Сближава ли се неправилният интеграл? Как да изчислим неправилния интеграл и да открием неговата сходимост

Определени интеграли онлайн към сайта за консолидиране на преминатия материал от студенти и ученици. И практикувайте практическите си умения. Пълно решение на определени интеграли онлайн за вас за няколко минути ще ви помогне да определите всички етапи на процеса. Онлайн интеграли - определен интегралонлайн. Определени онлайн интеграли на сайта за пълно консолидиране на материала, обхванат от студенти и ученици и трениране на техните практически умения. Цялостно решение на определени интеграли онлайн за вас за броени моменти ще ви помогне да определите всички етапи на процеса Онлайн интеграли - онлайн определен интеграл. За нас да вземем определен интеграл онлайн не изглежда нещо супер естествено, след като сме изучавали тази тема от книга на видни автори. Огромни благодарности и изказваме уважение към тези личности. Помага за определяне на определен интеграл онлайн услугавърху изчисляването на такива проблеми за миг. Просто въведете правилните данни и всичко ще бъде Наред! Всеки определен интеграл като решение на задачата ще повиши грамотността на учениците. Това е мечтата на всеки мързеливец и ние не сме изключение, признаваме си го честно. Ако все пак успеете да изчислите определения интеграл онлайн с решението безплатно, моля, напишете адреса на уебсайта на всеки, който иска да го използва. Както се казва, споделете полезна връзка - и ще бъдете благодарни мили хораза подарък. Ще бъде много интересно да анализирате задача, в която определен интеграл ще бъде решен от калкулатора сам, а не за сметка на загуба на вашето ценно време. Те затова са машини за оран на хората. Въпреки това, решаването на определени интеграли онлайн не е трудно за всеки сайт и това е лесно да се провери, а именно достатъчно е да вземете сложен примери се опитайте да го разрешите с всяка такава услуга. Ще усетите разликата в собствената си кожа. Често намирането на определен интеграл онлайн без никакви усилия ще стане доста трудно и отговорът ви ще изглежда нелепо на фона цялостна картинапредставяне на резултата. Би било по-добре първо да вземете курса на млад боец. Всяко решение на неправилни интеграли онлайн се свежда първо до изчисляване на неопределеното, а след това, чрез теорията на границите, до изчисляване, като правило, на едностранни граници от изразите, получени със заместените граници A и B. След като разгледахме определен интеграл онлайн с подробно решение, заключихме, че сте допуснали грешка на петата стъпка, а именно при използването на формулата за промяна на променливата на Чебишев. Бъдете много внимателни при следващото си решение. Ако вашият определен интеграл онлайн калкулаторНе можах да го взема от първия път, тогава преди всичко си струва да проверите отново писмените данни в съответните формуляри на сайта. Уверете се, че всичко е наред и тръгвайте, Go-Go! За всеки студент пречка е изчисляването на неправилни интеграли онлайн пред самия преподавател, тъй като това е или изпит, или колоквиум, или просто тестна чифт.. Веднага щом даденият неправилен интегрален онлайн калкулатор е на ваше разположение, веднага карайте дадена функция, заместител предварително определени границиинтеграция и щракнете върху бутона Решение, след което ще получите пълен подробен отговор. И все пак е добре, когато има такъв прекрасен сайт като сайт, защото той е едновременно безплатен и лесен за използване, освен това съдържа много секции. които студентите използват всеки ден, един от тях е просто определен интеграл онлайн с пълното решение. В същия раздел можете да изчислите неправилния интеграл онлайн с подробно решение за по-нататъшни приложения на отговора както в института, така и в инженерната работа. Изглежда, че не е трудно за всеки да определи определен интеграл онлайн, ако такъв пример е решен предварително без горната и долната граница, тоест не интеграла на Лайбниц, а неопределения интеграл. Но тук ние категорично не сме съгласни с вас, тъй като на пръв поглед може да изглежда така, но има съществена разлика, нека разделим всичко. Решението дава такъв определен интеграл не в явен вид, а в резултат на преобразуването на израза в гранична стойност. С други думи, първо трябва да се реши интегралът със заместване на символните стойности на границите и след това да се изчисли границата или в безкрайност, или в определена точка. От тук изчисляването на определен интеграл онлайн с безплатно решение не означава нищо повече от представяне на точното решение с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц. Ако вземем предвид нашия определен интеграл, калкулаторът ще ви помогне да го изчислите за няколко секунди точно пред очите ви. Такова бързане е необходимо на всеки, който иска да се справи със задачата възможно най-бързо и да се освободи за лични дела. Не трябва да търсите сайтове в Интернет, които ще ви помолят да се регистрирате, след което да попълните пари в баланса си и всичко това в името на някой умен човек, който подготвя решението на определени интеграли, уж онлайн. Не забравяйте, че адресът Math24 е безплатна услуга за решаване на множество задачи по математика, включително ние ще ви помогнем да намерите определен интеграл онлайн и за да се уверите в това, моля, проверете нашата декларация на конкретни примери. Въведете интегралната функция в съответното поле, след което посочете или безкрайни гранични стойности (в този случай решението на неправилните интеграли ще бъде изчислено и получено онлайн), или задайте вашите цифрови или символни граници и определения онлайн интеграл с подробно решение ще се покаже на страницата след щракване върху бутона "Решение". Не е ли така - много е просто, не изисква никакви допълнителни действия от вас, безплатно, което е най-важното, и в същото време ефективно. Можете сами да използвате услугата, така че категоричният интегрален онлайн калкулатор да ви донесе максимална полза и да получите удобно състояние, без да се напрягате върху сложността на всички изчислителни процеси, позволете ни да направим всичко за вас и да демонстрираме пълната мощ на компютърната технология модерен свят. Ако се гмурнете в джунглата на най-сложните формули и изучавате сами изчисляването на неправилни интеграли онлайн, тогава това е похвално и можете да поискате възможността да напишете докторска дисертация, но нека се върнем към реалността Студентски живот. А кой е студент? На първо място, това е млад мъж, енергичен и весел, който иска да има време да се отпусне и да си напише домашните! Затова се погрижихме за студентите, които се опитват да намерят неподходящ интегрален онлайн калкулатор в необятната глобална мрежа и ето го на вашето внимание - сайтът е най-полезният онлайн решаващ инструмент за млади хора. Между другото, въпреки че нашата услуга е представена като помощник на студенти и ученици, тя е напълно подходяща за всеки инженер, тъй като можем да изпълняваме всякакви задачи и тяхното решение е представено в професионален формат. Например, ние предлагаме определен интеграл онлайн с решение в пълна форма на етапи, тоест на всеки логически блок (подзадача) се присвоява отделен запис с всички изчисления по време на процеса общо решение. Това, разбира се, опростява възприемането на многоетапни последователни оформления и по този начин е предимството на проекта на сайта пред подобни услуги за намиране на неправилен интеграл онлайн с подробно решение.

Неправилен интеграл с безкрайна граница на интегриране

Понякога такъв неправилен интеграл се нарича още неправилен интеграл от първи вид..gif" width="49" height="19 src=">.

По-рядко се срещат интеграли с безкрайна долна граница или с две безкрайни граници: .

Ще разгледаме най-популярния случай https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif" width="63" height="51"> ? Не винаги. Интеграндhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif" width="47" height="23 src=">

Нека изобразим графиката на интегранта на чертежа. Типична графика и криволинеен трапец за този случай изглежда така:

Неправилен интегралhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif" width="100" height="51">", с други думи, площта също е безкрайна. Така че може да бъде.В този случай казваме, че неправилният интеграл се разминава.

2) Но. Колкото и парадоксално да звучи, площта на една безкрайна фигура може да бъде равна на ... крайно число! Например: .. Във втория случай неправилният интеграл се сближава.

Какво се случва, ако под оста е разположен безкраен криволинеен трапец?.gif" width="217" height="51 src=">.

: .

Пример 1

Интеграндът https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif" width="43" height="23">, което означава, че всичко е наред и неправилният интеграл може да бъде изчислен с помощта на " редовен" метод.

Приложение на нашата формула https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif" width="356" height="49">

Тоест, неправилният интеграл се разминава и площта на защрихования криволинеен трапец е равна на безкрайност.

При решаването на неправилни интеграли е много важно да знаете как изглеждат графиките на основните елементарни функции!

Пример 2

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция.

Да направим чертеж:

Първо забелязваме следното: подинтегралната функция е непрекъсната на полуинтервала. Добре..gif" width="327" height="53">

(1) Вземаме най-простия интеграл от степенна функция(този конкретен случай се намира в много таблици). По-добре е незабавно да преместите минуса отвъд граничния знак, така че да не попадне под краката при по-нататъшни изчисления.

(2) Заменяме горната и долната граница съгласно формулата на Нютон-Лайбниц.

(3) Посочваме, че https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif" width="56" height="19 src="> (Господа, това отдавна е разбрано) и опростете отговор.

Тук площта на безкраен криволинеен трапец е равна на крайно число! Не е за вярване, но е факт.

Пример 3

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция.

Интегрантът е непрекъснат на .

Първо, нека се опитаме да намерим първоизводната функция (неопределен интеграл).

На кой от табличните интеграли прилича подинтегралната функция? Това ми напомня за аркутангенса: . От тези съображения се налага мисълта, че би било хубаво да се получи квадрат в знаменателя. Това става чрез заместване.

Да заменим:

Винаги е полезно да се извърши проверка, тоест да се разграничи полученият резултат:

Сега намираме неправилния интеграл:

(1) Записваме решението в съответствие с формулата . По-добре е незабавно да преместите константата отвъд граничния знак, така че да не се намесва в по-нататъшни изчисления.

(2) Заменяме горната и долната граница в съответствие с формулата на Нютон-Лайбниц..gif" width="56" height="19 src=">?

(3) Получаваме окончателния отговор. Фактът, че е полезно да се знае наизуст.

Напредналите ученици може да не намерят отделно неопределения интеграл и да не използват метода на заместване, а да използват метода за сумиране на функцията под диференциалния знак и да решат неправилния интеграл „незабавно“. В този случай решението трябва да изглежда така:

“

Интеграндът е непрекъснат на https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif" width="337" height="104">
“

Пример 4

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция.

! то типичен пример, и подобни интеграли са много често срещани. Работете добре! противопроизводна функциятук се намира чрез метода за избор на пълен квадрат.

Пример 5

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция.

Този интеграл може да бъде решен подробно, тоест първо да се намери неопределеният интеграл чрез промяна на променливата. И можете да го решите "незабавно" - като сумирате функцията под знака на диференциала ..

Неправилни интеграли на неограничени функции

Понякога такива неправилни интеграли се наричат ​​неправилни интеграли от втори род. Неправилните интеграли от втория вид са хитро "криптирани" под обичайния определен интеграл и изглеждат точно по същия начин: ..gif" width="39" height="15 src=">, 2) или в точката , 3) ​​​​или в двете точки наведнъж, 4) или дори на интервала на интегриране. Ще разгледаме първите два случая, за случаи 3-4 в края на статията има връзка към допълнителен урок.

Само един пример, за да стане ясно: https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif" width="65 height=41" height="41">, тогава нашият знаменател се превръща в нула, тоест интегрантът просто не съществува в този момент!

Като цяло, когато се анализира неправилният интеграл винаги е необходимо да се заменят и двете интеграционни граници в интегранта..jpg" alt="(!LANG:Неправилен интеграл, точка на прекъсване в долната граница на интегриране" width="323" height="380">!}

Тук почти всичко е същото като в интеграла от първи вид.
Нашият интеграл е числено равна на площщрихован криволинеен трапец, който не е ограничен отгоре. В този случай може да има два варианта: неправилният интеграл се разминава (площта е безкрайна) или неправилният интеграл е равен на крайно число (тоест площта на безкрайна фигура е крайна!).

Остава само да се модифицира формулата на Нютон-Лайбниц. Той също се модифицира с помощта на границата, но границата вече не клони към безкрайност, а да оценявамhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> на дясно.

Пример 6

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция.

Интеграндът претърпява безкрайно прекъсване в даден момент (не забравяйте да проверите устно или на чернова дали всичко е наред с горната граница!)

Първо, изчисляваме неопределения интеграл:

Замяна:

Изчисляваме неправилния интеграл:

(1) Какво ново тук? На практика нищо от гледна точка на техниката. Единственото нещо, което се промени, е записът под иконата за ограничение: . Добавката означава, че се стремим към стойността отдясно (което е логично - вижте графиката). Такава граница в теорията на границите се нарича едностранна граница. В този случай имаме дясна граница.

(2) Заменяме горната и долната граница съгласно формулата на Нютон-Лайбниц.

(3) Разбиране на https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif" width="69" height="41 src=">. Как да определите къде трябва да отиде изразът? Грубо казано, в просто трябва да замените стойността за него, да замените три четвърти и да посочите, че... Разресваме отговора.

В този случай неправилният интеграл е равен на отрицателно число.

Пример 7

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция.

Пример 8

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция.

Ако интегралната функция не съществува в точката

Един безкраен криволинеен трапец за такъв неправилен интеграл по същество изглежда така:

Тук всичко е абсолютно същото, с изключение на това, че границата клони към да оценявамhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> трябва да се доближим безкрайно до точката на пречупване наляво.

Определен интеграл като граница на интегралната сума

може да съществува (т.е. да има определена крайна стойност) само ако условията са изпълнени

Ако поне едно от тези условия е нарушено, тогава определението губи смисъла си. Наистина, в случай на безкраен сегмент, например [ а; ) не може да се раздели на Пчасти с крайна дължина
, което освен това ще клони към нула с увеличаване на броя на сегментите. В случай на неограничен в някакъв момент с[а; b] е нарушено изискването за произволен избор на точка на частични сегменти – не може да се избере =с, тъй като стойността на функцията в този момент е недефинирана. Понятието за определен интеграл обаче може да се обобщи и за тези случаи, като се въведе още един преход до границата. Наричат ​​се интеграли върху безкрайни интервали и от прекъснати (неограничени) функции несобствени.

Определение.

Нека функцията
определен на интервала [ а; ) и е интегрируем на всеки краен интервал [ а; b], т.е. съществува
за всеки b > а. ограничение на изгледа
Наречен неправилен интеграл първи вид (или чрез неправилен интеграл върху безкраен интервал) и означаваме
.

Така, по дефиниция,
=
.

Ако границата отдясно съществува и е крайна, тогава неправилният интеграл
Наречен сближаване . Ако тази граница е безкрайна или изобщо не съществува, тогава се казва, че неправилният интеграл е такъв се разминава .

По подобен начин можем да въведем концепцията за неправилен интеграл на функция
по интервал (–; b]:

=
.

И неправилния интеграл на функцията
в интервала (–; +) се определя като сумата от интегралите, въведени по-горе:

=
+
,

където ае произволна точка. Този интеграл се сближава, ако и двата члена се сближават, и се разминава, ако поне един от членовете се разминава.

От геометрична гледна точка интегралът
,
, определя числената стойност на площта на безкраен криволинеен трапец, ограничен отгоре от графиката на функцията
, ляво - право
, отдолу - оста OX. Конвергенцията на интеграла означава съществуването на крайна площ на такъв трапец и равенството му на границата на площта на криволинейния трапец с движеща се дясна стена
.

За случая на интеграл с безкрайна граница може също да се обобщи Формула на Нютон-Лайбниц:

=
=F( + ) – F( а),

където F( + ) =
. Ако тази граница съществува, тогава интегралът се събира; в противен случай той се разминава.

Разгледахме обобщение на концепцията за определен интеграл за случая на безкраен интервал.

Нека сега разгледаме едно обобщение за случая на неограничена функция.

Определение

Нека функцията
определен на интервала [ а; b), е неограничен в някаква околност на точката b, и е непрекъснат на всеки сегмент
, където >0 (и следователно е интегрируем на този сегмент, т.е.
съществува). ограничение на изгледа
Наречен неправилен интеграл от втори род (или чрез неправилния интеграл на неограничена функция) и се обозначава
.

По този начин неправилният интеграл на неограничен в точка bфункциите са по дефиниция

=
.

Ако границата отдясно съществува и е крайна, тогава се извиква интеграл сближаване. Ако няма крайна граница, тогава се извиква неправилният интеграл разнопосочни.

По подобен начин може да се дефинира неправилен интеграл на функцията
с безкрайно прекъсване в точка а:

=
.

Ако функцията
има безкрайно прекъсване във вътрешна точка с
, тогава неправилният интеграл се дефинира по следния начин

=
+
=
+
.

Този интеграл се сближава, ако и двата члена се сближават, и се разминава, ако поне един член се разминава.

От геометрична гледна точка, неправилният интеграл на неограничена функция също характеризира площта на неограничен криволинеен трапец:

Тъй като неправилният интеграл се получава чрез преминаване към границата от определения интеграл, тогава всички свойства на определения интеграл могат да бъдат прехвърлени (с подходящи уточнения) към неправилните интеграли от първи и втори род.

В много задачи, които водят до неправилни интеграли, не е необходимо да знаете на какво е равен този интеграл, достатъчно е просто да се уверите, че той се събира или се разминава. За тази употреба признаци на конвергенция. Признаци за сходимост на неправилни интеграли:

1) Знак за сравнение.

Нека за всички х

. Тогава ако
се сближава, след това се сближава и
, и

. Ако
се разминава, след това се разминава и
.

2) Ако се сближава
, след това се сближава и
(последният интеграл в този случай се нарича абсолютно конвергентен).

Критериите за сходимост и дивергенция на несобствени интеграли на неограничени функции са подобни на формулираните по-горе.

Примери за решаване на проблеми.

Пример 1

а)
; б)
; в)

G)
; д)
.

Решение.

а) По дефиниция имаме:

.

б) По същия начин

Следователно този интеграл се събира и е равен на .

в) По дефиниция
=
+
, освен това, ае произволно число. Нека поставим в нашия случай
, тогава получаваме:

Този интеграл се събира.

Така че този интеграл се разминава.

д) Помислете
. За да се намери първоизводната на подинтегралната функция, е необходимо да се приложи методът на интегриране по части. Тогава получаваме:

Тъй като нито едно от двете
, нито
не съществуват, тогава не съществуват и

Следователно този интеграл се разминава.

Пример 2

Изследвайте сходимостта на интеграла зависи от П.

Решение.

При
ние имаме:

Ако
, тогава
и. Следователно интегралът се разминава.

Ако
, тогава
, а
, тогава

=,

Следователно интегралът се събира.

Ако
, тогава

следователно интегралът се разминава.

По този начин,

Пример 3

Изчислете неправилния интеграл или задайте неговата дивергенция:

а)
; б)
; в)
.

Решение.

а) Интеграл
е неправилен интеграл от втори род, тъй като интеграндът
не е ограничено в точка

. Тогава, по дефиниция,

.

Интегралът се събира и е равен на .

б) Помислете
. Тук също интегрантът не е ограничен в точката
. Следователно този интеграл е неправилен от втори род и по дефиниция

Следователно интегралът се разминава.

в) Помислете
. Интегранд
страда от безкрайно прекъсване в две точки:
и
, първият от които принадлежи на интервала на интегриране
. Следователно този интеграл е неправилен от втори род. Тогава по дефиниция

=

=

.

Следователно интегралът се събира и е равен на
.