В някои задачи на физиката не може да се установи пряка връзка между величините, описващи процеса. Но има възможност да се получи равенство, съдържащо производните на изследваните функции. Ето как диференциални уравненияи необходимостта от решаването им, за да се намери неизвестната функция.

Тази статия е предназначена за тези, които се сблъскват с проблема за решаване на диференциално уравнение, в което неизвестната функция е функция на една променлива. Теорията е изградена по такъв начин, че с нулево разбиране на диференциалните уравнения можете да си вършите работата.

Всеки тип диференциални уравнения е свързан с метод за решаване с подробни обяснения и решения на типични примери и задачи. Просто трябва да определите вида на диференциалното уравнение на вашия проблем, да намерите подобен анализиран пример и да извършите подобни действия.

За да решавате успешно диференциални уравнения, ще ви е необходима и способност да намирате набори от антипроизводни (неопределени интеграли) на различни функции. Ако е необходимо, препоръчваме ви да се обърнете към раздела.

Първо, разгледайте типовете обикновени диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат решени по отношение на производната, след това ще преминем към ODE от втори ред, след това ще се спрем на уравнения от по-висок ред и ще завършим със системи от диференциални уравнения.

Спомнете си, че ако y е функция на аргумента x .

Диференциални уравнения от първи ред.

Най-простите диференциални уравнения от първи ред на формата .

Нека напишем няколко примера за такива DE .

Диференциални уравнения може да се разреши по отношение на производната чрез разделяне на двете страни на равенството на f(x) . В този случай стигаме до уравнението , което ще бъде еквивалентно на първоначалното за f(x) ≠ 0 . Примери за такива ODE са.

Ако има стойности на аргумента x, за които функциите f(x) и g(x) едновременно се нулират, тогава се появяват допълнителни решения. Допълнителни решенияуравнения дадено x са всички функции, дефинирани за стойностите на тези аргументи. Примери за такива диференциални уравнения са.

Диференциални уравнения от втори ред.

Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

LODE с постоянни коефициенти е много често срещан тип диференциални уравнения. Решението им не е особено трудно. Първо се намират корени характеристично уравнение . За различни p и q са възможни три случая: корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и различни, реални и съвпадащи или комплексен конюгат. В зависимост от стойностите на корените на характеристичното уравнение се записва общо решениедиференциално уравнение като , или , или съответно.

Например, разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Корените на неговото характеристично уравнение са k 1 = -3 и k 2 = 0. Корените са реални и различни, следователно общото решение на LDE с постоянни коефициенти е


Линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Общото решение на LIDE от втори ред с постоянни коефициенти y се търси като сума от общото решение на съответния LODE и конкретно решение на първоначалното нехомогенно уравнение, т.е. Предишният параграф е посветен на намирането на общо решение на хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. И определено решение се определя или чрез метода на неопределените коефициенти за определена форма на функцията f (x), стояща от дясната страна на първоначалното уравнение, или чрез метода на вариация на произволни константи.

Като примери за LIDE от втори ред с постоянни коефициенти, представяме


Разберете теорията и се запознайте с нея подробни решенияпримери ви предлагаме на страницата на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейни хомогенни диференциални уравнения (LODE) и линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред (LNDE).

Частен случай на диференциални уравнения от този тип са LODE и LODE с постоянни коефициенти.

Общото решение на LODE на определен интервал е представено от линейна комбинация от две линейно независими отделни решения y 1 и y 2 на това уравнение, т.е. .

Основната трудност се състои именно в намирането на линейно независими частични решения на този тип диференциално уравнение. Обикновено конкретните решения се избират от следните системи от линейно независими функции:


Въпреки това, конкретните решения не винаги се представят в тази форма.

Пример за LODU е .

Общото решение на LIDE се търси във формата , където е общото решение на съответния LODE, а е частно решение на оригиналното диференциално уравнение. Току-що говорихме за намирането, но то може да се определи с помощта на метода на вариация на произволни константи.

Пример за LNDE е .

Диференциални уравнения от по-висок ред.

Диференциални уравнения, допускащи редукция.

Ред на диференциалното уравнение , която не съдържа желаната функция и нейните производни до k-1 ред, може да се редуцира до n-k чрез замяна на .

В този случай и първоначалното диференциално уравнение се свежда до . След намиране на нейното решение p(x), остава да се върнем към замяната и да определим неизвестната функция y.

Например диференциалното уравнение след замяната става разделимо уравнение и редът му се намалява от третото към първото.

Хомогенна

В този урок ще разгледаме т.нар хомогенни диференциални уравнения от първи ред. Заедно с уравнения с отделими променливии линейни нееднородни уравнениятози тип дистанционно управление се намира в почти всеки контролна работапо темата за дифузията. Ако сте влезли в страницата от търсачка или не сте много уверени в диференциалните уравнения, тогава силно препоръчвам първо да разработите уводен урок по темата - Диференциални уравнения от първи ред. Факт е, че много принципи за решаване на хомогенни уравнения и използваните техники ще бъдат точно същите като за най-простите уравнения с разделими променливи.

Каква е разликата между хомогенните диференциални уравнения и другите видове DE? Това е най-лесно да се обясни веднага с конкретен пример.

Пример 1

Решение:
Какво преди всичкотрябва да се анализира при вземане на решение всякаквидиференциално уравнение първа поръчка? На първо място е необходимо да се провери дали е възможно незабавно да се разделят променливите с помощта на "училищни" действия? Обикновено такъв анализ се извършва мислено или се опитва да се разделят променливите в чернова.

В този пример променливите не могат да бъдат разделени(можете да опитате да обръщате термините от част на част, да изваждате фактори извън скоби и т.н.). Между другото, в този пример фактът, че променливите не могат да бъдат разделени, е съвсем очевиден поради наличието на фактора.

Възниква въпросът - как да се реши този дифър?

Трябва да проверите и Хомогенно ли е това уравнение?? Проверката е проста и самият алгоритъм за проверка може да се формулира по следния начин:

Към първоначалното уравнение:

вместозаместител, вместозаместител, не пипай производното:

Буквата ламбда е условен параметър и тук тя играе следната роля: ако в резултат на трансформации е възможно да се „унищожат“ ВСИЧКИ ламбда и да се получи оригиналното уравнение, тогава това диференциално уравнение е хомогенен.

Очевидно ламбда веднага се унищожават в степента:

Сега, от дясната страна, изваждаме ламбда от скобите:

и разделете двете части на тази същата ламбда:

Като резултат всичколамбдите изчезнаха като сън, като утринна мъгла, и ние получихме оригиналното уравнение.

Заключение:Това уравнение е хомогенно

Как да решим хомогенно диференциално уравнение?

Имам много добри новини. Абсолютно всички еднородни уравнения могат да бъдат решени с една единствена (!) стандартна замяна.

Функцията "y" трябва замени работанякаква функция (също зависи от "x")и "x":

Почти винаги пишете кратко:

Откриваме в какво ще се превърне производната при такава замяна, използваме правилото за диференциране на продукт. Ако , тогава:

Заместете в оригиналното уравнение:

Какво ще даде такава замяна? След тази подмяна и направените опростявания ние гарантиранополучаваме уравнение с разделими променливи. ПОМНЯкато първа любов :) и съответно .

След заместването правим максимални опростявания:

Тъй като е функция, която зависи от "x", тогава нейната производна може да бъде записана като стандартна дроб: .
По този начин:

Разделяме променливите, докато от лявата страна трябва да съберете само "te", а от дясната страна - само "x":

Променливите са разделени, ние интегрираме:


Според първия ми технически съвет от статията Диференциални уравнения от първи редв много случаи е целесъобразно константата да се „формулира“ под формата на логаритъм.

След като уравнението е интегрирано, трябва да изпълните обратно заместване, той също е стандартен и уникален:
Ако , тогава
В такъв случай:

В 18-19 случая от 20 решението на хомогенното уравнение се записва като общ интеграл.

Отговор:общ интеграл:

Защо отговорът на едно хомогенно уравнение почти винаги се дава като общ интеграл?
В повечето случаи е невъзможно да се изрази "y" в явен вид (да се получи общо решение), а ако е възможно, тогава най-често общото решение се оказва тромаво и тромаво.

Така например в разглеждания пример общото решение може да се получи чрез окачване на логаритми на двете части на общия интеграл:

- добре, все още е наред. Въпреки че, разбирате ли, пак е крив.

Между другото, в този пример не съм написал "прилично" общия интеграл. Не е грешка, но в "добър" стил, напомням ви, е обичайно общият интеграл да се записва във формата . За да направите това, веднага след интегрирането на уравнението, константата трябва да бъде записана без логаритъм (Това е изключение от правилото!):

И след обратната замяна вземете общия интеграл в "класическата" форма:

Полученият отговор може да бъде проверен. За да направите това, трябва да диференцирате общия интеграл, тоест да намерите производна на функция, дефинирана имплицитно:

Отървете се от дробите, като умножите всяка страна на уравнението по:

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че решението е намерено правилно.

Препоръчително е винаги да проверявате. Но хомогенните уравнения са неприятни, защото обикновено е трудно да се проверят техните общи интеграли - това изисква много, много прилична техника на диференциране. В разглеждания пример по време на проверката вече беше необходимо да се намерят не най-простите производни (въпреки че самият пример е доста прост). Ако можете да го проверите, проверете го!

Пример 2

Проверете уравнението за хомогенност и намерете неговия общ интеграл.

Напишете отговора във формата

Това е пример за самостоятелно решение - за да свикнете със самия алгоритъм на действията. Проверете в свободното си време, защото. тук е доста сложно и дори не започнах да го донасям, в противен случай вече няма да стигнете до такъв маниак :)

И сега обещаната важна точка, спомената в самото началото на темата,
с удебелени черни букви:

Ако в хода на трансформациите "нулираме" фактора (не е константа)към знаменателя, тогава РИСКУВАМЕ да загубим решения!

И всъщност се сблъскахме с това още в първия пример. въвеждащ урок по диференциални уравнения. В процеса на решаване на уравнението "y" се оказа в знаменателя: , но очевидно е решение на DE и в резултат на нееквивалентно преобразуване (деление) има всички шансове да го загубиш! Друго нещо е, че влезе в общото решение при нулева стойност на константата. Нулирането на "x" в знаменателя също може да бъде игнорирано, защото не удовлетворява оригиналния диф.

Подобна история с третото уравнение от същия урок, по време на решението на което „паднахме“ в знаменателя. Строго погледнато, тук трябваше да се провери дали дадената дифурация е решение? Все пак е! Но дори и тук „всичко се получи“, тъй като тази функция влезе в общия интеграл при .

И ако това често е случаят с „разделимите“ уравнения;) то „търкаля“, то с хомогенните и някои други разлики може да „не се търкаля“. С голяма вероятност.

Нека анализираме вече решените проблеми в този урок: Пример 1имаше "нулиране" на x, но не може да бъде решение на уравнението. Но в Пример 2разделихме на , но това също се „размина“: тъй като решенията не могат да бъдат загубени, те просто не съществуват тук. Но, разбира се, нарочно подредих „щастливите случаи“ и не е факт, че ще се сблъскат на практика:

Пример 3

Решете диференциално уравнение

Не е ли прост пример? ;-)

Решение:хомогенността на това уравнение е очевидна, но все пак - на първото стъпалоВИНАГИ проверявайте дали променливите могат да бъдат разделени. Защото уравнението също е хомогенно, но променливите в него са тихо разделени. Да, има такива!

След като проверим за „разделимост“, правим замяна и опростяваме уравнението, доколкото е възможно:

Разделяме променливите, отляво събираме "te", отдясно - "x":

И тук е СТОП. При разделяне на рискуваме да загубим две функции наведнъж. Тъй като , тогава това са функциите:

Първата функция очевидно е решение на уравнението . Проверяваме втория - заместваме неговата производна в нашия diffur:

- получава се правилното равенство, което означава, че функцията е решение.

И рискуваме да загубим тези решения.

Освен това знаменателят беше "X", обаче заместването предполага, че е различно от нула. Запомнете този факт. Но! Не пропускайте да проверите, дали е решение на ОРИГИНАЛНОТО диференциално уравнение. Не, не е.

Нека вземем под внимание всичко това и да продължим:

Трябва да се каже, че имахме късмет с интеграла на лявата страна, случва се много по-лошо.

Събираме единичен логаритъм от дясната страна и нулираме оковите:

И точно сега обратната замяна:

Умножете всички термини по:

Сега да проверя - дали в общия интеграл са включени "опасни" решения. Да, и двете решения са включени в общия интеграл при нулева стойност на константата: , така че не е необходимо да се посочват допълнително в отговор:

общ интеграл:

Преглед. Дори не тест, а чисто удоволствие :)

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че решението е намерено правилно.

За самостоятелно решение:

Пример 4

Извършете тест за хомогенност и решете диференциалното уравнение

Общият интеграл може да се провери чрез диференциране.

Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Разгледайте няколко примера, при които е дадено хомогенно уравнение с готови диференциали.

Пример 5

Решете диференциално уравнение

Това е много интересен пример, директно целият трилър!

РешениеЩе свикнем да го правим по-компактен. Първо, мислено или на чернова, се уверяваме, че променливите не могат да бъдат разделени тук, след което проверяваме за еднаквост - обикновено не се извършва на чисто копие (освен ако не е изрично необходимо). Така почти винаги решението започва с записа: " Това уравнение е хомогенно, нека направим замяна: ...».

Ако едно хомогенно уравнение съдържа готови диференциали, тогава то може да бъде решено чрез модифицирано заместване:

Но не съветвам да използвате такава замяна, тъй като ще се окаже Великата китайска стена на диференциалите, където имате нужда от око и око. От техническа гледна точка е по-изгодно да преминете към „пунктирано“ обозначение на производната, за това разделяме всички членове на уравнението на:

И вече тук направихме "опасна" трансформация!Нулевият диференциал съответства на - семейство от прави, успоредни на оста. Те ли са корените на нашия DU? Заместете в оригиналното уравнение:

Това равенство е вярно, ако , т.е. при деление на рискувахме да загубим решението , и го загубихме- защото то вече не удовлетворяваполученото уравнение .

Трябва да се отбележи, че ако ние първоначалноуравнението беше дадено , тогава коренът би бил изключен. Но ние го имаме и го "хванахме" навреме.

Продължаваме решението със стандартно заместване:
:

След заместване опростяваме уравнението, доколкото е възможно:

Разделяне на променливи:

И тук отново СТОП: при разделяне на рискуваме да загубим две функции. Тъй като , тогава това са функциите:

Очевидно първата функция е решение на уравнението . Проверяваме второто - заместваме и неговата производна:

– получено истинско равенство, така че функцията също е решение на диференциалното уравнение.

И когато разделяме на, рискуваме да загубим тези решения. Те обаче могат да влизат в общ интеграл. Но може и да не влязат.

Нека вземем това под внимание и интегрираме и двете части:

Интегралът от лявата страна се решава стандартно с помощта на избор на пълен квадрат, но в дифузьорите е много по-удобен за използване метод на неопределените коефициенти:

Използвайки метода на неопределените коефициенти, разширяваме интегранта в сума от елементарни дроби:


По този начин:

Намираме интеграли:

- тъй като сме начертали само логаритми, пъхаме и константата под логаритъма.

Преди смяна опростете отново всичко, което може да бъде опростено:

Изпускане на вериги:

И обратното заместване:

Сега си спомняме „загубите“: решението влезе в общия интеграл при , но - „прелетя покрай касата“, т.к. се появи в знаменателя. Следователно в отговора му се присъжда отделна фраза и да - не забравяйте за изгубеното решение, което между другото също се оказа на дъното.

Отговор:общ интеграл: . Още решения:

Тук не е толкова трудно да се изрази общото решение:
, но това вече е показност.

Удобно обаче за проба. Нека намерим производната:

и заместител в лявата страна на уравнението:

– в резултат се получаваше дясната част на уравнението, която трябваше да се провери.

Следната разлика е сама по себе си:

Пример 6

Решете диференциално уравнение

Пълно решение и отговор в края на урока. Опитайте в същото време за обучение и изразете общото решение тук.

В последната част на урока ще разгледаме още няколко характерни задачи по темата:

Пример 7

Решете диференциално уравнение

Решение:Да вървим по утъпкания път. Това уравнение е хомогенно, нека променим:

С "x" всичко е наред, но какво да кажем за квадратния тричлен? Тъй като е неразложимо на множители : , тогава определено не губим решения. Винаги щеше да е така! Изберете пълния квадрат от лявата страна и интегрирайте:

Тук няма какво да се опростява и следователно обратното заместване:

Отговор:общ интеграл:

Пример 8

Решете диференциално уравнение

Това е пример за „направи си сам“.

Така:

За нееквивалентни преобразувания ВИНАГИ проверявайте (поне устно), не губете решенията си!Какви са тези трансформации? Като правило, намаляване с нещо или разделяне на нещо. Така например, когато делите на, трябва да проверите дали функциите са решения на диференциално уравнение. В същото време при разделяне на необходимостта от такава проверка вече изчезва - поради факта, че този делител не изчезва.

Ето още една опасна ситуация:

Тук, като се отървете от , трябва да проверите дали това е решение на DE. Често като такъв фактор се срещат “x”, “y” и намалявайки с тях губим функции, които могат да се окажат решения.

От друга страна, ако нещо ПЪРВОНАЧАЛНО е в знаменателя, тогава няма причина за такова безпокойство. Така че в едно хомогенно уравнение не е нужно да се притеснявате за функцията, тъй като тя е „декларирана“ в знаменателя.

Изброените тънкости не губят своята актуалност, дори ако е необходимо да се намери само конкретно решение на проблема. Има малък, но шанс да загубим точно необходимото конкретно решение. Истина Проблем с Кошипри практически задачи с еднородни уравнения се изисква доста рядко. В статията обаче има такива примери Редуциращи се до хомогенни уравнения, който препоръчвам да изучавате „по преследване“, за да затвърдите уменията си за решаване.

Има и по-сложни хомогенни уравнения. Трудността не се състои в промяната на променлива или опростяване, а в доста трудни или редки интеграли, които възникват в резултат на разделянето на променливи. Имам примери за решения на такива еднородни уравнения - грозни интеграли и грозни отговори. Но ние няма да говорим за тях, защото в следващите уроци (виж отдолу)Имам още време да те измъча, искам да те видя свеж и оптимистичен!

Успешна промоция!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение:проверете уравнението за хомогенност, за това, в оригиналното уравнение вместонека поставим , и вместонека заместим:

В резултат на това се получава оригиналното уравнение, което означава, че този DE е хомогенен.

Спри се! Нека все пак се опитаме да разберем тази тромава формула.

На първо място трябва да бъде първата променлива в степента с някакъв коефициент. В нашия случай това

В нашия случай е така. Както разбрахме, това означава, че тук степента за първата променлива се сближава. И втората променлива на първа степен е на мястото си. Коефициент.

Имаме го.

Първата променлива е експоненциална, а втората променлива е на квадрат с коефициент. Това е последният член в уравнението.

Както можете да видите, нашето уравнение отговаря на определението под формата на формула.

Нека да разгледаме втората (вербална) част от определението.

Имаме две неизвестни и. Тук се събира.

Нека разгледаме всички условия. При тях сумата от степените на неизвестните трябва да е еднаква.

Сборът на степените е равен.

Сумата от степените е равна на (at и at).

Сборът на степените е равен.

Както можете да видите, всичко пасва!

Сега нека се упражним да дефинираме хомогенни уравнения.

Определете кои от уравненията са хомогенни:

Хомогенни уравнения- Номерирани уравнения:

Нека разгледаме уравнението отделно.

Ако разделим всеки член чрез разширяване на всеки член, получаваме

И това уравнение напълно попада в определението за еднородни уравнения.

Как се решават хомогенни уравнения?

Пример 2

Нека разделим уравнението на.

Според нашето условие y не може да бъде равно. Следователно можем спокойно да разделим по

Като заместваме, получаваме просто квадратно уравнение:

Тъй като това е редуцирано квадратно уравнение, използваме теоремата на Виета:

Правейки обратното заместване, получаваме отговора

Отговор:

Пример 3

Разделете уравнението на (по условие).

Отговор:

Пример 4

Намерете дали.

Тук не трябва да разделяте, а да умножавате. Умножете цялото уравнение по:

Нека направим замяна и решим квадратното уравнение:

Правейки обратното заместване, получаваме отговора:

Отговор:

Решение на хомогенни тригонометрични уравнения.

Решаването на хомогенни тригонометрични уравнения не се различава от методите за решаване, описани по-горе. Само тук, наред с други неща, трябва да знаете малко тригонометрия. И да можеш да решиш тригонометрични уравнения(за това можете да прочетете раздела).

Нека разгледаме такива уравнения на примери.

Пример 5

Решете уравнението.

Виждаме типично хомогенно уравнение: и са неизвестни и сборът от техните степени във всеки член е равен.

Подобни хомогенни уравнения не са трудни за решаване, но преди да разделите уравненията на, разгледайте случая, когато

В този случай уравнението ще приеме формата: Но синусът и косинусът не могат да бъдат равни едновременно, защото според основното тригонометрично тъждество. Следователно можем спокойно да го разделим на:

Тъй като уравнението е намалено, тогава според теоремата на Vieta:

Отговор:

Пример 6

Решете уравнението.

Както в примера, трябва да разделите уравнението на. Разгледайте случая, когато:

Но синусът и косинусът не могат да бъдат равни едновременно, защото според основното тригонометрично тъждество. Ето защо.

Нека направим заместване и решим квадратното уравнение:

Нека направим обратното заместване и намерим и:

Отговор:

Решение на хомогенни експоненциални уравнения.

Хомогенните уравнения се решават по същия начин като разгледаните по-горе. Ако сте забравили как да решите експоненциални уравнения- вижте съответния раздел ()!

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 7

Решете уравнението

Представете си как:

Виждаме типично хомогенно уравнение с две променливи и сбор от степени. Нека разделим уравнението на:

Както можете да видите, след извършване на замяната, получаваме намаленото квадратно уравнение (в този случай няма нужда да се страхувате от разделяне на нула - винаги е строго по-голямо от нула):

Според теоремата на Виета:

Отговор: .

Пример 8

Решете уравнението

Представете си как:

Нека разделим уравнението на:

Нека направим замяна и решим квадратното уравнение:

Коренът не отговаря на условието. Правим обратното заместване и намираме:

Отговор:

ХОМОГЕННИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Първо, като използвам пример за един проблем, нека ви напомня какво представляват еднородните уравнения и какво е решението на еднородните уравнения.

Реши задачата:

Намерете дали.

Тук можете да забележите нещо любопитно: ако разделим всеки член на, получаваме:

Тоест, сега няма отделни и, - сега желаната стойност е променливата в уравнението. И това е обикновено квадратно уравнение, което лесно се решава с помощта на теоремата на Виета: произведението на корените е равно, а сборът е числата и.

Отговор:

Уравнения на формата

наречени хомогенни. Тоест това е уравнение с две неизвестни, във всеки член на което има една и съща сума от степените на тези неизвестни. Например в горния пример тази сума е равна на. Решаването на хомогенни уравнения се извършва чрез разделяне на едно от неизвестните в тази степен:

И последващата промяна на променливите: . Така получаваме уравнение на степен с едно неизвестно:

Най-често ще срещнем уравнения от втора степен (т.е. квадратни) и можем да ги решим:

Обърнете внимание, че разделянето (и умножаването) на цялото уравнение на променлива е възможно само ако сме убедени, че тази променлива не може да бъде равна на нула! Например, ако ни помолят да намерим, ние веднага разбираме това, тъй като е невъзможно да се раздели. В случаите, когато това не е толкова очевидно, е необходимо да се провери отделно случаят, когато тази променлива е равна на нула. Например:

Решете уравнението.

Решение:

Тук виждаме типично хомогенно уравнение: и са неизвестни и сборът от техните степени във всеки член е равен.

Но преди да разделим на и да получим квадратното уравнение по отношение, трябва да разгледаме случая, когато. В този случай уравнението ще приеме формата: , следователно, . Но синусът и косинусът не могат да бъдат равни на нула едновременно, защото според основната тригонометрична идентичност:. Следователно можем спокойно да го разделим на:

Надявам се, че това решение е напълно ясно? Ако не, прочетете раздела. Ако не е ясно откъде идва, трябва да се върнете още по-рано - в секцията.

Решете сами:

1. Намерете дали.
2. Намерете дали.
3. Решете уравнението.

Тук накратко ще напиша директно решението на хомогенни уравнения:

Решения:

Отговор: .

И тук е необходимо не да се разделя, а да се умножава:

Отговор:

Ако все още не сте преминали през тригонометричните уравнения, можете да пропуснете този пример.

Тъй като тук трябва да разделим на, първо се уверяваме, че сто не е равно на нула:

А това е невъзможно.

Отговор: .

ХОМОГЕННИ УРАВНЕНИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Решаването на всички хомогенни уравнения се свежда до деление на едно от неизвестните в степен и последваща промяна на променливите.

Алгоритъм:

Извиква се функцията f(x,y). хомогенна функцияна техните аргументи за размерност n, ако идентичността f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

Например функцията f(x,y)=x^2+y^2-xy е хомогенна функция от второто измерение, тъй като

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

За n=0 имаме нулева размерна функция. Например, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)е хомогенна функция с нулева размерност, тъй като

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Диференциално уравнение на формата \frac(dy)(dx)=f(x,y)се казва, че е хомогенен по отношение на x и y, ако f(x,y) е хомогенна функция на своите аргументи с нулева размерност. Хомогенното уравнение винаги може да бъде представено като

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

Чрез въвеждане на нова желана функция u=\frac(y)(x), уравнение (1) може да се сведе до уравнение с разделящи променливи:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Ако u=u_0 е коренът на уравнението \varphi(u)-u=0 , тогава решението на хомогенното уравнение ще бъде u=u_0 или y=u_0x (правата линия, минаваща през началото).

Коментирайте.При решаването на хомогенни уравнения не е необходимо те да се редуцират до вида (1). Можете веднага да направите заместването y=ux.

Пример 1Решете еднородно уравнение xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Решение.Записваме уравнението във формата y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\^2}+\frac{y}{x} !}така даденото уравнение се оказва хомогенно по отношение на x и y. Нека поставим u=\frac(y)(x) или y=ux. След това y"=xu"+u. Като заместим изрази за y и y" в уравнението, получаваме x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Разделяне на променливи: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). От тук, чрез интегриране, намираме

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), или \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

Тъй като C_1|x|=\pm(C_1x) , обозначавайки \pm(C_1)=C , получаваме \arcsin(u)=\ln(Cx), където |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)или e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Заменяйки u с \frac(y)(x) , ще имаме общия интеграл \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Оттук и общото решение: y=x\sin\ln(Cx) .

Когато разделяме променливите, разделяме двете страни на уравнението на произведението x\sqrt(1-u^2), така че можем да загубим решението, което превръща този продукт в нула.

Нека сега поставим x=0 и \sqrt(1-u^2)=0 . Но x\ne0 поради заместването u=\frac(y)(x) и от релацията \sqrt(1-u^2)=0 получаваме, че 1-\frac(y^2)(x^2)=0, откъдето y=\pm(x) . Чрез директна проверка се уверяваме, че функциите y=-x и y=x също са решения на това уравнение.

Пример 2Разгледайте семейството от интегрални криви C_\alpha на хомогенното уравнение y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). Покажете, че допирателните в съответните точки към кривите, определени от това хомогенно диференциално уравнение, са успоредни една на друга.

Забележка:Ще се обадим релевантнитези точки на C_\alpha кривите, които лежат на един и същи лъч, започвайки от началото.

Решение.По дефиниция на съответните точки имаме \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), така че по силата на самото уравнение y"=y"_1, където y" и y"_1 са наклоните на допирателните към интегралните криви C_\alpha и C_(\alpha_1) , в точките M и M_1, съответно (фиг. 12).

Редуциращи се до хомогенни уравнения

НО.Разгледайте диференциално уравнение на формата

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).

където a,b,c,a_1,b_1,c_1 са константи и f(u) е непрекъсната функцияна своя аргумент u .

Ако c=c_1=0, тогава уравнение (3) е хомогенно и се интегрира както по-горе.

Ако поне едно от числата c,c_1 е различно от нула, тогава трябва да се разграничат два случая.

1) Детерминанта \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. Въвеждайки нови променливи \xi и \eta съгласно формулите x=\xi+h,~y=\eta+k , където h и k все още са недефинирани константи, привеждаме уравнение (3) до формата

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\вдясно).

Избор на h и k като решение на системата линейни уравнения

\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

получаваме хомогенно уравнение \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). След като намерихме неговия общ интеграл и заменихме \xi с x-h в него и \eta с y-k, получаваме общия интеграл на уравнение (3).

2) Детерминант \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Система (4) в общ случайняма решения и горният метод не е приложим; в такъв случай \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, и следователно уравнение (3) има формата \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). Заместването z=ax+by го довежда до уравнение на разделима променлива.

Пример 3реши уравнението (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Решение.Помислете за линейна система алгебрични уравнения \begin(cases)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(cases)

Детерминантата на тази система \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Системата има единствено решение x_0=-1,~y_0=3. Правим замяната x=\xi-1,~y=\eta+3 . Тогава уравнение (5) приема формата

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Това уравнение е хомогенно уравнение. Задавайки \eta=u\xi , получаваме

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, където (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Разделяне на променливи \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Интегрирайки, намираме \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)или \xi^2(1+2u-u^2)=C .

Връщайки се към променливите x,~y:

(x+1)^2\left=C_1или x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

Пример 4реши уравнението (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Решение.Система от линейни алгебрични уравнения \begin(cases)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(cases)несъвместими. В този случай методът, приложен в предишния пример, не е подходящ. За да интегрираме уравнението, използваме заместването x+y=z, dy=dz-dx. Уравнението ще приеме формата

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Разделяйки променливите, получаваме

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0следователно x-2z-3\ln|z-2|=C.

Връщайки се към променливите x,~y, получаваме общия интеграл на това уравнение

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

б.Понякога уравнението може да бъде намалено до хомогенно чрез промяна на променливата y=z^\alpha. Това е случаят, когато всички членове в уравнението са с една и съща размерност, ако на променливата x е дадена размерността 1, на променливата y е дадена размерността \alpha, а на производната \frac(dy)(dx) е дадена измерение \alpha-1 .

Пример 5реши уравнението (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Решение.Извършване на замяна y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, където \alpha засега е произволно число, което ще изберем по-късно. Като заместим изрази за y и dy в уравнението, получаваме

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0или \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

Обърнете внимание, че x^2z^(3\alpha-1) има измерението 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) има размерност \alpha-1, xz^(3\alpha) има размерност 1+3\alpha. Полученото уравнение ще бъде хомогенно, ако измерванията на всички членове са еднакви, т.е. ако условието е изпълнено 3\алфа+1=\алфа-1, или \alpha-1 .

Нека поставим y=\frac(1)(z) ; първоначалното уравнение приема формата

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0или (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Да сложим сега z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Тогава това уравнение ще приеме формата (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, където u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Разделяне на променливите в това уравнение \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Интегрирайки, намираме

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)или \frac(x(u^2+1))(u)=C.

Заменяйки u с \frac(1)(xy) , получаваме общия интеграл на това уравнение 1+x^2y^2=Cy.

Уравнението също има очевидно решение y=0 , което се получава от общия интеграл при C\to\infty, ако интегралът е записан като y=\frac(1+x^2y^2)(C), и след това скочете до ограничението при C\to\infty. Така функцията y=0 е конкретно решение на оригиналното уравнение.

Javascript е деактивиран във вашия браузър.
ActiveX контролите трябва да са активирани, за да се правят изчисления!

Мисля, че трябва да започнем с историята на такъв славен математически инструмент като диференциалните уравнения. Както всяко диференциално и интегрално смятане, тези уравнения са изобретени от Нютон в края на 17 век. Той смяташе това свое откритие за толкова важно, че дори шифрова съобщението, което днес може да се преведе по следния начин: „Всички закони на природата се описват с диференциални уравнения“. Това може да изглежда като преувеличение, но е истина. Всеки закон на физиката, химията, биологията може да бъде описан с тези уравнения.

Огромен принос за развитието и създаването на теорията на диференциалните уравнения направиха математиците Ойлер и Лагранж. Още през 18 век те откриват и развиват това, което сега изучават в старшите курсове на университетите.

Нов крайъгълен камък в изучаването на диференциалните уравнения започва благодарение на Анри Поанкаре. Той създава "качествена теория на диференциалните уравнения", която в комбинация с теорията на функциите на комплексна променлива има значителен принос в основата на топологията - науката за пространството и неговите свойства.

Какво представляват диференциалните уравнения?

Много хора се страхуват от една фраза, но в тази статия ще опишем подробно цялата същност на този много полезен математически апарат, който всъщност не е толкова сложен, колкото изглежда от името. За да започнете да говорите за диференциални уравнения от първи ред, първо трябва да се запознаете с основните понятия, които по своята същност са свързани с това определение. Да започнем с диференциала.

Диференциал

Много хора знаят тази концепция от училище. Нека обаче го разгледаме по-отблизо. Представете си графика на функция. Можем да го увеличим до такава степен, че всеки от сегментите му да приеме формата на права линия. На него вземаме две точки, които са безкрайно близо една до друга. Разликата между техните координати (x или y) ще бъде безкрайно малка стойност. Нарича се диференциал и се обозначава със знаците dy (диференциал от y) и dx (диференциал от x). Много е важно да се разбере, че диференциалът не е крайна стойност и това е неговото значение и основна функция.

И сега е необходимо да разгледаме следния елемент, който ще ни бъде полезен при обяснението на концепцията за диференциално уравнение. Това е производно.

Производна

Вероятно всички сме чували тази концепция в училище. Казва се, че производната е скоростта на нарастване или намаляване на функция. Голяма част от това определение обаче става неразбираемо. Нека се опитаме да обясним производната от гледна точка на диференциали. Нека се върнем към безкрайно малък сегмент от функция с две точки, които са на минимално разстояние една от друга. Но дори и за това разстояние, функцията успява да се промени с известна сума. И за да опишат тази промяна, те излязоха с производна, която иначе може да бъде записана като съотношение на диференциали: f (x) "=df / dx.

Сега си струва да разгледаме основните свойства на производното. Има само три от тях:

1. Производната на сбора или разликата може да бъде представена като сбор или разлика на производните: (a+b)"=a"+b" и (a-b)"=a"-b".
2. Второто свойство е свързано с умножението. Производната на продукт е сумата от продуктите на една функция и производната на друга: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Производната на разликата може да се запише като следното равенство: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Всички тези свойства ще ни бъдат полезни за намиране на решения на диференциални уравнения от първи ред.

Има и частични производни. Да кажем, че имаме функция z, която зависи от променливите x и y. За да изчислим частната производна на тази функция, да кажем, по отношение на x, трябва да приемем променливата y като константа и просто да диференцираме.

Интеграл

Друго важно понятие е интегралът. Всъщност това е пряката противоположност на производната. Има няколко типа интеграли, но за решаване на най-простите диференциални уравнения са ни необходими най-тривиалните

И така, да кажем, че имаме някаква зависимост на f от x. Вземаме интеграла от него и получаваме функцията F (x) (често наричана антипроизводна), чиято производна е равна на оригиналната функция. Така F(x)"=f(x). От това също следва, че интегралът на производната е равен на оригиналната функция.

Когато решавате диференциални уравнения, е много важно да разберете значението и функцията на интеграла, тъй като ще трябва да ги приемате много често, за да намерите решение.

Уравненията са различни в зависимост от естеството си. В следващия раздел ще разгледаме типовете диференциални уравнения от първи ред и след това ще научим как да ги решаваме.

Класове диференциални уравнения

"Diffura" се разделят според реда на производните, участващи в тях. По този начин има първи, втори, трети и повече ред. Те също могат да бъдат разделени на няколко класа: обикновени и частични производни.

В тази статия ще разгледаме обикновени диференциални уравнения от първи ред. Също така ще обсъдим примери и начини за решаването им в следващите раздели. Ще разгледаме само ODE, тъй като това са най-често срещаните видове уравнения. Обикновените са разделени на подвидове: с отделими променливи, хомогенни и разнородни. След това ще научите как се различават един от друг и как да ги разрешите.

В допълнение, тези уравнения могат да се комбинират, така че след това да получим система от диференциални уравнения от първи ред. Ние също ще разгледаме такива системи и ще научим как да ги решаваме.

Защо разглеждаме само първата поръчка? Защото трябва да започнете с прост и просто е невъзможно да се опише всичко, свързано с диференциалните уравнения, в една статия.

Уравнения с разделими променливи

Това са може би най-простите диференциални уравнения от първи ред. Те включват примери, които могат да бъдат записани по следния начин: y "=f (x) * f (y). За да решим това уравнение, имаме нужда от формула за представяне на производната като отношение на диференциали: y" = dy / dx. Използвайки го, получаваме следното уравнение: dy/dx=f(x)*f(y). Сега можем да се обърнем към метода за решаване на стандартни примери: ще разделим променливите на части, тоест ще прехвърлим всичко с променливата y в частта, където се намира dy, и ще направим същото с променливата x. Получаваме уравнение от вида: dy/f(y)=f(x)dx, което се решава чрез вземане на интегралите от двете части. Не забравяйте за константата, която трябва да бъде зададена след вземане на интеграла.

Решението на всяка "дифузия" е функция на зависимостта на x от y (в нашия случай) или, ако има числово условие, тогава отговорът е под формата на число. Нека да разгледаме цялото решение, като използваме конкретен пример:

Прехвърляме променливи в различни посоки:

Сега вземаме интеграли. Всички те могат да бъдат намерени в специална таблица с интеграли. И получаваме:

log(y) = -2*cos(x) + C

Ако е необходимо, можем да изразим "y" като функция на "x". Сега можем да кажем, че нашето диференциално уравнение е решено, ако не е дадено условие. Може да се даде условие, например, y(n/2)=e. След това просто заместваме стойността на тези променливи в решението и намираме стойността на константата. В нашия пример то е равно на 1.

Хомогенни диференциални уравнения от първи ред

Сега да преминем към по-трудната част. Могат да се запишат хомогенни диференциални уравнения от първи ред общ изгледтака: y"=z(x,y). Трябва да се отбележи, че дясната функция на две променливи е хомогенна и не може да бъде разделена на две зависимости: z от x и z от y. Проверка дали уравнението е хомогенно или not е съвсем проста: правим замяната x=k*x и y=k*y. Сега анулираме всички k. Ако всички тези букви са намалени, тогава уравнението е хомогенно и можете спокойно да продължите да го решавате. напред, да кажем: принципът за решаване на тези примери също е много прост.

Трябва да направим замяна: y=t(x)*x, където t е някаква функция, която също зависи от x. Тогава можем да изразим производната: y"=t"(x)*x+t. Замествайки всичко това в нашето първоначално уравнение и го опростявайки, получаваме пример с разделими променливи t и x. Решаваме го и получаваме зависимостта t(x). Когато го получим, просто заместваме y=t(x)*x в нашата предишна замяна. Тогава получаваме зависимостта на y от x.

За да стане по-ясно, нека разгледаме пример: x*y"=y-x*e y/x .

При проверка със смяна всичко е намалено. Така че уравнението наистина е хомогенно. Сега правим друга замяна, за която говорихме: y=t(x)*x и y"=t"(x)*x+t(x). След опростяване получаваме следното уравнение: t "(x) * x \u003d -e t. Решаваме получения пример с разделени променливи и получаваме: e -t \u003dln (C * x). Трябва само да заменим t с y / x (защото ако y \u003d t * x, тогава t \u003d y / x), и получаваме отговора: e -y / x \u003d ln (x * C).

Линейни диференциални уравнения от първи ред

Време е да разгледаме друга широка тема. Ще анализираме нехомогенни диференциални уравнения от първи ред. С какво се различават от предишните две? Нека да го разберем. Линейни диференциални уравнения от първи ред в обща форма могат да бъдат записани, както следва: y " + g (x) * y \u003d z (x). Струва си да се изясни, че z (x) и g (x) могат да бъдат постоянни стойности .

А сега пример: y" - y*x=x 2 .

Има два начина за решаване и ние ще анализираме и двата по ред. Първият е методът на вариация на произволни константи.

За да решите уравнението по този начин, първо трябва да изравните правилната странадо нула и решете полученото уравнение, което след прехвърлянето на части ще приеме формата:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Сега трябва да заменим константата C 1 с функцията v(x), която трябва да намерим.

Нека променим производната:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2.

Нека заместим тези изрази в оригиналното уравнение:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Може да се види, че два члена са отменени от лявата страна. Ако в някой пример това не се случи, значи сте направили нещо нередно. Да продължим:

v"*e x2/2 = x 2 .

Сега решаваме обичайното уравнение, в което трябва да разделим променливите:

dv/dx=x 2 /e x2/2;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

За да извлечем интеграла, трябва да приложим интегриране по части тук. Това обаче не е темата на нашата статия. Ако се интересувате, можете сами да научите как да извършвате такива действия. Не е трудно и с достатъчно умения и внимание не отнема много време.

Нека се обърнем към второто решение. нехомогенни уравнения: Метод на Бернули. Кой подход е по-бърз и лесен зависи от вас.

И така, когато решаваме уравнението по този метод, трябва да направим замяна: y=k*n. Тук k и n са някои зависими от x функции. Тогава производната ще изглежда така: y"=k"*n+k*n". Заместваме двете замени в уравнението:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Групиране:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Сега трябва да приравним към нула това, което е в скоби. Сега, ако комбинираме двете получени уравнения, получаваме система от диференциални уравнения от първи ред, която трябва да бъде решена:

Решаваме първото равенство като обикновено уравнение. За да направите това, трябва да разделите променливите:

Взимаме интеграла и получаваме: ln(n)=x 2 /2. Тогава, ако изразим n:

Сега заместваме полученото равенство във второто уравнение на системата:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

И трансформирайки, получаваме същото равенство като в първия метод:

dk=x 2 /e x2/2.

Ние също няма да анализираме по-нататъшни действия. Струва си да се каже, че първоначално решаването на диференциални уравнения от първи ред причинява значителни трудности. С по-дълбоко потапяне в темата обаче започва да става все по-добре.

Къде се използват диференциалните уравнения?

Диференциалните уравнения се използват много активно във физиката, тъй като почти всички основни закони са написани в диференциална форма и формулите, които виждаме, са решението на тези уравнения. В химията те се използват по същата причина: от тях се извличат основните закони. В биологията диференциалните уравнения се използват за моделиране на поведението на системи като хищник-плячка. Те могат да се използват и за създаване на модели на възпроизвеждане на, да речем, колония от микроорганизми.

Как диференциалните уравнения ще помогнат в живота?

Отговорът на този въпрос е прост: няма начин. Ако не сте учен или инженер, едва ли ще са ви полезни. Въпреки това, за общо развитиеНе е зле да знаете какво е диференциално уравнение и как се решава. И тогава въпросът на син или дъщеря "какво е диференциално уравнение?" няма да те обърка. Е, ако сте учен или инженер, тогава вие сами разбирате важността на тази тема във всяка наука. Но най-важното е, че сега въпросът "как да се реши диференциално уравнение от първи ред?" винаги можеш да отговориш. Съгласете се, винаги е хубаво, когато разберете това, което хората дори се страхуват да разберат.

Основни проблеми в обучението

Основният проблем при разбирането на тази тема е слабото умение за интегриране и диференциране на функциите. Ако не сте добри в вземането на производни и интеграли, тогава вероятно си струва да научите повече, да овладеете различни методи за интегриране и диференциране и едва след това да продължите да изучавате материала, описан в статията.

Някои хора са изненадани, когато научат, че dx може да се прехвърля, защото по-рано (в училище) беше заявено, че фракцията dy / dx е неделима. Тук трябва да прочетете литературата за производната и да разберете, че това е отношението на безкрайно малки количества, които могат да бъдат манипулирани при решаване на уравнения.

Мнозина не осъзнават веднага, че решението на диференциалните уравнения от първи ред често е функция или интеграл, който не може да бъде взет, и тази заблуда им създава много проблеми.

Какво друго може да се проучи за по-добро разбиране?

Най-добре е да започнете по-нататъшно потапяне в света на диференциалното смятане със специализирани учебници, например математически анализза студенти от нематематически специалности. След това можете да преминете към по-специализирана литература.

Струва си да се каже, че в допълнение към диференциалните уравнения има и интегрални уравнения, така че винаги ще имате към какво да се стремите и какво да изучавате.

Заключение

Надяваме се, че след като прочетете тази статия, имате представа какво представляват диференциалните уравнения и как да ги решавате правилно.

Във всеки случай математиката по някакъв начин ни е полезна в живота. Развива логиката и вниманието, без които всеки човек е като без ръце.