лайбниц: . Всъщност формулата е приложима и за неправилни интеграли, само че трябва да бъде леко модифицирана. Каква е разликата? В безкрайната горна граница на интегриране: . Вероятно мнозина са се досетили, че това вече намирисва на прилагане на теорията за границите и формулата ще бъде написана по следния начин: .

По какво се различава от определен интеграл? Да, нищо особено! Както при определен интеграл, трябва да можете да намерите функцията на противопроизводната (неопределен интеграл), да можете да прилагате формулата на Нютон-Лайбниц. Единственото, което е добавено е изчисляването на лимита. Който е лош с тях, да си вземе поука Граници на функциите. Примери за решениязащото по-добре късно отколкото в армията.

Помислете за два класически примера:

Пример 1

За по-голяма яснота ще изградя чертеж, въпреки че подчертавам още веднъж, на практика не е необходимо да се изграждат чертежи в тази задача.

Интегралната функция е непрекъсната на полуинтервала, което означава, че всичко е наред и неправилният интеграл може да бъде изчислен с помощта на „обикновения“ метод.

Приложение на нашата формула и решението изглежда така:

Тоест, неправилният интеграл се разминава и площта на защрихования криволинеен трапец е равна на безкрайност.

В разглеждания пример имаме най-простия табличен интеграл и същата техника за прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц, както при определения интеграл. Но тази формула се прилага под знака на границата. Вместо обичайната буква на "динамичната" променлива се появява буквата "be". Това не трябва да обърква или обърква, защото всяка буква не е по-лоша от стандартната "X".

Ако не разбирате защо при , тогава това е много лошо, или не разбирате най-простите ограничения (и изобщо не разбирате какво е ограничение), или не знаете как изглежда графиката логаритмична функция. Във втория случай посетете урока Графики и свойства на елементарни функции.

При решаването на неправилни интеграли е много важно да знаете как изглеждат графиките на основните елементарни функции!

Изчистеният дизайн на работа трябва да изглежда така:

“

! Когато проектираме пример, ние винаги прекъсваме решението и посочваме какво се случва с интегранта – непрекъснат ли е на интервала на интегриране или не. По този начин идентифицираме вида на неправилния интеграл и обосноваваме по-нататъшни действия.

Пример 2

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция.

Да направим чертеж:

Първо забелязваме следното: подинтегралната функция е непрекъсната на полуинтервала. Добре. Решаване с формула :

(1) Вземаме най-простия интеграл от степенна функция(този конкретен случай се намира в много таблици). По-добре е незабавно да преместите минуса отвъд граничния знак, така че да не попадне под краката при по-нататъшни изчисления.

(2) Заменяме горната и долната граница съгласно формулата на Нютон-Лайбниц.

(3) Посочваме, че когато (господа, това отдавна е разбрано) и опростяваме отговора.

Тук площта на безкраен криволинеен трапец е равна на крайно число! Не е за вярване, но е факт.

Чистият дизайн на примера трябва да изглежда така:

“

Интегралната функция е непрекъсната

“

Какво да направите, ако попаднете на интегрална като - с до точката на пречупванена интервала на интегриране? Това означава, че в примера има правописна грешка (най-вероятно)или напреднало ниво на образование. В последния случай, поради свойства на адитивност, трябва да се разгледат два неправилни интеграла върху интервалите и след това да се работи със сумата.

Понякога, поради печатна грешка или намерение за неправилен интеграл, може изобщо не съществуват, така че, например, ако квадратният корен от "x" се постави в знаменателя на горния интеграл, тогава част от интервала на интегриране изобщо няма да влезе в домейна на дефиниция на интегранта.

Освен това неправилен интеграл може да не съществува дори при цялото „привидно благополучие“. Класически пример:. Въпреки определеността и непрекъснатостта на косинуса, такъв неправилен интеграл не съществува! Защо? Много е просто, защото:
- не съществува съответния лимит.

И такива примери, макар и редки, се срещат в практиката! Така освен конвергенция и дивергенция има и трети резултат от решението с пълен отговор: „няма неправилен интеграл“.

Трябва също да се отбележи, че строга дефиниция на неправилен интеграл е дадена именно чрез границата и желаещите могат да се запознаят с нея в учебна литература. Е, продължаваме практически уроки преминете към по-смислени задачи:

Пример 3

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция.

Първо, нека се опитаме да намерим първоизводната функция (неопределен интеграл). Ако не успеем да направим това, тогава естествено няма да решим и неправилния интеграл.

На кой от табличните интеграли прилича подинтегралната функция? Това ми напомня за аркутангенса: . От тези съображения се налага мисълта, че би било хубаво да се получи квадрат в знаменателя. Това става чрез заместване.

Да заменим:

Неопределеният интеграл е намерен, няма смисъл да се добавя константа в този случай.

На чернова винаги е полезно да извършите проверка, тоест да разграничите резултата:

Получен е оригиналният интеграл, което означава, че неопределеният интеграл е намерен правилно.

Сега намираме неправилния интеграл:

(1) Записваме решението в съответствие с формулата . По-добре е незабавно да преместите константата отвъд граничния знак, така че да не се намесва в по-нататъшни изчисления.

(2) Заменяме горната и долната граница в съответствие с формулата на Нютон-Лайбниц. Защо в ? Вижте графиката на аркутангенса във вече многократно препоръчваната статия.

(3) Получаваме окончателния отговор. Фактът, че е полезно да се знае наизуст.

Напредналите ученици може да не намерят отделно неопределения интеграл и да не използват метода на заместване, а да използват метода на сумиране на функцията под диференциалния знак и да решат неправилния интеграл „незабавно“. В този случай решението трябва да изглежда така:

“

Интегрантът е непрекъснат на .

“

Пример 4

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция.

! то типичен пример, и подобни интеграли са много често срещани. Работете добре! противопроизводна функциятук е методът за избиране на пълен квадрат, повече подробности за метода можете да намерите в урока Интегриране на някои дроби.

Пример 5

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция.

Този интеграл може да бъде решен подробно, тоест първо да се намери неопределеният интеграл чрез промяна на променливата. И можете да го решите "незабавно" - като сумирате функцията под знака на диференциала. Който има някаква математическа подготовка.

Цялостни решенияи отговори в края на урока.

Примери за решения на неправилни интеграли с безкрайна долна граница на интегриране можете да намерите на страницата Ефикасни методи за решаване на неправилни интеграли. Случаят, когато и двете граници на интегриране са безкрайни, също се разглежда там.

Неправилни интеграли на неограничени функции

Или неправилни интеграли от втори род. Неправилните интеграли от втория вид са хитро "шифровани" под обичайния определен интеграл и изглеждат точно по същия начин: Но, за разлика от определения интеграл, интеграндът страда от безкрайно прекъсване (не съществува): 1) в точката , 2) или в точката , 3) ​​​​или в двете точки наведнъж, 4) или дори на интервала на интегриране. Ще разгледаме първите два случая, за случаи 3-4 в края на статията има връзка към допълнителен урок.

Само пример, за да стане ясно:. Изглежда, че е определен интеграл. Но всъщност това е неправилен интеграл от втори вид, ако заместим стойността на долната граница в интегранта, тогава знаменателят изчезва, тоест интеграндът просто не съществува в този момент!

Като цяло, когато се анализира неправилният интеграл винаги е необходимо да се заменят и двете интеграционни граници в интегранта. В тази връзка проверяваме и горната граница: . Тук всичко е наред.

Криволинейният трапец за разглежданата разновидност на неправилния интеграл принципно изглежда така:

Тук почти всичко е същото като в интеграла от първи вид.

Нашият интеграл е числено равна на площщрихован криволинеен трапец, който не е ограничен отгоре. В този случай може да има две опции *: неправилният интеграл се разминава (областта е безкрайна) или неправилният интеграл е равен на крайно число (тоест площта на безкрайна фигура е крайна!).

* по подразбиране ние обикновено приемаме, че неправилният интеграл съществува

Остава само да се модифицира формулата на Нютон-Лайбниц. Той също се модифицира с помощта на границата, но границата вече не клони към безкрайност, а до стойността вдясно.Лесно е да се следва чертежа: по протежение на оста трябва да се приближим до точката на счупване безкрайно близо на дясно.

Нека да видим как това се прилага на практика.

Пример 6

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция.

Интеграндът претърпява безкрайно прекъсване в даден момент (не забравяйте да проверите устно или на чернова дали всичко е наред с горната граница!)

Първо, изчисляваме неопределения интеграл:

Замяна:

За тези, които имат затруднения с подмяната, вижте урока Метод на заместване в неопределен интеграл.

Изчисляваме неправилния интеграл:

(1) Какво ново тук? На практика нищо от гледна точка на техниката. Единственото нещо, което се промени, е записът под иконата за ограничение: . Добавката означава, че се стремим към стойността отдясно (което е логично - вижте графиката). Такава граница в теорията на границите се нарича едностранна граница. В този случай имаме дясна граница.

(2) Заменяме горната и долната граница съгласно формулата на Нютон-Лайбниц.

(3) Работа с at . Как определяте накъде е насочен изразът? Грубо казано, просто трябва да замените стойността в него, да замените три четвърти и да посочите това. Разресване на отговора.

В този случай неправилният интеграл е равен на отрицателно число. В това няма престъпление, просто съответният криволинеен трапец се намира под оста.

А сега два примера за независимо решение.

Пример 7

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция.

Пример 8

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция.

Ако интегралната функция не съществува в точката

Един безкраен криволинеен трапец за такъв неправилен интеграл изглежда по същество така.