Извиква се функцията f(x,y). хомогенна функцияна техните аргументи за размерност n, ако идентичността f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

Например функцията f(x,y)=x^2+y^2-xy е хомогенна функция от второто измерение, тъй като

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

За n=0 имаме нулева размерна функция. Например, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)е хомогенна функция с нулева размерност, тъй като

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Диференциално уравнение на формата \frac(dy)(dx)=f(x,y)се казва, че е хомогенен по отношение на x и y, ако f(x,y) е хомогенна функция на своите аргументи с нулева размерност. Хомогенното уравнение винаги може да бъде представено като

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

Чрез въвеждане на нова желана функция u=\frac(y)(x), уравнение (1) може да се сведе до уравнение с разделящи променливи:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Ако u=u_0 е коренът на уравнението \varphi(u)-u=0 , тогава решението на хомогенното уравнение ще бъде u=u_0 или y=u_0x (правата линия, минаваща през началото).

Коментирайте.При решаването на хомогенни уравнения не е необходимо те да се редуцират до вида (1). Можете веднага да направите заместването y=ux.

Пример 1Решете еднородно уравнение xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Решение.Записваме уравнението във формата y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\^2}+\frac{y}{x} !}така даденото уравнение се оказва хомогенно по отношение на x и y. Нека поставим u=\frac(y)(x) или y=ux. След това y"=xu"+u. Като заместим изрази за y и y" в уравнението, получаваме x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Разделяне на променливи: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). От тук, чрез интегриране, намираме

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), или \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

Тъй като C_1|x|=\pm(C_1x) , обозначавайки \pm(C_1)=C , получаваме \arcsin(u)=\ln(Cx), където |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)или e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Заменяйки u с \frac(y)(x) , ще имаме общия интеграл \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Оттук общо решение: y=x\sin\ln(Cx) .

Когато разделяме променливите, разделяме двете страни на уравнението на произведението x\sqrt(1-u^2), така че можем да загубим решението, което превръща този продукт в нула.

Нека сега поставим x=0 и \sqrt(1-u^2)=0 . Но x\ne0 поради заместването u=\frac(y)(x) и от релацията \sqrt(1-u^2)=0 получаваме, че 1-\frac(y^2)(x^2)=0, откъдето y=\pm(x) . Чрез директна проверка се уверяваме, че функциите y=-x и y=x също са решения на това уравнение.

Пример 2Разгледайте семейството от интегрални криви C_\alpha на хомогенното уравнение y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). Покажете, че допирателните в съответните точки към кривите, определени от това хомогенно диференциално уравнение, са успоредни една на друга.

Забележка:Ще се обадим релевантнитези точки на C_\alpha кривите, които лежат на един и същи лъч, започвайки от началото.

Решение.По дефиниция на съответните точки имаме \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), така че по силата на самото уравнение y"=y"_1, където y" и y"_1 са наклоните на допирателните към интегралните криви C_\alpha и C_(\alpha_1) , в точките M и M_1, съответно (фиг. 12).

Редуциращи се до хомогенни уравнения

НО.Разгледайте диференциално уравнение на формата

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).

където a,b,c,a_1,b_1,c_1 са константи и f(u) е непрекъсната функцияна своя аргумент u .

Ако c=c_1=0, тогава уравнение (3) е хомогенно и се интегрира както по-горе.

Ако поне едно от числата c,c_1 е различно от нула, тогава трябва да се разграничат два случая.

1) Детерминанта \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. Въвеждайки нови променливи \xi и \eta съгласно формулите x=\xi+h,~y=\eta+k , където h и k все още са недефинирани константи, привеждаме уравнение (3) до формата

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\вдясно).

Избор на h и k като решение на системата линейни уравнения

\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

получаваме хомогенно уравнение \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). След като намерихме неговия общ интеграл и заменихме \xi с x-h в него и \eta с y-k, получаваме общия интеграл на уравнение (3).

2) Детерминант \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Система (4) в общ случайняма решения и горният метод не е приложим; в такъв случай \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, и следователно уравнение (3) има формата \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). Заместването z=ax+by го довежда до уравнение на разделима променлива.

Пример 3реши уравнението (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Решение.Помислете за линейна система алгебрични уравнения \begin(cases)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(cases)

Детерминантата на тази система \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Системата има единствено решение x_0=-1,~y_0=3. Правим замяната x=\xi-1,~y=\eta+3 . Тогава уравнение (5) приема формата

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Това уравнение е хомогенно уравнение. Задавайки \eta=u\xi , получаваме

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, където (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Разделяне на променливи \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Интегрирайки, намираме \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)или \xi^2(1+2u-u^2)=C .

Връщайки се към променливите x,~y:

(x+1)^2\left=C_1или x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

Пример 4реши уравнението (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Решение.Система от линейни алгебрични уравнения \begin(cases)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(cases)несъвместими. В този случай методът, приложен в предишния пример, не е подходящ. За да интегрираме уравнението, използваме заместването x+y=z, dy=dz-dx. Уравнението ще приеме формата

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Разделяйки променливите, получаваме

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0следователно x-2z-3\ln|z-2|=C.

Връщайки се към променливите x,~y, получаваме общия интеграл на това уравнение

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

б.Понякога уравнението може да бъде намалено до хомогенно чрез промяна на променливата y=z^\alpha. Това е случаят, когато всички членове в уравнението са с една и съща размерност, ако на променливата x е дадена размерността 1, на променливата y е дадена размерността \alpha, а на производната \frac(dy)(dx) е дадена измерение \alpha-1 .

Пример 5реши уравнението (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Решение.Извършване на замяна y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, където \alpha засега е произволно число, което ще изберем по-късно. Като заместим изрази за y и dy в уравнението, получаваме

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0или \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

Обърнете внимание, че x^2z^(3\alpha-1) има измерението 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) има размерност \alpha-1, xz^(3\alpha) има размерност 1+3\alpha. Полученото уравнение ще бъде хомогенно, ако измерванията на всички членове са еднакви, т.е. ако условието е изпълнено 3\алфа+1=\алфа-1, или \alpha-1 .

Нека поставим y=\frac(1)(z) ; първоначалното уравнение приема формата

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0или (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Да сложим сега z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Тогава това уравнение ще приеме формата (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, където u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Разделяне на променливите в това уравнение \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Интегрирайки, намираме

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)или \frac(x(u^2+1))(u)=C.

Заменяйки u с \frac(1)(xy) , получаваме общия интеграл на това уравнение 1+x^2y^2=Cy.

Уравнението също има очевидно решение y=0 , което се получава от общия интеграл при C\to\infty, ако интегралът е записан като y=\frac(1+x^2y^2)(C), и след това скочете до ограничението при C\to\infty. Така функцията y=0 е конкретно решение на оригиналното уравнение.

Javascript е деактивиран във вашия браузър.
ActiveX контролите трябва да са активирани, за да се правят изчисления!

Готови отговори на примери за еднородни диференциални уравнения Много студенти търсят първа поръчка (DE от 1-ви ред са най-често срещаните в обучението), след което можете да ги анализирате подробно. Но преди да преминете към разглеждане на примери, препоръчваме ви внимателно да прочетете кратък теоретичен материал.
Уравнения от вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, където функциите P(x,y) и Q(x,y) са хомогенни функции от един и същи ред, се наричат хомогенно диференциално уравнение(ODR).

Схема за решаване на хомогенно диференциално уравнение

1. Първо трябва да приложите заместването y=z*x, където z=z(x) е нова неизвестна функция (по този начин оригиналното уравнение се редуцира до диференциално уравнение с разделими променливи.
2. Производната на продукта е y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z или в диференциали dy=d(zx)=z*dx+x* дз.
3. След това заместваме нова функция y и неговата производна y" (или dy ) в DE с разделими променливипо отношение на x и z.
4. След като решим диференциалното уравнение с разделими променливи, ще направим обратна замяна y=z*x, следователно z= y/x, и получаваме общо решение (общ интеграл) на диференциално уравнение.
5. Ако е дадено началното условие y(x 0)=y 0, тогава намираме конкретно решение на задачата на Коши. На теория всичко звучи лесно, но на практика не всеки е толкова забавен да решава диференциални уравнения. Ето защо, за да задълбочите знанията, разгледайте общи примери. При лесните задачи няма какво да ви учим, затова веднага ще преминем към по-сложните.

Изчисления на хомогенни диференциални уравнения от първи ред

Пример 1

Решение: Разделете дясната страна на уравнението на променливата, която е фактор близо до производната. В резултат на това стигаме до хомогенно диференциално уравнение от порядък 0

И тук стана интересно за мнозина, как да определим реда на функция на хомогенно уравнение?
Въпросът е достатъчно уместен, а отговорът на него е следният:
от дясната страна заместваме стойността t*x, t*y вместо функцията и аргумента. При опростяване параметърът "t" се получава до определена степен k и се нарича ред на уравнението. В нашия случай "t" ще бъде намалено, което е еквивалентно на 0-та степен или нулев ред на хомогенното уравнение.
По-нататък от дясната страна можем да преминем към новата променлива y=zx; z=y/x.
В същото време не забравяйте да изразите производната на "y" чрез производната на новата променлива. По правилото на частите намираме

Уравнения в диференциалище приеме формата

Намаляваме съвместните членове от дясната и лявата страна и преминаваме към диференциално уравнение с разделени променливи.

Нека интегрираме и двете части на DE

За удобство на по-нататъшни трансформации веднага въвеждаме константата под логаритъма

Според свойствата на логаритмите получената логаритмично уравнениее еквивалентно на следното

Този запис все още не е решение (отговор), трябва да се върнете към извършената промяна на променливите

Така намират общо решение на диференциални уравнения. Ако сте прочели внимателно предишните уроци, тогава казахме, че трябва да можете да прилагате свободно схемата за изчисляване на уравнения с разделени променливи и такива уравнения ще трябва да се изчисляват за повече сложни типове DU.

Пример 2 Намерете интеграла на диференциално уравнение

Решение: Схемата за изчисляване на хомогенни и обобщени DE вече ви е позната. Прехвърляме променливата в дясната страна на уравнението, а също така в числителя и знаменателя изваждаме x 2 като общ множител

Така получаваме хомогенен DE от нулев ред.
Следващата стъпка е да въведем промяната на променливите z=y/x, y=z*x, които постоянно ще ви напомняме да запомните

След това записваме DE в диференциали

След това трансформираме зависимостта в диференциално уравнение с разделени променливи

и го решете чрез интегриране.

Интегралите са прости, останалите трансформации се основават на свойствата на логаритъма. Последното действие включва излагане на логаритъма. Накрая се връщаме към първоначалната замяна и записваме във формуляра

Константата "C" приема произволна стойност. Всички, които се обучават задочно, имат проблеми на изпитите с този тип уравнения, така че моля внимателно да разгледате и запомните схемата за изчисление.

Пример 3 Решете диференциално уравнение

Решение: Както следва от горната техника, диференциалните уравнения от този тип се решават чрез въвеждане на нова променлива.Нека пренапишем зависимостта така, че производната да е без променлива

Освен това, като анализираме дясната страна, виждаме, че частта -ee присъства навсякъде и се обозначава с новото неизвестно
z=y/x, y=z*x.
Намиране на производната на y

Като вземем предвид замяната, пренаписваме оригиналния DE във формуляра

Опростете същите термини и намалете всички получени термини до DE с разделени променливи

Чрез интегриране на двете страни на равенството

стигаме до решението под формата на логаритми

Чрез излагане на зависимостите, които откриваме общо решение на диференциално уравнение

който след заместване на първоначалната промяна на променливите в него, приема формата

Тук C е константа, която може да бъде разширена от условието на Коши. Ако проблемът на Коши не е даден, тогава той става произволна реална стойност.
Това е цялата мъдрост в смятането на хомогенни диференциални уравнения.

В момента според основното ниво на изучаване на математика са предвидени само 4 часа за изучаване на математика в гимназията (2 часа алгебра, 2 часа геометрия). В селските малки училища се опитват да увеличат броя на часовете за сметка на училищния компонент. Но ако класът е хуманитарен, тогава училищният компонент се добавя за изучаване на хуманитарни предмети. В малко село често ученик не трябва да избира, той учи в този клас; какво има в училището. Той няма да става юрист, историк или журналист (има и такива случаи), а иска да стане инженер или икономист, така че изпитът по математика трябва да мине с високи резултати. При такива обстоятелства учителят по математика трябва сам да намери изход от тази ситуация, освен това, според учебника на Колмогоров, не е предвидено изучаването на темата "хомогенни уравнения". През последните години, за да въведа тази тема и да я затвърдя, имах нужда от два двойни урока. За съжаление проверката на възпитателния надзор забрани двукратните часове в училище, поради което се наложи броят на упражненията да бъде намален на 45 минути и съответно нивото на трудност на упражненията беше понижено до средно. Предлагам на вашето внимание план на урок по тази тема в 10 клас с основно ниво на математика в селско, лошо оборудвано училище.

Тип урок: традиционен.

Цел: научете се да решавате типични хомогенни уравнения.

Задачи:

когнитивен:

Образователни:

Образователни:

• Възпитаване на старание чрез търпеливо изпълнение на задачите, чувство за другарство чрез работа по двойки и групи.

По време на часовете

азОрганизационни сцена(3 мин.)

II. Проверка на знанията, необходими за усвояване на нов материал (10 мин.)

Идентифицирайте основните трудности с допълнителен анализ на изпълнените задачи. Децата имат 3 възможности за избор. Задачи, диференцирани по степен на сложност и степен на подготвеност на децата, последвани от обяснение на дъската.

1 ниво. Решете уравненията:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2-x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Отговори: 7;3

2 ниво. Решете най-простото тригонометрични уравненияи би квадратно уравнение:

отговори:

б) x 4 -13x 3 +36=0 Отговори: -2; 2; -3; 3

3-то ниво.Решаване на уравнения чрез метода на промяната на променливите:

б) x 6 -9x 3 +8=0 Отговори:

III.Теми за съобщения, поставяне на цели и задачи.

Тема: Хомогенни уравнения

Цел: научете се да решавате типични хомогенни уравнения

Задачи:

когнитивен:

• запознават се с еднородни уравнения, научават как да решават най-често срещаните видове такива уравнения.

Образователни:

• Развитие на аналитично мислене.
• Развитие на математически умения: научете се да подчертавате основните характеристики, по които хомогенните уравнения се различават от другите уравнения, да можете да установите сходството на хомогенните уравнения в различните им проявления.

IV. Усвояване на нови знания (15 мин.)

1. Лекционен момент.

Определение 1(Запишете в тетрадката). Уравнение от формата P(x;y)=0 се нарича хомогенно, ако P(x;y) е хомогенен полином.

Полином от две променливи x и y се нарича хомогенен, ако степента на всеки от членовете му е равна на едно и също число k.

Определение 2(Само въведение). Уравнения на формата

се нарича хомогенно уравнение от степен n по отношение на u(x) и v(x). Като разделим двете страни на уравнението на (v(x))n, можем да използваме заместването, за да получим уравнението

Това опростява оригиналното уравнение. Случаят v(x)=0 трябва да се разглежда отделно, тъй като е невъзможно да се раздели на 0.

2. Примери за хомогенни уравнения:

Обяснете защо те са хомогенни, дайте свои примери за такива уравнения.

3. Задача за дефиниране на еднородни уравнения:

Между дадени уравнениядефинирайте хомогенни уравнения и обяснете избора си:

След като обясните избора си на един от примерите, покажете начин за решаване на хомогенно уравнение:

4. Решете сами:

Отговор:

б) 2sin x - 3 cos x \u003d 0

Разделяме двете страни на уравнението на cos x, получаваме 2 tg x -3=0, tg x=⅔, x=arctg⅔ +

5. Примерно решение за показване на брошура„П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в училищния курс по математика. Москва Педагогически университет"Първи септември" 2006 г. стр.22. Като един от възможните ИЗПОЛЗВАЙТЕ примериниво C.

V. Решете за затвърдяване по учебника на Башмаков

стр. 183 № 59 (1.5) или според учебника, редактиран от Колмогоров: стр. 81 № 169 (а, в)

отговори:

VI. Проверка, самостоятелна работа (7 мин.)

1 вариант	Вариант 2
Решете уравнения:
а) sin 2 x-5sinxcosx + 6cos 2 x \u003d 0	а) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
б) cos 2 -3sin 2 \u003d 0	б)

Отговори на задачите:

Вариант 1 а) Отговор: arctg2+πn,n € Z; б) Отговор: ±π/2+ 3πn,n € Z; в)

Вариант 2 а) Отговор: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; б) Отговор: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; в) (-5; -2); (5;2)

VII. Домашна работа

№ 169 по Колмогоров, № 59 по Башмаков.

2) 3sin 2 x+2sin x cos x =2 Забележка: от дясната страна използвайте основната тригонометрична идентичност 2(sin 2 x + cos 2 x)

Отговор: arctg(-1±√3) +πn,

Препратки:

1. П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в училищния курс по математика. - М .: Педагогически университет "Първи септември", 2006. стр. 22
2. А. Мерзляк, В. Полонски, Е. Рабинович, М. Якир. Тригонометрия. - М .: "AST-PRESS", 1998, стр. 389
3. Алгебра за 8 клас, под редакцията на Н.Я. Виленкин. - М .: "Просвещение", 1997 г.
4. Алгебра за 9 клас, под редакцията на Н.Я. Виленкин. Москва "Просвещение", 2001 г.
5. M.I. Башмаков. Алгебра и началото на анализа. За 10-11 клас - М .: "Просвещение" 1993 г
6. Колмогоров, Абрамов, Дудницин. Алгебра и началото на анализа. За 10-11 клас. - М .: "Просвещение", 1990 г.
7. А.Г. Мордкович. Алгебра и началото на анализа. Част 1 Учебник 10-11 клас. - М .: "Мнемозина", 2004 г.

Хомогенна

В този урок ще разгледаме т.нар хомогенни диференциални уравнения от първи ред. Заедно с уравнения с отделими променливии линейни нееднородни уравнениятози тип дистанционно управление се намира в почти всеки контролна работапо темата за дифузията. Ако сте влезли в страницата от търсачка или не сте много уверени в диференциалните уравнения, тогава силно препоръчвам първо да разработите уводен урок по темата - Диференциални уравнения от първи ред. Факт е, че много принципи за решаване на хомогенни уравнения и използваните техники ще бъдат точно същите като за най-простите уравнения с разделими променливи.

Каква е разликата между хомогенните диференциални уравнения и другите видове DE? Това е най-лесно да се обясни веднага с конкретен пример.

Пример 1

Решение:
Какво преди всичкотрябва да се анализира при вземане на решение всякаквидиференциално уравнение първа поръчка? На първо място е необходимо да се провери дали е възможно незабавно да се разделят променливите с помощта на "училищни" действия? Обикновено такъв анализ се извършва мислено или се опитва да се разделят променливите в чернова.

В този пример променливите не могат да бъдат разделени(можете да опитате да обръщате термините от част на част, да изваждате фактори извън скоби и т.н.). Между другото, в този пример фактът, че променливите не могат да бъдат разделени, е съвсем очевиден поради наличието на фактора.

Възниква въпросът - как да се реши този дифър?

Трябва да проверите и Хомогенно ли е това уравнение?? Проверката е проста и самият алгоритъм за проверка може да се формулира по следния начин:

Към първоначалното уравнение:

вместозаместител, вместозаместител, не пипай производното:

Буквата ламбда е условен параметър и тук тя играе следната роля: ако в резултат на трансформации е възможно да се „унищожат“ ВСИЧКИ ламбда и да се получи оригиналното уравнение, тогава това диференциално уравнение е хомогенен.

Очевидно ламбда веднага се унищожават в степента:

Сега, от дясната страна, изваждаме ламбда от скобите:

и разделете двете части на тази същата ламбда:

Като резултат всичколамбдите изчезнаха като сън, като утринна мъгла, и ние получихме оригиналното уравнение.

Заключение:Това уравнение е хомогенно

Как да решим хомогенно диференциално уравнение?

Имам много добри новини. Абсолютно всички еднородни уравнения могат да бъдат решени с една единствена (!) стандартна замяна.

Функцията "y" трябва замени работанякаква функция (също зависи от "x")и "x":

Почти винаги пишете кратко:

Откриваме в какво ще се превърне производната при такава замяна, използваме правилото за диференциране на продукт. Ако , тогава:

Заместете в оригиналното уравнение:

Какво ще даде такава замяна? След тази подмяна и направените опростявания ние гарантиранополучаваме уравнение с разделими променливи. ПОМНЯкато първа любов :) и съответно .

След заместването правим максимални опростявания:

Тъй като е функция, която зависи от "x", тогава нейната производна може да бъде записана като стандартна дроб: .
По този начин:

Разделяме променливите, докато от лявата страна трябва да съберете само "te", а от дясната страна - само "x":

Променливите са разделени, ние интегрираме:


Според първия ми технически съвет от статията Диференциални уравнения от първи редв много случаи е целесъобразно константата да се „формулира“ под формата на логаритъм.

След като уравнението е интегрирано, трябва да изпълните обратно заместване, той също е стандартен и уникален:
Ако , тогава
В такъв случай:

В 18-19 случая от 20 решението на хомогенното уравнение се записва като общ интеграл.

Отговор:общ интеграл:

Защо отговорът на едно хомогенно уравнение почти винаги се дава като общ интеграл?
В повечето случаи е невъзможно да се изрази "y" в явен вид (да се получи общо решение), а ако е възможно, тогава най-често общото решение се оказва тромаво и тромаво.

Така например в разглеждания пример общото решение може да се получи чрез окачване на логаритми на двете части на общия интеграл:

- добре, все още е наред. Въпреки че, разбирате ли, пак е крив.

Между другото, в този пример не съм написал "прилично" общия интеграл. Не е грешка, но в "добър" стил, напомням ви, е обичайно общият интеграл да се записва във формата . За да направите това, веднага след интегрирането на уравнението, константата трябва да бъде записана без логаритъм (Това е изключение от правилото!):

И след обратната замяна вземете общия интеграл в "класическата" форма:

Полученият отговор може да бъде проверен. За да направите това, трябва да диференцирате общия интеграл, тоест да намерите производна на функция, дефинирана имплицитно:

Отървете се от дробите, като умножите всяка страна на уравнението по:

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че решението е намерено правилно.

Препоръчително е винаги да проверявате. Но хомогенните уравнения са неприятни, защото обикновено е трудно да се проверят техните общи интеграли - това изисква много, много прилична техника на диференциране. В разглеждания пример по време на проверката вече беше необходимо да се намерят не най-простите производни (въпреки че самият пример е доста прост). Ако можете да го проверите, проверете го!

Пример 2

Проверете уравнението за хомогенност и намерете неговия общ интеграл.

Напишете отговора във формата

Това е пример за самостоятелно решение - за да свикнете със самия алгоритъм на действията. Проверете в свободното си време, защото. тук е доста сложно и дори не започнах да го донасям, в противен случай вече няма да стигнете до такъв маниак :)

И сега обещаната важна точка, спомената в самото началото на темата,
с удебелени черни букви:

Ако в хода на трансформациите "нулираме" фактора (не е константа)към знаменателя, тогава РИСКУВАМЕ да загубим решения!

И всъщност се сблъскахме с това още в първия пример. въвеждащ урок по диференциални уравнения. В процеса на решаване на уравнението "y" се оказа в знаменателя: , но очевидно е решение на DE и в резултат на нееквивалентно преобразуване (деление) има всички шансове да го загубиш! Друго нещо е, че влезе в общото решение при нулева стойност на константата. Нулирането на "x" в знаменателя също може да бъде игнорирано, защото не удовлетворява оригиналния диф.

Подобна история с третото уравнение от същия урок, по време на решението на което „паднахме“ в знаменателя. Строго погледнато, тук трябваше да се провери дали дадената дифурация е решение? Все пак е! Но дори и тук „всичко се получи“, тъй като тази функция влезе в общия интеграл при .

И ако това често е случаят с „разделимите“ уравнения;) то „търкаля“, то с хомогенните и някои други разлики може да „не се търкаля“. С голяма вероятност.

Нека анализираме вече решените проблеми в този урок: Пример 1имаше "нулиране" на x, но не може да бъде решение на уравнението. Но в Пример 2разделихме на , но това също се „размина“: тъй като решенията не могат да бъдат загубени, те просто не съществуват тук. Но, разбира се, нарочно подредих „щастливите случаи“ и не е факт, че ще се сблъскат на практика:

Пример 3

Решете диференциално уравнение

Не е ли прост пример? ;-)

Решение:хомогенността на това уравнение е очевидна, но все пак - на първото стъпалоВИНАГИ проверявайте дали променливите могат да бъдат разделени. Защото уравнението също е хомогенно, но променливите в него са тихо разделени. Да, има такива!

След като проверим за „разделимост“, правим замяна и опростяваме уравнението, доколкото е възможно:

Разделяме променливите, отляво събираме "te", отдясно - "x":

И тук е СТОП. При разделяне на рискуваме да загубим две функции наведнъж. Тъй като , тогава това са функциите:

Първата функция очевидно е решение на уравнението . Проверяваме втория - заместваме неговата производна в нашия diffur:

- получава се правилното равенство, което означава, че функцията е решение.

И рискуваме да загубим тези решения.

Освен това знаменателят беше "X", обаче заместването предполага, че е различно от нула. Запомнете този факт. Но! Не пропускайте да проверите, дали е решение на ОРИГИНАЛНОТО диференциално уравнение. Не, не е.

Нека вземем под внимание всичко това и да продължим:

Трябва да се каже, че имахме късмет с интеграла на лявата страна, случва се много по-лошо.

Събираме единичен логаритъм от дясната страна и нулираме оковите:

И точно сега обратната замяна:

Умножете всички термини по:

Сега да проверя - дали в общия интеграл са включени "опасни" решения. Да, и двете решения са включени в общия интеграл при нулева стойност на константата: , така че не е необходимо да се посочват допълнително в отговор:

общ интеграл:

Преглед. Дори не тест, а чисто удоволствие :)

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че решението е намерено правилно.

За самостоятелно решение:

Пример 4

Извършете тест за хомогенност и решете диференциалното уравнение

Общият интеграл може да се провери чрез диференциране.

Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Разгледайте няколко примера, при които е дадено хомогенно уравнение с готови диференциали.

Пример 5

Решете диференциално уравнение

Това е много интересен пример, директно целият трилър!

РешениеЩе свикнем да го правим по-компактен. Първо, мислено или на чернова, се уверяваме, че променливите не могат да бъдат разделени тук, след което проверяваме за еднаквост - обикновено не се извършва на чисто копие (освен ако не е изрично необходимо). Така почти винаги решението започва с записа: " Това уравнение е хомогенно, нека направим замяна: ...».

Ако едно хомогенно уравнение съдържа готови диференциали, тогава то може да бъде решено чрез модифицирано заместване:

Но не съветвам да използвате такава замяна, тъй като ще се окаже Великата китайска стена на диференциалите, където имате нужда от око и око. От техническа гледна точка е по-изгодно да преминете към „пунктирано“ обозначение на производната, за това разделяме всички членове на уравнението на:

И вече тук направихме "опасна" трансформация!Нулевият диференциал съответства на - семейство от прави, успоредни на оста. Те ли са корените на нашия DU? Заместете в оригиналното уравнение:

Това равенство е вярно, ако , т.е. при деление на рискувахме да загубим решението , и го загубихме- защото то вече не удовлетворяваполученото уравнение .

Трябва да се отбележи, че ако ние първоначалноуравнението беше дадено , тогава коренът би бил изключен. Но ние го имаме и го "хванахме" навреме.

Продължаваме решението със стандартно заместване:
:

След заместване опростяваме уравнението, доколкото е възможно:

Разделяне на променливи:

И тук отново СТОП: при разделяне на рискуваме да загубим две функции. Тъй като , тогава това са функциите:

Очевидно първата функция е решение на уравнението . Проверяваме второто - заместваме и неговата производна:

– получено истинско равенство, така че функцията също е решение на диференциалното уравнение.

И когато разделяме на, рискуваме да загубим тези решения. Те обаче могат да влизат в общ интеграл. Но може и да не влязат.

Нека вземем това под внимание и интегрираме и двете части:

Интегралът от лявата страна се решава стандартно с помощта на избор на пълен квадрат, но в дифузьорите е много по-удобен за използване метод на неопределените коефициенти:

Използвайки метода на неопределените коефициенти, разширяваме интегранта в сума от елементарни дроби:


По този начин:

Намираме интеграли:

- тъй като сме начертали само логаритми, пъхаме и константата под логаритъма.

Преди смяна опростете отново всичко, което може да бъде опростено:

Изпускане на вериги:

И обратното заместване:

Сега си спомняме „загубите“: решението влезе в общия интеграл при , но - „прелетя покрай касата“, т.к. се появи в знаменателя. Следователно в отговора му се присъжда отделна фраза и да - не забравяйте за изгубеното решение, което между другото също се оказа на дъното.

Отговор:общ интеграл: . Още решения:

Тук не е толкова трудно да се изрази общото решение:
, но това вече е показност.

Удобно обаче за проба. Нека намерим производната:

и заместител в лявата страна на уравнението:

- като получен резултат дясна частуравнения, което трябваше да бъде проверено.

Следната разлика е сама по себе си:

Пример 6

Решете диференциално уравнение

Пълно решение и отговор в края на урока. Опитайте в същото време за обучение и изразете общото решение тук.

В последната част на урока ще разгледаме още няколко характерни задачи по темата:

Пример 7

Решете диференциално уравнение

Решение:Да вървим по утъпкания път. Това уравнение е хомогенно, нека променим:

С "x" всичко е наред, но какво да кажем за квадратния тричлен? Тъй като е неразложимо на множители : , тогава определено не губим решения. Винаги щеше да е така! Изберете пълния квадрат от лявата страна и интегрирайте:

Тук няма какво да се опростява и следователно обратното заместване:

Отговор:общ интеграл:

Пример 8

Решете диференциално уравнение

Това е пример за „направи си сам“.

Така:

За нееквивалентни преобразувания ВИНАГИ проверявайте (поне устно), не губете решенията си!Какви са тези трансформации? Като правило, намаляване с нещо или разделяне на нещо. Така например, когато делите на, трябва да проверите дали функциите са решения на диференциално уравнение. В същото време при разделяне на необходимостта от такава проверка вече изчезва - поради факта, че този делител не изчезва.

Ето още една опасна ситуация:

Тук, като се отървете от , трябва да проверите дали това е решение на DE. Често като такъв фактор се срещат “x”, “y” и намалявайки с тях губим функции, които могат да се окажат решения.

От друга страна, ако нещо ПЪРВОНАЧАЛНО е в знаменателя, тогава няма причина за такова безпокойство. Така че в едно хомогенно уравнение не е нужно да се притеснявате за функцията, тъй като тя е „декларирана“ в знаменателя.

Изброените тънкости не губят своята актуалност, дори ако е необходимо да се намери само конкретно решение на проблема. Има малък, но шанс да загубим точно необходимото конкретно решение. Истина Проблем с Кошипри практически задачи с еднородни уравнения се изисква доста рядко. В статията обаче има такива примери Редуциращи се до хомогенни уравнения, който препоръчвам да изучавате „по преследване“, за да затвърдите уменията си за решаване.

Има и по-сложни хомогенни уравнения. Трудността не се състои в промяната на променлива или опростяване, а в доста трудни или редки интеграли, които възникват в резултат на разделянето на променливи. Имам примери за решения на такива еднородни уравнения - грозни интеграли и грозни отговори. Но ние няма да говорим за тях, защото в следващите уроци (виж отдолу)Имам още време да те измъча, искам да те видя свеж и оптимистичен!

Успешна промоция!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение:проверете уравнението за хомогенност, за това, в оригиналното уравнение вместонека поставим , и вместонека заместим:

В резултат на това се получава оригиналното уравнение, което означава, че този DE е хомогенен.

Спри се! Нека все пак се опитаме да разберем тази тромава формула.

На първо място трябва да бъде първата променлива в степента с някакъв коефициент. В нашия случай това

В нашия случай е така. Както разбрахме, това означава, че тук степента за първата променлива се сближава. И втората променлива на първа степен е на мястото си. Коефициент.

Имаме го.

Първата променлива е експоненциална, а втората променлива е на квадрат с коефициент. Това е последният член в уравнението.

Както можете да видите, нашето уравнение отговаря на определението под формата на формула.

Нека да разгледаме втората (вербална) част от определението.

Имаме две неизвестни и. Тук се събира.

Нека разгледаме всички условия. При тях сумата от степените на неизвестните трябва да е еднаква.

Сборът на степените е равен.

Сумата от степените е равна на (at и at).

Сборът на степените е равен.

Както можете да видите, всичко пасва!

Сега нека се упражним да дефинираме хомогенни уравнения.

Определете кои от уравненията са хомогенни:

Хомогенни уравнения - уравнения с числа:

Нека разгледаме уравнението отделно.

Ако разделим всеки член чрез разширяване на всеки член, получаваме

И това уравнение напълно попада в определението за еднородни уравнения.

Как се решават хомогенни уравнения?

Пример 2

Нека разделим уравнението на.

Според нашето условие y не може да бъде равно. Следователно можем спокойно да разделим по

Чрез заместване получаваме просто квадратно уравнение:

Тъй като това е редуцирано квадратно уравнение, използваме теоремата на Виета:

Правейки обратното заместване, получаваме отговора

Отговор:

Пример 3

Разделете уравнението на (по условие).

Отговор:

Пример 4

Намерете дали.

Тук не трябва да разделяте, а да умножавате. Умножете цялото уравнение по:

Нека направим замяна и решим квадратното уравнение:

Правейки обратното заместване, получаваме отговора:

Отговор:

Решение на хомогенни тригонометрични уравнения.

Решаването на хомогенни тригонометрични уравнения не се различава от методите за решаване, описани по-горе. Само тук, наред с други неща, трябва да знаете малко тригонометрия. И да можете да решавате тригонометрични уравнения (за това можете да прочетете раздела).

Нека разгледаме такива уравнения на примери.

Пример 5

Решете уравнението.

Виждаме типично хомогенно уравнение: и са неизвестни и сборът от техните степени във всеки член е равен.

Подобни хомогенни уравнения не са трудни за решаване, но преди да разделите уравненията на, разгледайте случая, когато

В този случай уравнението ще приеме формата: Но синусът и косинусът не могат да бъдат равни едновременно, защото според основното тригонометрично тъждество. Следователно можем спокойно да го разделим на:

Тъй като уравнението е намалено, тогава според теоремата на Vieta:

Отговор:

Пример 6

Решете уравнението.

Както в примера, трябва да разделите уравнението на. Разгледайте случая, когато:

Но синусът и косинусът не могат да бъдат равни едновременно, защото според основното тригонометрично тъждество. Ето защо.

Нека направим заместване и решим квадратното уравнение:

Нека направим обратното заместване и намерим и:

Отговор:

Решение на хомогенни експоненциални уравнения.

Хомогенните уравнения се решават по същия начин като разгледаните по-горе. Ако сте забравили как да решите експоненциални уравнения- вижте съответния раздел ()!

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 7

Решете уравнението

Представете си как:

Виждаме типично хомогенно уравнение с две променливи и сбор от степени. Нека разделим уравнението на:

Както можете да видите, след извършване на замяната, получаваме намаленото квадратно уравнение (в този случай няма нужда да се страхувате от разделяне на нула - винаги е строго по-голямо от нула):

Според теоремата на Виета:

Отговор: .

Пример 8

Решете уравнението

Представете си как:

Нека разделим уравнението на:

Нека направим замяна и решим квадратното уравнение:

Коренът не отговаря на условието. Правим обратното заместване и намираме:

Отговор:

ХОМОГЕННИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Първо, като използвам пример за един проблем, нека ви напомня какво представляват еднородните уравнения и какво е решението на еднородните уравнения.

Реши задачата:

Намерете дали.

Тук можете да забележите нещо любопитно: ако разделим всеки член на, получаваме:

Тоест, сега няма отделни и, - сега желаната стойност е променливата в уравнението. И това е обикновено квадратно уравнение, което лесно се решава с помощта на теоремата на Виета: произведението на корените е равно, а сборът е числата и.

Отговор:

Уравнения на формата

наречени хомогенни. Тоест това е уравнение с две неизвестни, във всеки член на което има една и съща сума от степените на тези неизвестни. Например в горния пример тази сума е равна на. Решаването на хомогенни уравнения се извършва чрез разделяне на едно от неизвестните в тази степен:

И последващата промяна на променливите: . Така получаваме уравнение на степен с едно неизвестно:

Най-често ще срещнем уравнения от втора степен (т.е. квадратни) и можем да ги решим:

Обърнете внимание, че разделянето (и умножаването) на цялото уравнение на променлива е възможно само ако сме убедени, че тази променлива не може да бъде равна на нула! Например, ако ни помолят да намерим, ние веднага разбираме това, тъй като е невъзможно да се раздели. В случаите, когато това не е толкова очевидно, е необходимо да се провери отделно случаят, когато тази променлива е равна на нула. Например:

Решете уравнението.

Решение:

Тук виждаме типично хомогенно уравнение: и са неизвестни и сборът от техните степени във всеки член е равен.

Но преди да разделим на и да получим квадратното уравнение по отношение, трябва да разгледаме случая, когато. В този случай уравнението ще приеме формата: , следователно, . Но синусът и косинусът не могат да бъдат равни на нула едновременно, защото според основната тригонометрична идентичност:. Следователно можем спокойно да го разделим на:

Надявам се, че това решение е напълно ясно? Ако не, прочетете раздела. Ако не е ясно откъде идва, трябва да се върнете още по-рано - в секцията.

Решете сами:

1. Намерете дали.
2. Намерете дали.
3. Решете уравнението.

Тук накратко ще напиша директно решението на хомогенни уравнения:

Решения:

Отговор: .

И тук е необходимо не да се разделя, а да се умножава:

Отговор:

Ако все още не сте преминали през тригонометричните уравнения, можете да пропуснете този пример.

Тъй като тук трябва да разделим на, първо се уверяваме, че сто не е равно на нула:

А това е невъзможно.

Отговор: .

ХОМОГЕННИ УРАВНЕНИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Решаването на всички хомогенни уравнения се свежда до деление на едно от неизвестните в степен и последваща промяна на променливите.

Алгоритъм: