Проверка за хомогенност на диференциално уравнение. Линейни и хомогенни диференциални уравнения от първи ред

В момента според основното ниво на изучаване на математика са предвидени само 4 часа за изучаване на математика в гимназията (2 часа алгебра, 2 часа геометрия). В селските малки училища се опитват да увеличат броя на часовете за сметка на училищния компонент. Но ако класът е хуманитарен, тогава училищният компонент се добавя за изучаване на хуманитарни предмети. В малко село често ученик не трябва да избира, той учи в този клас; какво има в училището. Той няма да става юрист, историк или журналист (има и такива случаи), а иска да стане инженер или икономист, така че изпитът по математика трябва да мине с високи резултати. При такива обстоятелства учителят по математика трябва сам да намери изход от тази ситуация, освен това, според учебника на Колмогоров, не е предвидено изучаването на темата "хомогенни уравнения". През последните години, за да въведа тази тема и да я затвърдя, имах нужда от два двойни урока. За съжаление проверката на възпитателния надзор забрани двукратните часове в училище, поради което се наложи броят на упражненията да бъде намален на 45 минути и съответно нивото на трудност на упражненията беше понижено до средно. Предлагам на вашето внимание план на урок по тази тема в 10 клас с основно ниво на математика в селско, лошо оборудвано училище.

Тип урок: традиционен.

Цел: научете се да решавате типични хомогенни уравнения.

Задачи:

когнитивен:

Образователни:

Образователни:

• Възпитаване на старание чрез търпеливо изпълнение на задачите, чувство за другарство чрез работа по двойки и групи.

По време на часовете

азОрганизационни сцена(3 мин.)

II. Проверка на знанията, необходими за усвояване на нов материал (10 мин.)

Идентифицирайте основните трудности с допълнителен анализ на изпълнените задачи. Децата имат 3 възможности за избор. Задачи, диференцирани по степен на сложност и степен на подготвеност на децата, последвани от обяснение на дъската.

1 ниво. Решете уравненията:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2-x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Отговори: 7;3

2 ниво. Решете най-простото тригонометрични уравненияи биквадратното уравнение:

отговори:

б) x 4 -13x 3 +36=0 Отговори: -2; 2; -3; 3

3-то ниво.Решаване на уравнения чрез метода на промяната на променливите:

б) x 6 -9x 3 +8=0 Отговори:

III.Теми за съобщения, поставяне на цели и задачи.

Тема: Хомогенни уравнения

Цел: научете се да решавате типични хомогенни уравнения

Задачи:

когнитивен:

• запознават се с еднородни уравнения, научават как да решават най-често срещаните видове такива уравнения.

Образователни:

• Развитие на аналитично мислене.
• Развитие на математически умения: научете се да подчертавате основните характеристики, по които хомогенните уравнения се различават от другите уравнения, да можете да установите сходството на хомогенните уравнения в техните различни проявления.

IV. Усвояване на нови знания (15 мин.)

1. Лекционен момент.

Определение 1(Запишете в тетрадката). Уравнение от формата P(x;y)=0 се нарича хомогенно, ако P(x;y) е хомогенен полином.

Полином от две променливи x и y се нарича хомогенен, ако степента на всеки от членовете му е равна на едно и също число k.

Определение 2(Само въведение). Уравнения на формата

се нарича хомогенно уравнение от степен n по отношение на u(x) и v(x). Като разделим двете страни на уравнението на (v(x))n, можем да използваме заместването, за да получим уравнението

Това опростява оригиналното уравнение. Случаят v(x)=0 трябва да се разглежда отделно, тъй като е невъзможно да се раздели на 0.

2. Примери за хомогенни уравнения:

Обяснете защо те са хомогенни, дайте свои примери за такива уравнения.

3. Задача за дефиниране на еднородни уравнения:

Между дадени уравнениядефинирайте хомогенни уравнения и обяснете избора си:

След като обясните избора си на един от примерите, покажете начин за решаване на хомогенно уравнение:

4. Решете сами:

Отговор:

б) 2sin x - 3 cos x \u003d 0

Разделяме двете страни на уравнението на cos x, получаваме 2 tg x -3=0, tg x=⅔, x=arctg⅔ +

5. Примерно решение за показване на брошура„П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в училищния курс по математика. Москва Педагогически университет"Първи септември" 2006 г. стр.22. Като един възможен пример USE нивоОТ.

V. Решете за затвърдяване по учебника на Башмаков

стр. 183 № 59 (1.5) или според учебника, редактиран от Колмогоров: стр. 81 № 169 (а, в)

отговори:

VI. Проверка, самостоятелна работа (7 мин.)

Отговори на задачите:

Вариант 1 а) Отговор: arctg2+πn,n € Z; б) Отговор: ±π/2+ 3πn,n € Z; в)

Вариант 2 а) Отговор: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; б) Отговор: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; в) (-5; -2); (5;2)

VII. Домашна работа

№ 169 по Колмогоров, № 59 по Башмаков.

2) 3sin 2 x+2sin x cos x =2 Забележка: от дясната страна използвайте основната тригонометрична идентичност 2(sin 2 x + cos 2 x)

Отговор: arctg(-1±√3) +πn,

Препратки:

1. П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в училищния курс по математика. - М .: Педагогически университет "Първи септември", 2006. стр. 22
2. А. Мерзляк, В. Полонски, Е. Рабинович, М. Якир. Тригонометрия. - М .: "AST-PRESS", 1998, стр. 389
3. Алгебра за 8 клас, под редакцията на Н.Я. Виленкин. - М .: "Просвещение", 1997 г.
4. Алгебра за 9 клас, под редакцията на Н.Я. Виленкин. Москва "Просвещение", 2001 г.
5. M.I. Башмаков. Алгебра и началото на анализа. За 10-11 клас - М .: "Просвещение" 1993 г
6. Колмогоров, Абрамов, Дудницин. Алгебра и началото на анализа. За 10-11 клас. - М .: "Просвещение", 1990 г.
7. А.Г. Мордкович. Алгебра и началото на анализа. Част 1 Учебник 10-11 клас. - М .: "Мнемозина", 2004 г.

Хомогенно диференциално уравнение от първи ред е уравнение на формата
, където f е функция.

Как да дефинираме хомогенно диференциално уравнение

За да се определи дали диференциалното уравнение от първи ред е хомогенно, трябва да се въведе константа t и да се замени y с ty и x с tx: y → ty, x → tx. Ако t е намалено, тогава това хомогенно диференциално уравнение. Производната y′ не се променя при такава трансформация.
.

Пример

Определете дали даденото уравнение е хомогенно

Решение

Правим промяната y → ty, x → tx.


Разделете на t 2 .

.
Уравнението не съдържа t . Следователно това хомогенно уравнение.

Метод за решаване на хомогенно диференциално уравнение

Хомогенно диференциално уравнение от първи ред се редуцира до уравнение с разделими променливи, като се използва заместването y = ux . Нека го покажем. Разгледайте уравнението:
(i)
Правим замяна:
y=ux
където u е функция от x. Разграничете по отношение на x:
y' =
Заместваме в оригиналното уравнение (i).
,
,
(ii) .
Отделни променливи. Умножете по dx и разделете на x ( f(u) - u).

За f (u) - u ≠ 0и x ≠ 0 получаваме:

Ние интегрираме:

Така получихме общия интеграл на уравнението (i)в квадрати:

Заменяме интеграционната константа C с дневник C, тогава

Пропускаме знака модул, защото желан знаксе определя от избора на знака на константата C. Тогава общият интеграл ще приеме формата:

След това разгледайте случая f (u) - u = 0.
Ако това уравнение има корени, то те са решение на уравнението (ii). Тъй като уравнението (ii)не съвпада с оригиналното уравнение, тогава трябва да се уверите, че допълнителни решенияудовлетворяват първоначалното уравнение (i).

Всеки път, когато в процеса на преобразуване разделим някое уравнение на някаква функция, която означаваме като g (x, y), тогава следващите трансформации са валидни за g (x, y) ≠ 0. Следователно делото ж (x, y) = 0.

Пример за решаване на хомогенно диференциално уравнение от първи ред

реши уравнението

Решение

Нека проверим дали това уравнение е хомогенно. Правим промяната y → ty, x → tx. В този случай y′ → y′ .
,
,
.
Намаляваме с t.

Константата t е намалена. Следователно уравнението е хомогенно.

Правим заместване y = ux, където u е функция от x.
y' = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Заместете в оригиналното уравнение.
,
,
,
.
За x ≥ 0 , |x| =x. За x ≤ 0 , |x| = - х. Пишем |x| = x, което означава, че горният знак се отнася за стойности x ≥ 0 , а долната - до стойностите x ≤ 0 .
,
Умножете по dx и разделете на .

За теб 2 - 1 ≠ 0 ние имаме:

Ние интегрираме:

Таблица интеграли,
.

Нека приложим формулата:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
Нека a = u , .
.
Вземете двете части по модул и логаритъм,
.
Оттук
.

Така имаме:
,
.
Пропускаме знака на модула, тъй като търсеният знак се осигурява чрез избор на знака на константата C .

Умножете по x и заменете ux = y.
,
.
Нека го повдигнем на квадрат.
,
,
.

Сега разгледайте случая, u 2 - 1 = 0 .
Корените на това уравнение
.
Лесно се вижда, че функциите y = x удовлетворяват първоначалното уравнение.

Отговор

,
,
.

Препратки:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, Lan, 2003.

Мисля, че трябва да започнем с историята на такъв славен математически инструмент като диференциални уравнения. Както всяко диференциално и интегрално смятане, тези уравнения са изобретени от Нютон в края на 17 век. Той смяташе това свое откритие за толкова важно, че дори шифрова съобщението, което днес може да се преведе по следния начин: „Всички закони на природата се описват с диференциални уравнения“. Това може да изглежда като преувеличение, но е истина. Всеки закон на физиката, химията, биологията може да бъде описан с тези уравнения.

Огромен принос за развитието и създаването на теорията на диференциалните уравнения направиха математиците Ойлер и Лагранж. Още през 18 век те откриват и развиват това, което сега изучават в старшите курсове на университетите.

Нов крайъгълен камък в изучаването на диференциалните уравнения започва благодарение на Анри Поанкаре. Той създава "качествена теория на диференциалните уравнения", която в комбинация с теорията на функциите на комплексна променлива има значителен принос в основата на топологията - науката за пространството и неговите свойства.

Какво представляват диференциалните уравнения?

Много хора се страхуват от една фраза, но в тази статия ще опишем подробно цялата същност на този много полезен математически апарат, който всъщност не е толкова сложен, колкото изглежда от името. За да започнете да говорите за диференциални уравнения от първи ред, първо трябва да се запознаете с основните понятия, които по своята същност са свързани с това определение. Да започнем с диференциала.

Диференциал

Много хора знаят тази концепция от училище. Нека обаче го разгледаме по-отблизо. Представете си графика на функция. Можем да го увеличим до такава степен, че всеки от сегментите му да приеме формата на права линия. На него вземаме две точки, които са безкрайно близо една до друга. Разликата между техните координати (x или y) ще бъде безкрайно малка стойност. Нарича се диференциал и се обозначава със знаците dy (диференциал от y) и dx (диференциал от x). Много е важно да се разбере, че диференциалът не е крайна стойност и това е неговото значение и основна функция.

И сега е необходимо да разгледаме следния елемент, който ще ни бъде полезен при обяснението на концепцията за диференциално уравнение. Това е производно.

Производна

Вероятно всички сме чували тази концепция в училище. Казва се, че производната е скоростта на нарастване или намаляване на функция. Голяма част от това определение обаче става неразбираемо. Нека се опитаме да обясним производната от гледна точка на диференциали. Нека се върнем към безкрайно малък сегмент от функция с две точки, които са на минимално разстояние една от друга. Но дори и за това разстояние, функцията успява да се промени с известна сума. И за да опишат тази промяна, те излязоха с производна, която иначе може да бъде записана като съотношение на диференциали: f (x) "=df / dx.

Сега си струва да разгледаме основните свойства на производното. Има само три от тях:

1. Производната на сбора или разликата може да бъде представена като сбор или разлика на производните: (a+b)"=a"+b" и (a-b)"=a"-b".
2. Второто свойство е свързано с умножението. Производната на продукт е сумата от продуктите на една функция и производната на друга: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Производната на разликата може да се запише като следното равенство: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Всички тези свойства ще ни бъдат полезни за намиране на решения на диференциални уравнения от първи ред.

Има и частични производни. Да кажем, че имаме функция z, която зависи от променливите x и y. За да изчислим частната производна на тази функция, да кажем, по отношение на x, трябва да приемем променливата y като константа и просто да диференцираме.

Интеграл

Друго важно понятие е интегралът. Всъщност това е пряката противоположност на производната. Има няколко типа интеграли, но за решаване на най-простите диференциални уравнения са ни необходими най-тривиалните

И така, да кажем, че имаме някаква зависимост на f от x. Вземаме интеграла от него и получаваме функцията F (x) (често наричана антипроизводна), чиято производна е равна на оригиналната функция. Така F(x)"=f(x). От това също следва, че интегралът на производната е равен на оригиналната функция.

Когато решавате диференциални уравнения, е много важно да разберете значението и функцията на интеграла, тъй като ще трябва да ги приемате много често, за да намерите решение.

Уравненията са различни в зависимост от естеството си. В следващия раздел ще разгледаме типовете диференциални уравнения от първи ред и след това ще научим как да ги решаваме.

Класове диференциални уравнения

"Diffura" се разделят според реда на производните, участващи в тях. По този начин има първи, втори, трети и повече ред. Те също могат да бъдат разделени на няколко класа: обикновени и частични производни.

В тази статия ще разгледаме обикновени диференциални уравнения от първи ред. Също така ще обсъдим примери и начини за решаването им в следващите раздели. Ще разгледаме само ODE, тъй като това са най-често срещаните видове уравнения. Обикновените са разделени на подвидове: с отделими променливи, хомогенни и разнородни. След това ще научите как се различават един от друг и как да ги разрешите.

В допълнение, тези уравнения могат да се комбинират, така че след това да получим система от диференциални уравнения от първи ред. Ние също ще разгледаме такива системи и ще научим как да ги решаваме.

Защо разглеждаме само първата поръчка? Защото трябва да започнете с прост и просто е невъзможно да се опише всичко, свързано с диференциалните уравнения, в една статия.

Уравнения с разделими променливи

Това са може би най-простите диференциални уравнения от първи ред. Те включват примери, които могат да бъдат записани по следния начин: y "=f (x) * f (y). За да решим това уравнение, имаме нужда от формула за представяне на производната като отношение на диференциали: y" = dy / dx. Използвайки го, получаваме следното уравнение: dy/dx=f(x)*f(y). Сега можем да се обърнем към метода за решаване на стандартни примери: ще разделим променливите на части, тоест ще прехвърлим всичко с променливата y в частта, където се намира dy, и ще направим същото с променливата x. Получаваме уравнение от вида: dy/f(y)=f(x)dx, което се решава чрез вземане на интегралите от двете части. Не забравяйте за константата, която трябва да бъде зададена след вземане на интеграла.

Решението на всяка "дифузия" е функция на зависимостта на x от y (в нашия случай) или, ако има числово условие, тогава отговорът е под формата на число. Нека да разгледаме цялото решение, като използваме конкретен пример:

Прехвърляме променливи в различни посоки:

Сега вземаме интеграли. Всички те могат да бъдат намерени в специална таблица с интеграли. И получаваме:

log(y) = -2*cos(x) + C

Ако е необходимо, можем да изразим "y" като функция на "x". Сега можем да кажем, че нашето диференциално уравнение е решено, ако не е дадено условие. Може да се даде условие, например, y(n/2)=e. След това просто заместваме стойността на тези променливи в решението и намираме стойността на константата. В нашия пример то е равно на 1.

Хомогенни диференциални уравнения от първи ред

Сега да преминем към по-трудната част. Могат да се запишат хомогенни диференциални уравнения от първи ред общ изгледтака: y"=z(x,y). Трябва да се отбележи, че дясната функция на две променливи е хомогенна и не може да бъде разделена на две зависимости: z от x и z от y. Проверка дали уравнението е хомогенно или not е съвсем проста: правим замяната x=k*x и y=k*y. Сега анулираме всички k. Ако всички тези букви са намалени, тогава уравнението е хомогенно и можете спокойно да продължите да го решавате. напред, да кажем: принципът за решаване на тези примери също е много прост.

Трябва да направим замяна: y=t(x)*x, където t е някаква функция, която също зависи от x. Тогава можем да изразим производната: y"=t"(x)*x+t. Замествайки всичко това в нашето първоначално уравнение и го опростявайки, получаваме пример с разделими променливи t и x. Решаваме го и получаваме зависимостта t(x). Когато го получим, просто заместваме y=t(x)*x в нашата предишна замяна. Тогава получаваме зависимостта на y от x.

За да стане по-ясно, нека разгледаме пример: x*y"=y-x*e y/x .

При проверка със смяна всичко е намалено. Така че уравнението наистина е хомогенно. Сега правим друга замяна, за която говорихме: y=t(x)*x и y"=t"(x)*x+t(x). След опростяване получаваме следното уравнение: t "(x) * x \u003d -e t. Решаваме получения пример с разделени променливи и получаваме: e -t \u003dln (C * x). Трябва само да заменим t с y / x (защото ако y \u003d t * x, тогава t \u003d y / x), и получаваме отговора: e -y / x \u003d ln (x * C).

Линейни диференциални уравнения от първи ред

Време е да разгледаме друга широка тема. Ще анализираме нехомогенни диференциални уравнения от първи ред. С какво се различават от предишните две? Нека да го разберем. Линейни диференциални уравнения от първи ред в обща форма могат да бъдат записани, както следва: y " + g (x) * y \u003d z (x). Струва си да се изясни, че z (x) и g (x) могат да бъдат постоянни стойности .

А сега пример: y" - y*x=x 2 .

Има два начина за решаване и ние ще анализираме и двата по ред. Първият е методът на вариация на произволни константи.

За да решите уравнението по този начин, първо трябва да изравните правилната странадо нула и решете полученото уравнение, което след прехвърлянето на части ще приеме формата:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Сега трябва да заменим константата C 1 с функцията v(x), която трябва да намерим.

Нека променим производната:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2.

Нека заместим тези изрази в оригиналното уравнение:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Може да се види, че два члена са отменени от лявата страна. Ако в някой пример това не се случи, значи сте направили нещо нередно. Да продължим:

v"*e x2/2 = x 2 .

Сега решаваме обичайното уравнение, в което трябва да разделим променливите:

dv/dx=x 2 /e x2/2;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

За да извлечем интеграла, трябва да приложим интегриране по части тук. Това обаче не е темата на нашата статия. Ако се интересувате, можете сами да научите как да извършвате такива действия. Не е трудно и с достатъчно умения и внимание не отнема много време.

Нека се обърнем към второто решение. нехомогенни уравнения: Метод на Бернули. Кой подход е по-бърз и лесен зависи от вас.

И така, когато решаваме уравнението по този метод, трябва да направим замяна: y=k*n. Тук k и n са някои зависими от x функции. Тогава производната ще изглежда така: y"=k"*n+k*n". Заместваме двете замени в уравнението:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Групиране:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Сега трябва да приравним към нула това, което е в скоби. Сега, ако комбинираме двете получени уравнения, получаваме система от диференциални уравнения от първи ред, която трябва да бъде решена:

Решаваме първото равенство като обикновено уравнение. За да направите това, трябва да разделите променливите:

Взимаме интеграла и получаваме: ln(n)=x 2 /2. Тогава, ако изразим n:

Сега заместваме полученото равенство във второто уравнение на системата:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

И трансформирайки, получаваме същото равенство като в първия метод:

dk=x 2 /e x2/2.

Ние също няма да анализираме по-нататъшни действия. Струва си да се каже, че първоначално решаването на диференциални уравнения от първи ред причинява значителни трудности. С по-дълбоко потапяне в темата обаче започва да става все по-добре.

Къде се използват диференциалните уравнения?

Диференциалните уравнения се използват много активно във физиката, тъй като почти всички основни закони са написани в диференциална форма и формулите, които виждаме, са решението на тези уравнения. В химията те се използват по същата причина: от тях се извличат основните закони. В биологията диференциалните уравнения се използват за моделиране на поведението на системи като хищник-плячка. Те могат да се използват и за създаване на модели на възпроизвеждане на, да речем, колония от микроорганизми.

Как диференциалните уравнения ще помогнат в живота?

Отговорът на този въпрос е прост: няма начин. Ако не сте учен или инженер, едва ли ще са ви полезни. Въпреки това, за общо развитиеНе е зле да знаете какво е диференциално уравнение и как се решава. И тогава въпросът на син или дъщеря "какво е диференциално уравнение?" няма да те обърка. Е, ако сте учен или инженер, тогава вие сами разбирате важността на тази тема във всяка наука. Но най-важното е, че сега въпросът "как да се реши диференциално уравнение от първи ред?" винаги можеш да отговориш. Съгласете се, винаги е хубаво, когато разберете това, което хората дори се страхуват да разберат.

Основни проблеми в обучението

Основният проблем при разбирането на тази тема е слабото умение за интегриране и диференциране на функциите. Ако не сте добри в вземането на производни и интеграли, тогава вероятно си струва да научите повече, да овладеете различни методи за интегриране и диференциране и едва след това да продължите да изучавате материала, описан в статията.

Някои хора са изненадани, когато научат, че dx може да се прехвърля, защото по-рано (в училище) беше заявено, че фракцията dy / dx е неделима. Тук трябва да прочетете литературата за производната и да разберете, че това е отношението на безкрайно малки количества, които могат да бъдат манипулирани при решаване на уравнения.

Мнозина не осъзнават веднага, че решението на диференциалните уравнения от първи ред често е функция или интеграл, който не може да бъде взет, и тази заблуда им създава много проблеми.

Какво друго може да се проучи за по-добро разбиране?

Най-добре е да започнете по-нататъшно потапяне в света на диференциалното смятане със специализирани учебници, например математически анализза студенти от нематематически специалности. След това можете да преминете към по-специализирана литература.

Струва си да се каже, че в допълнение към диференциалните уравнения има и интегрални уравнения, така че винаги ще имате към какво да се стремите и какво да изучавате.

Заключение

Надяваме се, че след като прочетете тази статия, имате представа какво представляват диференциалните уравнения и как да ги решавате правилно.

Във всеки случай математиката по някакъв начин ни е полезна в живота. Развива логиката и вниманието, без които всеки човек е като без ръце.

Извиква се функцията f(x,y). хомогенна функцияна техните аргументи за размерност n, ако идентичността f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

Например функцията f(x,y)=x^2+y^2-xy е хомогенна функция от второто измерение, тъй като

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

За n=0 имаме нулева размерна функция. Например, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)е хомогенна функция с нулева размерност, тъй като

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Диференциално уравнение на формата \frac(dy)(dx)=f(x,y)се казва, че е хомогенен по отношение на x и y, ако f(x,y) е хомогенна функция на своите аргументи с нулева размерност. Хомогенното уравнение винаги може да бъде представено като

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

Чрез въвеждане на нова желана функция u=\frac(y)(x), уравнение (1) може да се сведе до уравнение с разделящи променливи:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Ако u=u_0 е коренът на уравнението \varphi(u)-u=0 , тогава решението на хомогенното уравнение ще бъде u=u_0 или y=u_0x (правата линия, минаваща през началото).

Коментирайте.При решаването на хомогенни уравнения не е необходимо те да се редуцират до вида (1). Можете веднага да направите заместването y=ux.

Пример 1Решете еднородно уравнение xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Решение.Записваме уравнението във формата y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\^2}+\frac{y}{x} !}така даденото уравнение се оказва хомогенно по отношение на x и y. Нека поставим u=\frac(y)(x) или y=ux. След това y"=xu"+u. Като заместим изрази за y и y" в уравнението, получаваме x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Разделяне на променливи: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). От тук, чрез интегриране, намираме

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), или \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

Тъй като C_1|x|=\pm(C_1x) , обозначавайки \pm(C_1)=C , получаваме \arcsin(u)=\ln(Cx), където |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)или e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Заменяйки u с \frac(y)(x) , ще имаме общия интеграл \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Оттук общо решение: y=x\sin\ln(Cx) .

Когато разделяме променливите, разделяме двете страни на уравнението на произведението x\sqrt(1-u^2), така че можем да загубим решението, което превръща този продукт в нула.

Нека сега поставим x=0 и \sqrt(1-u^2)=0 . Но x\ne0 поради заместването u=\frac(y)(x) и от релацията \sqrt(1-u^2)=0 получаваме, че 1-\frac(y^2)(x^2)=0, откъдето y=\pm(x) . Чрез директна проверка се уверяваме, че функциите y=-x и y=x също са решения на това уравнение.

Пример 2Разгледайте семейството от интегрални криви C_\alpha на хомогенното уравнение y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). Покажете, че допирателните в съответните точки към кривите, определени от това хомогенно диференциално уравнение, са успоредни една на друга.

Забележка:Ще се обадим релевантнитези точки на C_\alpha кривите, които лежат на един и същи лъч, започвайки от началото.

Решение.По дефиниция на съответните точки имаме \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), така че по силата на самото уравнение y"=y"_1, където y" и y"_1 са наклоните на допирателните към интегралните криви C_\alpha и C_(\alpha_1) , в точките M и M_1, съответно (фиг. 12).

Редуциращи се до хомогенни уравнения

НО.Разгледайте диференциално уравнение на формата

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).

където a,b,c,a_1,b_1,c_1 са константи и f(u) е непрекъсната функцияна своя аргумент u .

Ако c=c_1=0, тогава уравнение (3) е хомогенно и се интегрира както по-горе.

Ако поне едно от числата c,c_1 е различно от нула, тогава трябва да се разграничат два случая.

1) Детерминанта \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. Въвеждайки нови променливи \xi и \eta съгласно формулите x=\xi+h,~y=\eta+k , където h и k все още са недефинирани константи, привеждаме уравнение (3) до формата

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\вдясно).

Избор на h и k като решение на системата от линейни уравнения

\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

получаваме хомогенно уравнение \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). След като намерихме неговия общ интеграл и заменихме \xi с x-h в него и \eta с y-k, получаваме общия интеграл на уравнение (3).

2) Детерминант \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Система (4) в общ случайняма решения и горният метод не е приложим; в такъв случай \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, и следователно уравнение (3) има формата \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). Заместването z=ax+by го довежда до уравнение на разделима променлива.

Пример 3реши уравнението (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Решение.Помислете за линейна система алгебрични уравнения \begin(cases)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(cases)

Детерминантата на тази система \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Системата има единствено решение x_0=-1,~y_0=3. Правим замяната x=\xi-1,~y=\eta+3 . Тогава уравнение (5) приема формата

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Това уравнение е хомогенно уравнение. Задавайки \eta=u\xi , получаваме

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, където (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Разделяне на променливи \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Интегрирайки, намираме \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)или \xi^2(1+2u-u^2)=C .

Връщайки се към променливите x,~y:

(x+1)^2\left=C_1или x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

Пример 4реши уравнението (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Решение.Система от линейни алгебрични уравнения \begin(cases)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(cases)несъвместими. В този случай методът, приложен в предишния пример, не е подходящ. За да интегрираме уравнението, използваме заместването x+y=z, dy=dz-dx. Уравнението ще приеме формата

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Разделяйки променливите, получаваме

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0следователно x-2z-3\ln|z-2|=C.

Връщайки се към променливите x,~y, получаваме общия интеграл на това уравнение

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

б.Понякога уравнението може да бъде намалено до хомогенно чрез промяна на променливата y=z^\alpha. Това е случаят, когато всички членове в уравнението са с една и съща размерност, ако на променливата x е дадена размерността 1, на променливата y е дадена размерността \alpha, а на производната \frac(dy)(dx) е дадена измерение \alpha-1 .

Пример 5реши уравнението (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Решение.Извършване на замяна y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, където \alpha засега е произволно число, което ще изберем по-късно. Като заместим изрази за y и dy в уравнението, получаваме

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0или \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

Обърнете внимание, че x^2z^(3\alpha-1) има измерението 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) има размерност \alpha-1, xz^(3\alpha) има размерност 1+3\alpha. Полученото уравнение ще бъде хомогенно, ако измерванията на всички членове са еднакви, т.е. ако условието е изпълнено 3\алфа+1=\алфа-1, или \alpha-1 .

Нека поставим y=\frac(1)(z) ; първоначалното уравнение приема формата

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0или (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Да сложим сега z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Тогава това уравнение ще приеме формата (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, където u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Разделяне на променливите в това уравнение \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Интегрирайки, намираме

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)или \frac(x(u^2+1))(u)=C.

Заменяйки u с \frac(1)(xy) , получаваме общия интеграл на това уравнение 1+x^2y^2=Cy.

Уравнението също има очевидно решение y=0 , което се получава от общия интеграл при C\to\infty, ако интегралът е записан като y=\frac(1+x^2y^2)(C), и след това скочете до ограничението при C\to\infty. Така функцията y=0 е конкретно решение на оригиналното уравнение.

Например функцията
е хомогенна функция на първото измерение, тъй като

е хомогенна функция на третото измерение, тъй като

е хомогенна функция на нулевото измерение, тъй като

, т.е.
.

Определение 2. Диференциално уравнение от първи ред г" = f(х, г) се нарича хомогенна, ако функцията f(х, г) е хомогенна нулева размерна функция по отношение на х и г, или както се казва, f(х, г) е хомогенна функция от степен нула.

Може да се представи като

което ни позволява да дефинираме едно хомогенно уравнение като диференциално уравнение, което може да се трансформира до формата (3.3).

Замяна
редуцира хомогенно уравнение до уравнение с разделими променливи. Наистина след смяна y=xzполучаваме
,
Разделяйки променливите и интегрирайки, намираме:

,

Пример 1. Решете уравнението.

Δ Предполагаме y=zx,
Заменяме тези изрази г и dyв това уравнение:
или
Разделяне на променливи:
и интегрирайте:
,

Замяна zна , получаваме
.

Пример 2 Намерете общото решение на уравнението.

Δ В това уравнение П (х,г) =х 2 -2г 2 ,Q(х,г) =2xyса хомогенни функции на второто измерение, следователно това уравнение е хомогенно. Може да се представи като
и решете по същия начин, както по-горе. Но ние използваме различна нотация. Да сложим г = zx, където dy = zdx + xdz. Замествайки тези изрази в оригиналното уравнение, ще имаме

dx+2 zxdz = 0 .

Разделяме променливите, броим

.

Ние интегрираме член по член това уравнение

, където

това е
. Връщане към старата функция
намери общо решение


Пример 3 . Намерете общо решение на уравнението
.

Δ Верига от трансформации: ,г = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

Лекция 8

4. Линейни диференциални уравнения от първи ред Линейно диференциално уравнение от първи ред има формата

Тук е свободният член, наричан също дясна страна на уравнението. В тази форма ще разгледаме линейно уравнениепо-нататък.

Ако
0, тогава уравнение (4.1a) се нарича линейно нехомогенно. Ако
0, тогава уравнението приема формата

и се нарича линейна хомогенна.

Името на уравнение (4.1а) се обяснява с факта, че неизвестната функция г и негово производно въведете го линейно, т.е. в първа степен.

В линейно хомогенно уравнение променливите са разделени. Пренаписването му във формата
където
и интегрирайки, получаваме:
,тези.

При разделяне на губим решението
. Въпреки това, той може да бъде включен в намереното семейство от решения (4.3), ако приемем, че ОТможе също да приеме стойност 0.

Има няколко метода за решаване на уравнение (4.1a). Според Метод на Бернули, решението се търси като произведение на две функции на х:

Една от тези функции може да бъде избрана произволно, тъй като само продуктът UV трябва да удовлетворява първоначалното уравнение, другото се определя на базата на уравнение (4.1a).

Диференцирайки двете страни на равенството (4.4), намираме
.

Заместване на получения производен израз , както и стойността при в уравнение (4.1a), получаваме
, или

тези. като функция vвземете решението на хомогенното линейно уравнение (4.6):

(Тук ° Спишете задължително, иначе ще получите не общо, а частно решение).

Така виждаме, че в резултат на използваното заместване (4.4), уравнение (4.1a) се свежда до две уравнения с разделими променливи (4.6) и (4.7).

Заместване
и v(x) във формула (4.4), накрая получаваме

,

Пример 1 Намерете общо решение на уравнението

 Слагаме
, тогава
. Заместване на изрази и в първоначалното уравнение, получаваме
или
(*)

Приравняваме към нула коефициента при :

Разделяйки променливите в полученото уравнение, имаме


(произволна константа ° С не пишете), следователно v= х. Намерена стойност vзаменете в уравнението (*):

,
,
.

Следователно,
общо решение на изходното уравнение.

Обърнете внимание, че уравнението (*) може да бъде написано в еквивалентна форма:

.

Произволен избор на функция u, но не v, бихме могли да предположим
. Този начин на решаване се различава от разглеждания само чрез замяна vна u(и следователно uна v), така че крайната стойност присе оказва същото.

Въз основа на горното получаваме алгоритъм за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред.

Освен това имайте предвид, че понякога уравнение от първи ред става линейно ако прида се счита за независима променлива и х- зависими, т.е. сменете ролите х и г. Това може да стане при условие, че хи dxвъведете уравнението линейно.

Пример 2 . реши уравнението
.

На пръв поглед това уравнение не е линейно по отношение на функцията при.

Въпреки това, ако вземем предвид хкато функция на при, тогава, предвид това
, може да се доведе до формата

Замяна на , получаваме
или
. Разделяне на двете страни на последното уравнение на произведението ydy, донесете го във формата

, или
. (**)

Тук P(y)=,
. Това е линейно уравнение по отношение на х. Ние вярваме
,
. Замествайки тези изрази в (**), получаваме

или
.

Избираме v, така че
,
, където
;
. Тогава имаме
,
,
.

защото
, тогава стигаме до общото решение на това уравнение във формата

.

Обърнете внимание, че в уравнение (4.1a) П(х) и Q (х) могат да възникнат не само като функции на х, но също и константи: П= а,Q= b. Линейно уравнение

може също да се реши с помощта на заместването y= UV и разделяне на променливи:

;
.

Оттук
;
;
; където
. Като се отървем от логаритъма, получаваме общото решение на уравнението

(тук
).

При b= 0 стигаме до решението на уравнението

(вижте уравнението за експоненциален растеж (2.4) за
).

Първо интегрираме съответното хомогенно уравнение (4.2). Както беше посочено по-горе, решението му има формата (4.3). Ще разгледаме фактора ОТв (4.3) чрез функция от х, т.е. по същество прави промяна на променлива

откъдето, интегрирайки, намираме

Обърнете внимание, че съгласно (4.14) (вижте също (4.9)), общото решение на нехомогенното линейно уравнение е равно на сумата от общото решение на съответното хомогенно уравнение (4.3) и конкретното решение на нехомогенното уравнение, определено чрез втория член в (4.14) (и в (4.9)).

Когато решавате конкретни уравнения, трябва да повторите горните изчисления, а не да използвате тромавата формула (4.14).

Прилагаме метода на Лагранж към уравнението, разгледано в пример 1 :

.

Интегрираме съответното хомогенно уравнение
.

Разделяйки променливите, получаваме
и отвъд
. Решаване на израз по формула г = Cx. Решението на изходното уравнение се търси във формата г = ° С(х)х. Замествайки този израз в даденото уравнение, получаваме
;
;
,
. Общото решение на първоначалното уравнение има формата

.

В заключение отбелязваме, че уравнението на Бернули се свежда до линейно уравнение

което може да се напише като

замяна
се свежда до линейно уравнение:

,
,
.

Уравненията на Бернули също се решават по описаните по-горе методи.

Пример 3 . Намерете общо решение на уравнението
.

 Верига от трансформации:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
